教师数学基本功测试

荆州中学数学教师教学基本功笔试试卷考试时间：60分钟 满分：100分一、选择题：（每题6分，共30分）1. 已知符号函数1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则函数2()sgn(ln )ln f x x x =-的零点个数为( )（A ）．4（B ）．3（C ）．2 （D ）．12. 已知单位向量α，β，满足(α＋2β)⋅(2α－β)＝1，则α与β夹角的余弦值为 （ ）（A ）13- （B ）13（C ）12 （D ）153. 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且222b a ac c =-+，90C A -=︒，则cos cos A C = （ ）（A ）41 （B（C ）41- （D）4. 函数⎩⎨⎧≤≤+-<≤-+=)20(2)02(2)(2x x x x x f 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )(A). 326+ (B). 234+ (C). 3246+ （D ）. 2234+5．某单位安排7位员工在2012年1月22日至1月28日（即今年除夕到正月初六）值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在除夕，丁不排在初一，则不同的安排方案共有 （ ）（A ）504种 （B ）960种（C ）1008种（D ）1056种二、填空题：（每题6分，共30分）6．抛物线28y x =的准线为l ，点Q 在圆22:68210C x y x y ++++=上，设抛物线上任意一点P 到直线l 的距离为m ，则||m PQ +的最小值为 ．7. 已知322322=+，833833=+，15441544=+， ，t at a 66=+，（a,t 均为正实数），类比以上等式，可推测a ，t 的值，则=+t a .8.函数()f x =的定义域为 ，值域为_________。

9. 已知()x f 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的R b a ∈,，满足(2)(2)()()(),(2)2,(),()2n n n n nf f f ab af b bf a f a n N b n N n **=+==∈=∈下列结论：①)1()0(f f =；②)(x f 为偶函数；③数列{}n a 为等比数列；④数列{}n b 为等差数列．其中正确的是 ．10. 如下图所示，已知点F 的坐标为（3，0），点A B ，分别是某函数图象与x 轴、y 轴的交点，点P 是此图象上的一动点．．．设点P 的横坐标为x ，PF 的长为d ，且d 与x 之间满足关系：355d x =-（05x ≤≤），给出以下四个结论：①3OB =；②5BF =；③5OA =；④2AF =．其中正确结论的序号是 ．第10题图三、解答题：（本大题共40分）11．（本小题满分20分）如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCＤ中，2,点E在PD上，且PE:ED=2:1. ∠ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=a（1）证明: PA⊥平面ABCD；（2）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角 的大小；（3）在棱PC上是否存在一点F，使BF//平面AEC？若存在，指明F的位置并证明你的结论。

若不存在，说明理由。

12.（本小题满分20分）已知函数2()1mx nf x x +=+在点))1(,1(--f 的切线方程为03=++y x . （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）设x x g ln )(=，求证：)()(x f x g ≥在),1[+∞∈x 上恒成立； （Ⅲ）已知b a <<0，求证：222ln ln ba aa b a b +>--.荆州中学数学教师教学基本功笔试试卷（答案）一、选择题：（每题6分，共30分）1. 已知符号函数1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则函数2()sgn(ln )ln f x x x =-的零点个数为( C )（A ）．4（B ）．3（C ）．2 （D ）．12. 已知单位向量α，β，满足(α＋2β)⋅(2α－β)＝1，则α与β夹角的余弦值为 （ B ）（A ）13- （B ）13（C ）12 （D ）153. 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且222b a ac c =-+，90C A -=︒，则cos A cos C = （ C ）（A ）41 （B）4 （C ）41- （D）4-4. 函数⎩⎨⎧≤≤+-<≤-+=)20(2)02(2)(2x x x x x f 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( C )(A).326+ (B). 234+ (C). 3246+ （D ）. 2234+ 解析：C 3246324202)231(2)222213202+=+=+-+=+-+⨯⨯=⎰x x dx x S （5．某单位安排7位员工在2012年1月22日至1月28日（即今年除夕到正月初六）值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在除夕，丁不排在初一，则不同的安排方案共有 （ D ） （A ）504种（B ）960种（C ）1008种（D ）1056种二、填空题：（每题6分，共30分）6．抛物线28y x =的准线为l ，点Q 在圆22:68210C x y x y ++++=上，设抛物线上任意一点P 到直线l 的距离为m ，则||m PQ +7. 已知322322=+，833833=+，15441544=+， ，t at a 66=+，（a,t 均为正实数），类比以上等式，可推测a ，t 的值，则=+t a 41 . 解析：41 根据题中所列的前几项的规律可知其通项应为1122-=-+n nn n n n ，所以当n=6时，a=6,t=35,a+t=41. 8. 函数()f x =的定义域为 53(,][,)64-∞--+∞ ，值域为_________。

9. 已知()x f 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的R b a ∈,，满足(2)(2)()()(),(2)2,(),()2n n n n nf f f ab af b bf a f a n N b n N n **=+==∈=∈ 下列结论：①)1()0(f f =；②)(x f 为偶函数；③数列{}n a 为等比数列；④数列{}n b 为等差数列．其中正确的是 ①③④ ．10. 如右图所示，已知点F 的坐标为（3，0），点A B ，分别是某函数图象与x 轴、y 轴的交点，点P 是此图象上的一动点．．．设点P 的横坐标为x ，PF 的长为d ，且d 与x 之间满足关系：355d x =-（05x ≤≤），给出以下四个结论：①3OB =；②5BF =；③5OA =；④2AF =．其中正确结论的序号是 ②③④ ．三、解答题：（本大题共50分）11.（本小题满分15分）如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABC Ｄ中， ∠ABC=600，PA=AC=a ，PB=PD=a 2,点E 在PD 上，且PE:ED=2:1. （1）证明PA ⊥平面ABCD ；（2）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角θ的大小；第10题图（3）在棱PC 上是否存在一点F ，使BF//平面AEC ？若存在，指明F 的位置并证明你的结论。

若不存在，说明理由 11．解：（Ⅰ） 因为底面ABCD 是菱形，∠ABC=60°， 所以AB=AD=AC=a ， 在△PAB 中， 由PA 2+AB 2=2a 2=PB 2 知PA ⊥AB. 同理，PA ⊥AD ，所以PA ⊥平面ABCD （Ⅱ）解 作EG//PA 交AD 于G ，由PA ⊥平面ABCD. 知EG ⊥平面ABCD.作GH ⊥AC 于H ，连结EH ，则EH ⊥AC ，∠EHG 即为二面角θ的平面角. 又PE : ED=2 : 1，所以.3360sin ,32,31a AG GH a AG a EG =︒=== 从而 ,33t a n ==GH EG θ .30︒=θ （Ⅲ）解法一 以A 为坐标原点，直线AD 、AP 分别为y 轴、z 轴，过A 点垂直平面PAD 的直线为x 轴， 建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的 坐标分别为).0,21,23(),0,21,23(),0,0,0(a a C a a B A - ).31,32,0(),,0,0(),0,,0(a a E a P a D所以 ).0,21,23(),31,32,0(a a AC a a AE ==).,21,23(),,0,0(a a a a -==).,21,23(a a a -=设点F 是棱PC 上的点，,10),,21,23(<<-==λλλλλ其中a a a PC PF 则 ),21,23(),21,23(λλλa a a a a a PF BP BF -+-=+=)).1(),1(21),1(23(λλλ-+-=a a a 令 AE AC BF 21λλ+= 得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=+=-⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=+=-.311,341,1.31)1(,3221)1(21,23)1(2322112211λλλλλλλλλλλλλλ即a a a a a a a解得 .23,21,2121=-==λλλ 即 21=λ时，.2321+-= 亦即，F 是PC 的中点时，、、共面.又 BF ⊄平面AEC ，所以当F 是棱PC 的中点时，BF//平面AEC 解法二 当F 是棱PC 的中点时，BF//平面AEC ，证明如下， 证法一 取PE 的中点M ，连结FM ，则FM//CE. ①由 ,21ED PE EM ==知E 是MD 的中点. 连结BM 、BD ，设BD ⋂AC=O ，则O 为BD 的中点.所以 BM//OE. ②由①、②知，平面BFM//平面AEC.又 BF ⊂平面BFM ，所以BF//平面AEC.证法二因为 )(2121DP CD AD CP BC BF ++=+=)(23)(212321-+-+=++=.2123-=所以 BF 、AE 、共面. 又 BF ⊄平面ABC ，从而BF//平面AEC.12.（本小题满分20分） 已知函数2()1mx nf x x +=+在点))1(,1(--f 的切线方程为03=++y x . （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）设x x g ln )(=，求证：)()(x f x g ≥在),1[+∞∈x 上恒成立； （Ⅲ）已知b a <<0，求证：222ln ln ba aa b a b +>--. 12. 解析：（1）将1-=x 代入切线方程得2-=y∴(1)24f n m -=-⇒-=- 又 (1)12f n '-=-⇒=- 解得：2,2m n ==-. ∴122)(2+-=x x x f . （Ⅱ）由已知得122ln 2+-≥x x x 在),1[+∞上恒成立 化简22ln )1(2-≥+x x x ，即022ln ln 2≥+-+x x x x 在),1[+∞上恒成立设22ln ln )(2+-+=x x x x x h ，21ln 2)(-++='xx x x x h∵1≥x ∴21,0ln 2≥+≥xx x x ，即0)(≥'x h ∴)(x h 在),1[+∞上单调递增，0)1()(=≥h x h ，∴)()(x f x g ≥在),1[+∞∈x 上恒成立（Ⅲ）∵b a <<0 ∴1b a >，由（Ⅱ）知有222ln ()1b ba b a a->+，整理得222ln ln b a a a b a b +>-- ∴当b a <<0时，222ln ln b a aa b a b +>--.。