函数的级数展开

§ 2 函数的幂级数展开

(一) 教学目的：

掌握泰勒级数和麦克劳林级数展开，初等函数的幂级数展开．熟记一些初等函数的幂级数展开式. (二) 教学内容：

泰勒级数和麦克劳林级数展开式的定义；五种基本初等函数的幂级数展开式． 基本要求：

(1) 掌握泰勒级数和麦克劳林展开式，五种基本初等函数的幂级数展开． (2) 学会用逐项求积和逐项求导的方法展开初等函数，并利用它们作间接展开． (三) 教学建议：

(1) 要求学生必须掌握泰勒级数和麦克劳林展开式，并利用五种基本初等函数的幂级数展开某些初等函数或作间接展开．

(2) 对较好学生可布置利用逐项求导和逐项求积的方法展开初等函数的习题

Taylor 级数

设函数)(x f 在点0x 有任意阶导数.

Taylor 公式： ∑

==+-=

n

k n k k x R x x k x f x f 0

00)()()(!

)

()( n n x x n x f x x x f x x x f x f )(!

)()(!2)())(()(00)(2

00000-++-''+-'+= +)(x R n .

余项)(x R n 的形式:

Peano 型余项: )(x R n ()

n x x o )(0-=,

（ 只要求在点0x 的某邻域内有1-n 阶导数，)(0)

(x f

n 存在 ）

Lagrange 型余项: )(x R n ξξ ,)()!1()

(10)1(++-+=n n x x n f 在x 与0x 之间.

或 )(x R n ()0 ,)()!

1()(1000)1(++-+-+=n n x x n x x x f θ1<<θ.

积分型余项: 当函数)(x f 在点0x 的某邻域内有1+n 阶连续导数时, 有 )(x R n ⎰-=+x x n

n dt t x t f n 0))((!

1)1(.

Cauchy 余项: 在上述积分型余项的条件下, 有Cauchy 余项

)(x R n ()10 ,)()1()(!

11000)

1(≤≤---+=

++θθθn n n x x x x x f

n . 特别地，0x 0=时，Cauchy 余项为 )(x R n ξξξ ,))((!

1)

1(x x f n n n -=

+在0与x 之间.

Taylor 公式的项数无限增多时, 得

=+-++-''+

-'+ n n x x n x f x x x f x x x f x f )(!

)()(!2)())(()(00)(2

00000

∑

∞

=-0

00)()(!

)

(n n n x x n x f , 自然会有以下问题: 对于在点0x 无限次可导的函数)(x f , 在)(x f 的定义域内或在点0x 的某邻域内, 函数)(x f 和其Taylor 级数是否相等呢? 回答是否定的. 例1 函数)(x f x -=

11在点0=x 无限次可微. 求得,)

1(!)(1

)

(+-=n n x n x f !)0( ), 1 ()(n f x n =≠ . 其Taylor 级数为

=

+++++ n

x x x 2

1∑∞

=0

n n

x

.

该幂级数的收敛域为) 1 , 1 (-. 仅在区间) 1 , 1 (-内有)(x f =∑∞

=0

n n

x

. 而在其他点并不相等,

因为级数发散.

那么, 在Taylor 级数的收敛点, 是否必有)(x f 和其Taylor 级数相等呢 ? 回答也是否定的.

例2 函数 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-. 0

, 0, 0 , )(21x x e x f x 在点 0=x 无限次可导且有.0)0()

(=n f ，因此

其Taylor 级数0≡，在) , (∞+∞-内处处收敛 . 但除了点

0=x 外, 函数)(x f 和其Taylor 级数并不相等.

另一方面,由（和函数的性质）知：在点0x 的某邻域内倘有)(x f =

∑∞

=-0

)(n n

n x x a

, 则)(x f 在点0x 无限次可导且级数∑∞

=-0

0)(n n n x x a 必为函数)(x f 在点0x 的Taylor 级数.

综上 , 我们有如下结论:

(1) 对于在点0x 无限次可导的函数)(x f , 其Taylor 级数可能除点=x 0x 外均发散; 参阅 复旦大学编《数学分析》下册P90第9题 ); 即便在点0x 的某邻域内其Taylor 级数收敛, 和函数也未必就是)(x f . 由此可见, 不同的函数可能会有完全相同的Taylor 级数.

(2) 若幂级数

∑∞

=-0

)(n n

n x x a

在点0x 的某邻域内收敛于函数)(x f , 则该幂级数就是函数)(x f 在点0x 的Taylor 级数.

于是 , 为把函数)(x f 在点0x 的某邻域内表示为关于)(0x x -的幂级数，我们只能考虑其Taylor 级数.

4. 可展条件:

定理1 ( 必要条件 ) 函数)(x f 在点0x 可展 , ⇒ )(x f 在点0x 有任意阶导数 . 定理2 ( 充要条件 ) 设函数)(x f 在点0x 有任意阶导数 . 则)(x f 在区间

) 0 ( ) , (00>+-r r x r x 内等于其Taylor 级数( 即可展 )的充要条件是: 对) , (0r x x ∈∀, 有0)(lim =∞

→x R n n . 其中)(x R n 是Taylor 公式中的余项.

证 把函数)(x f 展开为n 阶Taylor 公式, 有

, |)(||)()(|x R x S x f n n =- ⇒ )(x f ),(lim ⇔=∞

→x S n n 0)(lim =∞

→x R n n .

定理3 ( 充分条件 ) 设函数)(x f 在点0x 有任意阶导数 , 且导函数所成函数列

)}({)(x f n 一致有界, 则函数)(x f 可展.

证 利用Lagrange 型余项 , 设 M x f

n ≤|)(|)

(, 则有

) ( , 0)!

1(||)()!1()(|)(|101

0)1(∞→→+-⋅≤-+=+++n n x x M x x n f x R n n n n ξ.