实验数据处理
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实验测量不确定度 与数据处理
陈婷 基础物理实验室，厦门大学
实验测量数据的处理
常用的实验数据的处理方法：
一、列表法
二、逐差法
三、作图法
2018/9/30
列表法
螺旋测微计测量钢丝的直径：
2018/9/30
逐差法
测量数据进行逐项相减或按顺序分为两组进行对应项相减，然后将所 得差值作为多次测量值进行数据处理。
3. 或者先根据观测值在直角坐标平面上描出散点图，看一看散点的分 布同哪类曲线图形接近，让后选用相接近的曲线拟合方程。这就需要 靠经验。有时候，通过这种数学上的拟合可以倒推出物理量之间的本 质联系。
2018/9/30
非线性拟合
4. 多项式拟合：
y ai x
i 0
m
i
数学上几乎可以拟合任何曲线，但没有物理含义，且拟合参数不是唯 一。 5. 有些非线性拟合曲线可以通过适当的变量替换转化为线性曲线，从而 用线性拟合进行处理。
1 3 5 7
31 33 35 37
9
平均
0.1058
39
0.4627
0.3569
0.3573
则条纹宽度 s
0.3573 0.01191 cm 30
优点： （1）求得值实际上是多次测量结果的平均值，故其准确度较高； （2）克服了大改变量多次测量与仪器设备条件限制的矛盾。
2018/9/30
作图法（手动）
y=9.4+Bx
2018/9/30
非线性拟合
1. 如果图像是非线性的，通常我们画出一条光滑曲线，看一个趋势、 规律就好，不需要拟合公式。 2. 如果要拟合，一般根据物理意义已知物理量的函数方程，如阻尼振 动的振幅是指数衰减的，因此振幅和半周期t的关系应符合函数关系：
通过最小二乘法拟合散点数据，可以得到A0和β的值。
点，而且要足够远，得到 的结果精度才比较高！
2018/9/30
计算拟合--最小二乘法
原理：使误差的平方和为最小的参数取值为参数的最佳值， 对于直线函数关系y = kx + b,
v ( y (kx
2 i
i
b)) min
( xi2 )( yi ) ( xi )( xi yi )
电脑作图拟合（origin）
2018/9/30
电脑作图拟合（excel）
y=0.288x+70.76
2018/9/30
最小二乘法拟合注意事项
相关系数r=0.99767
2018/9/30
电脑作图拟合（excel）
2018/9/30
电脑作图拟合（excel）
2018/9/30
电脑作图拟合（excel）
拟合
运用有关误差理论的知识，求一条能最佳地描 述原函数的曲线的过程，称为拟合； 线性拟合。手动拟合、计算拟合、软件拟合。
非线性拟合。
2018/9/30
手动直线拟合
从坐标纸上取点读数，
需按坐标轴显示的精度读
取。如比例放大了100倍
导致有效位数比仪器减少 了两位，也按减少后的读。
直线上两点不能是实验
1. 标准偏差 （standard deviation） 2. 标准误差 （standard error） 3. 一定置信概率下的不确定度 （Uncertainty）
2018/9/30
Error bar（误差棒）画法
1. 算出标准偏差、标准误差或不确定度
2. 将以上数值输入origin软件作图
1) 作图一定要用坐标纸。按需要可选用直角坐标纸、单对数 坐标纸、双对数坐标纸、极坐标纸等。
2) 画出坐标轴的方向，标明其所代表的物理量及单位。通常 横轴为自变量，纵轴为因变量。 3) 坐标轴的比例要适当。原则上由测得的有效数字和结果的 需要来决定，使数据中可靠的数字在图中仍为可靠的，数据 中可疑的一位，在图中仍为估读的一位。
i 1 n n n n
2
因此，参数k和b的最佳值应当满足：
v
2 i
b 2 vi k
0 0
b
解得
n( xi2 ) ( xi ) 2
i 1 i 1
i 1 n
i 1 n
i 1
k
n( xi yi ) ( xi )( yi )
i 1 i 1 i 1
2018/9/30
Error bar（误差棒）
标准偏差 （standard deviation）
贝塞尔公式
2018/9/30
Error bar（误差棒）
标准偏差 （standard deviation）
0.0035
2018/9/30
Error bar（误差棒）
标准误差 （standard error）
2018/9/30
Error bar（误差棒）
有些科技期刊需要误差棒，有些不需要。特别是生物、医学、材料、 化学等期刊，重复性不是太好的时候就需要误差棒。物理期刊较少， 但有时也需要。
2018/9/30
Error bar（误差棒）
数据点所在的位置一般是平均值。
上下两个杠（error bar）用来表示数据的可靠性或者反过来 说不确定度。 杠的长度可以有几种含义，通常用到error bar的时候要说明 你的bar表示的是什么含义。
7) 描绘图线，可放弃偏离太远的个别点，使实验点均匀地分 布在所绘直线的两侧。若为曲线，应为光滑曲线。
8) 标明图名称。可标在图中的空白处，也可标在图下边。若 用物理量的符号表示图名，应按 y- x轴顺序书写。
2018/9/30
手动作图示例
图名在上或下均可； 坐标轴名称单位在末 尾或中间均可。
2018/9/30
作图法（电脑）
Hale Waihona Puke Baidu
电脑作图的要求基本与手动一致，特别要求电脑作图时坐标 轴的有效数字与测量结果相同。在手动作图时，精度要求已 经体现在格子上，而电脑作图无处体现，因此需要用坐标的 有效数字来体现。
坐标轴的有效数字可以通过把excel数据列的单元格格式设成 数值，小数点位数根据测量值确定。其他地方可以通过作图 完成后双击图表中相应位置。
2018/9/30
电脑作图拟合（excel）
2018/9/30
电脑作图拟合（excel）
y=0.288x+70.76
2018/9/30
电脑作图拟合（origin）
2018/9/30
电脑作图拟合（origin）
2018/9/30
电脑作图拟合（origin）
2018/9/30
电脑作图拟合（origin）
2018/9/30
作图法（手动）
5) 为避免图线偏于坐标的一角，图面上出现大片空白，坐标 轴的标值不一定从“0”开始。
6) 数据点的标出：测量数据常用“+”符号标出，使交叉点 正好落在数据的坐标上，如果在同一张坐标纸上要同时画好 几条曲线，则每条曲线上的数据点应分别用不同的标记，如 “×”、“o”等符号，以示区别。
n n n n
r越趋近于1，表示x与y的数据相关程度越好，数据点越密集分布在回 归方程图线附近。
2018/9/30
最小二乘法拟合示例
2018/9/30
最小二乘法拟合示例
2018/9/30
最小二乘法拟合示例
0.99767
2018/9/30
直线拟合不确定度的估算
2018/9/30
拟合结果
2018/9/30
x x
0.003502 0.0014 n 6
不确定度
u A tvp x 0.0016, p 68.3%
2018/9/30
Error bar（误差棒）
选三列数据 plot，和平 时一样即可。
2018/9/30
一般来说坐标纸的有效位数是3位。左图为 2.55格。每大格若代表0.25mA，则电流为 2.55*0.25=0.6375=0.638mA（把每大格代 表的0.25mA看成常数，有效数字跟读出的 格子数相同） 如果小于1个大格子则有效数字只有两位。 左图为0.75格。0.25mA/大格，则 0.75*0.25=0.1875=0.19mA。 如果大格子超过10格则有效数字变成4位。
例：用双棱镜干涉测量光波的波长时，测得干涉条纹的位置读数如下，求条纹的宽度。
第K条纹
读数 Lk (cm) 0.0087 0.0325 0.0557 0.0841
第K+N条纹
读数 Lk+n (cm) 0.3665 0.3920 0.4140 0.4081
30条纹读数 Lk+n - Lk (cm) 0.3578 0.3595 0.3583 0.3540
4）如果测量精度较高，有效数字很多位，而坐标纸尺寸有限， 可能画不下，此时可适当降低作图精度。选择合适比例，使 A4纸大小的坐标纸能画下所有测量范围。注意比例不能大导 致图太小。反之，如果测量精度较低，则不能提高作图精度， 最小刻度不能小于仪器的最小刻度。
2018/9/30
手动作图的有效数字
n
n
n
n( xi2 ) ( xi ) 2
i 1
n
n
2018/9/30
i 1
相关系数
相关系数
n xi yi ( xi )( yi )
n 1 n 1 n 1
n
n
n
2 2 2 2 n x ( x ) n y ( y ) i i i i n 1 n 1 n 1 n 1
陈婷 基础物理实验室，厦门大学
实验测量数据的处理
常用的实验数据的处理方法：
一、列表法
二、逐差法
三、作图法
2018/9/30
列表法
螺旋测微计测量钢丝的直径：
2018/9/30
逐差法
测量数据进行逐项相减或按顺序分为两组进行对应项相减，然后将所 得差值作为多次测量值进行数据处理。
3. 或者先根据观测值在直角坐标平面上描出散点图，看一看散点的分 布同哪类曲线图形接近，让后选用相接近的曲线拟合方程。这就需要 靠经验。有时候，通过这种数学上的拟合可以倒推出物理量之间的本 质联系。
2018/9/30
非线性拟合
4. 多项式拟合：
y ai x
i 0
m
i
数学上几乎可以拟合任何曲线，但没有物理含义，且拟合参数不是唯 一。 5. 有些非线性拟合曲线可以通过适当的变量替换转化为线性曲线，从而 用线性拟合进行处理。
1 3 5 7
31 33 35 37
9
平均
0.1058
39
0.4627
0.3569
0.3573
则条纹宽度 s
0.3573 0.01191 cm 30
优点： （1）求得值实际上是多次测量结果的平均值，故其准确度较高； （2）克服了大改变量多次测量与仪器设备条件限制的矛盾。
2018/9/30
作图法（手动）
y=9.4+Bx
2018/9/30
非线性拟合
1. 如果图像是非线性的，通常我们画出一条光滑曲线，看一个趋势、 规律就好，不需要拟合公式。 2. 如果要拟合，一般根据物理意义已知物理量的函数方程，如阻尼振 动的振幅是指数衰减的，因此振幅和半周期t的关系应符合函数关系：
通过最小二乘法拟合散点数据，可以得到A0和β的值。
点，而且要足够远，得到 的结果精度才比较高！
2018/9/30
计算拟合--最小二乘法
原理：使误差的平方和为最小的参数取值为参数的最佳值， 对于直线函数关系y = kx + b,
v ( y (kx
2 i
i
b)) min
( xi2 )( yi ) ( xi )( xi yi )
电脑作图拟合（origin）
2018/9/30
电脑作图拟合（excel）
y=0.288x+70.76
2018/9/30
最小二乘法拟合注意事项
相关系数r=0.99767
2018/9/30
电脑作图拟合（excel）
2018/9/30
电脑作图拟合（excel）
2018/9/30
电脑作图拟合（excel）
拟合
运用有关误差理论的知识，求一条能最佳地描 述原函数的曲线的过程，称为拟合； 线性拟合。手动拟合、计算拟合、软件拟合。
非线性拟合。
2018/9/30
手动直线拟合
从坐标纸上取点读数，
需按坐标轴显示的精度读
取。如比例放大了100倍
导致有效位数比仪器减少 了两位，也按减少后的读。
直线上两点不能是实验
1. 标准偏差 （standard deviation） 2. 标准误差 （standard error） 3. 一定置信概率下的不确定度 （Uncertainty）
2018/9/30
Error bar（误差棒）画法
1. 算出标准偏差、标准误差或不确定度
2. 将以上数值输入origin软件作图
1) 作图一定要用坐标纸。按需要可选用直角坐标纸、单对数 坐标纸、双对数坐标纸、极坐标纸等。
2) 画出坐标轴的方向，标明其所代表的物理量及单位。通常 横轴为自变量，纵轴为因变量。 3) 坐标轴的比例要适当。原则上由测得的有效数字和结果的 需要来决定，使数据中可靠的数字在图中仍为可靠的，数据 中可疑的一位，在图中仍为估读的一位。
i 1 n n n n
2
因此，参数k和b的最佳值应当满足：
v
2 i
b 2 vi k
0 0
b
解得
n( xi2 ) ( xi ) 2
i 1 i 1
i 1 n
i 1 n
i 1
k
n( xi yi ) ( xi )( yi )
i 1 i 1 i 1
2018/9/30
Error bar（误差棒）
标准偏差 （standard deviation）
贝塞尔公式
2018/9/30
Error bar（误差棒）
标准偏差 （standard deviation）
0.0035
2018/9/30
Error bar（误差棒）
标准误差 （standard error）
2018/9/30
Error bar（误差棒）
有些科技期刊需要误差棒，有些不需要。特别是生物、医学、材料、 化学等期刊，重复性不是太好的时候就需要误差棒。物理期刊较少， 但有时也需要。
2018/9/30
Error bar（误差棒）
数据点所在的位置一般是平均值。
上下两个杠（error bar）用来表示数据的可靠性或者反过来 说不确定度。 杠的长度可以有几种含义，通常用到error bar的时候要说明 你的bar表示的是什么含义。
7) 描绘图线，可放弃偏离太远的个别点，使实验点均匀地分 布在所绘直线的两侧。若为曲线，应为光滑曲线。
8) 标明图名称。可标在图中的空白处，也可标在图下边。若 用物理量的符号表示图名，应按 y- x轴顺序书写。
2018/9/30
手动作图示例
图名在上或下均可； 坐标轴名称单位在末 尾或中间均可。
2018/9/30
作图法（电脑）
Hale Waihona Puke Baidu
电脑作图的要求基本与手动一致，特别要求电脑作图时坐标 轴的有效数字与测量结果相同。在手动作图时，精度要求已 经体现在格子上，而电脑作图无处体现，因此需要用坐标的 有效数字来体现。
坐标轴的有效数字可以通过把excel数据列的单元格格式设成 数值，小数点位数根据测量值确定。其他地方可以通过作图 完成后双击图表中相应位置。
2018/9/30
电脑作图拟合（excel）
2018/9/30
电脑作图拟合（excel）
y=0.288x+70.76
2018/9/30
电脑作图拟合（origin）
2018/9/30
电脑作图拟合（origin）
2018/9/30
电脑作图拟合（origin）
2018/9/30
电脑作图拟合（origin）
2018/9/30
作图法（手动）
5) 为避免图线偏于坐标的一角，图面上出现大片空白，坐标 轴的标值不一定从“0”开始。
6) 数据点的标出：测量数据常用“+”符号标出，使交叉点 正好落在数据的坐标上，如果在同一张坐标纸上要同时画好 几条曲线，则每条曲线上的数据点应分别用不同的标记，如 “×”、“o”等符号，以示区别。
n n n n
r越趋近于1，表示x与y的数据相关程度越好，数据点越密集分布在回 归方程图线附近。
2018/9/30
最小二乘法拟合示例
2018/9/30
最小二乘法拟合示例
2018/9/30
最小二乘法拟合示例
0.99767
2018/9/30
直线拟合不确定度的估算
2018/9/30
拟合结果
2018/9/30
x x
0.003502 0.0014 n 6
不确定度
u A tvp x 0.0016, p 68.3%
2018/9/30
Error bar（误差棒）
选三列数据 plot，和平 时一样即可。
2018/9/30
一般来说坐标纸的有效位数是3位。左图为 2.55格。每大格若代表0.25mA，则电流为 2.55*0.25=0.6375=0.638mA（把每大格代 表的0.25mA看成常数，有效数字跟读出的 格子数相同） 如果小于1个大格子则有效数字只有两位。 左图为0.75格。0.25mA/大格，则 0.75*0.25=0.1875=0.19mA。 如果大格子超过10格则有效数字变成4位。
例：用双棱镜干涉测量光波的波长时，测得干涉条纹的位置读数如下，求条纹的宽度。
第K条纹
读数 Lk (cm) 0.0087 0.0325 0.0557 0.0841
第K+N条纹
读数 Lk+n (cm) 0.3665 0.3920 0.4140 0.4081
30条纹读数 Lk+n - Lk (cm) 0.3578 0.3595 0.3583 0.3540
4）如果测量精度较高，有效数字很多位，而坐标纸尺寸有限， 可能画不下，此时可适当降低作图精度。选择合适比例，使 A4纸大小的坐标纸能画下所有测量范围。注意比例不能大导 致图太小。反之，如果测量精度较低，则不能提高作图精度， 最小刻度不能小于仪器的最小刻度。
2018/9/30
手动作图的有效数字
n
n
n
n( xi2 ) ( xi ) 2
i 1
n
n
2018/9/30
i 1
相关系数
相关系数
n xi yi ( xi )( yi )
n 1 n 1 n 1
n
n
n
2 2 2 2 n x ( x ) n y ( y ) i i i i n 1 n 1 n 1 n 1