结构动力学3-2w

1 [1 ( / n ) 2 ] 2 [ 2 ( / n )] 2

1
1 2 2 1
2
(a)
上振幅值等于1/√2倍最大振 幅的点所对应的两个频率点。
证明：

1 /√ 2 倍 最 大 振 幅 最大振幅
对式 (a)两边同时取倒数、并开平方，整理后得：
(
4
3
b a 2n
ES
p ( t )udt
f du
s
2 /
0
dt ( ku )u
( p0 sin t )[ u0 cos( t )]dt

2 /
0
k [u 0 sin( t ) ][ u 0 cos( t )]dt 0
p0 u0 sin 2 (
fD fs + fD ku0 u >0 cωu0
加载 u >0
f u ( )2 ( D )2 1 u0 c u 0
证明： 椭圆面积： S D ab (u0 )(cu0 )
[u0 cos(t )]2 dt
2 cu0 2 (
2 ) ku0 n
2 c 2n m 2 n ( k / n ) 2 k / n
u (t性阻尼引起的能量耗散与振幅u0的平方成正比, 与阻尼比和外荷载的频率成正比。 18
3.4 体系的阻尼和 振动过程中的能量
E0
1 1 (0)]2 k [u (0)]2 m[u 2 2
任意t时刻体系的总能量:
E EK ES
EK—质点的动能； ES —弹簧的应变能。 1 1 (t )]2 Ek m[u Es k[u (t )]2 2 2
13 14
3.4.1 自由振动过程中的能量 无阻尼体系中的能量:
3.4.2、粘性阻尼体系的能量耗散 u(t ) u0 sin(t ) （2）外力做的功EI （I—Input)
E I p ( t ) du
2 / 0 2 / 0
3.4.2、粘性阻尼体系的能量耗散 u (t ) u0 sin(t ) （3）弹性力的功 ES
2
(3.60)
b a b a
式 (c)取正号时对应数值较大的根 ωb，负号对应较小的根 ωa 。一般的工程结构，阻尼比 较小，式 (c)中 ζ 的平方项可忽略，因此
率点对应的两个频率。
2ζ＝半带宽
1
1 2 1 n
则对应于半功率点的两个根为：
0 0.0
19
)u dt (mu
m[ 2u0 sin(t )][u0 cos(t )]dt 0
2 )ku0 n
可见在简谐振动中的一个循环内，弹性力和惯性力做功 均等于零，而由阻尼耗散的能量等于外力做的功。
20
5
3.4.3 等效粘性阻尼
(1) 粘性阻尼是一种理想化的阻尼，具有简单和便 于分析计算的优点。 (2) 工程中结构的阻尼源于多方面，其特点和数学 描述更为复杂，这时可以将复杂的阻尼在一定 的意义上等效成粘性阻尼。 (3) 一般采用基于能量等效的原则。 (4) 阻尼耗散能量的大小可以用阻尼力的滞回曲线 反映。
E D f D du c
2 / 0 2 / 0
)u dt (cu
2 /
0
2 dt cu
ED — 阻尼引起的能量耗散，即阻尼力做的功； EI — 外力做的功； ES — 弹性力做的功； EK — 惯性力做的功。
在简谐荷载p(t)作用下，SDOF的位移为：
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
频率比ω/ωn
a b 2n
a b b a
f fa b 2 fn
f f b a fb f a
9
(3.61)
b 1 n
,
a 1 n
(d)
由式 (d)得到半功率点频率 ω b 和 ω a 与阻尼比 ζ 的关系，
主要内容：
结构动力学
教师：刘晶波 助教：王东洋
用简谐振动试验确定体系的粘性阻尼比
共振放大法 半功率点法 (半功率带宽法)
体系的阻尼和振动过程中的能量 ：
自由振动过程中的能量 粘性阻尼体系的能量耗散 等效粘性阻尼 滞变阻尼(复阻尼)理论
振动的测量
清华大学土木工程系 2015年秋
1
加速度计(强震仪) 位移计(地震仪)
6
ζ=0.01 ζ=0.1
5
ζ=0.1
4
4
3
u st 1 2 Rd ( n ) 2u 0 ( n )
2
ζ=0.2
u 1 st 2( Rd ) max 2u0 m
ζ =0.5
2 3
3
2
ζ=0.2
1
ζ=0.8 ζ=1
0 0 1
ζ=0.5
2 3
1
ζ =0.8 ζ =1
0 0 1
16
无阻尼体系自由振动过程中的总能量守恒，不随 时间变化，等于初始时刻输入的能量。 15
4
3.4.2 粘性阻尼体系的能量耗散
SDOF体系在简谐力 p(t)=p0sint 作用下，在一个振 动循环内的能量耗散记为：
3.4.2、粘性阻尼体系的能量耗散 u (t ) u0 sin(t ) （1）阻尼引起的能量耗散ED
8
2
3.3.6 用强迫振动试验确定体系的阻尼比 2、半功率点法 (半功率带宽法) 半功率点：动力放大系数Rd
位 移 放 大 系 数 Rd
5
半功率带宽法 (半功率点法)
由 R d 可知， Rd 的最大值。 ( R d ) max 率满足以下方程：
1 2 1
2
。而振幅等于
1 2
倍 (Rd)max 对应的频
隔振（震）原理
力的传递和隔振 基底振动的隔离
2
结构动力学
3.3.6 用简谐振动(强迫振动)试验 确定体系的粘性阻尼比
动 力 放 大 系 数 R d = u 0 / u st
第3章 单自由度体系
可以用自由振动方法求阻 尼比 的原因是由于自振 衰减的快慢由 控制，或 说衰减规律可以明显反应 出阻尼比的影响。 而动力放大系数同样受 控制，Rd曲线形状可以反 映出 的影响，其影响主 要有两点：
fD cωu0
粘性阻尼力 滞回曲线
u >0
u0 u <0
u
22
3.4.3 等效粘性阻尼
1.阻尼力的滞回曲线
f D c u0 u 2 (t )
2
3.4.3 等效粘性阻尼
1. 阻尼力的滞回曲线
对粘性阻尼力的滞回曲线整理可以得到： 粘性阻尼力 的滞回曲线 是一椭圆
抗力曲线：fD+ fs—u曲线。fD+ fs有时称为抗力。
6
ζ=0.01 ζ=0.1
5
4
3
2
ζ=0.2
1
ζ=0.8 ζ=1
0 0 1
ζ=0.5
2 3
频率比 ω/ωn
(1)峰值的大小，
3
(2)曲线的胖瘦。
4
1
3.3.6 用强迫振动试验确定体系的阻尼比
(1)峰值的大小，(2)曲线的胖瘦。
6
动 力 放 大 系 数 R d = u 0 / u st
4
[1 ( / n ) 2 ] 2 [2 ( / n )]2
动力放 大系数 R d=u 0/u st
利用体系对简谐荷载反 应的结果 也可以得到 体系的阻尼比。 有两种主要方法： 共振放大法 和 半功率带宽法 其原理均是基于对动力 放大系数Rd的分析。
ζ=0.01 ζ=0.1
3.3.6 用强迫振动试验确定体系的阻尼比 1、共振放大法 根据动力放大系数Rd :
Rd 1
0 0 1
频率比 ω/ωn

5
u st 1 2 Rd ( n ) 2u 0 ( n )
6
3.3.6 用强迫振动试验确定体系的阻尼比 ζ 1、共振放大法
6
=0.01
动力放大系数Rd=u0/ust
大 系 数Rd=u0/ust 动 力 放
5
3.3.6 用强迫振动试验确定体系的阻尼比 1、共振放大法
b a 2 n
由此得到式（4.34） (3.60)。若再用式 (d)得关系
(e)
b a 2 ，代入式 (e)，又得到式（4.35） (3.61)。 n 10
三种阻尼比的测量方法
前面学习了三种测量结构阻尼的方法： (1)对数衰减率法 (2)共振放大法 (3)半功率带宽法 虽然是针对单自由度体系推导的，但对多自由度 体系同样适用。
) ku0 2 n
（4）惯性力的功 EK (Kinetic)
EK f I du
2 / 0 2 / 0
sin ( 2
2 E D cu 0 2 (
u ) Rd 2 ( ) 0 n p0 / k n
外力做的功：EI (=0,=n)=0 ?
频率比
ω /ω n
频率比
由于从动力放大曲线定u0(n)不容易，一般用u0m代替，
ω /ω n
u0m=max(u0)
则:

1 u st 2( Rd ) max 2u0 m
7
用共振放大法确定体系的阻尼比，方法简单。但实际工 程中测得的动力放大系数曲线一般以u0－图给出，用 以上公式计算阻尼比时，还需得到零频时的静位移值 ust，实际测量静载位移无论从加载设备和记录(拾振)设 备都有一定的困难，即实现动力加荷和测量动力信号 的设备不能在零频率时工作。因此工程中往往采用半 功率点法(半功率带宽法) 从动力试验中得到阻尼比 。