完全平方公式因式分解
完全平方公式法因式分解
1.
7.(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值； (2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．
8.(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值； (2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值． 解：(1)原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2. 当a－b＝3时，原式＝32＝9. (2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式， 完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式 的方法叫做公式法.
因式分解的平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b)
因式分解的完全平方公式：
a2+2ab+b2= (a+b) 2
a2－2ab+b2= (a－b) 2
例3：因式分解： (1)－3a2x2＋24a2x－48a2；
3. 完全平方公式： (a+b) 2 =a2+2ab+b2.
(a－b) 2 =a2-2ab+b2
完全平方公式： (a+b) 2=a2±2ab+b2.
1.整式的乘法 (1). (p+1) 2 = ______ (2). (m+2) 2 =______ (3). (p-1) 2 =______ (4). (m-2) 2 =______ (5). (a+b) 2 =_______ (6). (a-b) 2 =_______
(1).两个数的平方和加上这两个数的积的2倍， 等于这两个数的和的平方;
(2).两个数的平方和减去这两个数的积的2倍， 等于这两个数的差的平方.
特点:1.共有三项、2.有两个平方项、 3.另一项两个数乘积的正或负2倍。
因式分解中的完全平方公式
对于简单题型，首先要识别出多项式是否符合完 全平方公式的形式，然后确定$a$和$b$的值， 最后按照公式进行因式分解。
复杂题型解析及思路点拨
例题
$4x^2 + 12xy + 9y^2 - 25$
解析
思路点拨
观察该多项式，可以发现前三项 符合完全平方公式$a^2 + 2ab + b^2$的形式，其中$a = 2x, b = 3y$，而最后一项是常数项。因此， 可以将前三项因式分解为$(2x + 3y)^2$，然后与常数项组合进行 进一步的因式分解。
提取公因式法应用
01
在多项式中识别公因式，并将其 提取出来。这有助于简化多项式 ，并使其更容易识别出完全平方 项。
02
对提取公因式后的多项式进行观 察，判断是否可以通过完全平方 公式进行因式分解。
分组分解法应用
将多项式中的项进行分组，使 得每组内部能应用完全平方公 式。分组的方式可以根据多项 式的特点灵活选择。
对每个分组应用完全平方公式 进行因式分解，得到分组内的 因式。
将各分组的因式相乘，得到整 个多项式的因式分解结果。
04 典型例题解析与技巧指导
简单题型解析及思路点拨
1 2 3
例题
$x^2 + 2x + 1$
解析
观察该多项式，可以发现它符合完全平方公式 $a^2 + 2ab + b^2$的形式，其中$a = x, b = 1$。
教师点评和总结归纳
针对学生完成情况，教师给予及时的点评和反馈，指出学生在解题过程中的优点和 不足。
教师总结完全平方公式在因式分解中的应用及注意事项，强调公式运用的灵活性和 多样性。
教师可结合学生实际情况，对部分难题进行详细讲解和示范，帮助学生更好地理解 和掌握完全平方公式。
因式分解--完全平方公式 - 基础版
知识点二：运用完全平方公式分解因式
典例讲评
分解因式：(1) 16x2+24x+9
(2) –x2+4xy–4y2.
12
知识点二：运用完全平方公式分解因式
典例讲评
分解因式：(1) 16x2+24x+9
(2x)2，9=32，24x=2·4x·3,
（来自《教材》）
14
知识点二：运用完全平方公式分解因式
学以致用
2.下列各式中,可以利用完全平方公式进行因式分解的是( ) A.2x2+4x+1 B.4x2-12xy+9y2 C.2x2+4xy+y2 D.x2-y2+2xy 3.(易错题)若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则 m的值是( ) A.4 B.-4 C.±8 D.±4 4.下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是( ) A.-a2-4ab+4b2 B .a2+6ab-9b2 C.a2+2ab+4b2 D.4(a-b)2+4(a-b)+1
所以16x2+24x+9是一个完全平方式。
解：16x2+24x+9= (4x)2+ 2 ·4x ·3 + 32
a2 + 2 ·a ·b + b2
=(4x+3)2.
（来自《教材》）
13
知识点二：运用完全平方公式分解因式
学以致用
1.分解因式：① x2+12x+36 ③ a2+2a+1
② -2xy-x2-y2 ④ 4x2-4x+1
典例讲评
完全平方公式因式分解
完全平方公式因式分解
完全平方公式即(a+b)²=a²+2ab+b²、(a-b)²=a²-2ab+b²。
该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。
该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用，难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解等）。
完全平方公式：
两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的的积的2倍。
（a+b）²=a²﹢2ab+b²
两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的二倍。
﹙a－b﹚²=a²﹣2ab+b²
扩展：
掌握用完全平方公式因式分解的特征.
(1)完全平方式：形如的多项式称为完全平方式.
(2)完全平方公式：公式中的a，b不仅可以表示数字、_____, 也可以是_____.
(3)公式的特征：左边由三项组成，其中有两项分别是某两个数（或式）的平方，另一项是上述两数（或式）的_____，符号可正可负；右边是两项和（或差）的平方.
【解析】
完全平方公式：.公式中的a,b，不仅可以表示数字、单项式，也可以是多项式.
(公式的特征：左边由三项组成，其中有两项分别是某两个数（或式）的平方，另一项是上述两数（或式）的乘积的倍，符号可正可负；右边是两项和（或差）的平方. 【答案】
(2)单项式，多项式.(3)乘积的倍.。
运用完全平方公式因式分解
5 x2 1 x
4
原式
x
1 2
2
6 4a2 12ab 9b2 原式 2a 3b2
练习题：
1、下列各式中，能用完全平方公式
分解的是（ D ）
A、a2+b2+ab B、a2+2ab-b2
C、a2-ab+2b2 D、-2ab+a2+b2
2、下列各式中，不能用完全平方公
式分解的是（ C ）
A、x2+y2-2xy B、x2+4xy+4y2
A、a b 12 B、a b 12 C、a b 22 D、a b 22
10、计算1002 210099 992 的
结果是（ A ）
A、 1
B、-1
C、 2
D、-2
思考题:
1.3a x2 6axy 3a y2 2.ax2 2 a2 x a3
3.(x+y)2-2(x2-y2)+(x-y)2能用完全平方公 式分解吗?
4x2+12xy+9y2
2x2 22x3y 3y2 2x 3y2
首2 2首尾 尾2 =(首+尾)2
请运用完全平方公式把下列各式分 解因式：
1 x2 4x 4 原式 x 22
2 a2 6a 9 原式 x 32
3 4a2 4a 1 原式 2a 12
4 9m2 6mn n2 原式 3m n2
小结：
1、完全平方式的特征：
是一个二次三项式 首平方尾平方积的2倍在中央
2、利用完全平方式进行因式分 解应注意什么？
作业
P45 习题12.5 1、2、3
ab 2 a2 2abb2
现在我们把这个公式反过来
6.3(2)运用完全平方公式因式分解[下学期]
![6.3(2)运用完全平方公式因式分解[下学期]](https://img.taocdn.com/s3/m/6eb0435f3b3567ec102d8afb.png)
1．分解因式： 分解因式：
1) 9a 2 − 6ab + b 2 ) − a 2 − 10a − 25 ( (2 3 ) 49b 2 + a 2 + 14ab ) 4x 3y + 4x 2y 2 + xy 3 ( (4
( 5 ) x 4 − 18x 2 + 81
2 2
2.下面因式分解对吗？为什么？ 2.下面因式分解对吗？为什么？ 下面因式分解对吗
两个数的平方和，加上（或减去）这两个数的 两个数的平方和， 平方和 或减去） 积的两倍，等于这两数和 或者差）的平方． 积的两倍，等于这两数和（或者差）的平方．
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b)2 a
2
− 2ab + b
2
= (a − b )
2
两个数的平方和，加上（或减去） 两个数的平方和，加上（或减去）这两个数 平方和 积的两倍，等于这两数和 或者差）的平方． 的积的两倍，等于这两数和（或者差）的平方．
1．判别下列各式是不是完全平方式． ．判别下列各式是不是完全平方式．
(1) x + y ； 不是
2 2
(2) x + 2 xy + y ； 是
2 2
(3) x − 2 xy + y ； 是
2 2
(4) x + 2 xy − y ； 不是
2 2
(5) − x + 2 xy − y ． 是
2 2
你能总结出完全平方式的特点吗？ 你能总结出完全平方式的特点吗？
± 2 × 首 × 尾+ 首 尾
2
2
a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 ; a 2 − 2ab + b 2 = (a − b) 2 判别下列各式是不是完全平方式， 判别下列各式是不是完全平方式，若是说出
14.3 因式分解--完全平方公式
2x2 18
解：原式 2x2 9
2x 3x 3
探索完全平方公式
多项式 a2+2ab+b2 你能用提公因式法或平方差公式来 分解因式吗？
追问2 这两个多项式有什么共同的特点？
a2 2ab b2 a2 2ab b2
分析：在(1)中，16x2=(4x)2,9=32,24x=2·4x·3, 所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即 16x2+24x+9= (4x)2+ 2·4x·3 +32
a2 + 2 ·a ·b + b2 解:(1)16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32
=(4x+3)2
分解因式：(1) –x2+4xy–4y2 3ax2+6axy+3ay2
解： –x2+4xy-4y2
(2) 解: 3ax2+6axy+3ay2
= –(x2-4xy+4y2) = –[x2-2·x·2y+(2y)2]
= – (x-2y)2
=3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y)2
分解因式: 4 -12(x-y) + 9(x-y)2
4 -12(x-y) + 9(x-y)2 解：原式= 22 - 2·3(x-y)·2+[3(x-y)]2
=[2-3(x-y)]2 =(2-3x+3y)2
• m2-12mn+36n2 • -a2 +8ax- 16x2 • a2 +2a(b+c) + (b+c)2 • -a3 +2a2 - a
用完全平方公式因式分解
所以-kXY =±2×4X·3Y 即： -k=±2×4×3=±24
所以：K= ±24 Page 41
对应练习：
式子4X2+MX+9是一个完全平方式， 试求M的值
Page 42
八年级 数学
第十五章 因式分解
拓展运用---试一试
三、利用因式分解计算
(2)18 x 81 x2
Page 9
例3 把下列各式因式分解。
a4 2a2b b2
Page 10
习题：(1) p4 4 p2q 4q2
(2)x4 2x2 y 2 y 4
Page 11
小结：
完全平方式具有：
1、是一个三项式 2、有两个“项”平方,而且有这两“项” 的积的两倍或负两倍 3、我们可以利用完全平方公式来进行因 式分解
解：(1) x5－x3 = x3 (x2 –1) = x3 (x+1)(x－1)
(2)2x4-32y4=2(x4-16y4)
=2(x2+4y2)(x2-4y2)
= 2(x2+4y2)(x+2y)(x-2y)
注意： 1、有公因式要先提出公因式，再考虑平方差公式.
2、分解因式分解到不能分解为止.
Page 31
Page 22
5、将下列各式分解因式
(1)x2 12 x 36
(2) 2xy x2 y2
2
(3) 3x
6xy
3y2
(4)16n2 8n(m n) (m n)2
Page 23
◆创新应用: 已知(a+2b)2-2a-4b+1=0, 求(a+2b)2005的值.
完全平方公式推导公式
完全平方公式推导公式
完全平方公式是一种用于因式分解的数学公式，用于将一个二次多项式因式分解为两个一次多项式的乘积。
假设我们有一个二次多项式 ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是实数且a ≠ 0。
完全平方公式的表达式为：
ax^2 + bx + c = (mx + n)^2。
其中 m 和 n 是实数。
要推导完全平方公式，我们可以按照以下步骤进行：
1. 将二次项系数 a 除以 2，并记为 m，即 m = b/2a。
2. 将 m 带入完全平方公式的形式中得到 (mx + n)^2。
3. 展开 (mx + n)^2，得到 mx^2 + 2mnx + n^2。
4. 将 mx^2 + 2mnx + n^2 与原始的二次多项式 ax^2 + bx +
c 进行比较，得到以下等式：
ax^2 + bx + c = mx^2 + 2mnx + n^2。
通过比较系数，我们可以得到以下结果：
a = m.
b = 2mn.
c = n^2。
5. 根据以上结果解出 n，得到n = √c。
6. 将 n 带入 b = 2mn 中，解出 m，得到m = b/2√c。
因此，我们得到了完全平方公式的推导过程，即：
ax^2 + bx + c = (mx + n)^2。
其中 m = b/2a，n = √c。
这就是完全平方公式的推导过程，它可以帮助我们将二次多项式因式分解为两个一次多项式的乘积。
因式分解完全平方公式课件
将一个多项式化为几个整式的积的形式。
平方差公式
$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
因式分解完全平方公式的难点解析
如何识别和应用完全平方公式
在解决数学问题时，需要观察和识别出符合完全平方公式结 构的特点，然后正确应用公式进行因式分解。
如何处理复杂的多项式
在因式分解过程中，需要正确处理多项式的各项，确保每项 都符合因式分解的规则，同时保持等式的平衡。
因式分解完全平方公式的应用前景展望
在数学教育中的应用
因式分解完全平方公式是中学数学的重 要内容，对于培养学生的逻辑思维和数 学能力具有重要意义。随着教育改革的 深入，因式分解完全平方公式的应用将 更加广泛。
VS
在其他领域的应用
因式分解完全平方公式不仅在数学领域有 广泛应用，还在物理学、工程学等领域中 有所应用。例如，在解决物理问题时，可 以利用因式分解完全平方公式简化复杂的 物理表达式；在计算机科学中，因式分解 完全平方公式也可以用于算法优化和数据 结构的设计。
完全平方公式的特点
完全平方公式展开后，各项的次数均 为2，且常数项是首项和末项系数之积 的二倍。
因式分解的定义
因式分解
将一个多项式表示为几个整式的积的形式，称为因式分解。因式分解是代数式 的一种重要恒等变形，通过因式分解可以将复杂的表达式简化。
因式分解的方法
提取公因式法、分组分解法、十字相乘法、公式法等。
04
因式分解完全平方公式的 练习题及解析
基础练习题及解析
总结词：掌握基础
解析：这些题目考察了完全平方公式的 基础应用，需要掌握公式结构，理解每 一项的含义。
练习题3：(a+b)^2=多少
练习题1：x^2+4x+4=多少 练习题2：a^2+2ab+b^2=多少
运用完全平方公式因式分解
运用完全平方公式因式分解因式分解这玩意儿，就像是数学世界里的开锁匠，而完全平方公式就是那把神奇的钥匙。
咱们今天就来好好聊聊怎么用这把钥匙打开因式分解的大门。
我先给大家讲讲完全平方公式是啥。
它就像一对双胞胎，一个叫(a+ b)² = a² + 2ab + b²，另一个叫(a - b)² = a² - 2ab + b²。
这俩公式看着有点复杂，但其实就像是搭积木，只要你掌握了规律，就能轻松拼出想要的形状。
比如说，给你一个式子 x² + 6x + 9，这时候咱们就可以把它看成是(a + b)²的形式。
那谁是 a，谁是 b 呢？很明显，a 就是 x，b 就是 3，因为 2ab = 6x，所以 2×x×3 = 6x。
那按照公式，它就可以分解为(x + 3)²。
是不是感觉挺神奇的？再比如 4x² - 12xy + 9y²，咱们也来找找 a 和 b。
a 就是 2x，b 就是3y，因为 2×2x×3y = 12xy。
所以这个式子就可以分解为(2x - 3y)²。
我记得之前有个同学，叫小李，他刚开始学这个的时候总是晕头转向的。
有一次做作业，遇到一个式子 16x² + 24x + 9，他怎么都分解不出来。
我就问他：“你想想完全平方公式，先找找 a 和 b 呀。
”他苦着脸说：“老师，我找不到。
”我就引导他：“那 16x²可以写成谁的平方呀？”他想了想说：“4x 的平方。
”我又问：“那 9 呢？”他马上回答：“3 的平方。
”“那 2ab 是不是 24x 呢？”他一拍脑袋：“哎呀，我知道了，a 是 4x，b 是 3，所以可以分解为(4x + 3)²。
”从那以后，小李遇到这种题就再也不害怕了，还经常主动给其他同学讲呢。
咱们再来说说用完全平方公式因式分解的一些小窍门。
用完全平方公式进行因式分解
我们称之为：运用完全平 方公式分解因式
例题：把下列式子分解因式
4x2+12xy+9y2
2x2 22x3y 3y2 2x 3y2
首2 2首尾 尾2 =(首±尾)2
5、把 1 x2 3xy 9 y分2 解因式得
4
（ B）
A、
1 4
x
3y
2
a2 2abb2 a2 2abb2
我们把以上两个式子叫做完全平 方式
“头” 平方, “尾” 平方, “头” “尾” 两倍中间放.
判别下列各式是不是完全平方式
1x2 2xy y2 是 2A2 2AB B2 是 3甲2 2甲乙 乙2 是 42 2 2 是
a2 2ab b2 a2 2ab b2
完全平方式的特点：
1、必须是三项式 2、有两个平方的“项” 3、有这两平方“项”底数的2倍或-2倍
首2 2首尾尾2
下并列分各解式因是式不是完全平方式
1 a2 b2 2ab 是
22xy x2 y 2 是 3 x2 4xy4 y 2 是 4a2 6abb2 否
5x2 x 1
是
4
6 a2 2ab 4b2 否
运用公式法
把乘法公式反过来用,可以把符合公式 特点的多项式因式分解,这种方法叫公式法.
完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2
现在我们把这个公式反过来
a2 2abb2 ab2
a2 2abb2 ab2
很显然，我们可以运用以上这
x
3
y
2
6、把
4 9
x2
y2
因式分解——完全平方公式
因式分解——完全平方公式
完全平方公式（Quadratic Formula），是一类中学数学问题，它用来求解格式为ax2+bx+c=0，a≠0 的二次方程的根（即x）的一种方法。
它的公式是：
x1 = [-b+√(b2-4ac)]/2a；
x2 = [-b-√(b2-4ac)]/2a。
二、完全平方分解
完全平方分解是一种方法对一个数进行因式分解，以求得它最原始的因式。
它让我们将一个数分解到最简单的形式，比如n²或者n²+2n+1、常见的完全平方分解公式如下：
a² +2ab +b² = (a+b)²；
a² -2ab +b² = (a-b)²；
a² +2ma + m²= (a+m)²。
它可以用于分解多项式，因为它可以有效地将多个项分解成一个项并求得它们的乘积；如果需要相减，完全平方分解也可以将一个含有两个负号的多项式分解成两部分，使其易于求和。
完全平方分解的步骤如下：
步骤一：将原式拆分成平方项的和；
步骤二：比较、选择两个数，使其和等于未被拆分的系数；
步骤三：选出两个数的积，使其和等于已被拆分的平方项；
步骤四：将拆分的平方项的和写成完全平方式；
步骤五：最后，将原式分解为完全平方式形式。
示例：
令x²-4x+4=0。
步骤一：将原式拆分成平方项的和，即x²=4x-4；
步骤二：比较、选择两个数，使其和等于未被拆分的系数;x可以选择2，4；。
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a2－2ab+b2
（1）每个多项式有几项？
（2）每个多项式每一项有什么特征？
完全平方式: a22abb2
归纳完全平方式的特点：
1.必须是三项式（或可以看成三项的）；
2.有两个同号的数或式的平方；
3.中间有两数之积的±2倍. 简记口诀： 首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
第十四章 因式分解
14.3.2 公式法
第2课时 运用完全平方公式因式分解
学习目标 1.理解完全平方公式的概念，
弄清完全平方公式的 形式和特点
2.能灵活运用完全平方公式分解因式
温故知新
1.什么叫因式分解： 把一个多项式转化为几个整式的积的形式. 2.我们已经学过哪些因式分解的方法？
1.提公因式法 2.公式法-----平方差公式
a2-b2=(a+b)(a-b)
练习：将下列多项式因式分解
ax2 ax x4 16
(1)
(2)
(1)解:原式= ax(x1)
(2)解:原式= (x24)(x24)
导入新知：
回顾整式乘法公式 ——完全平方公式 ：
(ab)2a22a bb2
(ab)2a22a bb2
我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫作完全 平方式.
例1 分解因式： （1）16x2+24x+9
针对练习：分解因式 （1） x2 -12x+36 （2）4x2+4x+1
例1分解因式 （2）-x2+4xy-4y2
例2：把下列各式分解因式： （1）3ax2-6axy+3ay2
(2) （a+b)2 -12(a+b)+36
课堂小结
公式
a2±2ab+b2=(a±b)2
( 1). x²+4x+4= ( )x²+2·( )x·( )+2( )²2=(
x )²+ 2
( 2). m²-6m+9=(m )²- 2·(m ) ·(3 )+(3 )²=( m - 3 )²
(3).a²+4ab+4b²=(a )²+2·(a ) ·( 2b )+(2b )²=(a + 2b )²
下列各式是不是完全平方式？为什么？
（1）a2－4a+4; 是
（2）不是
1+4a²;
不是
不是
（3）4b2+4b-1; 是
（4）
a2+分ab析+b：2; （5）（x22+）x+因0.为25它.只有两项； （3）4b²与-1的符号不统一；
（4）43;b²=(a±b)²，填空：
完全平方
公式分解
因
式
特点
（1）要求多项式有三项. （2）其中两项同号，且都可以 写成某数或式的平方，另一项则 是这两数或式的乘积的2倍，符 号可正可负.
本内容仅供参考,如需使用，请根据自己实际情况更改后使用！
放映结束 感谢各位批评指导！
让我们共同进步