《力学》第9章

c.振幅由系统性质(固有圆频率)和初始条件决定。
(3) 相位和初相位
相位 =( t + )，--随时间变化的角度。
初相() ，t = 0 时的相位. tan v0 , cos x0
0 x0
A
一定的相位对应一定的运动状态.
如图a、b两点运动状态不同， x
相位亦不同.
c和a运动状态同，相位差2n .
Acos(0 t + ) = Acos[0(t + T )+ ]
0T = 2 n
T 的最小值
T 2π 0
弹簧振子、单摆和扭摆周期分别为
T 2π m k
T 2π l g
T 2π I c
频率()—— 单位时间内物体所作完全振动的次数。
角频率(。)—— 单位时间内的相位变化。也称固有频率。
1 0
相轨迹方程：
x Acos(0t ) vx 0 Asin(0t )
x2 A2
vx2
02 A2
1
O
x
三、简谐振动的旋转矢量表示
x Acos(0t )
1. A矢端在x轴投影对应x.
2.矢端圆周运动速率在x投影对应vxv 0 A 0t
3.矢端向心加速度的投影为a x .
0t a 02 A A(t )
[例题2] 弹簧振子如图所示,弹簧原长L，质量ms，劲度 系数k，振子质量m，计算弹簧振子系统的固有频率.
[解] 以弹簧子自由伸长处为原 点建立坐标Ox，距弹簧固定端l
l dl
m
处取一元段d l.振子发生位移x, 则dl 段的动能
Ox
dEk
1 2
( ms L
dl)( l L
x)2
1 2
ms L3
l 2x2dl
kx
或
d2x k x 0 dt 2 m
令
02
k m
d2 dt
x
2
2 0
x
0
0 由振动系统本身的性质决定.
简谐振动的动力学定义：
d2 dt
x
2
2 0
x
0
m
=0
Ox
F
A
v
x -A
F
v
F=0 x=0
(2) 单摆
如图，铅直面内不计空气
O
阻力,绳不可伸长.
Ft mg sin
很小时, sin
FT
Ft mg ——称回复力.
二、简谐振动的x-t图线和相轨迹
x
1．X-t 图线：余弦图曲线。
振幅：曲线高低 。频率：曲线的疏密。
初相位:决定曲线在横轴上的位置。
O
t
x
初相位 = 0
0
O
t
0t 0
t
0
2.相轨迹:
相空间：由 vx、x 确定的一个抽象空间。 相点：一组确定的vx、x,在相平面内的确定一个振动状态。
vx 相轨迹：相点移动的轨迹。
令：
Acos A1 cos1 A2 cos2
Asin A1 sin1 A2 sin2
x Acos cos0t Asin sin0t Acos0t （1）
结论：两个同频率，同方向的简谐振动合成后仍为一简谐振动， 频率与分振动频率相同。
①合振幅
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
π
π 2
0t A(t 0)
A
O x Ax
vx
0 Acos(0t
)
2
0 Asin(0t
)
ax 02 Acos(0t ) 02 Acos(0t )
[例题1] 质点按 x Acos(0t ) 作简谐振动.设于
某时刻, 相位 0t 时质点的运动状态如何?
0,
π,
π 2
,
π 2
0
2
2 0 0
sin2 (0t )dt
0 2
2 0 0
(
1 2
1 2
cos
20t)dt
2
0 1 t 0
2 2 0
0 1 2 40
4
0 cos(20t)d (20t)
1 2
1
8
sin 20t
4 0
1 2
EK 1 kA2 4
0
2
2 0 0
cos2 (0t )dt
0 2
2 0 0
sin 2 (0t )dt
(2) 振幅
振幅A—— 物体离开平衡位置最大位移的绝对值。
x Acos(0t )
vx
dx dt
A0
sin(0t
)
设 t = 0, x = x0 ,v = v0
则 x0 Acos
v0 A0 sin
A
x02
v02
2 0
a.若v0x 0. 初始时刻物体位于最大位移处。
b.若物体初速度越大,振幅越大。初位移越大，振幅越大。
二、同方向不同频率简谐振动的合成 1.合成方法及特点： 设两振动振幅相同，初相位为零，振动同方向，但频率不同。
x1 Acos10t
x2
A
c
[解]（1） A＝0.04 m fmax kA
k fmax A
E
1 kA2 2
1 2
fmaxA
1 24 0.04J 2
0.48J
(2) 取平衡位置为势能零点,行至振幅一半时相位为60
Ek
1 2
kA2
sin2 ( 0t
)
0.48 (
3 / 2)2 J 0.36J
Ep (0.48 0.36) J 0.12 J
§9.1简谐振动的动力学特征
1.简谐振动基本概念
平衡位置——物体在做往复运动时，在某位置所受的 力(或力矩)等于零，则此位置称平衡位置.
回复力(回复力矩)——作用于物体的力(或力矩)总与 物体相对于平衡位置的位移(线位移或角位移)反向， 指向平衡位置。 线性恢复力（恢复力矩）
Fx x（x是相对原点的位移）
t
ab
c
a. 相位不同时,运运状态可能完全不同。 b.比较简谐振动的任务之一,比较相位。
c.相位差：1 2 超前、滞后。
（4）f , x,vx, ax 间的相位关系 a.力与加速度同相位;
b.加速度超前速度 2 。加速度对时间的累积才获得速度。
c. 速度超前位移 2。 即：速度对时间的累积才获得位移。
[解] 根据牛顿第二定律得
m
d2 x d2t
k( x
l ) mg
平衡位置有 mg kl
d2 x dt 2
k m
x
0
l A
x x
与弹簧振子的动力学方程相同，故质点作简谐振动.
[例题2] 水面上浮有一方形木块，在静止时水面以上高
度为a ,水面以下高度为b .水密度为ρ木块密度为ρ不计
水的阻力.现用外力将木块压入水中，使木快上表面与 水面平齐. 求证：木块将作谐振动，并写出谐振动动力学方程.
a.从力是否满足 f x 判定.
b.从势能与位移是否平方函数关系判定; c.从动力学方程角度看,是否满足
d2x dt 2
0
2
x
0,
(x可以是线位移或角位移或电流,电压,化学组份浓度物种种
群量等)，且0由系统自身性质所决定时,则系统作简谐振动.
[例题1] 弹簧下面悬挂物体，不计弹簧质量和阻力，
证明在平衡位置附近的振动是简谐振动.
一、 简谐振动的运动学方程
1. 简谐振动的运动学方程
简谐振动的动力学方程
d2 dt
x
2
2 0
x
0
=0
其解
x(t) Acos(0t )
x
m
Ox
或
x(t) Asin(0t )
A与 由初始条件定.
2. 特征量物理意义 (1)周期、频率和圆频率 周期(T)—— 系统作一次完整振动所需时间.
x( t ) = x( t +T )
m d2 (l ) mg
dt 2
令
02
g l
d 2
dt 2
02
0
O
W
单摆作简谐振动
(3) 扭摆
z
如图，不计空气阻力,小角扭动
回复扭转力矩 M z c
由刚体定轴转动定律
Iz
d 2
dt 2
c
令
2 0
c Iz
O
B
y
x
d 2
dt 2
02
0
刚体作简谐振动
0由系统本身的性质所决定.
从动力学角度判定简谐振动的方法:
T 2π
单位：rad/s
0 2π
2π T
量纲：[0 ] T 1
运动学方程的几种表示
x(t) Acos(0t ) x(t) Acos(2π t )
T
x(t) Acos(2πt )
T、 和由振动系统本身的性质决定,与两类量有关.
反映系统惯性的量；m; I 反映恢复力特性的量。k, g,c
t1 O B
t2 P2
t
§9.3简谐振动的能量转换
1.总机械能: (以弹簧振子为例)
x
x(t) Acos(0t )
v A0 sin(0t )
m
=0 O x
动能：
Ek
1 2
m v2
1 2
m
A2
2 0
sin2 (t
)
1 2
kA2
sin2 ( 0t
)
势能：
Ep
1 2
kx2
1 2
kA2
cos2 (0t
x2 A2 cos(0t a2 )
试分别就 1 2 2nπ
(n 0,1,, n)
和 1 2 (2n 1)π (n 0,1,, n) 的情况比较两种振动.
[例题4] 如图右方表示 某简谐振动的 x-t 图，试用作 图方法画出 t1 和 t2 时刻的旋转矢量的位置.
[解]
x A
x
A
P1
O
B
第九章 振动
振动基本概念： 机械振动:物体在某一位置附近往复运动的现象. 1.振动:一个物理量在某一定值附近往复变化的过程. 2. 分类 按振动规律：简谐、非简谐、随机振动. 按振动原因：自由、受迫、阻尼.
按振动位移：角振动、线振动.
按系统参数特征：线性、非线性振动.
简谐振动是最简单、最基本的振动.
2A1 A2
c os( 2
1 )
1 2
3.相位差对合振动的影响
（1）若相位差 (2 1) 2n ，即同相位，则：A A1 A2，振
幅最大；
（2）若相位差 (2 1) (2n 1) ，即反相位，则：A A1 A2 ，
振幅最小；
（3）一般情况下，振幅 A 介于 A1 A2 与 A1 A2之间。
1．三角函数的方法
设： x1 A1 cos(0t 1)
x2 A2 cos(0t 2 )
x x1 x2 A1 cos0t 1 A2 cos0t 2
A1cos0t cos1 sin0t sin1 A2cos0t cos2 sin0t sin2
A1 cos1 A2 cos2 cos0t A1 sin1 A2 sin2 sin0t
1 2
EP
Байду номын сангаасEK
1 4
kA2
总能量不变.弹簧振子在一个周期内动能和 势能的平均值相等，且等于总机械能的一半.
[例题1] 弹簧振子水平放置，克服弹簧拉力将质点自平衡
位置移开 4.0 10 2 m，弹簧拉力为24N，随即释放，形
成简谐振动。计算:（1）弹簧振子的总能；（2）求质点
被释放后，行至振幅一半时，振子的动能和势能.
Ek'
L 0
dEk
L 0
1 2
ms L3
l 2 x 2dl
1 2
( ms 3
)x 2
等效质量
m
1 3
ms
Ek
1 2
mx 2
弹簧振子系统的总质量 mT m m
系统的固有频率
0
k mT
k m ms
3
等效质量法是处理非轻质弹簧振子系统常用方法。
§9.4 简谐振动的合成
一、同方向同频率简谐振动的合成
)
总能： 2.讨论:
E Ek Ep 1 kA2 2
a.总能量决定系统初始条件以及系统自身性质 。总机械能守恒。
Ek
EP
E
E
=
1 2
k
A2
O
t
x
x = A cosω0 t
O
t
cos2
0t
1 2
(1
cos
20t)
b. Ek 按正弦平方, E p 按余弦平方规律变化, 一个达到 最大时, 另一个必为零。
②合振动的初相
cos A1 cos1 A2 cos2 A sin A1 sin1 A2 sin2 A
或：tg A1 sin1 A2 sin2 A1 cos1 A2 cos2
2.旋转矢量法
x A1 cos(0t 1) A2 cos(0t 2 )
Acos(0t )
A
A12
A2 2
2.简谐振动：质点在线性回复力作用下围绕平衡位置的运动。
3.简谐振动的动力学特征：
a.力 fx x
b.势能
EP
x 0
fdx
x
xdx
0
1 x2
2
EPx
EP0
1 2
x2
c.动力学方程
EP
1 2
x2
(1) 弹簧振子的振动
弹簧振子——轻弹簧与物体m组成的系统.
Fx kx
m
d2 x dt 2
[证]
a
ρ
b
ρ
S
平衡时
O
a
ρx
b
S
ρ 任意位置
x
平衡时： (a b)Sg bSg 0
任意位置木块受到的合外力为：
F (a b)Sg (b x)Sg
Sgx
即
(a b)S d2 x S gx 0
dt 2
令
02
g (a b)
d2 dt
x
2
2 0
x
0
木块作谐振动.
§9.2简谐振动的运动学
c. Ek与Ep的变化频率都是原频率的两倍.
d.振幅不仅给出简谐振动运动的范围，而且反映了振动系统 总能量的大小及振动的强度.
3.平均动能和平均势能
EK 1 kA2.
2
T 0
sin2 (0t
)dt
1
kA2
T
2
2
0 0
sin
2
(0t
)dt
2 0
一个完整周期,所以初相位具有什么值无关紧要,为简单,令其为零。
,
问在这些瞬
[解]振动状态由x 、v 定
x Acos(0t )
0t 0
0t π
0t
π 2
0t
π 2
vx
dx dt
A0
sin(0t
)
x A, vx 0
x A, vx 0
x 0, vx 0 A
x 0, v x 0 A
[例题2] 二同频率不同振幅的简谐振动表示为
x1 A1 cos(0t a1 )