平方根和立方根、二次根式
二次根式知识点及典型例题(含答案)
4、不会比较根式的大小5、不会利用二次根式的非负性6、对最简二次根式的条件掌握不牢八、经典例题例1、求下列各数的平方根与算术平方根（ ）A.36B.81121 C.2-（5） D.41【答案】A.2=36±（6）∴36的平方根为6±，即6± ∴36的算术平方根为6，即B.2981=11121±（）∴81121的平方根为911±，即911±∴81121的算术平方根为911，即911 C.25=25±（）∴2-（5）的平方根为5±，即5± ∴2-（5）的算术平方根为5，即D.()241=41±∴41的平方根为 ∴41【解析】一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，解答本题注意解题步骤的规范书写，不是完全平方数的正数，它的平方根只能用含有根号的形式表示．练习1、计算：（1 （2）【答案】（1）211=121（2）20.9=0.810.9±表示121的算术平方根，表示0.81的平方根，、的意义是解答本题的关键例2、如果一个正数的平方根为3a-5和2a-10，求这个正数【答案】由题意得，3a-5+2a-10=0得a=3∴3a-5=4∴这个数为24=16【解析】一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，而互为相反数的两个数相加为0，故(3a-5)+(2a-10)=0.求出a后，可知3a-5与2a-10的值，在考虑哪个正数的平方根是3a-5,2a-10的值即可。
练习1、x为何值时，下列各式有意义。
【答案】解：A.10x-≥，即1x≥有意义B.10x-≥且0x≥，即01x≤≤有意义C.10x+>，即1x>-D.230x+≥，即x都有意义【解析】a≥例3、【答案】解252736<<<<即56<<的整数部分是5【解析】处在哪两个完全平方数之间.例4、:x y【答案】解：33y-1和互为相反数3y-1∴和1-2x互为相反数3y-1+1-2x=0∴:=3:2x y∴互为相反数，则a和b互为相反数，所以本题中3y-1与1-2x 互为相反数例5、实数0.5的算术平方根等于（）.D.1 2【答案】C【解析】理解算术平方根的意义，把二次根式化成最简形式是解答本题的关键.例6、的算术平方根是（）A. 4±B. 4C. 2±D. 2【答案】D【解析】4的算术平方根，4的算术平方根为2.例7、根据下列运算正确的是（）3=2 C. (x+2y)2=x2+2xy+4y2 D. A.x6+x2=x3 B.√−8√18−√8=√2【答案】解：A、本选项不能合并，错误；3=-2，本选项错误；B、√-8C、（(x+2y)2=x2+2xy+4y2，本选项错误；D、√18-√8=3√2-2√2=√2，本选项正确．故选D【解析】此题考查了完全平方公式，合并同类项，以及负指数幂，幂的乘方，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．例8、）【答案】B综合练习简单1. 式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．<1 B．≥1 C．≤－1 D．<－1【答案】B【解析】由二次根式的意义，知：x－1≥0，所以x≥1.2.如果代数式有意义，那么x的取值范围是（）A．x≥0 B．x≠1 C．x＞0 D．x≥0且x≠1【答案】D解：根据题意得：x≥0且x﹣1≠0．解得：x≥0且x≠1．故选D．【解析】代数式√x有意义的条件为：x﹣1≠0，x≥0．即可求得x的范围．x-13.要使式子2-x有意义，则x的取值范围是（）A．x＞0 B．x≥﹣2 C．x≥2 D．x≤2【答案】D解：根据题意得，2﹣x≥0，解得x≤2．【解析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．4. 下列计算正确的是（）=√2 D.3+2√2=5√2 A.4√3-3√3=1 B.√2+√3=√5 C.2√12【答案】C【解析】 A、4√3-3√3=√3，原式计算错误，故本选项错误；B、√2与√3不是同类二次根式，不能直接合并，故本选项错误；=√2，计算正确，故本选项正确；C、2√12D、3+2√2≠5√2，原式计算错误，故本选项错误；根据二次根式的化简及同类二次根式的合并，分别进行各选项的判断即可．5. 若，则＝【答案】6【解析】原方程变为：，所以，，由得：＝3，两边平方，得：＝7，所以，原式＝7－1＝6中等题1.结果是。
小学六年二次根式与立方根的运算方法总结
小学六年二次根式与立方根的运算方法总结根式是数学中的一个重要概念，它在我们的生活中有着广泛的应用。
在小学六年级，我们学习了二次根式和立方根的运算方法，这些方法对我们进一步学习数学奠定了坚实的基础。
本文将对小学六年级二次根式与立方根的运算方法进行总结。
一、二次根式的运算方法二次根式是指具有平方根形式的数，我们可以使用一些简单的方法进行运算。
1. 相同根号下的二次根式相加或相减：当根号下的数相同时，可以直接将系数相加或相减，并保持根号不变。
例如：√3 + √3 = 2√3√5 - √5 = 02. 不同根号下的二次根式运算：当根号下的数不同时，我们需要进行化简。
首先确定能否提取出他们的最大公因数，如果不能，则无法进行运算。
例如：√2 + √3 无法进行化简，所以无法进行相加运算。
3. 二次根式的乘法：二次根式的乘法需要将根号下的数相乘，并且保持根号不变。
例如：√2 * √3 = √64. 二次根式的除法：二次根式的除法需要将分子和分母的根号下的数相除，然后将结果化简。
例如：√10 / √2 = √5二、立方根的运算方法立方根是指一个数的立方等于该数本身时的那个数。
在小学六年级，我们通常用近似值的方式来计算。
以下是立方根的运算方法：1. 近似法：通过列举一些数的立方，判断该数的立方根的次数，从而逼近结果。
例如：∛8 ≈ 2∛64 ≈ 42. 代入法：通过将一些已知的数代入进行尝试，找到一个接近的数。
例如：∛15 ≈ 2.5∛100 ≈ 4.6三、运算方法应用举例为了更好地理解二次根式和立方根的运算方法，下面我们通过几个例子加深对这些方法的认识。
例子1：计算√8 + √32。
首先，我们发现√8和√32都可以化简。
√8 = 2√2，√32 = 4√2。
所以，√8 + √32 = 2√2 + 4√2 = 6√2。
例子2：计算√27 - √12。
√27 = 3√3，√12 = 2√3。
所以，√27 - √12 = 3√3 - 2√3 = √3。
第12章 数的开方
第12章数的开方§12.1平方根与立方根一、平方根1、平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。
（也叫做二次方根）即：若x2=a，则x叫做a的平方根。
2、平方根的性质：（1）一个正数有两个平方根。
它们互为相反数；（2）零的平方根是零；（3）负数没有平方根。
二、算术平方根1、算术平方根的定义：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。
2、算术平方根的性质：（1）一个正数的算术平方根只有一个为正；（2）零的算术平方根是零；（3）负数没有算术平方根；（4）算术平方根的非负性：a≥0。
三、平方根和算术平方根是记号：平方根±a（读作：正负根号a）；算术平方根a（读作根号a）即：“±a”表示a的平方根，或者表示求a的平方根；“a”表示a的算术平方根，或者表示求a的算术平方根。
其中a叫做被开方数。
∵负数没有平方根，∴被开方数a必须为非负数，即：a≥0。
四、开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。
其实质就是：已知指数和二次幂求底数的运算。
五、立方根1、立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。
（也叫做三次方根）即：若x3=a，则x叫做a的立方根。
2、立方根的性质：（1）一个正数的立方根为正； （2）一个负数的立方根为负； （3）零的立方根是零。
3、立方根的记号：3a （读作：三次根号a ），a 称为被开方数，“3”称为根指数。
3a 中的被开方数a 的取值范围是：a 为全体实数。
六、开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
其实质就是：已知指数和三次幂求底数的运算。
七、注意事项：1、“±a ”、“a ”、“3a ”的实质意义：“±a ”→问：哪个数的平方是a ； “a ”→问：哪个非负数的平方是a ； “3a ”→问：哪个数的立方是a 。
2、注意a 和3a 中的a 的取值范围的应用。
如：若3-x 有意义，则x 取值范围是 。
考点03 二次根式-备战2023届中考数学一轮复习考点梳理(解析版)
考点03 二次根式数学中考中，对二次根式的考察主要集中在对其取值范围、化简计算、坡比的应用几个方面；取值范围类考点多出选择填空等小题，而化简计算则多以简答题形式考察，还常和锐角三角函数、实数概念结合出题，属于中考必考题；考向一、二次根式的相关概念；考向二、二次根式的性质与化简考向三、二次根式的运算；考向四、二次根式的应用考向一：二次根式的相关概念1.平方根与二次根式【易错警示】1．下列式子一定是二次根式的是（ ）A．B．C．D．【分析】直接利用二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式分别分析得出答案．【解答】解：A、，a有可能小于0，故不一定是二次根式，不合题意；B、，若﹣1＜b＜1，a＞1时，无意义，不合题意；C、，（a﹣1）2≥0，故一定是二次根式，符合题意；D、，若﹣1＜a＜1时，无意义，不合题意；故选：C．2．12的平方根为 ± ．【分析】由平方根的概念即可求解．【解答】解：12的平方根为±，故答案为：±．3．的算术平方根是（ ）A．5B．﹣5C．D．【分析】一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．【解答】解：∵＝5，∴的算术平方根是．故选：C．4．若（a +）2与|b ﹣1|互为相反数，则a +b 的值是（ ）A ．B ．+1C ．﹣1D ．1﹣【分析】先根据非负数的性质求出a ，b 的值，进而可得出结论．【解答】解：∵（a +）2与|b ﹣1|互为相反数，∴（a +）2+|b ﹣1|＝0，∴a +＝0，b ﹣1＝0，∴a ＝﹣，b ＝1，∴a +b ＝+1．故选：B ．5．已知n 是一个正整数，且是整数，那么n 的最小值是（ ）A ．6B ．36C ．3D ．2【分析】先把＝2，从而判断出6n 是完全平方数，所以得出答案正整数n 的最小值是6．【解答】解：＝2，则6n 是完全平方数，∴正整数n 的最小值是6，故选：A ．2..同类二次根式与最简二次根式【易错警示】、都是二次根式。
平方根、立方根、二次根式的性质及运算复习课
A. 2X-1
B. -2X-1
C.
3
D.
-3
4. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简
ab a
A. 2b-a
2
的结果是（ C ） b C. -b D.
b
o a
B.
-2a+b
5. 利用有理数来估算无理数的大小 估算 12 3 的值( B ) A. 在5和6之间 B. 在6和7之间 C. 在7和8之间 D. 在8和9之间
y
3
最简二次根式
不含能开方开得尽的因数或因式的二次根式叫做最简二次根式
下列二次根式中，最简二次根式是（ B ） A. B. C. x y D. 2
9x
x 3
x
3a b
2
同类二次根式：
下列二次根式中与
A.
ห้องสมุดไป่ตู้
3 不是同类二次根式的是（
C）
27
B.
1 12
C.
1 1 2
D.
1 3
二次根式运算： 二次根式的加、减 乘、除
平方根、立方根、二次根 式的性质及运算复习课
\
知识点
平方根、算术根 立方根 二次根式
a (a 0)
二次根式的性质
（ a ) 2 _____; ( a _____
2
ab _____ a ____ b
巩固练习
16的平方根是 ______; 4
27的立方根是 _________; 3 16的算术平方根是 _____; 2 2 ) 2的平方根是 ____;
1 2 0 1. （ 1 ） （ 3 ） 3.14 ） sin 60 （ 2 2
2.
数的开方、二次根式复习
值范围常转化为不等式（组）.
二 二次根式的非负性的应用
1.已知： x 4 + 2x y =0,求 x-y 的值.
解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0 解得 x=4,y=-8
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12 2.已知x,y为实数,且 x 1 +3(y-2)2 =0,则x-y的值为( D )
方法：分母有理化
4．二次根式的运算 a b ＝___a_b__(a≥0，b≥0)；
a b
a ＝__b__(a≥0，b>0)．
二次根式加减时，可以先将二次根式化成_最__简__二__次__根__式__， 再将__被__开__方__数__相__同____的二次根式进行合并．
考点分类
一 确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围
∵16﹤17﹤25
∴4﹤ 17 ﹤5
则 - 5﹤ 17 ﹤- 4 所以b = - 4
∴a – b = 5 - ( - 4 ) = 9 a – b的平方根为±３
知识梳理
二 次 根 式
二次根式
三个概念 最简二次根式
两个公式
两个性质 四种运算
同类二次根式
1. ab a ba 0,b 0
4、实数与数轴：
知 识
无限不循环小数叫做无理数。
如：2，3，5，，3 2，3 3 ,2.030030003……等。
要 5.有理数与无理数统 有理数有限小数或无限循环小数
实数
负有理数
无理数负正无无理理数数无限不循环小数
A.3
B.-3
C.1
D.-1
二 二次根式的非负性的应用
4. 若实数 x，y，m 满足等式 3x 5y 3 m +（2x+3y﹣m）2=
第5讲 二次根式(解析版)
第5讲 二次根式一、考点知识梳理【考点1 二次根式的概念和性质】 1．平方根、算术平方根若x 2＝a ，则x 叫a 的平方根．当a≥0时，a 是a 的算术平方根．正数b 的平方根记作± b.a 是一个非负数，只有非负数才有平方根． 2．立方根及性质若x 3＝a ，则x 叫a 的立方根．求一个数的立方根的运算叫开立方；任一实数a 的立方根记作3a ；3a 3＝a ，(3a)3＝a ，3－a ＝－3a ． 3．二次根式的概念(1)形如a(a≥0)的式子叫二次根式，而a 为二次根式的条件是a≥0； (2)满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式： ①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式． 4．二次根式的性质 (1)ab ＝a·b(a≥0，b≥0)；a b ＝ab(a≥0，b ＞0)； (2)(a)2＝a(a≥0)； (3)a 2＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧ a （a≥0）－a （a ＜0）.【考点2 二次根式的运算】 二次根式的运算(1)二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并； (2)二次根式的乘法：a·b ＝ab(a≥0，b≥0)； (3)二次根式的除法：ba =ba(a≥0，b ＞0)； (4)二次根式的估值：二次根式的估算，一般采用“夹逼法”确定其值所在范围．具体地说，先对二次根式平方，找出与平方后所得的数相邻的两个能开得尽方的整数，对其进行开方，即可确定这个二次根式在哪两个整数之间；(5)在二次根式的运算中，实数的运算性质和法则同样适用．二次根式的混合运算顺序是：先算乘除，后算加减，有括号时，先算括号内的(或先去括号)． 二、考点分析【考点1 二次根式的概念和性质】 【解题技巧】1.判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如（a ≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．2.二次根式的基本性质：①≥0； a ≥0（双重非负性）．②a ＝ （a ≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．③＝a （a ≥0）（算术平方根的意义）【例1】（2019 甘肃中考）使得式子有意义的x 的取值范围是（ ）A ．x ≥4B ．x ＞4C ．x ≤4D ．x ＜4【答案】D ．【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案． 【解答】解：使得式子有意义，则：4﹣x ＞0，解得：x ＜4，即x 的取值范围是：x ＜4． 故选：D ．【一领三通1-1】（2019•广西）若二次根式有意义，则x 的取值范围是 ．【答案】x ≥﹣4；【分析】根据被开数x +4≥0即可求解； 【解答】解：x +4≥0， ∴x ≥﹣4； 故答案为x ≥﹣4；【一领三通1-2】（2019•广州）代数式有意义时，x 应满足的条件是 ．【答案】x ＞8．【分析】直接利用分式、二次根式的定义求出x 的取值范围． 【解答】解：代数式有意义时，x ﹣8＞0， 解得：x ＞8．()2a ()2a故答案为：x＞8．【一领三通1-3】（2019 台湾中考）若＝2，＝3，则a+b之值为何？（）A．13B．17C．24D．40【答案】B．【分析】根据二次根式的定义求出a、b的值，代入求解即可．【解答】解：∵＝＝2，∴a＝11，∵＝＝3，∴b＝6，∴a+b＝11+6＝17．故选：B．【一领三通1-4】（2016河北中考）关于的叙述，错误的是（）A．是有理数B．面积为12的正方形边长是C．＝2D．在数轴上可以找到表示的点【答案】B．【分析】根据无理数的定义：无理数是开方开不尽的实数或者无限不循环小数或π；由此即可判定选择项．【解答】解：A、是无理数，原来的说法错误，符合题意；B、面积为12的正方形边长是，原来的说法正确，不符合题意；C、＝2，原来的说法正确，不符合题意；D、在数轴上可以找到表示的点，原来的说法正确，不符合题意．故选：A．【一领三通1-5】（2019 山东济南中考模拟）如图，表示7的点在数轴上表示时，在哪两个字母之间()A．C与D B．A与B C．A与C D．B与C【答案】A.【分析】(1)根据平方根的定义和绝对值的性质分别填空即可；(2)主要考查数轴，根据数轴上的点利用平方法，估算7的大致范围，然后结合数轴上点的位置和大小即可得到7的位置．【解答】(1)7是一个正数，它的绝对值大于2；②它的绝对值小于3；③2.5的平方是6.25；故选A【考点2 二次根式的运算】【解题技巧】1.二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．2.化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．3.二次根式运算的结果可以是数或整式，也可以是最简二次根式，如果二次根式的运算结果不是最简二次根式，必须化为最简二次根式．【例2】（2019 江苏南京中考）计算﹣的结果是．【答案】0．【分析】先分母有理化，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可．【解答】解：原式＝2﹣2＝0．故答案为0．【一领三通2-1】计算÷的结果是．【答案】3．【分析】根据二次根式的性质把化简，再根据二次根式的性质计算即可．【解答】解：．故答案为：3【一领三通2-2】（2019 山西中考）下列二次根式是最简二次根式的是（）A．B．C．D．【答案】D．【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【解答】解：解：A、，故A不符合题意；B、，故B不符合题意；C、，故C不符合题意；D、是最简二次根式，故D符合题意．故选：D．【一领三通2-3】（2019 天津中考）估计的值在（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间【答案】D．【分析】由于25＜33＜36，于是＜＜，从而有5＜＜6．【解答】解：∵25＜33＜36，∴＜＜，∴5＜＜6．故选：D．【一领三通2-4】（2019•青岛）计算：﹣（）0＝2+1．【答案】2+1．【分析】根据二次根式混合运算的法则计算即可．【解答】解：﹣（）0＝2+2﹣1＝2+1，故答案为：2+1．【一领三通2-5】（2019•广州中考模拟）如图，每个小正方形的边长为1，把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长是（）A B 2 C D【答案】C【分析】利割补法求阴影部分的面积.【解答】阴影部分的面积5，新正方形的边长为 5.故选：C三、【达标测试】（一）选择题1.（2019 云南中考）要使有意义，则x的取值范围为（）A．x≤0B．x≥﹣1C．x≥0D．x≤﹣1【答案】B．【分析】要根式有意义，只要令x+1≥0即可【解答】解：要使根式有意义则令x+1≥0，得x≥﹣1故选：B．2.（2019 重庆中考）估计（2+6）×的值应在（）A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间【答案】C．【分析】先根据二次根式的乘法进行计算，再进行估算．【解答】解：（2+6）×，＝2+6，＝2+，＝2+，∵4＜5，∴6＜2+＜7，故选：C．3.（2019•兰州）计算：﹣＝（）A．B．2C．3D．4【答案】A．【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可得．【解答】解：﹣＝2﹣＝，故选：A．4.（2019 山东青岛中考模拟）若实数x满足|x﹣3|+＝7，化简2|x+4|﹣的结果是（）A．4x+2B．﹣4x﹣2C．﹣2D．2【答案】A．【分析】根据x的取值﹣4≤x≤3以及二次根式的性质，化简绝对值即可得到结果．【解答】解：∵|x﹣3|+＝7，∴|x﹣3|+|x+4|＝7，∴﹣4≤x≤3，∴2|x+4|﹣＝2（x+4）﹣|2x﹣6|＝2（x+4）﹣（6﹣2x）＝4x+2，故选：A．5.（2019 河北衡水中考模拟）化简﹣a的结果是（）A．﹣2a B．﹣2a C．0D．2a【答案】A．【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出答案．【解答】解：﹣a＝﹣a﹣a2•＝﹣a+a＝0．故选：C．6.（2019 河北沧州中考模拟）若（a+）2与|b﹣1|互为相反数，则的值为（）A．B．+1C．﹣1D．1﹣【答案】C．【分析】根据互为相反数的两个数等于0得出（a+）2+|b﹣1|＝0，推出a+＝0，b﹣1＝0，求出a＝﹣，b＝1，代入求出即可．【解答】解：∵（a+）2与|b﹣1|互为相反数，∴（a+）2+|b﹣1|＝0，∴a+＝0，b﹣1＝0，∴a＝﹣，b＝1，∴＝＝＝﹣1，故选：C．7.（2019 山东青岛中考模拟）已知a为实数，则代数式的最小值为（）A．0B．3C．D．9【答案】B．【分析】把被开方数用配方法整理，根据非负数的意义求二次根式的最小值．【解答】解：∵原式＝＝＝∴当（a﹣3）2＝0，即a＝3时代数式的值最小，为即3故选：B．8.（2019 辽宁盘锦中考模拟）方程，当y＝2时，m的取值范围是（）A．350B．C．O D．m≤2【答案】C．【分析】根据两个非负数的和为0，必须都为0，得出4x﹣8＝0，x﹣y﹣m＝0，求出xy的值，代入即可求出m的值．【解答】解：∵方程，∴4x﹣8＝0，x﹣y﹣m＝0，x＝2，m＝y﹣2，∵y＝2，∴m＝0，故选：C．（二）填空题1.（2019 天津中考）计算（+1）（﹣1）的结果等于．【答案】2．【分析】利用平方差公式计算．【解答】解：原式＝3﹣1 ＝2． 故答案为2．2.（2019 上海中考）如果一个正方形的面积是3，那么它的边长是 ． 【答案】【分析】根据算术平方根的定义解答． 【解答】解：∵正方形的面积是3， ∴它的边长是．故答案为：3.（2019•长春）计算：3﹣＝ ．【答案】2．【分析】直接合并同类二次根式即可求解． 【解答】解：原式＝2．故答案为：2．4.（2019 山东枣庄中考模拟）函数y ,自变量x 的取值范围是 . 【答案】x≥-12且x≠1【分析】二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为0. 【解答】根据题意得⎩⎨⎧≠-≥+01012x x ∴x≥-12且x≠1.故答案是：x≥-12且x≠15. （2019 湖南长沙中考模拟）已知a 、b 为两个连续整数，且a ＜7＜b ，则b a += . 【答案】5.【分析】利用估算求二次根式的范围. 【解答】因为2<7<3, 所以a=2,b=3, ∴a+b=2+3=5. 故答案是：56.（2019 上海中考模拟）方程31x 2=-的根是 ． 【答案】x=5【分析】求根式中的被开方数中的未知数.乘法法则，乘法公式适合于二次根式. 【解答】两边平方，得2x -1=9. ∴2x=10 ∴x=5.经检验x=5是方程2x+1=3的根. 故答案是：x=57.（2019 上海中考模拟）化简：=-321 ．【答案】2+ 3 【分析】化简1a+b形式通常乘以a -b,利用平方差公式(a+b)(a -b)=a -b. 【解答】原式=12-3=1×(2+3)(2-3)( 2+3) =2+322-(3)2 = 2+ 3.故答案是：2+ 38. （2019 河北沧州中考模拟）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：（1）请用不同的方法化简；（2）化简：． 【答案】（1）﹣（2）．【分析】（1）分式的分子和分母都乘以﹣，即可求出答案；把2看出5﹣3，根据平方差公式分解因式，最后进进约分即可． （2）先每一个二次根式分母有理化，再分母不变，分子相加，最后合并即可．【解答】解：（1）．（2）原式＝＝． （三）解答题1.（2019 河北石家庄中考模拟）如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简222()a b a b -【分析】a 2=|a|=⎩⎨⎧<-≥).0(),0(a a a a 【解答】∵-1<a<0,0<b<1∴a -b<0.∴原式=|a|-|b|-|a -b|=-a -b+a -b=-2b.2.（2019 河北唐山中考模拟）先化简,再求值：222344322+-++÷+++a a a a a a a ，其中22-=a ． 【分析】结果的分母应不含根号.先化简，再代入求值，化简时把分子、分母进行因式分解.【解答】当a=2-2时，原式=a(a+3)(a+2)2·a+2a+3-2a+2=a -1a+2=2-2-22-2+2 =2-42=1-2 2. 3. （2019 辽宁沈阳中考模拟）计算：cos45°·(－21)－2－(22－3)0＋｜－32｜＋121 【分析】先把三角函数，负指数、零指数、绝对值及分子分母中的根号等进行化简.a -p =1a p (a≠0,p 为正整数), 1a -b 化简为1a -b =a+b (a -b)(a+b)=a+b a -b. 【解答】原式=22×4-1+32+12-1=22-1+42+2+1=7 2.4.（2019 山东淄博中考模拟）（1）已知a +3与2a ﹣15是一个正数的平方根，求a 的值；（2）已知x ，y 为实数，且y ＝﹣+4，求的值．【分析】（1）直接利用平方根的定义分析得出答案；（2）利用二次根式有意义的条件分析得出答案．【解答】解：（1）根据平方根的性质得，a +3+2a ﹣15＝0，解得：a ＝4，a +3＝2a ﹣15，解得：a ＝18， 答：a 的值为4或18；（2）满足二次根式与有意义，则，解得：x ＝9，∴y ＝4，∴＝+＝5． 5.（2019 湖南长沙中考模拟）阅读材料：小明在学习二次根式的化简后，遇到了这样一个需要化简的式子：．该如何化简呢？思考后，他发现3+2＝1+2+（）2＝（1+）2．于是＝＝1+．善于思考的小明继续深入探索；当a+b＝（m+n）2时（其中a，b，m，n均为正整数），则a+b＝m2+2mn+2n2．此时，a＝m2+2n2，b＝2mn，于是，＝m+n．请你仿照小明的方法探索并解决下列何题：（1）设a，b，m，n均为正整数且＝m+n，用含m，n的式子分别表示a，b时，结果a＝，b＝；（2）利用（1）中的结论，选择一组正整数填空：＝+；（3）化简：．【分析】（1）利用已知直接去括号进而得出a，b的值；（2）取m＝2，n＝1，计算a和b的值，利用完全平方公式，变形得出答案；（3）直接利用完全平方公式，变形化简即可．【解答】解：（1）由题意得：a+b＝（m+n）2，∴a+b＝m2+3n2+2mn，∴a＝m2+3n2，b＝2mn；故答案为：m2+3n2；2mn；（2）取m＝2，n＝1，则a＝m2+3n2＝7，b＝2mn＝4，7+4＝（2+）2；故答案为：；（3）＝＝+1．6.（2019 河北衡水中考模拟）已知a、b、c为△ABC的三边长，化简：+．【分析】直接利用三角形三边关系得出a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，进而化简得出答案．【解答】解：∵a、b、c为△ABC的三边长，∴a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，∴原式＝a+b﹣c﹣（b﹣c﹣a）＝2a．7.（2019 河北石家庄中考模拟）已知|2018﹣m|+＝m，求m﹣20182的值．【分析】直接利用二次根式有意义的条件分别分析得出答案．【解答】解：∵m﹣2019≥0，∴m≥2019，∴2018﹣m≤0，∴原方程可化为：m﹣2018+＝m，∴＝2018，∴m﹣2019＝20182，∴m﹣20182＝2019．8.（2019 河北石家庄中考模拟）在学习了二次根式的相关运算后，我们发现一些含有根号的式子可以表示成另一个式子的平方，如：3+2＝2+2+1＝（）2+2+1＝（+1）2；5+2＝2+2+3＝（）2+2××+（）2＝（+）2（1）请仿照上面式子的变化过程，把下列各式化成另一个式子的平方的形式：①4+2；②6+4（2）若a+4＝（m+n）2，且a，m，n都是正整数，试求a的值．【分析】（1）根据完全平方公式求出即可；（2）先根据完全平方公式展开，再求出m、n的值，再求出a即可．【解答】解：（1）4+2＝3+2+1＝（）2+2×+12＝（+1）2；6+4＝4+4+2＝22+2×2×+（）2＝（2+）2；（2）∵a+4＝（m+n）2，∴a+4＝m2+2mn+3n2，∴a＝m2+3n2，2mn＝4，∴mn＝2，∵m，n都是正整数，∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2；当m＝2，n＝1时，a＝22+3×12＝7；当m＝1，n＝2时，a＝12+3×22＝13；即a的值是7或13．。
数的开方与二次根式
数与式
第 2 讲 数的开方与二次根式
内容 索引
备考基础 重点突破
温故知新，明确考向 分类讲练，以例求法
易错防范
辨析错因，提升考能
备考基础
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考点梳理
平方根、算术平方根与立方根
1.平方根： 一个数 x 的 平方等于 a， 那么 x 叫做 a 的平方根， 记做 x＝± a. 2.算术平方根：如果一个正数 x 的平方 等于 a，那么 x 叫做 a 的算术平 方根，记做 x＝ a.0 的算术平方根是 0. 3.立方根：如果一个数 x 的 立方等于 a，那么 x 叫做 a 的立方根，记做 x＝ a.
解
答案
类型三
二次根式的计算
【例 3】 (1)(2017· 滨州)下列计算： ①( 2)2＝2， ② －22＝2， ③(－2 3)2 ＝12，④( 2＋ 3)( 2－ 3)＝－1，其中结果正确的个数为( D )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
点拨
根据二次根式的性质可得①、②、③正确；根据平方差公
式可得④正确．
点拨
答案
9 (2)(2017· 天津)计算(4＋ 7)(4－ 7)的结果等于________ ． 点拨 根据平方差公式计算即可．
解
答案
【变式 3】
(1)(2017· 黄冈)计算： 27－6
1 3 ． 的结果是 ________ 3
解
3 原式＝3 3－6× ＝3 3－2 3＝ 3. 3
3
特别提醒
(1)± a表示 a 的平方根， a表示 a 的算术平方根，－ a表示 a 的算术 平方根的相反数， a表示 a 的立方根． 3
(2)开平方运算与平方运算是互为逆运算的关系．常用平方运算来检
数学九年级上册全知识点
数学九年级上册全知识点一、整数的概念和运算1. 整数的概念2. 整数的绝对值3. 整数的相反数4. 整数的加法和减法二、有理数的概念和运算1. 有理数的概念2. 有理数的相反数和绝对值3. 有理数的加法和减法4. 有理数的乘法和除法5. 有理数的混合运算三、平方根和立方根1. 平方根的概念和性质2. 平方根的求解3. 立方根的概念和性质4. 立方根的求解四、二次根式1. 二次根式的概念和性质2. 二次根式的化简和分解3. 二次根式的加法和减法4. 二次根式的乘法和除法五、比例与比例的性质1. 比例的概念和表示方法2. 比例的性质和判断3. 比例的四种特殊情况4. 比例的运算六、百分数1. 百分数的概念和表示方法2. 百分数的转化3. 百分数的运算七、利率和利息1. 利率的概念和计算2. 简单利息的计算3. 复利的计算八、容积和表面积1. 球的容积和表面积2. 圆柱体的容积和表面积3. 直角三角形的斜边长和面积九、统计与概率1. 统计的概念和方法2. 频率和频率分布3. 概率的基本概念和计算方法十、平面几何图形1. 平行线和垂直线2. 直角三角形和勾股定理3. 三角形的性质和分类4. 四边形的性质和分类5. 圆的性质和圆内外关系十一、函数的概念和表示1. 函数的概念和特征2. 函数的表示方法3. 函数的图像和性质以上是数学九年级上册的全知识点，涵盖了整数、有理数、平方根、立方根、二次根式、比例、百分数、利率和利息、容积和表面积、统计与概率、平面几何图形以及函数等多个重要内容。
通过系统学习这些知识点，同学们可以更好地理解和应用数学知识，提高数学解题的能力和思维水平。
希望同学们能够认真学习并善于运用这些知识点，取得优异的成绩。
二次根式及性质知识点
二次根式及性质.知识要点：（1）平方根与立方根a. 平方根的概念：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根。
用±a 表示。
例如：因为()±=±=±525252552，所以的平方根为。
b. 算术平方根的概念：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根。
0的算术平方根为0。
用a 表示a 的算术平方根。
例如：3的平方根为±3，其中3为3的算术平方根。
c. 立方根的概念：如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根，用a 3表示。
例如：因为3272727333==，所以的立方根为。
d. 平方根的特征：①一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
②0有一个平方根，就是0本身。
③负数没有平方根。
e. 立方根的特征：①正数有一个正的立方根。
②负数有一个负的立方根。
③0的立方根为0。
④-=-a a 33。
⑤立方根等于其本身的数有三个：1，0，－1。
（2）二次根式a. 二次根式的概念：形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式（二次根式中，被开方数一定是非负数，否则就没有意义，并且根式a ≥0）。
b. 二次根式的基本性质： ①a a ≥≥00（） ②()a a a 20=≥（）③a a a a a a a 20000==>=-<⎧⎨⎪⎩⎪||（）（）（）④ab a b a b =⋅≥≥（，）00⑤b a b a a b =>≥（，）00c. 二次根式的乘除法 ①a b ab a b ⋅=≥≥（，）00②b a ba ab =>≥（，）00d. 最简二次根式的标准：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）。
②被开方数中不含开得尽方的因数或因式。
e. 同类二次根式的识别：几个二次根式化简到不能再化简为止后，被开方数相同，则这几个二次根式是同类二次根式。
例如：8222=与是同类二次根式，35a a 与-是同类二次根式。
根式的运算技巧
根式的运算之羊若含玉创作平方根与立方根一、知识要点1、平方根：（a⑴、界说：如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“称为被开方数）.⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.⑶、算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作2、立方根：（a称⑴、界说：如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作为被开方数）.⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根.3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）.二、纪律总结：1、平方根是其自己的数是0；算术平方根是其自己的数是0和1；立方根是其自己的数是0和±1.2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的谁人是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同.3a≥0.4、公式：⑴)2=a （a≥0）；a 取任何数）.5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）. 例1 求下列各数的平方根和算术平方根（1）64；（2）2)3(-； （3）49151； ⑷21(3)- 例2 求下列各式的值 （1）81±； （2）16-； （3）259； （4）2)4(-.（5）44.1，（6）36-，（7）4925±（8）2)25(-例3、求下列各数的立方根：⑴ 343； ⑵ 10227-二、巧用被开方数的非负性求值.大家知道，当a≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数. 例4、若,622=----y x x 求yx 的立方根.演习：已知,21221+-+-=x x y 求y x 的值.三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值. 我们知道，当a≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根.演习：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值. 四、巧解方程例6、解方程（1）（x+1）2=36 （2）27(x+1)3=64 五、巧用算术平方根的最小值求值.我们已经知道0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零.例4、已知：y=)1(32++-b a ,当a 、b 取不合的值时，y 也有不合的值.当y 最小时,求ba 的非算术平方根. 演习：1、若一个数的平方根是8±，则这个数的立方根是（ ）． A ．2 B ．±2 C ．4 D ．±42、144的算术平方根是，16的平方根是；3、若m 的平方根是51a +和19a -，则m =．4、327=，64-的立方根是；5、7的平方根为，21.1=；6、一个数的平方是9，则这个数是，一个数的立方根是1，则这个数是；7、平方数是它自己的数是；平方数是它的相反数的数是； 8、当x=时，13-x 有意义；当x=时，325+x 有意义；9、若164=x ，则x=；若813=n ，则n=；10、若3x x =，则x=；若x x -=2，则x ；11、15的整数部分为a,小数部分为b,则a=____, b=____12、解方程：0324)1(2=--x （2）3125(2)343x -=-（3 ） 264(3)90x --= （4） 31(1)802x -+= 1323(2)0y z -++=，求xyz 的值.14、若y =，求2x y +的值．15、已知：ｘ－2的平方根是±2,2ｘ+ｙ+7的立方根是3，求ｘ2+ｙ2的平方根． 16、若12112--+-=x x y ，求xy 的值.二次根式一、知识点 1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式.2.最简二次根式：必须同时知足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式. 3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式. 4.二次根式的性质： （1）（a ）2=a （a ≥0）； （2） 5.二次根式的运算： ⑴二次根式的加减运算：先把二次根式化成最简二次根式，然后归并同类二次根式即可.⑵二次根式的乘除运算： ①ab =b a •（a ≥0,b≥0）； ②()0,0>≥=b a ba ba【例题讲授】一、应用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a≥0），即一a （a ＞0）==a a 2a -（a ＜0）0 （a =0）；个非负数的算术平方根是一个非负数.）例1：x 取何值时，下列各式在实数规模内有意义. （1）（2）121+-x （3）45++x x (4).例2：若20042005a a a -+-=，则22004a -=_____________；若433+-+-=x x y ，则=+y x【基本训练】1、下列各式中一定是二次根式的是（ ）.A 、3-；B 、x ；C 、12+x ；D 、1-x2、若1)1(-=-x x x x ，则x 的取值规模是3、若1313++=++x x x x ，则x 的取值规模是.4、若20m是一个正整数，则正整数m 的最小值是________．5、设m 、n 知足329922-+-+-=m m m n ，则mn=.6、若三角形的三边a 、b 、c 知足3442-++-b a a =0，则第三边c 的取值规模是 7、若0|84|=--+-m y x x ，且0>y 时，则（ ）A 、10<<mB 、2≥mC 、2<mD 、2≤m二、应用二次根式的性质2a =|a|=⎪⎩⎪⎨⎧<-=>)0()0(0)(a a a b a a (即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值)来解题 【例题讲授】 例1：已知233x x +＝－x3+x ，则（ ）A.x≤0B.x≤－3 Ｃ.x≥－3 D.－3≤x≤0 例2：化简21)2(---x x 的成果为（ ）A 、x-2； B 、2-x ；C 、2--x D 、x --2【基本训练】1、已知a<b ，化简二次根式b a 3-的正确成果是（ ）A ．ab a --B ．ab a -C ．ab aD ．ab a -2、若化简|1-x|-1682+-x x 的成果为2x-5则（ ）A 、x 为任意实数B 、1≤x≤4C 、x≥1D 、x≤4 3、已知a ，b ，c 为三角形的三边，则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+=4、化简)0(||2<<--y x x y x 的成果是（ ）A ．x y 2-B ．yC ．y x -2D ．y -5、已知：221a a a +-+=1，则a 的取值规模是（ ）.A 、0=a ；B 、1=a ；C 、0=a 或1；D 、1≤a三、二次根式的化简与盘算（主要依据是二次根式的性质：（a ）2=a （a≥0），即||2a a =以及混杂运算轨则）【例题讲授】（一）化简与求值例1：把下列各式化成最简二次根式：（1）833 （2）224041- （3）2255m （4）224y x x +例二：盘算：25051122183133++-- 【基本训练】1、下列哪些是同类二次根式：（1）75，271，12，2，501，3，101； （2）,533c b a 323c b a ，4c ab ，abca 2、盘算下列各题： （1）6)33(27-⋅ （2）49123a ab ⋅；（3）acc b b a 53654⋅⋅ （4）24182（5）－545321÷3、已知1018222=++x x xx，则x 等于（ ） A ．4 B ．±2 C ．2D ．±4 4、211+＋321+＋431+＋…＋100991+（二）先化简，后求值：1. 直接代入法：已知),57(21+=x ),57(21-=y 求(1)22y x +(2)yx xy +2.变形代入法：（1）变条件：①已知：132-=x ，求12+-x x 的值.②.已知:x=2323,2323-+=+-y ，求3x2－5xy+3y2的值（2）变结论：1、设 3 =a ，30 =b ，则0.9 =.2、已知12,12+=-=y x ，求xyy x x y y x 33++++.3、已知5=+y x ，3=xy ，（1）求xy y x +的值 （2）求yx y x +-的值四、关于求二次根式的整数部分与小数部分的问题31－2的值在哪两个数之间（ ）A ．1～2 B.2～3 C. 3～4 D.4～5 2．若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 33.已知9+13913-与的小数部分分离是a 和b ，求ab －3a+4b+8的值4.若a ，b 为有理数，且8+18+81=a+b 2，则b a =.五、二次根式的比较大小（1）3220051和 （2）－5566-和 （3）13151517--和（4）设a=23-, 32-=b ,25-=c , 则（ ）A. c b a >>B.b c a >>C.a b c >>D.a c b >> 六、实数规模内因式分化：9x2－5y2 4x4－4x2＋1x4+x2－6 演习： 1、若b a y b a x +=-=,，则xy 的值为（ ）A ．a 2B ．b 2C ．b a +D ．b a -2、若230a b -+-=，则2a b -=．3、盘算： （1） （2（3）． （4）．42x -÷322x x x-x 值，代入化简后的式子求值.5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 ：222()a b a b --- 6、若，则的取值规模是 A ．B ．C ．D ． 7、如图，数轴上两点暗示的数分离为1和，点关于点的对称点为点，则点所暗示的数是A ．B ．C ．D ． 8、已知：1110a a +=+，求221a a +的值.9、已知：,x y 为实数，且113y x x -+-+，化简：23816y y y ---+.10、已知()11039322++=+-+-y x x x y x ，求 11、先阅读下列的解答进程，然后作答：有这样一类题目：将2a b ±化简，若你能找到两个数m 和n ，使22m n a +=且mn b =，则2a b ±可变成222m n mn +±，即变成2()m n ±开方，从而使得2a b ±化简.例如： 526±=3226++=222(3)(2)223(32)++⋅=+，∴2526(32)32±=+=+请模仿上例解下列问题：（1； （2）二次根式运算的技能二次根式的运算通常是依据其运算轨则进行盘算的，但在盘算进程中若能巧妙地运用一些数学思想办法，可使问题化繁为简，易于盘算.下面举例说明二次根式的运算技能： 一、 巧移因式法例1、 盘算)3418)(4823(-+ 剖析：将3423、根号外的因式移到根号内，然后用平方差公式盘算比较轻便，或先把1848、化简，然后应用平方差公式盘算解：原式=)3418)(4823(22⨯-+⨯ =)4818)(4818(-+=18-48=-30二、 巧提公因数法例2、盘算)3225)(65(-+剖析：∵2=2)2(∴3225-中有公因数2，提出公因数2后，可用平方差公式盘算解：原式=]3)2(25)[65(2-+=)]65(2)[65(-+=)65)(65(2-+ =2（25-6）=192 三、 公式法例3、盘算)632)(632(---+ 剖析：巧分组，出奇制胜，整式的乘法公式对二次根式的乘法也适用，本题用平方差公式来盘算很轻便解：原式=]3)62][(3)62[(--+- =22)3()62(--=366222-+- =345- 四、 因式分化法例4、盘算)()2(y x y xy x +÷++剖析：本题若直接按乘除轨则盘算，显然很麻烦，若适当分化因式约去公因式，则运算很轻便解：原式=)(])(2)[(22y x y xy x +÷++ =)()(2y x y x +÷+ =y x + 五、 拆项法例5、化简)23)(36(23346++++ 剖析：本题若直接盘算显然很麻烦，若仔细不雅察将分子拆项，则盘算会很轻便解：原式=)23)(36()23(3)36(+++++ =363231+++ =3623-+- =26- 六、 配办法例6、盘算3819625223+--+- 剖析：此题是双二次根式的加减，必须把复合二次根式化为一般二次根式，可将根号里的式子化成完全平方法，使问题便于盘算解：原式=22)32-+--1(+)23()24(=)3--(++-34(2)2()1=-5七、整体代入，标新立异例5. 已知，求下列各式的值.（1）（2）剖析：依据x、y值的特点，可以求得，如果能将所求的值的式子变形为关于或xy的式子，再代入求值要比直接代入求值简略得多.解：因为所以（1）（2）（也可以将变成来求）八、巧换元，清洁利索例6. 盘算剖析：此算式中的两个公式互为倒数，若设，则原式而原式解：设则所以原式例7. 盘算剖析：有两种办法，一种换元，一种配方.解法1：设双方平方因为所以即解法2：原式所以遇到二次根式运算一定认真审题、仔细琢磨，可否找到运算技能，达到事半功倍效果二次根式的运算测试题姓名班级学号一．选择题（本题30分，每小题3分）：1．化简3－3(1－3)的成果是()A．3 B．－3 C.3D．－32．盘算(28－23＋7)×7＋84的成果是()A．117B．153C．21 D．243．盘算(32＋53)×(32－53)的成果是( )A ．－57B ．57C ．－53D ．534．盘算⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋1a 2－⎝⎛⎭⎪⎪⎫a －1a 2的成果是( ) A ．2 B ．4 C ．2aD ．4a5．2×(2－3)＋6的值是________； 6．化简：3×(2－3)－24－|6－3|＝________． 7．盘算⎝⎛⎭⎫50－8÷2的成果是________． 8、盘算：40＋55＝________． 9、有下列盘算：①(m2)3＝m6；②4a2－4a ＋1＝2a －1；③m6÷m2＝m3；④27×50÷6＝15；⑤212－23＋348＝14 3.其中正确的运算有________．10、盘算：(2＋1)(2－1)＝________．二、盘算题（本题30分，每小题5分）：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫827－53×6；(2)(5＋6)×(52－23)； (3)945÷315×32223；(4)13＋2＋12＋1－13－1.(5)38×(54－52－26)；(6)a(a ＋2)－a2b b； 二、解答题（本题40分，每小题10分）： 1、已知a ＝5＋2，b ＝5－2，求a2＋b2＋7的值？ 2、已知x1＝3＋2，x2＝3－2，求x21＋x22？3、已知x －y ＝3，求代数式(x ＋1)2－2x ＋y(y －2x)的值．4、先化简，再求值：(a2b ＋ab)÷a2＋2a ＋1a ＋1，其中a ＝3＋1，b ＝3－1.。
2.3二次根式
比较两个二次根式大小时要注意： (1)负号不能移到根 号内； (2)根号外的正因数要平方后才能从根号外移到根号 内．
归类示例
► 类型之五 二次根式的大小比较
命题角度： 1. 二次根式 a的非负性的意义； 2. 利用二次根式 a的非负性进行化简．
例6 已知实数 x ，y 满足 |x －4|＋ y－8＝ 0，则以 x ， y 的值为两边长的等腰三角形的周长( A. 20 或 16 B．20 C ．16 D．以上答案均不对
4－2 3 解：原式＝ ＋ 2＋1＋ 3－ 2 2 ＝2－ 3＋ 2＋1＋ 3－ 2＝3.
利用二次根式的性质，先把每个二次根式化简，然 后进行运算；在中考中二次根式常与零指数、负指数结 合在一起考查．
归类示例
► 类型之三
二次根式的化简与计算
例4 先化简，再求值： 1 1 x x 2＋2x ＋1 － 1 x x ＋1 · ，其中 x ＝ . 2 x ＋1 2－ x －1 2
归类示例
► 类型之四 二次根式的大小比较
[解析 ] 本题可先估算无理数 15 ， 17 ， 19 的整数部 分的最大值和最小值，再求出甲，乙，丙的取值范围，进而 可以比较其大小． ∵ 3＝ 9< 15< 16＝ 4， ∴ 8＜ 5＋ 15＜ 9，∴ 8＜甲＜ 9. ∵ 4＝ 16＜ 17＜ 25＝ 5， ∴ 7＜ 3＋ 17＜ 8，∴ 7＜乙＜ 8. ∵ 4＝ 16＜ 19＜ 25＝ 5， ∴ 5＜ 1＋ 19＜ 6， ∴丙＜乙＜甲．故选 A项．
B
)
[解析 ] 根据题意得 x-4=0,y-8=0,解得 x=4,y=8. (1)若 4是腰长，则三角形的三边长为： 4、 4、 8，不 能组成三角形； (2)若 4是底边长，则三角形的三边长为： 4、 8、 8， 能组成三角形，周长为 4＋ 8＋ 8＝ 20.故选 B.
七年级数学下册平方根、立方根总结
简易平方根的运算1(1)利用平方根的乘法运算法则：若a 、b 为正数，则 a ⨯b =ab 去计算两个正平方根的乘积。
(2)利用平方根的除法运算法则：ba =b a 或a ÷b =b a ÷ (a b ,0≥>0) 去计算两个正平方根相除的商。
2例1.化简下列各数： (1)(5)2 (2)25 (3)2)5(- (4)(5-)2解：【答：(1) 5 (2) 5 (3) 5 (4)-5】 例2.化简下列各数： (1)8 (2)24 (3)75 (4)84 (5)200解：【答：(1) 22 (2) 26 (3) 53 (4) 221 (5)102】 例3.化简下列各数： (1)95 (2)32 (3)124 (4)185 (5)322 解： 【答：(1)35 (2) 36 (3) 33 (4) 610 (5) 362】 例4.求下列各式的积并化简： (1)133⨯ (2)326⨯ (3)287⨯ (4)3152⨯ 解： 【答：(1) 39 (2) 2 (3) 27 (4) 1530】例5.求下列各式的商并化简： (1)2332÷ (2)281÷ (3)3216÷ (4)5752÷ 解： 【答：(1) 32 (2) 41 (3) 26 (4) 714】3 1.化简下列各数：(1)(-3)2 (2)2)3(- (3)(3)22.化简下列各数： (1)12 (2)32 (3)54 (4)90 (5)3633.化简下列各数： (1)163 (2)59 (3)125 (4)203 (5)5334.求下列各式的积并化简： (1)205⨯ (2)1437⨯ (3)9320⨯ (4)335611⨯5.求下列各式的商并化简：(1)3127÷ (2)3151÷ (3)528÷ (4)65320÷41015 (5) 5103 4.(1)10 (2) 26 (3) 215 (4) 610 5.(1) 9 (2) 155 (3) 25 (4) 22 分 母 有 理 化如：计算：23÷时，先写成23，再把分子，分母都乘以2，化去分母中的根号，得：26222323=⋅⋅=，这样就完成了除法运算。
第5讲 数的开方及二次根式
ab(a≥0，b≥0) a· b(a≥0，b≥0)
； ； ；
a b(a≥0，b＞0)
a b＝
a (a≥0，b＞0) b
．
5．最简二次根式 运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次根式．最简二次根式， 需满足两个条件： (1)被开方数不含分母； (2)被开方数中不含开得尽方的因数或因式． 6．二次根式的估值 根式估值时，一般先对根式平方，找出与平方后所得数字相邻的两个开 得尽方的整数， 并对其进行开方， 就可以确定这个根式在哪两个整数之间． 例 如，估算 17在哪两个整数之间时，先对 17平方，找出与 17 相邻的两个开 得尽方的整数 16 和 25，因为 16<17<25，所以 16< 17< 25，即 4< 17<5.
[对应训练] 5 －1 2 介于( C ) A．0.4 与 0.5 之间 B．0.5 与 0.6 之间 C．0.6 与 0.7 之间 D．0.7 与 0.8 之间 5．(1)(2015· 南京)估计 (2)(2015· 新疆)估算 27－2 的值( C ) A．在 1 到 2 之间 B．在 2 到 3 之间 C．在 3 到 4 之间 D．在 4 到 5 之间 (3)已知 10的整数部分为 a，小数部分为 b，求 a2－b2 的值．
【点评】 (1)一个正数的算术平方根是正数； (2)一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．
[对应训练] 1．(1)(2016· 杭州) 9＝( B ) A．2 B．3 C．4 D．5
3 ． (2)(2016· 宁波)实数－27 的立方根是－ ____ 2 (3)已知一个正数的两个平方根分别是 2a－2 和 a－4，则 a 的值是____ ．
解：原式＝|a＋b＋c|＋|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a－b|＝ (a＋b＋c)＋(b＋c－a)＋(c＋a－b)＋(a＋b－c)＝2a＋2b＋2c
二次根式的运算
二次根式的运算二次根式是数学中的一种特殊形式，它包括平方根、立方根等。
二次根式的运算是解决与这一数学概念相关的问题，涉及到简化、相加、相乘等操作。
本文将从这些角度进行讨论。
一、简化二次根式简化二次根式是将其转化为最简形式，即被开方数不包含平方数因子。
比如，√8可以简化为2√2。
下面以几个例子来说明简化操作：1. √12 = √(4 × 3) = 2√32. √18 = √(9 × 2) = 3√23. √75 = √(25 × 3) = 5√3需要注意的是，对于含有完全平方数因子的二次根式，可以直接提取出因子的平方根，并将其余部分保留在根号内。
二、相加与相减二次根式相加或相减二次根式时，需要满足被开方数相同，即根号内数字相同，才能进行合并。
比如，2√3 + 3√3 = 5√3。
下面是一些示例：1. 4√5 - 3√5 = √52. 2√6 + 5√6 = 7√63. 2√7 - √7 = √7可以看出，被开方数相同的二次根式可以直接相加或相减，而根号内的数字保持不变。
三、相乘二次根式相乘二次根式时，需要将根号内的数字相乘，然后提取出公因子。
下面是一些示例：1. 2√3 × 3√2 = 6√62. 4√5 × 2√5 = 8 × 5 = 403. √6 × √2 = √(6 × 2) = √12 = 2√3需要注意的是，如果根号内的数字是完全平方数，可以直接提取出平方根，并将其余部分保留在根号内。
四、二次根式的混合运算在实际问题中，常常需要进行多种运算的组合，例如简化后再相加、相乘等。
下面是一个综合例子：示例：简化3√12 + 4√27 的结果。
首先，简化被开方数：3√12 = 3√(4 × 3) = 6√34√27 = 4√(9 × 3) = 12√3然后，将结果相加：6√3 + 12√3 = 18√3所以，3√12 + 4√27 的结果为18√3。
2022年数的开方与二次根式
第6课数的开方与二次根式〖知识点〗平方根、立方根、算术平方根、二次根式、二次根式性质、最简二次根式、同类二次根式、二次根式运算、分母有理化〖大纲要求〗1.理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根。
会求实数的平方根、算术平方根和立方根（包括利用计算器及查表）；2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式。
掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简；3.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化。
内容分析 1．二次根式的有关概念 (1)二次根式式子)0(a a 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或O ．(2)最简二次根式被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． (3)同类二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式．2．二次根式的性质).0;0();0;0();0(),0(||);0()(22bab a ba b a b a ab a a a a a aa a a 3．二次根式的运算 (1)二次根式的加减二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并． (2)三次根式的乘法二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即).0,0(b a ab b a 二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式． (3)二次根式的除法二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化．〖考查重点与常见题型〗1.考查平方根、算术平方根、立方根的概念。
有关试题在试题中出现的频率很高，习题类型多为选择题或填空题。
第八章实数
⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负分数负整数负有理数负数正无理数正分数正整数正有理数正数实数0⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数正整数整数有理数实数0第八讲 实数考点综述：对于实数，中考中重点考查平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数的概念，用有理数估计无理数的近似值，以及根式的化简、实数的简单四则运算。
主要题型以填空、选择、计算为主，主要考查方向以概念理解及基础知识的运用能力为主，在考查基础知识、基本技能、基本方法的同时，会加强考查运用所学知识分析和解决实际问题的能力。
中考课标要求考点精析考点1 平方根（1）平方根的概念：一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，也称二次方根。
也就是说，如果a x =2，那么x 就叫做a 的平方根。
（2）平方根的表示：一个正数a 的正的平方根，记为“a ”，一个正数a 的负的平方根，记为“a -”，这两个平方根合起来记为“a ±”。
（3）平方根的性质①一个正数有两个平方根，它们互为相反数； ②0只有一个平方根，它是0本身；③负数没有平方根。
（4）算数平方根：正数a 有两个平方根，其中正数a 的正的平方根，也叫做a 的算术平方根。
0的平方根也叫做0的算术平方根，即00=。
考点2 立方根（1）立方根的概念：一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也称三次方根。
也就是说，如果a x =3，那么x 就叫做a 的立方根，记为3a x =。
（2）立方根的性质正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.考点3 实数（1）无理数：无限不循环小数称为无理数。
常见无理数有：①3，5，32等这些开放开不尽的数都是无限不循环小数，它们都是无理数；②圆周率π及一些含有π的也都是无理数。
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教学课题：平方根和立方根、二次根式
知识点：
平方根、立方根、算术平方根、二次根式、二次根式性质、最简二次根式、同类二次根式、二次根式运算.
1.基本要求：
（1）了解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根.
（2）了解二次根式概念，会确定二次根式有意义的条件.
（3）理解二次根式的加、减、乘、除运算法则.
2.略高要求：
（1）会用平方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根.
（2）会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求立方根.
（3）会利用二次根式的性质进行化简；能根据二次根式的性质对代数式作简单变形，在特定条件下，确定字母系数的值.
（4）会进行二次根式的化简，会进行二次根式的混合运算（二次根式的个数不超过三个，不要求分母有理化）
一、基础知识(投影片)
1．二次根式的有关概
（1）正数有_________个平方根，__________没有平方根，0的平方根是______.
（2）二次根式：式子
)0
(≥
a
a叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或O．
（3）最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
（4）同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式．
2．二次根式的性质
).
;0
(
);
;0
(
);
(
),
(
|
|
);
(
)
(
2
2
>
≥
=
≥
≥
⋅
=
⎩
⎨
⎧
<
-
≥
=
=
≥
=
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
ab
a
a
a
a
a
a
a
a
a
3．二次根式的运算
(1)二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并．
(2)二次根式的乘法：二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即
).
,0
(≥
≥
=
⋅b
a
ab
b
a
二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行．
(3)二次根式的除法：二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化．
4.考查重点与常见题型
（1）考查平方根、算术平方根、立方根的概念.有关试题在试题中出现的频率很高，习题类型多为选择题或填空题.
（2）考查最简二次根式、同类二次根式概念.有关习题经常出现在选择题中.
（3）考查二次根式的计算或化简求值，有关问题在中考题中出现的频率非常高，在选择题和中档解答题中出现的较多.
二、考查题型
1．2
1()4-的算术平方根是 ， 27的立方根是 ，
81的算术平方根是 ， 4的平方根是 ,
2(2)-的平方根是 ____， 9的算术平方根是 ， ___ 是－64的立方根.
2.（05湖南益阳）有四个实数分别为
2323,
,2,82-，请你计算其中有理数的和与无理数的积的差，其
计算后的结果为____________.
3.下列命题中，假命题是（ ）. （A ）9的算术平方根是3 （B ）16的平方根是±2
（C ）27的立方根是±3 （D ）立方根等于－1的实数是－1
4.在二次根式45，32x ，11，5
4，4x 中，最简二次根式个数是（ ）.
（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个
5.化简123-的结果是（ ）.
（A ）33 （B ）3 （C ）3 （D ）9
6.（06沈阳）估算243+的值（ ）
(A)在5和6之间 （B ）在6和7之间
(C)在7和8之间 （D ）在8和9之间 7.
51
0.52－估计与的大小关系
8.计算： （1）
01
1123(2007)()2-+---+
（2）200620070232+32cos30(2)---（－）（）
（3）
2 (m+n)+(m+n)(m 3n), m=2, 1n =化简并求值：－其中
三、课堂练习（发篇子） 1．如果x 2＝a ，已知x 求a 的运算叫做 ，其中a 叫做x 的 ；已知a 求x 的运算叫做 ，其中x 叫做a 的 .
2.三角形三边a ＝750 ，b ＝472 ，c ＝298 ，则周长是 .
3.下列命题：（1）任何数的平方根都有两个（2）如果一个数有立方根，那么它一定有平方根（3）算术平方根一定是正数（4）非负数的立方根不一定是非负数，错误的个数为（ ）
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
4．已知30.5 =0.794，35 =1.710，350 =3.684，则35000 等于（ ）
（A ）7.94 （B ）17.10 （C ）36.84 （D ）79.4
5．当1<x<2时，化简∣1－x ∣＋4－4x ＋x 2 的结果是（ ）
（A ）－1 （B ）2x －1 （C ）1 （D ）3－2x
6.计算 （1）
203+812263-－（－）－－（－）
（2） (x y)(x+y)231, 3x y =-=2－－x(x+y)＋(x-y),其中
四、课堂小结（师生共同总结）
1. 知识方面
2. 方法小结
五、布置作业 目标练习总复习二次根式部分练习
六、板书设计
平方根和立方根 二次根式
1.知识点
2.例题选讲
例1
例2 投影幕
课后反思：。