离散数学代数结构部分

➢ 定理6.15 设 证明：略。
例6.13 设
例6.14 设
➢ 定理6.16 设
6.3 群的同态与同构 ➢ 定义6.14 设
例6.13 设
➢ 定义6.15 设
➢ 定理6.17 设 证明：略。
➢ 定义6.16 设
➢ 定理6.18 （群同态基本定理）设
6.4 循环群与置换群 ➢ 定义6.17 设
解： 对于任意的A∈P(S)， 有A∪A＝A和A∩A＝A， 因此运算∪和∩都满足等幂律。
➢定义5.5 设。和*是S上的两个二元运
算，如果对任意的
有
例5.5 在实数集R上， 对于普通的乘法和加法有
即乘法对加法是可分配的。
➢定义5.6 设。和*是定义在集合A上的 两个可交换二元运算，如果对于任意 的x，y∈A，都有
6.5 环和域 ➢ 定义6.22 设
例6.21 （1）整数集
➢ 定理6.21 设 2,3证明略。
➢例6.22
➢定义6.23 设
➢例6.23 （1）整数环
➢例6.22模6整数环
➢定义6.24 设
6.5 环和域 ➢ 定义6.22 设
➢ 例6.25 设
6.6 格与布尔代数
➢定义6.25 设
➢定义5.2 设*是定义在集合A上的二元 运算，如果对于任意的x,y∈A，都有 x*y＝y*x，则称该二元运算*是可交 换的。
例5.2 设Q是有理数集合，*是Q上的二元 运算，对任意的a，b∈Q，a*b＝a+ba· b，问运算*是否可交换。
解：因为 a*b＝a+b-a· b＝b+a-b· a＝b*a， 所以运算*是可交换的。
如果S中既存在关于运算*的左幺元 e l ，
又存在关于运算的右幺元 e r
则S中必存在关于运算*的幺元e并且
2. 零元 ➢定义5.8 设*是S上的二元运算，
在自然数集N上普通乘法的零元是0，而 加法没有零元。
➢ 定理5.3 设 *是S上的二元运算，如果S中 存在（关于运算*的）零元，则必是唯一的。 所以零元是唯一的。
则称。运算和*满足吸收律 例5.6 设集合N为自然数全体，在N上定
义两个二元运算*和★，对于任意 x，y∈N，有x*y＝max(x，y)， x★y＝min(x，y)，
验证运算*和★满足吸收律。
解：对于任意a，b∈N a*(a★b)＝max(a，min(a，b))＝a
a★(a*b)＝min(a，max(a，b))＝a 因此，*和★满足吸收律。
➢ 定理6.19 设
例6.16 例6.17 设
➢ 定义6.18 设 例6.18 设
➢ 定义6.19 设 例6.19 4元置换
➢ 定义6.20设
➢ 定理6.20
➢ 定义6.21
例6.20 如图 进行旋转，也可以围绕它的对称轴进行翻转，但 经过旋转或翻转后仍要与原来的方格重合（方格 中的数字可以改变）。如果把每种旋转或翻转看 作是作用在
结合律且有幺元1
➢定义6.3 设
例6.2 定义6.3 设
➢定义6.4 设 定义6.5 设
例6.3 设
证明G关于矩阵乘法构成一个群．
故G关于矩阵乘法是Z上的代数运算，矩阵乘法
满足结合律，故G关于矩阵乘法构成半群，
在G中每个矩阵的逆元都是自己， 所以 G关于矩阵乘法构成一个群。
➢ 定义6.6 若群
➢定理5.4 设 *是S上的二元运算，如 果S中既存在关于运算*的左零元 l 又 存在关于运算*的右零元 r
2. 逆元 ➢定义5.9 设*是S上的二元运算，
例5.8 整数集Z上关于加法的幺元是0，对 任意的整数m，它关于加法的逆元是-m, 因为
➢定理5.5 设*是S上可结合的二元运算， e为幺元,如果S中元素x存在（关于运 算* ）的逆元， 则必是惟一的。
运算适合交换律、结合律和幂等律，不适合消
去律。单位元是a，零元是b.只有a有逆元，
•运算不适合交换律，适合结合律和幂等律，
不适合消去律。没有单位元，没有零元， 没有可逆元素。
5.3节 代数系统
➢ 定义5.10 设S是非空集合，由S和S上若干
个运算
构成的系统称为代数系统，
记作
代数系统也简称为代数。
例如，R是实数集，对于普通的加法和剩法运算，
离散数学代数结构部分
第五章 代数系统
➢代数结构又称为代数系统，简称代数，是 抽象代数的主要研究对象。
➢代数系统的种类很多，它们在计算机科学 的自动机理论、编码理论、形式语言、时 序线路、开关线路计数问题以及计算机网 络纠错码的纠错能力判断、密码学、计算 机理论科学等方面有着非常广泛的应用。
➢本部分主要内容 ➢二元运算及其性质。
证明： 略。 推论6.1
➢ 定理6.12 设
➢ 定理6.13 设
➢ 定义6.12 群 定理6.14（拉格朗日定理）设 即子群的阶数一定是群的阶数的因子。 根据定理6.11的推论有
➢ 推论6.2 设 推论6.3 设
根据定理6.11的推论有
➢ 定义6.13 设 任何群G都有正规子群，因为G的两个平凡子群
M是n阶方阵构成的集合，对于矩阵的加法和剩法 运算，
➢ 定义5.11 设
都是封闭的，且B和S含有相同的代数常数， 则称
➢ 定义5.12 设
例5.11 设
➢ 定义5.13 设 ➢ 定义5.14 设
例5.14 个数的最小公倍数的运算。则
表示求两
解： 零元是不存在的， 只有惟一的逆元。
例5.15 在有理数集Q上定义二元运算*
➢二元运算中的特殊元素幺元，零元，逆
元。
➢代数系统的定义及其性质。
5.1节 二元运算及其性质
➢定义5.1 设 S为集合，函数 f:SSS称 为 S上的二元运算，简称为二元运算。
在整数集合 Z上，对任意两个整数所进
行的普通加法和乘法，都是集合上的二 元运算。
如何判断一个运算是否为集合S上的
二元运算
例5.2 设Q是有理数集合，*是Q上的二元 运算，对任意的a，b∈Q，a*b＝a+ba· b，问运算*是否可交换。
解：因为 a*b＝a+b-a· b＝b+a-b· a＝b*a， 所以运算*是可交换的。
➢定义5.3 设*是定义在集合A上的二元 运算，如果对于任意的x，y，z∈A， 都有(x*y)*z＝x*(y*z)，则称该二元 运算*是可结合的，或者说运算*在A 上适合结合律。
解：
例5.16 设有集合
讨论这5个集合对普通的乘法和加法运算是否封闭。
解：
例5.17 设
解：
第六章 几个典型的代数系统
➢本章讨论几类重要的代数结构： ➢半群、群、环、域、格与布尔代数
6.1节 半群与群
➢ 定义6.1 设 是可结合的即：
➢ 定义6.2若半群 例6.1（1）普通加法是 （2）普通乘法是N,Z,Q和R上的二元运算，满足
定理6.2 设
下面证明唯一性 从而唯一性得证。
例6.8 设
➢ 定理6.3
➢ 定理6.4 设
➢ 定理6.5 G为有限群，则G的运算表中的每 一行（每一列）都是G中元素的一个置换， 且不同的行（或列）的置换都不相同。
定义6.10 设
例6.9 例6.10 群
➢ 定理6.6(子群判定定理1)设H是群 。 证明：必要性是显然的。
➢ 定义6.31 设
➢ 定义6.32 设 ➢ 定义6.33 如果一个格是有补分配格，则称
它为布尔格或布尔代数。
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2020/11/5
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➢例6.26 设n是正整数
➢ 例6.27（1）对于偏序集
➢ 定理6.22 设
➢ 定理6.23 设
➢ 定义6.26 设 ➢ 定义6.27 设
➢ 例6.28 设格
➢ 定义6.28 设
例6.29 说明下图中的格是否为分配格， 为什么？
➢ 定义6.29 设
➢ 定义6.30 设 ➢ 例6.30 ➢ 例6.31
5.1节 二元运算及其性质
➢定义5.1 设 S为集合，函数 f:SSS称 为 S上的二元运算，简称为二元运算。
在整数集合 Z上，对任意两个整数所进
行的普通加法和乘法，都是集合上的二 元运算。
➢定义5.2 设*是定义在集合A上的二元 运算，如果对于任意的x,y∈A，都有 x*y＝y*x，则称该二元运算*是可交 换的。
1 唯一性 集合S中任意的两个元素都能进行这种运 算，并且结果要是唯一的。
2 封闭性 3 集合S中任意的两个元素运算的结果都
是 4 属于S的，就是说S对该运算是封闭的
例5.1设A＝{x|x＝ 2 n ，n∈N}，问
在集合A上通常的乘法运算是否封闭， 对加法运算呢? 解：对于任意的
所以乘法运算是封闭的。 而对于加法运算是不封闭的 , 因为至少有
➢定义6.7 设
例6.6 在群 解：
➢定理6.1 设
证明：略。
➢ 定义6.8 设
➢ 定义6.9
例6.7 对于集合 列出其运算表如下表 这个群的阶数是6，
元素0，1，2，3， 4，5的次数分别 为1，6，3，2， 3，6。
从表中可以看出，运算满足封闭性，满足结合律 和交换律，0是单位元，每个元都有逆元 ，
例5.3 设A=Z,“+”是整数中的加法：则
“+”在Z中适合结合律。 “。”是整数中的减法：则特取
而 运Байду номын сангаас“。”不满足结合律
➢定义5.4 设*是定义在集合A上的一个 二元运算，如果对于任意的x∈A，都 有x*x＝x，则称运算*是等幂的。
例5.4 设P(S)是集合S的幂集，在P(S)上 定义的两个二元运算，集合的“并”运 算∪和集合的“交”运算∩，验证∪， ∩是等幂的。
5.2节 二元运算中的特殊元素
1. 幺元 ➢定义5.7 设*是S上的二元运算，
➢在自然数集N上加法的幺元是0，乘法 的幺元是1. 对于给定的集合和运算有的存在幺 元，有的不存在幺元。
➢ 定理5.1 设*是S上的二元运算， 如果S中存在关于运算*的）幺元， 则必是唯一的。
所以幺元是唯一的。
➢定理5.2 设*是S上的二元运算，
➢ 定理6.7( 子群判定定理2) 设H是群 证明：必要性
充分性证明：
➢ 定理6.8(子群判定定理3)设H是群 证明：必要性是显然的。
例6.11 设
6.2节 陪集与拉格朗日定理
➢ 定义6.11 设
例6.12 设
解： H的右陪集为
➢ 定理6.9 设H是群
➢ 定理6.10 设
➢ 定理6.11 设
例6.4 （1）在
中除0之外都没有逆元，
所以它仅是含幺半群而不是群。
中每个元素都有 逆元即它的相反数，且运算满足交换律，所以 它们是交换群。
0没有逆元，所 以它们仅是有么半群而不是群。
例6.5设G={e,a,b,c},。为G上的二元运算， 它由以下运算表给出。不难证明G是一 个群，称该群为Klein四元群。
所以对于可结合的二元运算，逆元是惟一的。
➢ 定理5.6 设*是S上可结合的二元运算，e为 幺元,如果S中元素x既存在关于运算*的左 逆元 y l ，又存在关于运算*的右逆元 y r ， 则 S中必存在x关于运算*的逆元并且
解：*运算适合交换律、结合律和消去律，不适 合幂等律。单位元是a，没有零元，且