2018版高考数学浙江专用专题复习 专题4 三角函数、解
2018版高考数学浙江文理通用大一轮复习讲义教师版文档
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质【知识拓展】 1．对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．奇偶性若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )；(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y ＝sin x 在第一、第四象限是增函数．( × )(2)常数函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．( √ ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( × ) (4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( × ) (5)y ＝sin|x |是偶函数．( √ ) (6)若sin x >22，则x >π4.( × )1．(教材改编)函数f (x )＝3sin(2x －π6)在区间0，π2]上的值域为( )A ．－32，32]B ．－32，3]C ．－332，332]D ．－332，3]答案 B解析 当x ∈0，π2]时，2x －π6∈－π6，5π6]，sin(2x －π6)∈－12，1]，故3sin(2x －π6)∈－32，3]，即f (x )的值域为－32，3]．2．函数y ＝tan2x 的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π＋π4，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π8，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π＋π8，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π2＋π4，k ∈Z 答案 D解析 由2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，∴y ＝tan2x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z . 3．(2016·绍兴期末)函数f (x )＝2cos(4x ＋π3)－1的最小正周期为________，f (π3)＝________.答案 π2 0解析 T ＝2π4＝π2，f (π3)＝2cos(43π＋π3)－1＝2×cos 53π－1＝0. 4．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值为________． 答案 2或－2解析 ∵f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，∴x ＝π6是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴．∴f ⎝⎛⎭⎫π6＝±2.题型一 三角函数的定义域和值域例1 (1)函数f (x )＝－2tan(2x ＋π6)的定义域是____________．(2)(2016·台州模拟)已知函数f (x )＝sin(x ＋π6)，其中x ∈－π3，a ]，若f (x )的值域是－12，1]，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1){x |x ≠k π2＋π6，k ∈Z } (2)π3，π]解析 (1)由2x ＋π6≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π6，k ∈Z ，所以f (x )的定义域为{x |x ≠k π2＋π6，k ∈Z }．(2)∵x ∈－π3，a ]，∴x ＋π6∈－π6，a ＋π6]，∵x ＋π6∈－π6，π2]时，f (x )的值域为－12，1]，∴由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，∴π3≤a ≤π.思维升华 (1)三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)三角函数值域的不同求法 ①利用sin x 和cos x 的值域直接求；②把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域； ③通过换元，转换成二次函数求值域．(1)函数y ＝lgsin x ＋cos x －12的定义域为 .(2)函数y ＝2sin(πx 6－π3) (0≤x ≤9)的最大值与最小值的和为__________．答案 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z(2)2－ 3解析 (1)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ＞0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π＜x ＜π＋2k π(k ∈Z )，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，∴2k π＜x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z .(2)∵0≤x ≤9，∴－π3≤πx 6－π3≤7π6，∴－32≤sin(πx 6－π3)≤1， 故－3≤2sin(πx 6－π3)≤2.即函数y ＝2sin(πx 6－π3) (0≤x ≤9)的最大值为2，最小值为－ 3.∴最大值与最小值的和为2－ 3. 题型二 三角函数的单调性例2 (1)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) (2)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________． 答案 (1)B (2)⎣⎡⎦⎤12，54解析 (1)由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z )， 所以函数f (x )＝tan ⎝⎛⎫2x －π3的单调递增区间为 ⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )，故选B.(2)由π2＜x ＜π，ω＞0，得ωπ2＋π4＜ωx ＋π4＜ωπ＋π4， 又y ＝sin x 的单调递减区间为2k π＋π2，2k π＋3π2]，k ∈Z ，所以⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥π2＋2k π，ωπ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54，k ∈Z .又由4k ＋12－(2k ＋54)≤0，k ∈Z 且2k ＋54>0，k ∈Z ，得k ＝0，所以ω∈12，54]．引申探究本例(2)中，若已知ω>0，函数f (x )＝cos(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递增，则ω的取值范围是____________． 答案 32，74]解析 函数y ＝cos x 的单调递增区间为－π＋2k π，2k π]，k ∈Z ，则⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥－π＋2k π，ωπ＋π4≤2k π，k ∈Z ，解得4k －52≤ω≤2k －14，k ∈Z ，又由4k －52－⎝⎛⎭⎫2k －14≤0，k ∈Z 且2k －14＞0，k ∈Z ， 得k ＝1，所以ω∈⎣⎡⎦⎤32，74.思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．(1)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的单调减区间为________． (2)若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间0，π3]上单调递增，在区间π3，π2]上单调递减，则ω等于( )A.23 B.32 C ．2D ．3答案 (1)⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋512π，k ∈Z (2)B解析 (1)已知函数可化为f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 欲求函数的单调减区间，只需求y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调增区间． 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所给函数的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )． (2)∵f (x )＝sin ωx (ω＞0)过原点， ∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时， y ＝sin ωx 是减函数．由f (x )＝sin ωx (ω＞0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增， 在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，知π2ω＝π3， ∴ω＝32.题型三 三角函数的周期性、对称性 命题点1 周期性例3 (1)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( ) A ．①②③ B ．①③④ C ．②④D ．①③(2)若函数f (x )＝2tan(kx ＋π3)的最小正周期T 满足1<T <2，则自然数k 的值为________．答案 (1)A (2)2或3解析 (1)①y ＝cos|2x |＝cos2x ，最小正周期为π； ②由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π； ③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π； ④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小正周期T ＝π2，因此选A.(2)由题意得，1<πk <2，∴k <π<2k ，即π2<k <π，又k ∈Z ，∴k ＝2或3. 命题点2 对称性例4 (2016·宁波模拟)当x ＝π4时，函数f (x )＝sin(x ＋φ)取得最小值，则函数y ＝f (3π4－x )( )A ．是奇函数且图象关于点(π2，0)对称B ．是偶函数且图象关于点(π，0)对称C ．是奇函数且图象关于直线x ＝π2对称D ．是偶函数且图象关于直线x ＝π对称 答案 C解析 ∵当x ＝π4时，函数f (x )取得最小值，∴sin(π4＋φ)＝－1，∴φ＝2k π－3π4(k ∈Z )，∴f (x )＝sin(x ＋2k π－3π4)＝sin(x －3π4)，∴y ＝f (3π4－x )＝sin(－x )＝－sin x,∴y ＝f (3π4－x )是奇函数，且图象关于直线x ＝π2对称．命题点3 对称性的应用例5 (1)已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象关于点P (x 0,0)对称，若x 0∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，则x 0＝________.(2)若函数y ＝cos(ωx ＋π6) (ω∈N *)图象的一个对称中心是(π6，0)，则ω的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8答案 (1)－π6(2)B解析 (1)由题意可知2x 0＋π3＝k π，k ∈Z ，故x 0＝k π2－π6，k ∈Z ，又x 0∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，∴－23≤k ≤13，k ∈Z ， ∴k ＝0，则x 0＝－π6.(2)由题意知ω6π＋π6＝k π＋π2 (k ∈Z )，∴ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N *，∴ωmin ＝2.思维升华 (1)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断． (2)求三角函数周期的方法： ①利用周期函数的定义．②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.(1)(2016·北京朝阳区模拟)已知函数f (x )＝2sin(π2x ＋π5)，若对任意的实数x ，总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值是( ) A ．2 B ．4 C ．πD ．2π(2)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点(4π3，0)中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6B.π4 C.π3D.π2答案 (1)A (2)A解析 (1)由题意可得|x 1－x 2|的最小值为半个周期， 即T 2＝πω＝2. (2)由题意得3cos(2×4π3＋φ)＝3cos(2π3＋φ＋2π)＝3cos(2π3＋φ)＝0，∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.4．三角函数的性质考点分析 纵观近年高考中三角函数的试题，其有关性质几乎每年必考，题目较为简单，综合性的知识多数为三角函数本章内的知识，通过有效地复习完全可以对此类题型及解法有效攻破，并在高考中拿全分．典例 (1)(2015·课标全国Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z (2)已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 都有f (x ＋π4)＝f (－x )成立，且f (π8)＝1，则实数b 的值为( ) A ．－1 B ．3 C ．－1或3D ．－3(3)已知函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于________．解析 (1)由图象知，周期T ＝2×⎝⎛⎭⎫54－14＝2， ∴2πω＝2，∴ω＝π. 由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4.由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D.(2)由f (x ＋π4)＝f (－x )可知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 关于直线x ＝π8对称，又函数f (x )在对称轴处取得最值，故±2＋b ＝1，∴b ＝－1或b ＝3. (3)∵ω＞0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32.答案 (1)D (2)C (3)321．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π4) (ω>0)的最小正周期为π，则f (π8)等于( )A ．1 B.12 C ．－1 D ．－12答案 A解析 ∵T ＝π，∴ω＝2， ∴f (π8)＝sin(2×π8＋π4)＝sin π2＝1.2．若函数f (x )＝－cos2x ，则f (x )的一个递增区间为( ) A ．(－π4，0)B ．(0，π2)C ．(π2，3π4)D ．(3π4，π)答案 B解析 由f (x )＝－cos2x 知递增区间为k π，k π＋π2]，k ∈Z ，故只有B 项满足．3．关于函数y ＝tan(2x －π3)，下列说法正确的是( )A ．是奇函数B ．在区间(0，π3)上单调递减C ．(π6，0)为其图象的一个对称中心D ．最小正周期为π 答案 C解析 函数y ＝tan(2x －π3)是非奇非偶函数，A 错误；在区间(0，π3)上单调递增，B 错误；最小正周期为π2，D 错误．∵当x ＝π6时，tan(2×π6－π3)＝0，∴(π6，0)为其图象的一个对称中心，故选C. 4．(2016·余姚模拟)已知函数f (x )＝2sin(ωx －π6)＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，其中ω为常数，且ω∈(1,2)，则函数f (x )的最小正周期为( ) A.3π5B.6π5 C.9π5D.12π5 答案 B解析 由函数f (x )＝2sin(ωx －π6)＋1 (x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，可得ωπ－π6＝k π＋π2，k ∈Z ，∴ω＝k ＋23，∴ω＝53，从而得函数f (x )的最小正周期为2π53＝6π5.5．已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f (π8)＝－2，则f (x )的一个单调递减区间是( )A ．－π8，3π8]B ．π8，9π8]C ．－3π8，π8]D ．π8，5π8]答案 C解析 由f (π8)＝－2，得f (π8)＝－2sin(2×π8＋φ)＝－2sin(π4＋φ)＝－2， 所以sin(π4＋φ)＝1.因为|φ|<π，所以φ＝π4.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .当k ＝0时，－3π8≤x ≤π8，故选C.6．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0且|φ|<π2)在区间π6，2π3]上是单调减函数，且函数值从1减少到－1，则f (π4)等于( )A.12B.22C.32D ．1答案 C解析 由题意得函数f (x )的周期T ＝2(2π3－π6)＝π，所以ω＝2，此时f (x )＝sin(2x ＋φ)，将点(π6，1)代入上式得sin(π3＋φ)＝1 (|φ|<π2)，所以φ＝π6，所以f (x )＝sin(2x ＋π6)，于是f (π4)＝sin(π2＋π6)＝cos π6＝32.7．(2016·金丽衢十二校联考)函数f (x )＝4sin x cos x ＋2cos 2x －1的最小正周期为________，最大值为________． 答案 π5解析 f (x )＝2sin2x ＋cos2x ＝5sin(2x ＋φ)， tan φ＝12，所以最小正周期T ＝2π2＝π，最大值为 5.8．函数y ＝cos 2x ＋sin x (|x |≤π4)的最小值为_______________________________________．答案1－22解析 令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22. ∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54，∴当t ＝－22时，y min ＝1－22. 9．(2016·金华模拟)若f (x )＝2sin ωx ＋1 (ω>0)在区间－π2，2π3]上是增函数，则ω的取值范围是__________． 答案 (0，34]解析 方法一 由2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π2，k ∈Z ，得f (x )的增区间是2k πω－π2ω，2k πω＋π2ω]，k ∈Z .因为f (x )在－π2，2π3]上是增函数，所以－π2，2π3]⊆－π2ω，π2ω]．所以－π2≥－π2ω且2π3≤π2ω，所以ω∈(0，34]．方法二 因为x ∈－π2，2π3]，ω>0.所以ωx ∈－ωπ2，2πω3]，又f (x )在区间－π2，2π3]上是增函数，所以－ωπ2，2πω3]⊆－π2，π2]，则⎩⎨⎧－ωπ2≥－π2，2πω3≤π2，又ω>0，得0<ω≤34.10．(2017·杭州质检)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋π6)(ω>0，x ∈R )，最小正周期T ＝π，则实数ω＝________，函数f (x )的图象的对称中心为______________，单调递增区间是___________． 答案 2 (k π2－π12，0)，k ∈Z (k π－π3，k π＋π6)，k ∈Z解析 由题意知2πω＝π，得ω＝2，令2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，得x ＝k π2－π12，k ∈Z ，所以其对称中心为(k π2－π12，0)，k ∈Z ，令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，所以其单调递增区间为k π－π3，k π＋π6]，k ∈Z .11．(2015·北京)已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的最小值． 解 (1)因为f (x )＝sin x ＋3cos x － 3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3， 所以f (x )的最小正周期为2π. (2)因为0≤x ≤2π3，所以π3≤x ＋π3≤π.当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－ 3. 12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(0<φ<2π3)的最小正周期为π.(1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点(π6，32)，求f (x )的单调递增区间．解 ∵f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)． (1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )， ∴sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)， 将上式展开整理得sin2x cos φ＝0， 由已知上式对任意x ∈R 都成立， ∴cos φ＝0，∵0<φ<2π3，∴φ＝π2.(2)f (x )的图象过点(π6，32)时，sin(2×π6＋φ)＝32，即sin(π3＋φ)＝32.又∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π，∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3， ∴f (x )＝sin(2x ＋π3)．令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为 k π－5π12，k π＋π12]，k ∈Z .*13.已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间． 解 (1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈－2a ，a ]， ∴f (x )∈b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6－1 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π6，k ∈Z .又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。
2018版高考数学(浙江专用文理通用)大一轮复习讲义第四章三角函数、解三角形第3讲Word版含答案
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( ) A.①②③ B.①③④ C.②④D.①③解析 ①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，最小正周期为π； ②由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π； ③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π；④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的最小正周期T ＝π2，因此选A. 答案 A2.(2017·温州模拟)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )D.⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) 解析 当k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3单调递增，解得k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )，故选B.答案 B3.(2016·成都诊断)函数y ＝cos 2x －2sin x 的最大值与最小值分别为( ) A.3，－1B.3，－2C.2，－1D.2，－2解析 y ＝cos 2x －2sin x ＝1－sin 2x －2sin x ＝－sin 2x －2sin x ＋1，令t ＝sin x ，则t ∈，y ＝－t 2－2t ＋1＝－(t ＋1)2＋2，所以y max ＝2，y min ＝－2. 答案 D4.(2016·银川模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2(x ∈R )，下面结论错误的是( ) A.函数f (x )的最小正周期为π B.函数f (x )是偶函数C.函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称D.函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数解析 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2＝－cos 2x ，故其最小正周期为π，故A 正确；易知函数f (x )是偶函数，B 正确；由函数f (x )＝－cos 2x 的图象可知，函数f (x )的图象不关于直线x ＝π4对称，C 错误；由函数f (x )的图象易知，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，D 正确.答案 C5.(2017·安徽江南十校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为4π，且∀x ∈R ，有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3成立，则f (x )图象的一个对称中心坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0C.⎝⎛⎭⎪⎫2π3，0D.⎝⎛⎭⎪⎫5π3，0解析 由f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12.因为f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3恒成立，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即12×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，由|φ|<π2，得φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3.令12x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝2k π－2π3(k ∈Z )，故f (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，0(k ∈Z )，当k ＝0时，f (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0，故选A. 答案 A 二、填空题6.(2017·台州调研)若函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π3(0<φ<π)是奇函数，则φ＝________；f (x )取最大值时，x 的取值集合为________.解析 因为f (x )为奇函数，所以φ－π3＝π2＋k π，φ＝5π6＋k π，k ∈Z .又因为0<φ<π，故φ＝5π6.由f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x (x ∈R )，∴当2x ＝2k π－π2，即x ＝k π－π4(k ∈Z )时，f (x )得最大值1.答案 5π6⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π－π4，k ∈Z7.(2016·哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考)函数y ＝12sin x ＋32cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的单调递增区间是________.解析 ∵y ＝12sin x ＋32cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，由2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得2k π－5π6≤x ≤2k π＋π6(k ∈Z ).∴函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－5π6，2k π＋π6(k ∈Z )，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 8.(2016·承德模拟)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.解析 法一 由于函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，π3为函数f (x )的14周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32.法二 由题意，得f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3ω＝1.由已知并结合正弦函数图象可知，π3ω＝π2，解得ω＝32.答案 32三、解答题9.(2015·安徽卷)已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值.解 (1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)由(1)的计算结果知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4上的图象知，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取最大值2＋1；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )取最小值0.综上，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2＋1，最小值为0.10.(2017·昆明调研)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 4－π6－2cos 2πx 8＋1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，求当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43时，y ＝g (x )的最大值.解 (1)f (x )＝sin πx 4cos π6－cos πx 4sin π6－cos πx4＝32sin πx 4－32cos πx 4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 4－π3，故f (x )的最小正周期为T ＝2ππ4＝8. (2)法一 在y ＝g (x )的图象上任取一点(x ，g (x ))， 它关于x ＝1的对称点(2－x ，g (x )).由题设条件，知点(2－x ，g (x ))在y ＝f (x )的图象上， 从而g (x )＝f (2－x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4（2－x ）－π3＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－πx 4－π3＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 4＋π3.当0≤x ≤43时，π3≤πx 4＋π3≤2π3，因此y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43上的最大值为g (x )max ＝3cos π3＝32. 法二 区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43关于x ＝1的对称区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2， 且y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43上的最大值为 y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2上的最大值.由(1)知f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 4－π3，当23≤x ≤2时，－π6≤πx 4－π3≤π6. 因此y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43上的最大值为g (x )max ＝3sin π6＝32. 能力提升题组 (建议用时：25分钟)11.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23B.32C.2D.3解析 ∵ω>0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32.答案 B12.(2015·安徽卷)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( )A.f (2)<f (－2)<f (0)B.f (0)<f (2)<f (－2)C.f (－2)<f (0)<f (2)D.f (2)<f (0)<f (－2)解析 由于f (x )的最小正周期为π，∴ω＝2，即f (x )＝A sin(2x ＋φ)，又当x ＝2π3时，2x ＋φ＝4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，∴φ＝2k π－11π6(k ∈Z )，又φ>0，∴φmin＝π6， 故f (x )＝A sin(2x ＋π6).于是f (0)＝A sin π6，f (2)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋π6＝A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋π6＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－4， f (－2)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4＋π6＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6－4＝A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝⎛⎭⎪⎫13π6－4＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－7π6.又∵－π2＜5π6－4＜4－7π6＜π6＜π2.又f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增， ∴f (2)<f (－2)<f (0)，故选A. 答案 A13.(2017·湖州调研)若x ＝π6是函数f (x )＝sin 2x ＋a cos 2x 的一条对称轴，则函数f (x )的最小正周期是________；函数f (x )的最大值是________.解析 ∵f (x )＝sin 2x ＋a cos 2x ＝1＋a 2sin(2x ＋θ)(tan θ＝a )， 又x ＝π6是函数的一条对称轴，∴2×π6＋θ＝π2＋k π，即θ＝π6＋k π，k ∈Z .则f (x )＝1＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋k π.T ＝2π2＝π； 由a ＝tan θ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋k π＝tan π6＝33， 得1＋a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝233.∴函数f (x )的最大值是233.答案 π23314.(2017·武汉调研)已知函数f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x2＋sin x ＋b .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调增区间； (2)若x ∈时，函数f (x )的值域是，求a ，b 的值.解 f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b ＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a ＋b .(1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋b －1，由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )，∴f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z ).(2)∵0≤x ≤π，∴π4≤x ＋π4≤5π4，∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0. (ⅰ)当a >0时，⎩⎨⎧2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，∴a ＝32－3，b ＝5.(ⅱ)当a <0时，⎩⎨⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，∴a ＝3－32，b ＝8.综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8. 15.设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 3－π6－2cos 2πx 6.(1)求y ＝f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，求当x ∈时，函数y ＝g (x )的最大值.解 (1)由题意知f (x )＝32sin πx 3－32cos πx 3－1＝3·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 3－π3－1，所以y ＝f (x )的最小正周期T ＝2ππ3＝6.由2k π－π2≤π3x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得6k －12≤x ≤6k ＋52，k ∈Z ，所以y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤6k －12，6k ＋52，k ∈Z .(2)因为函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称， 所以当x ∈时，y ＝g (x )的最大值即为x ∈时，y ＝f (x )的最大值，当x ∈时，π3x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23π，π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，即此时y ＝g (x )的最大值为12.。
(浙江版)2018年高考数学一轮复习(讲、练、测)：_专题4.4_三角函数的图象与性质(练)有答案
第04节 三角函数的图象与性质A 基础巩固训练1. 函数，的最小正周期为（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由周期公式知：2. 设函数()f x =sin()A x ωϕ+(0,A ≠0,ω>)22ϕππ-<<的图象关于直线23x π=对称,它的最 小正周期为π，则（ ）A ．()f x 的图象过点1(0)2, B ．()f x 在2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数 C ．()f x 的一个对称中心是5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()f x 的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】根据题意可知，2ω=，根据题中所给的ϕ角的范围，结合图像关于直线23x π=对称,可知6πϕ=，故可以得到()sin(2)6f x A x π=+，而A 的值不确定，所以(0)f 的值不确定，所以A 项不正确，当2[,]123x ππ∈时，32[,]632x πππ+∈，函数不是单调的，所以B 项不对，而()06f A π=≠，所以,06π⎛⎫⎪⎝⎭不是函数的对称中心，故D 不对，而又5()012f π=，所以5,012π⎛⎫⎪⎝⎭是函数的对称中心，故选C ．3. 已知函数()2sin(2)(||)2f x x πϕϕ=+<的图象过点，则()f x 的图象的一个对称中心是A ．(,0)3π-B ．(,0)6π-C ．(,0)6πD ．(,0)4π【答案】B【解析】因为函数()2sin(2)(||)2f x x πϕϕ=+<的图象过点，所以3sin 2)0(==ϕf ，且2πϕ<，则3πϕ=；令032=+πx ，即6π-=x ，即()f x 的图象的一个对称中心是(,0)6π-.4.【2017山东，文7】函数2cos 2y x x =+ 最小正周期为A.π2 B. 2π3C.πD. 2π 【答案】C【解析】因为π2cos 22sin 23y x x x ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭,所以其周期2ππ2T ==,故选C. 5. 已知函数2()3f x ax bx a b =+++是定义在[1,2]a a -上的偶函数，则2cos[()]3y a b x π=+- 的最小正周期是（ ）A ．6πB ．5πC ．4πD ．2π 【答案】A【解析】∵函数2()3f x ax bx a b =+++是定义在[1,2]a a -上的偶函数，∴0,120b a a =-+=， ∴10,3b a ==，∴12cos()33y x π=-，∴2613T ππ==．B 能力提升训练 1. 函数()2sin 1xf x x =+的图象大致为（ ）【答案】A【解析】根据题意，函数为奇函数，所以图像关于原点对称，故排除,C D 两项，在(0,)π上，函数值是正值，所以B 不对，故只能选A ．2.下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3π=x 对称的是 （ ） A ．s i n (2)3π=-y x B ．s i n (2)6π=-y x C ．s i n (2)6π=+y x D ．s i n ()23π=+x y【答案】B【解析】s i n (2)3π=-y x 最小正周期为π，但图象不关于直线3π=x 对称；s i n (2)6π=-y x 最小正周期为π，且图象关于直线3π=x 对称；s i n (2)6π=+y x 最小正周期为π，但图象不关于直线3π=x 对称；s i n ()23π=+x y 最小正周期为4π，且图象关于直线3π=x 对称；因此选B ．3. 若函数()2sin()3f x x πω=+，且()2,()0f f αβ=-=，αβ-的最小值是2π，则()f x 的单调递增区间是（ ） A ．5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈ B ．[,]()36k k k Z ππππ-+∈ C ．2[2,2]()33k k k Z ππππ-+∈ D ．5[2,2]()66k k k Z ππππ-+∈ 【答案】D【解析】由()2,()0f f αβ=-=，αβ-的最小值是2π可知,242T T ππ=∴=，所以1ω=，所以()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由22()232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得522()636k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，所以函数的单调递增区间为52,2()66k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，故选D ． 4. 函数)62sin(π-=x y 的图像与函数)3cos(π-=x y 的图像（ ）A ．有相同的对称轴但无相同的对称中心B ．有相同的对称中心但无相同的对称轴C ．既有相同的对称轴但也有相同的对称中心D ．既无相同的对称中心也无相同的对称轴 【答案】A 【解析】当 ,3x k k Z ππ=+∈时,cos 13x π⎛⎫ ⎪⎝⎭-=± ,因此)3cos(π-=x y 的对称轴是 ,3x k k Z ππ=+∈．当 2,62x k k Z πππ-=+∈即,32k x k Z ππ=+∈时,sin 216x π⎛⎫ ⎪⎝⎭-=± ,因此)62sin(π-=x y 的对称轴是,32k x k Z ππ=+∈．由此可得,)3cos(π-=x y 的对称轴都是)62sin(π-=x y 的对称轴 ．当5 ,6x k k Z ππ=+∈时,cos 03x π⎛⎫ ⎪⎝⎭-= ,所以)3cos(π-=x y 的对称中心是5,0,6k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭． 当122k x ππ=+时,sin 206x π⎛⎫ ⎪⎝⎭-=,所以)62sin(π-=x y 的对称中心是 ,0,122k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭．由此可得,它们的对称中心均不相同．故选 A ． 5. 已知0ω>，函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭在(,)2ππ上单调递减，则ω的取值范围是（ ）A ．(0,2]B ．1(0,]2C ．13[,]24D ．15[,]24【答案】D【解析】由题意可得函数的周期2,2T ππωω=≥≤，再由322242k x k ππππωπ+≤+≤+，即225,44k k x k Z ππππωωωω+≤≤+∈，可得()f x 的一个减区间为5,44ππωω⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以4254ππωππω⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，求得ω的取值范围是15[,]24．C 思维扩展训练1. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≠><-=0)10(log 01)2sin()(x a a x x x x f a ，，且，，π的图象上关于y 轴对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是（ ） （A ）)550(，（B ）)155(，（C ）)133(， （D ）)330(， 【答案】A【解析】原函数在y 轴左侧是一段正弦型函数图象，在y 轴右侧是一条对数函数的图象，要使得图象上关于y 轴对称的点至少有3对，可将左侧的图象对称到y 轴右侧，即sin()1(0)2xy x π=-->，应该与原来y 轴右侧的图象至少有3个公共点如图，1a >不能满足条件，只有01a <<此时，只需在5x =时，log a y x =的纵坐标大于2-，即log 52a >-，得05a <<． 2.已知函数()cos ,f x x x x R =-∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为（ ） A ．|,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭ B ．|22,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭C ．5{|,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈D ．5{|22,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 【答案】B【解析】()⎪⎭⎫⎝⎛-=6sin 2πx x f ，若()1≥x f ，等价于216sin ≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-πx ，所以πππππk x k 265626+≤-≤+，Z k ∈，解得ππππk x k 223+≤≤+，Z k ∈．3. 若1212(,),(,)a a a b b b ==，定义一种运算：1122(,)a b a b a b ⊗=，已知1(2,)2m = ， (,0)3n π=，且点(,)P x y ，在函数sin y x =的图象上运动，点Q 在函数()y f x =的图象上运动，且OQ m OP n =⊗+（其中O 为坐标原点），则函数()y f x =的最大值A 和最小正周期T 分别为（ ）A ．2,A T π==B ．2,4A T π==C ．1,2A T π== D ．1,42A T π== 【答案】D【解析】由条件1(2,sin )32OQ x x π=+，所以1(2)sin 32f x x π+= ，从而求得1()sin()226x f x π=-， 1,4.2A T π∴==.4. 已知函数()sin cos 1f x x x =+，将()f x 的图像向左平移6π个单位得到函数()g x 的图像，则函数()g x 的单调减区间为（ ） A.7[2,2],1212k k k Z ππππ++∈ B.7[,],1212k k k Z ππππ++∈ C.2[,],63k k k Z ππππ++∈ D.2[2,2],63k k k Z ππππ++∈ 【答案】B【解析】()11()sin cos 1sin 21sin 21223f x x x x g x x π⎛⎫=+=+∴=++ ⎪⎝⎭，求单调减区间时令3722,2,3221212x k k x k k πππππππππ⎡⎤⎡⎤+∈++∴∈++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦5. 给出下列结论：①若扇形的中心角为2，半径为1，则该扇形的面积为1；②函数()22cos sin y x x x R =-∈是偶函数；③点,08π⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数5sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象的一个对称中心；④函数cos sin y x x =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数.其中正确结论的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】C 【解析】解答：对于①，扇形的中心角为2，半径为1， 则该扇形的面积为S=12αR2=12×2×12=1，①正确； 对于②,函数22cos sin y x x =-=cos2x(x ∈R)，它是偶函数，②正确； 对于③,当x=8π时,y=sin(2×8π+54π)=−1， 点(8π,0)不是函数y=sin(2x+54π)图象的一个对称中心，③错误；对于④,函数y=cosx −π4)， 当x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时,x+π4∈[π4,3π4]，∴y 是减函数，④正确， 综上，正确的命题序号是①②④，共3个。
2018版高考数学(浙江专用文理通用)大一轮复习讲义：第四章三角函数、解三角形第4讲含答案
基础巩固题组（建议用时：40分钟）一、选择题1。
（2016·全国Ⅱ卷）若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移π12个单位长度,则平移后图象的对称轴为( ）A.x＝错误!－错误!（k∈Z）B.x＝错误!＋错误!(k∈Z)C。
x＝错误!－错误!（k∈Z）D。
x＝错误!＋错误!(k∈Z）解析由题意将函数y＝2sin 2x的图象向左平移错误!个单位长度后得到函数的解析式为y＝2sin错误!，由2x＋错误!＝kπ＋错误!得函数的对称轴为x＝错误!＋错误!（k∈Z），故选B。
答案B2.(2017·衡水中学金卷)若函数y＝sin(ωx－φ)(ω>0，|φ｜<错误!)在区间错误!上的图象如图所示，则ω，φ的值分别是（)A.ω＝2，φ＝错误!B.ω＝2，φ＝－错误!C.ω＝错误!,φ＝错误!D.ω＝错误!，φ＝－错误!解析由图可知，T＝2错误!＝π，所以ω＝错误!＝2，又sin错误!＝0，所以错误!－φ＝kπ(k∈Z),即φ＝错误!－kπ(k∈Z),而｜φ｜<错误!,所以φ＝错误!，故选A.答案A3.（2017·昆明市两区七校模拟）将函数f(x）＝3sin x－cos x的图象沿着x轴向右平移a（a>0)个单位后的图象关于y轴对称，则a的最小值是（)A。
π6B.错误!C。
错误! D.错误!解析依题意得f(x)＝2sin错误!,因为函数f(x－a)＝2sin错误!的图象关于y轴对称，所以sin错误!＝±1，a＋错误!＝kπ＋错误!，k∈Z,即a＝kπ＋错误!，k∈Z，因此正数a的最小值是错误!，选B。
答案B4。
（2016·台州模拟）函数f（x)＝3sin错误!x－log错误!x的零点的个数是（)A。
2 B。
3 C.4 D。
5解析函数y＝3sin π2x的周期T＝错误!＝4，由log错误!x＝3，可得x＝错误!。
由log错误!x＝－3,可得x＝8。
(浙江专用)2018年高考数学总复习 第四章 三角函数、解三角形 专题探究课二 高考中三角函数问题的热点题型
专题探究课二 高考中三角函数问题的热点题型(建议用时：60分钟)1.(2017·湖州调研)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图象如图所示. (1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12上最大值和最小值. 解 (1)由题得，f (x )的最小正周期为π，y 0＝3.当y 0＝3时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝1， 由题干图可得2x 0＋π6＝2π＋π2，解得x 0＝7π6. (2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，0. 于是：当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0； 当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3. 2.(2017·郑州模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知a sin 2B ＝3b sin A .(1)求B ；(2)若cos A ＝13，求sin C 的值. 解 (1)在△ABC 中，由a sin A ＝bsin B ， 可得a sin B ＝b sin A ，又由a sin 2B ＝3b sin A ，得2a sin B cos B ＝3b sin A ＝3a sin B ，又B ∈(0，π)，所以sin B ≠0，所以cos B ＝32，得B ＝π6. (2)由cos A ＝13，A ∈(0，π)，得sin A ＝223， 则sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )，所以sin C ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6 ＝32sin A ＋12cos A ＝26＋16. 3.(2017·西安调研)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋2sin 2ωx 2(ω＞0)，已知函数f (x )的图象的相邻两对称轴间的距离为π.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c (其中b ＜c )，且f (A )＝32，△ABC 的面积为S ＝63，a ＝27，求b ，c 的值.解 (1)f (x )＝32sin ωx ＋12cos ωx ＋1－cos ωx ＝32sin ωx －12cos ωx ＋1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1. ∵函数f (x )的图象的相邻两对称轴间的距离为π，∴函数f (x )的周期为2π.∴ω＝1.∴函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋1. (2)由f (A )＝32，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12. 又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3. ∵S ＝12bc sin A ＝63，∴12bc sin π3＝63，bc ＝24， 由余弦定理，得a 2＝(27)2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝b 2＋c 2－24. ∴b 2＋c 2＝52，又∵b ＜c ，解得b ＝4，c ＝6.4.(2016·济南名校联考)已知函数f (x )＝sin ωx ＋23cos2ωx 2＋1－3(ω＞0)的周期为π. (1)求f (x )的解析式并求其单调递增区间；(2)将f (x )的图象先向下平移1个单位长度，再向左平移φ(φ＞0)个单位长度得到函数h (x )的图象，若h (x )为奇函数，求φ的最小值.解 (1)f (x )＝sin ωx ＋23cos 2ωx 2＋1－3＝ sin ωx ＋23×1＋cos ωx 2＋1－ 3＝sin ωx ＋3cos ωx ＋1＝2sin(ωx ＋π3)＋1. 又函数f (x )的周期为π，因此2πω＝π，∴ω＝2. 故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1. 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )，即函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z ).(2)由题意可知h (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x ＋φ）＋π3， 又h (x )为奇函数，则2φ＋π3＝k π， ∴φ＝k π2－π6(k ∈Z ).∵φ＞0，∴当k ＝1时，φ取最小值π3. 5.已知△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos 2B ，2cos 2B 2－1)，且m ∥n . (1)求锐角B 的大小；(2)如果b ＝2，求S △ABC 的最大值.解 (1)∵m ∥n ， ∴2sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2B 2－1＝－3cos 2B ， ∴sin 2B ＝－3cos 2B ，即tan 2B ＝－ 3.又∵B 为锐角，∴2B ∈(0，π)，∴2B ＝2π3，∴B ＝π3. (2)∵B ＝π3，b ＝2， 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得a 2＋c 2－ac －4＝0.又a 2＋c 2≥2ac ，代入上式，得ac ≤4，当且仅当a ＝c ＝2时等号成立.故S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤3， 当且仅当a ＝c ＝2时等号成立，即S △ABC 的最大值为 3.6.(2017·宁波模拟)已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝(cos x ，1)，x ∈R .(1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值.解 (1)f (x )＝2 cos 2x －3sin 2x ＝1＋cos 2x －3sin 2x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 令2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴函数y ＝f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ). (2)∵f (A )＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1，又π3＜2A ＋π3＜7π3，∴2A ＋π3＝π，即A ＝π3. ∵a ＝7，∴由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.①∵向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，∴2sin B ＝3sin C ，由正弦定理得2b ＝3c ，②由①②得b ＝3，c ＝2.百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。
2018版高考数学浙江专用文理通用大一轮复习讲义：第四
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.(2016·全国Ⅱ卷)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( ) A.x ＝k π2－π6(k ∈Z ) B.x ＝k π2＋π6(k ∈Z ) C.x ＝k π2－π12(k ∈Z ) D.x ＝k π2＋π12(k ∈Z ) 解析 由题意将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度后得到函数的解析式为y＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由2x ＋π6＝k π＋π2得函数的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，故选B. 答案 B2.(2017·衡水中学金卷)若函数y ＝sin(ωx －φ)(ω>0，|φ|<π2)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A.ω＝2，φ＝π3B.ω＝2，φ＝－2π3C.ω＝12，φ＝π3D.ω＝12，φ＝－2π3解析 由图可知，T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝π，所以ω＝2πT ＝2，又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6－φ＝0，所以π3－φ＝k π(k ∈Z )，即φ＝π3－k π(k ∈Z )，而|φ|<π2，所以φ＝π3，故 选A. 答案 A3.(2017·昆明市两区七校模拟)将函数f (x )＝3sin x －cos x 的图象沿着x 轴向右平移a (a >0)个单位后的图象关于y 轴对称，则a 的最小值是( )A.π6B.π3C.π2D.2π3解析 依题意得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，因为函数f (x －a )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －a －π6的图象关于y轴对称，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －π6＝±1，a ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，即a ＝k π＋π3，k ∈Z ，因此正数a 的最小值是π3，选B.答案 B4.(2016·台州模拟)函数f (x )＝3sin π2x －log 12x 的零点的个数是( )A.2B.3C.4D.5解析 函数y ＝3sin π2x 的周期T ＝2ππ2＝4，由log 12x ＝3，可得x ＝18.由log 12x ＝－3，可得x ＝8.在同一平面直角坐标系中，作出函数y ＝3sin π2x 和y ＝log 12x 的图象(如图所示)，易知有5个交点，故函数f (x )有5个零点.答案 D5.(2017·呼和浩特调研)如图是函数f (x )＝sin 2x 和函数g (x )的部分图象，则g (x )的图象可能是由f (x )的图象( ) A.向右平移2π3个单位得到的B.向右平移π3个单位得到的C.向右平移7π12个单位得到的D.向右平移π6个单位得到的解析 由函数f (x )＝sin 2x 和函数g (x )的部分图象，可得g (x )的图象位于y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为m ，则有17π24－m ＝π4－π8，解得m ＝7π12，故把函数f (x )＝sin 2x的图象向右平移7π12－π4＝π3个单位，即可得到函数g (x )的图象，故选B.答案 B 二、填空题6.(2017·金华调研)如图一半径为3米的水轮，水轮的圆心O 距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P 到水面的距离y (米)与时间x (秒)满足函数关系y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2，则有ω＝________，A ＝________.解析 由题意知水轮每分钟旋转4圈，即每秒旋转2π15 rad ，所以ω＝2π15；又水轮上的最高点距离水面r ＋2＝5(米)，所以y 的最大值A ＋2＝5，A ＝3. 答案2π153 7.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，则函数f (x )的解析式为________. 解析 据已知两个相邻最高和最低点距离为22，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22＋（1＋1）2＝22，解得T ＝4，故ω＝2πT ＝π2， 即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 2＋φ.又函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，故f (2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2×2＋φ＝－sin φ＝－12，又－π2≤φ≤π2，解得φ＝π6，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 2＋π6.答案 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 2＋π68.已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3 (ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝___________.解析 依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4·ω＋π3＝－1，∴π4ω＋π3＝2k π＋3π2 (k ∈Z ).∴ω＝8k ＋143 (k ∈Z )，因为f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，所以π3－π4≤πω，即ω≤12，令k ＝0， 得ω＝143.答案143三、解答题9.已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，其中x ∈R ，ω＞0. (1)当ω＝1时，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值；(2)当f (x )的最小正周期为π时，求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上取得最大值时x 的值.解 (1)当ω＝1时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＋cos π2＝32＋0＝32. (2)f (x )＝sin ωx ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＝sin ωx ＋32cos ωx －12sin ωx ＝12sin ωx ＋32cos ωx ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3.∵2π|ω|＝π，且ω＞0，得ω＝2，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，得2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，∴当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )max ＝1.10.已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻最高点的距离为π.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位后，得到y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间.解 (1)因为f (x )的图象上相邻最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，因为－π2≤φ＜π2，所以k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4－π6＝3sin π3＝32.(2)将f (x )的图象向右平移π12个单位后，得到 f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π12的图象，所以g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－π6＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，即k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z )时，g (x )单调递减.因此g (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z ).能力提升题组 (建议用时：25分钟)11.(2017·西安调研)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则下列结论正确的是( )A.f (x )的图象关于直线x ＝π3对称 B.f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称 C.f (x )的最小正周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12上为增函数D.把f (x )的图象向右平移π12个单位，得到一个偶函数的图象解析 对于函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，当x ＝π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin 5π6＝12，故A 错；当x ＝π6时， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin π2＝1，故⎝⎛⎭⎪⎫π6，0不是函数的对称点，故B 错；函数的最小正周期为T ＝2π2＝π，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12时， 2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，此时函数为增函数，故C 正确；把f (x )的图象向右平移π12个单位，得到g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π6＝sin 2x ，函数是奇函数，故D 错. 答案 C12.(2016·承德一模)已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－92∪∪∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 解析 当ω>0时，－π3ω≤ωx ≤π4ω，由题意知－π3ω≤－π2，即ω≥32；当ω<0时，π4ω≤ωx ≤－π3ω， 由题意知π4ω≤－π2，∴ω≤－2.综上可知，ω的取值范围是(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.答案 D13.(2015·湖南卷)已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________.解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2sin ωx ，y ＝2cos ωx 得sin ωx ＝cos ωx ，∴tan ωx ＝1，ωx ＝k π＋π4(k ∈Z ). ∵ω>0，∴x ＝k πω＋π4ω(k ∈Z ). 设距离最短的两个交点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，不妨取x 1＝π4ω，x 2＝5π4ω，则|x 2－x 1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5π4ω－π4ω＝πω.又结合图形知|y 2－y 1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－2×22＝22， 且(x 1，y 1)与(x 2，y 2)间的距离为23， ∴(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(23)2， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫πω2＋(22)2＝12，∴ω＝π2.答案π2 14.(2017·郑州模拟)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)(2)将y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位，得到函数y ＝g (x )的图象.若关于x 的方程g (x )－(2m ＋1)＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的解，求实数m 的取值范围. 解 (1)根据表中已知数据， 解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6. 数据补全如下表：且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －6. (2)通过平移，g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 方程g (x )－(2m ＋1)＝0可看成函数y ＝g (x )和函数y ＝2m ＋1的图象在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个交点，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，为使直线y ＝2m ＋1与函数y ＝g (x )的图象在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个交点，结合函数y ＝g (x )在上的图象，只需52≤2m ＋1<5，解得34≤m <2.即实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，2.15.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈R ，ω>0，0<ω<π2的部分图象如图所示.(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12的单调递增区间.解 (1)由题设图象知，周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π，∴ω＝2πT＝2.因为点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0在函数图象上，所以A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝0.又∵0<φ<π2，∴5π6<5π6＋φ<4π3，从而5π6＋φ＝π，即φ＝π6. 又点(0，1)在函数图象上，所以A sin π6＝1，解得A ＝2，故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π6－2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6＝2sin 2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2sin 2x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2x ＋32cos 2x＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .∴g (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .。
浙江专用2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.3三角函数的图象与性质课件
思维升华
(1)三角函数定义域的求法
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函
数线或三角函数图象来求解.
(2)三角函数值域的不同求法
①利用sin x和cos x的值域直接求；
②把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域；
③通过换元，转换成二次函数求值域.
跟踪训练1
思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y＝sin x在第一、第四象限是增函数.( × ) (2)常数函数f(x)＝a是周期函数，它没有最小正周期.( √ ) (3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数.( × ) (4)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.( × ) (5)y＝sin |x|是偶函数.( √ )
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
定义域 值域
R ___
[－1,1]
R ___
[－1,1]
R
π π [－ ＋2kπ， ＋2kπ] 2 2 在 __________________ (k∈ Z) π 3π ________ 上递增； [ 2＋2kπ ， ＋2kπ] 2 单调性 在 __________________ (k∈Z)
答案 解析
题型二 三角函数的单调性
例 2 (1)函数
π f(x)＝tan2x－3 的单调递增区间是
答案
解析
kπ π kπ 5π A. 2 －12， 2 ＋12(k∈Z) π 2π C.kπ＋6，kπ＋ 3 (k∈Z)
kπ π kπ 5π B. 2 －12， 2 ＋12(k∈Z) π 5π D.kπ－12，kπ＋12 (k∈Z)
2018版高考数学浙江,文理通用大一轮复习讲义教师版文
1．角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝{β|β＝k ·360°＋α，k ∈Z }． (3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. (2)角度制和弧度制的互化：180°＝πrad,1°＝π180rad ，1rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°. (3)扇形的弧长公式：l ＝|α|·r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|·r 2.3．任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )时，sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．三个三角函数的初步性质如下表：4.三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T .为正弦线；有向线段OM 为余弦线；有向线段【知识拓展】1．三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 2．任意角的三角函数的定义(推广)设P (x ，y )是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O 的距离为r ，则sin α＝y r ，cos α＝xr ，tan α＝yx (x ≠0)．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( × ) (2)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关．( √ ) (3)不相等的角终边一定不相同．( × ) (4)终边相同的角的同一三角函数值相等．( √ )(5)若α∈(0，π2)，则tan α>α>sin α.( √ )(6)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( √ )1．角－870°的终边所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 C解析 由－870°＝－1080°＋210°，知－870°角和210°角终边相同，在第三象限． 2．(教材改编)已知角α的终边与单位圆的交点为M (12，y )，则sin α等于( )A.32 B ．±32C.22D ．±22答案 B解析 由题意知|r |2＝(12)2＋y 2＝1，所以y ＝±32.由三角函数定义知sin α＝y ＝±32.3．(2016·宁波二模)集合{α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z }中的角所表示的范围(阴影部分)是( )答案 C解析 当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1 (n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样，故选C.4．函数y ＝2cos x －1的定义域为________． 答案 ⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z ) 解析 ∵2cos x －1≥0， ∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影所示)．∴x ∈⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )．题型一 角及其表示例1 (1)若α＝k ·180°＋45°(k ∈Z )，则α在( ) A ．第一或第三象限 B ．第一或第二象限 C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限(2)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________________．答案 (1)A (2)(2k π＋π4，2k π＋56π)(k ∈Z )解析 (1)当k ＝2n (n ∈Z )时，α＝2n ·180°＋45°＝n ·360°＋45°，α为第一象限角； 当k ＝2n ＋1 (n ∈Z )时，α＝(2n ＋1)·180°＋45°＝n ·360°＋225°，α为第三象限角． 所以α为第一或第三象限角．故选A.(2)在0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为⎝⎛⎭⎫π4，56π，∴所求角的集合为⎝⎛⎭⎫2k π＋π4，2k π＋56π (k ∈Z )． 思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的角．(2)利用终边相同的角的集合S ＝{β|β＝2k π＋α，k ∈Z }判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限．(1)终边在直线y ＝3x 上的角的集合是__________________．(2)(2016·台州模拟)若角θ的终边与6π7角的终边相同，则在0,2π]内终边与θ3角的终边相同的角的个数为________．答案 (1){α|α＝π3＋k π，k ∈Z } (2)3解析 (1)在(0，π)内终边在直线y ＝3x 上的角为π3，∴终边在直线y ＝3x 上的角的集合为 {α|α＝π3＋k π，k ∈Z }．(2)∵θ＝6π7＋2k π(k ∈Z )，∴θ3＝2π7＋2k π3(k ∈Z )， 依题意0≤2π7＋2k π3≤2π，k ∈Z ，∴－37≤k ≤187，∴k ＝0,1,2，即在0,2π]内与θ3角的终边相同的角为2π7，20π21，34π21共三个．题型二 弧度制例2 (1)(2016·舟山模拟)若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________． 答案2解析 设圆半径为r ，则圆内接正方形的对角线长为2r ，∴正方形边长为2r ，∴圆心角的弧度数是2rr＝ 2. (2)已知扇形的圆心角是α，半径是r ，弧长为l . ①若α＝100°，r ＝2，求扇形的面积；②若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．解 ①S ＝12lr ＝12αr 2＝12×59π×4＝109π.②由题意知l ＋2r ＝20，即l ＝20－2r ， S ＝12l ·r ＝12(20－2r )·r ＝－(r －5)2＋25， 当r ＝5时，S 的最大值为25.当r ＝5时，l ＝20－2×5＝10，α＝lr＝2(rad)．即扇形面积的最大值为25，此时扇形圆心角的弧度数为2rad. 思维升华 应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决． (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．(1)将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是 ( )A.π3B.π6 C ．－π3D ．－π6(2)圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( ) A.π6 B.π3 C ．3D. 3答案 (1)C (2)D解析 (1)将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角，故A 、B 不正确；又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16.即为－16×2π＝－π3.(2)如图，等边三角形ABC 是半径为r 的圆O 的内接三角形，则线段AB 所对的圆心角∠AOB ＝2π3，作OM ⊥AB ，垂足为M ，在Rt △AOM 中，AO ＝r ，∠AOM ＝π3，∴AM ＝32r ，AB ＝3r ， ∴l ＝3r ，由弧长公式得α＝l r ＝3rr ＝ 3.题型三 三角函数的概念 命题点1 三角函数定义的应用例3 (1)(2016·杭州模拟)若角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)且sin θ＝24m ，则cos θ的值为________．(2)点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为 ( )A.⎝⎛⎭⎫－12，32B.⎝⎛⎭⎫－32，－12 C.⎝⎛⎭⎫－12，－32D.⎝⎛⎭⎫－32，12 答案 (1)－64(2)A 解析 (1)由题意知r ＝3＋m 2， ∴sin θ＝m 3＋m 2＝24m ， ∵m ≠0，∴m ＝±5，∴r ＝3＋m 2＝22， ∴cos θ＝－322＝－64.(2)由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y )满足 x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32.∴Q 点的坐标为(－12，32)．命题点2 三角函数线例4 函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 的定义域为__________________． 答案 2k π＋π3，2k π＋5π6)(k ∈Z )解析 要使原函数有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧2sin x －1>0，1－2cos x ≥0，即⎩⎨⎧sin x >12，cos x ≤12，如图，在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知，原函数的定义域为2k π＋π3，2k π＋5π6) (k ∈Z )．思维升华 (1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P 的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P 的坐标．(2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围．(1)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0.则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,3] B ．(－2,3) C ．－2,3)D ．－2,3](2)满足cos α≤－12的角α的集合为________．答案 (1)A (2){α|2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z }解析 (1)∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0， ∴－2<a ≤3. (2)作直线x ＝－12交单位圆于C 、D 两点，连接OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为{α|2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z }．6．数形结合思想在三角函数中的应用典例 (1)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于C (2,1)时，OP →的坐标为________．(2)(2016·合肥调研)函数y ＝lg(3－4sin 2x )的定义域为________．思想方法指导 在坐标系中研究角就是一种数形结合思想，利用三角函数线可直观得到有关三角函数的不等式的解集．解析 (1)如图所示，过圆心C 作x 轴的垂线，垂足为A ，过P 作x 轴的垂线与过C 作y 轴的垂线交于点B .因为圆心移动的距离为2，所以劣弧PA ＝2，即圆心角∠PCA ＝2，则∠PCB ＝2－π2，所以PB ＝sin(2－π2)＝－cos 2，CB ＝cos(2－π2)＝sin 2，所以x P ＝2－CB ＝2－sin 2，y P ＝1＋PB ＝1－cos 2， 所以OP →＝(2－sin 2,1－cos 2)． (2)∵3－4sin 2x ＞0， ∴sin 2x ＜34，∴－32＜sin x ＜32. 利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴x ∈⎝⎛⎭⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )． 答案 (1)(2－sin2,1－cos2) (2)⎝⎛⎭⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )1．设集合M ＝{x |x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z }，那么( )A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅答案 B解析 方法一 由于M ＝{x |x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z }＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N ＝{x |x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z }＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M ⊆N ，故选B.方法二 由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N ，故选B.2．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( ) A ．sin α＋cos α＜0 B ．tan α－sin α＜0 C ．cos α－tan α＜0 D ．tan αsin α＜0 答案 B解析 α是第三象限角，sin α＜0，cos α＜0，tan α＞0，则可排除A 、C 、D ，故选B. 3．(2016·杭州一模)已知α是第二象限的角，其终边上的一点为P (x ，5)，且cos α＝24x ，则tan α等于( ) A.155B.153C ．－155D ．－153答案 D解析 ∵P (x ，5)，∴y ＝ 5.又cos α＝24x ＝x r，∴r ＝22， ∴x 2＋(5)2＝(22)2，解得x ＝±3.由α是第二象限的角，得x ＝－3，∴tan α＝y x ＝5－3＝－153. 4．(2016·杭州第二中学模拟)若390°角的终边上有一点P (a ，3)，则a 的值是( ) A. 3B ．3 3C ．－ 3D ．－3 3答案 B解析 ∵tan390°＝3a，又tan390°＝tan(360°＋30°) ＝tan30°＝33， ∴3a ＝33，∴a ＝3 3. 5．已知点P (sin α－cos α，2)在第二象限，则α的一个变化区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－π2，π2 B.⎝⎛⎭⎫－π4，3π4 C.⎝⎛⎭⎫－3π4，π4 D.⎝⎛⎭⎫π2，π 答案 C解析 ∵P (sin α－cos α，2)在第二象限，∴sin α<cos α，∴α的一个变化区间是⎝⎛⎭⎫－3π4，π4. 6．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( ) A ．1B ．－1C ．3D ．－3答案 B解析 由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0.所以y ＝－1＋1－1＝－1.7．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．答案 (－1，3)解析 依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 坐标为(x ，y )，所以x ＝2cos120°＝－1，y ＝2sin120°＝3，即B (－1，3)．8．已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________． 答案 π3解析 设扇形半径为r ，弧长为l ，则⎩⎨⎧ l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝π3，r ＝2. 9．设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是第________象限角． 答案 二解析 由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角， ∵⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2， ∴cos θ2≤0， 综上知θ2为第二象限角． 10．在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围为________．答案 (π4，5π4) 解析 如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，sin π4＝cos π4＝22，sin 5π4＝cos 5π4＝－22.根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x ∈(π4，5π4)．11．一个扇形OAB 的面积是1cm 2，它的周长是4cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB .解 设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2. ∴圆心角α＝l r＝2(rad)． 如图，过O 作OH ⊥AB 于H ，则∠AOH ＝1rad.∴AH ＝1·sin1＝sin1(cm)，∴AB ＝2sin1(cm)．∴圆心角的弧度数为2rad ，弦长AB 为2sin1cm.12．已知角α终边上一点P ，P 到x 轴的距离与到y 轴的距离之比为3∶4，且sin α<0，求cos α＋2tan α的值．解 设P (x ，y )，则根据题意，可得|y ||x |＝34. 又∵sin α<0，∴α的终边只可能在第三、第四象限．①若点P 位于第三象限，可设P (－4k ，－3k )(k >0)，则r ＝x 2＋y 2＝5k ，从而cos α＝x r ＝－45，tan α＝y x ＝34， ∴cos α＋2tan α＝710. ②若点P 位于第四象限，可设P (4k ，－3k )(k >0)，则r ＝x 2＋y 2＝5k ，从而cos α＝x r ＝45，tan α＝y x ＝－34， ∴cos α＋2tan α＝－710. 综上所述，若点P 位于第三象限，则cos α＋2tan α＝710； 若点P 位于第四象限，则cos α＋2tan α＝－710. 13.已知sin α<0，tan α>0.(1)求角α的集合；(2)求α2终边所在的象限； (3)试判断tan α2sin α2cos α2的符号． 解 (1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上； 由tan α>0，知α在第一、三象限，故角α在第三象限， 其集合为{α|2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z }． (2)由2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z ， 得k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z ， 故α2终边在第二、四象限． (3)当α2在第二象限时，tan α2<0， sin α2>0，cos α2<0， 所以tan α2sin α2cos α2取正号； 当α2在第四象限时，tan α2<0， sin α2<0，cos α2>0， 所以tan α2sin α2cos α2也取正号． 因此，tan α2sin α2cos α2取正号．。
2018版高考数学浙江专用文理通用大一轮复习课件：第四
所以 BC＝ 3.
答案 B
5.(必修5P10B2改编)在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角
形的形状为________.
解析 由正弦定理，得 sin Acos A＝sin Bcos B，
即 sin 2A＝sin 2B，所以 2A＝2B 或 2A＝π－2B， π 即 A＝B 或 A＋B＝2， 所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.
1 1 1 abc 1 2.S△ABC＝ absin C＝ bcsin A＝ acsin B＝ ＝ (a＋b＋c)· r( r 是 2 2 2 4R 2 三角形内切圆的半径)，并可由此计算 R，r.
3.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 解的 个数
a＝bsin 一解
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元 素.( )
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2
＝0时，△ABC为直角三角形；当 b2＋c2－a2<0时，△ABC 为钝角三角形.( )
(5) 在 三 角 形 中 ， 已 知 两 边 和 一 角 就 能 求 三 角 形 的 面 积.( )
答案
3π 4
5
考点一
利用正、余弦定理解三角形
【例 1】 (1)在△ABC 中，已知 a＝2，b＝ 6，A＝45°，则满足 条件的三角形有( A.1 个 C.0 个 ) B.2 个 D.无法确定
(2)在△ABC 中，已知 sin A∶sin B＝ 2∶1，c2＝b2＋ 2bc，则 三内角 A，B，C 的度数依次是________.
答案 等腰三角形或直角三角形
1 6.(2017· 绍兴调研)已知钝角△ABC 的面积为2， AB＝1， BC＝ 2， 则角 B＝________，AC＝________.
2018版高考数学(浙江专用文理通用)大一轮复习讲义：第四章三角函数、解三角形第7讲含答案
基础巩固题组（建议用时：40分钟）一、选择题1.在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为( ）A.错误!kmB.错误!kmC.错误!kmD.2 km解析如图，在△ABC中,由已知可得∠ACB＝45°，∴AC＝错误!，∴AC＝2错误!×错误!＝错误!（km）.sin 60°答案A2。
一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B,C两点间的距离是( ）A。
10错误!海里 B.10错误!海里C.20错误!海里D。
20错误!海里解析如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得错误!＝错误!,解得BC＝10错误!(海里).答案A3。
（2017·杭州调研)如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与B的距离为( ）A。
a km B.错误!a kmC.错误!a km D。
2a km解析由题图可知，∠ACB＝120°，由余弦定理,得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝a2＋a2－2·a·a·错误!＝3a2，解得AB ＝错误!a（km)。
答案B4。
如图，一条河的两岸平行,河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B。
已知AB＝1 km，水的流速为2 km/h,若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为( )A.8 km/h B。
2018版高考数学(浙江专用文理通用)大一轮复习讲义：第四章三角函数、解三角形第2讲含答案
基础巩固题组(建议用时：30分钟）一、选择题1.(2017·杭州模拟)已知α是第四象限角，sin α＝－错误!，则tan α＝（）A。
－错误! B.错误! C.－错误! D.错误!解析因为α是第四象限角,sin α＝－错误!，所以cos α＝1－sin2α＝5 13 ,故tan α＝sin αcos α＝－错误!.答案C2。
已知tan α＝错误!，且α∈错误!，则sin α＝（）A。
－55B。
错误! C.错误! D.－错误!解析∵tan α＝错误!＞0，且α∈错误!,∴sin α＜0，∴sin2α＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!,∴sin α＝－5 5。
答案A3。
错误!＝( )A。
sin 2－cos 2 B.sin 2＋cos 2C。
±（sin 2－cos 2) D.cos 2－sin 2解析错误!＝错误!＝错误!＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2。
答案A4.(2017·绍兴质检）向量a＝错误!，b＝(cos α，1），且a∥b，则cos错误!＝（)A.－错误!B。
错误!C。
－错误!D。
－错误!解析∵a＝错误!,b＝(cos α,1)，且a∥b,∴错误!×1－tan αcos α＝0，∴sin α＝错误!,∴cos错误!＝－sin α＝－错误!.答案A5.(2016·广州二测）cos错误!＝错误!，则sin错误!＝（)A.错误!B。
错误!C。
－错误!D。
－错误!解析sin错误!＝sin错误!＝cos错误!＝错误!。
答案A6.(2017·孝感模拟)已知tan α＝3，则错误!的值是( ）A.12 B 。
2 C 。
－错误! D.－2解析 原式＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝2。
答案 B7。
已知sin α＝错误!，则sin 4α－cos 4α的值为（ )A.－错误!B.－错误! C 。
错误! D 。
错误!解析 sin 4α－cos 4α＝sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－1＝错误!－1＝－错误!。
浙江版2018年高考数学一轮复习专题4.4三角函数的图象与性质讲
第04节三角函数的图象与性质【考纲解读】考点考纲内容5年统计分析预测三角函数的图象和性质理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质，了解三角函数的周期性.2013浙江文3；2015浙江文11，理11；2016浙江文3，理5；2017浙江18.1.“五点法”作图；2,.三角函数的性质.3.备考重点：(1) 掌握正弦、余弦、正切函数的图象；(2) 掌握三角函数的周期性、单调性、对称性以及最值.【知识清单】1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质（1）正弦函数siny x=,余弦函数cosy x=,正切函数tany x=的图象与性质（2）（五点法），先列表，令0,,,,222x ωϕππ+=，求出对应的五个x 的值和五个y 值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到()sin y A x h ωϕ=++在一个周期的图像，最后把这个周期的图像以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数()sin y A x h ωϕ=++的图像. 对点练习：【2017课标3，理6】设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f(x)的一个周期为−2πB ．y=f(x)的图像关于直线x=83π对称 C ．f(x+π)的一个零点为x=6π D ．f(x)在(2π,π)单调递减 【答案】D 【解析】2．三角函数的定义域与值域（1）定义域：sin y x =,cos y x =的定义域为R ,tan y x =的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭. （2）值域：sin y x =,cos y x =的值域为[]1,1-,tan y x =的值域为R . （3）最值：sin y x =：当()22x k k Z ππ=+∈时，max 1y =；当()22x k k Z ππ=-∈时，min 1y =-．cos y x =：当()2x k k Z π=∈时，max 1y =；当()2x k k Z ππ=+∈时，min 1y =-． tan y x =：既无最大值，也无最小值对点练习： 函数2cos 1y x =+的定义域是（ ）A. ()2,233k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B. ()22,233k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C. ()2,266k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ D. ()222,233k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【答案】D故选D.3.三角函数的单调性 （1）三角函数的单调区间：x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈， 递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈， 递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈， x y tan =的递增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22ππππk k ，)(Z k ∈，（2）复合函数的单调性设()y f u =，()[][],,,,u g x x a b u m n =∈∈都是单调函数，则()y f g x =⎡⎤⎣⎦在[],a b 上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数增减性相反，复合函数为减函数，如下表()y f u =()u g x =()y f g x =⎡⎤⎣⎦增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减增对点练习：【2017浙江温州中学10月模拟】已知函数()sin 3(0)f x x x ωωω=>的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于2π，若将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位得到函数()y g x =的图象，则()y g x =是减函数的区间为（ ）A.(,)43ππB.(,)44ππ-C.(0,)3πD.(,0)3π-【答案】A4 .三角函数的对称性 （1）对称轴与对称中心：sin y x =的对称轴为2x k ππ=+，对称中心为(,0) k k Z π∈；cos y x =的对称轴为x k π=，对称中心为2(,0)k ππ+k Z ∈；tan y x =对称中心为,02k π⎛⎫⎪⎝⎭k Z ∈. （2）对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.sin )y A x ωϕ=+（的图象有无穷多条对称轴，可由方程()2x k k Z πωϕπ+=+∈解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与x 轴的交点，可由()x k k Z ωϕπ+=∈，解得()k x k Z πϕω-=∈，即其对称中心为(),0k k Z πϕω-⎛⎫∈⎪⎝⎭． （3）相邻两对称轴间的距离为T2，相邻两对称中心间的距离也为T2,函数的对称轴一定经过图象的最高点或最低点． 对点练习：【2017浙江温州中学3月模拟】函数，则函数的最小正周期为____，在内的一条对称轴方程是______.【答案】或中一条，所以或。
2018年高考数学(浙江专用)总复习教师用书：第4章 第1讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数 含解析
第1讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数最新考纲 1.了解任意角的概念和弧度制的概念；2.能进行弧度与角度的互化；3.理解任意角的三角函数【正弦、余弦、正切)的定义.知 识 梳 理1.角的概念的推广【1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.【2)分类⎩⎨⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角Ｗ.按终边位置不同分为象限角和轴线角.【3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }. 2.弧度制的定义和公式【1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. 【2)公式3.任意角的三角函数1.判断正误【在括号内打“√”或“×”) 【1)小于90°的角是锐角.【 ) 【2)锐角是第一象限角，反之亦然.【 )【3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.【 ) 【4)若α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan α＞α＞sin α.【 )【5)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等.【 ) 解析 【1)锐角的取值范围是【0°，90°). 【2)第一象限角不一定是锐角. 【3)顺时针旋转得到的角是负角. 【5)终边相同的角不一定相等.答案 【1)× 【2)× 【3)× 【4)√ 【5)× 2.角－870°的终边所在的象限是【 ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限解析 由－870°＝－3×360°＋210°，知－870°角和210°角的终边相同，在第三象限. 答案 C3.下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是【 ) A.2k π＋45°【k ∈Z ) B.k ·360°＋94π【k ∈Z ) C.k ·360°－315°【k ∈Z )D.k π＋5π4【k ∈Z )解析 与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4【k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有C 正确. 答案 C4.已知角α的终边经过点【－4，3)，则cos α＝【 ) A.45 B.35 C.－35D.－45解析 ∵角α的终边经过点【－4，3)， ∴x ＝－4，y ＝3，r ＝5. ∴cos α＝x r ＝－45，故选D. 答案 D5.【必修4P10A6改编)一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为________弧度. 答案 π36.【2017·绍兴调研)弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________.解析 135°＝135180＝3π4【弧度)，由α＝l r ，得r ＝l α＝3π3π4＝4，S 扇形＝12lr ＝12×4×3π＝6π. 答案 4 6π考点一 角的概念及其集合表示【例1】 【1)若角α是第二象限角，则α2是【 ) A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第三象限角D.第二或第四象限角【2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________. 解析 【1)∵α是第二象限角， ∴π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π＜α2＜π2＋k π，k ∈Z . 当k 为偶数时，α2是第一象限角； 当k 为奇数时，α2是第三象限角.【2)如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0，2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－53π，－23π，π3，43π.答案 【1)C【2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－53π，－23π，π3，43π规律方法 【1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的角.【2)确定kα，αk 【k ∈N *)的终边位置的方法先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出kα或αk 的范围，然后根据k 的可能取值讨论确定kα或αk 的终边所在位置.【训练1】 【1)设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z，那么【 )A.M ＝NB.M ⊆NC.N ⊆MD.M ∩N ＝∅【2)集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围【阴影部分)是【 )解析 【1)法一 由于M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M ⊆N ，故选B.法二 由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝【2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝【k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N ，故选B.【2)当k ＝2n 【n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1【n ∈Z )时，2n π＋5π4≤α≤2n π＋3π2，此时α表示的范围与5π4≤α≤3π2表示的范围一样，故选C. 答案 【1)B 【2)C 考点二 弧度制及其应用【例2】 已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l . 【1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；【2)已知扇形的周长为10 cm ，面积是4 cm 2，求扇形的圆心角；【3)若扇形周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解 【1)α＝60°＝π3 rad ，∴l ＝α·R ＝π3×10＝10π3【cm). 【2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋Rα＝10，12α·R 2＝4，解得⎩⎨⎧R ＝1，α＝8【舍去)，⎩⎪⎨⎪⎧R ＝4，α＝12. 故扇形圆心角为12. 【3)由已知得，l ＋2R ＝20.所以S ＝12lR ＝12【20－2R )R ＝10R －R 2＝－【R －5)2＋25，所以当R ＝5时，S 取得最大值25， 此时l ＝10，α＝2.规律方法 应用弧度制解决问题的方法【1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.【2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决.【3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形. 【训练2】 已知一扇形的圆心角为α 【α>0)，所在圆的半径为R . 【1)若α＝90°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积； 【2)若扇形的周长是一定值C 【C >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 解 【1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓，则 α＝90°＝π2，R ＝10，l ＝π2×10＝5π【cm)， S 弓＝S 扇－S △＝12×5π×10－12×102＝25π－50【cm 2). 【2)扇形周长C ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ， ∴R ＝C 2＋α，∴S 扇＝12α·R 2＝12α·⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋α2＝C 2α2·14＋4α＋α2＝C 22·14＋α＋4α≤C 216.当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值C 216. 考点三 三角函数的概念【例3】 【1)【2017·东阳一中月考)已知角α的终边与单位圆x 2＋y 2＝1交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y 0，则cos 2α等于【 ) A.－12B.12C.－32D.1【2)【2016·兰州模拟)已知角α的终边过点P 【－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为【 ) A.－12B.12C.－32D.32【3)若角θ同时满足sin θ＜0且tan θ＜0，则角θ的终边一定落在【 ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限解析 【1)根据题意可知，cos α＝12，∴cos 2α＝2cos 2α－1＝2×14－1＝－12，故选A.【2)∵r ＝64m 2＋9， ∴cos α＝－8m 64m 2＋9＝－45， ∴m >0，∴4m 264m 2＋9＝125，即m ＝12，故选B.【3)由sin θ＜0知θ的终边在第三、四象限或y 轴负半轴上，由tan θ＜0知θ的终边在第二、四象限，故选D.答案 【1)A 【2)B 【3)D规律方法 【1)利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x ，纵坐标y ，该点到原点的距离r . 【2)根据三角函数定义中x ，y 的符号来确定各象限内三角函数的符号，理解并记忆：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”.【3)利用三角函数线解三角不等式时要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性正确写出角的范围.【训练3】 【1)【2017·青岛模拟)已知角α的终边与单位圆的交点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y ，则sin α·tan α＝【 ) A.－33B.±33C.－32D.±32【2)满足cos α≤－12的角α的集合为________. 解析 【1)由|OP |2＝14＋y 2＝1， 得y 2＝34，y ＝±32.当y ＝32时，sin α＝32，tan α＝－3， 此时，sin α·tan α＝－32.当y ＝－32时，sin α＝－32，tan α＝3， 此时，sin α·tan α＝－32.【2)作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则OC 与OD 围成的区域【图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z .答案 【1)C【2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z[思想方法]1.在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点.|OP|＝r一定是正值.2.三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.3.在解决简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧.[易错防范]1.注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角.第一类是象限角，第二、第三类是区间角.2.角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.3.已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况.基础巩固题组【建议用时：30分钟)一、选择题1.给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角.其中正确的命题有【)A.1个B.2个C.3个D.4个解析－3π4是第三象限角，故①错误.4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，②正确.－400°＝－360°－40°，从而③正确.－315°＝－360°＋45°，从而④正确.答案 C2.已知点P【tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边所在的象限选【)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析 由题意知tan α＜0，cos α＜0，∴α是第二象限角. 答案 B3.【2017·湖州模拟)已知角θ的终边经过点P 【4，m )，且sin θ＝35，则m 等于【 ) A.－3 B.3C.163D.±3解析 sin θ＝m 16＋m 2＝35，解得m ＝3.答案 B4.点P 从【1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为【 ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 解析 由三角函数定义可知Q 点的坐标【x ，y )满足x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32. 答案 A5.设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是【 )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角解析 由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角，∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cos θ2≤0，综上知θ2为第二象限角.答案 B6.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈【0，π)的弧度数为【 )A.π3B.π2C. 3D.2解析 设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝α·r ，∴α＝ 3. 答案 C7.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角.其中正确命题的个数是【 )A.1B.2C.3D.4解析 举反例：第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin π6＝sin 5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错.综上可知只有③正确. 答案 A8.【2016·合肥模拟)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝【 )A.－45B.－35C.35D.45解析 由题意知，tan θ＝2，即sin θ＝2cos θ，将其代入sin 2θ＋cos 2θ＝1中可得cos 2θ＝15，故cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35.答案 B二、填空题9.已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内【不包括边界)，则角α用集合可表示为________.解析 在[0，2π)内，终边落在阴影部分角的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，56π， 所以，所求角的集合为⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋56π【k ∈Z ).答案 ⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋56π【k ∈Z ) 10.设P 是角α终边上一点，且|OP |＝1，若点P 关于原点的对称点为Q ，则Q 点的坐标是________.解析 由已知P 【cos α，sin α)，则Q 【－cos α，－sin α).答案 【－cos α，－sin α)11.已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________.解析设扇形半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝π3，r ＝2. 答案 π312.【2017·衡水中学月考)已知角α的终边经过点【3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是________.解析 ∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上.∴⎩⎨⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3. 答案 【－2，3]13.【2017·舟山调研)若θ是第二象限角，则sin 【cos θ)的符号为________，cos【sin θ)的符号为________.解析 ∵θ是第二象限角，∴－1<cos θ<0，0<sin θ<1，∴sin 【cos θ)<0，cos【sin θ)>0.答案 负 正能力提升题组【建议用时：15分钟)14.已知圆O ：x 2＋y 2＝4与y 轴正半轴的交点为M ，点M 沿圆O 顺时针运动π2弧长到达点N ，以ON 为终边的角记为α，则tan α＝【 )A.－1B.1C.－2D.2解析 圆的半径为2，π2的弧长对应的圆心角为π4，故以ON 为终边的角为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋π4，k ∈Z ，故tan α＝1.答案 B15.【2016·郑州一模)设α是第二象限角，P 【x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α等于【 )A.43B.34C.－34D.－43解析 因为α是第二象限角，所以cos α＝15x <0，即x <0.又cos α＝15x ＝x x 2＋16，解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－43. 答案 D16.函数y ＝2sin x －1的定义域为________.解析 ∵2sin x －1≥0，∴sin x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围【如图阴影所示).∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6【k ∈Z ) 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6【k ∈Z ) 17.【2017·宁波质测)某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将A ，B 两点的距离d 【单位：cm)表示成t 【单位：s)的函数，则d ＝________，【其中t ∈[0，60])；d 的最大值为________cm. 解析 根据题意，得∠AOB ＝t 60×2π＝πt 30，故d ＝2×5sin ∠AOB 2＝10sin πt 60【t ∈[0，60]).∵t ∈[0，60]，∴πt 60∈[0，π]，当t ＝30时，d 最大为10 cm.答案 10sin πt 60 1018.如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在【0，1)，此时圆上一点P 的位置在【0，0)，圆在x 轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于【2，1)时，OP →的坐标为________.解析 如图，作CQ ∥x 轴，PQ ⊥CQ, Q 为垂足.根据题意得劣弧DP ︵＝2，故∠DCP ＝2，则在△PCQ 中，∠PCQ ＝2－π2，|CQ |＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＝sin 2，|PQ |＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2－π2＝－cos 2， 所以P 点的横坐标为2－|CQ |＝2－sin 2，P 点的纵坐标为1＋|PQ |＝1－cos 2，所以P 点的坐标为【2－sin 2，1－cos 2)，故OP→＝【2－sin 2，1－cos 2). 答案 【2－sin 2，1－cos 2)。
浙江专用2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.4 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及应用教师用书1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示：3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象的步骤如下：【知识拓展】1．由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z 确定；对称中心由ωx ＋φ＝k π，k ∈Z 确定其横坐标．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象是由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象向右平移π2个单位得到的．( √ )(2)将函数y ＝sin ωx 的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y ＝sin(ωx －φ)的图象．( × )(3)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．( × )(4)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝2πω.( × )(5)把y ＝sin x 的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin 12x .( × )(6)若函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，则函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( √ )1．(教材改编)y ＝2sin(12x －π3)的振幅，频率和初相分别为( )A ．2,4π，π3B ．2，14π，π3C ．2，14π，－π3D ．2,4π，－π3答案 C解析 由题意知A ＝2，f ＝1T ＝ω2π＝14π，初相为－π3.2．(2016·杭州模拟)将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( ) A ．y ＝sin(2x －π10)B ．y ＝sin(2x －π5)C ．y ＝sin(12x －π10)D ．y ＝sin(12x －π20)答案 C解析 y ＝sin x ＝――――――――――→右移10π10个单位y ＝sin(x －π10)――――――→横坐标伸长到原来的2倍y ＝sin(12x －π10)．3．(2016·宁波高三第二次适应性考试)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的图象如图所示，则ω＝________，φ＝________.答案 2π6解析 根据图象知T ＝π，∴ω＝2，又f (x )图象过点(0,1)，且点(0,1)位于函数图象的递增部分， ∴由2sin φ＝1得φ＝π6＋2k π(k ∈Z )，又∵|φ|<π2，∴φ＝π6.4．若将函数f (x )＝sin(2x ＋π4)的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是________． 答案3π8解析 ∵函数f (x )＝sin(2x ＋π4)的图象向右平移φ个单位得到g (x )＝sin[2(x －φ)＋π4]＝sin(2x ＋π4－2φ)，又∵g (x )是偶函数，∴π4－2φ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝－k π2－π8(k ∈Z )． 当k ＝－1时，φ取得最小正值3π8.题型一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换例1 (2015·湖北)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1) 请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2) 将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值．解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， 得g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6. 因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z . 由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.引申探究在本例(2)中，将f (x )图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到g (x )的图象，求g (x )的解析式，并写出g (x )图象的对称中心． 解 由(1)知f (x )＝5sin(2x －π6)，因此g (x )＝5sin[2(x ＋π6)－π6]＝5sin(2x ＋π6)．因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z .令2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z .即y ＝g (x )图象的对称中心为(k π2－π12，0)，k ∈Z . 思维升华 (1)五点法作简图：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象变换：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．(2017·金华十校高三上学期调研)将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ个单位长度后所得图象的解析式为y ＝sin(2x －π6)，则φ＝________(0<φ<π2)，再将函数y ＝sin(2x －π6)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后得到的图象的解析式为________． 答案π12 y ＝sin(x －π6) 解析 将y ＝sin 2x 中的x 替换为x －π12后得到y ＝sin(2x －π6)，故向右平移π12个单位长度；将y ＝sin(2x －π6)图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，则将x 替换为x 2得到y ＝sin(x －π6)．题型二 由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π2，ω>0)的图象的一部分如图所示．(1)求f (x )的表达式； (2)试写出f (x )的对称轴方程．解 (1)观察图象可知A ＝2且点(0,1)在图象上，∴1＝2sin(ω·0＋φ)，即sin φ＝12.∵|φ|<π2，∴φ＝π6，又∵11π12是函数的一个零点且是图象递增穿过x 轴形成的零点，∴11π12ω＋π6＝2π，∴ω＝2. ∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)设2x ＋π6＝B ，则函数y ＝2sin B 的对称轴方程为B ＝π2＋k π，k ∈Z ，即2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，解得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )， ∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)的对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．思维升华 求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)解析式的步骤 (1)求A ，B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m2，B ＝M ＋m2.(2)求ω，确定函数的周期T ，则ω＝2πT.(3)求φ，常用方法如下：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”为ωx ＋φ＝2π.(2016·太原模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则y ＝f (x ＋π6)取得最小值时x 的集合为( )A ．{x |x ＝k π－π6，k ∈Z }B ．{x |x ＝k π－π3，k ∈Z }C ．{x |x ＝2k π－π6，k ∈Z }D ．{x |x ＝2k π－π3，k ∈Z }答案 B解析 根据所给图象，周期T ＝4×(7π12－π3)＝π，故π＝2πω，∴ω＝2，因此f (x )＝sin(2x＋φ)，另外图象经过点(7π12，0)，代入有2×7π12＋φ＝k π(k ∈Z )，再由|φ|<π2，得φ＝－π6，∴f (x ＋π6)＝sin(2x ＋π6)，当2x ＋π6＝－π2＋2k π (k ∈Z )，即x ＝－π3＋k π(k ∈Z )时，y ＝f (x ＋π6)取得最小值．题型三 三角函数图象性质的应用 命题点1 三角函数模型的应用例 3 (2015·陕西)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10答案 C解析 由题干图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5. ∴y max ＝k ＋3＝8.命题点2 函数零点(方程根)问题例4 已知关于x 的方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0在⎝⎛⎭⎪⎫π2，π上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是________． 答案 (－2，－1)解析 方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0可转化为m ＝1－2sin 2x ＋3sin 2x＝cos 2x ＋3sin 2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. 设2x ＋π6＝t ，则t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫76π，136π，∴题目条件可转化为m 2＝sin t ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫76π，136π有两个不同的实数根．∴y ＝m 2和y ＝sin t ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫76π，136π的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，m 2的范围为(－1，－12)，故m 的取值范围是(－2，－1)． 引申探究例4中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m 的取值范围是__________． 答案 [－2,1)解析 由例4知，m 2的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12，∴－2≤m <1，∴m 的取值范围是[－2,1)． 命题点3 图象与性质的综合应用例5 已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ) (ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值；(2)当x ∈[0，π2]时，求函数y ＝f (x )的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又因为f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，由－π2≤φ<π2，得k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.综上，ω＝2，φ＝－π6.(2)由(1)知f (x )＝3sin(2x －π6)， 当x ∈[0，π2]时，－π6≤2x －π6≤5π6，∴当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )最大值＝3；当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )最小值＝－32.思维升华 (1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题． (2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．已知函数f (x )＝cos(3x ＋π3)，其中x ∈[π6，m ]，若f (x )的值域是[－1，－32]，则m 的取值范围是__________． 答案 [2π9，5π18]解析 画出函数的图象．由x ∈[π6，m ]，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3，因为f (π6)＝cos 5π6＝－32且f (2π9)＝cos π＝－1，要使f (x )的值域是[－1，－32]，只要2π9≤m ≤5π18，即m ∈[2π9，5π18]．4．三角函数图象与性质的综合问题典例 (14分)已知函数f (x )＝23sin(x 2＋π4)·cos(x 2＋π4)－sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．思维点拨 (1)先将f (x )化成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再求周期； (2)将f (x )解析式中的x 换成x －π6，得g (x )，然后利用整体思想求最值．规范解答解 (1)f (x )＝23sin(x 2＋π4)·cos(x 2＋π4)－sin(x ＋π)＝3cos x ＋sin x [4分]＝2sin(x ＋π3)，于是T ＝2π1＝2π.[6分](2)由已知得g (x )＝f (x －π6)＝2sin(x ＋π6)，[8分]∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈[π6，7π6]，∴sin(x ＋π6)∈[－12，1]，[10分]∴g (x )＝2sin(x ＋π6)∈[－1,2]．[12分]故函数g (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.[14分]解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤 第一步：(化简)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式； 第二步：(用辅助角公式)构造f (x )＝a 2＋b 2·(sin x ·a a 2＋b2＋cos x ·b a 2＋b 2)；第三步：(求性质)利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质； 第四步：(反思)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范.1．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的部分图象可能是( )答案 D解析 ∵y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，∴当2x －π3＝0， 即x ＝π6时，函数取得最大值1，结合图象看，可使函数在x ＝π6时取得最大值的只有D.2．(2016·杭州市学军中学高三5月模拟考试)已知函数f (x )＝cos(ωx ＋π4)(ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( ) A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π8个单位长度D ．向右平移π8个单位长度答案 D解析 由f (x )的周期为π得ω＝2，f (x )＝cos(2x ＋π4)向右平移π8个单位长度后得到g (x )＝cos 2x 的图象．3．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为( )A.π2B.2π3C ．πD ．2π答案 C解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π6)(ω>0)．由2sin(ωx ＋π6)＝1，得sin(ωx ＋π6)＝12，∴ωx ＋π6＝2k π＋π6或ωx ＋π6＝2k π＋56π(k ∈Z )．令k ＝0，得ωx 1＋π6＝π6，ωx 2＋π6＝56π，∴x 1＝0，x 2＝2π3ω.由|x 1－x 2|＝π3，得2π3ω＝π3，∴ω＝2.故f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.4．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (x ∈R ，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，如果x 1，x 2∈(－π6，π3)且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)等于( )A.12B.32C.22D ．1答案 B解析 观察图象可知，A ＝1，T ＝π， ∴ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋φ)．将(－π6，0)代入上式得sin(－π3＋φ)＝0，由|φ|<π2，得φ＝π3，则f (x )＝sin(2x ＋π3)．函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1，x 2∈(－π6，π3)，且f (x 1)＝f (x 2)，∴x 1＋x 22＝π12，6∴f (x 1＋x 2)＝sin(2×π6＋π3)＝32.故选B.5．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象向左平移π6个单位后所得函数图象的解析式是奇函数，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－32B ．－12C.12D.32答案 A解析 由函数f (x )的图象向左平移π6个单位得g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π3的图象， 因为是奇函数，所以φ＋π3＝k π，k ∈Z ，又因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，所以当x ＝0时，f (x )取得最小值为－32. 6．(2016·绍兴模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期是π，若将f (x )的图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f (x )的图象( )A ．关于直线x ＝π12对称B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称 D ．关于点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0对称答案 B解析 由题意知2πω＝π，∴ω＝2；又由f (x )的图象向右平移π3个单位后得到y ＝sin[2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋φ]＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－2π3，此时关于原点对称，∴－2π3＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝2π3＋k π，k ∈Z ，2∴φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当x ＝π12时，2x －π3＝－π6，∴A、C 错误； 当x ＝5π12时，2x －π3＝π2，∴B 正确，D 错误．7．(2016·全国丙卷)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移________个单位长度得到． 答案2π3解析 y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，因此至少向右平移2π3个单位长度得到．8.(2016·杭州模拟)设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f (16)的值为________．答案34解析 由题意知，点M 到x 轴的距离是12，根据题意可设f (x )＝12cos ωx ，又由题图知12·2πω＝1，所以ω＝π，所以f (x )＝12cos πx ，故f (16)＝12cos π6＝34.9．(2015·天津)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________． 答案π2解析 f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4， 因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以ω2＝π4＋2k π，k ∈Z .又ω－(－ω)≤2πω2，即ω2≤π2，即ω2＝π4，所以ω＝π2.10．(2016·邢台模拟)先把函数f (x )＝sin(x －π6)的图象上各点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再把新得到的图象向右平移π3个单位，得到y ＝g (x )的图象．当x ∈(π4，3π4)时，函数g (x )的值域为________． 答案 (－32，1] 解析 依题意得g (x )＝sin[2(x －π3)－π6]＝sin(2x －5π6)，当x ∈(π4，3π4)时，2x －5π6∈(－π3，2π3)，此时sin(2x －5π6)∈(－32，1]，故g (x )的值域是(－32，1]． 11．(2016·余姚模拟)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象过点P (π12，0)，图象上与点P 最近的一个最高点是Q (π3，5)．(1)求函数的解析式； (2)求函数f (x )的递增区间．解 (1)依题意得A ＝5，周期T ＝4(π3－π12)＝π，∴ω＝2ππ＝2.故y ＝5sin(2x ＋φ)，又图象过点P (π12，0)，∴5sin(π6＋φ)＝0，由已知可得π6＋φ＝0，∴φ＝－π6，∴y ＝5sin(2x －π6)．(2)由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，故函数f (x )的递增区间为 [k π－π6，k π＋π3] (k ∈Z )．12．(2016·浙江联考)已知函数f (x )＝3cos 2x ＋sin x ·cos x －32. (1)求函数f (x )的最小正周期T 和函数f (x )的单调递增区间； (2)若函数f (x )的对称中心为(x,0)，求x ∈[0,2π)的所有x 的和． 解 (1)由题意得f (x )＝sin(2x ＋π3)，∴T ＝2π2＝π，令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z .可得函数f (x )的单调递增区间为[－5π12＋k π，π12＋k π]，k ∈Z .(2)令2x ＋π3＝k π，k ∈Z ，可得x ＝－π6＋k π2，k ∈Z .∵x ∈[0,2π)，∴k 可取1,2,3,4. ∴所有满足条件的x 的和为2π6＋5π6＋8π6＋11π6＝13π3. *13. (2016·余姚模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示．(1)求f (x )的解析式；(2)设g (x )＝[f (x －π12)]2，求函数g (x )在x ∈[－π6，π3]上的最大值，并确定此时x 的值．解 (1)由题图知A ＝2，T 4＝π3，则2πω＝4×π3，∴ω＝32. 又f (－π6)＝2sin[32×(－π6)＋φ]＝2sin(－π4＋φ)＝0，∴sin(φ－π4)＝0，∵0<φ<π2，∴－π4<φ－π4<π4，∴φ－π4＝0，即φ＝π4，∴f (x )的解析式为f (x )＝2sin(32x ＋π4)．(2)由(1)可得f (x －π12)＝2sin[32(x －π12)＋π4]＝2sin(32x ＋π8)，∴g (x )＝[f (x －π12)]2＝4×1－cos 3x ＋π42＝2－2cos(3x ＋π4)，∵x ∈[－π6，π3]，∴－π4≤3x ＋π4≤5π4，∴当3x ＋π4＝π，即x ＝π4时，g (x )max ＝4.。
2018版高考数学(浙江专用文理通用)大一轮复习讲义：第四章三角函数、解三角形第3讲含答案
基础巩固题组（建议用时：40分钟)一、选择题1.在函数①y＝cos｜2x|,②y＝|cos x｜，③y＝cos错误!，④y＝tan错误!中，最小正周期为π的所有函数为( )A.①②③B。
①③④C。
②④D。
①③解析①y＝cos｜2x｜＝cos 2x，最小正周期为π；②由图象知y＝|cos x|的最小正周期为π；③y＝cos错误!的最小正周期T＝错误!＝π；④y＝tan错误!的最小正周期T＝错误!,因此选A。
答案A2。
(2017·温州模拟)函数f(x)＝tan错误!的单调递增区间是（) A。
错误!（k∈Z)B。
错误!（k∈Z)C.错误!（k∈Z)D.错误!(k∈Z）解析当kπ－π2＜2x－错误!＜kπ＋错误!(k∈Z）时，函数y＝tan错误!单调递增,解得错误!－错误!＜x＜错误!＋错误!（k∈Z）,所以函数y＝tan错误!的单调递增区间是错误!（k ∈Z )，故选B.答案 B3。
(2016·成都诊断)函数y ＝cos 2x －2sin x 的最大值与最小值分别为（ )A.3,－1 B 。
3，－2 C.2，－1 D 。
2,－2解析 y ＝cos 2x －2sin x ＝1－sin 2x －2sin x＝－sin 2x －2sin x ＋1,令t ＝sin x ，则t ∈，y ＝－t 2－2t ＋1＝－（t ＋1）2＋2，所以y max ＝2，y min ＝－2.答案 D4.(2016·银川模拟）已知函数f （x )＝sin 错误!（x ∈R ),下面结论错误的是( ）A 。
函数f (x )的最小正周期为πB.函数f （x )是偶函数C 。
函数f （x ）的图象关于直线x ＝π4对称 D 。
函数f （x )在区间错误!上是增函数解析 f （x ）＝sin 错误!＝－cos 2x ，故其最小正周期为π，故A 正确；易知函数f （x ）是偶函数，B 正确；由函数f (x ）＝－cos 2x 的图象可知，函数f（x）的图象不关于直线x＝错误!对称,C错误;由函数f （x）的图象易知,函数f(x)在错误!上是增函数，D正确.答案C5.（2017·安徽江南十校联考）已知函数f（x)＝sin(ωx＋φ）错误!的最小正周期为4π，且∀x∈R，有f(x)≤f错误!成立，则f(x）图象的一个对称中心坐标是（)A。
2018版高考数学(浙江专用文理通用)大一轮复习讲义：第四章三角函数、解三角形第1讲含答案
基础巩固题组(建议用时:30分钟)一、选择题1.给出下列四个命题：①－错误!是第二象限角；②错误!是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角.其中正确的命题有( )A.1个B.2个C。
3个 D.4个解析－错误!是第三象限角，故①错误.错误!＝π＋错误!，从而错误!是第三象限角，②正确。
－400°＝－360°－40°,从而③正确.－315°＝－360°＋45°，从而④正确.答案C2.已知点P(tan α，cos α）在第三象限，则角α的终边所在的象限选( ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析由题意知tan α＜0,cos α＜0，∴α是第二象限角.答案B3。
（2017·湖州模拟)已知角θ的终边经过点P(4，m），且sin θ＝错误!，则m等于( )A。
－3 B.3 C。
错误! D.±3解析sin θ＝错误!＝错误!，解得m＝3.答案B4.点P从（1，0)出发,沿单位圆逆时针方向运动错误!弧长到达Q点，则Q点的坐标为（）A.错误!B。
错误!C.错误!D.错误!解析由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y）满足x＝cos 错误!＝－错误!,y＝sin 错误!＝错误!.答案A5。
设θ是第三象限角，且错误!＝－cos 错误!，则错误!是( )A.第一象限角B.第二象限角C。
第三象限角D。
第四象限角解析由θ是第三象限角，知错误!为第二或第四象限角，∵错误!＝－cos 错误!，∴cos 错误!≤0，综上知错误!为第二象限角.答案B6。
若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π）的弧度数为( )A.错误!B.错误!C。
错误! D.2解析设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为错误!r，所以错误!r ＝α·r，∴α＝错误!.答案C7.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；⑤若cos θ<0,则θ是第二或第三象限的角。
2018版高考数学浙江专用文理通用大一轮复习讲义：第四
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.(2015·全国Ⅰ卷)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A.－32B.32C.－12D.12解析 sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝12.答案 D2.(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)的值是( ) A.－1B.0C.1D.2解析 原式＝1＋tan 17°＋tan 28°＋tan 17°·tan 28° ＝1＋tan 45°(1－tan 17°·tan 28°)＋tan 17°·tan 28° ＝1＋1＝2. 答案 D3.(2017·西安二检)已知α是第二象限角，且tan α＝－13，则sin 2α＝( )A.－31010B.31010C.－35D.35解析 因为α是第二象限角，且tan α＝－13，所以sin α＝1010，cos α＝－31010，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×1010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010＝－35，故选C. 答案 C4.(2016·河南六市联考)设a ＝12cos 2°－32sin 2°，b ＝2tan 14°1－tan 214°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A.a ＜c ＜bB.a ＜b ＜cC.b ＜c ＜aD.c ＜a ＜b解析 由题意可知，a ＝sin 28°，b ＝tan 28°，c ＝sin 25°， ∴c ＜a ＜b . 答案 D5.(2016·肇庆三模)已知sin α＝35且α为第二象限角，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝( )A.－195B.－519C.－3117D.－1731解析 由题意得cos α＝－45，则sin 2α＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝725.∴tan 2α＝－247，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝tan 2α＋tan π41－tan 2αtan π4＝－247＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－247×1＝－1731.答案 D 二、填空题6.(2016·石家庄模拟)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6的值是________.解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＋π2＝ cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3－1＝2×19－1＝－79.答案 －797.(2017·杭州月考)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则sin θ＝________；tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.解析 由题意，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin θ·sin π4＋cos θcos π4＝35，cos θcos π4－sin θsin π4＝45，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－152，cos θ＝752，∴tan θ＝－17，tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－tan π41＋tan θtan π4＝－17－11－17×1＝－43.答案 －210 －438.已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝210，则tan 2θ＝________.解析 sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝210，得sin θ－cos θ＝15，①θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，①平方得2sin θcos θ＝2425，可求得sin θ＋cos θ＝75，∴sin θ＝45，cos θ＝35，∴tan θ＝43，tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－247. 答案 －247三、解答题9.(2017·镇海中学模拟)已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(2，－1). (1)若a ⊥b ，求sin θ－cos θsin θ＋cos θ的值；(2)若|a －b |＝2，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4的值.解 (1)由a ⊥b 可知，a ·b ＝2cos θ－sin θ＝0， 所以sin θ＝2cos θ，所以sin θ－cos θsin θ＋cos θ＝2cos θ－cos θ2cos θ＋cos θ＝13.(2)由a －b ＝(cos θ－2，sin θ＋1)可得， |a －b |＝（cos θ－2）2＋（sin θ＋1）2＝ 6－4cos θ＋2sin θ＝2， 即1－2cos θ＋sin θ＝0.又cos 2θ＋sin 2θ＝1，且θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin θ＝35，cos θ＝45.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22(sin θ＋cos θ)＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫35＋45＝7210. 10.设cos α＝－55，tan β＝13，π<α<3π2，0<β<π2，求α－β的值. 解 法一 由cos α＝－55，π<α<3π2，得sin α＝－255，tan α＝2，又tan β＝13， 于是tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝2－131＋2×13＝1. 又由π<α<3π2，0<β<π2可得－π2<－β<0，π2<α－β<3π2，因此，α－β＝5π4.法二 由cos α＝－55，π<α<3π2得sin α＝－255. 由tan β＝13，0<β<π2得sin β＝110，cos β＝310.所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－255⎝ ⎛⎭⎪⎫310－⎝ ⎛⎭⎪⎫－55⎝ ⎛⎭⎪⎫110＝－22. 又由π<α<3π2，0<β<π2可得－π2<－β<0，π2<α－β<3π2，因此，α－β＝5π4. 能力提升题组 (建议用时：25分钟)11.(2016·云南统一检测)cos π9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π9＝( ) A.－18B.－116C.116D.18解析 cos π9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－239π＝cos 20°·cos 40°·cos 100°＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°＝－sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°sin 20°＝－12sin 40°·cos 40°·cos 80°sin 20°＝－14sin 80°·cos 80°sin 20°＝－18sin 160°sin 20°＝－18sin 20°sin 20°＝－18.答案 A12.(2017·武汉调研)设α，β∈，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为( )A. B. C.D.解析 ∵sin αcos β－cos αsin β＝1，∴sin(α－β)＝1， ∵α，β∈，∴α－β＝π2，由⎩⎪⎨⎪⎧0≤α≤π，0≤β＝α－π2≤π⇒π2≤α≤π， ∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－α＋π2＋sin(α－2α＋π)＝cos α＋sinα＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，∵π2≤α≤π，∴3π4≤α＋π4≤54π，∴－1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4≤1，即所求的取值范围是，故选C. 答案 C13.已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝________.解析 ∵cos 4α－sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝23，又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α∈(0，π)，∴sin 2α＝1－cos 22α＝53， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝12cos 2α－32sin 2α ＝12×23－32×53＝2－156. 答案2－15614.已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx ，23cos ωx )，设函数f (x )＝a ·b ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5上的取值范围.解 (1)因为f (x )＝a ·b ＋λ＝(cos ωx －sin ωx )(－cos ωx －sin ωx )＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ ＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋λ， 由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴， 可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωπ－π6＝±1，所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z ).又ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56.所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6＋λ.所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝ 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53×π4－π6＋λ＝0，所以λ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53×π4－π6＝－2sin π4＝－2，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6－ 2.由0≤x ≤3π5，有－π6≤53x －π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6≤1，得－1－2≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6－2≤2－ 2.故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5上的取值范围为.15.(2016·西安模拟)如图，现要在一块半径为1 m ，圆心角为π3的扇形白铁片AOB 上剪出一个平行四边形MNPQ ，使点P 在弧AB 上，点Q 在OA 上，点M ，N 在OB 上，设∠BOP ＝θ，平行四边形MNPQ 的面积为S .(1)求S 关于θ的函数关系式. (2)求S 的最大值及相应的θ角.解 (1)分别过P ，Q 作PD ⊥OB 于D ，QE ⊥OB 于E ，则四边形QEDP 为矩形.由扇形半径为1 m ，得PD ＝sin θ，OD ＝cos θ.在Rt △OEQ 中，OE ＝33QE ＝33PD ，MN ＝QP ＝DE ＝OD －OE ＝cos θ－33sin θ，S ＝MN ·PD ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos θ－33sin θ·sin θ＝sin θcos θ－33sin 2θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3.(2)由(1)得S ＝12sin 2θ－36(1－cos 2θ)＝12sin 2θ＋36cos 2θ－36＝33sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π6－36，因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，所以2θ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1.当θ＝π6时，S max ＝36(m 2).。
2018版高考数学(浙江专用文理通用)大一轮复习讲义：第四章三角函数、解三角形第6讲含答案
基础巩固题组(建议用时：40分钟）一、选择题1.（2016·宁波模拟）在△ABC 中,AB ＝错误!,AC ＝1，B ＝30°，△ABC 的面积为错误!，则C ＝( ）A 。
30° B.45° C 。
60° D 。
75°解析 法一 ∵S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin A ＝错误!， 即12×3×1×sin A ＝错误!,∴sin A ＝1，由A ∈(0°，180°)，∴A ＝90°，∴C ＝60°.故选C 。
法二 由正弦定理，得错误!＝错误!，即错误!＝错误!，sin C ＝错误!，又C ∈(0°,180°)，∴C ＝60°或C ＝120°.当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝错误!≠错误!（舍去)。
而当C ＝60°时，A ＝90°，S △ABC ＝错误!，符合条件，故C ＝60°。
故选C.答案 C2。
在△ABC 中，角A ,B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若A ＝错误!，a ＝2,b ＝错误!，则B 等于（ )A 。
错误!B 。
错误! C.错误!或错误! D.错误!解析 ∵A ＝错误!，a ＝2,b ＝错误!，∴由正弦定理asin A ＝错误!可得，sin B ＝错误!sin A ＝错误!×错误!＝错误!。
∵A ＝错误!,∴B ＝错误!.答案 D3.(2017·成都诊断）在△ABC 中，cos 2错误!＝错误!（a ，b ,c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为（ )A.等边三角形B 。
直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形解析 因为cos 2错误!＝错误!，所以2cos 2B 2－1＝错误!－1，所以cos B ＝错误!, 所以错误!＝错误!,所以c 2＝a 2＋b 2.所以△ABC 为直角三角形.答案 B4.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,则“a＞b”是“cos 2A＜cos 2B”的（）A。
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一、选择题
1．若tan α＝2tan π
5，则cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5等于( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．(2016·浙江省名校协作体高三联考)对任意x ，y ∈R ，恒有sin x ＋cos y ＝2sin(x －y
2
＋π4)cos(x ＋y 2－π4)，则sin 7π24cos 13π
24等于( ) A.1＋24 B.1－24
C.
3＋24 D.3－2
4
3．(2016·安徽十校3月联考)已知α为锐角，且7sin α＝2cos 2α，则sin(α＋π
3)等于( )
A.1＋358
B.1＋538
C.1－358
D.1－538
4．在△ABC 中，已知2a cos B ＝c ，sin A sin B (2－cos C )＝sin 2C 2＋1
2，则△ABC 为( )
A ．等边三角形
B ．等腰直角三角形
C ．锐角非等边三角形
D ．钝角三角形
5．(2016·全国乙卷)已知函数f (x )＝sin (ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π
4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫
π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )
A ．11
B ．9
C ．7
D ．5 二、填空题
6．已知扇形的周长为4 cm ，当它的半径为________ cm 和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________ cm 2.
7．(2016·诸暨市高中毕业班教学质量检测)函数f (x )＝sin(2x ＋π3)的周期为________，在(0，π
2]
内的值域为________．
8．若cos α＝17，cos(α＋β)＝－11
14，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则β＝________. 9.
如图，某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A ，B ，C 三地位于同一水平面上，在C 处进行该仪器的垂直弹射，观测点A ，B 两地相距100 m ，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比B 地晚2
17 s ．在A 地测得该仪器至最高点H 时
的仰角为30°，则该仪器的垂直弹射高度CH ＝________ m ．(声音在空气中的传播速度为340 m/s) 三、解答题
10．(2016·浙江稽阳联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3cos B cos C ＋1＝3sin B sin C ＋cos 2A . (1)求角A 的大小；
(2)若a ＝23，求b ＋2c 的最大值．
第25练
1．C 2.B
3．A [由7sin α＝2cos 2α，得7sin α＝2(1－2sin 2α)，即4sin 2α＋7sin α－2＝0， 解得sin α＝－2(舍去)或sin α＝1
4，
又由α为锐角，可得cos α＝
154
， ∴sin(α＋π3)＝12sin α＋3
2cos α＝1＋358，故选A.]
4．B [由正弦定理，得2sin A cos B ＝sin C . 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π， ∴sin C ＝sin(A ＋B )，
∴2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 整理得sin A cos B ＝cos A sin B ， ∴tan A ＝tan B .
又∵A ，B ∈(0，π)，∴A ＝B . ∵sin A sin B (2－cos C )＝sin 2C 2＋1
2
，
∴sin A sin B ⎣⎡⎦⎤2－⎝⎛⎭⎫1－2sin 2C 2＝sin 2C 2＋12
， ∴sin A sin B ⎝⎛⎭⎫1＋2sin 2C 2 ＝1
2⎝
⎛⎫1＋2sin 2C 2， ∴sin A sin B ＝12
.
∵A ＝B ，∴sin A ＝sin B ＝
22
. ∵A ，B ∈(0，π)，∴A ＝B ＝π
4.
∵A ＋B ＋C ＝π，∴C ＝π
2，
∴△ABC 是等腰直角三角形．]
5．B [因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝⎛⎭⎫－π4＝T 4＋kT ，即π2＝
4k ＋14T ＝4k ＋14·2πω，所以ω＝4k ＋1(k ∈N *)，又因为f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T
2
＝
2π
2ω
，即ω≤12，由此得ω的最大值为9，故选B.] 6．1 2 1
解析 设扇形的圆心角为α，半径为r cm ，则2r ＋|α|r ＝4，∴|α|＝4r －2，∴S 扇形＝1
2|α|·r 2＝2r
－r 2＝－(r －1)2＋1，∴当r ＝1时，(S 扇形)max ＝1，此时|α|＝2. 7．π [－
3
2
，1] 解析 函数f (x )的周期T ＝2π
ω＝π.
当x ∈(0，π2]时，2x ＋π3∈(π3，4π
3
]，
所以f (x )＝sin(2x ＋π3)在(0，π2]内的值域为[－3
2，1]．
8.π
3
解析 ∵cos α＝1
7，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin α＝43
7
.
又∵cos(α＋β)＝－11
14，α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴sin(α＋β)＝5314，
∴cos β＝cos [(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝1
2.
又∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，α＋β∈⎝⎛⎭⎫π
2，π， ∴β∈(0，π)，∴β＝π
3.
9．140 3
解析 由题意，设AC ＝x m ，则BC ＝x －2
17×340＝(x －40) m ．在△ABC 中，由余弦定理，
得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠BAC ，即(x －40)2＝10 000＋x 2－100x ，解得x ＝420.在△ACH 中，AC ＝420 m ，∠CAH ＝30°，∠ACH ＝90°，所以CH ＝AC ·tan ∠CAH ＝1403(m)．故该仪器的垂直弹射高度CH 为140 3 m.
10．解 (1)由3cos B cos C ＋1＝3sin B sin C ＋cos 2A ，得3(cos B cos C －sin B sin C )＝cos 2A －1，即3cos(B ＋C )＝2cos 2A －2，亦即2cos 2A ＋3cos A －2＝0. 所以(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，
故cos A ＝1
2或cos A ＝－2(舍)．
由于A ∈(0，π)，从而A ＝π
3
.
(2)由A ＝π
3
，a ＝23及b 2＋c 2－2bc cos A ＝a 2，得b 2＋c 2－bc ＝12，从而(b ＋2c )2－12＝3c 2＋
5bc ＝17·7c (3c ＋5b )≤17·(5b ＋10c )2
4＝2528
(b ＋2c )2，
所以3
28
(b ＋2c )2≤12，即b ＋2c ≤47.
当且仅当4c ＝5b 时取等号，故b ＋2c 的最大值为47.。