2018版高考数学浙江专用专题复习 专题4 三角函数、解

一、选择题

1．若tan α＝2tan π

5，则cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5等于( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

2．(2016·浙江省名校协作体高三联考)对任意x ，y ∈R ，恒有sin x ＋cos y ＝2sin(x －y

2

＋π4)cos(x ＋y 2－π4)，则sin 7π24cos 13π

24等于( ) A.1＋24 B.1－24

C.

3＋24 D.3－2

4

3．(2016·安徽十校3月联考)已知α为锐角，且7sin α＝2cos 2α，则sin(α＋π

3)等于( )

A.1＋358

B.1＋538

C.1－358

D.1－538

4．在△ABC 中，已知2a cos B ＝c ，sin A sin B (2－cos C )＝sin 2C 2＋1

2，则△ABC 为( )

A ．等边三角形

B ．等腰直角三角形

C ．锐角非等边三角形

D ．钝角三角形

5．(2016·全国乙卷)已知函数f (x )＝sin (ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π

4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫

π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )

A ．11

B ．9

C ．7

D ．5 二、填空题

6．已知扇形的周长为4 cm ，当它的半径为________ cm 和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________ cm 2.

7．(2016·诸暨市高中毕业班教学质量检测)函数f (x )＝sin(2x ＋π3)的周期为________，在(0，π

2]

内的值域为________．

8．若cos α＝17，cos(α＋β)＝－11

14，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则β＝________. 9.

如图，某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A ，B ，C 三地位于同一水平面上，在C 处进行该仪器的垂直弹射，观测点A ，B 两地相距100 m ，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比B 地晚2

17 s ．在A 地测得该仪器至最高点H 时

的仰角为30°，则该仪器的垂直弹射高度CH ＝________ m ．(声音在空气中的传播速度为340 m/s) 三、解答题

10．(2016·浙江稽阳联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3cos B cos C ＋1＝3sin B sin C ＋cos 2A . (1)求角A 的大小；

(2)若a ＝23，求b ＋2c 的最大值．

第25练

1．C 2.B

3．A [由7sin α＝2cos 2α，得7sin α＝2(1－2sin 2α)，即4sin 2α＋7sin α－2＝0， 解得sin α＝－2(舍去)或sin α＝1

4，

又由α为锐角，可得cos α＝

154

， ∴sin(α＋π3)＝12sin α＋3

2cos α＝1＋358，故选A.]

4．B [由正弦定理，得2sin A cos B ＝sin C . 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π， ∴sin C ＝sin(A ＋B )，

∴2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 整理得sin A cos B ＝cos A sin B ， ∴tan A ＝tan B .

又∵A ，B ∈(0，π)，∴A ＝B . ∵sin A sin B (2－cos C )＝sin 2C 2＋1

2

，

∴sin A sin B ⎣⎡⎦⎤2－⎝⎛⎭⎫1－2sin 2C 2＝sin 2C 2＋12

， ∴sin A sin B ⎝⎛⎭⎫1＋2sin 2C 2 ＝1

2⎝

⎛⎫1＋2sin 2C 2， ∴sin A sin B ＝12

.

∵A ＝B ，∴sin A ＝sin B ＝

22

. ∵A ，B ∈(0，π)，∴A ＝B ＝π

4.

∵A ＋B ＋C ＝π，∴C ＝π

2，

∴△ABC 是等腰直角三角形．]

5．B [因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝⎛⎭⎫－π4＝T 4＋kT ，即π2＝

4k ＋14T ＝4k ＋14·2πω，所以ω＝4k ＋1(k ∈N *)，又因为f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T

2

＝

2π

2ω

，即ω≤12，由此得ω的最大值为9，故选B.] 6．1 2 1

解析 设扇形的圆心角为α，半径为r cm ，则2r ＋|α|r ＝4，∴|α|＝4r －2，∴S 扇形＝1

2|α|·r 2＝2r

－r 2＝－(r －1)2＋1，∴当r ＝1时，(S 扇形)max ＝1，此时|α|＝2. 7．π [－

3

2

，1] 解析 函数f (x )的周期T ＝2π

ω＝π.

当x ∈(0，π2]时，2x ＋π3∈(π3，4π

3

]，

所以f (x )＝sin(2x ＋π3)在(0，π2]内的值域为[－3

2，1]．

8.π

3

解析 ∵cos α＝1

7，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin α＝43

7

.

又∵cos(α＋β)＝－11

14，α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴sin(α＋β)＝5314，

∴cos β＝cos [(α＋β)－α]

＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝1

2.

又∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，α＋β∈⎝⎛⎭⎫π

2，π， ∴β∈(0，π)，∴β＝π

3.

9．140 3

解析 由题意，设AC ＝x m ，则BC ＝x －2

17×340＝(x －40) m ．在△ABC 中，由余弦定理，

得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠BAC ，即(x －40)2＝10 000＋x 2－100x ，解得x ＝420.在△ACH 中，AC ＝420 m ，∠CAH ＝30°，∠ACH ＝90°，所以CH ＝AC ·tan ∠CAH ＝1403(m)．故该仪器的垂直弹射高度CH 为140 3 m.

10．解 (1)由3cos B cos C ＋1＝3sin B sin C ＋cos 2A ，得3(cos B cos C －sin B sin C )＝cos 2A －1，即3cos(B ＋C )＝2cos 2A －2，亦即2cos 2A ＋3cos A －2＝0. 所以(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，