计算坐标与坐标方位角的基本公式

二 计算坐标与坐标方位角的基本公式 控制测量的主要目的是通过测量和计算求出控制点的坐标，控制点的坐标是根据边长及方位角计算出来的。下面介绍计算坐标与坐标方位角的基本公式，这些公式是矿山测量工中最基本最常用的公式。

一、坐标正算和坐标反算公式 1．坐标正算

根据已知点的坐标和已知点到待定点的坐标方位角、边长计算待定点的坐标，这种计算在测量中称为坐标正算。

如图5—5所示，已知A 点的坐标为A x 、A y ，A 到B 的边长和坐标方位角分别为AB S 和AB α，则待定点B 的坐标为

AB

A B AB A B y y y x x x ∆+=∆+= ｝

（5—1） 式中

AB x ∆

、AB y ∆——坐标增量。

由图5—5可知

AB

AB AB AB AB AB S y S x ααsin cos =∆=∆ ｝

（5—2） 式中

AB S ——水平边长；

AB α——坐标方位角。

将式（5-2）代入式（5-1），则有

AB

AB A B AB AB A B S y y S x x ααsin cos +=+= ｝

（5—3）

当A 点的坐标A x 、A y 和边长AB S 及其坐标方位角AB α为已知时，就可以用上述公式计算出待定点B 的坐标。式（5—2）是计算坐标增量的基本公式，式（5—3）是计算坐标的基本公式，称为坐标正算公式。

从图5—5可以看出AB x ∆是边长AB S 在x 轴上的投影长度，

AB y ∆是边长AB S 在

y 轴上的投影长度，边长是有向线段，是在

实地由A 量到B 得到的正值。而公式中的坐标方位角可以从0°到360°变化，根据三角函数定义，坐标方位角的正弦值和余弦值就有正负两种

情况，其正负符号取决于坐标方位角所在的象限，如图5—6所示。从式（5—2）知，由于三角函数值的正负决定了坐标增量的正负，其符号归纳成表5—3。

图5—5 坐标计算图5—6 坐标增量符号

表5—3 坐标增量符号表

坐标方位角

（°）所在象限坐标增量的正

负号

⊿x ⊿y

0～90

90～180

180～270

270～Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

Ⅳ

＋

－

－

＋

＋

＋

－

－

例 1 已知A 点坐标A x =100.00m ，A y =300.10m ；边长

AB s =100m ，方位角AB α=330°。求

B 点的坐标B x 、B y 。

解：根据公式（5—3）有

m

s y y m s x x AB AB A B AB AB A B 6.249330sin 1001.300sin 1.186330cos 100100cos =︒⋅+=+==︒⋅+=+=αα

2、坐标反算

由两个已知点的坐标计算出这两个点连线的坐标方位角和边长，这种计算称为坐标反算。

由式（5—1）有 A

B AB A B AB y y y x x x -=∆-=∆ ｝

（5—4）

该式说明坐标增量就是两点的坐标之差。在图5—5中AB x ∆ 表示由A 点到达B 点的纵坐标之差称纵坐标增量； AB y ∆表示由A 点到B 点的横坐标之差称横坐标增量。坐标增量也有正负两种情况，它们决定于起点和终点坐标值的大小。 在图5—5中如果A 点到B 点的坐标已知，需要计算AB 边的坐标方位角AB α和边长时AB S ， 则有

AB

AB

A B A B AB x y x x y y ∆∆=--=

αtan

AB

AB

AB AB AB y x S ααsin cos ∆=

∆=

｝

(5—5)

或

()()22AB AB AB y x S ∆+∆=

公式（5—5）称为坐标反算公式。应当指出，使用公式（5—5）中第一式计算的角是象限角R ，应根据⊿x 、⊿y 的正负号，确定所在象限，再将象限角换算为方位角。因此公式（5—5）中的第一式还可表示为： AB

AB

A B A B AB x y

x x y y R ∆∆=--=arctan arctan

例2．已知A x =300m,

A y =500m,

B x =500m,B y =300m,求A 、B

二点连线的坐标方位角AB α和边长AB S 。 解：由公式（5-5）有

)1arctan(300

500500

300arctan arctan

-=--=--=A B A B AB x x y y R 因为AB x ∆为正 、AB y ∆为负，直线AB 位于第四象限。所以

︒=45NW R AB

根据第四象限的坐标方位角与象限角的关系得：

︒=︒-︒=31545360AB α

AB 边长为：

m y y x x S A B A B AB 8.282)500300()300500()()(2222=-+-=-+-=

坐标正算公式和坐标反算公式都是矿山测量中最基本的公式，应用十分广泛。

在测量计算时，由于公式中各元素的数字较多，测量规范对数字取位及计算成果作了规定。例如图根控制点要求边长计算取至毫米；角度计算取至秒；坐标计算取至厘米。

二、坐标方位角的推算公式

由公式（5-2）知，计算坐标增量需要边长和该边的坐标方位角两个要素，其中边长是

在野外直接测量或通过三角学的公式计算得到的，坐标方位角则是根据已知坐标方位角和水平角推算出来的。下面介绍坐标方位角的推算公式。

如图5-7所示，箭头所指的方向为“前进”方向，位于前进方向左侧的观测角称为左观测角，简称左角；位于前进方向右侧的角称为右观测角，简称右角。

1.观测左角时的坐标方位角计算公式

在图5—7与5—8中，已知AB边的方位角为

α，左β为

AB

左观测角，需要求得BC边的方位角

α。左β是外业观测得到

BC

的水平角，从图上可以看出已知方位角

α与左观测角左β之

AB

和有两种情况：即大于180°或小于180°。图5—7中为大于180°的情况，图5—8中为小于180°的情况。