柳卡图解决多次相遇与追及问题

数海拾贝

我不知道世人怎样看我，但我自己以为我不过像一个在海边玩耍的孩子，不时为发现比寻常更为美丽的一块卵石或一片贝壳而沾沾自喜，至于展现在我面前的浩翰的真理海洋，却全然没有发现。---牛顿（英国）

柳卡图解决多次相遇与追及问题

解多次相遇问题的工具——柳卡

柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少?（下面的例题基本都是先求得时间，然后画出准确的柳卡图，若用比例的方法更快更方便，本讲暂不用比例来解答，有兴趣的同学可以自己画画看)如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。

【例1】每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛．轮船在途中均要航行七天七夜．试问：某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前（途中）能遇上几艘从纽约开来的轮船？

解答：（这题不是我解答的）

这就是著名的柳卡问题．下面介绍的法国数学家柳卡·斯图姆给出的一个非常直观巧妙的解法．

他先画了如下一幅图：

这是一张运行图．在平面上画两条平行线，以一条直线表示哈佛，另一条直线表示纽约．那么，从哈佛或纽约开出的轮船，就可用图中

的两组平行线簇来表示．图中的每条线段分别表示每条船的运行情况．粗线表示从哈佛驶出的轮船在海上的航行，它与其他线段的交点即为

与对方开来轮船相遇的情况．

从图中可以看出，某天中午从哈佛开出的一条轮船（图中用实线表示）会与从纽约开出的15艘轮船相遇（图中用虚线表示）．而且在这

相遇的15艘船中，有1艘是在出发时遇到（从纽约刚到达哈佛），1艘是到达纽约时遇到（刚好从纽约开出），剩下13艘则在海上相遇；另

外，还可从图中看到，轮船相遇的时间是每天中午和子夜．如果不仔细思考，可能认为仅遇到7艘轮船．这个错误，主要是只考虑以后开出

的轮船而忽略了已在海上的轮船．

【例2】甲、乙两人在一条长的直路上来回跑步，甲的速度是每秒，乙的速度是每秒0.6米．如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了10分钟后，共相遇几次？

解答：

甲行一个全程用30÷1=30秒，乙行一个全程用30÷0.6=50秒，然后画出下面柳卡图：

从图上看出，甲乙分别从两端出发，150秒后又回到来位置，所以可以看成150秒一个周期，甲乙在1个周期里共相遇了5次，10×60÷150=4个周期，共相遇了4×5=20次。

【例3】A、B 两地相距，甲从A地、乙从 B 地同时出发，在A、B 两地间往返锻炼．乙跑步每分钟行，甲步行每分钟行．在30分钟内，甲、乙两人第几次相遇时距 B 地最近(从后面追上也算作相遇)？最近距离是多少？

解答：知道了两地的距离，需要求出每个人走一个全程所用的时间，方便画出柳卡图。乙行一个全程用1000÷150=6又2/3分，甲行一个全程用1000÷60=16又2/3分。

30分钟内，两人一共合行（150+60）×30÷1000=6.3个全程。画出图后，可以很清楚的可以看到第3次相遇离B地最近。

下面只要求的第三次相遇点距离B地多少千米即可。

第三次相遇两人共行了3个全程，1000×3÷（150+60）=14又2/7分钟，这时甲行了60×14

又2/7=6000/7米，距离乙地还有1000-6000/7=142又6/7米。

【巩固】A、 B 两地相距．甲、乙两人同时由A地出发往返锻炼半小时．甲步行，每分钟走；乙跑步，每分钟行．则甲、乙二人第几次迎面相遇时距 B 地最近？

解答：甲走一个全程需要950÷40=23.75分钟，乙行一个全程需要950÷150=6又1/3分钟。

30分钟两人共行（40+150）×30÷950=6个全程，从图上可以看出30分钟共相遇4次，追及相遇1次，迎面相遇3次，第2次迎面相遇距离B地最近。