排列组合二项式定理和概率
2024年排列组合二项式定理概率基础知识点+思维导图练习
思维导图——排列、组合、二项式定理、概率知识点默写——排列、组合与二项式定理*1、分类加法计数原理：*2、分步乘法计数原理：3、排列数mn A 的含义：4、计算：m n A =*5、在m n A 中，若m n <，这样的排列叫作；若m n =，这样的排列叫作；6、阶乘!n =；nn A =；规定，0!=；7、组合数mn C 的含义：8、计算：m n C ==；9、组合数的性质（1）m n C =；（2）1m m n n C C -+=；（3）0121n nn n n n n C C C C C -+++++=.10、（1）对于*n N ∈，()na b +=.该公式所表示的定理叫作，右边的多项式叫作()na b +的；展开式共有项数为项.（2）二项展开式的通项1r T +=，表示第项.（3）二项展开式中的二项式系数为；项的系数是指.11、（1）对称性：与首末两端的两项的二项式系数相等，即(0,1,2,,)r n rn n C C r n -==（2）二项式系数最大的项在中间.当幂指数n 为偶数时，最大的二项式系数为，最大二项式系数为第项；当n 为奇数时，最大的二项式系数为，最大的二项式系数为第项.（3）二项式系数之和为.二项展开式中，各奇数项的二项式系数之和与各偶数项的二项式系数之和相等，即：==.12、若7270127(1)x a a x a x a x -=++++ ，令，得0127a a a a ++++=.一、特殊元素特殊位置优先1、由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的五位奇数？二、相邻元素捆绑法2、7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？三、不相邻问题插空法3、一个晚会的节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则所有节目共有多少种出场顺序？四、定序问题倍缩法、空位法、插入法4、7人排队，其中甲乙丙3人顺序一定共有多少种不同的排法？五、排列组合混合问题先选后排法5、有5个不同的小球，装入4个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有多少不同装法？六、元素相同问题隔板法6、有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个，有多少种分配方案？七、平均分组问题除法策略7、有6本不同的书，平均分成3堆，每堆2本，共有多少种分法？八、合理分类与分步策略8、在一次演唱会上共有10名演员，其中8人能够唱歌，5人会跳舞，现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目，有多少种选派方法？九、构造模型策略9、马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯，现要关掉其中的3盏，但不能关掉相邻的2盏或3盏，也不能关掉两端的2盏，求满足条件的关灯方法有多少种？。
排列组合、二项式定理与概率统计
排列组合、二项式定理与概率统计
概率统计与排列组合和二项式定理是数学中的重要知识。
它们主要用来解释和计算物理实验的概率，以及理解事件出现的概率统计规律。
排列组合是概率统计的基础，是指在一组数中，每个数字的位置不同的可能的组合数。
它的公式有:A(n,m)=n(n-1)...(n-m+1)。
这里的A表示从n个中取出m个的排列数。
二项式定理（亦称二项分布定理）是研究一个随机变量满足二项分布的定理。
它是推导概率统计解决一些问题的重要方法，它通过如下公式来计算事件发生的概率：
C(n,k)=An,m/k!，其中n表示试验次数，m表示成功的次数，k表示重复的次数。
概率统计用来研究不同事件出现的可能性和规律。
这些规律会告诉我们正发生的事件的可能性有多大，并帮助我们更好地解释现象。
概率统计的计算和分析是一个复杂的过程，需要全面的、简易的的方法。
排列组合、二项式定理等工具是进行概率统计分析的有力帮助，它们可以帮助我们了解不同事件出现的概率，并对现象加以解释和推断。
15排列组合二项式定理和概率
排列组合二项式定理和概率Ⅰ、随机事件的概率例1 某商业银行为储户提供的密码有0，1，2，…，9中的6个数字组成.(1)某人随意按下6个数字，按对自己的储蓄卡的密码的概率是多少？(2)某人忘记了自己储蓄卡的第6位数字，随意按下一个数字进行试验，按对自己的密码的概率是多少？解 （1）储蓄卡上的数字是可以重复的，每一个6位密码上的每一个数字都有0，1，2，…，9这10种，正确的结果有1种，其概率为6101，随意按下6个数字相当于随意按下610个，随意按下6个数字相当于随意按下610个密码之一，其概率是6101. (2)以该人记忆自己的储蓄卡上的密码在前5个正确的前提下，随意按下一个数字，等可能性的结果为0，1，2，…，9这10种，正确的结果有1种，其概率为101. 例2 一个口袋内有m 个白球和n 个黑球，从中任取3个球，这3个球恰好是2白1黑的概率是多少？（用组合数表示）解 设事件I 是“从m 个白球和n 个黑球中任选3个球”，要对应集合I 1，事件A 是“从m个白球中任选2个球，从n 个黑球中任选一个球”，本题是等可能性事件问题，且Card(I 1)= 123)(,n m n m C C A Card C ⋅=+，于是P(A)=3121)()(nm n m C C C I Card A Card +⋅=. Ⅱ、互斥事件有一个发生的概率例3在20件产品中有15件正品，5件次品，从中任取3件，求：（1）恰有1件次品的概率；（2）至少有1件次品的概率.解 （1）从20件产品中任取3件的取法有320C ，其中恰有1件次品的取法为15215C C 。
∴ 恰有一件次品的概率P=763532015215=C C C . (2)法一 从20件产品中任取3件，其中恰有1件次品为事件A 1,恰有2件次品为事件A 2，3件全是次品为事件A 3,则它们的概率P(A 1)= 32015215C C C =228105,2282)(320115252==C C C A P ,2282)(320353==C C A P , 而事件A 1、A 2、A 3彼此互斥，因此3件中至少有1件次品的概率P(A 1+A 2+A 3)=P(A 1)+P(A 2)+P(A 3)= 228137. 法二 记从20件产品中任取3件，3件全是正品为事件A ，那么任取3件，至少有1件次品为A ，根据对立事件的概率加法公式P(A )=2281371)(1320315=-=-C C A P 例4 1副扑克牌有红桃、黑桃、梅花、方块4种花色，每种13张，共52张，从1副洗好的牌中任取4张，求4张中至少有3张黑桃的概率.解 从52张牌中任取4张，有452C 种取法.“4张中至少有3张黑桃”，可分为“恰有3张黑桃”和“4张全是黑桃”，共有413139313C C C +⋅种取法452413139313C C C C +⋅∴ 注 研究至少情况时，分类要清楚。
排列组合二项式定理与概率统计(文理全)
n! n(n 1) (n m 1) (m≤n) (n m)!
An n =n! =n(n―1)(n―2) ·„·2·1. ②组合数公式： C n
m
n! n(n 1) (n m 1) m!(n m)! m (m 1) 2 1
r n r
(r=0,1,2,„,n).
n
n n 1 2 ； ②若 n 是偶数， 则中间项(第 1 项)的二项公式系数最大， 其值为 C n 若 n 是奇数， 则中间两项(第 2 2
n3 项和第 项)的二项式系数相等，并且最大，其值为 C n 2 = C n 2 . 2
1 2 n n ③所有二项式系数和等于 2n，即 C 0 n +C n ＋C n +„+C n =2 .
－ －n rຫໍສະໝຸດ r r+1 项是 Tr+1 =C r b. na
－
⑵ 二项展开式的通项公式
n r r 二项展开式的第 r+1 项 Tr+1=C r b (r=0,1,…n)叫做二项展开式的通项公式。 na
－
⑶ 二项式系数的性质 ①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等， 即 Cn = Cn
k k P( X k ) Cn p (1 p)nk， (k 0， 1 ， 2， ，n) ．此时称随机变量 X 服从二项分布，记作 X ~ B(n，p) ，并称 p 为成
功概率． 三、考点剖析 考点一：排列组合 1、解排列组合题的基本思路： ① 将具体问题抽象为排列组合问题，是解排列组合应用题的关键一步 ② 对“组合数”恰当的分类计算是解组合题的常用方法； ③ 是用“直接法”还是用“间接法”解组合题，其前提是“正难则反” ； 2、解排列组合题的基本方法： ① 优限法：元素分析法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置； ② 排异法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。 ③ 分类处理：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类计数原理得出结论；注意：分类不 重复不遗漏。 ④ 分步处理：对某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决；在解题过程中， 常常要既要分类，以要分步，其原则是先分类，再分步。 ⑤ 插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件
排列组合二项式定理与概率统计
排列组合二项式定理与概率统计重点知识回顾1. 排列与组合⑴ 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理和分步有关, 分类计数原理与分类有关⑵ 排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合,⑶排列与组合的主要公式_r —r+1 项是 T r+1 =C n a n r b r .⑵二项展开式的通项公式二项展开式的第r+1项T r+1=c n a n —r b r （r=0,1,…叫）做二项展开式的通项公式。
⑶二项式系数的性质① 在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等， 即 c n = c n r （r=0,1,2，…,n ）.项和第n 3项）的二项式系数相等，并且最大，其值为2A n = n! =n(n — 1)(n — 2)....... 2 • 1.②组合数公式：c mn! n(n 1)(n m 1)(m < n)m!( n m)!m (m 1) 2 1③组合数性质： ①c m ㈡ m (m < n)② c 0 c ； c n 2c ； 2n③ Cn Cnc 4Cnc 1c 3CnCn2n12.二项式定理⑴二项式定理(a +b)n =C 0a n+c n a n — 1 rb+ …+C n a n r b r +… + c n b n ,其中各项系数就是组合数c n，展开式共有n+1项，第问题•区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关,与顺序有关的属于排列问题, 与顺序无关的属于组合问题求共有多少种方法的①排列数公式:A mn! (n m)!n(n 1) (n m 1) (m <n)②若n 是偶数，则中间项（第 n 1项）的二项公式系数最大,2n其值为c 2 ；若旦古数，则中间两项（第n 12n 是奇C n 2 = C n 2③ 所有二项式系数和等于2n ，即C 0+c 1 + C 2+…+c n =2n .④ 奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和， 即 C n +c n +…=c n +c n + …=2n 1.3.概率(1)事件与基本事件：随机事件:在条件S T ,可能发生也可能不发生的事件 事件 诒宀击” 不可能事件:在条件S T , 一定不会发生的事件确定事件必然事件:在条件S T , 一定会发生的事件基本事件：试验中不能再分的最简单的“单位”随机事件；一次试验等可能的产生一个基本事件；任意两 个基本事件都是互斥的；试验中的任意事件都可以用基本事件或其和的形式来表示.(2) 频率与概率：随机事件的频率是指此事件发生的次数与试验总次数的比值.频率往往在概率附近摆 动，且随着试验次数的不断增加而变化，摆动幅度会越来越小•随机事件的概率是一个常数，不随具体的实验 次数的变化而变化.(3) 互斥事件与对立事件：几何概型：每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度(面积或体积)成比例.两种概型中每个基本事件出现的可能性都是相等的，但古典概型问题中所有可能出现的基本事件只有有限 个，而几何概型问题中所有可能出现的基本事件有无限个.(5)古典概型与几何概型的概率计算公式：古典概型的概率计算公式：P(A)A 包含的基本事件的个数 基本事件的总数几何概型的概率计算公式：P(A)构成事件A 的区域长度(面积或体积) 试验全部结果构成的区域长度(面积或体积)两种概型概率的求法都是“求比例” ，但具体公式中的分子、分母不同.(6) 概率基本性质与公式(4)古典概型 与几何概型：古典概型：具 有“等可能发生的 有限个基本事件” 的概率模型.再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列。
排列组合二项式定理概率基础知识点+思维导图练习
；展开
式共有项数为
项.
（2）二项展开式的通项 Tr1
，表示第
项.
（3）二项展开式中的二项式系数为
；项的系数是指
.
11、（1）对称性：与首末两端
的两项的二项式系数相等，即 Cnr
C nr n
(r
0,1, 2,, n)
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（2）二项式系数最大的项在中间.当幂指数 n 为偶数时，最大的二项式系数为
，
最大二项式系数为第
项；当 n 为奇数时，最大的二项式系数为
，
最大的二项式系数为第
项.
（3）二项式系数之和为
.二项展开式中，各奇数项的二项式系数之和与各偶数
项的二项式系数之和相等，即：
==.源自12、若 (x 1)7 a0 a1x a2 x2 a7 x7 ，令
一、特殊元素特殊位置优先
，得 a0 a1 a2 a7
八、合理分类与分步策略 8、在一次演唱会上共有 10 名演员，其中 8 人能够唱歌，5 人会跳舞，现要演出一个 2
人唱歌 2 人伴舞的节目，有多少种选派方法？
九、构造模型策略 9、马路上有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九只路灯，现要关掉其中的 3 盏，但不能关掉相
邻的 2 盏或 3 盏，也不能关掉两端的 2 盏，求满足条件的关灯方法有多少种？
； Ann
；规定， 0!
；
7、组合数 Cnm 的含义：
8、计算： Cnm
=
；
9、组合数的性质
（1）Cnm
；（2）Cnm
C m1 n
10、（1）对于 n N * ， (a b)n
；（3）Cn0 Cn1 Cn2 Cnn1 Cnn
高中数学基础知识大筛查(6)-排列组合二项式定理、概率与统计
基础知识大筛查-排列组合二项式定理、概率与统计一、概率与分布列1. 等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年n 个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是n1，如果某个事件A 包含的结果有m 个，那么事件A 的概率nmP(A)=. 2. ①互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件A 、B 互斥，那么事件A+B 发生(即A 、B 中有一个发生)的概率，等于事件A 、B 分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推广：)P(A )P(A )P(A )A A P(A n 21n 21+++=+++ . ②对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件．．．．．．．．．．．．．．．叫对立事件. 注意：i.对立事件的概率和等于1：1)P(A P(A)=+=+；ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件.③相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件.如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A ·B)=P(A)·P(B). 由此，当两个事件同时发生的概率P （AB ）等于这两个事件发生概率之和，这时我们也可称这两个事件为独立事件.推广：若事件n 21,A ,,A A 相互独立，则)P(A )P(A )P(A )A A P(A n 21n 21 ⋅=⋅.注意：i. 一般地，如果事件A 与B 相互独立，那么A 与A B ,与B ，A 与B 也都相互独立. ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的.iii. 独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多个事件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件. ④独立重复试验：若n 次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n 次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率：k n k k n n P)(1P C (k)P --=. 3. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a ，b 是常数.则b a +=ξη也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，)(x f 是连续函数或单调函数，则)(ξf 也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.4、离散型随机变量的分布列：设离散型随机变量ξ可能取的值为： ,,,,21i x x x ξ取每一个值),2,1(=i x 的概率p x P ==)(ξ，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列. 121i 4. 二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是：k n k k n qp C k)P(ξ-==[其中p q n k -==1,,,1,0 ] ，随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B （n ，p ），其中n ，p 为参数互斥对立5. 超几何分布：一批产品共有N 件，其中有M （M ＜N ）件次品，今抽取)N n n(1≤≤件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为)M N k n M,0k (0C C C k)P(ξnNk n MN k M -≤-≤≤≤⋅⋅==--.〔分子是从M 件次品中取k 件，从N-M 件正品中取n-k 件的取法数，如果规定m ＜r 时0C rm=，则k 的范围可以写为k=0，1，…，n.〕 6．概率公式：⑴互斥事件（有一个发生）概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；⑵古典概型：基本事件的总数包含的基本事件的个数A A P =)(；⑶几何概型：等）区域长度（面积或体积试验的全部结果构成的积等）的区域长度（面积或体构成事件A A P =)( ；（4）n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率：kn k k n n P)(1P C (k)P --=. （5）事件n 21,A ,,A A 相互独立，则)P(A )P(A )P(A )A A P(A n 21n 21 ⋅=⋅.二、数学期望与方差.n n 2211.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.2. ⑴随机变量b a +=ξη的数学期望：b aE b a E E +=+=ξξη)(（2）两点分布：p p q E =⨯+⨯=10ξ，其分布列为：（p + q = 1） （3）二项分布：∑=⋅-⋅=-np q p k n k n k E k n k )!(!!ξ 其分布列为ξ～),(p n B （P 为发生ξ的概率）3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为),2,1()( ===k p x P k k ξ时，则称+-++-+-=n n p E x p E x p E x D 2222121)()()(ξξξξ为ξ的方差σξξσξ.D =为ξ的标准差ξD 越小，稳定性越高，波动越小．．．．．．．．．．．．．.． 4.方差的性质.⑴随机变量b a +=ξη的方差ξξηD a b a D D 2)()(=+=.（a 、b 均为常数） （2）两点分布：pq D =ξ 其分布列为：（p + q = 1）（3）二项分布：npq D =ξ三、正态分布.1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x 轴上方，ξ落在任一区间),[b a 内的概率等于它与x 轴.直线a x =与直线b x =（如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为图像的函数)(x f 叫做ξ的密度函数，由于“),(+∞-∞∈x ” 是必然事件，故密度曲线与x 轴所夹部分面积等于1.2. ⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：222)(21)(σμσπ--=x ex f .（σμ,,R x ∈为常数，且0 σ），称ξ服从参数为σμ,的正态分布，用ξ～),(2σμN 表示.)(x f 的表达式可简记为),(2σμN ，它的密度曲线简称为正态曲线.⑵正态分布的期望与方差：若ξ～),(2σμN ，则ξ的期望与方差分别为：2,σξμξ==D E . ⑶正态曲线的性质.①曲线在x 轴上方，与x 轴不相交. ②曲线关于直线μ=x 对称.③当μ=x 时曲线处于最高点，当x 向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.④当x ＜μ时，曲线上升；当x ＞μ时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向x 轴无限的靠近.⑤当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.四、抽样方法⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N ，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为n 的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。
二项式
排列组合二项式定理及概率高考复习建议本章知识结构一、排列与组合１.正确理解概念公式，明确五个２。
①两个原理关键是做一件事指的是什么?弄清是分类还是分步。
②两个定义 关键是弄清需要考虑顺序还是不需考虑顺序。
③两组公式 关键是根据题目特点合理选用。
④两个约定: 0n C =1 ,0!=1⑤两个性质：m n C = m n n C -，m n C +1m n C -=m 1n C + (m ≤n,m,n ∈N *)2.对排列组合知识的认识（1）问题实质：数数 （2）数数的方法⎧⎨⎩分类计数分步计数（3）题目模式：1234N M M M M =⨯+⨯（4）重点：⎧⎪⎨⎪⎩两个原理两个定义两个公式（5）难点：应用3.解题步骤；分类→ 分步→判断4. 解决问题的思维程序；做一件什么事？怎样才算把事情做完？用不用分类？怎样分类？例1.从6名男生和4名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生则不同的选法有多少种?例2. 9名翻译中，6个懂英语，4个懂日语，从中选拔5人参加外事活动，要求其中3人担任英语翻译，2人担任日语翻译，选拔的方法有多少种？5.要善于退，足够地退，退到最简单而不失重要性的地方是解决数学问题的诀窍 例3（05北京理）北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为(A )（A ）124414128C C C （B ）124414128C A A （C ）12441412833C C C A（D ）12443141283C C C A6.掌握基本题型 (1)投信问题例: ①三封信投入到5个邮筒,有多少种投法? ②由{a,b,c,d}到{e,f}的映射共有多少个?(2)“在与不在”的问题例: 3位男生,5位女生坐在一排照相,共有多少种坐法?①甲、乙两人必须在两端,有多少种坐法?②甲不在排头乙不在排尾,有多少种坐法?(3)“邻与不邻”问题例1:3位男生,5位女生坐在一排照相①三位男生必须坐在一起,有多少种坐法? ②甲、乙相隔一人,有多少种坐法?例2 :3位男生5位女生坐在一排照相,三位男生中任意两人不能相邻,有多少种坐法? 例3: 4位男生,4位女生相间站队,有多少种站法? 例4: 4位男生,5位女生相间站队,有多少种站法?(4) “含与不含”问题例1: 100件产品中，正品97件，次品3件，现从中取出5件检验， （1）取出的5件全是正品的取法有___________种； （2）取出的5件中恰好有2次品的取法有___________种； （3）取出的5件中至少有2次品的取法有___________种. (5)顺序一定问题例: 3位男生,5位女生坐在一排照相①甲、乙、丙三人顺序一定,有多少种坐法?②甲、乙相邻且甲在乙的左边，有多少种坐法?⑹分组问题(注意有序均分和无序均分的区别) 例1: 把4人分成两组①两组人数分别为1、3,有多少种分法? ②平均分成第一、第二两组,有多少种分法? ③平均分成两组,有多少种分法?例2: 把6本不同的书①平均分给3人,有多少种分配方案? ②平均分成3堆,有多少种分配方案?③分给甲、乙、丙三人，甲3本,乙2本,丙1本,有多少种分配方案? ④分给三人，其中一人得3本,一人得2本,一人得1本,有多少种分配方案? ⑤分成三堆，其中一堆3本,一堆2本,一堆1本,有多少种分配方案? ⑥分成三堆，其中一堆4本,其余两堆各1本,有多少种分配方案?二、二项式定理1.(a+b)n ＝0n C a n +1n C a n-1 b+2n C a n-2b 2 +…+r n C a n-r b r +…+n n C b n特点:①展开式共有n+1项.②在每一项中, a 、b 的位置不能颠倒，a,b 的指数和为n 且b 的指数与组合数的上标相同.③二项式系数的上标从0增加到n,a 的指数从n 减少到0,b 的指数从0增加到n.性质:①二项式展开式中,与首尾两端等距离的两项的二项式系数相等. ②二项式展开式的二项式系数在中间位置取得最大值③0n C +1n C +2n C +…+n n C =2n (n ∈N); 0n 2C +2n 2C +4n 2C +…+n2n 2C =22n-1 (n ∈N) 1n 2C +3n 2C +5n 2C +…+1n 2n2C -=22n-1 (n ∈N) 通项公式： T r+1 = r n C an-rb r2．高考类型题（1）利用通项公式解题例1：求61)x①常数项 ②32x 项的系数 ③各项系数的和 ④写出所有的无理项 (2)根据恒等式意义解题例2：设9290129(13)x a a x a x a x -=++++①求0a =②求0129a a a a ++++ = ③求0129||||||||a a a a ++++ =（3）和二项式定理有关的问题例1在25(32)x x ++的展开式中x 的系数为（ ）A 、160 B 、240 C 、360 D 、800 例2：求(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+…+(1+x)n+2展开式中的含x 2的项的系数.(4)利用二项式的性质化简例1填空①0n C +2n C +4n C +…+n n C = ②18C +28C +38C +…+88C =③19C +39C +59C +…+99C = ④210242322C C C C ++++ =三、概率（一）求随机事件概率的基本方法1．随机试验法2．结果分析法(根据试验中各结果出现的等可能性求概率)（1）掌握等可能事件的概率计算公式P （A ）=m/n（2）掌握概率计算的三个步骤：用字母表示事件；求m 、n ；计算P （A ）。
高三总复习排列组合二项式定理和概率
高三总复习排列组合二项式定理和概率一、本讲进度«排列、组合、二项式定理和概率» 二、本讲要紧内容1、排列数、组合数的运算、化简、证明等；会解排列、组合应用题，把握常见应用题的处理思路。
2、把握二项式定理，会用展开式通项求有关展开式的咨询题。
3、明白得随机事件的概率，会求等可能事件的概率，能用加法公式和乘法公式求互斥事件和相互独立事件同时发生的概率。
三、复习指导1、分类计数原理和分步计数原理是排列组合的基础和核心，既可用来推导排列数、组合数公式，也可用来直截了当解题。
它们的共同点差不多上把一个事件分成假设干个分事件来进行运算。
只只是利用分类运算原理时，每一种方法都可能独立完成事件；如需连续假设干步才能完成的那么是分步。
利用分类计数原理，重在分〝类〞，类与类之间具有独立性和并列性；利用分步计数原理，重在分步；步与步之间具有相依性和连续性。
比较复杂的咨询题，常先分类再分步。
2、排列数与组合数差不多上运算完成事件方法个数的公式，排列数是研究排列〔既取又排〕个数的公式，组合数是研究组合〔只取不排〕个数的公式，是否有序是它们之间的本质区不。
排列数公式：)!m n (!n )]1m (n [)2n )(1n (n A m n -=----= ，当m=n 时，!n 12)1n (n A m n =⋅-= ，其中m ，n ∈N +，m ≤n ，规定0!=1组合数公式：)!m n (!m !n !m )]1m (n [)2n )(1n (n A A C m mm n m n-=----==组合数性质：m 1n 1m n m n m n n m n C C C ,C C +--=+=，规定1C 0n =，其中m ，n ∈N +，m ≤n3、处理排列组合应用题的规律 （1）两种思路：直截了当法，间接法 （2）两种途径：元素分析法，位置分析法〔3〕对排列组合的混合题，一样先选再排，即先组合再排列。
弄清要完成什么样的事件是前提 〔4〕基此题型及方法：捆绑法，插空法，错位法，分组分配法，平均分组法，逆向摸索法等4、二项式定理nn n r r n r n 1n 1n n 0n n b C b a C b a C a C )b a (+++++=+-- 通项公式r1n r n 1r b aC T -+=，r=0，1，2，…，n 二项式系数的性质：〔1〕对称性，在展开式中，与首末两端〝等距离〞的两个二项式系数相等，即nn 0n C C =， r n n r n 2n n 2n 1n n 1n C C ,,C C ,C C ---=== ；〔2〕增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值，当n 是偶数时，中间一项2n n C 最大；当n是奇数时，中间两项21n n C -，21n n C +相等，且为最大值；〔3〕 +++=+++=++++5n 3n 1n 4n 2n 0n n n n 2n 1n 0n C C C C C C ,2C C C C5、概率（1）概率是频率的近似值，两者是不同概念 （2）等可能事件中概率nm)A (P =，P(A)∈[0，1] （3）互斥事件A ，B 中有一个发生的概率：加法公式P(A+B)=P(A)+P(B) 特例：A B =时，1)A (P )A (P =+，即对立事件的概率和为1 〔4〕相互独立事件A ，B 同时发生的概率P(A ·B)=P(A)P(B)〔5〕事件A 在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C n k P k(1-P)n-k，其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n展开的第k+1项四、典型例题例1、用n 种不同颜色为以下两块广告牌着色〔如图〕，要求在①，②，③，④个区域中相邻〔有公共边界〕的区域不用同一种颜色。
第讲排列组合和二项式定理概率(2022高考数学---新东方内部
第讲排列组合和二项式定理概率(2022高考数学---新东方内部第十一章排列、组合和二项式定理1.排列数公式mAnn(n1)(n2)(nm1)n!n(mn)；Ann!n(n1)(n2)21。
(nm)!如①1！+2！+3！+…+n！（n4,nN某）的个位数字为；（答：3）②满足A8某6A8某2的某＝（答：8）组合数公式mAnn(n1)(nm1)n!0Cm(mn)；规定0!1，Cn1.Amm(m1)21m!nm!mnmnm如已知CnCm1An6，求n，m的值.（答：m＝n＝2）(了解)排列数、组合数的性质①CnmCnnm；1②CnmCnm1Cnm1；kk1③kCn；nCn11④CrrCrr1Crr2CnrCnr；1⑤nn!(n1)!n!；n11⑥.(n1)!n!(n1)!2.解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列，无序组合．如①将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种；（答：35）②从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有种；（答：70）③从集合1,2,3和1,4,5,6中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数是_；（答：23）④72的正约数（包括1和72）共有个；（答：12）⑤A的一边AB上有4个点，另一边AC上有5个点，连同A的A顶点共10个点，以这些点为顶点，可以构成_____个三角形；（答：CB90）⑥用六种不同颜色把右图中A、B、C、D四块区域分开，允许同一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，则共有D种不同涂法；（答：480）⑦同室4人各写1张贺年卡，然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有种；（答：9）⑧f是集合Ma,b,c到集合N1,0,1的映射，且f(a)f(b)f(c)，则不同的映射共有个；（答：7）3.解排列组合问题的方法有：（1）特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）。
高考数学知识点排列组合二项式和概率
高考知识点：排列、组合、二项式、概率一、分类计数原理和分步计数原理：分类计数原理：如果完成某事有几种不同的方法，这些方法间是彼此独立的，任选其中一种方法都能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的和。
分步计数原理：如果完成某事，必须分成几个步骤，每个步骤都有不同的方法，而—个步骤中的任何一种方法与下一步骤中的每一个方法都可以连接，只有依次完成所有各步，才能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的积。
区别：如果任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事，则选用分类计数原理，即类与类之间是相互独立的，即“分类完成”；如果只有当n 个步骤都做完，这件事才能完成，则选用分步计数原理，即步与步之间是相互依存的，连续的，即“分步完成”。
二、排列与组合：（1）排列与组合的区别和联系：都是研究从一些不同的元素中取出n 个元素的问题； 区别：前者有顺序，后者无顺序。
（2）排列数、组合数： 排列数的公式：)()!(!)1()2)(1(n m m n n m n n n n A m n ≤-=+---= 注意：①全排列：!n A n n =； ②记住下列几个阶乘数，1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720； 排列数的性质：①1-=m m nA A （将从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，分两步完成：第一步从n 个元素中选出1个排在指定的一个位置上；第二步从余下1-n 个元素中选出1-m 个排在余下的1-m 个位置上）②m m m A mA A 1-+=（将从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，分两类完成：第一类：m 个元素中含有a ，分两步完成：第一步将a 排在某一位置上，有m 不同的方法。
第二步从余下1-n 个元素中选出1-m 个排在余下的1-m 个位置上）即有11--m n mA 种不同的方法。
第二类：m 个元素中不含有a ，从1-n 个元素中取出m 个元素排在m 个位置上，有m n A 1-种方法。
排列组合二项式定理和概率
补 右图是我国古代的“杨辉三角形”，按其数字
构成规律，图中第八行所有 中应填数字的和
等于（ B ）. （09年）
1
A. 96 B.128 C. 256 D.312
11 121 13 31
解 n7
146 41 1 5 10 10 5 1
27 128
1 6 15 20 15 6 1
补 求 (x 1 )9 的展开式中 x3 的系数。
★ 3. 排列数公式
n! n (n 1) (n 2) 21
Pnm n (n 1) (n 2) (n m 1)
▽
Pnm
n! (n m)!
特别： Pnn n!
例 P130 1098 720.
补 由 0,1, 2, 9 可组成多少个8位数的电话号码？108.
例 5个男生和2个女生站成一排照相。
（1）共有多少种排法？ （2）男生甲必须站在左端或右端，且2个女生必须相邻，
有多少种排法？
（3）男生甲必须站在中间，且2个女生必须相邻，
有多少种排法？
解 （1） P77 7! 5040
（2）
（P63 例2）
先安排甲 P21 P55 2 480
（3）
在第 n 类办法中有 mn种不同的方法。
则完成这件事共有：
m1 m2 mn 种不同的方法。
2. 分步计数原理（乘法原理）
若完成一件事需要分成 n 个步骤。
做第一步有 m1 种不同的方法； 做第二步有 m2 种不同的方法；
做第 n 步有mn 种不同的方法。
则完成这件事共有：
m1 m2 mn 种不同的方法。
(a0 a2 a4 )2 (a1 a3 )2 (2 3)4 (2 3)4
排列、组合、二项式定理及概率与统计知识总结
专题八： 排列、组合、二项式定理、概率与统计梁书果 徐伟一、考点审视1． 突出运算能力的考查。
高考中无论是排列、组合、二项式定理和概率题目，均是用数值给出的选择支或要求用数值作答，这就要求平时要重视用有关公式进行具体的计算。
2． 有关排列、组合的综合应用问题。
这种问题重点考查逻辑思维能力，它一般有一至两个附加条件，此附加条件有鲜明的特色，是解题的关键所在；而且此类问题一般都有多种解法，平时注意训练一题多解；它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于中等偏难（理科）的题目。
3． 有关二项式定理的通项式和二项式系数性质的问题。
这种问题重点考查运算能力，特别是有关指数运算法则的运用，同时还要注意理解其基本概念，它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于基础题。
4． 有关概率的实际应用问题。
这种问题既考察逻辑思维能力，又考查运算能力；它要求对四个概率公式的实质深刻理解并准确运用；文科仅要求计算概率，理科则要求计算分布列和期望；它一般以一小一大（既一道选择题或填空题、一道解答题）的形式出现，属于中等偏难的题目。
5． 有关统计的实际应用问题。
这种问题主要考查对一些基本概念、基本方法的理解和掌握，它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于基础题。
二、考试要求：排列、组合与二项式定理部分：1．掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题.2．理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题.3．理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题.4．掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题.概率部分：5．了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义.6．了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率.7．了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率.8．会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率.概率统计部分：⑴了解随机变量、离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列。
排列组合、二项式定理及概率与统计
⑶当 中含有4个元素时，从5个元素中选出4个元素，有 =5种选法，再分成1-3；2-2；3-1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有3×5=15种方法；
（4）某人射击6次，恰好有3枪命中的结果有多少种？
2、以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有（）个、计算：（1） ＋ ＋ ＋ =_______
（2）若 ，则 =_______
4、四面体的一个顶点为A，从其它顶点与各棱中点中取三个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有（）种。
A． B． C． D．
集合 选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数。也就是A和B满足：① ;② 至少含有2个元素，至多5个元素。自然按照 中的元素多少可以分类计算了。
解法一：
⑴当 中含有2个元素时，从5个元素中选出2个元素，有 =10种选法，小的给A集合，大的给B集合。有10×1＝10种方法；
第十章
知识体系：
第一讲
一、基础知识再现
1、分类计数原理：
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
（4）最多有一条次品的抽法有_________种。
二、典型例题
例1、若｛1，2｝ Z ｛1，2，3，4，5｝，满足这个关系式的集合Z共有（）个。
排列组合和二项式定理及概率统计知识点
排列组合二项定理 知识要点一、两个原理.1. 乘法原理、加法原理.2. 可．以有．．重复．．元素．．的排列. 从m 个不同元素中，每次取出n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n .. 例如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：nm 种）二、排列.1. ⑪对排列定义的理解.定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑫相同排列.如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同.⑬排列数.从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号mn A 表示.⑭排列数公式：),,()!(!)1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-=+--=注意：!)!1(!n n n n -+=⋅ 规定0! = 1111--++=⋅+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11--=m n m n nA A 规定10==n n n C C 2. 含有可重元素．．．．．．的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于!!...!!21k n n n n n =.例如：已知数字3、2、2，求其排列个数3!2!1)!21(=+=n 又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数1!3!3==n .三、组合.1. ⑪组合：从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.⑫组合数公式：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C mn mmm n mn-=+--== ⑬两个公式：①;m n n mn CC -= ②mn m n m n C C C11+-=+①从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素，因此从n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合.（或者从n+1个编号不同的小球中，n 个白球一个红球，任取m 个不同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选法有1m n 111m n C C C --=⋅一类是不含红球的选法有mn C ）②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m 个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n 个元素中再取m-1个元素，所以有C 1-m n ，如果不取这一元素，则需从剩余n 个元素中取出m 个元素，所以共有C mn 种，依分类原理有mn m n m n C C C11+-=+.⑭排列与组合的联系与区别.联系：都是从n 个不同元素中取出m 个元素.区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系. ⑮①几个常用组合数公式 n n nn n n C C C 2210=+++ 11111121153142011112++--++++++-+=+==++=+++=+++k n k n k n k n m n m m n m m m m m m n n n n n n n n C n C k nC kC C C C C C C C C C C C②常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法. 如：)!1(11)!1(!43!32!21+-=++++n n n （利用!1)!1(1!1n n n n --=-） ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.v. 递推法（即用m n m n m n C C C 11+-=+递推）如：413353433+=+++n n C C C C C . vi. 构造二项式. 如：nn n n n n C C C C 222120)()()(=+++证明：这里构造二项式n n n x x x 2)1()1()1(+=++其中n x 的系数，左边为22120022110)()()(n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C +++=⋅++⋅+⋅+⋅-- ，而右边nn C 2= 四、排列、组合综合.1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型： ①直接法.②排除法. n 个不同座位，例：A 、B 两个不能相邻，则有排列法种数为-2n A 2211A A n ⋅-. ③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，②有n 件不同商品，若其中A 、B 排在一起有2211A A n n ⋅--.③有n 件不同商品，若其中有二件要排在一起有112--⋅n n n A A . ④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.例如：n 个元素全排列，其中m 个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？mm n m n m n A A 1+---⋅（插空法），当n – m+1≥m, 即m≤21+n 时有意义.⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n 个元素进行全排列有n n A 种，)(n m m 个元素的全排列有m m A 种，由于要求m 个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n 个元素排成一列，其中m 个元素次序一定，共有m mn n A A 种排列方法.例如：n 个元素全排列，其中m 个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）…n = n ！/ m ！；解法二：（比例分配法）m m n n A A /.⑦平均法：若把kn 个不同元素平均分成k 组，每组n 个，共有k knnn n k n kn A C C C )1(-⋅.例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有3!224=C⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题.例如：124321=+++x x x x 的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为4321,,,x x x x 显然124321=+++x x x x ，故（4321,,,x x x x ）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解),,,(4321y y y y ，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数311C .注意：若为非负数解的x 个数，即用n a a a ,...,21中i a 等于1+i x ，有A a a a A x x x x n n =-+-+-⇒=+++1...11...21321，进而转化为求a 的正整数解的个数为1-+n n A C .⑨定位问题：从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列规定某r 个元素都包含在内，并且都排在某r 个指定位置则有rk r n r r A A --.x 2x 4例如：从n 个不同元素中，每次取出m 个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少种排法？固定在某一位置上：11--m n A ；不在某一位置上：11---m n m n A A 或11111----⋅+m n m m n A A A （一类是不取出特殊元素a ，有mn A 1-，一类是取特殊元素a ，有从m-1个位置取一个位置，然后再从n-1个元素中取m-1，这与用插空法解决是一样的） ⑩指定元素排列组合问题.i. 从n 个不同元素中每次取出k 个不同的元素作排列（或组合），规定某r 个元素都包含在内 。
排列组合与二项式定理
B． 24种 D． 36种
解析：因为恰有2人选修课程甲，共有C2 4 6 种结果，所以余下的两个人各有两种选法， 共有2 2 4种结果，根据分步计数原理知共 有6 4 24种结果．
2.(2011 重庆卷) 1 2x 的展开式中x 4的系数是
6
_________ .
r r 解析：展开式的通项为Tr 1 2r C6 x. 4 令r 4得展开式中x 4的系数是24 C6 240.
4 得常数1 1 C8 70； 4
当第一个括号中取2x 2时，则第二个括号必取
5
1 x2
5 项，由通项易知当r 5时，取得常数2 1 C8
112，所以展开式中常数项为 112 70 42.
【思维启迪】本题主要考查二项式定理的通项 公式及分类讨论的思想方法．解答两个因式 积的展开式问题主要有两种途径：
究；
6 近似计算：构造二项式，展开后根据精确度的要
求分析应取前几项，从哪项开始去掉后面的所有项．
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1.(2 011 全国大纲卷)4位同学每人从甲、乙、丙3 门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同 选法共有 A． 12种 C． 30种
专题三
排列、组合、二项式 定理、概率与统计
1．计数原理 分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办 法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同 的方法， ，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么 完成这件事共有N m1 m2 mn种不同的方法． 分步计数原理：完成一件事，需要n个步骤，做 第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法， ，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有 N m1 m2 mn种不同的方法．
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排列组合二项式定理和概率一、知识整合与考试要求：1．掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题. 2．理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题.3．理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题.4．掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题. 5．了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义.6．了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率.7．了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率.8．会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率. Ⅰ、随机事件的概率例1 某商业银行为储户提供的密码有0，1，2，…，9中的6个数字组成.(1)某人随意按下6个数字，按对自己的储蓄卡的密码的概率是多少？(2)某人忘记了自己储蓄卡的第6位数字，随意按下一个数字进行试验，按对自己的密码的概率是多少？解 （1）储蓄卡上的数字是可以重复的，每一个6位密码上的每一个数字都有0，1，2， (9)10种，正确的结果有1种，其概率为6101，随意按下6个数字相当于随意按下610个，随意按下6个数字相当于随意按下610个密码之一，其概率是6101.(2)以该人记忆自己的储蓄卡上的密码在前5个正确的前提下，随意按下一个数字，等可能性的结果为0，1，2，…，9这10种，正确的结果有1种，其概率为101. 例2 一个口袋内有m 个白球和n 个黑球，从中任取3个球，这3个球恰好是2白1黑的概率是多少？（用组合数表示）解 设事件I 是“从m 个白球和n 个黑球中任选3个球”，要对应集合I 1，事件A 是“从m 个白球中任选2个球，从n 个黑球中任选一个球”，本题是等可能性事件问题，且Card(I 1)=123)(,n m nm CC A Card C⋅=+，于是P(A)=3121)()(nm nm C C C I Card A Card +⋅=.Ⅱ、互斥事件有一个发生的概率例3在20件产品中有15件正品，5件次品，从中任取3件，求：（1）恰有1件次品的概率；（2）至少有1件次品的概率.解 （1）从20件产品中任取3件的取法有320C ，其中恰有1件次品的取法为15215C C 。
∴ 恰有一件次品的概率P=763532015215=C C C . (2)法一 从20件产品中任取3件，其中恰有1件次品为事件A 1,恰有2件次品为事件A 2，3件全是次品为事件A 3,则它们的概率P(A 1)= 32015215C C C =228105,2282)(320115252==C C C A P ,2282)(320353==C C A P , 而事件A 1、A 2、A 3彼此互斥，因此3件中至少有1件次品的概率 P(A 1+A 2+A 3)=P(A 1)+P(A 2)+P(A 3)=228137. 法二 记从20件产品中任取3件，3件全是正品为事件A ，那么任取3件，至少有1件次品为A ，根据对立事件的概率加法公式P(A )=2281371)(1320315=-=-C C A P 例4 1副扑克牌有红桃、黑桃、梅花、方块4种花色，每种13张，共52张，从1副洗好的牌中任取4张，求4张中至少有3张黑桃的概率.解 从52张牌中任取4张，有452C 种取法.“4张中至少有3张黑桃”，可分为“恰有3张黑桃”和“4张全是黑桃”，共有413139313C C C +⋅种取法452413139313C C C C +⋅∴ 注 研究至少情况时，分类要清楚。
Ⅲ、相互独立事件同时发生的概率例5 猎人在距离100米处射击一野兔，其命中率为0.5，如果第一次射击未中，则猎人进行第二次射击，但距离150米. 如果第二次射击又未中，则猎人进行第三次射击，并且在发射瞬间距离为200米. 已知猎人的命中概率与距离的平方成反比，求猎人命中野兔的概率. 解 记三次射击依次为事件A ，B ，C ，其中21)(=A P ,由2100)(21k A P ==，求得k=5000。
812005000P(C),921505000P(B)22====∴,∴命中野兔的概率为 .1449581)921)(211(92)211(21)()()()()()()()A P(P(A)=⨯--+⨯-+=++=⋅⋅+⋅+C P B P A P B P A P A P C B A P B例6 要制造一种机器零件，甲机床废品率为0.05，而乙机床废品率为0.1，而它们的生产是独立的，从它们制造的产品中，分别任意抽取一件，求：（1）其中至少有一件废品的概率； （2）其中至多有一件废品的概率. 解： 设事件A 为“从甲机床抽得的一件是废品”；B 为“从乙机床抽得的一件是废品”.则P （A ）=0.05, P(B)=0.1, （1）至少有一件废品的概率145.090.095.01)()(1)(1)(=⨯-=⋅-=+-=+B P A P B A P B A P（2）至多有一件废品的概率995.09.095.01.095.09.005.0)(=⨯+⨯+⨯=⋅+⋅+⋅=B A B A B A P PⅣ、概率内容的新概念较多，本课时就学生易犯错误作如下归纳总结： 类型一 “非等可能”与“等可能”混同例1 掷两枚骰子，求所得的点数之和为6的概率．错解 掷两枚骰子出现的点数之和2，3，4，…，12共11种基本事件，所以概率为P=111剖析 以上11种基本事件不是等可能的，如点数和2只有(1，1)，而点数之和为6有(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)共5种．事实上，掷两枚骰子共有36种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和为6”的概率为P=536． 类型二 “互斥”与“对立”混同例2 把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（ ）A ．对立事件B ．不可能事件C ．互斥但不对立事件D ．以上均不对 错解 A剖析 本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同，二者的联系与区别主要体现在 ：(1)两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；(2)互斥概念适用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件；(3)两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生． 事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰有一个发生，一个不发生，可能两个都不发生，所以应选C ． 类型三 “互斥”与“独立”混同例3 甲投篮命中率为O ．8，乙投篮命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少?错解 设“甲恰好投中两次”为事件A ，“乙恰好投中两次”为事件B ，则两人都恰好投中两次为事件A+B ，P(A+B)=P(A)+P(B)： 2222330.80.20.70.30.825c c ⨯+⨯=剖析 本题错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑，将两人都恰好投中2次理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和．互斥事件是指两个事件不可能同时发生；两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生与否没有影响，它们虽然都描绘了两个事件间的关系，但所描绘的关系是根本不同．解： 设“甲恰好投中两次”为事件A ，“乙恰好投中两次”为事件B ，且A ，B 相互独立，则两人都恰好投中两次为事件A·B ，于是P(A·B)=P(A)×P(B)= 0.169 二、高考题选讲1 甲、乙二人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人依次各抽一题.（Ⅰ）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？ （Ⅱ）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？2 如图,用A 、B 、C 三类不同的元件连接成两个系统N 1、N 2.当元件A 、B 、C 都正常工作时,系统N 1正常工作；当元件A 正常工作且元件B 、C 至少有一个正常工作时,系统N 2正常工作.已知元件A 、B 、C 正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90.分别求系统N 1、N 2正常工作的概率P 1、P 2.3 某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立）.（Ⅰ）求至少3人同时上网的概率； （Ⅱ）至少几人同时上网的概率小于0.3？4 有三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验.（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率.（精确到0.001）5. 从10位同学（其中6女，4男）中随机选出3位参加测验.每位女同学能通过测验的概率均为54，每位男同学能通过测验的概率均为53.试求： （Ⅰ）选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；（Ⅱ）10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率.解：本小题主要考查组合，概率等基本概念，独立事件和互斥事件的概率以及运用概率知识 解决实际问题的能力，满分12分. 解：（Ⅰ）随机选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率为1－6531036=C C ；………………6分（Ⅱ）甲、乙被选中且能通过测验的概率为.1254535431018=⨯⨯C C ；………………12分 6. 已知8支球队中有3支弱队,以抽签方式将这8支球队分为A 、B 两组,每组4支.求：（Ⅰ）A 、B 两组中有一组恰有两支弱队的概率； （Ⅱ）A 组中至少有两支弱队的概率.解：（Ⅰ）解法一：三支弱队在同一组的概率为 .7148154815=+C C C C故有一组恰有两支弱队的概率为.76711=-解法二：有一组恰有两支弱队的概率.76482523482523=+C C C C C C （Ⅱ）解法一：A 组中至少有两支弱队的概率21481533482523=+C C C C C C 解法二：A 、B 两组有一组至少有两支弱队的概率为1，由于对A 组和B 组来说，至少有两支弱队的概率是相同的，所以A 组中至少有两支弱队的概率为.217.某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题.竞赛规则规定：答对第一、二、三问题分别得100分、100分、200分，答错得零分.假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响. （Ⅰ）求这名同学得300分的概率； （Ⅱ）求这名同学至少得300分的概率.8. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.（Ⅰ）求所选3人都是男生的概率； （Ⅱ）求所选3人中恰有1名女生的概率； （Ⅲ）求所选3人中至少有1名女生的概率.9. 某地区有5个工厂，由于用电紧缺，规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电（选哪一天是等可能的）.假定工厂之间的选择互不影响. （Ⅰ）求5个工厂均选择星期日停电的概率； （Ⅱ）求至少有两个工厂选择同一天停电的概率.10. 甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.（Ⅰ）分别求甲、乙两人考试合格的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.11. 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为41,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为121,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为92. （Ⅰ）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率；（Ⅱ）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.12.为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率（记为P ）和所需费用如下:预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施，在总费用不超过120万元的前 提下,请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大.(2004年湖北卷)解：方案1：单独采用一种预防措施的费用均不超过120万元.由表可知，采用甲措施，可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为0.9.方案2：联合采用两种预防措施，费用不超过120万元，由表可知.联合甲、丙两种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为1—(1—0.9)(1—0.7)=0.97.方法3：联合采用三种预防措施，费用不超过120万元，故只能联合乙、丙、丁三种预防措施，此时突发事件不发生的概率为1—（1—0.8）(1—0.7)(1—0.6)=1—0.024=0.976.综合上述三种预防方案可知，在总费用不超过120万元的前提下，联合使用乙、丙、丁三种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大.13. 设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5.（Ⅰ）三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标概率；（Ⅱ）若甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次的概率.14．从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（ D ）A ．12513 B ．12516 C ．12518 D ．12519 15．（本小题满分12分）一接待中心有A 、B 、C 、D 四部热线电话，已知某一时刻电话A 、B 占线的概率均为0.5，电话C 、D 占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部电话占线.试求随机变量ξ的概率分布和它的期望.解：本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念.考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.解：P(ξ=0)=0.52×0.62=0.09.P(ξ=1)=12C ×0.52×0.62+12C ×0.52×0.4×0.6=0.3P(ξ=2)= 22C ×0.52×0.62+12C 12C ×0.52×0.4×0.6+22C ×0.52×0.42=0.37. P(ξ=3)= 22C 12C ×0.52×0.4×0.6+12C 22C ×0.52×0.42=0.2 P(ξ=4)= 0.52×0.42=0.04所以E ξ=0×0.09+1×0.3+2×0.37+3×0.2+4×0.04=1.8. 16．从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是（C ）A ．95B ．94 C ．2111 D ．2110 17．在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521 的数共有 （ C ） A ．56个 B ．57个 C ．58个 D ．60个18.某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为5:3:2，现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 种型号产品有16件.那么此样本的容量n= .(答案: 80) 19．标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子内，每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有 240 种.（以数字作答）20.某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本；已知从女学生中抽取的人数为80人，则n= 192 .。