四年级奥数：数列与数表

四年级奥数：数列与数表

经过观察与归纳找出数与图的规律.观察是寻找规律不可少的手段，是发现本质、归纳规律的先导，有些问题解答不出来，究其原因，与其说是“想不出”，不如说是

“看不出”.在寻找规律的过程中，必须要高度重视对数、形、式等现象的观察，善

于抓住问题的本质特征进行归纳，从而得出规律.只有经过观察、思考和试算，发现

数与数、图形与图形相互之间的关系，才能得到题目的答案. 同学们，通过学习，希

望你在平时多积累，多归纳，善于发现、总结一些规律，因为学会发现往往比学会几

道题目重要得多.

名

师

点

题

例1

知

识

概

述

1、数列：主要包括

⑴递增数列(等差数列，等比数列)，等差数列为重点考察对象.

⑵周期数列；例如：1，2，4，7，1，2，4，7，1，2，4，7，…

⑶复合数列；例如：1，3，2，6，3，9，4，12，5，15…

⑷特殊数列；例如：斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21…

2、等差数列通用公式：

通项公式：第n项=首项 +（项数– 1）×公差

项数公式：项数=（末项–首项）÷公差 + 1

求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷2

3、中项定理：

对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等

于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数.

4、数表规律

给出几个具体的、特殊的图形，要求找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的

结论.具体方法和步骤是：

⑴通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳；

⑵猜想符合规律的一般性结论；

⑶验证或证明结论是否正确.在杯赛考试中主要将图形规律与等差数列结合到

一起来考察.

（1）在数列3、6、9……，201中共有多少数？ （2）在数列3、6、9……，201和是多少？ （3）如果继续写下去，第201个数是多少？ 【解析】

（1）因为在这个等差数列中，首项=3，末项=201，公差=3，所以根据公式： 项数=（末项-首项）÷公差+1,便可求出.

项数=（201-3）÷3+1=67

（2）求和公式=（首项+末项）×项数÷2 =（3+201）×67÷2 = 102×67 =6834

（3）根据公式：末项=首项+公差⨯（项数-1）

末项=3+3⨯（201-1）=603， 第201个数是603

添在图中的三个正方形内的数具有相同的规律，请你根据这个规律， 确定出A= B = C= ；

【解析】

第一组 （1+2）×3=9 第二组 （2+3）×4=20 第三组 （3+4）×5=35 由分析得：A=35，B=4，C=5.

用相同的立方体摆成下图的形式，如果共摆了10层，那么最下面一层有多少个立方体？

9 1 2

3

20 2 3 4

A 3 B

C

【解析】

第一层：1

第二层：1+2

第三层：1+2+3

第四层：1+2+3+4

...

第十层：1+2+3+4+…+10=55

（1+10）×10÷2

=11×10÷2

=110÷2

=55 (个)

【巩固拓展】

1、3＋7＋11＋…＋99＝？

【解析】

3，7，11，…，99是公差为4的等差数列，

项数=（99－3）÷4＋1＝25，

原式=（3＋99）×25÷2＝1275.

2、求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和.

【解析】

末项=25＋3×（40-1）＝142，

和=（25＋142）×40÷2＝3340.

利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题.

3、添在图中的三个五边形内的数具有相同的规律，请你根据这个规律，

确定出A= B= C= D= ；

【解析】

多线找规律

①中出现123，②出现345，③应该为567，所以B=6 D=7

①中1+3=4，②中3+5=8，③5+D=A，D=7，A=12

①中1×7=7 ②中3×7=21 ③5×7=35 C=35

4、全部三位数的和是多少？

【解析】所有的三位数就是从100~999共900个数，观察100、101、102、……、998、999这一数列，发现这是一个公差为1的等差数列.要求和可以利用等差数列求和公式来解答.

（100+999）⨯900÷2

=1099⨯900÷2

=494550

图中是一个堆放铅笔的V形架,如果最上面一层放60支铅笔. 问一共有多少支铅笔?

例1

1 2

4

3 7

5 B

A

D C

3 4

8

5 21

【解析】从最底层到最上层每一层堆放的铅笔支数组成一个等差数列,所以一共放铅笔.

(1+60)×60÷2

=61×60÷2

=3660÷2

=1830(支).

【巩固拓展】

建筑工地上堆着一些钢管(如图所示),求这堆钢管一共有多少根.

【解析】

根据图可以知道，这是一个以3为首项，以1为公差的等差数列，求钢管一共有多少根其实是求这列数的和.

求钢管一共有多少根,其实就是求3+4+5+…+9+10的和.

项数=(10-3)÷1+1=8,根据公式求和为:

3+4+5+…+9+10

=(3+10)×8÷2

=13×8÷ 2

=52(根).

计算：1+3+4+6+7+9+10+12+13+…+66+67+69+70=

【解析】这是一个综合数列求和，我们把原数列的奇数项和偶数项分开来看

奇数项：

,7,4,1

10

13

,

,