最短路径问题-几何题技巧

（）从 地出发，到河边 饮马，然后到 地； （）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与，
连接起来的两条线段的长度之和，就是从 地
到饮马地点，再回到 地的路程之和；
探索新知
问题 如图，点， 在直线 的同侧，点 是直
线上的一个动点，当点 在 的什么位置时， 与
的和最小？
追问 对于问题，如何 将点“移”到 的另一侧′
B
·
A
·
处，满足直线 上的任意一点
l
，都保持 与′的长度
相等？
探索新知
问题 如图，点， 在直线 的同侧，点 是直
线上的一个动点，当点 在 的什么位置时， 与
的和最小？
追问 你能利用轴对称的
A
·Βιβλιοθήκη Baidu
有关知识，找到上问中符合条
件的点′吗？
B
·
l
探索新知
问题 如图，点， 在直线 的同侧，点 是直
线上的一个动点，当点 在 的什么位置时， 与
最短路径问题
如图，要在燃气管道上修建一个泵站，分别 向、两镇供气，泵站修在管道的什么地方， 可使所用的输气管线最短？
所以泵站建在点可使输气管线最短
探索新知
问题 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久 负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访 海伦，求教一个百思不得其解的问题：
从图中的 地出发，到一条笔直的河边 饮马，然 后到 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程 最短？
解：．作点关于的对称 H
点′
．连结′交于点则沿 撞击黑球，必沿反弹
B
击中白球。
E
G A
F
′
• 在锐角∠内有一定点,试在上各确定一点,使 △的周长最小
A
O
B
• 如图，为了做好国庆期间的交通安全工作，某 警察执勤小队从出发，先到公路上设卡检查， 在到公路上设卡检查，最后再到达地执行任务 ，他们如何走才能使总路程最短？
的同侧，如何在上找到 一点，使与 的和最 小”．
C 山Q
河岸
P
A
大桥
B
如果另一侧放着一些小木棍，小明先去捡球， 还要跑到另一侧去取木棍，则小明又应按 怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，小木 棍，才能最快跑到目的地处。
路线：小明——————
A
小明
如图，为马厩，为帐篷，牧马人某一天要从 马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再 到河边给马喝水，然后回到帐篷，请你帮 助他确定这一天的最短路线。
′′′．
B′
探索新知
追问 证明 最短时，为什么要在直线 上
任取一点′（与点 不重合），证明 ＜′
′？这里的“′”的作用是什么？
若直线 上任意一点（与点 不重合）与， 两点的距离 和都大于 ，就说明 最小．
A
·
C′ C
B
·
l
B′
探索新知
追问 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？
的和最小？
作法： （）作点 关于直线 的对称
点′； （）连接′，与直线 相交
于点．
B
A
·
·
l C
则点 即为所求． B′
探索新知
问题 你能用所学的知识证明 最短吗？
证明：如图，在直线 上任取一点′（与点 不
重合），连接′，′，′′． 由轴对称的性质知， ′，′′′． ∴ ′ ′，
A
·
C′ C
B
·
l
′′
A
·
C′ C
B
·
l
B′
例：如图，直线表示一条铁路，两点表示铁 路旁的两个村庄，现在要在铁路旁建一车 站，使两个村到车站的距离之和最短，请 确定的位置，并说明理由
A
·
E
B
·
F
一条公路的一侧有两个村庄，现要在公路 边修一个供电站向两地供电，当供电站修 在何处时所拉的电线最短？
试一试：
如图，是矩形的台球桌面，有两 球分别位于、两点的位置，试问怎样 撞击球，才能使球先碰撞台边反弹后 再击中球？
A
E
·
C
F B
·
D
运用新知
练习 如图，一个旅游船从大桥 的 处前往山 脚下的 处接游客，然后将游客送往河岸 上，再返 回 处，请画出旅游船的最短路径．
C
山Q
河岸
P
A
大桥
B
运用新知
基本思路： 由于两点之间线段最短，所以首先可连接，线
段 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为
一条直线，这样问题就转化为“点， 在直线
• 如果我们把台球桌做成等边三角形的形状， 那么从AC中点D处发出的球，能否依次经 BC、AB两条边反射回到D处？如果你认为 不能，请说明理由；如果你认为能，请作 出球运动的路线。 A
D
B
C
个人收集整理，仅供交流学习！
B A
l
探索新知
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马 问题”．
你能将这个问题抽象为数学问题吗？
B A
l
探索新知
追问 这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 将， 两地抽象为两个点，将河 抽象为一条直 线．
·B A·
l
探索新知
追问 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？