(完整word版)平行四边形的存在性问题解题策略

04平行四边形的存在性问题解题策略

1．（2010陕西西安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A （—1，0），B （3，0），C （0，—1）三点。 （1）求该抛物线的表达式；

（2）点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上，要使以点Q 、P 、A 、B 为顶点的四边形是平行

四边形，求所有满足条件的点P 的坐标。

【答案】解：（1）设该抛物线的表达式为c bx ax y =+=2

。根据题意，得、

⎪⎩⎪⎨⎧-==++=+-.1,039,0c c b a c b a 解之，得⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪

⎪⎨⎧

-=-==.

1,32,31c b a

∴所求抛物线的表达式为.13

2

312--=

x x y （2）①当AB 为边时，只要PQ//AB ，且PQ=AB=4即可，

又知点Q 在y 轴上，∴点P 的横坐标为4或-4，这时，将 合条件的点P 有两个，分别记为P 1，P 2。 而当x=4时，.7,4,3

5

=-==

y x y 时当 此时).7,4(),3

5

,4(21-P P

②当AB 为对角线时，只要线段PQ 与线段AB 互相平分即可，

又知点Q 在y 轴上，且线段AB 中点的横坐标为1，

∴点P 的横坐标为2，这时，符合条件的点P 只有一个，记为P 3， 而当x=2时，y=-1，此时P 3（2，-1） 综上，满足条件的点)1,2(),7,4(),3

5

,4(321--P P P P 为

1. （2011山东威海，25，12分）如图，抛物线2

y ax bx c =++交x 轴于点(3,0)A -，点

(1,0)B ,交y 轴于点(0,3)E -．点C 是点A 关于点B 的对称点，点F 是线段BC 的中点，直

线l 过点F 且与y 轴平行．直线y x m =-+过点C ，交y 轴于点D ． （1）求抛物线的函数表达式；

（2）点K 为线段AB 上一动点，过点K 作x 轴的垂线与直线CD 交于点H ，与抛物线交于点G ,求线段HG 长度的最大值；

（3）在直线l 上取点M ，在抛物线上取点N ，使以点A ，C ，M ，N 为顶点的四边是平行四边形，求点N 的坐标．

图① 备用图

【答案】 解：（1）设抛物线的函数表达式(1)(3)y a x x =-+ ∵抛物线与y 轴交于点(0,3)E -，将该点坐标代入上式，得1a =． ∴所求函数表达式(1)(3)y x x =-+，即2

23y x x =+-．

（2）∵点C 是点A 关于点B 的对称点，点(3,0)A -，点(1,0)B ， ∴点C 的坐标是(5,0)C ．

将点C 的坐标是(5,0)C 代入y x m =-+，得5m =． ∴直线CD 的函数表达式为5y x =-+．

设K 点的坐标为(,0)t ，则H 点的坐标为(,5)t t -+，G 点的坐标为2

(,23)t t t +-．

∵点K 为线段AB 上一动点， ∴31t -≤≤．

∴2

2

2

341(5)(23)38()2

4

HG t t t t t t =-+-+-=--+=-++

． ∵3

312-≤-

≤， ∴当32t =-时，线段HG 长度有最大值41

4

．

（3）∵点F 是线段BC 的中点，点(1,0)B ，点 (5,0)C ， ∴点F 的坐标为(3,0)F ． ∵直线l 过点F 且与y 轴平行， ∴直线l 的函数表达式为3x =． ∵点M 在直线l 上，点N 在抛物线上 ，

∴设点M 的坐标为(3,)M m ，点N 的坐标为2

(,23)N n n n +-．

∵点(3,0)A -，点 (5,0)C ，∴8AC =． 分情况讨论：

① 若线段AC 是以点A ，C ，M ，N 为顶点的四边是平行四边形的边，则须MN ∥AC ，且

MN ＝AC ＝8．

当点N 在点M 的左侧时，3MN n =-． ∴38n -=，解得5n =-． ∴N 点的坐标为(5,12)N -．

当点N 在点M 的右侧时，3MN n =-．

∴38n -=，解得11n =． ∴N 点的坐标为(11,40)N ．

②若线段AC 是以点A ，C ，M ，N 为顶点的平行四边形的对角线，由“点C 与点A 关于点

B 中心对称”知：点M 与点N 关于点B 中心对称．取点F 关于点B 对称点P ，则点P 的坐

标为(1,0)P -．过点P 作NP ⊥x 轴，交抛物线于点N ． 将1x =-代入2

23y x x =+-，得4y =-．

过点N ，B 作直线NB 交直线l 于点M ． 在△BPN 和△BFM 中，

∵90NPB MBF BF BP BPN BFM ∠=∠⎧⎪

=⎨⎪∠=∠=︒⎩

∴△BPN ≌△BFM ． ∴NB ＝MB ．

∴四边形点ANCM 为平行四边形． ∴坐标为(1,4)--的点N 符合条件．

∴当点N 的坐标为(5,12)-，(11,40)，(1,4)--时，以点A ，C ，M ，N 为顶点的四边是平行四边形．

2、（2009重庆綦江）如图，已知抛物线(1)233(0)y a x a =-+≠经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点

C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？