第四章流体流动守恒原理2

课程名称：工程流体力学 第8讲次

摘 要

授课题目（章、节） 4.4动量矩守恒 4.5能量守恒 本讲目的要求及重点难点：

【目的要求】了解动量矩、动量矩定律以及控制体的动量矩守恒方程、能量守恒方程，掌握运动流体能量的分类及其物理意义，熟悉化工流动系统的能量方程, 伯努利方程及其应用条件。 【重 点】动量矩守恒方程、能量守恒方程, 能量的分类及其物理意义，伯努利方程及其应用条件。 【难 点】能量的分类及其物理意义。

内 容

【本讲课程的内容】 4.4 动量矩守恒方程

动量守恒方程阐明了流体运动的变化与所受外力之间的关系。但是，当系统还受到力矩的作用，从而产生转折运动或旋转运动时，要研究流体系统的动力学关系，比如叶轮机械中的流体流动与转动力矩问题，往往就需要用到动量力矩方程。 4.4.1 动量矩定律

动量矩：为了说明动量矩的概念，考察图4-11所示的在x-y 平面上运动的质点。选择坐标原点o 为参照点，质点位置矢径为r ，质点动量m υ和所受合力F 与r 方向延线的夹角分别为α和β。

已知力矢量Ｆ对原点的矩为Ｍ＝ｒ×Ｆ，其大小为|r||Ｆ|sin β；与力矩类似，所谓动力矩，就是动量矢量m υ对参照点的矩，即r ×m υ，其大小为|r||m υ|sin α；图4-8中，m υ、F 、r 均位于x-y 平面内，按右手法则，力矩矢量Ｍ和动量矩矢量（r ×m υ）均指向ｚ轴正方向。

动量矩定律：为确定力矩与动量之间的关系，将动量方程（4-20）两边同时叉乘位置矢径ｒ可得

系统

dt dm υ×r ＦΣ×r ⎪

⎭⎫

⎝⎛=

其中，方程左边项r ×ΣＦ=Σ(r ×Ｆ)=ΣＭ，是系统所受的力矩之和；而方程右边可按矢量微分法则展开，并考虑到dr/dt=υ且与m υ是平行矢量，所以有：

流体的能量转换，所依据的是热力学第一定律，亦能量守恒定律。本节将建立控制体系统的能量守恒方程，并阐明其在化工流体系统能量衡算中的应用。 4.5.1 控制体系统的能量守恒方程 (1) 储存能——内能、动能、位能

单位质量流体的储存能：

2

/2e u v gz =++

理想气体：v u c T ∆=∆; 无相变液体：v p u c T c T

∆=∆≈∆; 等温过程：0u ∆=

(2) 迁移能——热量、功量

(3) 运动流体的机械能

2

2

2p

v g z ρ⎛⎫=

++

⎪⎝⎭

总位能

压力能

动能位能

单位质量流体的机械能

222p v z g g ρ⎛⎫

=++ ⎪⎝⎭

总位头

静压头

速度头位头

单位重量流体的机械能

(4) 流动截面上各点的总位能（总位头）

充分发展流动的横截面上，压力分布满足静力学方程——截面上总位能守恒。如图

o ()r A B B A A A B B

p p g z z p g z p g z p g z const p gz const ρρρρρ=+-+=+∴+=+=→ 即：沿同一截面, p/ρ 与 gz 各自都会变化, 但两者之和不变。(右图中A A B B h z h z +=+)。

(5) 单位质量流体的平均动能及动能修正系数

p A

A

z ρ

B A

A p

h g

ρ=B

z B B p h g

ρ=

o

o

4.5.2 控制体能量守恒方程

通过控制面的能量流量(储存能）4.5.3 化工流动系统能量守恒方程

4.5.4 伯努利方程及其应用说明

现进一步针对管流系统，考察能量方程(4-46)在特定条件下的简化式。这些条件：①无热量传递；②无轴功输出；③流体不可压缩；④稳态流动；⑤理想流体。

（1）伯努利方程简化

根据这些条件，能量方程(4-46)简化为

dA )n (gz ＋2υ＋h CS 2=⋅⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰νρ

考虑到焓ｈ=ｕ+ｐ/ρ，且进口截面A1上(υ·n)=-υ，出口截面A2上(υ·n)=υ，则上式有可改写为

⎰⎰⎰⎰=⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22A 2A 20

ρυdA gz ＋2υ＋ρｐ+ｕρυdA gz ＋2υ＋ρｐ+ｕ

可以证明，对于理想不可压缩流体的稳态流动，只要进出口截面A1和A2处于均匀流段(等直径管段)，则截面上各点的总位能 gz ＋ｐ/ρ亦相等。其次，由于理想流体粘度μ=0,流动过程中无粘性耗散(粘性耗散是流体内摩擦导致的机械能损耗，他将转化为热量使流体温度上升)，而条件①又规定无热量转递，所以流动过程必然是等温过程，即流体内能ｕ=const 。上述条件意味着方程(4-32)积分式中的被积函数与积分截面无关，于是

将被积分函数从积分符号内提出，该方程进一步简化为

22222111211dA ρυ gz ＋2υ＋ρP2+ｕ=dA ρυ gz ＋2υ＋ρP +ｕ⎪⎪⎭⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛

由于是稳态流动，2211dA ρυ=dA ρυ，所以有

这就是著名的伯努利方程(Bernoulli equation)。由于方程中涉及的动能、位能和压力能都属于机械能，所以又称为机械能守恒方程。该方程表明，理想不可压缩流体在稳态流动过程中，其动能、位能、压力能三者可相互转化，但总机械能是守恒的。 （2）伯努利方程的应用说明（P88）

伯努利方程是机械能守恒方程，涉及的是无热传递和轴功为零的不可压缩流动过程。

（3）阻力损失及其计算

阻力损失的含义: h f 是单位重量流体因摩擦耗散损失的压力能(压头损失)。 所谓“损失”是指流动过程中压力能因摩擦耗散转化为热能后再不能恢复为压力能，是能量品质而不是数量损失；损失压力能获得热能，能量依然守恒。因此，阻力损失h f 也可看成单位重量流体因摩擦耗散获得的热能。

阻力损失： 沿程阻力损失+ 局部阻力损失

【本讲课程的小结】 本讲介绍了两个内容：1、首先从系统的角度介绍了动量矩定理，由于系统动量矩方程（4-26）与动量方程（4-20）形式上完全一样，因此控制体的动量矩方程与动量守恒方程（4-23）形式上也完全一样，因此按照前者的关系，将（4-23）中的v 代之以r ×v 、ΣF 代之以ΣM ，就得到了控制体的动量矩守恒方程（4-27），其后又具体介绍了二维稳态流动系统的动量矩方程。2、在能量守恒的讲解中，首先介绍了运动流体能量的分类及其物理意义，并结合各能量的基本概念给出了单位质量（重量）流体的机械能，而后根据输运公式推导出了控制体的能量守恒方程。后又结合化工系统的流动问题对能量守恒方程进行了具体应用。 【本讲课程的作业】