《一元二次不等式及其解法》典型例题透析

《一元二次不等式及其解法》典型例题透析

类型一：解一元二次不等式 例1. 解下列一元二次不等式

（1）250x x -<； （2）2440x x -+>； （3）2

450x x -+-> 思路点拨: 转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答. 解析：

（1）方法一：

因为2

(5)410250∆=--⨯⨯=>

所以方程2

50x x -=的两个实数根为：10x =，25x =

函数2

5y x x =-的简图为：

因而不等式2

50x x -<的解集是{|05}x x <<.

方法二：2

50(5)0x x x x -<⇔-<050x x >⎧⇔⎨-<⎩ 或0

50x x <⎧⎨->⎩

解得05x x >⎧⎨

<⎩ 或 0

5

x x <⎧⎨>⎩，即05x <<或x ∈∅.

因而不等式2

50x x -<的解集是{|05}x x <<.

（2）方法一：

因为0∆=，

方程2

440x x -+=的解为122x x ==.

函数2

44y x x =-+的简图为：

所以，原不等式的解集是{|2}x x ≠

方法二：2

2

44(2)0x x x -+=-≥（当2x =时，2

(2)0x -=） 所以原不等式的解集是{|2}x x ≠

（3）方法一：

原不等式整理得2

450x x -+<.

因为0∆<，方程2

450x x -+=无实数解， 函数2

45y x x =-+的简图为：

所以不等式2

450x x -+<的解集是∅. 所以原不等式的解集是∅.

方法二：∵2

2

45(2)110x x x -+-=---≤-<

∴原不等式的解集是∅.

总结升华：

1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；

2. 当0∆≤时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当0∆>且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）.

3. 当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答. 举一反三：

【变式1】解下列不等式

(1) 22320x x -->；(2) 2

3620x x -+-> (3) 24410x x -+≤； (4) 2

230x x -+->. 【答案】

（1）方法一：

因为2(3)42(2)250∆=--⨯⨯-=> 方程2

2320x x --=的两个实数根为：11

2

x =-，22x = 函数2232y x x =--的简图为：

因而不等式2

2320x x -->的解集是：1{|2}2

x x x <->或.

方法二：∵原不等式等价于

21)(2)0x x +->（, ∴ 原不等式的解集是：1{|2}2

x x x <->或. （2）整理，原式可化为2

3620x x -+<,

因为0∆>,

方程2

3620x x -+=的解1313x =-

2313

x =+，

函数2

362y x x =-+的简图为：

所以不等式的解集是33(1,1)33

-+. （3）方法一：

因为0∆=

方程2

4410x x -+=有两个相等的实根：121

2

x x ==， 由函数2

441y x x =-+的图象为：

原不等式的的解集是1{}2

.

方法二：∵ 原不等式等价于：2

(21)0x -≤, ∴原不等式的的解集是1{}2

. （4）方法一：

因为0∆<，方程2

230x x -+-=无实数解， 由函数2

23y x x =-+-的简图为：

原不等式的解集是∅.

方法二：∵2

2

23(1)220x x x -+-=---≤-<，

∴ 原不等式解集为∅.

【变式2】解不等式：2

666x x -≤--< 【答案】原不等式可化为不等式组

22

6666

x x x x ⎧--<⎪⎨-≤--⎪⎩ ，即221200x x x x ⎧--<⎪

⎨-≥⎪⎩，即(4)(3)0(1)0x x x x -+<⎧⎨-≥⎩， 解得3410x x x -<<⎧⎨≥≤⎩

或

∴原不等式的解集为{|3014}x x x -<≤≤<或.

类型二：已知一元二次不等式的解集求待定系数

例2. 不等式2

0x mx n +-<的解集为(4,5)x ∈，求关于x 的不等式2

10nx mx +->的

解集。

思路点拨:由二次不等式的解集为(4,5)可知：4、5是方程2

0x mx n +-=的二根，故由韦达定理可求出m 、n 的值，从而解得.

解析：由题意可知方程2

0x mx n +-=的两根为4x =和5x =

由韦达定理有45m +=-，45n ⨯=- ∴9m =-，20n =-

∴2

10nx mx +->化为2

20910x x --->，即2

20910x x ++<

(41)(51)0x x ++<，解得11

45

x -<<-，

故不等式2

10nx mx +->的解集为11(,)45

--.

总结升华：二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键。

举一反三：

【变式1】不等式ax 2

+bx+12>0的解集为{x|-3

【答案】由不等式的解集为{x|-3

+bx+12=0的两根为-3，2。

由根与系数关系得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-=-=+-=-62)3(a

12123a

b

解得a=-2, b=-2。

【变式2】已知2

20ax x c ++>的解为11

32

x -

<<,试求a 、c ,并解不等式220cx x a -+->.

【答案】由韦达定理有：11232a -+

=-，1132c

a

-⋅=，∴12a =-,2c =. ∴代入不等式2

20cx x a -+->得2

22120x x -++>， 即2

60x x --<，(3)(2)0x x -+<，解得23x -<<， 故不等式2

20cx x a -+->的解集为：(2,3)-.

【变式3】已知关于x 的不等式2

0x ax b ++<的解集为(1,2)，求关于x 的不等式

210bx ax ++>的解集.

【答案】由韦达定理有：1212a b -=+⎧⎨=⨯⎩，解得32

a b =-⎧⎨=⎩, 代入不等式2

10bx ax ++>得

22310x x -+>，即(21)(1)0x x -->，解得1

2

x <或1x >.

∴2

10bx ax ++>的解集为：1(,)(1,)2

-∞+∞.

类型三：二次项系数含有字母的不等式恒成立恒不成立问题