算法设计与分析ppt
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《算法设计与分析》课件
常见的贪心算法包括最小生成树算法 、Prim算法、Dijkstra算法和拓扑排 序等。
贪心算法的时间复杂度和空间复杂度 通常都比较优秀，但在某些情况下可 能需要额外的空间来保存状态。
动态规划
常见的动态规划算法包括斐波那契数列、背包 问题、最长公共子序列和矩阵链乘法等。
动态规划的时间复杂度和空间复杂度通常较高，但通 过优化状态转移方程和状态空间可以显著提高效率。
动态规划算法的时间和空间复杂度分析
动态规划算法的时间复杂度通常为O(n^2)，空间复杂度为O(n)。
04 经典问题与算法实现
排序问题
冒泡排序
通过重复地遍历待排序序列，比较相邻元素的大小，交换 位置，使得较大的元素逐渐往后移动，最终达到排序的目 的。
快速排序
采用分治策略，选取一个基准元素，将比基准元素小的元 素移到其左边，比基准元素大的元素移到其右边，然后对 左右两边的子序列递归进行此操作。
动态规划是一种通过将原问题分解为若干个子 问题，并从子问题的最优解推导出原问题的最 优解的算法设计方法。
动态规划的关键在于状态转移方程的建立和状态 空间的优化，以减少不必要的重复计算。
回溯算法
01
回溯算法是一种通过穷举所有可能情况来求解问题的算法设计方法。
02
常见的回溯算法包括排列组合、八皇后问题和图的着色问题等。
空间换时间 分治策略 贪心算法 动态规划
通过增加存储空间来减少计算时间，例如使用哈希表解决查找 问题。
将问题分解为若干个子问题，递归地解决子问题，最终合并子 问题的解以得到原问题的解。
在每一步选择中都采取当前状态下最好或最优（即最有利）的 选择，从而希望导致结果是最好或最优的。
通过将问题分解为相互重叠的子问题，并保存子问题的解，避 免重复计算，提高算法效率。
算法设计与分析第04章 贪心算法PPT课件
9
4.1 活动安排问题
若被检查的活动i的开始时间Si小于最近选择的活动j 的结束时间fi，则不选择活动i，否则选择活动i加入集 合A中。
贪心算法并不总能求得问题的整体最优解。但对 于活动安排问题，贪心算法greedySelector却总能求 得的整体最优解，即它最终所确定的相容活动集合A的 规模最大。这个结论可以用数学归纳法证明。
•}
6
4.1 活动安排问题
由于输入的活动以其完成时间的非减序排列，所 以算法greedySelector每次总是选择具有最早完成 时间的相容活动加入集合A中。直观上，按这种方法 选择相容活动为未安排活动留下尽可能多的时间。也 就是说，该算法的贪心选择的意义是使剩余的可安排 时间段极大化，以便安排尽可能多的相容活动。
算法greedySelector的效率极高。当输入的活 动已按结束时间的非减序排列，算法只需O(n)的时间 安排n个活动，使最多的活动能相容地使用公共资源。 如果所给出的活动未按非减序排列，可以用O(nlogn) 的时间重排。
7
4.1 活动安排问题
例：设待安排的11个活动的开始时间和结束时间按结 束时间的非减序排列如下：
13
4.2 贪心算法的基本要素
3.贪心算法与动态规划算法的差异
贪心算法和动态规划算法都要求问题具有最优子结构 性质，这是2类算法的一个共同点。但是，对于具有最 优子结构的问题应该选用贪心算法还是动态规划算法 求解?是否能用动态规划算法求解的问题也能用贪心算 法求解?下面研究2个经典的组合优化问题，并以此说 明贪心算法与动态规划算法的主要差别。
11
4.2 贪心算法的基本要素
1.贪心选择性质
所谓贪心选择性质是指所求问题的整体最优解可以通 过一系列局部最优的选择，即贪心选择来达到。这是 贪心算法可行的第一个基本要素，也是贪心算法与动 态规划算法的主要区别。
4.1 活动安排问题
若被检查的活动i的开始时间Si小于最近选择的活动j 的结束时间fi，则不选择活动i，否则选择活动i加入集 合A中。
贪心算法并不总能求得问题的整体最优解。但对 于活动安排问题，贪心算法greedySelector却总能求 得的整体最优解，即它最终所确定的相容活动集合A的 规模最大。这个结论可以用数学归纳法证明。
•}
6
4.1 活动安排问题
由于输入的活动以其完成时间的非减序排列，所 以算法greedySelector每次总是选择具有最早完成 时间的相容活动加入集合A中。直观上，按这种方法 选择相容活动为未安排活动留下尽可能多的时间。也 就是说，该算法的贪心选择的意义是使剩余的可安排 时间段极大化，以便安排尽可能多的相容活动。
算法greedySelector的效率极高。当输入的活 动已按结束时间的非减序排列，算法只需O(n)的时间 安排n个活动，使最多的活动能相容地使用公共资源。 如果所给出的活动未按非减序排列，可以用O(nlogn) 的时间重排。
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4.1 活动安排问题
例：设待安排的11个活动的开始时间和结束时间按结 束时间的非减序排列如下：
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4.2 贪心算法的基本要素
3.贪心算法与动态规划算法的差异
贪心算法和动态规划算法都要求问题具有最优子结构 性质，这是2类算法的一个共同点。但是，对于具有最 优子结构的问题应该选用贪心算法还是动态规划算法 求解?是否能用动态规划算法求解的问题也能用贪心算 法求解?下面研究2个经典的组合优化问题，并以此说 明贪心算法与动态规划算法的主要差别。
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4.2 贪心算法的基本要素
1.贪心选择性质
所谓贪心选择性质是指所求问题的整体最优解可以通 过一系列局部最优的选择，即贪心选择来达到。这是 贪心算法可行的第一个基本要素，也是贪心算法与动 态规划算法的主要区别。
算法设计与分析.ppt
教学计划
1 导引和基本数据结构 2 分治法 4学时 3 贪心方法 4学时 4 动态规划 4学时 5 基本检索与周游方法 6 回溯法 4学时 7 分枝界限法 4学时 2学时
4学时
第 1章
绪论
算法理论的两大论题：
1. 算法设计
2. 算法分析
1.1 算法
1. 为什么要学习算法
2. 算法及其重要特性
3. 算法的描述方法
⑸ 可行性（Effectiveness） ：算法描述的操作可以通过已 经实现的基本操作执行有限次来实现。
好算法的特征
（1） 正确 算法必须满足问题的要求，即对合 法的输入能产生求解问题的正确结果；对不合 法的输入能作出相适应的反映并进行处理。 （2） 可读 能交流，它有助于人们对算法的 理解、调试和修改。 （3） 运行时间短。 （4） 占用内存尽量少。
4. 算法设计的一般过程
5. 重要的问题类型
1. 为什么要学习算法
理由1：算法——程序的灵魂
问题的求解过程：
分析问题→设计算法→编写程序→整理结果
程序设计研究的四个层次：
算法→方法学→语言→工具
理由2：提高分析问题的能力
算法的形式化→思维的逻辑性、条理性
2. 算法及其重要特性
算法（Algorithm）：对特定问题求解
算法设计的原则
1．正确性——合理的数据输入下，在有限的运行 时间内得出正确的结果。 2. 可读性——供人们阅读的方便程度。 3．健壮性——对不合理的数据输入的反应和处理 能力。 4．简单性——采用数据结构和方法的简单程度。 5. 时间复杂度(计算复杂度)——算法运行时间的 相对量度。 6. 空间复杂度——算法运行中临时占用空间大小 的量度。
计算机算法设计与分析第5章 回溯算法PPT课件
注意：同一个问题可以有多种表示，有些 表示方法更简单，所需表示的状态空间更 小（存储量少，搜索方法简单）。
22.09.2020
15
5.1.1 问题的解空间
为了用回溯法求解一个具有n个输入的问题，一 般情况下，将其可能解表示为满足某个约束条 件的等长向量X=(x1, x2, …, xn)，其中分量xi (1≤i≤n) 的取值范围是某个有限集合Si={ai1, ai2, …, airi}， 所有可能的解向量构成了问题的解空间。
22.09.2020
2
提纲
一、回溯法的算法框架 二、装载问题 三、n后问题 四、0-1背包问题 五、最大团问题 六、图的m着色问题 七、旅行售货员问题
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3
提纲
一、回溯法的算法框架 二、装载问题 三、n后问题 四、0-1背包问题 五、最大团问题 六、图的m着色问题 七、旅行售货员问题
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2 旅行售货员问题
问题描述：某售货员 要到若干城市去推销 商品，一直各城市之 间的路程，他要选定 一条从驻地出发，经 过每个城市一遍，最 后回到住地的路线， 使总的路程最短。
(a) 二维搜索空间无解
(b) 三维搜索空间的解
错误的解空间将不能搜索到正确答案！
22.09.2020
13
5.1.1 问题的解空间
对于任何一个问题，可能解的表示方式和它相应的 解释隐含了解空间及其大小。
例如，对于有n个物品的0/1背包问题，其可能解的 表示方式可以有以下两种：
（1）可能解由一个不等长向量组成，当物品i(1≤i≤n)装入 背包时，解向量中包含分量i，否则，解向量中不包含分 量i，当n=3时，其解空间是：
计算机算法设计与分析
Design and Analysis of Computer Algorithms
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5.1.1 问题的解空间
为了用回溯法求解一个具有n个输入的问题，一 般情况下，将其可能解表示为满足某个约束条 件的等长向量X=(x1, x2, …, xn)，其中分量xi (1≤i≤n) 的取值范围是某个有限集合Si={ai1, ai2, …, airi}， 所有可能的解向量构成了问题的解空间。
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一、回溯法的算法框架 二、装载问题 三、n后问题 四、0-1背包问题 五、最大团问题 六、图的m着色问题 七、旅行售货员问题
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提纲
一、回溯法的算法框架 二、装载问题 三、n后问题 四、0-1背包问题 五、最大团问题 六、图的m着色问题 七、旅行售货员问题
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2 旅行售货员问题
问题描述：某售货员 要到若干城市去推销 商品，一直各城市之 间的路程，他要选定 一条从驻地出发，经 过每个城市一遍，最 后回到住地的路线， 使总的路程最短。
(a) 二维搜索空间无解
(b) 三维搜索空间的解
错误的解空间将不能搜索到正确答案！
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5.1.1 问题的解空间
对于任何一个问题，可能解的表示方式和它相应的 解释隐含了解空间及其大小。
例如，对于有n个物品的0/1背包问题，其可能解的 表示方式可以有以下两种：
（1）可能解由一个不等长向量组成，当物品i(1≤i≤n)装入 背包时，解向量中包含分量i，否则，解向量中不包含分 量i，当n=3时，其解空间是：
计算机算法设计与分析
Design and Analysis of Computer Algorithms
算法分析与设计 PPT
P且有限，将P中所有元素相乘，X表示积
Y=X+1。 对Y分析：d为Y的一个最小的且大于1的约数。
[欧几里德]证明
Y>1，且不要求d一定不等于Y，d一定存在。
d定为素数，否则存在一个约数z，使得z可整除Y。
又 z<d
d为Y的一个最小的约数
=>
矛盾
dP，且X是P中所有元素的积 => d是X的约数
即d可以同时整除X和Y=X+1。
输入 规则 输出
确定性 清晰、无歧义 有限性 指令执行次数、时间 特点：
执行时，不能包含任何主观的决定； 不能有类似直觉/创造力等因素。
例子：
人们日常生活中做菜的过程，可否用算法 描述？
✓ 如：“咸了”、“放点盐”、“再煮一会”。 ✓ 可否用计算机完成？
算法必须规定明确的量与时间； 不能含糊字眼。
参考书目
Aho, Hopcroft, Ullman. The Design and Analysis of Computer Algorithms. （1974版影印版，铁 道出版社）
Aho, Hopcroft, Ullman. 数据结构与算法（1983 年影印本，清华出版社）
Thomas H. Cormen 等4人. 算法导论（MIT第2 版）, 高教出版社影印本
2) n1，m 2n ，对 2n12n1大小的地板显然成
立，现四分地板得到4个相同大小的地板。
也变成存在特殊 方格地板地板
特殊方格地板
[证毕]
归纳法证明举例-马的颜色
例子：[伪定理] 所有马都只有一种颜色。
证明：任何一个马的集合都只有一种颜色
=>所有马只有一种颜色。
设H为任何一个马的集合，对H中马数量n归纳：
Y=X+1。 对Y分析：d为Y的一个最小的且大于1的约数。
[欧几里德]证明
Y>1，且不要求d一定不等于Y，d一定存在。
d定为素数，否则存在一个约数z，使得z可整除Y。
又 z<d
d为Y的一个最小的约数
=>
矛盾
dP，且X是P中所有元素的积 => d是X的约数
即d可以同时整除X和Y=X+1。
输入 规则 输出
确定性 清晰、无歧义 有限性 指令执行次数、时间 特点：
执行时，不能包含任何主观的决定； 不能有类似直觉/创造力等因素。
例子：
人们日常生活中做菜的过程，可否用算法 描述？
✓ 如：“咸了”、“放点盐”、“再煮一会”。 ✓ 可否用计算机完成？
算法必须规定明确的量与时间； 不能含糊字眼。
参考书目
Aho, Hopcroft, Ullman. The Design and Analysis of Computer Algorithms. （1974版影印版，铁 道出版社）
Aho, Hopcroft, Ullman. 数据结构与算法（1983 年影印本，清华出版社）
Thomas H. Cormen 等4人. 算法导论（MIT第2 版）, 高教出版社影印本
2) n1，m 2n ，对 2n12n1大小的地板显然成
立，现四分地板得到4个相同大小的地板。
也变成存在特殊 方格地板地板
特殊方格地板
[证毕]
归纳法证明举例-马的颜色
例子：[伪定理] 所有马都只有一种颜色。
证明：任何一个马的集合都只有一种颜色
=>所有马只有一种颜色。
设H为任何一个马的集合，对H中马数量n归纳：
计算机算法设计与分析总复习公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
边界条件
1
n0
F
(n)
1
n 1
F (n 1) F (n 2) n 1
递归方程
第n个Fibonacci数可递归地计算如下： int fibonacci(int n)
{ if (n <= 1) return 1; return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2);
}
分治算法总体思想
环被执行了O(logn) 次。
if (x < a[m]) r = m-1;
循环体内运算需要O(1)
else l = m+1; } return -1; }
时间，所以整个算法在最 坏情况下旳计算时间复杂 性为O(logn) 。
合并排序
基本思想：将待排序元素提成大小大致相同旳2个子集合，分 别对2个子集合进行排序，最终将排好序旳子集合合并成为所 要p求{ub旳lic排s复t好a杂t序ic度旳vo分集id析合Tm(。en)rgeS2Tor(nt(/CO2o()1m) Opa(nra) bnnlea11[], int left, int right)
多项式时间算法：可用多项式（函数）对其计 算时间限界旳算法。
常见旳多项式限界函数有：
Ο(1) < Ο(logn) < Ο(n) < Ο(nlogn) < Ο(n2) < Ο(n3)
指数时间算法：计算时间用指数函数限界旳算 法。
常见旳指数时间限界函数：
Ο(2n) < Ο(n！) < Ο(nn)
阐明：当n取值较大时，指数时间算法和多项式
线性时间选择问题
问题描述：给定线性集中n个元素和一种整数
k,要求找出这n个元素中第k小旳元素，即假如 将这n个元素依其线性序排列时，排在第k个位 置旳元素即为我们要找旳元素。 当k=1时，即找最小元素；当k=n时，即找最大 元素；当k=(n+1)/2时，称为找中位数。
1
n0
F
(n)
1
n 1
F (n 1) F (n 2) n 1
递归方程
第n个Fibonacci数可递归地计算如下： int fibonacci(int n)
{ if (n <= 1) return 1; return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2);
}
分治算法总体思想
环被执行了O(logn) 次。
if (x < a[m]) r = m-1;
循环体内运算需要O(1)
else l = m+1; } return -1; }
时间，所以整个算法在最 坏情况下旳计算时间复杂 性为O(logn) 。
合并排序
基本思想：将待排序元素提成大小大致相同旳2个子集合，分 别对2个子集合进行排序，最终将排好序旳子集合合并成为所 要p求{ub旳lic排s复t好a杂t序ic度旳vo分集id析合Tm(。en)rgeS2Tor(nt(/CO2o()1m) Opa(nra) bnnlea11[], int left, int right)
多项式时间算法：可用多项式（函数）对其计 算时间限界旳算法。
常见旳多项式限界函数有：
Ο(1) < Ο(logn) < Ο(n) < Ο(nlogn) < Ο(n2) < Ο(n3)
指数时间算法：计算时间用指数函数限界旳算 法。
常见旳指数时间限界函数：
Ο(2n) < Ο(n！) < Ο(nn)
阐明：当n取值较大时，指数时间算法和多项式
线性时间选择问题
问题描述：给定线性集中n个元素和一种整数
k,要求找出这n个元素中第k小旳元素，即假如 将这n个元素依其线性序排列时，排在第k个位 置旳元素即为我们要找旳元素。 当k=1时，即找最小元素；当k=n时，即找最大 元素；当k=(n+1)/2时，称为找中位数。
算法设计与分析课件--NP完全性理论-NP完全问题及近似算法
算法设计与分析
1
第八章 NP完全性理论
目录
8.1 异解问题和难解问题
8.2 P类问题和NP类问题
8.3
NP完全问题
8.4 NP完全问题的近似算法
2
8.3 NP完全问题
问题变换：
➢ NP类问题在最坏情况下的时间复杂性一般都是快速增长的指数函 数。希望能够在NP类问题内部找到一种方法，比较两个问题的计 算复杂性。
❖该近似算法的相对误差定义为=
cc* c*
。若对问题的输
入规模n，有一函数ε(n)使得 c c* ≤ε(n)，则称ε(n)
c*
为该近似算法的相对误差界。
13
8.4 NP完全问题的近似算法
NPC问题的近似算法示例 - TSP：
➢ 给定一个完全无向图G=(V,E)，其每一条边(u,v)∈E有一非 负整数费用c(u,v)。要找出G的最小费用哈密顿回路。如果 TSP满足三角不等式性质，即对于任意3个顶点u,v,w∈V有 ：c(u,w)≤c(u,v)+c(v,w)，则称该TSP为欧几里得TSP，否 则称为一般TSP。
12
8.4 NP完全问题的近似算法
NPC问题的近似算法的性能：
❖若一个最优化问题的最优值为c*，求解该问题的一个近 似算法求得近似最优解相应的目标函数值为c，则将该近 似近≤似算ρ比法(是n的)问。近题ρ似输(比n入)定为规义1模时为n，的求=一m得a个x的c函c*近, c数c*似 ρ。解(在为n)通最，常优即情解m况a。x 下cc* ,，cc*该
➢ 传递性：设P1、P2和P3是3个判定问题。若P1∝τ(n)P2，且P2∝τ(n)P3 ，则P1∝τ(n)P3。
4
8.3 NP完全问题
多项式时间变换示例：
1
第八章 NP完全性理论
目录
8.1 异解问题和难解问题
8.2 P类问题和NP类问题
8.3
NP完全问题
8.4 NP完全问题的近似算法
2
8.3 NP完全问题
问题变换：
➢ NP类问题在最坏情况下的时间复杂性一般都是快速增长的指数函 数。希望能够在NP类问题内部找到一种方法，比较两个问题的计 算复杂性。
❖该近似算法的相对误差定义为=
cc* c*
。若对问题的输
入规模n，有一函数ε(n)使得 c c* ≤ε(n)，则称ε(n)
c*
为该近似算法的相对误差界。
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8.4 NP完全问题的近似算法
NPC问题的近似算法示例 - TSP：
➢ 给定一个完全无向图G=(V,E)，其每一条边(u,v)∈E有一非 负整数费用c(u,v)。要找出G的最小费用哈密顿回路。如果 TSP满足三角不等式性质，即对于任意3个顶点u,v,w∈V有 ：c(u,w)≤c(u,v)+c(v,w)，则称该TSP为欧几里得TSP，否 则称为一般TSP。
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8.4 NP完全问题的近似算法
NPC问题的近似算法的性能：
❖若一个最优化问题的最优值为c*，求解该问题的一个近 似算法求得近似最优解相应的目标函数值为c，则将该近 似近≤似算ρ比法(是n的)问。近题ρ似输(比n入)定为规义1模时为n，的求=一m得a个x的c函c*近, c数c*似 ρ。解(在为n)通最，常优即情解m况a。x 下cc* ,，cc*该
➢ 传递性：设P1、P2和P3是3个判定问题。若P1∝τ(n)P2，且P2∝τ(n)P3 ，则P1∝τ(n)P3。
4
8.3 NP完全问题
多项式时间变换示例：
并行算法的设计与分析课件
2.3 分治策略
n设计思想
• 将原问题划分成若干个相同的子问题分而治之，若子问题仍然
较大，则可以反复递归应用分治策略处理这些子问题，直至子 问题易求解。
n求解步骤
• 将输入划分成若干个规模相等的子问题； • 同时(并行地)递归求解这些子问题； • 并行地归并子问题的解成为原问题的解。
n示例
• SIMD-SM模型上的FFT递归算法
Parallel Algorithms 3 / Ch2
2.1 平衡树方法
n算法2.1 SIMD-SM上求最大值算法
Begin for k=m-1 to 0 do for j=2k to 2k+1-1 par-do A[j]=max{A[2j], A[2j+1]} end for end for
end
时间分析 t(n)=m×O(1)=O(logn) p(n)=n/2 c(n)=O(nlogn) 非成本最优
2023/10/19
Y.Xu Copyright
USTC
Parallel Algorithms 4 / Ch2
2.1 平衡树方法
前缀和
n 问题定义
n个元素{x1,x2,…,xn}，前缀和是n个部分和： Si=x1*x2*…*xi, 1≤i≤n 这里*可以是＋或×
for j=1 to n/2h par-do B[h,j]=B[h-1,2j-1]*B[h-1,2j]
end for end for
时间分析:
(3)for h=logn to 0 do //反向遍历
for j=1 to n/2h par-do (i) if j=even then //该结点为其父结点的右儿子 C[h,j]=C[h+1,j/2]
精品课件-算法设计与分析PPT课件
19
Bland提出避免循环的一个简单易行的方法。Bland提出在单纯形算法迭代中,按照下面的2个简单规则就可以避免循环。规则1:设 ,取xe为入基变量。规则2:设 取xk为离基变量。算法leave(col)已经按照规则2选取离基变量。选取入基变量的算法enter(objrow) 中只要加一个break语句即可。
4
这个问题的解为 (x1,x2,x3,x4) = (0,3.5,4.5,1);最优值为16。
5
8.1.2 线性规划基本定理
约束条件(8.2)-(8.5)中n个约束以等号满足的可行解称为线性规划问题的基本可行解。若n>m,则基本可行解中至少有n-m个分量为0,也就是说,基本可行解中最多有m个分量非零。线性规划基本定理:如果线性规划问题有最优解,则必有一基本可行最优解。上述定理的重要意义在于,它把一个最优化问题转化为一个组合问题,即在(8.2) -(8.5)式的m+n个约束条件中,确定最优解应满足其中哪n个约束条件的问题。由此可知,只要对各种不同的组合进行测试,并比较每种情况下的目标函数值,直到找到最优解。Dantzig于1948年提出了线性规划问题的单纯形算法。单纯形算法的特点是:1)只对约束条件的若干组合进行测试,测试的每一步都使目标函数的值增加;2)一般经过不大于m或n次迭代就可求得最优解。
16
为了进一步构造标准型约束,还需要引入m个人工变量,记为zi。至此,原问题已经变换为等价的约束标准型线性规划问题。对极小化线性规划问题,只要将目标函数乘以-1即可化为等价的极大化线性规划问题。
17
8.1.5 一般线性规划问题的2阶段单纯形算法
引入人工变量后的线性规划问题与原问题并不等价,除非所有zi都是0 。为了解决这个问题,在求解时必须分2个阶段进行。第一阶段用一个辅助目标函数 替代原来的目标函数。这个线性规划问题称为原线性规划问题所相应的辅助线性规划问题。对辅助线性规划问题用单纯形算法求解。如果原线性规划问题有可行解,则辅助线性规划问题就有最优解,且其最优值为0,即所有zi都为0。在辅助线性规划问题最后的单纯形表中,所有zi均为非基本变量。划掉所有zi相应的列,剩下的就是只含xi和yi的约束标准型线性规划问题了。单纯形算法第一阶段的任务就是构造一个初始基本可行解。单纯形算法第二阶段的目标是求解由第一阶段导出的问题。此时要用原来的目标函数进行求解。如果在辅助线性规划问题最后的单纯形表中, zi不全为0,则原线性规划问题没有可行解,从而原线性规划问题无解。
Bland提出避免循环的一个简单易行的方法。Bland提出在单纯形算法迭代中,按照下面的2个简单规则就可以避免循环。规则1:设 ,取xe为入基变量。规则2:设 取xk为离基变量。算法leave(col)已经按照规则2选取离基变量。选取入基变量的算法enter(objrow) 中只要加一个break语句即可。
4
这个问题的解为 (x1,x2,x3,x4) = (0,3.5,4.5,1);最优值为16。
5
8.1.2 线性规划基本定理
约束条件(8.2)-(8.5)中n个约束以等号满足的可行解称为线性规划问题的基本可行解。若n>m,则基本可行解中至少有n-m个分量为0,也就是说,基本可行解中最多有m个分量非零。线性规划基本定理:如果线性规划问题有最优解,则必有一基本可行最优解。上述定理的重要意义在于,它把一个最优化问题转化为一个组合问题,即在(8.2) -(8.5)式的m+n个约束条件中,确定最优解应满足其中哪n个约束条件的问题。由此可知,只要对各种不同的组合进行测试,并比较每种情况下的目标函数值,直到找到最优解。Dantzig于1948年提出了线性规划问题的单纯形算法。单纯形算法的特点是:1)只对约束条件的若干组合进行测试,测试的每一步都使目标函数的值增加;2)一般经过不大于m或n次迭代就可求得最优解。
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为了进一步构造标准型约束,还需要引入m个人工变量,记为zi。至此,原问题已经变换为等价的约束标准型线性规划问题。对极小化线性规划问题,只要将目标函数乘以-1即可化为等价的极大化线性规划问题。
17
8.1.5 一般线性规划问题的2阶段单纯形算法
引入人工变量后的线性规划问题与原问题并不等价,除非所有zi都是0 。为了解决这个问题,在求解时必须分2个阶段进行。第一阶段用一个辅助目标函数 替代原来的目标函数。这个线性规划问题称为原线性规划问题所相应的辅助线性规划问题。对辅助线性规划问题用单纯形算法求解。如果原线性规划问题有可行解,则辅助线性规划问题就有最优解,且其最优值为0,即所有zi都为0。在辅助线性规划问题最后的单纯形表中,所有zi均为非基本变量。划掉所有zi相应的列,剩下的就是只含xi和yi的约束标准型线性规划问题了。单纯形算法第一阶段的任务就是构造一个初始基本可行解。单纯形算法第二阶段的目标是求解由第一阶段导出的问题。此时要用原来的目标函数进行求解。如果在辅助线性规划问题最后的单纯形表中, zi不全为0,则原线性规划问题没有可行解,从而原线性规划问题无解。
算法设计与分析PPT课件
数组
输出
1 0，0，2 1 2 3
2
1，1，2 0，0，2
123
，2，2
3 1，1，2 1 2 3 1 2 3
0，0，2
2
2，1，2 0，0，2 1 3 2
，2，2
3 2，1，2 1 3 2 1 3 2
0，0，2
2
2，1，2 0，0，2
123
1 1，0，2 2 1 3
层次 栈状态 (i, k, m)
个函数是双递归函数。 Ackerman函数A(n，m)定义如下：
A(1,0)2
A(0,m)1
A(n,0)n2
m0 n2
A(n,m)A(A(n1,m),m1) n,m1
Ackerman函数无法找到非递归的定义。
28
Ackerman函数
A(1,0)2
A(0,m)1
A(n,0)n2
m0 n2
A(n,m)A(A(n1,m),m1) n,m1
P n ( x ) ( ( ( a n x ( a n 1 ) ( a n 2 ) x a n 3 ) ) x a 1 ) x a 0
T(n)n
Horner(int a[n+1],real x) { int p= a[n];
for (i=1;i<=n;i++) p=p*x+a[n-i]; return p; }
算法复杂性是算法运行所需要的计算机资源的量， 需要时间资源的量称为时间复杂性，需要的空间资源的 量称为空间复杂性。这个量应该只依赖于算法要解的问 题的规模、算法的输入和算法本身的函数。如果分别用 n、I和A表示算法要解问题的规模、算法的输入和算法 本身，而且用C表示复杂性，那么，应该有C=F(n,I,A)。 一般把时间复杂性和空间复杂性分开，并分别用T和S来 表示，则有： T=T(n,I)和S=S(n,I) 。
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31
找硬币问题
ACM 与算法设计
4、回溯法 如全排列问题、迷宫、 N后问题 5、动态规划法 如货郎担问题、最短路径、资源分配问题 6、分支限界法 如货郎担问题、作业分配问题
32
1.1 引言— 算法的复杂性分析
（1）如何设计算法；…… （2）如何评价算法的效率…… 时间复杂性：算法的执行时间 空间复杂性：算法所需的存储空间 算法设计目标：时间复杂性、空间复杂性低
12
算法设计与分析在 《计算机科学与技术》专业中的 地位 引言 1.1 为什么要学习算法? –理论角度:―算法不仅是计算机科学的一个分支,它 更是计算机科学的核心。而且,可以毫不夸张地说,它 和绝大多数的科学̀、商业和技术都是相关的。” _«算法: 计算的灵魂» ,David Harel –实践角度: –开发分析能力:
算法设计与分析在 《计算机科学与技术》专业中的地位 为什么要学习算法? 多、快、好、省与少、慢、差、费 1.1 引言 –理论角度
–实践/工程角度:了解计算机领域中不同问题的一系列标准 算法;具备设计新算法和分析其效率的能力。
–开发分析能力: “算法是一种一般性的智能工具，一定有助 于我们对其他学科的理解，…为什么算法会有这种作用呢？ 我们可以这样理解：人们常说，一个人只有把知识教给“计 算机”，才能“真正掌握它，也就是说，将知识表述为一种 算法，…比起简单地按照常规去理解事物，用算法将其形式 化会使我们获得更加深刻的理解。” _Donald Knuth，1974图 灵奖的获得者。
22
void childen_question(int n,int &k,int g[],int m[],int s[]) 算法1.1 { int a,b,c; 设计算法 k=0; for(a=0; a<=n; a++) for(b=0; b<=n; b++) for(c=0; c<=n; c++) if(!(c%3)&&a+b+c==n && 5*a+3*b+c/3==n) { g[k]=a; m[k]=b; s[k]=c; k++; } 执行时间：循环次数， } (n+1)*(n+1)*(n+1) 23
算法设计与分析
-----计算机非数值算法
2010计算机系王华民
1
先修课程
离散数学 数据结构 高级程序语言
2
参考资料
[1]计算机算法设计与分析（第3版） ，王晓东，电子工业出版
社 配套：“算法设计与实验题解”，王晓东 ，电子工业出版社 [2]算法设计与分析基础（Introduction to Design and Analysis of Algorithms） ，潘彦译（[美] Anany Levitin） ， 清华大学出版社 [3]算法设计技巧与分析（Algorithms Design Techniques and Analysis），吴伟昶等译（[沙特 ]M.H.Alsuwaiyel）， 电子工业出版社 [4]计算机算法基础（第2版），余祥宣、邹海明等，华中科技 大学出版社
常 用 算 法
3学时
10
教学内容
第12-13 章简单介绍了NP完全性理论和计算复杂性， 这是当前计算机算法领域的热门研究课题，具有很高 的理论价值。 – P类和NP类问题 – NP完全问题 – 计算模型 – 复杂性类型之间的关系
11
第一章 算法的基本概念
程序
= 算法 + 数据结构 算法设计与分析是计算机科学与技术的一个 核心内容….
13
计算机专业课程群建设
计算机科学理论课 程群 计算机硬件课程群 自然科学基础 课程群
软件基础课程群14来自计算机科学理论课程群离散数学 数据结构 算法设计与分析Ⅰ
*模糊数学
*数理逻辑
*组合数学
*形式语言与自动机
*可计算性理论
*算法分析Ⅱ 计算复杂性理论
其中：*为研究生课程
计算机科学 理论基础
15
(n/5+1)*(n/3+1)
•算法的复杂性分析
穷举法实例—货郎担问题
例1.2 货郎担问题：某售货员要到若干个城 市销售货物，已知各城市之间的距离，要 求售货员选择出发的城市及旅行线路使每 个城市仅经过一次，最后回到原出发城市， 而总路程最短。
26
穷举法实例—货郎担问题
解：假设n个城市，分别用1到n的数字编号， 问题归结为在有向网中(顶点表示城市,弧上 权重表示距离)，寻找一条路径最短，n个城 市仅经过一次的回路(哈密尔顿回路)。 测试集合： 1,…,n的排列对应一条回路,如2356…n12 全部排列构成测试集合
6
贪心法
分治法
课程介绍—几个例子
例3：奥运会排球比赛: 预赛： A组：中国、古巴、日本、美国、波 兰、委内瑞拉、 B组：俄罗斯、塞尔维亚、巴西、意大 利、哈萨克斯坦、阿尔及利亚 1/4决赛、1/2决赛：古 vs 美、中 vs 巴
7
课程介绍—几个例子
例4：八后问题: 在8*8的棋盘上，每行放置 一个皇后，要求它们不能在同一列， 同一斜线上。 回溯法
•算法的复杂性分析
穷举法实例—百鸡问题
② 测试集合： 0≤a≤n/5 0≤b≤n/3 c = n-a-b 判断条件：5*a+3*b+c/3 = n 且 c%3 = 0 算法描述如下(算法1.2)：
24
void childen_question(int n,int &k,int g[],int m[], int s[]) { 算法1.2 1 int a,b,c; 2 int n1=n/5, n2=n/3; k=0; //5 3 for(a=0; a<=n1; a++) //1+2(n/5+1) 4 for(b=0; b<=n2; b++)
16
1.1 引言
算法定义
定义1.1：算法问题求解的有效策略.是解某 一特定问题的一组有穷规则的集合。 算法特征 有限性、确定性、输入、输出、能行性 实用算法对有限性要求运行时间是可接受的。
17
算法设计与分析的步骤
若一问题是可解的,则求解的全过程由以下阶段构成 (算法设计与分析的步骤): 1. 问题的陈述 2. 选择模型或设计模型>=选择模型或设计模型 3. 设计算法(选择)和确认>=设计算法(选择)和确认 4. 分析算法 >=分析算法 5. 程序实现 步骤的含义:一个好的算法是反复努力和重新修 正的结果 >= 设计算法是一个非常有创造性和非常值得付出的 过程.课程的目的就是想证明这个事实.
20
设计算法
穷举法实例—百鸡问题
选择模型或设计模型
解：设鸡翁、鸡母、鸡雏分别为a,b,c只。 ① 测试集合： 0≤a≤n 0≤b≤n 0≤c≤n 判断条件：a+b+c = n 5*a+3*b+c/3 = n 且 c%3 = 0 •算法描述如下：
21
设计算法
穷举法实例—百鸡问题
输入：n 输出：满足问题的解数目k,公鸡、母鸡、小鸡的 只数g[ ]、m[ ]、s[ ] void childen_question(int n, int &k, int g[ ],int m[ ],int s[ ]);
方法与分析技巧
4
课程介绍—几个例子
例1：百鸡问题：“鸡翁一，值钱五；鸡母一，
值 钱三；鸡雏三，值钱一。百钱买百鸡，问鸡 翁、母、雏各几何？”
穷举法
5
课程介绍—几个例子
例2：假设正整数n、s，s<n。设计算法对任
一给定n位数，删除其中的s位后，使得剩 下的位组成的新数最小。 例：n=6 s=3 783259 ---> 259 n=5 s=2 24351 ---> 231
20 77146year
表1.1 算法1.3的执行时间随n的增长而增长的情况
注：表1.1假设算法1.3中while循环体执行一次需1μs。
对某类特定问题，穷举法只适用于规模较小的情况。
30
ACM 与算法设计
1、穷举法 如求素数 、百钱百鸡问题 2、分治法 如汉诺塔问题、折半查找算法、快速排序算法 3、贪心法 如：哈夫曼算法、最小生成树、最短路径算法
8
课程介绍—本课程学习的算法
常用算法 穷举法 — 百鸡问题 递归和分治 — 二分查找、快速排序 贪心法 — 最小生成树、最短距离 回溯 — 迷宫、八后问题 动态规划 分支与限界
9
教学内容与进度
第1 章 算法引论 3 学时； 第2章常用的数学工具 3 学时； 第4章 递归与分治 5学时；实验1 第5章贪心算法 4 学时； 第6章动态规划 6 学时；实验2 第7章 回溯法 5 学时；实验3 第8章 分支限界法 5学时； 第12-13 章 NP完全问题及计算复杂性
主 要
33
1.2 算法的时间复杂性
算法的输入规模和运行时间的阶 算法的执行时间随问题规模的增大而增大，故 常用关于问题规模n的函数估算算法在大规模问 题时的运行时间。
34
运行时间T(n)的估算
运行时间T(n)的估算
假设初等操作计算模型：所有操作数都具有相同 的固定字长；所有操作的时间花费都是一个常数 时间间隔。 如：算术运算；比较和逻辑运算；赋值运算(含遍 历表和指针赋值）等。 例1.3 估算算法1.1的运行时间T1(n)。
穷举法实例—货郎担问题
n n! n n! n n! n n!
5
6
120μ s
720μ s
9
10
362ms
找硬币问题
ACM 与算法设计
4、回溯法 如全排列问题、迷宫、 N后问题 5、动态规划法 如货郎担问题、最短路径、资源分配问题 6、分支限界法 如货郎担问题、作业分配问题
32
1.1 引言— 算法的复杂性分析
（1）如何设计算法；…… （2）如何评价算法的效率…… 时间复杂性：算法的执行时间 空间复杂性：算法所需的存储空间 算法设计目标：时间复杂性、空间复杂性低
12
算法设计与分析在 《计算机科学与技术》专业中的 地位 引言 1.1 为什么要学习算法? –理论角度:―算法不仅是计算机科学的一个分支,它 更是计算机科学的核心。而且,可以毫不夸张地说,它 和绝大多数的科学̀、商业和技术都是相关的。” _«算法: 计算的灵魂» ,David Harel –实践角度: –开发分析能力:
算法设计与分析在 《计算机科学与技术》专业中的地位 为什么要学习算法? 多、快、好、省与少、慢、差、费 1.1 引言 –理论角度
–实践/工程角度:了解计算机领域中不同问题的一系列标准 算法;具备设计新算法和分析其效率的能力。
–开发分析能力: “算法是一种一般性的智能工具，一定有助 于我们对其他学科的理解，…为什么算法会有这种作用呢？ 我们可以这样理解：人们常说，一个人只有把知识教给“计 算机”，才能“真正掌握它，也就是说，将知识表述为一种 算法，…比起简单地按照常规去理解事物，用算法将其形式 化会使我们获得更加深刻的理解。” _Donald Knuth，1974图 灵奖的获得者。
22
void childen_question(int n,int &k,int g[],int m[],int s[]) 算法1.1 { int a,b,c; 设计算法 k=0; for(a=0; a<=n; a++) for(b=0; b<=n; b++) for(c=0; c<=n; c++) if(!(c%3)&&a+b+c==n && 5*a+3*b+c/3==n) { g[k]=a; m[k]=b; s[k]=c; k++; } 执行时间：循环次数， } (n+1)*(n+1)*(n+1) 23
算法设计与分析
-----计算机非数值算法
2010计算机系王华民
1
先修课程
离散数学 数据结构 高级程序语言
2
参考资料
[1]计算机算法设计与分析（第3版） ，王晓东，电子工业出版
社 配套：“算法设计与实验题解”，王晓东 ，电子工业出版社 [2]算法设计与分析基础（Introduction to Design and Analysis of Algorithms） ，潘彦译（[美] Anany Levitin） ， 清华大学出版社 [3]算法设计技巧与分析（Algorithms Design Techniques and Analysis），吴伟昶等译（[沙特 ]M.H.Alsuwaiyel）， 电子工业出版社 [4]计算机算法基础（第2版），余祥宣、邹海明等，华中科技 大学出版社
常 用 算 法
3学时
10
教学内容
第12-13 章简单介绍了NP完全性理论和计算复杂性， 这是当前计算机算法领域的热门研究课题，具有很高 的理论价值。 – P类和NP类问题 – NP完全问题 – 计算模型 – 复杂性类型之间的关系
11
第一章 算法的基本概念
程序
= 算法 + 数据结构 算法设计与分析是计算机科学与技术的一个 核心内容….
13
计算机专业课程群建设
计算机科学理论课 程群 计算机硬件课程群 自然科学基础 课程群
软件基础课程群14来自计算机科学理论课程群离散数学 数据结构 算法设计与分析Ⅰ
*模糊数学
*数理逻辑
*组合数学
*形式语言与自动机
*可计算性理论
*算法分析Ⅱ 计算复杂性理论
其中：*为研究生课程
计算机科学 理论基础
15
(n/5+1)*(n/3+1)
•算法的复杂性分析
穷举法实例—货郎担问题
例1.2 货郎担问题：某售货员要到若干个城 市销售货物，已知各城市之间的距离，要 求售货员选择出发的城市及旅行线路使每 个城市仅经过一次，最后回到原出发城市， 而总路程最短。
26
穷举法实例—货郎担问题
解：假设n个城市，分别用1到n的数字编号， 问题归结为在有向网中(顶点表示城市,弧上 权重表示距离)，寻找一条路径最短，n个城 市仅经过一次的回路(哈密尔顿回路)。 测试集合： 1,…,n的排列对应一条回路,如2356…n12 全部排列构成测试集合
6
贪心法
分治法
课程介绍—几个例子
例3：奥运会排球比赛: 预赛： A组：中国、古巴、日本、美国、波 兰、委内瑞拉、 B组：俄罗斯、塞尔维亚、巴西、意大 利、哈萨克斯坦、阿尔及利亚 1/4决赛、1/2决赛：古 vs 美、中 vs 巴
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课程介绍—几个例子
例4：八后问题: 在8*8的棋盘上，每行放置 一个皇后，要求它们不能在同一列， 同一斜线上。 回溯法
•算法的复杂性分析
穷举法实例—百鸡问题
② 测试集合： 0≤a≤n/5 0≤b≤n/3 c = n-a-b 判断条件：5*a+3*b+c/3 = n 且 c%3 = 0 算法描述如下(算法1.2)：
24
void childen_question(int n,int &k,int g[],int m[], int s[]) { 算法1.2 1 int a,b,c; 2 int n1=n/5, n2=n/3; k=0; //5 3 for(a=0; a<=n1; a++) //1+2(n/5+1) 4 for(b=0; b<=n2; b++)
16
1.1 引言
算法定义
定义1.1：算法问题求解的有效策略.是解某 一特定问题的一组有穷规则的集合。 算法特征 有限性、确定性、输入、输出、能行性 实用算法对有限性要求运行时间是可接受的。
17
算法设计与分析的步骤
若一问题是可解的,则求解的全过程由以下阶段构成 (算法设计与分析的步骤): 1. 问题的陈述 2. 选择模型或设计模型>=选择模型或设计模型 3. 设计算法(选择)和确认>=设计算法(选择)和确认 4. 分析算法 >=分析算法 5. 程序实现 步骤的含义:一个好的算法是反复努力和重新修 正的结果 >= 设计算法是一个非常有创造性和非常值得付出的 过程.课程的目的就是想证明这个事实.
20
设计算法
穷举法实例—百鸡问题
选择模型或设计模型
解：设鸡翁、鸡母、鸡雏分别为a,b,c只。 ① 测试集合： 0≤a≤n 0≤b≤n 0≤c≤n 判断条件：a+b+c = n 5*a+3*b+c/3 = n 且 c%3 = 0 •算法描述如下：
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设计算法
穷举法实例—百鸡问题
输入：n 输出：满足问题的解数目k,公鸡、母鸡、小鸡的 只数g[ ]、m[ ]、s[ ] void childen_question(int n, int &k, int g[ ],int m[ ],int s[ ]);
方法与分析技巧
4
课程介绍—几个例子
例1：百鸡问题：“鸡翁一，值钱五；鸡母一，
值 钱三；鸡雏三，值钱一。百钱买百鸡，问鸡 翁、母、雏各几何？”
穷举法
5
课程介绍—几个例子
例2：假设正整数n、s，s<n。设计算法对任
一给定n位数，删除其中的s位后，使得剩 下的位组成的新数最小。 例：n=6 s=3 783259 ---> 259 n=5 s=2 24351 ---> 231
20 77146year
表1.1 算法1.3的执行时间随n的增长而增长的情况
注：表1.1假设算法1.3中while循环体执行一次需1μs。
对某类特定问题，穷举法只适用于规模较小的情况。
30
ACM 与算法设计
1、穷举法 如求素数 、百钱百鸡问题 2、分治法 如汉诺塔问题、折半查找算法、快速排序算法 3、贪心法 如：哈夫曼算法、最小生成树、最短路径算法
8
课程介绍—本课程学习的算法
常用算法 穷举法 — 百鸡问题 递归和分治 — 二分查找、快速排序 贪心法 — 最小生成树、最短距离 回溯 — 迷宫、八后问题 动态规划 分支与限界
9
教学内容与进度
第1 章 算法引论 3 学时； 第2章常用的数学工具 3 学时； 第4章 递归与分治 5学时；实验1 第5章贪心算法 4 学时； 第6章动态规划 6 学时；实验2 第7章 回溯法 5 学时；实验3 第8章 分支限界法 5学时； 第12-13 章 NP完全问题及计算复杂性
主 要
33
1.2 算法的时间复杂性
算法的输入规模和运行时间的阶 算法的执行时间随问题规模的增大而增大，故 常用关于问题规模n的函数估算算法在大规模问 题时的运行时间。
34
运行时间T(n)的估算
运行时间T(n)的估算
假设初等操作计算模型：所有操作数都具有相同 的固定字长；所有操作的时间花费都是一个常数 时间间隔。 如：算术运算；比较和逻辑运算；赋值运算(含遍 历表和指针赋值）等。 例1.3 估算算法1.1的运行时间T1(n)。
穷举法实例—货郎担问题
n n! n n! n n! n n!
5
6
120μ s
720μ s
9
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362ms