综合法与分析法

引1
引例1 已知 a、b 是正数，且 a＋b＝1， 求证：1a＋1b≥4. 【思路点拨】 解答本题可由已知条 件出发，结合基本不等式，即可得出 结论．
从已知条件出发，以已知定义、公理、定理等 为依据,逐步下推，直到推出要证明的结论为 止，这种证明方法叫做综合法(顺推证法)
用P表示已知条件、已有的定义、公理、 定理等,Q表示所要证明的结论.
3.综合法和分析法是两种互逆的思维 模式，在证明某些较复杂的问题时，常 采用分析综合法，用综合法拓展条件， 用分析法转化结论，找出已知与结论的 连结点.
❖ 求证：logn(n＋1)>logn＋1(n＋2)(n≥2)．
[证明] 分析法：
要证 logn(n＋1)>logn＋1(n＋2)
只需证明log1n＋1n>logn＋1(n＋2)
定理 等，经过一 后，把要证明的结论归结
系列的 推理论证 ， 为判定一个明显成立的条
最后推导出所要证明
件(已知条件、
的结论成立，这种证 定理、定义、公理 等)，这种证
明方法叫做综合法
明方法叫做分析法
综合法
分析法
框图 表示
(P表示 已知条件 、已有的
定义、公理、定理
等，
Q表示所要证明的结论 )
特点 顺推证法或由因导果法 逆推证法或执果索因法
❖ 2．综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合 法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得 到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜 想”．
❖ 综合法和分析法
定义
综合法
分析法
利用 已知条件 和某 从要证明的 结论出发 ，
些数
逐步寻求使它成立
学 公理 、 定义 、 的 充分条件 ，直至最
[例 4] 如果 a>b，ab＝1，求证：a2＋b2≥2 2(a－b)， 并指明何时取“＝”号．
❖ [分析] 先用分析法将所证不等式转化为易 证的等价式子，再用综合法进行证明．
[解析] 因为 a>b，a－b>0，所以欲证 a2＋b2≥2 2(a－b)． 只需证aa2－＋bb2≥2 2. 因为 a>b，所以 a－b>0，又知 ab＝1， 所以aa2－＋bb2＝a2＋b2－a－2abb＋2ab＝(a－a－b)2b＋2 ＝(a－b)＋a－2 b≥2 (a－b)·a－2 b＝2 2. 所以aa2－＋bb2≥2 2，即 a2＋b2≥2 2(a－b)． 当且仅当 a－b＝a－2 b，即 a－b＝ 2时，取等号．
已知 a，b 是不等正数，且 a3－b3＝a2－b2，求证：1<a ＋b<43.
[证明] ∵a3－b3＝a2－b2 且 a≠b， ∴a2＋ab＋b2＝a＋b， 由(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2>a2＋ab＋b2 得 (a＋b)2>a＋b，又 a＋b>0，∴a＋b>1，
要证 a＋b<43，即证 3(a＋b)<4， ∵a＋b>0，∴只需证明 3(a＋b)2<4(a＋b)， 又 a＋b＝a2＋ab＋b2 即证：3(a＋b)2<4(a2＋ab＋b2) 也就是证明(a－b)2>0 因为 a，b 是不等正数，故(a－b)2>0 成立． 故 a＋b<43成立． 综上，得 1<a＋b<43.
∵logn＋1n>0
∴只需证 logn＋1n·logn＋1(n＋2)<1.
∵logn＋1n·logn＋1(n＋2)<logn＋1n＋lo2gn＋1(n＋2)2
＝logn＋1[n(n＋2gn＋1[n2(n＋2)]<1 即 logn＋1[n(n＋2)]<logn＋1(n＋1)2 ∴也就是证 n(n＋2)<(n＋1)2，这是显然成立的． ∴原不等式成立． 综合法： logn(n＋1)－logn＋1(n＋2)＝lg(lng＋n 1)－llgg((nn＋ ＋21))
失误防范 1．利用综合法证明问题时，要把产生某结果的 具体原因写完整，不可遗漏． 2．用分析法书写证明过程时，格式要规范，一 般为“欲证…，只需证…，只需证…，由于…显 然成立(已知，已证…)，所以原结论成立．”其中 的关联词语不能省略．
＝lg2(n＋lg1n)－lg(lng＋n·l1g)(n＋2)
∵n(n＋2)<(n＋1)2 ∴lg[n(n＋2)]<lg(n＋1)2 ∵lgnlg(n＋2)<lgn＋lg2(n＋2)2 ＝lgn(n2＋2)2<lg(n＋2 1)22＝lg2(n＋1) ∴logn(n＋1)－logn＋1(n＋2)>0 ∴logn(n＋1)>logn＋1(n＋2)．
例2 只需证 ( 8 7 )2 ( 5 10 )2. 即证 8 7 2 56 5 10 2 50.
.
只需证 2 56 2 50 ,即56 50. 故不等式成立.
注：从求证的结论出发，逐步寻求使结论成立的充分 条件。
从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中， 使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把 要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 为止，这种证明的方法叫做分析法．
[点评] (1)本题证明的前半部分用分析法，要证结论成立，
只需证aa2－＋bb2≥2 2，后半部分用综合法证明了aa2＋－bb2≥2 2.
❖ (2)在解决问题时，我们经常把综合法和分 析法结合起来使用，根据条件的结构特点去 转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结 构特点去转化条件，得到中间结论P，若由 P可以推出Q成立，就可以证明结论成 立．一般情况下，用分析法寻找思路，用综 合法完成证明．
直接证明(回顾小结)
概念
综分 合析 法法
分析法 解题方向比较明确，
利于寻找解题思路；
综合法 条理清晰，易于表述。
通常以分析法寻求 思路，再用综合法有条理地
表述解题过程
小结
1.在数学证明中，综合法和分析法是 两种最常用的数学方法，若从已知入手 能找到证明的途径，则用 ，否则 用.
2.综合法的每步推理都是寻找 条件， 分析法的每步推理都是寻找 条件，在 解题表述中要注意语言的规范性和逻辑 性.
2≥ab，a2＋b2≥(a＋2 b)2. ③若 a、b∈(0，＋∞)，则a＋2 b≥ ab，特别是ba＋ab≥2. ④a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a、b、c∈R)．
例1:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc
练习1：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边 分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列，a、b、c成 等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角形．
❖2．2 直接证明与间接证明 ❖2．2.1 综合法与分析法
❖ 理解综合法和分析法的概念及它们的区别， 能熟练地运用综合法、分析法证题．
❖ 本节重点：综合法与分析法的概念及用分析 法与综合法证题的过程、特点．
❖ 本节难点：用综合法与分析法证明命题．
❖ 1．分析法与综合法既有区别又有联系，分析法是从 “未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，每步推理都 是寻找该步结论的充分条件，是“执果索因”，综合法 是从“已知”看“可知”逐步推向“未知”，每步推理 都是“由因导果”，而实际解决问题时，常将两种方法 结合起来使用．由已知条件看能得到哪些明显的结论， 看待证结论需要这些结论中的哪些才能获证，常常是 “分析找思路，综合写过程”．
概念深化
1．综合法与分析法的推理过程是合情推理还是 演绎推理？ 提示：综合法与分析法的推理过程是演绎推理， 因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻 辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不 同于合情推理中的“猜想”．
2．分析法是把所要求证的结论当作已知条件来 推理吗？ 提示：分析法并不是把所要求证的结论当作已知 条件来推理，而是寻求使结论成立的充分条件．
这个明显成立的条件可以是： 已知条件、定理、定义、公理等
特点： 执果索因 即： 要证结果Q，只需证条件P
[例 2]
已知
a>0，b>0，求证：
a＋ b
b≥ a
a＋
b.
变式 1 当 a≥2 时，求证： a＋1－ a< a－1－ a－2.
求证： a－3－ a－4< a－5－ a－6（. a>6）
变式2：已知：a, b R ，且 a b ， 求证：a3 b3 a2b ab2
分析 :由A,B,C成等差数列可得什么? 由a,b,c成等比数列可得什么?
怎样把边,角联系起来?
余弦定理 : b2 a2 c2 2ac cos B
练习2：求证： 1 2 3 2
log5 19 log3 19 log2 19
探索求知
引例2：求证不等式： 8 7 5 10. 证明：要证 8 7 5 10,
则综合法用框图表示为:
P Q1
Q1 Q2
Q2 Q3
… Qn Q
特点:“由因导果”
【思维总结】 2．综合法证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性
质和已知的重要不等式，其中常用的有如下几个： ①a2≥0(a∈R)． ②(a－b)2≥0(a、b∈R)，其变形有 a2＋b2≥2ab，a＋2 b