第八讲 动能定理、机械能守恒定律、功能关系

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第八讲动能定理、机械能守恒定律、功能关系
1.动能
(1)定义:物体由于运动而具有的能量叫做动能。

(2)公式:(v为对地速度)
(3)单位:在国际单位制中,动能的单位是焦耳,符号是J
(4)动能是标量,且恒为正值。

(5)动能是状态量,对应物体运动的一个时刻。

2.势能
(1)重力势能
①概念:物体的重力势能等于物体的重力和高度的乘积。

②表达式:E P=mgh
③单位:在国际单位制中,重力势能的单位是焦耳,符号是J
④重力势能是标量,但有正负,其正负表示大小,物体在参考平面以下,其重力势能为负,在参考平面以上,其重力势能为正。

⑤重力做功和重力势间的区别与联系:
(2)弹性势能
物体由于发生弹性形变而具有的能,叫做弹性势能,弹性形变量越大,弹性势能就越大。

3.动能定理及其应用 (1)动能定理
①内容:合外力对物体所做的功等于物体动能的改变。

②表达式:k E W
∆= 或
21222
121mv mv W -=
③对动能定理的理解
a .w 合是所有外力对物体做的总功,等于所有外力对物体做功的代数和,即:
w 合= w 1+ w 2+ w 3+……
若物体所受外力为恒力,w 合= FS cosα
b .w 合>0,则表示合外力作为动力对物体做功,△E k >0,物体的动能增加。

w 合<0,则表示合外力作为动力对物体做功,△E k <0,物体的动能减少。

④动能定理的适用条件:动能定理是普遍适用的规律,适用于物体的直线运动,也适用于曲线运动;适用于恒力做功,也适用于变力做功,力可以是各种性质的力,既可以同时作用,也可以分段作用。

(2)动能定理与牛顿定律的比较
①牛顿第二定律是矢量式,反映的是力与加速度的瞬时关系;动能定理是标量式,反映做功过程中功与始末两状态动能增量的关系。

由牛顿定律推出动能定理,是把对一个物体现象每个瞬时的研究转换变成对整个过程的研究,是研究方法上的一大进步。

②功和能都是标量,动能定理表达式是一个标量式,不能在某一个方向上应用动能定理,但牛顿第二定律是矢量方程,可以在互相垂直的方向上分别使用分量方程。

③用牛顿定律解题涉及的有关物理量比较多,对运动过程的细节变化也要掌握得比较充分。

而用牛顿定理解题时涉及的物理量只有F 、s 、v ,对运动的具体过程不要求详细了解,只需考虑始末两状态的动能和外力对物体所做的功。

4.机械能及机械能守恒定律
(1)机械能:物体的动能和势能(重力势能和弹性势能)统称为机械能。

(2)机械能守恒定律
①内容:在只有重力(或系统内弹力)做功的情况下,物体的重力势能(或弹性势能)和动能发生相互转化,但总的机械能保持不变。

②机械能守恒定律的三种表达式:
a .△E k 1+△E P 1=△E k 2+△E P 2(系统初态的机械能等于系统末态的机械能)
b .△E k 增=△E P 减(系统动能的增量等于系统势能的减少量,势能包括重力势能与弹性势能)
c .△E A 增=△E B 减(A 、B 组成的系统,A 的机械能的增加量等于B 机械能的减小量)。

③机械能守恒的条件
只有重力或弹力做功包括以下三种情况: a .只有重力和弹力作用,没有其他力作用
b .有重力、弹力以外的力作用,但这些力不做功
c.有重力、弹力以外的力做功,但这些力做功的代数和为零。

④机械能守恒的条件的两重含义
其一:只发生机械能内部的相互转化(即只发生动能、重力势能和弹性势能的相互转化),前提是只有重力或弹力做功;
其二:不发生机械能与其他形式能的相互转化,前提是其他力不做功。

5.功能关系
功是能量转化的量度,分析做功问题时,关键是要清楚哪种力做功,与哪种形式的能量转化相对应。

几种常见力做功与能量转化的对应关系:
(1)合外力做功等于物体动能的改变
即w合= E k2- E k1=△E k
(2)重力做功等于物体重力势能的改变
即w G= E P1- E P2=-△E P
(3)弹簧弹力做功等于物体弹性势能的改变
即w弹= E P1- E P2=-△E P
(4)除重力和弹簧弹力之外的其他力所做的总功,等于物体机械能的改变
即w除= E2- E1=△E
(5)一对滑动摩擦力做功的代数和等于因摩擦而产生的内能
即w电= E P1- E P2=-△E P
题型一:动能定理的应用
【例题1】( 2010年陕西西安高一考试)一个物体放在光滑的水平地面上,现用水平力F拉着物体由静止开始运动,当经过位移s1时,速度达到v,随后又经过位移s2时,速度达到2v.那么,在s1和s2两段路程中F对物体做的功之比为
A.1∶2 B.2∶1
C.1∶3 D.1∶4
【例题2】(20010·江苏苏州高一考试)质量为m=50kg的滑雪运动员,以初速度v0= 4m/s ,从高度为h= 10m的弯曲滑道顶端A滑下,到达滑道底端B时的速度v t =10m/s.求:滑雪运动员在这段滑行过程中克服阻力做的功。

【例题3】如图所示,质量为m的钢珠从高出地面h处由静止自由下落,落到地面进入沙坑h/10停止,则:
(1)钢珠在沙坑中受到的平均阻力是重力的多少倍?
(2)若要使钢珠陷入沙坑h/8,则钢珠在h处的动能应为多少?(设钢珠在沙坑中所受平均阻力大小不随深度改变)
题型二:机械能守恒定律的应用
【例题4】如图所示是上海“明珠线”某轻轨车站的设计方案,与站台连接的轨道有一个小的坡度。

电车进站时要上坡,出站时要下坡,如果坡高2m,电车到a点时速度是7m/s,此后便切断电动机的电源,如果不考虑电车受的摩擦力
(1)探究这种设计方案的优点
(2)电车到a点切断电源后,能不能冲上站台?
(3)如果能冲上,它到达b点时的速度是多大?(g=10m/s2)
【例题5】如图所示,一很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮,绳两端各系一小球a和b。

a 球质量为m,静置于地面;b球质量为3m,用手托住,高度为h,此时轻绳刚好拉紧.从静止开始释放b 后,求a球可能达到的最大高度为多少?
题型三:功能关系的应用
【例题6】(2010·陕西西安高一考试)如图所示,一传送带与水平面夹角为θ=30°,以2m/s的恒定速度顺时针运行。

现将一质量为10kg的工件轻放于传送带底端,经一段时间送到高度为2m的高处,工件
与传送带间的动摩擦因数为(μ,求带动皮带的电动机由于传送工件多消耗的电能。

基础过关训练
1.( 2010·山东济宁高一考试)改变汽车的质量和速度,都能使汽车的动能发生变化,在下面4种情况中,能使汽车的动能变为原来的4倍的是( )
A.质量不变,速度增大到原来的4倍
B.质量不变,速度增大到原来的2倍
C.速度不变,质量增大到原来的2倍
D.速度不变,质量增大到原来的4倍
2.一辆汽车以v1 =6 m/s的速度沿水平路面行驶时,急刹车后滑行s1=3.6m,如果以v2=8m/s的速度行驶,在同样路面上急刹车后滑行的距离s2应为()
A.6.4m B.5.6m
C.7.2m D.10.8m
3.(2010·浙江金华高一考试)某消防队员从一平台跳下,下落2m后,双脚触地,接着他用双腿弯曲的方法缓冲,使自身重心又下降了0.5m,在着地的过程中,地面对他双脚的平均作用力估计为()A.自身所受重力的2倍
B.自身所受重力的5倍
C.自身所受重力的8倍
D.自身所受重力的10倍
4.速度为v的子弹,恰好可以穿透一块固定着的木板,如果子弹速度为2v,子弹穿透木板时阻力视为不变,则可穿透同样的木板()
A.2块B.3块
C.4块D.1块
5.(2010·青海西宁高一考试)某人把原来静止于地面上的质量为2kg的物体向上提起1m,并使物体获得1m/s的速度,取g为10m/s2,则在这过程中:()
A.人对物体做功21J
B.合外力对物体做功1J
C.合外力对物体做功21J
D.物体克服重力做功为20J
6.(2010·湖北荆州高一考试)物体与转台间的动摩擦因数为μ,与转轴间距离为R ,m 随转台由静止开始加速转动,当转速增加至某值时,m 即将在转台上相对滑动,此时起转台做匀速转动,此过程中摩擦力对m 做的功为( )
A .0
B .mgR πμ2
C . mgR μ2
D .
2
mgR
μ
7.下列关于机械能是否守恒的说法中正确的是( ) A .做匀速直线运动的物体的机械能一定守恒 B .做匀加速直线运动的物体的机械能不可能守恒
C .运动物体只要不受摩擦力作用,其机械能一定守恒
D .物体只发生动能和势能的相互转化,物体的机械能一定守恒
8.在离地面高为h 处竖直上抛一质量为m 的物块,抛出时的速度为v 0,当它落到地面时速度为v ,用g 表示重力加速度,则在此过程中物块克服空气阻力所做的功等于( )
A .2
22121mv mv mgh -- B .2
22121mv mv mgh --- C .2
22121mv mv mgh +- D .2
22121mv mv mgh -+
9. ( 2010·广西北海高一考试)如图,质量0.5kg 的小球,从桌面以上h 1=0.4m 的A 点落到地面的B
点,桌面高h 2=0.8m 。

以桌面为参考平面,g =10m/s 2,下列说法正确的是( )
A .小球在A 点的重力势能为6J
B .小球在B 点的重力势能为4J
C .小球从A 点下落到B 点的过程中重力势能减少了6J
D .小球从A 点下落到B 点的过程中重力做的功为-6J 10. ( 2010·北京丰台高一考试)如图所示,将质量相同的物体A 、B 分别从两个高度相同、倾角不同、固定的光滑斜面顶端由静止释放滑至底端.则两个过程相比,A 、B 物体( )
A .滑至底端时的速率相同
B .滑至底端时的速率不同
C.重力做功相同
D.重力做功不同
11.05m的成绩第24次打破世界纪录。

图为她在比赛中的几个画面,下列说法中正确的是()
A.运动员助跑阶段,运动员的动能增加
B.撑杆恢复形变时,其弹性势能全部转化为运动员的动能
C.在上升过程中运动员先对杆做负功后对杆做正功
D.运动员在上升过程中运动员的机械能守恒
12.(2010·江西南昌高一考试)如图所示,由理想电动机带动的传送带以速度v保持水平方向的匀速运动,现把一工件(质量为m)轻轻放在传送带的左端A处,一段时间后,工件被运送到右端B处,A、B之间的距离为L(L足够长)。

设工件与传送带间的动摩擦因数为μ。

那么该电动机每传送完这样一个工件多消耗的电能为()
mgL

、2
mv
2
1
mgL
B+
μ

2
mv
2
1
C、2
mv
D、
13.(2010·宁夏银川高一考试)滑沙是一种健康的游乐活动,如图所示,人坐在滑板上从斜坡的高处由静止开始滑下,滑到斜坡底端B点后沿水平的滑道再滑行一段距离到C点停下来.若某人和滑板的总质量m=60.0kg,滑板与斜坡滑道和水平滑道间的动摩擦因数相同,大小均为μ =0.50,斜坡的倾角θ=370,斜坡与水平滑道间是平滑连接的,整个过程中空气阻力忽略不计,g取10m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8 ,
求:(1)人从斜坡滑下时的加速度大小;
(2)由于受到场地的限制,水平滑道的最大长度为L=20.0m,则人在斜坡上滑下的距离AB最长应不超过多少米?
14.在距地面10m高处,一人以5m/s的速度水平抛出一个质量为4kg的物体,物体着地时速度大小是10m/s,则人抛出物体的过程中对物体所做的功为多大?飞行过程中的物体克服空气阻力所做的功为多少?(g取10m/s2)
能力提升训练
1.质点所受的力F 随时间的变化规律如图所示,力的方向始终在一条直线上,已知t =0时质点的速度为零。

在图中所示的t 1、t 2、t 3和t 4各时刻中,哪一时刻质点的动能最大( )
A .t 1
B .t 2
C .t 3
D .t 4 2.(2010·辽宁沈阳高一考试)如图所示,质量为m 的物体用细绳经过光滑小孔牵引在光滑水平面上做匀速圆周运动,拉力为某个值F 时,转动半径为R ,当拉力逐渐减小到F /4时,物体仍做匀速圆周运动,半径为2R ,则外力对物体所做的功大小是( )
A .0
B .43FR
C .4FR
D .25FR
3.(2010·江苏盐城高一考试)在平直公路上,汽车由静止开始作匀加速运动,当速度达到某一值时,立即关闭动动机后滑行至停止,其v-t 图像如图所示。

汽车牵引力为F ,运动过程中所受的摩擦阻力恒为f ,全过程中牵引力所做的功为W 1,克服摩擦阻力所做的功为W 2,则下列关系中正确的是( )
A .F ∶f =4∶1
B .F ∶f =1∶3
C .W 1∶W 2 =4∶3
D .W 1∶W 2 =1∶1 4.如图所示,质量为m 的小球被系在轻绳一端,在竖直平面内做半径为R 的圆周运动,运动过程中小球受到空气阻力的作用。

设某一时刻小球通过轨道的最低点,此时绳子的张力为7mg ,此后小球继续做圆周运动,经过半个圆周恰好通过最高点,则在此过程中小球克服空气阻力所做的功为( )
A .
mgR 41 B .mgR 31
C .mgR 2
1
D .m gR
5.如图所示,在两个质量分别为m 和m 2的小球a 和b 之间,用一根长为L 的轻杆连接(杆的质量可不计),两小球可绕穿过杆中心O 的水平轴无摩擦地转动。

现让轻杆处于水平位置,然后无初速释放,重球b 向下,轻球a 向上,产生转动。

在杆转至竖直的过程中( )
A .b 球的重力势能减少,动能增加
B .a 球的重力势能增加,动能增加
C .a 球和b 球的总机械能守恒
D .a 球和b 球的总机械能不守恒
6.(2010·浙江杭州高一考试)某滑板爱好者在离地h =1.8m 高的平台上滑行,水平离开A 点后落在水平地面上的B 点,其水平位移s 1=3.6m 。

着地时由于存在能量损失,着地后速度变为v =4m/s ,并以此为初速沿水平地面滑行s 2=8m 后停止.已知人与滑板的总质量m =60kg .试求:
求:(1)人与滑板在水平地面滑行时受到的平均阻力的大小;
(2)人与滑板离开平台时的水平初速度大小(空气阻力忽略不计,取g=10m/s 2).
7.(2010·河南洛阳高一考试)如图所示,一半径为R 的光滑圆弧与水平面相切,一小球与圆轨道的底端相距为x ,现给小球一初速度,它恰能通过圆弧轨道的最高点。

已知小球与水平面的动摩擦因数为μ,求小球初速度的大小。

8.(2010·辽宁大连高一考试)剑桥大学物理学家海伦·杰尔斯基研究了各种自行车特技的物理学原理,并通过计算机模拟技术探寻特技动作的极限,设计了一个令人惊叹不已的高难度动作——“爱因斯坦空翻”,并在伦敦科学博物馆由自行车特技运动员成功完成。

“爱因斯坦空翻”简化模型如图所示,质量为m的自行
车运动员从B点由静止出发,经BC圆弧,从C点竖直冲出,完成空翻,完成空翻的时
间为t。

由B到C的过程中,克服摩擦力做功为W f ,空气阻力忽略不计,重力加速度
为g,试求:自行车运动员从B到C至少做多少功?
9.(2009·高考上海卷)质量为5⨯103 kg的汽车在t=0时刻速度0v=10m/s,随后
以P=6⨯104 W的额定功率沿平直公路继续前进,经72s达到最大速度,设汽车受恒定阻力,其大小为2.5⨯103N。

求:(1)汽车的最大速度v m;(2)汽车在72s内经过的路程s。

10.杂技演员在进行“顶杆”表演时,用的是一根质量可忽略不计的长竹竿,质量为30 kg的演员自杆顶由静止开始下滑,滑到杆底时速度正好为零。

已知竹竿底部与下面顶杆人肩部之间有一传感器,传感器显示顶杆人肩部的受力情况如图所示,取g= 10 m/s2。

求:(1)杆上的人下滑过程中的最大速度;
(2)竹竿的长度。

11.(2010·山东青岛高一考试考试)如图甲所示,一质量为m = 1kg的物块静止在粗糙水平面上的A点,从t = 0时刻开始,物体在受按如图乙所示规律变化的水平力F作用下向右运动,第3s末物块运动到B点时速度刚好为0,第5s末物块刚好回到A点,已知物块与粗糙水平间的动摩擦因数μ= 0.2,g取10m/s2求:(1)AB间的距离;
(2)水平力F在5s时间内对物块所做功。

12.如图所示,倾角θ=37°的斜面底端B平滑连接着半径r=0.40m的竖直光滑圆轨道。

质量m=0.50kg 的小物块,从距地面h=2.7m处沿斜面由静止开始下滑,小物块与斜面间的动摩擦因数 =0.25,(sin37°=0.6,
cos37°=0.8,g=10m/s2)。

求:
(1)物块滑到斜面底端B时的速度大小。

(2)物块运动到圆轨道的最高点A时,对圆轨道的压力大小。

13.(2010·河北邯郸高一考试)如图所示,小球以60J的初动能从A点出发沿粗糙斜面向上运动,
在上升到B点的过程中,小球的动能损失了50J,机械能损失了10J,则小球继续向上运动至最高点C再
运动至出发点A时的动能为多少?
14.某兴趣小组设计了如图所示的玩具轨道,其中“2008”,四个等高数字用内壁光滑的薄壁细圆管弯成,固定在竖直平面内(所有数宇均由圆或半圆组成,圆半径比细管的内径大得多),底端与水平地面相切。

弹射装置将一个小物体(可视为质点)以v =5m/s 的水平初速度由a 点弹出,从b 点进人轨道,依次经过“8002”后从P 点水平抛出。

小物体与地面ab 段间的动摩擦因数μ=0.3 ,不计其它机械能损失。

已知ab 段长L =1.5m ,数字“0”的半径R =0.2m ,小物体质量m =0 .0lkg ,g=10m/s 2 。

求:
(1)小物体从p 点抛出后的水平射程。

(2)小物体经过数字“0”的最高点时管道对小物体作用力的大小和方向。

15.(2010·天津南开中学高一考试)“抛石机”是古代战争中常用的—种设备,O 为转轴,如下图所示,某研究小组用自制的抛石机演练抛石过程,所用抛石机长臂OA 的长度L =4.8m ,质量m =10.0kg 的石块装在长臂末端的口袋中。

开始时长臂与水平面间的夹角︒=30α,对短臂OB 施力,使石块经较长路径获得较大的速度,当长臂转到竖直位置时立即停止转动,石块被水平抛出,石块落地位置与抛出位置间的水平距离x =19.2m ,不计空气阻力,重力加速度取g=10m/s 2。

求:(1)石块刚被抛出时的速度大小0v ;
(2)长臂停止转动瞬间,石块受到的抛石机的作用力;
(3)在全过程中抛石机对石块所做的功。

16.(2010·山东济南高一考试)飞机场上运送行李的装置为一水平放置的环形传送带,传送带的总质量为M,其俯视图如图所示。

现开启电动机,传送带达稳定运行的速度v后,将行李依次轻轻放到传送带上。

若有n件质量均为m的行李需通过传送带运送给旅客。

假设在转弯处行李与传送带无相对滑动,忽略皮带轮、电动机损失的能量。

求从电动机开启,到运送完行李需要消耗的电能为多少?
17.(2009年山东青岛高三考试)如下图所示,长度L=1m、质量M=0.25kg的木板放在光滑水平面上,质量m=2kg的小物块(可视为质点)位于木板的左端,木板和物块间的动摩擦因数 =0.1.现突然给v=2m/s,同时对小物块施加一水平向右的恒定拉力F=10N,经过一段时间后,物块木板一向左的初速度
与木板相对静止,取g=10m/s2。

求:(1)物块最终在木板上的位置;
(2)上述过程中拉力F做的功和产生的内能。

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