弹性波场论基础
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《物理场论》第3篇第2章弹性介质动力学基础
K s 2 s 2 t t t
s u v w ex ey ez t t t t
根据运动方程微分形式得：
xy yy zy xz yz zz 2 s xx yx zx 2 ( )ex ( )e y ( )ez t x y z x y z x y z
利用Hooke定律消去应力或应变分量，弹性位能密度：
U 1 u ( xx xx yy yy zz zz xy xy yz yz zx zx ) V 2 1 2 2 2 2 2 2 { ( xx yy zz )2 [2( xx yy zz ) xy yz zx ]} 2
波动方程
2. 位移分量表达的波动方程
把上述Hooke定律方程代入运动方程组中，由于
xx u 2u ( 2 ) 2 x x x x x 2 xy v u 2u 2v [ ( )] ( 2 ) y y x y y xy xz w u 2u 2w [ ( )] ( 2 ) z z x z z xz
机械能
所以：
K xx yx zx u xy yy zy v xz yz zz w ( ) ( ) ( ) t x y z t x y z t x y z t
E U K t t t u v w u v w u v w ( xx xy xz ) ( yx yy yz ) ( zx zy zz ) x t t t y t t t z t t t
2
2 ：拉普拉斯算符;
：体应变
上述方程为用位移分量 u 、 v 和 w 表示的波动方程。得 到u,v,w 就可以得到应变张量场，从而得到应力张量场。
声学基础第一章-弹性波理论基础1-2(2012年新版)
、(， )分别为弹性介质的密度 和拉梅常数；
上式是位移矢量三个分量函数的波动方程，矢量形式的位移 矢量波动方程为：（！！！）
s ( x, y, z, t ) 2 ( )( s ( x, y, z, t )) s ( x, y, z, t ) 2 t
( ) 2 0 ( )( ( )) ( ) 2 t 2 2 左 0 0 t 2 t 2
显然，三个方程均为达朗贝尔方程，解为：
( x , t ) f1 ( x c l t ) f 2 ( x c l t ) 2 ( x ,t ) g1( x ct t ) g 2 ( x ct t )；其中：cl ; ct ( x ,t ) h ( x c t ) h ( x c t ) 1 t 2 t
cl
; kt
ct
坐标x处质点的运动轨迹在 3个坐标面上的投影曲线 ： （ 1 ）o x y坐标面上： X ( x, t ) A cos(t kl x) ； Y ( x, t ) B cos(t kt x) （2）o x z坐标面上： X ( x, t ) A cos(t kl x) ； Z ( x, t ) C cos(t kt x) （3）o y z坐标面上： Y ( x, t ) B cos(t kt x) Z ( x, t ) C cos(t kt x) 其中：kl
是空间椭圆（广义）曲 线
cl
; kt
ct
3o弹性介质中质点位移势函数的波动方程 据‘场论’理论，一个矢量场可表示成一个标量场的梯 度与一个矢量场的旋度之和。 定义：若,位移矢量
弹性波场理论基本概念介绍
弹性波场理论基本概念介绍引言测绘是一门数学性很强的学科，许多数学的理论在测绘中应用非常的普遍。
如最小二乘法，最小范数法，回归分析法，各种曲线拟合法，蒙特卡罗法，模拟退火法，遗传算法，等等。
只要是在数学领域可以应用的方法，在测绘的实际应用中同样可以。
同时，测绘学科也是一门与地球物理紧密相关的学科，在地球物理中的很多理论方法在解决测绘问题中都起到了非常重要的作用。
如流体力学的应用，弹性力学的应用，等等。
本文主要是介绍一下地球物理学的关于弹性波场的理论，最后做了简要的展望。
弹性波场就是在弹性介质中传播的波。
弹性介质在外力或扰动的作用下会发生体积和形状的变化(称为形变)，产生所谓应变。
应变可分为纵向(或胀缩)应变和横向(或剪切)应变。
这些应变用弹性常数来表示。
当一扰动作用于均匀各向同性完全弹性介质时，在弹性介质内有胀缩应变的纵向位移形式向前传播的纵波存在，同时也有以剪切横向位移形式向前传播的横波存在。
纵波传播速度比横放传播速度快，在地震时纵波比横波先到。
地震波的实质就是地下岩石中传播的弹性波。
在地震波传播范围内绝大部分岩石都可以 近似地看成理想弹性体或完全弹性体。
因此弹性力学的许多理论和概念可以引人地震勘查中 来。
在这里我们重复了一些弹性力学的概念，是为了将它们引伸到地震勘查范围中来，着眼点是从地震勘查的角度描述这些基本概念。
一 应力和应变(一)应力当弹性体在外力作用下发生形变时，总有一种阻止弹性体形变，欲恢复弹性体原状的内力，这种内力称为内应力，简称应力。
应力可定义为单位面积上的内力。
注意，应力的量纲不是力的量纲而是单位面积上力的量纲，因此有的书将应力称为“胁强”。
根据力的分解定理，可将弹性体内任意方向的应力分解为垂直于单位面积的法向应力和 相切于单位面积的剪切应力。
描述弹性体内某一点M 的应力，在直角坐标系中常取一小平行六面体、六面体的每个面都垂直坐标轴(图1)，考虑这些面上的应力，可得九个应力分量，即法向应力xxσ，yyσ，zzσ剪切应力xyσ，xzσ，yxσ，yzσ，zxσ，zyσ。
第十一章 弹性波PPT课件
解： 由纵波在一维直杆中的传播速度公式
v
E
得 v 钢 51 m /s 3 , v 0 混凝 3土 5 m /s 00
30
学习总结
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
2 t2
rc12
2 r2
r
它的通解是：
r f1 r c 1 t f2 r c 1 t
显然，球面波的传播速度等于 c 1 (球面波是无旋波）。f 1 表示由内向外传播的球面波， f 2 表示由外向内传播的球面
波。
29
练习11.1 什么是弹性波？研究弹性波有何意义？
答：（略）
练习11.2 已知钢的弹性模量E=210GPa，密度=7950kg/m3, 混凝土的弹性模量E=30GPa， 密度=2400kg/m3 ,问在此两 种材料杆中纵波的传播速度。
y E 1[y(z x)]
zx 2(1E)zx
z E 1[z(xy)]
xy2(1E)xy
8
由于位移分量很难用应力及其导数来表示，所以弹 性力学动力问题通常要按位移求解。将应力分量用位移 分量表示的弹性方程代入运动微分方程，并令：
eu w
x y z
得：
2(1E )(1 1 2 x e 2u)X t2u 20 2(1E )(1 1 2 y e 2 )Y 2 t20 2 (1 E )(1 1 2 e z 2w )Z 2 tw 20
本章将首先给出描述弹性体运动的基本微分方程，然后 介绍弹性波的几个概念，针对不同的弹性波，对运动微分方 程进行简化，最后给出波在无限大弹性体中传播速度公式。
弹性波场论基础
//创建文件********** if((fp=fopen("wavefront.dat","w+"))!=NULL) { fprintf(fp,"%d\n",Xn); fprintf(fp,"%d\n",Zn); for(i=0;i<Xn;i++) for(j=0;j<Zn;j++) { fprintf(fp,"%f\n",u[i][j][200]); //地震波传播 0.2 秒是的波前快照 } fclose(fp); } return 0; }
double**er_wei(int x,int y)
{ double **m; m=(double **)malloc(x*sizeof(double*)); for(int i=0;i<x;i++) { m[i]=(double*)malloc(y*sizeof(double)); } rwavefront.dat 文件，用 mat lab 画出此 时的波前。
double**er_wei(int x,int y);//建立动态数组 double***san_wei(int x,int y,int z); int main() { FILE* fp; int i,j,k; double loc,dt,dh,r,f; double ***u,**v,*w; //动态数组 u=san_wei(Xn,Zn,Tn); v=er_wei(Xn,Zn); w = (double*)malloc(Tn*sizeof(double)); //边界条件 dt=0.001;dh=5.0; loc=0; r=2.50;/*滤波主频*/ f=25.0;/*频带宽参数*/
弹性波场中的几个物理参数
弹性波场中的几个物理参数
（史永杰 2004-1-12） 研究弹性波场，即研究在弹性介质中传播的地震波。弹性波场论 是地震勘探的物理基础。我们在做地震勘探的时候，总是和几个物理 、杨氏 参数有着不可割舍的关系，这几个参数就是拉梅常数（ μ 、λ ） 、体变模量（ k ） 、泊松比（ σ ）等。我们务必要弄清楚它 模量（ E ） 们的物理含义。 1、拉梅常数（ μ 、 λ ） 假设一个弹性体在纵向拉应力 Pz 作用下产生的纵向应变为 ez ，可 以用横的拉应力 Px 来阻止横向收缩，拉梅常数 λ 可以表示为：
λ=
Px ez
即横的拉应力与纵向应变之比。所以 λ 的意义就是衡量阻止横向 压缩所需的拉应力的一个物理量，阻止横向压缩的拉应力越大， λ 值 就越大。另一个拉梅常数 μ 其实也是切变模量，是在简单切向应力作 用时，应力与应变的比例常数，其物理意义是衡量阻止剪切应变的一 个物理量。液体没有剪切应变，故 μ = 0 。 2、杨氏模量 E 杨氏模量 E 是衡量物质对受力作用的抵抗能力的一个物理量。胡 克定律指出，在弹性限度内应力和应变成正比关系。当弹性体在弹性 限度内被单向拉伸时，应力和应变的比值称为杨氏模量，用符号 E 表 示。从图 1 中看出，当弹性体被纵向拉伸时，其横切面积会减小。则 应力为：
σ
VP VS
0 1.41
0.1 1.50 表2
0.2 1.63
0.25 1.73
0.3 1.87
0.4 2.45
0.5
∞
VP VS 值和介质泊松比 σ 的关系
图2
纵横波速度比与泊松比的关系图
从图表中可以看出，当 σ 的值从 0.5 变化到 0，相应纵横波速度 比 VP VS 的值从 ∞ 变化到 2 。由于一般岩石的泊松比在 0.25 左右，则 相应纵横波速度比就在 3 （约 1.73）左右。从图表中还可以看出横 波最小速度为 0，最大速度为纵波速度的 70%左右，这分别对应液体 和极硬的岩石。
（史永杰 2004-1-12） 研究弹性波场，即研究在弹性介质中传播的地震波。弹性波场论 是地震勘探的物理基础。我们在做地震勘探的时候，总是和几个物理 、杨氏 参数有着不可割舍的关系，这几个参数就是拉梅常数（ μ 、λ ） 、体变模量（ k ） 、泊松比（ σ ）等。我们务必要弄清楚它 模量（ E ） 们的物理含义。 1、拉梅常数（ μ 、 λ ） 假设一个弹性体在纵向拉应力 Pz 作用下产生的纵向应变为 ez ，可 以用横的拉应力 Px 来阻止横向收缩，拉梅常数 λ 可以表示为：
λ=
Px ez
即横的拉应力与纵向应变之比。所以 λ 的意义就是衡量阻止横向 压缩所需的拉应力的一个物理量，阻止横向压缩的拉应力越大， λ 值 就越大。另一个拉梅常数 μ 其实也是切变模量，是在简单切向应力作 用时，应力与应变的比例常数，其物理意义是衡量阻止剪切应变的一 个物理量。液体没有剪切应变，故 μ = 0 。 2、杨氏模量 E 杨氏模量 E 是衡量物质对受力作用的抵抗能力的一个物理量。胡 克定律指出，在弹性限度内应力和应变成正比关系。当弹性体在弹性 限度内被单向拉伸时，应力和应变的比值称为杨氏模量，用符号 E 表 示。从图 1 中看出，当弹性体被纵向拉伸时，其横切面积会减小。则 应力为：
σ
VP VS
0 1.41
0.1 1.50 表2
0.2 1.63
0.25 1.73
0.3 1.87
0.4 2.45
0.5
∞
VP VS 值和介质泊松比 σ 的关系
图2
纵横波速度比与泊松比的关系图
从图表中可以看出，当 σ 的值从 0.5 变化到 0，相应纵横波速度 比 VP VS 的值从 ∞ 变化到 2 。由于一般岩石的泊松比在 0.25 左右，则 相应纵横波速度比就在 3 （约 1.73）左右。从图表中还可以看出横 波最小速度为 0，最大速度为纵波速度的 70%左右，这分别对应液体 和极硬的岩石。
声学基础第一章-弹性波理论基础1-3(2012年新版)
1 －3
弹性体振动问题之一：均匀细棒的纵振动
集总参数振动系统：在同一空间位置上，振动系统只 有弹性，或者只有惯性（或阻尼）。
例如：第一章研究的振动问题涉及的振动系统就是
‘集总(中）参数振动系统’。
分布参数振动系统：在同一空间位置上，振动系统既
具有弹性又有惯性（或阻尼）。
本节研究的均匀细棒的纵振动中的均匀细棒就是‘分 布参数振动系统’
n a n cos( z ) cos( n t n ) L n 1
其中：a n 和 n由初条件确定。
( n 0项无意义，舍去）
分析： n 定义， n ( z , t ) an cos( z ) cos( nt n）；为两端 L 自由均匀细棒纵振动的 第n阶简正振动位移函数。 前2阶简正振动的振幅在棒 中的分布示意图：
[2]均匀细棒纵振动的比阻抗转移公式：
分析棒中波场的传播特性：棒为有限长，则由于端面 的反射，在棒中存在相向传播的平面波：
位移函数为：
（z , t ) Ae j (t kz) Be j (t kz) ;
Ae
j (t kz )
k ;
c0
ARe
j (t kz )
作业：理想流体 c，在z 0处有法线声阻抗率为 Zn的 界面；有谐合平面波沿 z坐标轴正向传播入射到 的界面 上。试求： （ 1 ）界面的声压反射系数 和振速反射系数； （2）波场在z处的波阻抗；
2-87、2-88、2-89（选）
2-91、2-96
sin(k z L ) 0 k z L n
n kz kn L
n 0,1,2,3...... k z n n k n c0 c0 L
弹性体振动问题之一：均匀细棒的纵振动
集总参数振动系统：在同一空间位置上，振动系统只 有弹性，或者只有惯性（或阻尼）。
例如：第一章研究的振动问题涉及的振动系统就是
‘集总(中）参数振动系统’。
分布参数振动系统：在同一空间位置上，振动系统既
具有弹性又有惯性（或阻尼）。
本节研究的均匀细棒的纵振动中的均匀细棒就是‘分 布参数振动系统’
n a n cos( z ) cos( n t n ) L n 1
其中：a n 和 n由初条件确定。
( n 0项无意义，舍去）
分析： n 定义， n ( z , t ) an cos( z ) cos( nt n）；为两端 L 自由均匀细棒纵振动的 第n阶简正振动位移函数。 前2阶简正振动的振幅在棒 中的分布示意图：
[2]均匀细棒纵振动的比阻抗转移公式：
分析棒中波场的传播特性：棒为有限长，则由于端面 的反射，在棒中存在相向传播的平面波：
位移函数为：
（z , t ) Ae j (t kz) Be j (t kz) ;
Ae
j (t kz )
k ;
c0
ARe
j (t kz )
作业：理想流体 c，在z 0处有法线声阻抗率为 Zn的 界面；有谐合平面波沿 z坐标轴正向传播入射到 的界面 上。试求： （ 1 ）界面的声压反射系数 和振速反射系数； （2）波场在z处的波阻抗；
2-87、2-88、2-89（选）
2-91、2-96
sin(k z L ) 0 k z L n
n kz kn L
n 0,1,2,3...... k z n n k n c0 c0 L
弹性波动理论详解
图1.6 波前、波后和射线
菲涅尔补充：由波前面上各点所产生的子波，在观测点上相互干涉叠加，其叠加 结果就是我们在该点观测到的总振动。 惠更斯—菲涅尔原理（又称波前原理）：既可用于均匀介质，也可用于非均匀介 质，利用这个原理可以构制反射界面、折射界面等。 2.费马原理 弹性波的传播，除了可用波前来描述外，还可用射线来描述： 射线：波从空间一点到另一点的传播路径。在任一点上，射线总是垂直于波前。
垂直面内分量：称SV波
从波动方程知：纵、横波传播速度为
Vp
1 (1 )(1 2 ) E 1 Vs 2 (1 ) E
( 2 )
(1.15)
则纵、横波速度之比为
Vp Vs 1 0 .5
(1.16) 表1.2 Vp/Vs值与介质泊松比的关系
(2) 泊松比（σ） 在拉伸形变中，直杆的横切面会减小。反之，在轴向挤压时，横截面将增大。 也就是说，在拉伸或压缩形变中，纵向增量 L和横向增量 d的符号总是相 反的。 泊松比: 介质的横向应变与纵向应变的比值
σ =- L / L
(3) 体变模量
d / d
(1.6)
一个体积为V的立方体，在流体静压力P的挤压下所发生体积形变。即每个正 截面的压体变模量（压缩模量）: 压力P与体积相对变化之比 P (1.7) K=-
解决某些特殊问题，如探测充满液体的洞穴（如溶洞）, Vs=0
体波：纵、横波，在整个空间 面波：弹性分界面附近 瑞利面波：自由界面，地滚波，R波 特点：低频、低速，能量大（强振幅），旋转（铅垂面，椭圆，逆转） 天然地震中，危害极大 勒夫面波：低速带顶底界面，平行界面的波动，振动方向垂直传播方向， SH波 特点：对纵波勘探影响不大，对横波勘探严重干扰
声学基础第一章-弹性波理论基础1-1(2012年新版)
这是，‘相对位移形变张量（矩阵）’； 它是产生应力的原因， 但并不是‘相对位移形变张量（矩阵）’的全部对产生应力有贡献。
根据矩阵分解定理，可知：
d dr
x x x
y y y
z 33 '33 z z
6 5 2 4 4 3
其中：正应变： xx 1; x
yy
2; y
zz 3; z
切应变： yz zy ( ) 4; z y xz zx ( ) 5 ; z x
33 和 '33 分别为3 3阶对称矩阵和 3 3阶对角 其中，
线0元素的反对称矩阵。
有：
33
x 1 ( ) 2 y x 1 ( ) 2 z x
1 ( ) 2 y x y 1 ( ) 2 z y
第一章 完全弹性体介质中弹性波传播规律
流体（液体、气体）的力学特征：流体中任取一个面元，面元所受
周围流体的作用力,其大小与面元有关，方向总是垂直于面元（无切
向力）。
理想流体；流体中体元作机械运动时无机械能损耗。
理想流体中的机械波是纵波。
弹性体（固体）的力学特征：弹性体中任取一个面元，面元所受周 围弹性体的作用力，其大小和方向均与面元有关，但方向并不一定 与面元垂直（存在切向力）。
1 ( ) 2 z x 1 ( ) 2 z y z
'33
1 0 ( ) 2 y x 1 ( ) 0 2 y x 1 ( ) 1 ( ) 2 z x 2 z y
弹性波理论
地震波交错网格高阶差分数值模拟研究摘要: 地震波数值模拟技术是勘探地球物理学中的重要组成部分，研究通过弹性波一阶速度——应力方程，采用交错网格高阶有限差分法实现了地震波在各向同性介质中的高精度的数值模拟，并采用完全匹配层( PML) 吸收边界来消除边界反射，可取得较好的效果。
通过模型的正演计算和复杂模型的处理结果表明，交错网格高阶有限差分法数值模拟是一种快速有效的地震波数值模拟方法。
关键词: 地震勘探; 交错网格; 有限差分; 数值模拟引言地震数值模拟是模拟地震波在介质中传播的一种数值模拟技术，随着地震波理论在天然地震和地震勘探中的应用，地震模拟技术便应运而生，并随着地震波理论和计算机技术的发展，地震数值模拟技术自20世纪60年代以来也得到了飞速发展，形成了目前具有有限差分法、有限元法、虚谱法和积分方程法等各种数值模拟方法的现代地震数值模拟技术。
有限差分法是偏微分方程的主要数值解法之一。
在各种地震数值模拟方法中，最早出现的数值模拟方法是有限差分法。
Ａlterman和Karal(1968)首先将有限差分法应用于层状介质弹性波传播的数值模拟中。
此后，Boore(1972)又将有限差分法用于非均匀介质地震波传播的模拟。
Alford等（1974）研究了声波方程有限差分法模拟的精确性。
Kelly等（1976）研究了用有限差分法制作人工合成地震记录的方法。
Virieux(1986)提出了应用速度——应力一阶方程交错网格有限差分法模拟P——SV波在非均匀介质中的传播。
交错网格方法提高了地震模拟的精度和稳定性，并消除了部分假想。
有限元法也是偏微分方程的数值解法之一。
Lysmer和Drake（1972）最早将有限元法应用于地震数值模拟。
Marfurt(1984)研究对比了模拟弹性波传播的有限差分法和有限元法的精度。
Seron等（1990,1996）给出了弹性波传播有限元模拟方法。
Padovani等（1994）研究了地震波模拟的低阶和高阶有限元法。
弹性波基础理论
地震波基础知识
人工地震—由人为活动引起的振动。
工业爆破、地下核爆炸造成的振动
炸药震源—深部勘探
机械震源—浅层勘探
地震波基础知识
弹性介质：若某物体在外力作用下产生形变；当 外力去掉之后，物体能迅速恢复到受力前的形态和 大小，物体的这种性质称为弹性。具有这种性质的 物质，称为弹性介质 塑性：如果外力超过物体的弹性极限，或外力 作用时间太长，当外力消失时，物体不能恢复原 状，物体的这种性质被称为塑性。
5个弹性参数之间的关系：
Vs2 (3V p2 4Vs2 ) E 2 2 V V p s V p2 2Vs2 2(V p2 Vs2 ) Vs2 K (V p2 4 Vs2 ) 3 2 (V 2V 2 ) p s
地震波基础知识
在某一时刻t0开始在介质中激起 波源的振动。过了一段时间，到了 时刻△t(△ t> t0)，波源的振动 可能停止，而t1=t0+△t时的波正 在振动，这个时候，介质中分几个 区域，分界面S上，介质中的各点 刚刚开始振动，这一曲面S叫波在 时刻t的波前；在分界面S’上，介 质中的各质点刚刚停止了振动，这 一曲面S’叫波在△t时刻的波后 （波尾）。
地震波基础知识
P波
P波早于S波到达地面 S波破坏性更大
S波
地震波基础知识
面波 纵波和横波都在介质内部传播，统称为体波。 根据弹性力学理论，还有两种仅仅沿弹性介质表 面传播，离开表面而深入介质内部就会衰减。 一种是沿介质与大气接触的自由表面传播的面波， 称为瑞雷面波 。 另外一种则是沿 两弹性介质之间 的传播的面波 ， 称为勒夫面波。
地震波基础知识
横波 又叫做切变波或 S波。它是由旋转力作用， 弹性介质产生形状形变，这种形变引起的振动称 为横波。该波的传播方向与质点的振动方向相垂 直。质点振动在水平平面中的横波分量称为 SH 波，在垂直平面中的横波分量称为SV波。
《物理场论》弹性波的反射和透射
从能量角度看，能流反射系数：
RP
RS
( A')2 A
( B )2 VS A VP
cos cos
自由界面反射
当 0 时（垂直入射），A’ A, B 0
若用标量位和矢量位表示波场：
u
y
;w
y
联立解得弹性横波在自由界面上的弹性位移反射系数：
反射横波：
B' B
VS2 VS2
sin sin
2 2
sin sin
2 2
VP2 VP2
cos2 cos2
2 2
反射纵波：
A B
VS2
2VPVS sin 2 cos sin 2 sin 2 VP2
2
cos2
2
第2节 弹性波在介质分界面上的反射和透射
cos
)
Bei
(
k
'' x
x
''t
)
0
(10)
该方程对于x，t的任意值均成立，则只能是：
' '',
kx
k
' x
kx'' ,
即
sin sin ' sin
VP
VP
VS
则有：
'
sin
sin
VP VS
（Snell定律）
声学基础第一章-弹性波理论基础1-5(2012年新版)
s
z 2 ds;
据牛顿第二定律，微元dx的y方向运动方程为： Sdx d 2 ( x ,t ) dt
2
EI
4 ( x ,t ) x
4
dx
d 2 ( x, t ) 2 ( x, t ) 小形变条件下，略去高 阶小量有： 2 dt t 2 2 ( x, t ) 4 ( x, t ) S EI 2 t x 4 4 2 ( x, t ) EI 2 ( x, t ) 2 a ; 其中：a 2 4 t x S ！！此式为棒横振动（ 弯曲振动）波动方程。 （ 波的物理量是，是y方向位移；向x方向传播。 是横波。） 注意：它与以前所学波 动方程的差别！ 4阶空间导数。
结论：棒是弯曲波的频 散介质。
3o棒弯曲振动的形式解：
‘ 分离变数法’ 求解： 令， ( x, t ) Y ( x)T (t )；代入棒的弯曲振动波 动方程：
4 2 ( x, t ) 2 ( x, t ) a 2 t x 4
EI ; 其中： a S
2
d 2T (t ) 得： 2T (t ) 0 dt
a
) L cos (
a
) L 1
( 这是超越方程，无解析解）
若 n为方程chx cos x 1的第n个根，则，可得：
1 1.875;
2 4.694;
3 7.855;
4 10.995;
1 n ( n ) ,( n 4 ) 2
a(
S
( z : 距中性面的距离）
x
2 z ds S
EI ； x
(力矩方向：穿出纸面为 正（左示意图）)
声学基础第一章-弹性波理论基础1-4(2012年新版)
质，是两个相向传播的波；
集总参数系统的振动表现为质量的往复运动。
②分布参数系统的振动特性与材料性质和边界条件有关；
集总参数系统的振动只决定系统的质量和弹性及阻抗。 ③分布参数系统的动能和势能分布在整个弹性体中； 集总参数系统的动能集中在质量上；势能集中在弹簧上。
2o 等效系统与等效参数 定义： 等效系统，当分布参数系统在某种振动状态下的动能和势能 与一个集总参数系统的动能和势能相等时，则称这个集总参 数系统是该分布参数系统在该振动状态下的等效系统。
2L
1 1 2 2 S cos t z dz ( SL ) 0 cos2 t 2 3
2
2Байду номын сангаас
1 2 其等效集总参数系统的动能为： M e u 0 2 u 0是参考点的振速：u 0 (
( M e是等效质量）
0
L
z sint t ）
zL
0 cost
1 1 1 2 2 2 M e ( 0 cost ) ( SL ) 0 cos2 t 2 2 3 1 1 M e SL M 3 3
棒中势能为棒端外力作功的负值；也即棒端形变力作功： F STzz SE SE( z
( z L ,t )
0
L
z sint z
SE ) SE sint ( z L ,t ) L L
0
Ep
0
( z L ,t )
F ( z L ,t )d ( z L ,t )
得到，下右图的集总参数系统是左图的分布参数系统
c 1 在低频振动状态下（ ）的等效系统。 4L
SE L
二者互为等效系统
弹性波动力学基础
第1章 绪论1.1 弹性波场论概述在普通物理的力学部分，我们曾经着重讨论过物体在外力作用下的机械运动规律。
在讨论时，由于物体变形影响很小，我们将其忽略，而将物体视为刚体或简化为质点，这是完全正确的。
然而，实际上任何物体在外力作用下不仅会产生机械运动，而且会产生变形。
由于变形物体内部将相互作用，产生内力、应力和应变。
当应力或应变达到一定极限时，物体就会破坏，这一点在研究材料和工程力学中尤其要考虑，地球介质也不例外，地壳运动或地震都会产生地质体的应力或应变。
在弹性力学中，主要讨论对物体作用时的变形效应，物体不再假定为刚体，而是弹性体、塑性体，应当视为可变形体，我们研究的视角也从外部整体过渡到内部局部。
长期的生产实际和科学实验均已表明，几乎所有的物体都具有弹性和塑性。
所谓的弹性是指物体的变形随外力的撤除而完全消失的这种属性。
所谓的塑性是指物体的变形在外力的撤除后仍部分残留的这种属性。
物体的弹性和塑性受诸多因素影响而发生改变，并在一定的条件下相互转化。
因此，确切地，应当说成物体处于弹性状态或塑性状态，而非简单地说物体是弹性体或塑性体。
在弹性力学中，只讨论物体处于弹性状态下的有关力学问题，这时物体可称为弹性体。
由上所述，弹性力学又称弹性理论，研究的对象是弹性体，其任务是研究弹性体在外界因素（包括外力，温度等）作用下的应力、应变和位移规律。
简单地说，弹性力学就是研究弹性体的应力、应变和位移规律的一门学科。
弹性力学是固体力学中很重要的一个分支。
而固体力学是从宏观观点研究固体在外力作用下的力学响应的科学，它主要研究固体由于受外力作用所引起的内力（应力）、变形（应变）以及与变形有直接关系的位移的分布规律及其随时间变化的规律。
可见，应力、应变和位移是空间和时间的函数。
与固体力学对应的还有流体力学等。
固体力学还包括材料力学，断裂力学等等。
弹性力学本身又分为弹性静力学（Elasticity Statics ）和弹性动力学（Elasticity Dynamics ）。
第六章无限弹性介质中的波
在各向同性弹性介质内的某一点受到外力作用时，外力所引起的位移、应变和应力就将以弹性波的形式从此点传播开来，其波前为球面，故为球面波。 在离开此点较远处，可以忽略球面的曲率作为平面波来考虑。
考虑平面波传播时，介质质点的位移分量为：
我们作一个和ox轴垂直的平面，则该平面只是在x方向有一个相同的位移，在y和z轴方向上没有位移。 即该平面在弹性介质运动中只产生x方向的平行移动，移动后仍然垂直于ox轴，因而在运动中该平面上的点始终保持在一个平面上，故这种位移的传播为平面波。
结论： 在无限弹性介质中，只能传播两种平面波。平面纵波和平面横波。
§6-2无限弹性介质中的波：无旋波和等容波
进一步讨论无限弹性介质中的一般波动。
一、若介质中任一微小体积均不作刚性转动的特点，即
相应于这种位移状态的弹性波称为无旋波，又称胀缩波或集散波。
于是在弹性介质内存在一标量位
◆弹性波可以用振幅、频率、相位、波速等来描述其特征。
地震勘探在地壳某处以一定的方式激发波动，在离震源很近的地方称为破裂带和塑性带，由于爆炸造成的变形很大，从而岩石不能看作是弹性的；但离震源足够远的地方，由于岩石受力很小，且受力时间相当短，因此可以看作是弹性介质。震源作用的效果，通常可以认为以弹性波的形式在岩石中传播，这就是地震波。
求介质中任一点M的位移
在此情况下，介质中传播的是球面纵波
由球面波的波动方程
其位移场的标量位为：
根据问题的条件，在介质中只能产生由震源（球面空腔源）向外传播的波，故取第一项。
为了确定此函数，考虑初始条件和边界条件。
初始条件为：
边界条件为：在球腔表面处，即
考虑球腔半径很小的时候，前两项忽略不计得
沿x向及y向的速度分量为零。
的数值很小，故可见质点运动的速度远远小于横波的传播速度。
考虑平面波传播时，介质质点的位移分量为：
我们作一个和ox轴垂直的平面，则该平面只是在x方向有一个相同的位移，在y和z轴方向上没有位移。 即该平面在弹性介质运动中只产生x方向的平行移动，移动后仍然垂直于ox轴，因而在运动中该平面上的点始终保持在一个平面上，故这种位移的传播为平面波。
结论： 在无限弹性介质中，只能传播两种平面波。平面纵波和平面横波。
§6-2无限弹性介质中的波：无旋波和等容波
进一步讨论无限弹性介质中的一般波动。
一、若介质中任一微小体积均不作刚性转动的特点，即
相应于这种位移状态的弹性波称为无旋波，又称胀缩波或集散波。
于是在弹性介质内存在一标量位
◆弹性波可以用振幅、频率、相位、波速等来描述其特征。
地震勘探在地壳某处以一定的方式激发波动，在离震源很近的地方称为破裂带和塑性带，由于爆炸造成的变形很大，从而岩石不能看作是弹性的；但离震源足够远的地方，由于岩石受力很小，且受力时间相当短，因此可以看作是弹性介质。震源作用的效果，通常可以认为以弹性波的形式在岩石中传播，这就是地震波。
求介质中任一点M的位移
在此情况下，介质中传播的是球面纵波
由球面波的波动方程
其位移场的标量位为：
根据问题的条件，在介质中只能产生由震源（球面空腔源）向外传播的波，故取第一项。
为了确定此函数，考虑初始条件和边界条件。
初始条件为：
边界条件为：在球腔表面处，即
考虑球腔半径很小的时候，前两项忽略不计得
沿x向及y向的速度分量为零。
的数值很小，故可见质点运动的速度远远小于横波的传播速度。
弹性波动力学复习提纲课件
04 弹性波的散射和干涉
弹性波的散射
弹性波散射的定义
弹性波在传播过程中遇到障碍物时，其传播方向和能量分布发生变化的现象。
弹性波散射的分类
瑞利散射、米氏散射、共振散射等。
弹性波散射的物理机制
波动与障碍物相互作用，产生反射、折射、吸收等现象。
弹性波散射的数学模型
散射波函数、散射系数等。
弹性波的干涉
三维波动方程
总结词
三维弹性波的波动方程是描述弹性波在三维空间介质中传播的基本方程。
详细描述
三维波动方程适用于描述任意方向传播的波，适用于各种复杂的三维介质结构。该方程全面考虑了波 在三维空间中的传播特性，包括波的传播方向、速度以及介质中质点的位移、速度和加速度。
边界条件和初始条件
总结词
边界条件和初始条件是确定弹性波波动方程解的重要约束条件。
随着入射角的增大，反射系数会发生变化。
弹性波的折射
1 2
折射系数
描述入射波与折射波之间振幅关系的系数。
斯涅尔定律
入射角等于折射角。
3
折射系数与入射角的关系
随着入射角的增大，折射系数也会发生变化。
全反射和透射
要点一
全反射
当入射角达到某一临界值时，折射波消失，只剩下反射波 。
要点二
透射
当入射角小于某一临界值时，折射波存在，且其振幅与入 射波相似。
详细描述
通过向物体内部发射弹性波并检测反射回来的波，可 以判断物体内部的缺陷、损伤等，如飞机、高铁等大 型机械的检测，确保其安全运行。
声呐探测
总结词
利用弹性波在水中传播的特性进行水下探测和通信。
详细描述
声呐系统通过向水下发送声波并接收回波，可以探测水 下目标的位置、大小、形状等信息，广泛应用于海洋科 学研究、水下考古等领域。同时，声呐技术还可用于水 下通信，实现水下设备之间的信息传递。
《物理场论》弹性波的波动方程求解
1[ 2
f1(x Vt)
f1(x Vt)]
1 2V
xVt
xVt f2 (x ')dx '
此为无限大介质中，一维波动方程在满足给定初始条
件时的定解。
均匀介质弹性波
2. 平面正弦波、波矢量的定义及波的分解
波矢量：k N 2 N
V
弹性波传播方向上的单位矢量：N lex mey nez
— 代表标位 ; 或代表矢量位 的一个分量； — 和体力场分布有关的函数，又称源函数。
在波源不存在的地方，位函数满足波动方程：
2
1 V2
2
t 2
0
（齐次方程）
为二阶常系数线性微分方程。
第2节 无限大均匀各向同性介质中的弹性波
1. 一维波动方程求解
（1）波动方程的简化
《物理场论》第2篇：弹性波场
第3章 弹性波的波动方程求解
张元中
中国石油大学（北京）地球物理与信息工程学院
主要内容
第1节 波动方程总体描述 第2节 无限大均匀各向同性介质中 的弹性波
第1节 波动方程总体描述
弹性波场的达郎贝尔方程为：
2 1 2 （非齐次方程）
V 2 t2
此为一维波动方程的通解，前一项为正向平面波，后 一项为反向平面波。
（3）一维波动方程的定解
由初始条件：
(x, 0)
f1( x)
( t ) |t0 f2 ( x)
则 (x,0) 1(x) 2(x) f1(x)
（1）
均匀介质弹性波
t
|t0
2 (x)
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2 2
此即为时间 t=△t*490=0.49 时刻的波前快照，震源在中心位置（150,150）激发，传 播 0.49 秒后的波前，由图可以看出，波前达到了边界后又发生反射。 区域大小为 300*300，网格点间隔为 5m，时间采样间隔为△t=0.001s，即在地质剖面 上，宽度为 1500m，深度为 1500m，假设介质均匀各向同性，且边界为自由界面，所 以在介质中速度 v 为一常数，设为 2000m/s，震源在中心（150,150）激发，地震波是 球对称的，波阵面为球面，在空间二维上显示为深度，宽度的圆形波阵面。波传播到 边界时将发生反射，在时间 t=△t*375=0.375s 内，波传播了 s=v*t=750m,此时波传 播到边界，开始反射，到时间 t=△t*490=0.49s 时间内，反射波又传播了 s=v*t=230m,形成如图所示的波阵面。
double**er_wei(int x,int y);//建立动态数组 double***san_wei(int x,int y,int z); int main() { FILE* fp; int i,j,k; double loc,dt,dh,r,f; double ***u,**v,*w; //动态数组 u=san_wei(Xn,Zn,Tn); v=er_wei(Xn,Zn); w = (double*)malloc(Tn*sizeof(double)); //边界条件 dt=0.001;dh=5.0; loc=0; r=2.50;/*滤波主频*/ f=25.0;/*频带宽参数*/
dx=1; dz=1; for i=1:m for j=1:n x(j)=(i-1)*dx+wavefront((i-1)*n+j+2)*15*dx; y(j)=(j-1)*dz; end plot(x,y,'k'); hold on end axis ij; title('波场值的波前快照');
通过调节增益（x(j)=(i-1)*dx+wavefront((i-1)*n+j+2)*15*dx，dx 前面的 15）， 对波场值放大一定倍数，可以使能量小的增大，使成像清晰。
(1) 地震波未传播到边界的某时刻 时间采样间隔△t 为 0.001 秒， 空间间隔长度△h 为 5.0
中心频率 f=25 频带宽参数 r=4 波速 V=2000 满足稳定性条件即 V△t/△h=0.4≤ （时间二阶，空间二阶）； 满足减少频散经验公式△h≤V/(G*fN )，其中 G=8(时间二阶，空间二阶)。 此即为时间 t=△t*300=0.3 时刻的波前快照，震源在中心位置（150,150）激发， 传播 0.3 秒后的波前，由图可以看出，波前达到了（150,270）的位置，即地震波传播 了 112*△h=560 的距离，即 V*t=600。 震源函数为 e(−2π f/γ ) 后震源附近的介质的振 动情况。 在震源处，当炸药 在介质内部爆炸时，产 生强烈冲击波，是周围 的岩石破碎。随着远离 爆炸中心，作用力急剧 衰减，引起岩石塑性应 变，当进一步远离震源， 作用力继续衰减时，岩 石表现出弹性性质，发 生弹性应变。。从而形 成一瞬时膨胀点震源， 产生的波动向四周传播， 由于介质是各向同性的， 可以把爆炸中心周围的破碎带、塑性应变带与弹性应变带的分界面看成球面由于球对 称，质点只能发生径向位移，波动沿径向传播，波阵面位球面，所以可用纵波模拟地 震波。 区域大小为 300*300，网格点间隔为 5m，时间采样间隔为△t=0.001s，即在地质 剖面上，宽度为 1500m，深度为 1500m，假设介质均匀各向同性，所以在介质中速度 v 为一常数，设为 2000m/s，震源在中心（150,150）激发，地震波是球对称的，波阵
//*************速度初赋值**** for(i=0;i<Xn;i++) for(j=0;j<Zn;j++) { if((i==0||i==Xn-1)||(j==0||j==Zn-1)) v[i][j]=0.0; //在边界波速为零 else v[i][j]=2800.0; //在均匀介质中波速为一常数 } //波场初赋值 ***** for(i=0;i<Xn;i++) for(j=0;j<Zn;j++) for(k=0;k<Tn;k++) { u[i][j][k]=0.0; } //波场计算********* for(k=1;k<Tn;k++) { w[k]=exp((-4*pi*pi*f*f*k*k*dt*dt)/(r*r))*cos(2*pi*f*k*dt);//扰动函数，为一 周期衰减函数，周期是 1/f for(i=1;i<Xn-1;i++) for(j=1;j<Zn-1;j++) { loc=0.0; if(i==150&&j==150) loc=1.0; //震源位于中心 u[i][j][k+1]=2*u[i][j][k]-u[i][j][k1]+(dt*dt/(dh*dh))*v[i][j]*v[i][j]*(u[i+1][j][k]-2*u[i][j][k]+u[i1][j][k]+u[i][j+1][k]-2*u[i][j][k]+u[i][j-1][k])+w[k]*loc; } }
大模型 定义为水平层状速度模型（至少两层）；做两个实验，一是将震源点放在区域表层任 一点，记录下某些时刻的波前快照；二是合成一个地震记录，即记录下与震源同一深 度点的各点所有时刻的波场值，并指出记录上的同向轴分别对应哪些波。 一、 震源在区域表层
时间采样间隔△t 为 0.001 秒， 空间间隔长度△h 为 5.0m 中心频率 f=25Hz 频带宽参数 r=4 震源置于区域表层中心，区域纵向深度为 250*△h=1250m，横向宽度为 600*△ h=3000m.其中纵向分为三层介质，第一层介质深度为 100*△h=500m，波速为 V=2000m/s，第二层介质深度为 100---150,即 500---750m，波速为 V=3000m/s，第 三层介质深度为 150----250，即 750m----1250m，波速为 V=4000m/s，图中为 t=△ t*450=0.45s 时刻的波前快照。地震波传播到第二层介质时，发生反射和透射，但透 射波波速为V11 =3000m/s ，反射波波速为V12 =2000m/s 。透射波传播到第三层介质时， 继续发生二次反射和透射,透射波波速为V21 =4000m/s，反射波波速为V22 =3000m/s。 生成波场值的程序为： #include<stdio.h> #include<stdlib.h> #include<math.h> #define pi 3.1415926 #define Xn #define Zn #define Tn 600 //探测区域宽度 250 //探测区域深度 500 //记录时间长度
double***san_wei(int x,int y,int z) { double ***m; m=(double ***)malloc(x*sizeof(double**)); for(int i=0;i<x;i++) { m[i]=(double**)malloc(y*sizeof(double*)); for(int j=0;j<y;j++) m[i][j] = (double*)malloc(z*sizeof(double)); } return m; }
double**er_wei(int x,int y)
{ double **m; m=(double **)malloc(x*sizeof(double*)); for(int i=0;i<x;i++) { m[i]=(double*)malloc(y*sizeof(double)); } return m; } 将 t=△t*300=0.3s 时刻的波场值导出，生成 wavefront.dat 文件，用 mat lab 画出此 时的波前。
double**array_2(int x,int y);//建立动态数组函数 double***array_3(int x,int y,int z);//建立动态数组函数 int main() { FILE* fp;//文件指针 int i,j,k; double loc,dt,dh,r,f; double ***u,**v,*w; u=array_3(Xn,Zn,Tn);
声波方程模拟
姓名___________________ 专业___________________ 年级___________________ 学号___________________ 任课教师________________
小模型
大模型
程序
分析பைடு நூலகம்
拓展
总分
小模型 整个区域的速度值设为常数，即只有一种介质，将震源点放在模型中间，分别记录两 个时刻的波前快照（即该时刻区域内所有网格点的波场值）。第一时刻为地震波还未 传播到边界上的某时刻，第二时刻为地震波已经传播到边界上的某时刻，
(2)地震波传到边界的某时刻
时间采样间隔△t 为 0.001 秒， 空间间隔长度△h 为 5.0m 中心频率 f=25Hz 频带宽参数 r=4 波速 V=2000m/s 满足稳定性条件即 V△t/△h=0.4≤ （时间二阶，空间二阶）； 满足减少频散经验公式△h≤V/(G*fN )，其中 G=8(时间二阶，空间二阶)。
2 t2
2 2
cos 2πft，模拟图如图所示，为一衰减周期函数，模拟爆炸
面为球面，在空间二维上显示为深度，宽度的圆形波阵面。在时间 t=△t*300=0.3s 内， 波传播了 s=v*t=600m,此时波前为一半径为 600m 的圆形波阵面，如图所示。
此即为时间 t=△t*490=0.49 时刻的波前快照，震源在中心位置（150,150）激发，传 播 0.49 秒后的波前，由图可以看出，波前达到了边界后又发生反射。 区域大小为 300*300，网格点间隔为 5m，时间采样间隔为△t=0.001s，即在地质剖面 上，宽度为 1500m，深度为 1500m，假设介质均匀各向同性，且边界为自由界面，所 以在介质中速度 v 为一常数，设为 2000m/s，震源在中心（150,150）激发，地震波是 球对称的，波阵面为球面，在空间二维上显示为深度，宽度的圆形波阵面。波传播到 边界时将发生反射，在时间 t=△t*375=0.375s 内，波传播了 s=v*t=750m,此时波传 播到边界，开始反射，到时间 t=△t*490=0.49s 时间内，反射波又传播了 s=v*t=230m,形成如图所示的波阵面。
double**er_wei(int x,int y);//建立动态数组 double***san_wei(int x,int y,int z); int main() { FILE* fp; int i,j,k; double loc,dt,dh,r,f; double ***u,**v,*w; //动态数组 u=san_wei(Xn,Zn,Tn); v=er_wei(Xn,Zn); w = (double*)malloc(Tn*sizeof(double)); //边界条件 dt=0.001;dh=5.0; loc=0; r=2.50;/*滤波主频*/ f=25.0;/*频带宽参数*/
dx=1; dz=1; for i=1:m for j=1:n x(j)=(i-1)*dx+wavefront((i-1)*n+j+2)*15*dx; y(j)=(j-1)*dz; end plot(x,y,'k'); hold on end axis ij; title('波场值的波前快照');
通过调节增益（x(j)=(i-1)*dx+wavefront((i-1)*n+j+2)*15*dx，dx 前面的 15）， 对波场值放大一定倍数，可以使能量小的增大，使成像清晰。
(1) 地震波未传播到边界的某时刻 时间采样间隔△t 为 0.001 秒， 空间间隔长度△h 为 5.0
中心频率 f=25 频带宽参数 r=4 波速 V=2000 满足稳定性条件即 V△t/△h=0.4≤ （时间二阶，空间二阶）； 满足减少频散经验公式△h≤V/(G*fN )，其中 G=8(时间二阶，空间二阶)。 此即为时间 t=△t*300=0.3 时刻的波前快照，震源在中心位置（150,150）激发， 传播 0.3 秒后的波前，由图可以看出，波前达到了（150,270）的位置，即地震波传播 了 112*△h=560 的距离，即 V*t=600。 震源函数为 e(−2π f/γ ) 后震源附近的介质的振 动情况。 在震源处，当炸药 在介质内部爆炸时，产 生强烈冲击波，是周围 的岩石破碎。随着远离 爆炸中心，作用力急剧 衰减，引起岩石塑性应 变，当进一步远离震源， 作用力继续衰减时，岩 石表现出弹性性质，发 生弹性应变。。从而形 成一瞬时膨胀点震源， 产生的波动向四周传播， 由于介质是各向同性的， 可以把爆炸中心周围的破碎带、塑性应变带与弹性应变带的分界面看成球面由于球对 称，质点只能发生径向位移，波动沿径向传播，波阵面位球面，所以可用纵波模拟地 震波。 区域大小为 300*300，网格点间隔为 5m，时间采样间隔为△t=0.001s，即在地质 剖面上，宽度为 1500m，深度为 1500m，假设介质均匀各向同性，所以在介质中速度 v 为一常数，设为 2000m/s，震源在中心（150,150）激发，地震波是球对称的，波阵
//*************速度初赋值**** for(i=0;i<Xn;i++) for(j=0;j<Zn;j++) { if((i==0||i==Xn-1)||(j==0||j==Zn-1)) v[i][j]=0.0; //在边界波速为零 else v[i][j]=2800.0; //在均匀介质中波速为一常数 } //波场初赋值 ***** for(i=0;i<Xn;i++) for(j=0;j<Zn;j++) for(k=0;k<Tn;k++) { u[i][j][k]=0.0; } //波场计算********* for(k=1;k<Tn;k++) { w[k]=exp((-4*pi*pi*f*f*k*k*dt*dt)/(r*r))*cos(2*pi*f*k*dt);//扰动函数，为一 周期衰减函数，周期是 1/f for(i=1;i<Xn-1;i++) for(j=1;j<Zn-1;j++) { loc=0.0; if(i==150&&j==150) loc=1.0; //震源位于中心 u[i][j][k+1]=2*u[i][j][k]-u[i][j][k1]+(dt*dt/(dh*dh))*v[i][j]*v[i][j]*(u[i+1][j][k]-2*u[i][j][k]+u[i1][j][k]+u[i][j+1][k]-2*u[i][j][k]+u[i][j-1][k])+w[k]*loc; } }
大模型 定义为水平层状速度模型（至少两层）；做两个实验，一是将震源点放在区域表层任 一点，记录下某些时刻的波前快照；二是合成一个地震记录，即记录下与震源同一深 度点的各点所有时刻的波场值，并指出记录上的同向轴分别对应哪些波。 一、 震源在区域表层
时间采样间隔△t 为 0.001 秒， 空间间隔长度△h 为 5.0m 中心频率 f=25Hz 频带宽参数 r=4 震源置于区域表层中心，区域纵向深度为 250*△h=1250m，横向宽度为 600*△ h=3000m.其中纵向分为三层介质，第一层介质深度为 100*△h=500m，波速为 V=2000m/s，第二层介质深度为 100---150,即 500---750m，波速为 V=3000m/s，第 三层介质深度为 150----250，即 750m----1250m，波速为 V=4000m/s，图中为 t=△ t*450=0.45s 时刻的波前快照。地震波传播到第二层介质时，发生反射和透射，但透 射波波速为V11 =3000m/s ，反射波波速为V12 =2000m/s 。透射波传播到第三层介质时， 继续发生二次反射和透射,透射波波速为V21 =4000m/s，反射波波速为V22 =3000m/s。 生成波场值的程序为： #include<stdio.h> #include<stdlib.h> #include<math.h> #define pi 3.1415926 #define Xn #define Zn #define Tn 600 //探测区域宽度 250 //探测区域深度 500 //记录时间长度
double***san_wei(int x,int y,int z) { double ***m; m=(double ***)malloc(x*sizeof(double**)); for(int i=0;i<x;i++) { m[i]=(double**)malloc(y*sizeof(double*)); for(int j=0;j<y;j++) m[i][j] = (double*)malloc(z*sizeof(double)); } return m; }
double**er_wei(int x,int y)
{ double **m; m=(double **)malloc(x*sizeof(double*)); for(int i=0;i<x;i++) { m[i]=(double*)malloc(y*sizeof(double)); } return m; } 将 t=△t*300=0.3s 时刻的波场值导出，生成 wavefront.dat 文件，用 mat lab 画出此 时的波前。
double**array_2(int x,int y);//建立动态数组函数 double***array_3(int x,int y,int z);//建立动态数组函数 int main() { FILE* fp;//文件指针 int i,j,k; double loc,dt,dh,r,f; double ***u,**v,*w; u=array_3(Xn,Zn,Tn);
声波方程模拟
姓名___________________ 专业___________________ 年级___________________ 学号___________________ 任课教师________________
小模型
大模型
程序
分析பைடு நூலகம்
拓展
总分
小模型 整个区域的速度值设为常数，即只有一种介质，将震源点放在模型中间，分别记录两 个时刻的波前快照（即该时刻区域内所有网格点的波场值）。第一时刻为地震波还未 传播到边界上的某时刻，第二时刻为地震波已经传播到边界上的某时刻，
(2)地震波传到边界的某时刻
时间采样间隔△t 为 0.001 秒， 空间间隔长度△h 为 5.0m 中心频率 f=25Hz 频带宽参数 r=4 波速 V=2000m/s 满足稳定性条件即 V△t/△h=0.4≤ （时间二阶，空间二阶）； 满足减少频散经验公式△h≤V/(G*fN )，其中 G=8(时间二阶，空间二阶)。
2 t2
2 2
cos 2πft，模拟图如图所示，为一衰减周期函数，模拟爆炸
面为球面，在空间二维上显示为深度，宽度的圆形波阵面。在时间 t=△t*300=0.3s 内， 波传播了 s=v*t=600m,此时波前为一半径为 600m 的圆形波阵面，如图所示。