标准二阶系统的阶跃响应及性能分析

11级自动控制原理实验二姓名：陈泉学号：1104130103班级：楼宇自动化01班2013年11月26日星期二1、标准二阶系统的阶跃响应及性能分析考虑图2.2所示的标准二阶系统，假设ωn=1（这等价于ωn t为自变量），利用程序lab.3_1.m观察ζ=0.1,0.2,0.4,0.7,1.0,2.0时的系统单位阶跃响应，估计各自对应的性能水平，并将其与理论值进行比较。

解：Lab.3_1.m程序如下t=[0:0.1:12]; num=[1];zeta1=0.1; den1=[1 2*zeta1 1]; sys1=tf(num,den1);zeta2=0.2; den2=[1 2*zeta2 1]; sys2=tf(num,den2);zeta3=0.4; den3=[1 2*zeta3 1]; sys3=tf(num,den3);zeta4=0.7; den4=[1 2*zeta4 1]; sys4=tf(num,den4);zeta5=1.0; den5=[1 2*zeta5 1]; sys5=tf(num,den5);zeta6=2.0; den6=[1 2*zeta6 1]; sys6=tf(num,den6);[y1,T1]=step(sys1,t); [y2,T2]=step(sys2,t);[y3,T3]=step(sys3,t); [y4,T4]=step(sys4,t);[y5,T5]=step(sys5,t); [y6,T6]=step(sys6,t);plot(T1,y1,T2,y2,T3,y3,T4,y4,T5,y5,T6,y6)xlabel('\omega_n t'), ylabel('y(t)')title('\zeta = 0.1, 0.2, 0.4, 0.7, 1.0, 2.0'), grid 运行结果为：分析：由运行的结果可以看出，ζ=0.1,0.2,0.4,0.7,1.0,2.0分别对应图中的蓝线，绿线，红线，浅蓝线，紫线和黄线。

从图中可以看出，当ωn =1恒定时，ζ越大时，对应系统的超调量会越小，上升时间会越大，响应速度也会越大，而系统的稳定性会增强。

在欠阻尼的情况下，超调量的理论值为21ξζπσ-=e p ，当ζ增大时，超调量确实减小。

调节时间ns t ζω3≈，ωn =1恒定时，ζ增大时，调节时间ζ=0.1 ζ=0.7ζ=2.0ζ=1.0ζ=0.4ζ=0.2会增加。

上升时间dr t ωθπ-=（21ξωω-=n d ），当ζ增大时，调节时间增大。

当系统为临界阻尼状态时，系统的单位阶跃响应为()()t e t y n t n ωξω+-=-11，无超调量，上升时间与调节时间相对于欠阻尼状态更大。

当系统为过阻尼状态时，系统也无超调量，上升时间与调节时间比临界阻尼状态更大。

所得结果与理论值符合。

2、 标准二阶系统的脉冲响应仍然考虑图2.2所示系统和假设ωn =1，运行程序lab3_2.m.观察当ζ=0.1,0.25,0.5,1.0时的系统单位脉冲响应解：lab3_2.m 的程序如下 >> t=[0:0.1:10]; num=[1];zeta1=0.1; den1=[1 2*zeta1 1]; sys1=tf(num,den1); zeta2=0.25; den2=[1 2*zeta2 1]; sys2=tf(num,den2); zeta3=0.5; den3=[1 2*zeta3 1]; sys3=tf(num,den3); zeta4=1.0; den4=[1 2*zeta4 1]; sys4=tf(num,den4); [y1,T1]=impulse(sys1,t); [y2,T2]=impulse(sys2,t); [y3,T3]=impulse(sys3,t); [y4,T4]=impulse(sys4,t); plot(t,y1,t,y2,t,y3,t,y4)xlabel('\omega_n t'), ylabel('y(t)/\omega_n') title('\zeta = 0.1, 0.25, 0.5,1.0'), grid 运行结果为：分析：当ζ=0.1,0.25,0.5,1.0时，分别对应图中蓝线，绿线，红线，浅蓝线。

由结果图可以看出，当ωn =1恒定时，ζ越大，系统的超调量越小，上升时间也越小，调节时间也越小，系统更加稳定。

3、 移动机器人驾驶控制系统关于三角波输入的响应移动机器人驾驶控制系统图如图 2.3所示。

其中()s K K s G /211+=运行程序lab3_3.m 。

观察当系统输入如图2.4所示时的系统响应，估计其稳态误差，并将其与理论值进行比较。

利用函数lsim 可对闭环系统关于斜坡输入的响应进行仿真，其使用方法如图2.5所示。

ζ=0.1ζ=0.25 ζ=1.0ζ=0.5解：程序lab3_3.m如下numg=[10 20]; deng=[1 10 0]; sysg=tf(numg,deng); sys=feedback(sysg,[1]);t1=[0:0.1:2]';t2=[2.1:0.1:6]';t3=[6.1:0.1:8]';t=[0:0.1:8];v1=[0:0.1:2]';v2=[1.9:-0.1:-2]';v3=[-1.9:0.1:0]';% v1=[0:0.1:2]';v2=[2:-0.1:-2]';v3=[-2:0.1:0]';u=[v1;v2;v3];[y,T]=lsim(sys,u,t);plot(t1,v1,'b--',t2,v2,'b--',t3,v3,'b--',T,y,'k-'),%figure(1);%plot(t1,v1)%hold on; ishold;%plot(t2,v2)%hold on; ishold;%plot(t3,v3)%hold on; ishold;xlabel('Time (seconds)'), ylabel('\theta (radians)'), grid %hold off; ishold运行结果：分析：由程序lab3_3.m 可以看出,系统的开环传递函数为()()()()()11.015.02102101020102++=++=++=s s s s s s ss s s G k ，可以看出该系统为Ⅰ型系统，且开环增益为2=K .当输入信号为单位斜坡响应时，其稳态误差5.01==Ke ss 。

4、 高阶模型的低阶近似 三阶系统 ()6116623+++=s s s s H （1） 的二阶近似模型为 ()6.1584.26.12++=s s s L （2） 运行程序lab3_4.m 观察系统（1）和（2）的单位阶跃响应，并就其各个性能能指标水平进行比较。

解：程序lab3_4.m如下num1=[6]; den1=[1 6 11 6]; sys1=tf(num1,den1);num2=[1.6]; den2=[1 2.584 1.6]; sys2=tf(num2,den2);t=[0:0.1:8];[y1,T1]=step(sys1,t);[y2,T2]=step(sys2,t);plot(T1,y1,T2,y2,'--'), gridxlabel('Time (seconds)'), ylabel('Step Response')运行结果为：L(s)H(s)分析：图中实现为三阶系统H(s)，虚线为近似的二阶系统L（s）。

由图像可以看出三阶系统的上升时间为约2.7S ，调节时间为约5S ，而近似二阶系统约为2.7S ，调节时间约为4.8S 。

两系统近似相似。

运用matlab 对函数()6116623+++=s s s s H 求极点，即： den1=[1 6 11 6]; roots(den1) 运行结果为 ans = -3.0000 -2.0000 -1.0000可知三阶系统的极点有-1，-2，-3 运用matlab 对函数()6.1584.26.12++=s s s L 求极点，程序为：den2=[1 2.584 1.6]; roots(den2) 运行结果为： ans = -1.5552 -1.0288可以看出这两个系统的极点比较接近，都有一个为-1的极点，响应近似相等。

5、Rounth-Hurwitz稳定性检验Rounth-Hurwitz稳定判断依据是一个关于系统稳定性的充要判据。

如果系统的特征方程的系数已经确定，则其在左半s平面上、右半s平面的虚轴上根的数目可以Rounth-Hurwitz稳定判据来确定。

调用Matlab函数pole和roots，可通过直接求解系统特征根（即闭环传递函数的极点）来验证利用Rounth-Hurwitz稳定判据得到的结果。

例如，对于图2.6所示函数，由Rounth-Hurwitz稳定判据可以确定，该系统有两个闭环极点位于右半s平面。

这一结果经调用函数pole（如图2.7所示）得到了证明本项实验内容为：首先对下述系统或者系统的特征方程运用Rounth-Hurwitz 稳定判据判断其特征根在s 平面的分布情况，然后编写Matlab 仿真程序加以验证。

1）010*********=+++++s s s s s2）01222345=+++++s s s s s 3）某闭环系统如图2.8所示：其中，()()5035102423+++=s s s s s G1）解：运用Rounth-Hurwitz可以得到特征方程()10114222345+++++=s s s s s s q 的Rounth 表为：5s 1 2 11 4s 2 4 10 3s ε 6 02s ε124- 10 01s1241062--εε 0 00s 10 0 0由Rounth 表可以看出在首列中有两次变号，分别在3s 的首列到2s 由0变为负，2s 的首列到s 由负变为正。

在此方程有两个根在s 平面的右面。

用Matlab 进行仿真求特征方程的根程序如下： roots([1,2,2,4,11,10]) 运行结果为：ans =0.8950 + 1.4561i 0.8950 - 1.4561i-1.2407 + 1.0375i -1.2407 - 1.0375i -1.3087 结果与分析的相符。

2）解：运用Rounth-Hurwitz可以得到特征方程()1222345+++++=s s s s s s q 的Rounth 表为;5s 1 2 1 4s 1 2 1 3s ε ε 0 2s 1 1 0 1s ε 0 0 0s 1 0 0由于Rounth 表中出现全零行，因此在全零行上一行去辅助方程为：01224=++s s 012=+s解得方程有4个重根，分别为：ωj s ±=2,1 ωj s ±=4,3说明系统有4个在虚轴上的根，另外一个在s 平面左边 运用Matlab 仿真求特征方程的根程序如下： roots([1,1,2,2,1,1])运行结果为：ans =-1.0000 0.0000 + 1.0000i 0.0000 - 1.0000i -0.0000 + 1.0000i -0.0000 - 1.0000i 与分析的结果相同。