数学人教版七年级下册初中数学规律探究题的解题方法

初中数学规律探究题的解法指导

靖安中学钱庆利

新课标中明确要求：用代数式表示数量关系及所反映的规律，发展学生的抽象思维能力。根据一列数或一组图形的特例进行归纳，猜想，找出一般规律，进而列出通用的代数式，称之为规律探究。规律探索试题是中考中的一棵常青树，一直

受到命题者的青睐，主要原因是这类试题没有固定的形式和方法，要求学生通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来解决问题

一、数式规律探究

通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。数式规律探究是规律探究问题中的主要部分，解决此类问题注意以下三点：

1.一般地，常用字母n表示正整数，从1开始。

2.在数据中，分清奇偶，记住常用表达式。

正整数…n-1,n,n+1…奇数…2n-3,2n-1,2n+1,2n+3…偶数…2n-2,2n,2n+2…

3.熟记常见的规律

① 1、4、9、16......n2② 1、3、6、10……

(1)

2

n n+

③ 1、3、7、15……2n -1 ④ 1+2+3+4+…+n=

(1)

2

n n+

⑤ 1+3+5+…+(2n-1)= n2 ⑥ 2+4+6+…+2n=n(n+1)

⑦ 12+22+32….+n2=1

6

n(n+1)(2n+1) ⑧ 13+23+33….+n3=

1

4

n2(n+1）

数字规律探究反映了由特殊到一般的数学方法，解决此类问题常用的方法有以下两种：1.观察法

例1.观察下列等式：①1×1

2

=1-

1

2

②2×

2

3

=2-

2

3

③3×

3

4

=3-

3

4

④4×4

5

=4-

4

5

……猜想第几个等式为（用含n的式子表示）

分析：将等式竖排：

①1×1

2

=1-

1

2

观察相应位置上变化的数字与序列号

②2×2

3

=2-

2

3

的对应关系（注意分清正整数的奇偶）

③3×3

4

=3-

3

4

易观察出结果为：

④4×4

5

=4-

4

5

n×

1

n

n+

=n-

1

n

n+

2.函数法

(1)一级等差：第一次求差结果相等，用一次函数y=kx+b

例3.有一组数：4、7、10、13、16、19……请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第n个数为。

（用含n的代数式表示）

分析：对结果数据做求差处理（相邻两数求差，大数减小数）

原数为：4、7、10、13 第一次求差结果相等，用一次函数y=kx+b

第一次求差： 3 3 3 代入（1,4）（2,7）解之得：y=3x+1

∴a n=3n+1

(2)二级等差：第二次求差结果相等，用二次函数y=ax2+bx+c

例4.有一组数：1、2、5、10、17、26……请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为。

分析：对这组数据做求差处理：原数 1 2 5 10 17 26

第一次求差：1 3 5 7 9

第二次求差：2 2 2 2

第二次求差结果相等，同二次函数y=ax2+bx+c 代入（1,1）（2,2）（3,5）

解之得a=1 b=-2 c=2 y= x2-2x+2=（x-1）2+1

∴当=8时，y=50 （第n个数为 :n2-2n+2或（n-1）2+1 ）

二、图形规律探究

由结构类似，多少和位置不同的几何图案的图形个数之间也有一定的规律可寻，并且还可以由一个通用的代数式来表示。这种探索图形结构成元素的规律的试题，解决思路有两种：一种是数图形，将图形转化为数字规律，再用函数法、观察法解决问题；另一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律，常用“拆图法”解决问题。

拆图法

例5．如图，由若干火柴棒摆成的正方形，第①图用了4根火柴，第②图用了7根火柴棒，第③图用了10根火柴棒，依次类推，第⑩图用根火柴棒，摆第n个图时，要用根火柴棒。

（1）（2）（3）

分析：本例①可拆为即1+3=4（根）第②拆为即

1+3⨯2=7（根）；第③图可拆为即1+3⨯3=10(根)由此可知，

第⑩图为1+3⨯10=31（根），第n个图为：（3n+1）根。

例6．按如下规律摆放三角形：则第④堆三角形的个数为；第（n）堆三角形的个数为。

△△△

△△△

△△△△△

△△△△△△

△△△△△△△

①②③

分析：本例中需要进行比较的因素较多，于是把图拆为横向和纵向两部分，就横向而言，把三角形个数抽出来，就是3，5，7…这是奇数从小到大的排列，其表达式为：2n+1；就纵向而言，发现三角形个数依次增加一个：第①堆有2个，第②堆有3个，第③堆有4个，所以第（n）堆的个数就为（n+1）个。所以第n堆三角形的总个数为：（n+1）+(2n+1)即(3n+2)个。

三、周期循环规律探究

探索规律：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729……，那么32009的个位数字是。分析：这类问题，主要是通过观察末位数字，找出其循环节共几位，然后用指数除以循环节的位数，结果余几，就和第几个数的末位数字相同，2009÷4=502……1,易得出本题结果为：3

课堂检测

1.一组数2，4，8，16，32……，第n个数是。