《力学》第9章

一、 简谐振动的运动学方程
1. 简谐振动的运动学方程
简谐振动的动力学方程d2 dtx22 0
x
0
=0
其解
x(t) Acos(0t )
x
m
Ox
或
x(t) Asin(0t )
A与 由初始条件定.
2. 特征量物理意义 (1)周期、频率和圆频率 周期(T)—— 系统作一次完整振动所需时间.
x( t ) = x( t +T )
2.简谐振动：质点在线性回复力作用下围绕平衡位置的运动。
3.简谐振动的动力学特征：
a.力 fx x
b.势能
EP
x 0
fdx
x
xdx
0
1 x2
2
EPx
EP0
1 2
x2
c.动力学方程
EP
1 2
x2
(1) 弹簧振子的振动
弹簧振子——轻弹簧与物体m组成的系统.
Fx kx
m
d2 x dt 2
[解]（1） A＝0.04 m fmax kA
k fmax A
E
1 kA2 2
1 2
fmaxA
1 24 0.04J 2
0.48J
(2) 取平衡位置为势能零点,行至振幅一半时相位为60
Ek
1 2
kA2
sin2 ( 0t
)
0.48 (
3 / 2)2 J 0.36J
Ep (0.48 0.36) J 0.12 J
c. Ek与Ep的变化频率都是原频率的两倍.
d.振幅不仅给出简谐振动运动的范围，而且反映了振动系统 总能量的大小及振动的强度.
3.平均动能和平均势能
EK 1 kA2.
2
T 0
sin2 (0t
)dt
1
kA2
T
2
2
0 0
sin
2
(0t
)dt
2 0
一个完整周期,所以初相位具有什么值无关紧要,为简单,令其为零。
t
ab
c
a. 相位不同时,运运状态可能完全不同。 b.比较简谐振动的任务之一,比较相位。
c.相位差：1 2 超前、滞后。
（4）f , x,vx, ax 间的相位关系 a.力与加速度同相位;
b.加速度超前速度 2 。加速度对时间的累积才获得速度。
c. 速度超前位移 2。 即：速度对时间的累积才获得位移。
②合振动的初相
cos A1 cos1 A2 cos2 A sin A1 sin1 A2 sin2 A
或：tg A1 sin1 A2 sin2 A1 cos1 A2 cos2
2.旋转矢量法
x A1 cos(0t 1) A2 cos(0t 2 )
Acos(0t )
A
A12
A2 2
§9.1简谐振动的动力学特征
1.简谐振动基本概念
平衡位置——物体在做往复运动时，在某位置所受的 力(或力矩)等于零，则此位置称平衡位置.
回复力(回复力矩)——作用于物体的力(或力矩)总与 物体相对于平衡位置的位移(线位移或角位移)反向， 指向平衡位置。 线性恢复力（恢复力矩）
Fx x（x是相对原点的位移）
m d2 (l ) mg
dt 2
令
02
g l
d 2
dt 2
02
0
O
W
单摆作简谐振动
(3) 扭摆
z
如图，不计空气阻力,小角扭动
回复扭转力矩 M z c
由刚体定轴转动定律
Iz
d 2
dt 2
c
令
2 0
c Iz
O
B
y
x
d 2
dt 2
02
0
刚体作简谐振动
0由系统本身的性质所决定.
从动力学角度判定简谐振动的方法:
T 2π
单位：rad/s
0 2π
2π T
量纲：[0 ] T 1
运动学方程的几种表示
x(t) Acos(0t ) x(t) Acos(2π t )
T
x(t) Acos(2πt )
T、 和由振动系统本身的性质决定,与两类量有关.
反映系统惯性的量；m; I 反映恢复力特性的量。k, g,c
kx
或
d2x k x 0 dt 2 m
令
02
k m
d2 dt
x
2
2 0
x
0
0 由振动系统本身的性质决定.
简谐振动的动力学定义：
d2 dt
x
2
2 0
x
0
m
=0
Ox
F
A
v
x -A
F
v
F=0 x=0
(2) 单摆
如图，铅直面内不计空气
O
阻力,绳不可伸长.
Ft mg sin
很小时, sin
FT
Ft mg ——称回复力.
1 2
EP
EK
1 4
kA2
总能量不变.弹簧振子在一个周期内动能和 势能的平均值相等，且等于总机械能的一半.
[例题1] 弹簧振子水平放置，克服弹簧拉力将质点自平衡
位置移开 4.0 10 2 m，弹簧拉力为24N，随即释放，形
成简谐振动。计算:（1）弹簧振子的总能；（2）求质点
被释放后，行至振幅一半时，振子的动能和势能.
Ek'
L 0
dEk
L 0
1 2
ms L3
l 2 x 2dl
1 2
( ms 3
)x 2
等效质量
m
1 3
ms
Ek
1 2
mx 2
弹簧振子系统的总质量 mT m m
系统的固有频率
0
k mT
k m ms
3
等效质量法是处理非轻质弹簧振子系统常用方法。
§9.4 简谐振动的合成
一、同方向同频率简谐振动的合成
相轨迹方程：
x Acos(0t ) vx 0 Asin(0t )
x2 A2
vx2
02 A2
1
O
x
三、简谐振动的旋转矢量表示
x Acos(0t )
1. A矢端在x轴投影对应x.
2.矢端圆周运动速率在x投影对应vxv 0 A 0t
3.矢端向心加速度的投影为a x .
0t a 02 A A(t )
x2 A2 cos(0t a2 )
试分别就 1 2 2nπ
(n 0,1,, n)
和 1 2 (2n 1)π (n 0,1,, n) 的情况比较两种振动.
[例题4] 如图右方表示 某简谐振动的 x-t 图，试用作 图方法画出 t1 和 t2 时刻的旋转矢量的位置.
[解]
x A
x
A
P1
O
B
2A1 A2
c os( 2
1 )
1 2
3.相位差对合振动的影响
（1）若相位差 (2 1) 2n ，即同相位，则：A A1 A2，振
幅最大；
（2）若相位差 (2 1) (2n 1) ，即反相位，则：A A1 A2 ，
振幅最小；
（3）一般情况下，振幅 A 介于 A1 A2 与 A1 A2之间。
1．三角函数的方法
设： x1 A1 cos(0t 1)
x2 A2 cos(0t 2 )
x x1 x2 A1 cos0t 1 A2 cos0t 2
A1cos0t cos1 sin0t sin1 A2cos0t cos2 sin0t sin2
A1 cos1 A2 cos2 cos0t A1 sin1 A2 sin2 sin0t
c.振幅由系统性质(固有圆频率)和初始条件决定。
(3) 相位和初相位
相位 =( t + )，--随时间变化的角度。
初相() ，t = 0 时的相位. tan v0 , cos x0
0 x0
A
一定的相位对应一定的运动状态.
如图a、b两点运动状态不同， x
相位亦不同.
c和a运动状态同，相位差2n .
Acos(0 t + ) = Acos[0(t + T )+ ]
0T = 2 n
T 的最小值
T 2π 0
弹簧振子、单摆和扭摆周期分别为
T 2π m k
T 2π l g
T 2π I c
频率()—— 单位时间内物体所作完全振动的次数。
角频率(。)—— 单位时间内的相位变化。也称固有频率。
1 0
(2) 振幅
振幅A—— 物体离开平衡位置最大位移的绝对值。
x Acos(0t )
vx
dx dt
A0
sin(0t
)
设 t = 0, x = x0 ,v = v0
则 x0 Acos
v0 A0 sin
A
x02
v02
2 0
a.若v0x 0. 初始时刻物体位于最大位移处。
b.若物体初速度越大,振幅越大。初位移越大，振幅越大。
,
问在这些瞬
[解]振动状态由x 、v 定
x Acos(0t )
0t 0
0t π
0t
π 2
0t
π 2
vx
dx dt
A0
sin(0t
)
x A, vx 0
x A, vx 0
x 0, vx 0 A
x 0, v x 0 A
[例题2] 二同频率不同振幅的简谐振动表示为
x1 A1 cos(0t a1 )
0
2
2 0 0
sin2 (0t )dt
0 2
2 0 0
(
1 2
1 2