忆阻器及忆阻混沌电路
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忆阻器电学特性的模拟及在混沌系统中的应用研究
忆阻器数学模型对混沌电路进行了设计 和模拟。通过改变忆阻器的参数和配置，可以实现混沌电路的稳定性和动态行为 的调控。此外，我们还探讨了忆阻器在混沌加密和安全通信领域的应用前景，并 进行了相应的实验验证。
结论与展望
本次演示通过对忆阻器电学特性的模拟及在混沌系统中的应用研究，取得了 一些有意义的成果。首先，我们建立了一种简单、准确的忆阻器数学模型，该模 型能够较好地模拟忆阻器的电学特性；其次，我们将忆阻器应用于混沌系统的模 拟和分析中，实现了混沌电路的稳定性和动态行为的调控；最后，我们还探讨了 忆阻器在混沌加密和安全通信领域的应用前景，为未来的研究提供了一定的思路 和方向。
接着，本次演示提出了模拟忆阻器电学特性的实验设计和实施方法，并详细 阐述了混沌系统中忆阻器的应用研究。最后，本次演示对实验结果进行了分析和 总结，并指出了未来研究中需要进一步探讨的问题。
引言
忆阻器作为一种新型的电子元件，自2008年被发现以来，已引起了广泛的和 研究。忆阻器具有独特的电学特性，如非线性、非对称性和记忆效应等，这些特 性使得忆阻器在模拟神经网络、混沌系统、基因电路等领域具有广泛的应用前景。 本次演示将重点探讨忆阻器电学特性的模拟方法及其在混沌系统中的应用。
在混沌系统中，忆阻器的应用研究还处于起步阶段。已有研究表明，忆阻器 可以用于混沌系统的建模和控制。例如，利用忆阻器构建混沌电路，可以实现对 混沌系统的复杂行为进行模拟和分析。此外，忆阻器还可以用于混沌系统的反控 制，例如利用忆阻器实现混沌加密和安全通信。
研究方法
本次演示采用实验研究和理论分析相结合的方法，首先通过实验测试忆阻器 的电学特性，建立相应的数学模型，并使用该模型对混沌系统进行分析和设计。 具体来说，本次演示的实验设计包括以下几个方面：
结论与展望
本次演示通过对忆阻器电学特性的模拟及在混沌系统中的应用研究，取得了 一些有意义的成果。首先，我们建立了一种简单、准确的忆阻器数学模型，该模 型能够较好地模拟忆阻器的电学特性；其次，我们将忆阻器应用于混沌系统的模 拟和分析中，实现了混沌电路的稳定性和动态行为的调控；最后，我们还探讨了 忆阻器在混沌加密和安全通信领域的应用前景，为未来的研究提供了一定的思路 和方向。
接着，本次演示提出了模拟忆阻器电学特性的实验设计和实施方法，并详细 阐述了混沌系统中忆阻器的应用研究。最后，本次演示对实验结果进行了分析和 总结，并指出了未来研究中需要进一步探讨的问题。
引言
忆阻器作为一种新型的电子元件，自2008年被发现以来，已引起了广泛的和 研究。忆阻器具有独特的电学特性，如非线性、非对称性和记忆效应等，这些特 性使得忆阻器在模拟神经网络、混沌系统、基因电路等领域具有广泛的应用前景。 本次演示将重点探讨忆阻器电学特性的模拟方法及其在混沌系统中的应用。
在混沌系统中，忆阻器的应用研究还处于起步阶段。已有研究表明，忆阻器 可以用于混沌系统的建模和控制。例如，利用忆阻器构建混沌电路，可以实现对 混沌系统的复杂行为进行模拟和分析。此外，忆阻器还可以用于混沌系统的反控 制，例如利用忆阻器实现混沌加密和安全通信。
研究方法
本次演示采用实验研究和理论分析相结合的方法，首先通过实验测试忆阻器 的电学特性，建立相应的数学模型，并使用该模型对混沌系统进行分析和设计。 具体来说，本次演示的实验设计包括以下几个方面：
忆阻混沌电路
6期
包伯成等： 忆阻混沌振荡器的动力学分析
3787
选择电路参数使得 α = 16. 4 ，β = 15 ，γ = 0. 5 ， ξ = 1. 4 ， a = 0. 2 和 b = 0. 4 ， 对 于 初 始 条 件 （ 0， － 10 10 ， 0， 0） ， 系统（ 5 ） 生成了一个双涡卷混沌吸引 它在相空间或相平面上的投影如图 2 所示. 图 2 子， （ d） 显示的是忆阻振荡电路中忆阻器的端电压与流 i 平面上的混沌吸引子， 过的电流在 v它反映了忆阻 器元件的非线性动力学特性. 利用 Jacobi 方法计算 Lyapunov 指 数 得 L1 = 0. 3542 ，L2 = 0. 0008 ，L3 = － 0. 0007 ，L4 = － 7. 8311 ， Lyapunov 维 数 为 d L = 2. 0452. 在 y = 0 截面上三维 Poincaré 映射轨线在 xz平面上的投影如图 3 （ a） 所示， 三个状态变量的时 域波形如图 3 （ b ） 所示， 它们是非周期性的， 貌似随 Poincaré 映射、 机的. 因此， 从忆阻振荡器的相轨图、 时域波形以及相应的 Lyapunov 指数和维数可知， 该 振荡器是混沌振荡的.
3 2 2 λ［ λ + （ 1. 2 αc － 0. 2 α + 1. 5 ） λ
+ （1. 8αc2 － 1. 3α + 15. 5） λ + 18. 6αc2 － 3. 6α］ = 0. （8） （ 8 ） 式方括号中的三次多项式方程的系数均为非零 Hurwitz 稳定条件， 实常数. 根据 Routh该三次多项 式方程的根的实部为负的充分必要条件是 1. 2 αc2 － 0. 2 α + 1. 5 > 0 ， 1. 8 αc2 － 1. 3 α + 15 . 5 > 0 ， 18 . 6 αc2 － 3 . 6 α > 0 ， （ 1. 2 αc － 0. 2 α + 1. 5 ） （ 1. 8 αc － 1. 3 α + 15 . 5 ） － （ 18 . 6 αc2 － 3 . 6 α） > 0 ， 式 中 α 为 正 常 数， 即 有 α > 11. 9231 ， c 0. 4399 ， 以及 2. 16 α2 c4 + （ 2. 7 α － 1. 92 α2 ） c2 + 0. 26 α2 － 1. 45 α + 23 . 25 > 0. 若选择 α = 12 —18 ， c （ 10 ） = 0 —1 ，则满足（ 9 ） 式的参 >
基于忆阻器的四阶混沌震荡电路研究
基于忆阻器的四阶混沌震荡电路研究采用忆阻器替换蔡氏混沌电路中的蔡氏二极管，导出了一个四阶忆阻型混沌振荡电路。
利用常规的分立元件设计了一种新的分段线性有源磁控忆阻器模拟器，借助模拟器进行了忆阻型混沌振荡电路的Pspice仿真，结果表明与Matlab 数值仿真分析结果非常吻合。
标签：混沌电路；忆阻器；忆阻器模拟器1 概述1971年，Chua根据电压、电流、电荷和磁通四个电路变量间关系的对称性和完备性，从理论上预测了描述电荷和磁通关系的元件-忆阻器[1]。
憶阻器作为一种具有记忆功能的非线性元件，由其构成的混沌电路能够产生丰富的混沌动力学行为[2]，因此在保密通信[3]和图像加密[4]中潜在着应用价值。
针对忆阻器在混沌电路中的研究，Itoh和蔡少棠[5]采用一个单调上升分段线性函数描述的忆阻器替换蔡氏振荡器中的蔡氏二极管，实现了一个基于忆阻器的类正弦振荡电路；包伯成等[6]人采用一个单调递增三次光滑函数描述的忆阻器替换蔡氏振荡器中的蔡氏二极管，实现了一个基于忆阻器的光滑振荡电路，但是上述忆阻器混沌电路都未能电路实现，因此设计一类可电路实现的忆阻器混沌电路很有必要。
因此文章首先设计了一种新的分段线性有源磁控忆阻器模拟器，该模拟器电路结构简单、工作频率很高而且能很好的模拟忆阻器的功能，利用模拟器实现了忆阻器混沌电路的Pspice仿真分析，结果与数值仿真分析基本吻合。
2 忆阻混沌电路通过采用一个分段线性函数描述的有源磁控忆阻器替换蔡氏振荡电路中的蔡氏二极管，导出了一个忆阻型四阶混沌振荡电路，如图1所示。
运用基尔霍夫电压、电流定律，可得图1所示系统的状态方程组为：选择电路参数使α=108，β=107，γ=0.56*10-3，δ=58.82，a=0.8*10-3，b=0.2*10-3，对于合适的初始条件，系统（3）生成了一个双涡卷混沌吸引子，它在相平面上的投影如图2所示，通过计算，该系统的Lyapunov指数为：L1=0.2206，L2=0，L3=-0.0702，L4=-0.8520，Lyapunov维数为dL=3.1542，可知其产生了混沌特性。
忆阻器及忆阻混沌电路ppt课件
上述四个电路变量两两之间→_可→以建立六个数学关系式，其 中五对关系式已经为大家所熟知——分别来自R、C、L、Q 的定义和法拉第电磁感应定律（如图1所示），但φ、Q 间 的关系却一直没被揭示。
1 引言
根据图1中基本变量组合完 备性原理，，美国加州大 学伯克利分校华裔科学家 蔡少棠于1971年从理论上 预测了描述电荷和磁通关 系元件的存在性，并且定 义这类元件为记忆电阻器 （简称忆阻器，英文名称 为Memristor）.
忆阻器与忆阻混沌电路
学号： 姓名：
目录
1 2 3
忆引基阻于言器三的次等模型效型忆电阻路器模的型混沌电路 4
LOGO
.
1 引言
由电路基本理论可知，电路和元件特性是有四个基本变量 来描述的，分别为四个电路变量电压（V）、电流（I）、 磁通量（φ）和电荷量（Q） a.电压和电流关系→电阻器R b.电压和电荷关系→电容器C c.电流和磁通关系→电感器L
图3 HP TiO2 忆阻的基本模型
.
➢ HP TiO2忆阻线性杂质漂移模型和非线性窗函数模型可以统一表 示为:
式中：i为输入电流； v 为输出电压； RON.ROFF和k 为系统参数； x为状态变量； M(x)代表忆阻模型的忆阻器； Fn(x)(n=1,2,3,4,5)分别代表HP线性窗函数和4种非线性窗函数
.
2 忆阻器模型
2.1 忆阻器的定义 2.2 物理器件模型 2.3 数学理论模型
2.3.1 分段线性模型 2.3.2 三次型非线性模型 2.3.3 二次型非线性模型
.
2 忆阻器模型
2.1 忆阻器的定义
➢ 忆阻器是一个基本的无源二端元件，它的磁通量φ 与累积 的电荷q 之间的关系可以用φ -q 或q- φ平面上的一条曲 线f(φ ，q) = 0 来确定，忆阻器分为荷控忆阻器和磁控 忆阻器两种，如图2所示
1 引言
根据图1中基本变量组合完 备性原理，，美国加州大 学伯克利分校华裔科学家 蔡少棠于1971年从理论上 预测了描述电荷和磁通关 系元件的存在性，并且定 义这类元件为记忆电阻器 （简称忆阻器，英文名称 为Memristor）.
忆阻器与忆阻混沌电路
学号： 姓名：
目录
1 2 3
忆引基阻于言器三的次等模型效型忆电阻路器模的型混沌电路 4
LOGO
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1 引言
由电路基本理论可知，电路和元件特性是有四个基本变量 来描述的，分别为四个电路变量电压（V）、电流（I）、 磁通量（φ）和电荷量（Q） a.电压和电流关系→电阻器R b.电压和电荷关系→电容器C c.电流和磁通关系→电感器L
图3 HP TiO2 忆阻的基本模型
.
➢ HP TiO2忆阻线性杂质漂移模型和非线性窗函数模型可以统一表 示为:
式中：i为输入电流； v 为输出电压； RON.ROFF和k 为系统参数； x为状态变量； M(x)代表忆阻模型的忆阻器； Fn(x)(n=1,2,3,4,5)分别代表HP线性窗函数和4种非线性窗函数
.
2 忆阻器模型
2.1 忆阻器的定义 2.2 物理器件模型 2.3 数学理论模型
2.3.1 分段线性模型 2.3.2 三次型非线性模型 2.3.3 二次型非线性模型
.
2 忆阻器模型
2.1 忆阻器的定义
➢ 忆阻器是一个基本的无源二端元件，它的磁通量φ 与累积 的电荷q 之间的关系可以用φ -q 或q- φ平面上的一条曲 线f(φ ，q) = 0 来确定，忆阻器分为荷控忆阻器和磁控 忆阻器两种，如图2所示
忆阻器及忆阻混沌电路
图（1）反相比例电路
根据理想运算放大器的二个特点知 u+=u—=0，i1=i2
忆阻器及忆阻混沌 电路
（1）反相比例电路
➢ 上式中，u+为同相输入端的输入电压，u-为反相输入端的 输入电压。 i1=ui/R1, i2=-uo/R2
得uo=-R2/R1*ui
➢ 可知，输出电压与输入电压是比例运算关系，或者说是比 例放大关系，并且成反向，所以这种电路又称为反相比例 运算电路。 当R1=R2时，uo=-ui，这就是反相器。
忆阻器及忆阻混沌 电路
2.3.2 三次型非线性模型
上述忆阻器所消耗的即时功率为
p(t)W ((t))u(t)20
从时刻t0到t,对所有t>=t0,流入此忆阻器的能量满足
w(t0,t)
t p()d0
t0
因此，具有图所示特性曲线的磁控忆阻器是无源的。
忆阻器及忆阻混沌 电路
2.3.3 二次型非线性模型
忆阻器及忆阻混沌 电路
图3 HP TiO2 忆阻的基本模型
➢ HP TiO2忆阻线性杂质漂移模型和非线性窗函数模型可以统一表 示为:
式中：i为输入电流； v 为输出电压； RON.ROFF和k 为系统参数； x为状态变量； M(x)代表忆阻模型的忆阻器； Fn(x)(n=1,2,3,4,5)分别代表HP线性窗函数和4种非线性窗函数
W ( ) d 0 . 5 ( c d ) [ s g n ( 1 ) s g n ( 1 ) ]
或 q () d 0 .5 ( c d ) ( 1 1 )
忆阻器及忆阻混沌 电路
相应的忆阻和忆导分别为
M ( q ) b 0 . 5 ( a b ) [ s g n ( q 1 ) s g n ( q 1 ) ]
根据理想运算放大器的二个特点知 u+=u—=0，i1=i2
忆阻器及忆阻混沌 电路
（1）反相比例电路
➢ 上式中，u+为同相输入端的输入电压，u-为反相输入端的 输入电压。 i1=ui/R1, i2=-uo/R2
得uo=-R2/R1*ui
➢ 可知，输出电压与输入电压是比例运算关系，或者说是比 例放大关系，并且成反向，所以这种电路又称为反相比例 运算电路。 当R1=R2时，uo=-ui，这就是反相器。
忆阻器及忆阻混沌 电路
2.3.2 三次型非线性模型
上述忆阻器所消耗的即时功率为
p(t)W ((t))u(t)20
从时刻t0到t,对所有t>=t0,流入此忆阻器的能量满足
w(t0,t)
t p()d0
t0
因此，具有图所示特性曲线的磁控忆阻器是无源的。
忆阻器及忆阻混沌 电路
2.3.3 二次型非线性模型
忆阻器及忆阻混沌 电路
图3 HP TiO2 忆阻的基本模型
➢ HP TiO2忆阻线性杂质漂移模型和非线性窗函数模型可以统一表 示为:
式中：i为输入电流； v 为输出电压； RON.ROFF和k 为系统参数； x为状态变量； M(x)代表忆阻模型的忆阻器； Fn(x)(n=1,2,3,4,5)分别代表HP线性窗函数和4种非线性窗函数
W ( ) d 0 . 5 ( c d ) [ s g n ( 1 ) s g n ( 1 ) ]
或 q () d 0 .5 ( c d ) ( 1 1 )
忆阻器及忆阻混沌 电路
相应的忆阻和忆导分别为
M ( q ) b 0 . 5 ( a b ) [ s g n ( q 1 ) s g n ( q 1 ) ]
分数阶时滞忆阻混沌电路的动力学分析及电路仿真
2］区间变化，见图 4。从分岔图可以很明显地看出
和 C1 = 1.232μFC 2 = 1.835μFC 3 = 1.10μF 。 运 算
时，出现 Hopf 分叉，最后随着 a 的增加变为混沌状
供 ±15 的 电 压 和 R = 11.24kΩ ，整 体 电 路 图 如 图 6
系统（2）的轨道从周期状态开始，然后当经过阈值
数阶忆阻器 ，将其替换图 1 中的电容得到分数阶磁
控忆阻器，数学表达式为
ì dx q 2
ï
= 1 q x1
dt
R 0C 0
ï
（1）
í
æ1
g1 g 2
2ö
ï
1
ï f ( x1 x 2 ) = ç R - R + R [ x 2] ÷ x1
2
è 1
ø
î
其中 x1、x2 和 （
f x1，x2）分别是忆阻器的输入、内部状
态。各状态的相位图和时域图如图 3 所示。当
（a）a = 1.62
放 大 器 和 乘 法 器 采 用 AD711KN 和 AD633JN ，提
（c）所示。
（b）a = 1.68
（d）a = 1.62
（e）a = 1.73
图5
相位图与时域图
（c） a = 1.73
统进入混沌状态，如图 5（b）和（e）所示。当 a = 1.73
时，系统展现出双涡旋的混沌吸引子，如图 5（c）和
（f）所示。
出一个引理来讨论式（3）的根的分布。
引理 1 对于式（3），以下结果成立：
1）如 果 ψ k > 0(k = 1234) 且 A 3 + A 4 ¹ 0 ，则
方程（3）在时滞 τ ³ 0 时没有实部为零的根。
含磁控忆阻器阻尼特性电路的混沌特性分析
（ ｔ ） ≥ ０。 图 ２ （ ｂ ） 中的荷控忆 阻器 相应 的有 电磁 随 电荷变 化率 Ｍ（ ｑ ）； ｄ ｑ ￣ （ ｑ ） ／ ｄ ｑ， 电流 和 电压 间伏
根据 Ｋ ｉ ｒ ｃ ｈ ｈ ｏ ｆ定 律和元 件 的伏 安 特 性 ， 可 得 系 统 非线性 动力 学方程 ， 其 状态方 程组 ：
２ 含磁控 忆阻器 的混沌 电路
提 出一 个 基 于忆 阻器 的 新 的五 阶混 沌 电路 如
＝ａ ［ Ｙ— —Ｗ（ ｕ ） ｘ ］ Ｙ ＝ｂ （ —ｙ＋ｚ ）
＝Ｃ （ Ｗ —Ｙ ）
Ｗ ＝ｄ ｗ —ｅ ０
（ ６ ）
图 ３所 示 ， 它是 在典 型 的蔡 氏 电路 的基 础 上 采 用一
忆 阻器 是一 个 基 本 的无 源 二 端 元 件 ， 其 电磁
图 ３ 五阶忆 阻器 电路
和 电荷 ｑ的关 系 可用
， ｇ ） ＝０确定 ， 分为 磁控忆
（ ） ＝ｄ ｑ （ ） ／ ｄ ＝ ＋３ ｌ ｆ ｑ ￣ （ ４ ）
阻器 和荷 控忆 阻 器 ¨ Ｊ 。图 ２ （ ａ ） 中 的磁 控忆 阻器
忆 阻器 ， 采用 特性 曲线 为 光 滑 三次 单 调 上 升 的非 线
性 特性 曲线 ：
ｑ （ ） ： ＋ 。 （ ３ ）
件［ ０ ． １ ， ０ ． １ ， ０ ． ０ ０ ０ １ ， ０ ． １ ， ０ ． １ ］ ， 显 示存 在奇 怪 吸引
子， 采用 五阶 龙格 一 库塔离散化算法， 仿 真得 到 动力
可用 一 ｇ 平 面通 过原点 的特性 曲线 ｑ＝ｑ （ ）表征 ， 其 斜 率 为 电 荷 随 电 磁 的 变 化 率 Ｗ（ ） 一 ｄ ｑ （ ） ／ ， 电流 和 电压 两 端伏 安 特 性 可 以描 述 为 ｉ （ ｔ ） ＝Ｗ［ （ ｔ ） ］ （ ｔ ）， 其 瞬 时功率 Ｐ（ ｔ ）＝Ｗ（ ）×
根据 Ｋ ｉ ｒ ｃ ｈ ｈ ｏ ｆ定 律和元 件 的伏 安 特 性 ， 可 得 系 统 非线性 动力 学方程 ， 其 状态方 程组 ：
２ 含磁控 忆阻器 的混沌 电路
提 出一 个 基 于忆 阻器 的 新 的五 阶混 沌 电路 如
＝ａ ［ Ｙ— —Ｗ（ ｕ ） ｘ ］ Ｙ ＝ｂ （ —ｙ＋ｚ ）
＝Ｃ （ Ｗ —Ｙ ）
Ｗ ＝ｄ ｗ —ｅ ０
（ ６ ）
图 ３所 示 ， 它是 在典 型 的蔡 氏 电路 的基 础 上 采 用一
忆 阻器 是一 个 基 本 的无 源 二 端 元 件 ， 其 电磁
图 ３ 五阶忆 阻器 电路
和 电荷 ｑ的关 系 可用
， ｇ ） ＝０确定 ， 分为 磁控忆
（ ） ＝ｄ ｑ （ ） ／ ｄ ＝ ＋３ ｌ ｆ ｑ ￣ （ ４ ）
阻器 和荷 控忆 阻 器 ¨ Ｊ 。图 ２ （ ａ ） 中 的磁 控忆 阻器
忆 阻器 ， 采用 特性 曲线 为 光 滑 三次 单 调 上 升 的非 线
性 特性 曲线 ：
ｑ （ ） ： ＋ 。 （ ３ ）
件［ ０ ． １ ， ０ ． １ ， ０ ． ０ ０ ０ １ ， ０ ． １ ， ０ ． １ ］ ， 显 示存 在奇 怪 吸引
子， 采用 五阶 龙格 一 库塔离散化算法， 仿 真得 到 动力
可用 一 ｇ 平 面通 过原点 的特性 曲线 ｑ＝ｑ （ ）表征 ， 其 斜 率 为 电 荷 随 电 磁 的 变 化 率 Ｗ（ ） 一 ｄ ｑ （ ） ／ ， 电流 和 电压 两 端伏 安 特 性 可 以描 述 为 ｉ （ ｔ ） ＝Ｗ［ （ ｔ ） ］ （ ｔ ）， 其 瞬 时功率 Ｐ（ ｔ ）＝Ｗ（ ）×
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2.3 数学器件模型
2.3.1 分段线性模型 2.3.2 三次型非线性模型 2.3.3 二次型非线性模型
2.3.1
分段线性模型
Itoh和蔡少棠教授采用一个特性曲线为单调上升且分段 线性的非线性忆阻器替换蔡氏振荡器或规范式蔡氏振荡 器中的蔡氏二极管，导出了两类基于忆阻器的混沌振荡 电路，这些忆阻振荡器可生成不同形状的混沌吸引子。 图4所示的忆阻器的特性曲线可表达为如下数学关系式 ：
q( ) a b 3
2.控忆阻器特性曲线和相应的忆导关系曲线
2.3.2 三次型非线性模型
上述忆阻器所消耗的即时功率为
p(t ) W ( (t ))u(t )2 0
从时刻t0到t,对所有t>=t0,流入此忆阻器的能量满足
t0 因此，具有图所示特性曲线的磁控忆阻器是无源的。
W （） =
称为忆导，流过的电流和两端的电压之间的伏安特性可以描述为i（t）= W(φ ) u(t)． 这里M(q) 和W(φ ) 均是非线性函数，且取决于忆阻 器内部状态变量q 或 φ ．
dq ( ) d
2.2 物理器件模型
忆阻模型种类很多，大致可以分为二大类：物理器件模型 和数学理论模型。 分类： 基于金属和金属氧化物的纳米级忆阻器（惠普实验室） 基于电子磁性特性的电子自旋忆阻器 基于具有亚纳秒开关特性的氧化钽忆阻器 基于具有亚纳秒开关特性的铁电忆阻器 基于具有亚纳秒开关特性的铁电隧道忆阻器 基于具有亚纳秒开关特性的发光忆阻器 研究在所有忆阻物理器件模型中，研究并应用最为广泛的 是HP TiO2忆阻线性杂质漂移模型和HP TiO2忆阻非线 性窗函数模型。
1 引言
根据图1中基本变量组合完 备性原理，，美国加州大 学伯克利分校华裔科学家 蔡少棠于1971年从理论上 预测了描述电荷和磁通关 系元件的存在性，并且定 义这类元件为记忆电阻器 （简称忆阻器，英文名称 为Memristor）.
图1 电路的四个基本变量与四个基本元件
1 引言
忆阻器具有其他三种基本元件任意组合都不能复制的特性 ，是一种有记忆功能的非线性电阻，可以记忆流经它的电 荷数量，通过控制电流的变化可改变其阻值。 2008年5月，惠普公司实验室研究人员Strukov等在 Nature上首次报道了忆阻器的实现性，其研究成果震惊 了国际电工电子技术世界，极大的唤起了人们开展忆阻器 的全方位研究的兴趣。 →_→ 2008年11月，美国加州大学Pershi和Ventra二位学者 在Physical Review B上发表文章，描述了在半导体自 旋电子器件中发现了自旋记忆效应，提出了自旋电子忆阻 器器件。
图（1）乘法电路
3.1.2非线性运算电路
（2）符号函数电路 a. 前级运算放大器电路是开环电路，利用运算放大器的饱和 特性实现符号运算功能；后级运算放大器电路就是反相比 例电路，实现反相比例运算功能。 b. 前级运算放大器工作在开环状态，设其开环放大倍数为A ，输出饱和电压为Esat,则前级运算放大器工作在线性区 时的输出端电压u1=-Aui,在运算放大器较理想的情况下 存在A趋于无穷大。
2.3.3 二次型非线性模型
图 6 有源磁控忆阻器特性曲线及其忆导关系曲线
2.3.3 二次型非线性模型
由于有源磁控忆阻器的忆导在一定范围内可以变成负值，因此其 即时功率 2
p(t ) W ( (t ))u(t ) 0
w(t0 , t )
和流入的能量
t
t0
p( )d 0
图2 忆阻器 （a）荷控忆阻器（b）磁控忆阻器
图1( a) 中的荷控忆阻器可以用q- φ 平面上一条通过原点的特性曲 线 = φ ( q) 来表征，其斜率即磁链随电荷的变化率
d (q) M (q) dq
称为忆阻，流过的电流i(t)与两端的电压u(t)之间的伏安关系（VCR ）可以描述为u(t) =M(q) i(t) ． 图1( b) 中的磁控忆阻器可以用 -q 平面上一条通过原点的特性曲线 q = q(φ ) 来表征，其斜率即电荷随磁链的变化率
随着时间的演化将在正值和负值之间变化。 根据蔡少棠提出的忆阻器无源定理，可以判断上式描述的是磁控 忆阻器不具备无源性，有源的。 一个有源忆阻器可以等效为一个有无源忆阻器和负电阻组成的忆 阻电力。
3 忆阻器的等效电路模型
3.1 模拟单元电路介绍
3.1.1 线性运算电路 3.1.2非线性运算电路 3.1.3 模拟时滞电路
（1）反相比例电路
上式中，u+为同相输入端的输入电压，u-为反相输入端的 输入电压。 i1=ui/R1, i2=-uo/R2
得uo=-R2/R1*ui 可知，输出电压与输入电压是比例运算关系，或者说是比 例放大关系，并且成反向，所以这种电路又称为反相比例 运算电路。 当R1=R2时，uo=-ui，这就是反相器。
忆阻器与忆阻混沌电路
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引言 忆阻器的模型 忆阻器的等效电路模型 基于三次型忆阻器的混沌电路
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1 引言
由电路基本理论可知，电路和元件特性是有四个基本变量 来描述的，分别为四个电路变量电压（V）、电流（I）、 磁通量（φ ）和电荷量（Q） a.电压和电流关系→电阻器R b.电压和电荷关系→电容器C c.电流和磁通关系→电感器L →_→ 上述四个电路变量两两之间可以建立六个数学关系式，其 中五对关系式已经为大家所熟知——分别来自R、C、L、Q 的定义和法拉第电磁感应定律（如图1所示），但φ 、Q 间 的关系却一直没被揭示。
（2）反相加法电路
图所示是一个反相加法器，可对输入电压进行加法运算。 有图可得 i1=u1/R1,i2=u2/R2,i3=u3/R3,i4=-uo/R4 根据KCL定律，得i4=i1+i2+i3 得 R4 R4 R4 u0 = - u1 u2 u3
R1
R2
R3
当R1=R2=R3=R4=R时，式子可以得uo=-(u1+u2+u3)
式中，a.b.c和d是正常数；sgn(.)为符号常数。
图 4 分段线性忆阻特性曲线
2.3.2 三次型非线性模型
该部分主要针对磁控忆阻器展开相应的研究工作。定义磁控忆 阻器是由一条光滑单调上升的三次非线性特性曲线来描述，即
W ( )
dq( ) a 3b 2 d
（ 1）
式中，a,b>0.由此可得到它的忆导W(φ ) （ 2） 式（1）所描述的磁控忆阻器在平面上的特性曲线如图5所示； 式（2）所描述的忆导关系曲线如图5所示，它是跟随内部状态 变量变化的φ 正值函数
2 忆阻器模型
2.1 2.2 2.3 忆阻器的定义 物理器件模型 数学理论模型 2.3.1 分段线性模型 2.3.2 三次型非线性模型 2.3.3 二次型非线性模型
2 忆阻器模型
2.1 忆阻器的定义
忆阻器是一个基本的无源二端元件，它的磁通量φ 与累积 的电荷q 之间的关系可以用φ -q 或q- φ 平面上的一条曲 线f(φ ，q) = 0 来确定，忆阻器分为荷控忆阻器和磁控 忆阻器两种，如图2所示
图（2）反相加法电路
(3)同相比例电路
图下所示电路是一个同相放 大器。根据理想运算放大器 的二个特点可以知道， u+=u-=ui,i1=i2 由图可以列出
u u u u u i1 i , i2 o i o R1 R3 R3
可得 u 1 R3 u i o
R1
图（3）a同相比例电路
当电阻R1=∞（断开）或者 R3=0时，式可以写成 u0=ui，为电压跟随器。
图（3）b 电压跟随器
(4)反相积分电路
图所示电路是一个反相积分器，可对输入电压进行积分运 算。 u duo d 由图可知 i1 = i , i2 C1 (u- -uo) C1 根据理想运算放大器的特点（i1=i2）,可得 duo 1 ui 即u o
图3 HP TiO2 忆阻的基本模型
HP TiO2忆阻线性杂质漂移模型和非线性窗函数模型可以统一表 示为:
式中：i为输入电流； v 为输出电压； RON.ROFF和k 为系统参数； x为状态变量； M(x)代表忆阻模型的忆阻器； Fn(x)(n=1,2,3,4,5)分别代表HP线性窗函数和4种非线性窗函数
w(t0 , t ) p( )d 0
t
2.3.3 二次型非线性模型
一个分段二次型非线性特性曲线描述的有源磁控忆阻器可 表示为
q( ) a 0.5 sgn( )
2
式中，a,b>0,sgn(.)为符号函数。因此，可得到它相应 的忆导
dq( ) W ( ) a b d
1 引言
通过忆阻器的电流可以改变其电阻，而且这种变化当断电 时还能继续保护，从而使得忆阻器成为天然的非易失性存 储器。 忆阻器的出现，将不仅使得集成电路元件变得更小，计算 机可以即开机关，而且拥有可以模拟复杂的人脑神经功能 的超级能力。 因此，忆阻器的记忆特性将对计算机科学，生物工程学， →_→ 神经网络，电子工程，通信工程等产生极其深远的影响， 同时，忆阻电路的存在，使基础元件由电阻，电容和电感 增加到四个，忆阻器为电路设计及其忆阻电路应用提供了 全新的发展空间。
3.1 模拟单元电路介绍
3.1.1 线性运算电路
（1）反相比例电路 一个反相比例电路如图所示。 其中输入信号ui经过电阻R1送到反相输入端，同相输入端 相当于接“地”（又称“虚地”）。在同相输入端和”地 “之间有时会加一个平衡电阻，其作用主要是消除静态电 流对输出电压的影响。
图（1）反相比例电路
根据理想运算放大器的二个特点知 u+=u—=0，i1=i2
R1
dt
dt
u dt