《一元二次不等式及其解法》典型例题透析
高中 一元二次不等式及其解法 知识点+例题 全面
辅导讲义――一元二次不等式及其解法教学内容1．一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2的不等式. 2．二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系判别式Δ＝b 2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根 有两相异实根x 1，x 2(x 1<x 2) 有两相等实根 x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集 {x |x <x 1或x >x 2}{x |x ≠x 1}{x |x ∈R }ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集{x |x 1< x <x 2}∅ ∅[例1] 若不等式052>++c x ax 的解集是}2131{<<x x ，则a+c 的值为________.-7[巩固1] 已知不等式02<+-b x ax 的解集是}21{<<-x x ，则a ，b 的值为___________.a=1，b=-2[巩固2] 若关于x 的不等式0622<+-t x tx 的解集是),1(),(+∞-∞ a ，则a 的值为______.-3[例2] 若1)(2+-=ax x x f 有负值，则实数a 的取值范围是____________.),2()2,(+∞--∞[巩固1] 已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的图象与直线25=y 有公共点，且不等式02>++c bx ax 的解是知识模块1三个“二次” 精典例题透析3121<<-x ，求a ，b ，c 的取值范围.[巩固2] 已知关于x 的不等式)(0222R a a ax x ∈≤++-的解集为M . （1）当M 为空集时，求实数a 的取值范围. （2）如果]4,1[⊆M ，求实数a 的取值范围.[例3] 关于x 的方程02=++c bx x 的两根分别为21-=x 和212-=x ，则关于x 的不等式02<+-c bx x 的解集是______________.)2,21([巩固1] 方程05)2(2=-+-+m x m x 的两根都大于2，则m 的取值范围是____________.]4,5(--[巩固] 若关于x 的不等式4502≤++≤ax x 恰好只有一个解，则实数.______=a 2±[例5] 若不等式02<--b ax x 的解集为}32{<<x x ，则.______=+b a 1-[巩固1] 若关于x 的不等式0322<+-a x x 的解集是)1,(m ，则实数.______=m 21[巩固2] 关于x 的不等式0)2)(1(>--x mx ，若此不等式的解集为}21{<<x mx，则m 的取值范围是__________. )0,(-∞[例6] 已知实数R a ∈，解关于x 的不等式.02)2(2<++-a x a x[巩固] 已知关于x 的不等式0232>+-x ax 的解集是}1{b x x x ><或， （1）求a ，b 的值；（2）解关于x 的不等式).(0)(2R c bc x b ac ax ∈<++-[例7] 若不等式02<--b ax x 的解集是)3,2(， （1）求a ，b 的值；（2）求不等式012>--ax bx 的解集.[巩固] 已知不等式0)32()(<-++b a x b a 的解为43->x ，解不等式.0)2()1(2)2(2>-+--+-a x b a x b a题型一：一元二次不等式的解法 [例] 求下列不等式的解集：（1）－x 2＋8x －3>0； （2）ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.解 (1)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，所以方程－x 2＋8x －3＝0有两个不相等的实根x 1＝4－13，x 2＝4＋13. 又二次函数y ＝－x 2＋8x －3的图象开口向下， 所以原不等式的解集为{x |4－13<x <4＋13}． (2)若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1. 若a <0，原不等式等价于(x －1a )(x －1)>0，解得x <1a 或x >1.若a >0，原不等式等价于(x －1a)(x －1)<0.①当a ＝1时，1a ＝1，(x －1a )(x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解(x －1a )(x －1)<0得1a <x <1；③当0<a <1时，1a >1，解(x －1a )(x －1)<0得1<x <1a.综上所述：当a <0时，解集为{x |x <1a或x >1}；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为{x |1<x <1a }；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为{x |1a <x <1}．[巩固]（1）若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解为－12<x <13，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集是________．（2）不等式x －12x ＋1≤0的解集是________．知识模块3经典题型11．已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )>0的解集是(－1,3)，则不等式f (－2x )<0的解集是_______________.答案 (－∞，－32)∪(12，＋∞) 解析 f (x )＝0的两个解是x 1＝－1，x 2＝3且a <0，由f (－2x )<0得－2x >3或－2x <－1，∴x <－32或x >12. 12．(2013·重庆)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a=_______.答案 52解析 由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0，因a >0，所以不等式的解集为(－2a,4a )，即x 2＝4a ，x 1＝－2a ，由x 2－x 1＝15，得4a －(－2a )＝15，解得a ＝52. 13．设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为______________．答案 [0，π6]∪[5π6，π] 解析 由题意，要使8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，需Δ＝64sin 2α－32cos 2α≤0，化简得cos 2α≥12. 又0≤α≤π，∴0≤2α≤π3或5π3≤2α≤2π， 解得0≤α≤π6或5π6≤α≤π. 14．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是________．答案 21解析 设f (x )＝x 2－6x ＋a ，其是开口向上，对称轴是x ＝3的抛物线，图象如图所示．关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)≤0，f (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＝4－12＋a ≤0，f (1)＝1－6＋a >0， 解得5<a ≤8.又a ∈Z ，所以a ＝6,7,8，则所有符合条件的a 的值之和是6＋7＋8＝21.15．求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立的x 的取值范围．解 将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0.令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9.因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以。
(整理)一元二次不等式及其解法训练题含详解
一元二次不等式及其解法（含详解）1.不等式x ＋5(x －1)2≥2的解集是 ( ) A ．[－3，12] B ．[－12，3] C ．[12，1)∪(1,3] D ．[－12，1)∪(1,3] 解析：法一：首先x ≠1，在这个条件下根据不等式的性质原不等式可以化为x ＋5≥2(x－1)2，即2x 2－5x －3≤0，即(2x ＋1)(x －3)≤0，解得－12≤x ≤3，故原不等式的解集是[－12，1)∪(1,3]． 法二：特殊值检验法．首先x ≠1，排除B ，显然x ＝0，x ＝2是不等式的解，排除A 、C.答案：D2．解关于x 的不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R)．解：由12x 2－ax －a 2>0⇔(4x ＋a )(3x －a )>0⇔(x ＋a 4)(x －a 3)>0， ①a >0时，－a 4<a 3， 解集为{x |x <－a 4或x >a 3}； ②a ＝0时，x 2>0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；③a <0时，－a 4>a 3， 解集为{x |x <a 3或x >－a 4}．3.某产品的总成本＋20x －0.1x 2(0＜x ＜240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是 ( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台解析：依题意得25x ≥3 000＋20x －0.1x 2，整理得x 2＋50x －30 000≥0，解得x ≥150或x ≤－200，因为0＜x ＜240，所以150≤x ＜240，即最低产量是150台．答案：C4．某摩托车厂上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0＜x ＜1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？解：(1)由题意得y ＝[1.2×(1＋0.75x )－1×(1＋x )]×1000(1＋0.6x )(0＜x ＜1)，整理得y ＝－60x 2＋20x ＋200(0＜x ＜1)．(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有⎩⎪⎨⎪⎧ y －(1.2－1)×1000＞0，0＜x ＜1， 即⎩⎪⎨⎪⎧－60x 2＋20x ＞0，0＜x ＜1. 解得0＜x ＜13. ∴投入成本增加的比例应在(0，13)范围内．5.若不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥2或a ≤－3B ．a ＞2或a ≤－3C ．a ＞2D ．－2＜a ＜2解析：原不等式可化为(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1＞0，显然a ＝－2时不等式不恒成立，所以要使不等式对于任意的x 均成立，必须有a ＋2＞0，且Δ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2＞0，16－4(a ＋2)(a －1)＜0，解得a ＞2.答案：C6．(2010·宁波模拟)设奇函数f (x )在[－1,1]上是单调函数，且f (－1)＝－1，若函数f (x )≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]都成立，当a ∈[－1,1]时，则t 的取值范围是________． 解析：∵f (x )为奇函数，f (－1)＝－1，∴f (1)＝－f (－1)＝1.又∵f (x )在[－1,1]上是单调函数，∴－1≤f (x )≤1，∴当a ∈[－1,1]时，t 2－2at ＋1≥1恒成立，即t 2－2at ≥0恒成立，令g (a )＝t 2－2at ，a ∈[－1,1]，∴⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2t ≥0，t 2＋2t ≥0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧t ≥2或t ≤0，t ≤－2或t ≥0，∴t ≥2或t ＝0或t ≤－2.答案：(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)7．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求a 的范围．(2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求a 的范围．解：(1)f (x )≥a 恒成立，即x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，必须且只需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，∴－6≤a ≤2.(2)f (x )＝x 2＋ax ＋3＝(x ＋a 2)2＋3－a 24.①当－a 2＜－2，即a ＞4时，f (x )min ＝f (－2)＝－2a ＋7， 由－2a ＋7≥a 得a ≤73，∴a ∈∅. ②当－2≤－a 2≤2，即－4≤a ≤4时，f (x )min ＝3－a 24， 由3－a 24≥a ，得－6≤a ≤2.∴－4≤a ≤2. ③当－a 2＞2，即a ＜－4时，f (x )min ＝f (2)＝2a ＋7， 由2a ＋7≥a ，得a ≥－7，∴－7≤a ＜－4.综上得a ∈[－7,2]．8.不等式x 2－|x |－ ( )A ．{x |－2<x <2}B ．{x |x <－2或x >2}C ．{x |－1<x <1}D ．{x |x <－1或x >1}解析：原不等式⇔|x |2－|x |－2<0⇔(|x |－2)(|x |＋1)<0⇔|x |－2<0⇔－2<x <2.答案：A9．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＜0，x 2－6x ＋8＜0的解集是不等式2x 2－9x ＋a ＜0的解集的子集，则实数a 的取值范围是________．解析：因为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＜0，x 2－6x ＋8＜0的解集是{x |2＜x ＜3}，设f (x )＝2x 2－9x ＋a ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (2)≤0，f (3)≤0，解得a ≤9.答案：a ≤910．已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，(1)求a ，b ；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.解：(1)因为不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1.由根与系数的关系，得⎩⎨⎧ 1＋b ＝3a ，1×b ＝2a.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝2.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.(2)所以不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0，即x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0. ①当c >2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |2<x <c }；②当c <2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |c <x <2}；③当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为∅.综上所述：当c >2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |2<x <c }； 当c <2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |c <x <2}；当c ＝2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为∅.。
3.2.2含参数的一元二次不等式的解法(例题精讲)
含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式,通常情况下，均需分类讨论,那么如何讨论呢?对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种:一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ;例1 解不等式：()0122>+++x a ax 分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。
解:∵()044222>+=-+=∆a a a 解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a a a x 24222++--= ∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或 当0=a 时,不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x 当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22例２ 解不等式 分析 因为0≠a ,0>∆,所以我们只要讨论二次项系数的正负。
解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a ∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或;当0<a 时,解集为{}32|<<x x二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆；例3 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于０,故只需考虑∆与根的情况。
解:∵162-=∆a ∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ；当4±=a 即Δ=０时，()00652≠>+-a a ax ax解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a x R x x 且； 当4>a 或4-<a 即0>∆，此时两根分别为21621-+-=a a x ，21622---=a a x ,显然21x x >, ∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或例4 解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122 解 因,012>+m ()()2223414)4(mm -=+--=∆，所以当3±=m ,即0=∆时,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ； 当33<<-m ,即0>∆时，解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或； 当33>-<m m 或，即0<∆时，解集为R 。
3.2.2含参数的一元二次不等式的解法(例题精讲)
含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ;例1 解不等式：()0122>+++x a ax 分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。
解：∵()044222>+=-+=∆a a a 解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a a a x 24222++--= ∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或 当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x 当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22例2 解不等式 分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。
解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a ∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆；例3 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。
解：∵162-=∆a ∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ；当4±=a 即Δ＝0时，()00652≠>+-a a ax ax解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a x R x x 且； 当4>a 或4-<a 即0>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，21622---=a a x ，显然21x x >, ∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或例4 解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122 解 因,012>+m ()()2223414)4(mm -=+--=∆，所以当3±=m ，即0=∆时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ； 当33<<-m ，即0>∆时，解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或； 当33>-<m m 或，即0<∆时，解集为R 。
习题范例解一元二次不等式的常见题型解析
习题范例解一元二次不等式的常见题型解析一、普通一元二次不等式的解法在解一元二次不等式时，我们首先要将其转化为标准形式，即将不等式中所有的项移至一侧，使得不等式左侧为0。
例如，对于如下的一元二次不等式：ax^2 + bx + c > 0我们需要将其转化为如下标准形式：ax^2 + bx + c - 0 > 0接下来，我们需要运用数学方法来解决这个一元二次不等式。
常见的解法有以下几种：1. 因数分解法：当一元二次不等式可以进行因数分解时，我们可以将其进行因数分解，然后求解每个因式为0时的解，最后筛选满足不等式的解即可。
2. 辅助函数法：针对某些特殊的一元二次不等式，我们可以将不等式中的项进行某种变形，然后引入一个辅助函数，通过求导等方式来求解不等式的解。
3. 图像法：我们可以将一元二次不等式对应的二次函数绘制成图像，通过观察和分析图像的性质来确定不等式的解。
以上是一些常见的解一元二次不等式的方法，具体应用时需要结合具体的题目来进行判断和推导。
二、一元二次不等式的常见题型解析1. 一元二次不等式的根的范围题目描述：给定一元二次不等式 ax^2 + bx + c > 0，求解x的范围。
解析：对于给定的一元二次不等式，我们可以先求解其对应的一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0 的根，假设根为x1和x2。
根据二次函数的性质，对称轴的横坐标为 -b/(2a)，通过这个点我们可以将一元二次函数分为两个区间，分别为 (-∞, x1) 和(x2, +∞)。
接下来，我们需要确定在这两个区间内，一元二次函数是大于0还是小于0。
我们可以选取两个测试点，将这些点代入一元二次函数的表达式中，观察符号的变化。
根据符号的变化情况，我们可以得出一元二次不等式的解的范围。
2. 一元二次不等式与二次函数图像题目描述：给定一元二次不等式 ax^2 + bx + c > 0，利用二次函数的图像性质求解x的范围。
一元二次不等式及其解法知识梳理及典型练习题(含答案)
一元二次不等式及其解法知识梳理及典型练习题(含答案)一元二次不等式及其解法1.一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax>b(a≠0)的形式。
当a>0时，解集为x>b/a；当a<0时，解集为x<b/a。
2.一元二次不等式及其解法1) 我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。
2) 使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的解集。
3) 一元二次不等式的解：对于一元二次不等式ax^2+bx+c>0(a>0)，我们可以先求出其对应的一元二次方程ax^2+bx+c=0的解集，然后根据一元二次函数的图像，判断不等式的解集。
3.分式不等式解法对于分式不等式f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0，我们可以先化为标准型，即将右边化为0，左边化为分母的符号，然后将分式不等式转化为整式不等式求解。
对于分式不等式f(x)/g(x)≥0或f(x)/g(x)≤0，我们可以先求出f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0的解集，然后根据分式函数的图像判断不等式的解集。
例题1：已知集合A={x|x^2-2x-3≥0}，B={x|-2≤x＜2}，则A∩B＝[-2,-1]。
例题2：设f(x)=x^2+bx+1且f(-1)=f(3)，则f(x)>0的解集为{x|x≠1，x∈R}。
例题3：已知-2<x/11<1/2，则x的取值范围是-22<x<11.解：首先求出方程2x2－8x－4＝0的解为x1＝－1，x2＝2.根据题意，不等式在(1，4)内有解，即在x1和x2之间有解，则2x2－8x－4－a的图像必定开口向上，且在x1和x2处有两个零点。
又因为a>0时，图像整体上移，不可能在(1，4)内有解，故a<0.又因为当a＝－4时，2x2－8x－4＝0在(1，4)内有解，故a的取值范围是a<－4.故选A.1) 给定不等式 $2x^2-8x-4-a>0$ 在区间 $(1,4)$ 内有解，即$a<2x^2-8x-4$ 在区间 $(1,4)$ 内有解。
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一元二次不等式及其解法（含详解）题组一 一元二次不等式的解法1.不等式x ＋5(x －1)2≥2的解集是 ( ) A ．[－3，12] B ．[－12，3] C ．[12，1)∪(1,3] D ．[－12，1)∪(1,3] 解析：法一：首先x ≠1，在这个条件下根据不等式的性质原不等式可以化为x ＋5≥2(x－1)2，即2x 2－5x －3≤0，即(2x ＋1)(x －3)≤0，解得－12≤x ≤3，故原不等式的解集是[－12，1)∪(1,3]． 法二：特殊值检验法．首先x ≠1，排除B ，显然x ＝0，x ＝2是不等式的解，排除A 、C.答案：D2．解关于x 的不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R)．解：由12x 2－ax －a 2>0⇔(4x ＋a )(3x －a )>0⇔(x ＋a 4)(x －a 3)>0， ①a >0时，－a 4<a 3， 解集为{x |x <－a 4或x >a 3}； ②a ＝0时，x 2>0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；③a <0时，－a 4>a 3， 解集为{x |x <a 3或x >－a 4}． 题组二 一元二次不等式的实际应用3.某产品的总成本＋20x －0.1x 2(0＜x ＜240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是 ( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台解析：依题意得25x ≥3 000＋20x －0.1x 2，整理得x 2＋50x －30 000≥0，解得x ≥150或x ≤－200，因为0＜x ＜240，所以150≤x ＜240，即最低产量是150台．答案：C4．某摩托车厂上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0＜x ＜1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？解：(1)由题意得y ＝[1.2×(1＋0.75x )－1×(1＋x )]×1000(1＋0.6x )(0＜x ＜1)，整理得y ＝－60x 2＋20x ＋200(0＜x ＜1)．(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有⎩⎪⎨⎪⎧ y －(1.2－1)×1000＞0，0＜x ＜1， 即⎩⎪⎨⎪⎧－60x 2＋20x ＞0，0＜x ＜1. 解得0＜x ＜13. ∴投入成本增加的比例应在(0，13)范围内．5.若不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥2或a ≤－3B ．a ＞2或a ≤－3C ．a ＞2D ．－2＜a ＜2解析：原不等式可化为(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1＞0，显然a ＝－2时不等式不恒成立，所以要使不等式对于任意的x 均成立，必须有a ＋2＞0，且Δ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＞0，16－4(a ＋2)(a －1)＜0， 解得a ＞2.答案：C6．(20XX·宁波模拟)设奇函数f (x )在[－1,1]上是单调函数，且f (－1)＝－1，若函数f (x )≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]都成立，当a ∈[－1,1]时，则t 的取值范围是________． 解析：∵f (x )为奇函数，f (－1)＝－1，∴f (1)＝－f (－1)＝1.又∵f (x )在[－1,1]上是单调函数，∴－1≤f (x )≤1，∴当a ∈[－1,1]时，t 2－2at ＋1≥1恒成立，即t 2－2at ≥0恒成立，令g (a )＝t 2－2at ，a ∈[－1,1]，∴⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2t ≥0，t 2＋2t ≥0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧t ≥2或t ≤0，t ≤－2或t ≥0， ∴t ≥2或t ＝0或t ≤－2.答案：(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)7．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求a 的范围．(2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求a 的范围．解：(1)f (x )≥a 恒成立，即x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，必须且只需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，∴－6≤a ≤2.(2)f (x )＝x 2＋ax ＋3＝(x ＋a 2)2＋3－a 24. ①当－a 2＜－2，即a ＞4时，f (x )min ＝f (－2)＝－2a ＋7， 由－2a ＋7≥a 得a ≤73，∴a ∈∅. ②当－2≤－a 2≤2，即－4≤a ≤4时，f (x )min ＝3－a 24， 由3－a 24≥a ，得－6≤a ≤2.∴－4≤a ≤2. ③当－a 2＞2，即a ＜－4时，f (x )min ＝f (2)＝2a ＋7， 由2a ＋7≥a ，得a ≥－7，∴－7≤a ＜－4.综上得a ∈[－7,2]．8.不等式x 2－|x |－ ( )A ．{x |－2<x <2}B ．{x |x <－2或x >2}C ．{x |－1<x <1}D ．{x |x <－1或x >1}解析：原不等式⇔|x |2－|x |－2<0⇔(|x |－2)(|x |＋1)<0⇔|x |－2<0⇔－2<x <2. 答案：A9．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＜0，x 2－6x ＋8＜0的解集是不等式2x 2－9x ＋a ＜0的解集的子集，则实数a 的取值范围是________．解析：因为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ＋3＜0，x 2－6x ＋8＜0的解集是{x |2＜x ＜3}，设f (x )＝2x 2－9x ＋a ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (2)≤0，f (3)≤0，解得a ≤9. 答案：a ≤910．已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，(1)求a ，b ；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.解：(1)因为不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1.由根与系数的关系，得 ⎩⎨⎧ 1＋b ＝3a ，1×b ＝2a .解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝2.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2. (2)所以不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0，即x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0.①当c >2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |2<x <c }；②当c <2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |c <x <2}；③当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为∅.综上所述：当c >2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |2<x <c }； 当c <2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |c <x <2}；当c ＝2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为∅.。
一元二次不等式经典练习及答案详解
[基础巩固]1．不等式x －2x －1≥0的解集是( ) A ．{x |x ≥2}B ．{x |x ≤1或x ＞2}C ．{x |x ＜1}D ．{x |x ＜1或x ≥2}解析 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)(x －1)≥0，x －1≠0， ∴x ≥2或x ＜1，故原不等式的解集为{x |x ＜1或x ≥2}．答案 D2．若x 2－2ax ＋2≥0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．－2＜a ≤ 2B ．－2＜a ＜ 2C ．－2≤a ＜ 2D ．－2≤a ≤ 2解析 Δ＝(－2a )2－4×1×2≤0，∴－2≤a ≤ 2.答案 D3．某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式为y ＝3000＋20x －0.1x 2(0＜x ＜240，x ∈N )，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台解析 3000＋20x －0.1x 2≤25x ⇔x 2＋50x －30 000≥0，解得x ≤－200(舍去)或x ≥150. 答案 C4．不等式1x －1≥－1的解集是________． 解析 1x －1≥－1⇔1x －1＋1≥0⇔x x －1≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x (x －1)≥0，x －1≠0， ∴不等式的解集是{x |x ≤0或x ＞1}．答案 {x |x ≤0或x ＞1}5．若不等式x 2－4x ＋3m <0的解集为空集，则实数m 的取值范围是________．解析 由题意，知x 2－4x ＋3m ≥0对一切实数x 恒成立，所以Δ＝(－4)2－4×3m ≤0，解得m ≥43. 答案 m ≥436．某工厂生产商品M ，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场销售的商品要征收附加税．为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率．据市场调查，若政府对商品M 征收的税率为P %(即每百元征收P 元)时，每年的销售量减少10P 万件．(1)若税务部门对商品M 每年所收税金不少于96万元，求P 的范围；(2)在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定P 值？(3)若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P 值？解析 税率为P %时，销售量为(80－10P )万件，即f (P )＝80(80－10P )，税金为80(80－10P )·P %，其中0<P <8.(1)由⎩⎪⎨⎪⎧80(80－10P )·P %≥96，0<P <8，解得2≤P ≤6. 故P 的范围为2≤P ≤6.(2)设销售金额为S ，则S ＝80(80－10P )(2≤P ≤6)为减函数，∴当P ＝2时，厂家获得最大的销售金额为4800万元．(3)∵0<P <8，设税收金额为G ，则G ＝80(80－10P )·P %＝－8(P －4)2＋128，∴当P ＝4时，国家所得税金最高，为128万元．[能力提升]7．(多选)若命题“存在实数x ，使得(a －2)x 2＋2(a －2)x －4≥0成立”是假命题，则实数a 可以是( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析 命题“存在实数x ，使得(a －2)x 2＋2(a －2)x －4≥0成立”是假命题，则其否定为“∀实数x ，使得(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0成立”是真命题，当a ＝2时，原不等式化为－4＜0恒成立；当a ≠2时，则⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)＜0， 解得－2＜a ＜2.综上，实数a 的取值范围是－2＜a ≤2.故选B 、C 、D.答案 BCD8．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是( )A ．{x |15≤x ≤30}B ．{x |12≤x ≤25}C ．{x |10≤x ≤30}D ．{x |20≤x ≤30} 解析 设矩形的另一边长为y m ，则由三角形相似知，x 40＝40－y 40， ∴y ＝40－x ，∵xy ≥300，∴x (40－x )≥300，∴x 2－40x ＋300≤0，∴10≤x ≤30.答案 C9．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的值的集合为________．解析 (1)当a ＝0时，满足题意．(2)当a ≠0时，应满足⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ≤0， 解得0<a ≤4.综上可知，a 值的集合为{a |0≤a ≤4}．答案 {a |0≤a ≤4}10．关于x 的方程x 2－2(m ＋2)x ＋m 2－1＝0.(1)m 为何实数时，方程有两正实数根？(2)m 为何实数时，方程有一正实数根、一负实数根？解析 解法一 (1)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝b 2－4ac ＝4(m ＋2)2－4(m 2－1)≥0，x 1＋x 2＝2(m ＋2)>0，x 1x 2＝m 2－1>0，解得－54≤m ＜－1或m >1， 即m 的取值范围是－54≤m ＜－1或m >1. (2)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 1x 2＝m 2－1<0， 解得－1<m <1.所以m 的取值范围是－1<m <1.解法二 (1)设y ＝x 2－2(m ＋2)x ＋m 2－1，因为方程有两正实数根，所以函数图象如图甲所示，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，－b 2a ＝m ＋2>0，m 2－1>0，解得m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |－54≤m ＜－1，或m >1.甲 乙(2)因为方程有一正实数根、一负实数根，则函数图象如图乙，由题意知，满足f (0)<0⇒m 的取值范围是{m |－1＜m ＜1}．[探索创新]11．某热带风暴中心B 位于海港城市A 南偏东60°的方向，与A 市相距400 km ，该热带风暴中心B 以40 km/h 的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经多少时间后A 市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？解析 如图，以A 市为原点，正东方向为x 轴建立直角坐标系．∵AB ＝400，∠BAx ＝30°，∴台风中心B 的坐标为(2003，－200)，x h 后台风中心B 到达点P (2003，40x －200)处．由已知，A 市受台风影响时，有AP ≤350，即(2003)2＋(40x －200)2≤3502，整理得16x 2－160x ＋375≤0，解这个不等式得，3.75≤x ≤6.25，A 市受台风影响的时间为6.25－3.75＝2.5(h)．故在3.75 h 后，A 市会受到台风的影响，时间长达2.5 h.。
(完整版)《一元二次不等式及其解法》典型例题透析
(3 )方法一：《一元二次不等式及其解法》典型例题透析类型一：解一元二次不等式 例1.解下列一元二次不等式2 2 2(1)x 5x0 ； (2)x 4x 4 0 ； ( 3) x 4x 5 0所以，原不等式的解集是 {x|x 2}所以原不等式的解集是{x|x 2}原不等式整理得x 2 4x 50.思路点拨：转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答解析： (1) 方法一：因为所以方程 (5)2 4 1 0 25 0x 2 5x 0的两个实数根为:X iX 25x 0的解集是{x|05}.方法二： 2x 5x 0x(x 5)x x 解得x 0 或 x 0，即 0 x 55或xx 5 2x因而不等式 x 5x 0的解集是{x |0 x方法一：因为 0，方程x 2 4x 4 0的解为捲X 2 2 .函数y2x 4x 4的简图为：方法二：x 2 4x 4 (x 2)220 (当 x 2时，(x 2)0)2函数y5}.因而不等式x因为0,方程x2 4x 5 0无实数解,函数y x2 4x 5的简图为：所以不等式x2 4x 5 0的解集是方法二： 2 2x 4x 5 (x 2) 1 1 0所以原不等式的解集是•原不等式的解集是总结升华：1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；2. 当0时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁(如第是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，3. 当二次项的系数小于举一反三：【变式1】解下列不等式(1) 2x2 3x(3) 4x2 4x【答案】(1 )方法一：0时, 般都转化为大于0后,2、3小题)；当0且(如第1小题).再解答.因为方程2x23x22x6x2x0.(3)2 43x 2y 2x2 3x(2) 250的两个实数根为:2的简图为:函数0的解集是:X i12，x2{x|x(2x 1)(x1 、{x|x 或x2(2)整理，原式可化为3x2 6x 2 0,因为方法二：•••原不等式等价于•••原不等式的解集是:0,2方程3x 6x 2 0的解x, 12)1或x 2}.20,2}.,X2 1332所以不等式的解集是 (1八.(3 )方法一：因为 02由函数y 4x 4x 1的图象为:1原不等式的的解集是｛—｝•2方法二：•/原不等式等价于：(2x 1)2 0,•••原不等式的的解集是2方程 x 2x 3 0无实数解,3的简图为：函数2的简图为:方法二：x 2 2x 3 •原不等式解集为 . 【变式2】解不等式：6 x 2 【答案】原不等式可化为不等式组 x 2(x1)2 2 x 2x12，即(X 4)(xx(x 1)3) 0 03解得x•原不等式的解集为｛x|类型二：已知一元二次不等式的解集求待定系数例2.不等式x 2 mx n 0的解集为x (4,5)，求关于x 的不等式nx 解集。
一元二次不等式及其解法(精)全
一元二次不等式5x2 10x 4.8 0的解集就是 二次函数y 5x2 10x 4.8的图象(抛物线） 位于x轴下方的点所对应的x的集合.
因此， 求解一元二次不等式可以先解相应的一元二次方程， 确定抛物线与x轴交点的横坐标， 再根据图象写出不等式的解集． 第一步：解方程5x2 10x 4.8 0，得：x1 0.8, x2 1.2；
问题: 怎样解不等式5x2 10x 4.8 0？
思考（：1）当x是什么实数时，函数y 5x2 10x 4.8的值是：
(1)0 (2)正数 (3)负数
(2)能否画出二次函数 y 5x2 10x 4.8 的图象。 y
(3)能否找出抛物线上纵坐标 y 0 的点？其横坐标应取哪些值？
0 0.8
y 5x2 10x 4.8
有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)
有两相等实根 x1=x2= b 2a
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2}
{x|x≠
b
}
2a
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集 {x|x1< x <x2 }
Φ
△<0 y
x O 没有实根
R Φ
例1：解下列不等式：
（1）x2 7x 12 0； （2） x2 2x 3 0； （3）x2 2x 1 0； （4）x2 2x 2 0.
从这题可得出求一元二次不等式的解集的 基本步骤是怎样的？
解一元二次不等式的基本步骤:
(1)化不等式为标准形式:ax2 bx c 0(a 0) 或ax2 bx c （0 a 0)
(2)确定方程ax2 bx c 0 a 0 的根;
一元二次不等式解法专题知识梳理及典型练习题(含答案)(精品范文).doc
【最新整理，下载后即可编辑】一元二次不等式解法专题一.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式Δ＝b 2－4acΔ＞0 Δ＝0 Δ＜0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ＞0)的根有两相异实根x 1，x 2(x 1＜x 2)有两相等实根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c ＞0 (a ＞0)的解集{x |x ＞x 2或x＜x 1} ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠－b 2aRax 2＋bx ＋c ＜0 (a＞0)的解集 {x |x 1＜x ＜x 2}Φ Φ例1 解下列不等式：（1）x x ≥-2414 （2）0822≥+--x x （3）0)3)(2(>-+x x例2 若ax 2＋bx －1＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ＝________，b ＝_____．例3(穿针引线法） 解不等式：(x-1)2(x+1)(x-2)(x+4)<0例4 不等式xx ->+111的解集为（ ）A ．{x|x ＞0}B ．{x|x≥1}C ．{x|x ＞1}D ．{x|x ＞1或x ＝0}解不等式化为＋－＞，通分得＞，即＞，1x 000111122----xx x x x∵x 2＞0，∴x－1＞0，即x ＞1．选C ． 例5 与不等式023≥--xx 同解得不等式是（ ）A ．(x －3)(2－x)≥0 B．0＜x －2≤1C ．≥230--x xD ．(x －3)(2－x)≤0练习1：1．不等式x 2－3x ＋2＜0的解集为( )．A ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞)B ．(－2，－1)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(1,2)答案 D2．(2011·广东)不等式2x 2－x －1＞0的解集是( )．A.⎝⎛⎭⎪⎪⎫－12，1 B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞)故原不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞)． 答案 D3．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( )． A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠－13 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－13 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |－13≤x ≤13D ．R答案 B4．若不等式ax 2＋bx －2＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |－2＜x ＜14，则ab ＝( )．A ．－28B ．－26C ．28D ．26答案 C5.函数f (x )＝2x 2＋x －3＋log 3(3＋2x －x 2)的定义域为________． 解析依题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋x －3≥0，3＋2x －x 2＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－32或x ≥1，－1＜x ＜3.∴1≤x ＜3.故函数f (x )的定义域为[1,3)．答案 [1,3) 6.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x ＜0，解不等式f (x )＞3.[审题视点] 对x 分x ≥0、x ＜0进行讨论从而把f (x )＞3变成两个不等式组． 解由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2＋2x ＞3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，－x 2＋2x ＞3，解得：x ＞1.故原不等式的解集为{x |x ＞1}．例不等式＜的解为＜或＞，则的值为7 1{x|x 1x 2}a axx -1A aB aC aD a ．＜．＞．＝．＝－12121212分析可以先将不等式整理为＜，转化为 0()a x x -+-111[(a －1)x ＋1](x －1)＜0，根据其解集为{x|x ＜1或x ＞2}可知－＜，即＜，且－＝，∴＝．a 10a 12a 1112a - 选C ．例解不等式≥．8 237232x x x -+- 解 先将原不等式转化为3723202x x x -+--≥即≥，所以≤．由于＋＋＝＋＋＞，---+-+++-2123212314782222x x x x x x x x 002x x 12(x )022∴不等式进一步转化为同解不等式x 2＋2x －3＜0，即(x ＋3)(x －1)＜0，解之得－3＜x ＜1．解集为{x|－3＜x ＜1｝． 说明：解不等式就是逐步转化，将陌生问题化归为熟悉问题． 练习21.(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0．2.解下列不等式(1);22123+-≤-x x 127314)2(22<+-+-x x x x3.解下列不等式1x 5x 2)2(;3x 1x 1+>+-≤-）（4.解下列不等式()()12log 6log 1log )2(;08254)1(21212121≥-++≥+⋅-+x x x x5解不等式1)123(log 2122<-+-x x x ．。
高中数学一元二次不等式的解法 例题解析
一元二次不等式的解法 例题解析解一元二次不等式是不等式部分的重点，要熟练掌握一元二次不等式解法．特别是运用数形结合的思想,通过图像直观求解出不等式的解集,从而避免对知识的死记硬背提高对知识的理解和灵活运用.2则不等式ax+bx+c>0的解集是_______________________. 答案 ),3()2,(+∞⋃--∞分析 利用一元二次函数与一元二次不等式的关系,通过图像直观求解.因为f (－2)=0,f (3)=0,同时二次函数开口向上,故不等式ax 2+bx+c>0的解集是),3()2,(+∞⋃--∞ 例2 解关于x 不等式 0)1(2>++-k x k x分析 解一元二次不等式能因式分解的则分解因式,对含有参数的不等式应对参数讨论. 解 原不等式可化为.0))(1(>--k x x ①当).,1(),(,1+∞⋃-∞∈<k x k 解集为②当),1()1,(0)1(,12+∞⋃-∞∈>-=x x k 解集为不等式为时 ③),()1,(,1+∞⋃-∞∈>k x k 解集为时当.例3 设A={x ｜－2<x<－1或x>1},B={x ｜x 2+ax+b ≤0},已知A ∪B={x ｜x>－2},A ∩B={x ｜1<x≤3},试求ab 的值.分析:作图如下,在本题求解时要正确利用图像分析:同时充分考虑端点情况.解 设B={x ｜c ≤x ≤d},设想集合B 所表示的范围在数轴上移动,显然有且仅有B “覆盖”住集合{x ｜－1<x ≤3}时,才能使A ∪B={x ｜x>－2}且A ∩B={x ｜1<x ≤3} 所以“c ≤－1且d ≥1”并且c ≥－1及d=－3,所以c=－1,d=3. 因此B={x ｜－1≤x ≤3}.根据二次不等式与二次方程的关系可知：－1与3是方程x 2+ax+b=0的两根. 所以a=－(－1+3)=－2,b=(－1)×3=－3.例4 若关于x 的不等式ax 2+bx+c ＜0的解集为{x ｜x<－2或x>－12}.求关于x 的不等式ax 2－bx+c>0的解集.解 由ax 2+bx+c ＜0的解集为{x ｜x<－2或x>－12}知,a ＜0且 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=-)21)(2(212a c a b , 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==125ac a b又由ax 2－bx+c>0可得:x 2－b a x+c a<0, 即x 2－52x+1＜0,故不等式ax 2－bx+c>0的解集为{x ｜12<x<2.}例5 已知关于x 的方程x 2＋(a 2－1)x ＋a －2=0有两个根,且一根比1小, 另一根比1大,求实数a 的取值范围.分析 利用一元二次函数与一元二次方程的关系,设f (x )= x 2＋(a 2－1)x ＋a －2, 一元二次方程式x 2＋(a 2－1)x ＋a －2=0的一根比1小, 另一根比1大等价于f (1)＜0. 解 设f (x )= x 2＋(a 2－1)x ＋a －2, 令f (1)＜0.则1＋a 2－1＋a －2＜0 即a 2－a －2＜0所以实数a 的取值范围是(－2,1)例6 解关于x 的不等式ax 2－2(a+1)x+4＞0.分析 按照参数a 的取值可分为a ≠0和a=0两种情形.当a ≠0时,该不等式是关于x 的一元二次不等式;当a=0时,该不等式为一元一次不等式, 影响一元二次不等式的解集的因素有:(1)它所对应的二次函数图像的开口;(2)对应的一元二次方程的根的判别式;(3)一元二次方程根的大小.综合上述因素,二次项系数a 与0的大小,判别式∆=4(a －1)2与0的大小及∆>0时,一元二次方程的两根之差x 1－x 2=2－2a与0的大小,即a 与0、1的大小关系是参数a 分类的标准,称0与1为参数的分界点.而0,1两个分界点分数轴为三个部分,所以该题应分为a ＜0,a=0,0＜a ＜1,a=1及a ＞1等五种情况讨论.解 (1)若a<0,则2a <2,原不等式的解集为 {x ｜2a<x<2};(2)若a=0,则有 －2x+4>0,得原不等式的解集为 {x ｜x<2};(3)若0<a<1,则2a >2,得原不等式的解集为 {x ｜x>2a或x<2};(4)若a=1,则有x 2－4x+4>0,得原不等式的解集为 {x ｜x ∈R 且x ≠2};(5)若a>1,则2a <2,得原不等式解集为 {x ｜x>2或x<2a}.点评 在确定分类标准,写出不等式解集之后,往往容易漏掉一些情况,如参数分界点处的取值,这样分类是不完整的.例7设若满足2x 2－9x ＋a ＜0的任意x 的值至少满足x 2－4x ＋3＜0和x 2－6x ＋8＜0中的一个,求实数a 的取值范围.分析 利用一元二次函数与一元二次不等式的关系,设f (x )= x 2＋(a 2－1)x ＋a －2, 一元二次不等式x 2＋(a 2－1)x ＋a －2＞0的一根比1小, 另一根比1大等价于f (1)＜0. 解 ∵A={x ｜x 2－4x ＋3＜0}=(1,3) ,B={x ｜x 2－6x ＋8＜0}=(2,4)∴A ∪B=(1,4),C={x ｜2x 2－9x ＋a ＜0},由题意C ⊆A ∪B(C ≠∅)记f (x)=2x 2－9x ＋a, ⎩⎨⎧ f (1) ≥0 f (4) ≥04491<--<△=81－8a ＞0⇒8817<≤a 所以实数a 的取值范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡881,7 例8 若一元二次不等式022>++a x x(1) 在区间的),(+∞-∞上恒成立，试求实数a 的取值范围; (2)在区间的),1[+∞上恒成立，试求实数a 的取值范围．分析 利用一元二次函数的图象 .解 (1) 要使一元二次不等式022>++a x x 对一切实数恒成立,只要一元二次函数a x x y ++=22的图象永远在x 轴上方,故∆＜0,即22－4a ＜0,故a ＞1.(2) 要使一元二次不等式022>++a x x 在区间的),1[+∞上恒成立, 设),1[,22+∞∈++=x a x x y ，1)1(222-++=++=a x a x x y ，∴当1=x 时，a y +=3min ， 于是当且仅当03min >+=a y 时，函数0)(>x f 恒成立，故3->a例9已知x 2+2(a －2)x+4＞0对一切x ∈[－3,1]恒成立,求实数a 取值范围. 分析 利用一元二次函数的图象以及对于参数a 讨论.解 因为f(x)=x 2+2(a －2)x+4的图像的对称轴方程为x =2－a,要使f (x)>0在x ∈[－3,1]上恒成立,则⎩⎪⎨⎪⎧2－a <－3 f (－3)>0 或⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2－a ≤1 f (2－a )>0△<0 或⎩⎪⎨⎪⎧2－a >1f (1)>0解得－12<a <4.点评:定义域区间不是一切实数,所以必须借助于图像.如图所示.。
一元二次不等式及解法知识梳理及典型练习试题(附含答案解析)(最新整理)
不等式.
(2)使某个一元二次不等式成立的 x 的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等
式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________.
(3)一元二次不等式的解：
函数与不等式
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
一元次方程 ax2＋bx＋c＝0
(a＞0)的根
当 a≠0 时，ax2＋(a－2)x－2＝0 的两根为－1，，所以当 a＞0 时， a
[ ) 2
解集为(－∞，－1]∪ ，＋∞ ； a
[ ] 2
当－2＜a＜0 时，解集为 ，－1 ； a
当 a＝－2 时，解集为{x|x＝－1}；
[ ]2
当 a＜－2 时，解集为 －1， . a
类型五 分式不等式的解法
的形式.
g（x）
(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：
Error! ⇔ f(x)g(x)＞0；
f（x）
＜0 g（x）
⇔
f(x)g(x)＜0；
{ ) f（x）
≥0 g（x）
⇔
f（x）g（x） ≥ 0， g（x） ≠ 0；
f（x）
≤0 g（x）
⇔
{ ) f（x）g（x） ≤ 0， g（x） ≠ 0.
b
{ ) { ) － ＝2＋3， a
b＝－5a，
c
即 c＝6a，
a＝2 × 3，
a＜0.
a＜0.
代入不等式 cx2－bx＋a＞0，得 6ax2＋5ax＋a>0(a＜0).
即 6x2＋5x＋1＜0，
{ } 1
1
∴所求不等式的解集为 x|－ ＜x＜－ .
2
3
高三数学专题一元二次不等式含例题讲解
例4 已知不等式mx2－2x－m＋1<0. (1)若对于所有的实数x不等式恒成立，求m的取 值范围； (2)设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立， 求x的取值范围．
【思路点拨】 (1)关于 x 的不等式 mx2－2x－m＋
1<0
恒成立，则m<0， Δ<0.
(2)从形式上看，这是一个关于 x 的一元二次不等式，
答案：{x|x≥ 2－1}
5．若关于 x 的不等式－21x2＋2x>mx 的解集是 {x|0<x<2}，则实数 m 的值是________．
答案：1
考点探究•挑战高考
考点突破
一元二次不等式及简单高次不等式的解法
解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先 化为正，再求出对应的一元二次方程的根，然后 结合相应的二次函数的图像写出不等式的解集， 对于分式不等式要等价转化为整式不等式再求 解．
(2)知道一元二次不等式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋ c<0的解集也可以写出对应方程的根．(如课前热 身5) 3．数形结合：利用二次函数y＝ax2＋bx＋c的图 像可以一目了然地写出一元二次不等式ax2＋bx＋ c>0或ax2＋bx＋c<0的解集．(如例1)
4．解含参数的不等式时，必须注意参数的取值 范围，并在此范围内对参数进行分类讨论．分 类的标准是通过理解题意(例如能根据题意挖掘 出题目的隐含条件)，根据方法(例如利用单调性 解题时，抓住使单调性发生变化的参数值)，按 照解答的需要(例如进行不等式变形时，必须具 备的变形条件)等方面来决定，一般都应做到不 重复、不遗漏．(如例2)
根据题意，有210x＋1180x2>39.5， 移项整理，得 x2＋9x－7110>0， 显然 Δ>0，方程 x2＋9x－7110＝0 有两个实数根， 即 x1≈－88.94，x2≈79.94. 所以不等式的解集为{x|x<－88.94 或 x>79.94}． 在这个实际问题中，x>0， 所以这辆汽车刹车前的速度大于 79.94 km/h.
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《一元二次不等式及其解法》典型例题透析类型一：解一元二次不等式 例1. 解下列一元二次不等式（1）250x x -<； （2）2440x x -+>； （3）2450x x -+-> 思路点拨: 转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答. 解析：（1）方法一：因为2(5)410250∆=--⨯⨯=>所以方程250x x -=的两个实数根为：10x =，25x =函数25y x x =-的简图为：因而不等式250x x -<的解集是{|05}x x <<.方法二：250(5)0x x x x -<⇔-<050x x >⎧⇔⎨-<⎩ 或050x x <⎧⎨->⎩解得05x x >⎧⎨<⎩ 或 05x x <⎧⎨>⎩，即05x <<或x ∈∅.因而不等式250x x -<的解集是{|05}x x <<.（2）方法一：因为0∆=，方程2440x x -+=的解为122x x ==.函数244y x x =-+的简图为：所以，原不等式的解集是{|2}x x ≠方法二：2244(2)0x x x -+=-≥（当2x =时，2(2)0x -=） 所以原不等式的解集是{|2}x x ≠（3）方法一：原不等式整理得2450x x -+<.因为0∆<，方程2450x x -+=无实数解， 函数245y x x =-+的简图为：所以不等式2450x x -+<的解集是∅. 所以原不等式的解集是∅.方法二：∵2245(2)110x x x -+-=---≤-<∴原不等式的解集是∅.总结升华：1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；2. 当0∆≤时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当0∆>且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）.3. 当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答. 举一反三：【变式1】解下列不等式(1) 22320x x -->；(2) 23620x x -+-> (3) 24410x x -+≤； (4) 2230x x -+->. 【答案】（1）方法一：因为2(3)42(2)250∆=--⨯⨯-=> 方程22320x x --=的两个实数根为：112x =-，22x = 函数2232y x x =--的简图为：因而不等式22320x x -->的解集是：1{|2}2x x x <->或.方法二：∵原不等式等价于21)(2)0x x +->（, ∴ 原不等式的解集是：1{|2}2x x x <->或. （2）整理，原式可化为23620x x -+<,因为0∆>,方程23620x x -+=的解1313x =-2313x =+，函数2362y x x =-+的简图为：所以不等式的解集是33(1,1)33-+. （3）方法一：因为0∆=方程24410x x -+=有两个相等的实根：1212x x ==， 由函数2441y x x =-+的图象为：原不等式的的解集是1{}2.方法二：∵ 原不等式等价于：2(21)0x -≤, ∴原不等式的的解集是1{}2. （4）方法一：因为0∆<，方程2230x x -+-=无实数解， 由函数223y x x =-+-的简图为：原不等式的解集是∅.方法二：∵2223(1)220x x x -+-=---≤-<，∴ 原不等式解集为∅.【变式2】解不等式：2666x x -≤--< 【答案】原不等式可化为不等式组226666x x x x ⎧--<⎪⎨-≤--⎪⎩ ，即221200x x x x ⎧--<⎪⎨-≥⎪⎩，即(4)(3)0(1)0x x x x -+<⎧⎨-≥⎩， 解得3410x x x -<<⎧⎨≥≤⎩或∴原不等式的解集为{|3014}x x x -<≤≤<或.类型二：已知一元二次不等式的解集求待定系数例2. 不等式20x mx n +-<的解集为(4,5)x ∈，求关于x 的不等式210nx mx +->的解集。
思路点拨:由二次不等式的解集为(4,5)可知：4、5是方程20x mx n +-=的二根，故由韦达定理可求出m 、n 的值，从而解得.解析：由题意可知方程20x mx n +-=的两根为4x =和5x =由韦达定理有45m +=-，45n ⨯=- ∴9m =-，20n =-∴210nx mx +->化为220910x x --->，即220910x x ++<(41)(51)0x x ++<，解得1145x -<<-，故不等式210nx mx +->的解集为11(,)45--.总结升华：二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键。
举一反三：【变式1】不等式ax 2+bx+12>0的解集为{x|-3<x<2}，则a=_______, b=________。
【答案】由不等式的解集为{x|-3<x<2}知a<0，且方程ax 2+bx+12=0的两根为-3，2。
由根与系数关系得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-=-=+-=-62)3(a12123ab解得a=-2, b=-2。
【变式2】已知220ax x c ++>的解为1132x -<<,试求a 、c ,并解不等式220cx x a -+->.【答案】由韦达定理有：11232a -+=-，1132ca-⋅=，∴12a =-,2c =. ∴代入不等式220cx x a -+->得222120x x -++>， 即260x x --<，(3)(2)0x x -+<，解得23x -<<， 故不等式220cx x a -+->的解集为：(2,3)-.【变式3】已知关于x 的不等式20x ax b ++<的解集为(1,2)，求关于x 的不等式210bx ax ++>的解集.【答案】由韦达定理有：1212a b -=+⎧⎨=⨯⎩，解得32a b =-⎧⎨=⎩, 代入不等式210bx ax ++>得22310x x -+>，即(21)(1)0x x -->，解得12x <或1x >.∴210bx ax ++>的解集为：1(,)(1,)2-∞+∞.类型三：二次项系数含有字母的不等式恒成立恒不成立问题例3．已知关于x 的不等式(m 2+4m-5)x 2-4(m-1)x+3>0对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围。
思路点拨:不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R ，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。
解析：(1)当m 2+4m-5=0时，m=1或m=-5若m=1，则不等式化为3>0, 对一切实数x 成立，符合题意。
若m=-5，则不等式为24x+3>0，不满足对一切实数x 均成立，所以m=-5舍去。
(2)当m 2+4m-5≠0即 m≠1且m≠-5时，由此一元二次不等式的解集为R 知，抛物线y=(m 2+4m-5)x 2-4(m-1)x+3开口向上，且与x 轴无交点，所以⎪⎩⎪⎨⎧<-+--=∆>-+0)5m 4m (12)1m (1605m 4m 222，即⎩⎨⎧<<-<>19m 15m 1m 或， ∴ 1<m<19。
综上所述，实数m 的取值范围是{m|1≤m<19}。
总结升华：情况(1)是容易忽略的，所以当我们遇到二次项系数含有字母时，一般需讨论。
举一反三：【变式1】 若关于x 的不等式2(21)10mx m x m -++-≥的解集为空集，求m 的取值范围.【答案】关于x 的不等式2(21)10mx m x m -++-≥的解集为空集 即2(21)10mx m x m -++-<的解集为R当0m =时，原不等式为：10x --≥，即1x ≤-，不符合题意，舍去. 当0m ≠时，原不等式为一元二次不等式，只需0m <且0∆<，即2(21)4(1)00m m m m ⎧+--<⎨<⎩，解得18m <-，综上，m 的取值范围为：1(,)8m ∈-∞-.【变式2】若关于x 的不等式2(21)10mx m x m -++-≥的解为一切实数，求m 的取值范围.【答案】当0m =时，原不等式为：10x --≥，即1x ≤-，不符合题意，舍去.当0m ≠时，原不等式为一元二次不等式，只需0m >且0∆≥，即2(21)4(1)00m m m m ⎧+--≥⎨>⎩，解得0m >，综上，m 的取值范围为：(0,)m ∈+∞.【变式3】若关于x 的不等式2(21)10mx m x m -++-≥的解集为非空集，求m 的取值范围.【答案】当0m =时，原不等式为：10x --≥，即1x ≤-，符合题意.当0m >时，原不等式为一元二次不等式，显然也符合题意 当0m <时，只需0∆≥，即2(21)4(1)00m m m m ⎧+--≥⎨<⎩，解得108m -≤<，综上，m 的取值范围为：1[,)8m ∈-+∞.类型四：含字母系数的一元二次不等式的解法例4．解下列关于x 的不等式 （1）x 2-2ax ≤-a 2+1；（2）x 2-ax+1>0；（3）x 2-(a+1)x+a<0； 解析：(1) 22210[()1][()1]011x ax a x a x a a x a -+-≤⇒---+≤⇒-≤≤+∴原不等式的解集为{|11}x a x a -≤≤+。
(2) Δ=a 2-4当Δ>0，即a>2或a<-2时，原不等式的解集为}2424|{22--<-+>a a x a a x x 或当Δ=0，即a=2或-2时，原不等式的解集为{|}2a x x ≠。
当Δ<0，即-2<a<2时，原不等式的解集为R 。
（3）(x-1)(x-a)<0当a>1时，原不等式的解集为{x|1<x<a} 当a<1时，原不等式的解集为{x|a<x<1} 当a=1时，原不等式的解集为Φ。