教师数学基本功测试

荆州中学数学教师教学基本功笔试试卷

考试时间：60分钟 满分：100分

一、选择题：（每题6分，共30分）

1. 已知符号函数1,0

sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪

==⎨⎪-<⎩

，则函数2()sgn(ln )ln f x x x =-的零点个数为

( )

（A ）．4

（B ）．3

（C ）．2 （D ）．1

2. 已知单位向量α，β，满足(α＋2β)⋅(2α－β)＝1，则α与β夹角的余弦值为 （ ）

（A ）13- （B ）13

（C ）12 （D ）1

5

3. 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且222

b a a

c c =-+，

90C A -=︒，则cos cos A C = （ ）

（A ）41 （B

（C ）41- （D

）

4. 函数⎩⎨⎧≤≤+-<≤-+=)

20(2)

02(2)(2x x x x x f 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )

(A). 326+ (B). 234+ (C). 3246+ （D ）. 2

2

34+

5．某单位安排7位员工在2012年1月22日至1月28日（即今年除夕到正月初六）值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在除夕，丁不排在初一，则不同的安排方案共有 （ ）

（A ）504种 （B ）960种

（C ）1008种

（D ）1056种

二、填空题：（每题6分，共30分）

6．抛物线28y x =的准线为l ，点Q 在圆22:68210C x y x y ++++=上，设抛物线上任意一点P 到直线l 的距离为m ，则||m PQ +的最小值为 ．

7. 已知322322=+

，833833=+，15

44

1544=+， ，t a

t a 66=+，（a,t 均为正实数），类比以上等式，可推测a ，t 的值，则=+t a .

8.

函数()f x =的定义域为 ，值域为_________。

9. 已知()x f 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的R b a ∈,，满足

(2)(2)()()(),(2)2,(),()2n n n n n

f f f ab af b bf a f a n N b n N n **

=+==∈=∈

下列结论：①)1()0(f f =；②)(x f 为偶函数；③数列{}n a 为等比数列；④数列{}n b 为等差数列．其中正确的是 ．

10. 如下图所示，已知点F 的坐标为（3，0），点A B ，分别是某函数图象与x 轴、y 轴的交点，点P 是此图象上的一动点．．

．设点P 的横坐标为x ，PF 的长为d ，且d 与x 之间满足关系：3

55

d x =-（05x ≤≤），给出以下四个结论：①3OB =；②5BF =；③5OA =；④2AF =．其中正确结论的序号是 ．

第10题图

三、解答题：（本大题共40分）

11．（本小题满分20分）如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCＤ中，

2,点E在PD上，且PE:ED=2:1. ∠ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=a

（1）证明: PA⊥平面ABCD；

（2）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角 的大小；

（3）在棱PC上是否存在一点F，使BF//平面AEC？

若存在，指明F的位置并证明你的结论。若不存在，说明理由。

12.（本小题满分20分）

已知函数2()1

mx n

f x x +=

+在点))1(,1(--f 的切线方程为03=++y x . （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；

（Ⅱ）设x x g ln )(=，求证：)()(x f x g ≥在),1[+∞∈x 上恒成立； （Ⅲ）已知b a <<0，求证：2

22ln ln b

a a

a b a b +>--.

荆州中学数学教师教学基本功笔试试卷（答案）

一、选择题：（每题6分，共30分）

1. 已知符号函数1,0

sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪

==⎨⎪-<⎩

，则函数2()sgn(ln )ln f x x x =-的零点个数为

( C )

（A ）．4

（B ）．3

（C ）．2 （D ）．1

2. 已知单位向量α，β，满足(α＋2β)⋅(2α－β)＝1，则α与β夹角的余弦值为 （ B ）

（A ）13- （B ）13

（C ）12 （D ）1

5

3. 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且222

b a a

c c =-+，

90C A -=︒，则cos A cos C = （ C ）

（A ）

41 （B

）4 （C ）41- （D

）4

-4. 函数⎩⎨

⎧≤≤+-<≤-+=)

20(2)02(2)(2

x x x x x f 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( C )

(A).

326+ (B). 234+ (C). 3246+ （D ）. 2

2

34+ 解析：C 32

4632420

2)231(2)222213202+=+=+-+=+-+⨯⨯=

⎰x x dx x S （

5．某单位安排7位员工在2012年1月22日至1月28日（即今年除夕到正月初六）值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在除夕，丁不排在初一，则不同的安排方案共有 （ D ） （A ）504种

（B ）960种

（C ）1008种

（D ）1056种

二、填空题：（每题6分，共30分）

6．抛物线2

8y x =的准线为l ，点Q 在圆2

2

:68210C x y x y ++++=上，设抛物线上任意一点P 到直线l 的距离为m ，则||m PQ +