四年级奥数：数列与数表
四年级奥数-找规律
第一节、奥数找规律一、知识综述（一）简单数列的规律找规律填数是指给定一列数，这列数按照某种规律排列起来，其中留有部分空缺。
只要从连续的几个数中找规律，那么就可以知道其余所有的数，从而把题目中给定的空缺补充完整。
寻找数列的排列规律，除了从相邻两个数的和、差考虑外，有时还可以从积和商来考虑。
解决这类问题的基本思路就是认真观察出现的已知数量，在观察的基础上找出规律，然后运用规律解决问题。
找规律填数经常用到的知识有以下几个方面：1、找规律时要抓住日常生活和学习中通常存在的现象以及已经被人们公认的习惯。
比如数是由小到大排列的或由大到小排列的，即人们所说的等差数列。
如：2,4,6,____,______.2、找规律时要善于观察数与数之间的关系，有时相邻的两个数相差的数又形成一个等差数列。
如：1,2,4,7,11,______,______.3、有些找规律填数的题目，相邻的两个数之间存在着倍数关系（称为等比数列）。
比如数与数之间存在着2倍、3倍关系，或者存在着2倍多1、3倍少1的关系，甚至有的数列相邻的两个数之间商是一组连续的数。
4、找规律填数，一定要细心观察，从中找出它们之间存在的规律。
有些数列属于双数列，即不仅相邻数有一定的排列规律，而且相隔的数也存在着一定的排列规律。
比如：5,6,8,9,11,____,_____,_____.5、介绍几个特殊的数列。
○1完全平方数列：即每项都等于自身项数与项数的乘积。
如：1,4,9,16,_____,_____.○2斐波那契数列：即三个数为一组，每组中前两个数相加的和等于第三个数。
如: 1,1,2,3,5,8,_____,______.○3相邻的两个数十位上的数字有一定的规律，个位上的数字也有一定的规律。
如：98,87,76,65,_____,_____,_____.○4有一些数列相邻的两个数的差又能构成一个等比数列。
如：5,7,11,19,35,______.找规律填数也可以发展为按规律填图，遇到这样的题目就要注意研究图形的变化规律，从中找到解题的途径。
2014 暑假 四年级 精英班 第2讲 数列与数表 教师版
第二讲 数列与数表知识要点：数列与数表这一类题目种类繁多，其中数列包括了等差数列、周期数列等，数表中有我们比较常见的三角数表和一些行列数表，这些题目初看比较复杂，但其中都包含了一些规律性的变化，只要认真观察，并将其中的规律找出，那么解决起来就会变得简单许多，通常还会用到余数原理和等差数列相关公式和性质，方便我们找出数列、数表与余数之间的关系。
一、基础应用：【例1】 有一张纸片，第一次将它撕成6小片，第二次将其中的一张又撕成6小片，以后每一次都将其中的一小张撕成更小的6片，撕了五次后一共得到多少张纸片？ 【解析】 每撕一次，把一张纸片撕成6小片，增加了5张；撕了六次后一共得到15526+⨯=张纸片。
【例2】 一列数1，4，7，10，13，…，从第二项起，后项减去它的前面一项的差都相等，从左往右数，第几个数是196？ 【解析】 这是个等差数列，公差是3；从左往右数，第()19613166-÷+=个数是196。
【例3】 计算：6463626160595857565432-++-++-++++-+ 【解析】 6463626160595857565432-++-++-++++-+()()()()()646362616059585756765432=-++-++-+++-++-+()()121216360576312192021336932+⨯=+++++=+++++⨯=⨯=【例4】 有一列数：2、3、6、8、8、……从第三个数开始，每个数都是前两个数乘积的个位数字，那么这列数的第60个数应是多少？ 【解析】 因为从第三个数开始，每个数都是前两个数乘积的个位数字，根据题意将接下来的数字表示出来，有2、3、6、8、8、4、2、8、6、8、8、……，后面会发现数列具有周期现象，且周期从第三个数字开始为6、8、8、4、2、8，六个数字为一个周期，根据周期问题， (602)694-÷=……，第60个数为周期内的第4个数字，即为4。
四年级数学竞赛奥数讲义,例题
计算：999999999×111111111计算：66666×133332求算式200982009920096999888666⨯÷个个个的计算结果的各位数字之和。
计算：222010120108888111-个个计算：22222×99999＋33333×33334第一讲：多位数计算(★★★)(★★★★)(★★★★)(★★★★)(★★★)计算1009100910099999991999⨯+个个个结果末尾有多少个零？201032010420102201053335556444222⨯+⨯⨯个个个个【你还记得吗】 (★★★)计算：2010×20112011－2011×20102010计算：333×332332333－332×333333332(★★★★)(★★★★★) (★★★★)测试题1．计算222222×999999A ．222222217880B ．222222788888C ．222221777778D ．2222221777882．计算6666×13332A ．88871112B ．88881112C ．88872222D ．888822223．计算：3001300229931111222233334 个个个A ．3013333个3B ．2003333个3C ．3003333个3D ．3063333个34．计算100×100－99×99＋98×98－97×97＋…＋2×2－1×1A ．4950B ．5050C ．5150D ．52505．计算 99999×26＋33333×24A ．3996366B ．6933669C ．3399966D ．36699666．计算：899×899＋1799A ．819000B ．810000C ．900000D ．9810007．计算111111×777777＋444444×555555A ．333332666667B ．333333666667C ．333332777777D ．3333337777778．计算2009×20072008－2007×20092008A ．2B ．4016C ．4017D ．0网校老师共50人报名参加了羽毛球或乒乓球的训练，其中参加羽毛球训练的有30人，参加乒乓球训练的有35人，请问：两个项目都参加的有多少人？一个班30人，完成作业的情况有三种：一种是完成语文作业没完成数学作业；一种是完成数学作业没完成语文作业；一种是语文、数学作业都完成了。
四年级奥数第1专题找规律巧填数
奥数第一专题找规律巧填数专题精析：我们把按某种规律排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做这个数列的项，通过观察已知的项找出所给数列的规律，并依据规律填写所缺的数，就是按规律填数。
基础提炼：例1：找出下面数列的规律，并根据规律在括号里填出适当的数：（1）1,5,11,19,29，（），55；（2）6,1,8,3,10,5,12,7，（），（）。
解析：（1）先计算相邻两数的差，5－1=4,11-5=6,19-11=8,29-19=10，由此可以推知这些差依次为4,6,8,10,12,14.这样（）里的数应比29多12，比55少14，也就是说应该填41.（2）仅从相邻的两个数难以看出这列数的排列规律，这时不妨隔着一个数来观察，就会发现原来这列数是由两列数复合而成的，第1列数是6,8,10,12,14，每两个数的差是2,；第二列数是1,3,5,7,9，每两个数的差也是2，所以括号里应依次应填14和9.例2：根据前2个三角形里3个数的关系，在第3个、第4个三角形的空格里应填几？解析：先看第1个三角形里的3个数，试着判断它们之间存在着什么样的关系，可能的关系有6×3→18，18—4→14；6＋12→18,6＋8→14，接着，再来看第2个三角形里的三个数之间的关系依然符合5×3→15,15—4→11 ，所以，第3个和第4个三角形可以填出：模仿训练：练习1 在下面各数列中填入合适的数（1）9,11,15,21,29，（ ），51（2）3,4,5,8,7,16,9,32，（ ），（ ）练习2：按规律在“？”处填数。
(1）巩固训练习题1 按数列的规律在括号内填入合适的数：（1）1,4,9,16，（），（）；（2）11×3,23×5，35×7，47×9，（），611×13.习题2：将8个数从左到右排成一行，从第三个数开始，每个数恰好等于它前面两个数的和，如果第7个数和第8个数分别是81,131，那么第一个数是多少？拓展提高：习题1从下边表格中各数列排列的规律可以看出：（1）☆代表，△代表，（２）８１排在第行第列。
四年级奥数等差数列应用
等差数列的应用课前预习从1到100万大家对德国大数学家高斯小时候的一个故事可能很熟悉了.据说他在十岁的时候，老师出了一个题目：1+2+3+……+99+100的和是多少？ 老师刚把题目说完，小高斯就算出了答案：这100个数的和是5050.原来，小高斯是这样算的：依次把这100个数的头和尾都加起来，即1+100，2+99，3+98，……，50+51，共50对，每对都是101，总和就是101×50=5050.现在请你算一道题：从1到1000000这100万个数的数字之和是多少？注意：这里说的“100万个数的数字之和”，不是“这100万个数之和”.例如，1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12这12个数的数字之和就是1+2+3+4+5+6+7+8+9+1+0+1+1+1+2=51.请你先仔细想想小高斯用的方法，会对你算这道题有启发.知识框架一、等差数列的相关公式（1） 三个重要的公式① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)⨯公差，11n a a n d =+-⨯（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)⨯公差，11n a a n d =--⨯（）回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白 末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-⨯（），n m >（） ② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1由通项公式可以得到：11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)． 找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的． 譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、、40、43、46 ，分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、、(46、47、48)，注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有484145-+=项，每组3个数，所以共45315÷=组，原数列有15组． 当然还可以有其他的配组方法．③ 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数÷2 对于这个公式的得到可以从两个方面入手： (思路1) 1239899100++++++11002993985051=++++++++共50个101（）（）（）（）101505050=⨯=(思路2)这道题目，还可以这样理解： 23498991001009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++和=1+和倍和即，和 (1001)1002101505050=+⨯÷=⨯=（2） 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数． 譬如：①4+8+12+…+32+36=（4+36）×9÷2=20×9=180，题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209⨯； ② 65636153116533233331089++++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333⨯．重难点重点：观察并找出图形、生活中的等差数列 与数论有关的等差数列运算. 难点：活动与操作中的等差数列运算数表中的等差数列例题精讲【例 1】 木木练习口算，她按照自然数的顺序从1开始求和，当计算到某个数时，和是888，但她重复计算了其中一个数字．问：木木重复计算了哪个数字？【考点】等差数列应用题 【难度】☆☆☆ 【题型】解答【解析】 解法一：用x 表示木木多加的那个数，88812X n n -=+⨯÷（），117762n n x +⨯=-（） ，两个相邻的自然数的积是比1776小一些的一个数，先找1776附近的平方数，16004040=⨯ ，试算：40411640⨯=，41421722⨯= ，42431806⨯= ，所以41n =，所以177********x =-⨯÷=（）．解法二：估算法，（1+40）×40÷2=820，（1+41）×41÷2=861，（1+42）×42÷2=903.所以可知数字个数可能为40或者41.888-820=68，不在40内，舍去；888-861=27，符合条件.【答案】27【巩固】 奋斗小学组织六年级同学到百花山进行野营拉练，行程每天增加2千米．已知去时用了4天，回来时用了3天．问：学校距离百花山多少千米？【考点】等差数列应用题 【难度】☆☆☆ 【题型】解答【解析】 解法一：这道题目关键是弄清题意，发现关键是要求出第一天拉练的距离，在这里可以用方程的思想来帮助解题，可以给四年级学生一个方程的初步认识，来回的距离是相同的，通过这点来做方程求解，设第一天拉练的距离是x ，则第二天为2x +，第三天为4x +，第四天6x +，第五天的距离为8x +，第六天的距离为10x +，第七天的12x +．且去时和来时的路程一样，则24681012x x x x x x x ++++++=+++++（）（）（）（）（）（），则18x =，学校距离百花山84千米． 解法二：七天所走路程形成了一个等差数列，公差为 2. 五、六、七三天合走路程比二、三、四三天合走路程多（8+10+12）-（2+4+6）=18. 来回路程相等，所以第一天走了18千米，学校距百花山18+20+22+24=84千米.【答案】84【例 2】 某工厂12月份工作忙，星期日不休息，而且从第一天开始，每天都从总厂陆续派相同人数的工人到分厂工作，直到月底，总厂还剩工人260人．如果月底统计总厂工人的工作量是9455个工作日（1人工作1天为1个工作日），且无1人缺勤．那么这月由总厂派到分厂工作的工人共有多少人．【考点】等差数列应用题 【难度】☆☆☆ 【题型】解答【解析】 解法一：260人工作31天，工作量是260318060⨯=（个）工作日．假设每天从总厂派到分厂a个工人，第一天派去分厂的a 个工人在总厂的工作量为0个工作日； 第二天派去分厂的a 个工人在总厂的工作量为a 个工作日； 第三天派去分厂的a 个工人在总厂的工作量为2a 个工作日； ……第31天派去分厂的a 个工人在总厂的工作量为30a 个工作日． 从而有：9455023308060a a a a =++++++94558060123301395130302465a a a-=⨯++++=⨯+⨯÷=（）（）求得3a =．那么这月由总厂派到分厂工作的工人共有33193⨯=（人）．解法二：每天都从总厂陆续派相同人数的工人到分厂工作，所以总厂每天的工作日成等差数列.31天的总工作量为9455个工作日.根据等差数列中项定理得到第16天的工作量为：9455÷31=305，根据n m a a n m d -=-⨯（），n m >（），得d=（305-260）÷（16-1）=3.即每天都从总厂派3个人到分厂工作.那么这月由总厂派到分厂工作的工人共有33193⨯=（人）．【答案】93【巩固】 甲、乙两厂生产同一种玩具，甲厂生产的玩具数量每个月保持不变，乙厂生产的玩具数量每个月增加一倍．已知一月份甲、乙两厂生产玩具的总数是98件，二月份甲、乙两厂生产玩具的总数是106件，那么乙厂生产的玩具数量第一次超过甲厂生产的玩具数量在几月份?【考点】等差数列应用题 【难度】☆☆☆ 【题型】解答【解析】 由二月份生产的玩具总数比一月份生产的玩具总数多出的件数是一月份乙厂生产的玩具数．即一月份乙厂生产了106—98=8件，甲厂生产了98-8=90件．乙厂生产的玩具数量每月增加一倍，有48290⨯>，38290⨯<，所以在4月后.即乙厂生产的玩具数量第一次超过甲厂生产的玩具数量在5月份．【答案】5【例 3】 右图中，每个最小的等边三角形的面积是12平方厘米，边长是1根火柴棍．如果最大的三角形共有8层，问：⑴最大三角形的面积是多少平方厘米？⑵整个图形由多少根火柴棍摆成？【考点】等差数列应用题 【难度】☆☆☆ 【题型】解答【解析】 最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：⑴ 最大三角形面积为：13515121158212768++++⨯=+⨯÷⨯=（）（）(平方厘米)． ⑵ 火柴棍的数目为：3692432482108++++=+⨯÷=（）(根)．【答案】⑴768 ⑵108【巩固】 如右图，25个同样大小的等边三角形拼成了大等边三角形，在图中每个结点处都标上一个数，使得图中每条直线上所标的数都顺次成等差数列．已知在大等边三角形的三个顶点放置的数分别是100，200，300．求所有结点上数的总和．【考点】等差数列应用题 【难度】☆☆☆ 【题型】解答【解析】 如下图，各结点上放置的数如图所示．从100到300这条直线上的各数的平均数是200，平行于这条直线的每条直线上的各数的平均数都是200．所以21个数的平均数是200，总和为200214200⨯=．220200180120140160180200220240260280300240260220200180160140100【答案】4200【例 4】 把自然数从1开始，排列成如下的三角阵：第1列为1；第2列为2，3，4；第3列为5，6，7，8，9，…，每一列比前一列多排两个数，依次排下去，“以1开头的行”是这个三角阵的对称轴，如图．则在以1开头的行中，第2008个数是多少．526137489【考点】数阵中的等差数列 【难度】☆☆☆ 【题型】填空 【解析】 方法一：2008行第一个数字为[]20071120062214028050⨯++⨯÷+=（）2008行最后一个数字为[]2008112007224032064⨯++⨯÷=（）所以，2008行中间的数字为4028050403206424030057+÷=（）．方法二：观察以1开头的行的数列：1，3，7，13得出规律，后一个数比前一个数多2，4，6所以，第2008个数为1246200721220072200724030057+++++⨯=++⨯⨯÷=（）．【答案】4030057【巩固】 将自然数按下图的方式排列，求第10行的第一个数字是几？136101521259142048131971218111716【考点】数阵中的等差数列【难度】☆☆☆【题型】填空【解析】将图中数字按顺时针方向转45，成为下图的样子：123456789101112131415161718192021那么在第10行的第1个数之前共有9行数，计算出这9行共有多少数字，就可以知道第10行的第一个数是多少．前9行共有数字1239199245++++=+⨯÷=（）（个），所以第10行的第1数是46．【答案】46【例 5】有码放整齐的一堆球，从上往下看如右图，这堆球共有多少个？【考点】等差数列应用题【难度】☆☆☆☆【题型】填空【解析】从图中可以看出，除去最上层1个球外，第二层（次上层）有（1＋2＋3＋4＋5）＝15个球，以后每层比上一层多6、7、8、9、10个球，共7层.15＋6＝21，21＋7＝28，28＋8＝36，36＋9＝45，45＋10＝55，1＋15＋21＋28＋36＋45＋55＝201.答：共有201个球.【答案】201个球【巩固】已知有一个数列：1、1、2、2、2、2、3、3、3、3、3、3、4、，试问：⑴15是这样的数列中的第几个到第几个数？⑵这个数列中第100个数是几？⑶这个数列前100个数的和是多少？【考点】等差数列的公式运用【难度】☆☆☆【题型】计算【解析】分析可得下表：数：1 2 3 4 5 6 7 14 15 16个数：2 4 6 8 10 12 14 28 30 32⑴24628210++++=，所以15是第211个到240个⑵在这个数列中前9组的个数是：2461890++++=(个)这个数列前10组的个数是：24620110++++=(个)而90100110<<，所以第100个数是第10组中的数，是10⑶这个数列中前100个数的和是：1224369181010670⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=【答案】⑴第211个到240个⑵10⑶670【例 6】从1到50这50个连续自然数中，取两数相加，使其和大于50，有多少种不同的取法？【考点】找规律计算【难度】☆☆☆☆【题型】填空【解析】设满足条件的两数为a、b，且a＜b，则若a=1，则b=50，共1种.若a=2，则b=49，50，共2种.若a=3，则b=48，49，50，共3种.…若a=25，则b=26，27，…50，共25种.若a=26，则b=27，28，…50，共24种.（a=26，b=25的情形与a=25，b=26相同，舍去）.若a=27，则b=28，29，…50，共23种.…若a=49，则b=50，共1种.所以，所有不同的取法种数为1+2+3+…+25+24+23+22+…+l=2×（1+2+3+…+24）+25=625.【巩固】从1到100的100个数中，每次取出两个不同的自然数相加，使它们的和超过100．有几种不同的取法？【考点】找规律计算【难度】☆☆☆☆【题型】填空【解析】1至100的自然数每次取出两个不同的自然数相加，超过100的和共有101～199共99种取法．和是199的取法：100+99．和是198的取法：10098+．和是197的取法：10097+，9998+． 和是196的取法：10096+，9997+．和是195的取法：10095+，9996+，9897+． 和是194的取法：10094+，9995+，9896+． ……以此规律作进一步推想：和为193的取法有4种，和为192的取法也有4种；和为191的取法有5种，和为190的取法也有5种；……，和为103的取法有49种，和为102的取法也是49种；和为101的取法有50种．和超过100的取法种数总和是：11223349495012349250+++++++++=++++⨯+（）14949225050495050502500=+⨯÷⨯+=⨯+=⨯=（）(种)【答案】2500【例 7】 将正整数从1开始依次按如图所示的规律排成一个“数阵”，其中2在第1个拐角处，3在第2个拐角处，5在第3个拐角处，7在第4个拐角处，……．那么在第100个拐角处的数是 ．22202119181716141512111098764321【考点】数阵中的等差数列 【难度】☆☆☆☆ 【题型】填空 【解析】 我们可列表观察拐角处的数有什么特征第0个拐角：1 第1个拐角：211=+第2个拐角：321111=+=++ 第3个拐角：5321112=+=+++ 第4个拐角：75211122=+=++++ 第5个拐角：1073111223=+=+++++ 第6个拐角：131031112233=+=++++++ 第7个拐角：1713411122334=+=+++++++ 第8个拐角：21174111223344=+=++++++++ ……由此可知，第n 个拐角处的数等于 ⑴11111122222n n n --+++++++++（n 为奇数时） ⑵1112222n n+++++++（n 为偶数时）所以第100个拐角处的数为()11122505012123502551+++++++=+⨯++++=.【答案】2551【巩固】 一列自然数：0，1，2，3，……，2024，第一个数是0，从第二个数开始，每一个都比它前一个大1，最后一个是2024．现在将这列自然数排成以下数表规定横排为行，竖排为列，则2005在数表中位于第________行第________列.【考点】数阵中的等差数列 【难度】☆☆☆☆ 【题型】填空【解析】 观察可知第n 行的第1个数是()21n -，第n 列的第1个数是21n -．由于224419362005202545=<<=，所以第45行的第1个数是1936，第45列的第1个数是202512024-=．由于20242005120-+=，所以2005在第20行第45列．【答案】第20行第45列【例 8】 如图的数阵是由77个偶数排成的，其中20，22，24，36，38，40这六个数由一个平行四边形围住，它们的和是180．把这个平行四边形沿上下、左右平移后，又围住了右边数阵中的另外六个数，如果这六个数的和是660．那么它们中间位于平行四边形左上角的那个数是 ？142144146148150152154 (30323436384042282624222018168141210642)【考点】数阵中的等差数列 【难度】☆☆☆☆ 【题型】填空【解析】 由于平行四边形的形状不改变，所以它移动后框住的6个数与原来的6个数相比，每个数都增加了同样的大小．由于六个数一共增加了660180480-=，所以每个数增加了480680÷=，那么第一个数就变为2080100+=.【答案】100【巩固】 如图，数表中的上、下两行都是等差数列，那么同一列中两个数的差(大数减小数)最小是多少?【考点】数阵中的等差数列 【难度】☆☆☆ 【题型】填空【解析】 我们从第1列开始，作同一列中的两个数的差(大数减小数)，不难发现：开始时是差值逐渐变小，而当第一行的数时的数开始超过第二行中，差值又开始逐渐变大．因此 关键是计算出临界状态时的差值．由于第一行是公差为4的递增的等差数列，而第二行则每次比前一个数少3，因此当第二行中的数比第一行中的数大时，差值每次减少7．而从某一列开始后，第二行中的数比第一行小，此后差值每次增加7．于是差值的变化为：999、992、985……2、5、12……1332．于是最小的差值为2．【答案】2【例 9】 华罗庚金杯少年数学邀请赛，第一届在1986年举行，第二届在1988年举行，第三届在1991年举行，以后每两年举行一届．第一届华杯赛所在年份的各位数字和是1A =1+9+8+6=24．前二届所在年份的各位数字和是2A =1+9+8+6+1+9+8+8=50．问：前50届华杯赛所在年份的各位数字和50A 等于多少?【考点】找规律计算 【难度】☆☆☆☆ 【题型】解答【解析】 由题中所给规律知，前50届在20世纪内有7次赛事，在2l 世纪内有43次赛事． 在20世纪内，已知2A =50，其余5届年份各位数字的和是5×(1+9+9)+(1+3+5+7+9)=95+25=120． 从而7A =2A +120=170．在21世纪内的前45届年份的数字之和是：2×45+(1+2+…+8)×5+(1+3+5+7+9)×9=495，前43届年份的数宰和是495-2-8-7-2-8-9=459． 于是50A =170+459=629．【巩固】 今要在一个圆周上标出一些数，第一次先把圆周二等分，在两个分点旁分别标上12和13，如图18-1所示．第二次把两段半圆弧二等分，在分点旁标上相邻两分点旁所标两数的和511623=+，如图18-2所示．第三次把4段圆弧二等分，并在4个分点旁标上相邻两分点旁所标两数的和1151326=+，1151636=+，如图18-3所示．如此继续下去，当第八次标完数以后，圆周上所有已标数的总和是多少？【考点】找规律计算 【难度】☆☆☆☆ 【题型】解答【解析】 因为增加的每个数都是原来相邻两个数之和，所以每次增加数的总和恰好是原来所有数总和的2倍，也就是说每次标完数后圆周上所有数的总和是前一步标完数后圆周上所有数的总和的3倍，于是，第八次标完数后圆周上所有数的总和是：1123⎛⎫+ ⎪⎝⎭×3×3×3×3×3×3×3=118222．【例 10】 有多少组正整数a 、b 、c 满足2009a b c ++=．【考点】找规律计算 【难度】☆☆☆☆☆ 【题型】填空 【解析】 若2007a =，则2b c +=，有11b c =⎧⎨=⎩，1组．若2006a =，则3b c +=，有12b c =⎧⎨=⎩或21b c =⎧⎨=⎩，2组．若2005a =，则4b c +=，有13b c =⎧⎨=⎩22b c =⎧⎨=⎩31b c =⎧⎨=⎩，3组．若2a =，则2007b c +=，2006组． 若1a =，则2008b c +=，2007组．显然，a 不能等于2007，2008． 所以，有123200712007200722015028++++=+⨯÷=（）．【答案】2015028【巩固】 x +y+z=1993有多少组正整数解.【考点】找规律计算 【难度】☆☆☆☆☆ 【题型】填空 【解析】 显然，x 不能等于1992，1993.所以，原方程的不同的整数解的组数是：l+2+3+…+1991=1983036.本题中运用了分类的思想，先按照x的值分类，在每一类中，又从y的角度来分类，如：x=1987时，因为y+z=6，且y、z均为正整数，所以y最小取1，最大取5，即按y=1，2，3，4，5分类，每一类对应一组解，因此，x=1987时，共5组解.课堂检测【随练1】在1~200这二百个自然数中，所有能被4整除或能被11整除的数的和是多少？【考点】等差数列的公式运用【难度】☆☆☆【题型】计算【解析】先求出能被4整除的自然数和，再求出能被11整除的自然数和，将二者相加，但是此时得到的不是题目需要的和，因为44，88等数在两个数列中都存在，也就是说能被44整除的数列被计算了两次，所以我们还应该减去能被44整除的数列和．+++++++++-+++（）（）（）48122001122331984488132176（）（）（）．=+⨯÷++⨯÷-+⨯÷=42005021119818244176426541【答案】6541【随练2】从正整数1～N中去掉一个数，剩下的(N一1)个数的平均值是15.9，去掉的数是_____.【考点】等差数列的公式运用【难度】☆☆☆【题型】计算【关键词】2005年，第3届，走美杯，5年级，决赛【解析】因为“剩下的(N-1)个数的平均值是15．9”，所以(N-1)是10的倍数，且N在15．9×2=31．8左右，推知N=31.去掉的数是(1+2+3+…+31)-15.9×30=496-477=19.【答案】19【随练3】观察下面的序号和等式，填括号．序号等式1 1236++=3 35715++=5 581124++=7 7111533++=（）（）（）（）7983++=【考点】找规律计算【难度】☆☆☆【题型】填空【解析】可以这样想：⑴表中各竖行排列的规律是什么？(等差数列)⑵表中这四个括号，应先填哪一个？为什么？这个括号里的数怎么求？应先填左起第一个，因为它是序号，表示了其他三个括号里的数在各自的等差数列中所在的位置，即各自的项数．第一个括号：79833411996-÷+=（），11996123991+-⨯=（）；第二个括号：11996123991+-⨯=（）；第三个括号：根据等差数列通项公式：21996135987+-⨯=（）或399119965987+=；第四个括号：根据等差数列通项公式：619961917961+-⨯=（）或5987317961⨯=【答案】3991；3991；5987；17961【随练4】在100以内与77互质的所有奇数之和是多少?【考点】等差数列应用题【难度】☆☆☆【题型】计算【解析】【解析】77=7 ×11，则100以内不与7互质的奇数有7，7×3，7×5，7×7，7×9，7×11，7×13；11，11×3，11×5，11×7(注意与7×11重复)，11×9，共11个数．这11个数的和为7×(1+3+5+…+13)+11×(1+3+5+7+9)-77=()()113719571177541 22+⨯+⨯⨯+⨯-=．而100以内的奇数和为1+3+5+7+…+99=()199502+⨯=2500．所以，在100以内与77互质的所有奇数之和为2500-541=1959．复习总结在涉及到数论、图形、活动操作等方面有关等差数列计算的问题，第一：类别较少，数据较小的情况可以采用列举法罗列出所有符合的情况；第二：类别较多，数据较大的情况可以采用归纳法先找出其中的等差数列再进行计算作业检测【作业1】喜羊羊练习口算，她按照自然数的顺序从1开始求和，当计算到某个数时，和是1300，但她重复计算了其中一个数．问：喜羊羊重复计算了哪个数？【考点】等差数列应用题【难度】☆☆☆【题型】解答【解析】解法一：用x表示喜羊羊多加的那个数，1300-x=（1+n）×n÷2，（1+n）×n=2600-2x，两个相邻的自然数的积是比2600小一些的一个数，先找2600附近的平方数，2500=50×50 ，试算：50×51=2550,51×52=2652 ，所以n =50，所以x=（2600-50×51）÷2=25.解法二：估算法，（1+50）×50÷2=1275，（1+51）×51÷2=1326.所以可知该数字为1300-1275=25. 【答案】25【作业2】某车间原有工人不少于63人，在1月底以前的某一天调进了若干工人，以后，每天都新调人1人进车间工作．现知该车间1月份每人每天生产一件产品．共生产1994件．试问：1月几日开始调进工人?共调进了多少工人?【考点】等差数列应用题【难度】☆☆☆【题型】解答【解析】1月份共有3l天，所以这个车间的原有工人至少生产出了63×31=1953件，或增加3l的倍数，但因不超过1994件，所以工厂的原有工人生产了1953或1984件．所以，后来调进的工人生产了1994—1953=41件，或1994—1984：10件产品．易知后来调进的工人生产的产品总数是若干个连续的自然数的和，自然数的个数即是调入的天数n，连续的自然数中最小的那个数即是第一次调入的工人数．有41=1×41，所以奇约数只有1和4l，这样的数只有一种表达为若干个连续自然数和的形式，41=20+21．所以调入的次数n=2，第一次调入的人数x=20，共调进人数x+n-1=20+2-1=21人：10=2×5，所以奇约数只有1和5，这样的数只有一种表达为若干个连续自然数和的形式，10=1+2+3+4．所以调入的次数n=4，第一次调入的人数x=1，共调进人数x+n-1=1+4-1=4人．所以为：调人2天，1月30日开始调入，共调进21人；调人4天，1月28日开始调入，共调进4人．【答案】21或4【作业3】用3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形，用这样的等边三角形，按图所示铺满一个大的等边三角形，如果这个大的等边三角形的底边放10根火柴，那么一共要放多少根火柴？10根【考点】等差数列应用题【难度】☆☆☆【题型】解答【解析】 如果把图中最上端的一个三角形看作第一层，与第一层紧相连的三个三角形(向上的三角形2个，向下的三角形1个)看作第二层，那么这个图中一共有10层三角形．这10层三角形每层所需火柴数就是构成上图中所有阴影三角形的边数和．自上而下依次为：3，6，9，……，310⨯．它们成等差数列，而且首项为3，公差为3，项数为10． 求火柴的总根数，就是求这个等差数列各项的和，即36930330102335165++++=+⨯÷=⨯=（）(根)所以，一共要放165根火柴【答案】165【作业4】 小丸子玩投放石子游戏，从A 出发走1米放1枚石子，第二次走4米又放3枚石子，第三次走7米再放5枚石子，再走10米放7枚石子，照此规律最后走到B 处放下35枚石子．问从A 到B 路程有多远？【考点】等差数列应用题 【难度】☆☆☆ 【题型】解答 【解析】 先计算投放了多少次．由题意依次投放石子数构成的数列是：1，3，5，7，，35．这是一个等差数列，其中首项11a =，公差 2d =，末项= 35n a ，那么113512118n n a a d =-÷+=-÷+=（）（）；再看投放石子每次走的路程依次组成的数列：1，4，7，10，这又是一个等差数列，其中首项11a =，，公差,3d =，项数1 8n =．末项,,,111181352n a a n d =+-⨯=+-⨯=（）（），其和为,,,12152182477n n S a a n =+⨯÷=+⨯÷=（）（）(米)．【答案】477【作业5】 自然数按一定规律排成下表，问第60行第5个数是几？135791113151719212325272931333537394143454749............【考点】数阵中的等差数列 【难度】☆☆☆ 【题型】填空 【解析】 从两个方面考虑：⑴先看组成这张表的数：1，3，5，7，9，．这是一个公差为2的等差数列．第60行第5个数是这数列中的一项，已知首项和公差，知道第60行第5个数是数列中的第几项即可求解．而这个项数就是排列第60行第5个数时所用去数的个数．⑵从表的排法来看，每行的数的个数也是等差数列：1，3，5，7，．第60行第5个数也就是排完59行后又排5个数．59行所排数的个数就是1，3，5，7，，中的第59项．所以，第59行所用数的个数为：12591117+⨯-=（）(个)，从第一行排到第59行所用数的总个数为：11175923481+⨯÷=（）(个)，到第60行第5数共用去数的个数为：348153486+=(个)，第60行第5个数是数列1，3，5，7，中第3486项，为：12348616971+⨯-=（）【答案】1671【作业6】观察下面的数表：11；21,12；321,,123；4321,,,1234；54221,,,,12345；根据前五行数所表达的规律，说明：19911949这个数位于由上而下的第几行?在这一行中，它位于由左向右的第几个?【考点】数表中的等差数列【难度】☆☆☆【题型】解答【解析】注意到，第一行的每个数的分子、分母之和等于2，第二行的每个数的分子、分母之和等于3，…，第五行的每个数的分子、分母之和等于6．由此可看到一个规律，就是每行各数的分子、分母之和等于行数加1．其次，很明显可以看出，每行第一个数的分母是1，第二个数的分母是2，……，即自左起第几个数，其分母就是几．因此，19911949所在的行数等于199l+1949-1=3939．而在第3939行中，19911949位于从左至右第1949个数教学反馈。
小学四年级奥数第4课等差数列及其应用试题附答案-精品
小学四年级上册数学奥数知识点讲解第4课《等差数列及其应用》试题附答案例1下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由.①6,10,14,18,22, (98)⑤100,95,90,85,80,75,70.⑥20,18,16,14,12,10,8.例2求等差数列1,6,11,16…的第20项.例3已知等差数列2,5,8,11,14-,问例是其中第几项?例4如果一等差数列的第4项为21,第6项为33,求它的第8项.例5计算1+5+9+13+17+ (1993)例6建筑工地有一批转，码成如右图形状，最上层两块待，第2层6块砖，第3 层10块存…，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，间中间一层多少块枝？这堆待共有多少块？例7求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差.例8连续九个自然数的和为54,则以这九个自然数的末项作为首项的九个连续自然数之和是多少？例9100个连续自然数（按从小到大的顺序排列）的和是8450,取出其中第 1 个，第3个…第99个，再把剩下的50个数相加，得多少？例10把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5,那么，第1个数与第6个数分别是多少？例11把27枚棋子放到7个不同的空盒中，如果要求每个盒子都不空，且任意两个盒子里的棋子数目都不一样多，问能否办到，若能，写出具体方案，若不能，说明理由.答案例1下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由.①6,10,14,18,22, 98；⑤100,95,90,85,80,75,70.⑥20,18,16,14,12,10,8.这六个数列有一个共同的特点，即相邻两项的差是一个固定的数，像这样的数列就称为等差数列.其中这个固定的数就称为公差，一般用字母d表示, 如:数列①中，d=2-l=3-2=4-3=-=l；数列②中，d=3-l=5-3--=13-11=2；数列⑤中，*100-95二95-90=…=75-70二5；数列⑥中，d=20-l8=18-16='-'=10-8=2.例1下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由.①6,10,14,18,22,98；⑥不是，因为第1项减去第2项不等于笫2项减去第3项.一般地说，如果一个数列是等差数列，那么这个数列的每一项或者都不小于前面的项，或者每一项都大于前面的项，上述例1的数列⑥中，第1项大于第2 项，第2项却又小于第3项，所以，显然不符合等差数列的定义.为了叙述和书写的方便，通常，我们把数列的第1项记为a,第2项记为抵，…，第n项记为an,an。
小学四年级奥数竞赛班作业第34讲：数列与数表(一)
E FGH F GHI GHI J HI JK
I J KL J KL M K L MN L MNO
H I J KLM NO
图1
三
四
图2
|
4
13. 自然数从1 起，排成如表所示，那么第 80 行与第 80 列交错位置上的数是多少？
14. 从 1 开始的自然数如下排列，则第 2 行中的第 7 个数是多少？
1
2
3
4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
…………………………………………
8. 下面是按规律排列的三角形数阵：
|
2
1 11 1 21 133 1 146 41
……第一行 ……第二行
. . .
1 5 10 10 5 1 ………………………
那么第 1994 行中左起第三个数是多少？
9. 将正整数按下表的顺序排列： （1） 下面一横行从左到右第十个数是多少？ （2） 标有字母 a 的位置应填的是什么？
阵（如图 2），已知第四部分中所有数的和是 576．
试问，这个 8 行 8 列的数阵中所有数的和是多少？ ABCDEFG H
一 A BCD
二 E FGH
BCDEFGH I
B CDE F GHI
CDEFGHI J DEFGHI JK
C DE F D E FG
GHI J HI JK
EFGHI JKL FGH I J KLM G H I J KLM N
19
20
21
…
…
…
…
…
…
…
四年级下册数学试题-奥数专题讲练：12 等差数列 精英篇(解析版)全国通用
第十二讲 等差数列在今天这节课中，我们来学习等差数列在实际解题过程中的综合运用.这节课主要以等差数列的综合运用为主，但考虑到许多学生没有系统接触过“等差数列”的知识，建议教师在本节课系统讲解一下. 知识点：1、等差数列在计算题中的综合运用.2、等差数列在数表中的综合运用.分析：一只球变成3只球，实际上多了2只球.第一次多了2只球，第二次多了2×2只球……第十次多了2×10只球.因此拿了十次后，多了2×1＋2×2＋…＋2×10＝2×（1＋2＋…＋10）＝2×55＝110（只）.加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）.综合列式为：（3-1）×（1＋2＋…＋10）＋3＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113（只）.[复习一]你能给大家说一说有关等差数列的性质、结论以及相关公式吗？快快举手，多多赢得小印章！（1） 先介绍一下一些定义和表示方法：定义：从第二项起，每一项都比前一项大（或小）一个常数（固定不变的数），这样的数列我们称它为等差数列.譬如：2、5、8、11、14、17、20、…… 从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列 100、95、90、85、80、…… 从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列（2） 首项：一个数列的第一项，通常用a 1表示；末项：一个数列的最后一项，通常用a n 表示，它也可表示数列的第n 项. 每个数列都有最后一项吗？数列分有限数列和无限数列；项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示；公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d 来表示； 和 ：一个数列的前n 项的和，常用S n 来表示 .（3） 三个重要的公式：你还记得吗教学目标想 挑 战 吗 ？盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里.这时盒子里共有多少只乒乓球？① 通项公式：递增数列：末项=首项＋(项数-1)×公差， 1(1)n a a n d =+-⨯递减数列：末项=首项-(项数-1)×公差，1(1)n a a n d =--⨯回忆讲解这个公式的时候我们可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让同学明白末项其实就是首项加上（末项与首项的）间隔的公差个数，或者从找规律的情况入手.同时我们还可延伸出来这样一个有用的公式：(),()n m a a n m d n m -=-⨯> ② 项数公式：项数=（末项-首项）÷公差＋1由通项公式可以得到： 1()1n n a a d =-÷+ （1n a a >若）；1n ()1n a a d =-÷+（1n a a >若）. 找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的！譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、……、40、43、46 ，分析：配组：（4、5、6）、（7、8、9）、（10、11、12）、（13、14、15）、……、（46、47、48），注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有48-4+1=45项，每组3个数，所以共45÷3=15组，原数列有15组. 当然，我们还可以有其他的配组方法. ③ 求和公式：和=（首项＋末项）×项数÷2，1()2n n s a a n =+⨯÷ 对于这个公式的得到我们可以从两个方面入手： （思路1）1＋2＋3＋…＋98+99+100＝101×50=5050（思路2）这道题目，我们还可以这样理解：即，和= (100＋1)×100÷2＝101×50＝5050（4）中项定理对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数. 譬如：（1）4＋8＋12＋…＋32＋36=（4+36）×9÷2=20×9=1800 ，题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于20×9 ；（2）65＋63＋61＋…＋5＋3+1=（1+65）×33÷2=33×33=1089 ，题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于33×33 .[复习2]（1）3、5、7、9、11、13、15、…… ，这个数列有多少项？它的第102项是多少？（2）已知等差数列2、5、8、11、14 … ，问47是其中第几项？（3）如果一等差数列的第4项为21，第10项为57，求它的第16项.分析：（1）它是一个无限数列，所以项数有无限多项.第n项=首项+公差×（n-1），所以，第102项=3+2×（102-1）= 205 ；（2）首项=2 ，公差=3 ，我们可以这样看：2、5、8、11、14 …、47 ，那么这个数列有：n=（47-2）÷3+1=16 ，（熟练后，此步可省略），即47是第16项；（3）要求第16项，必须知道首项和公差.第10项－第4项=（10－4）×公差，所以，公差= 6 ；第4项=首项+3×公差，21=首项+3×6 ，所以，首项=3 ；第16项=首项+15×公差=93 .专题精讲（一）等差数列在计算中的综合运用【例1】（1）(2+4+6+…+96+98+100)-(1+3+5+…+95+97+99)（2）1+3+4+6+7+9+10+12+13+…+66+67+69+70；（3）61+692+6993+69994+699995+6999996分析：（1）同学们可能已经发现和式2+4+…+98+100，l+3+5+…+974-99中的项成等差数列，从而可能想到先求和，再做减法.这样做，很自然，也比较简便，有其他更为简便的解法吗?再看题，你会冒出一个好想法：运用加减运算性质先做减法：2-l，4-3，6-5，…，100-99，它们的差都等于1，然后，计算等于1的差数有多少个.由于题中1至100的全部偶数之和作为被减数，奇数之和为减数，所以，相邻的奇偶数相减(以大减小)，共得50个差数1，从而，原式=(2-1)+((4-3)+…+(98-97)+(100-99)=50 （2）可以把这个数列拆分为两个数列1+4+7+10+13+…+67+70和3+6+9+12+…+66+69，对他们分别求和：原式=(1+70)×24÷2+(3+69)×23÷2=1680；（3）原式=(70-9)+(700-8) +(7000-7)+(70000-6)+(700000-5)+(7000000-4)=7777770-(9+8+7+6+5+4)=7777731[评注]以上都是些常见的数列求和问题，以后我们遇到的题都是和这些题的类型相似的，我们应该熟练掌握他们的计算方法．【例2】（1）从401到1000的所有整数中，被8除余数为1的数有多少个？（2）1至100各数，所有不能被9整除的自然数的和是多少？分析：（1）因为被8除余数为1的整数组成公差是8的等差数列，最小的是401，最大的是993，于是项数=(993—401)÷8+1=75．（2）在1至100中，被9整除的数的和是：9+18+27+…+99=9×(1+2+3+…+11)=9×66=594；1至100各数之和是：1+2+3+…+100=5050；所以在1至100的各数中，所有不能被9整除的数的和是：5050—594=4456．[前铺一]求100以内除以3余2的所有数的和.分析：100以内除以3余2的数为2、5、8、11、……98公差为3的等差数列，首先求出一共有多少项，（98－2）÷3+1=33 ，再利用公式求和 (2+98)× 33÷2=1650 .[前铺二]在1～100这一百个自然数中，所有能被9整除的数的和是多少分析：每9个连续数中必有一个数是9的倍数，在1～100中，我们很容易知道能被9整除的最小的数是9=9×1，最大的数是99=9×11，这些数构成公差为9的等差数列，这个数列一共有：11-1+1=11项，所以，所求数的和是：9+18+27+……+99=（9+99）×11÷2=594.【例3】 已知数列2、3、4、6、6、9、8、12、…，问:这个数列中第2000个数是多少?第2003个数是多少?分析:奇数项的排列规律是：2、4、6、8，… 偶数项的排列规律是：3、6、9、12，…先求出这两个数各自在等差数列中的项数：第2000个数在偶数项等差数列中是第2000÷2=1000个数， 第2003个数在奇数项等差数列中是第（2003+1）÷2=1002个数 ，所以第2000个数是3000，第2003个数是2004 .[前铺一]已知数列2，4，6，8，……，问这个数列中第2000个数是多少？分析：根据等差数列通项公式：1(1)n a a n d =+-⨯，第2000个数为：2+（2000-1）×2=4000。
奥数题库(四年级)数列规律计算(普通)
双重数列规律1.观察如下数列：10,1,10,2,10,3,10,4,……,10,9．这个数列一共有多少个数？2.观察如下数列：5,1,5,2,5,3,5,4,……,5,10．这个数列一共有多少个数？3.观察如下数列：8,1,8,2,8,3,8,4,……,8,7．这个数列一共有多少个数？4.观察如下数列：10,2,10,4,10,6,10,8,10,10，……，10,100．那么这个数列一共有多少个数？5.观察如下数列：5,3,5,6,5,9,5,12,……,5,99．那么这个数列一共有多少个数？6.观察如下数列：10,2,10,4,10,6,10,8,10,10，……，100,10．那么这个数列一共有多少个数？7.观察如下数列：1,100,2,99,3,98,2,97,1,96,2,95,3,94,2,93,1,92，……，2,2,1．这个数列的和是多少？8.观察如下数列：1,100,2,98,3,96,2,94,1,92,2,90,3,88,2,86,1,84，……，0．这个数列的和是多少？9.观察如下数列：1,60,2,57,3,54,2,51,1,48,2,45,3,42,……，2,3．那么这个数列的和是多少？10.观察如下数列：1,100,2,99,3,98,2,97,1,96,2,95,3,94,2,93,1,92，……，2,1．这个数列中有多少个“2”？11.观察如下数列：1,100,2,98,3,96,2,94,1,92,2,90,3,88,2,86,1,84，……，0．这个数列中有多少个“2”？12.观察如下数列：1,60,2,57,3,54,2,51,1,48,2,45,3,42,……，2,3．那么这个数列中有多少个“2”？数组规律1.观察如下数组：（1,2,3），（2,3,4），（3,4,5），……，那么第10组中的三个数是什么？2.观察如下数组：（2,3,4），（3,4,5），（4,5,6）……，那么第10组中的三个数是什么？3.观察如下数组：（2,4,6），（4,6,8），（6,8,10），……，那么第10组中的三个数是什么？4.观察如下数组：（1,2,3），（2,3,4），（3,4,5），……，那么前10组中所有数的和是多少？5.观察如下数组：（2,3,4），（3,4,5），（4,5,6）……，那么前10组中所有数的和是多少？6.观察如下数组：（2,4,6），（4,6,8），（6,8,10），……，那么前10组中所有数的和是多少？7.观察如下数列：1,2,3,4,4,5,6,7,7,8,9,10，……，那么这个数列的第24个数是什么？8.观察如下数列：3,4,5,6,6,7,8,9,9,10,11,12，……，那么这个数列的第24个数是什么？9.观察如下数列：2,4,6,8,8,10,12,14,14,16,18,20，……，那么这个数列的第24个数是什么？10.观察如下数列：1,2,3,4,4,5,6,7,7,8,9,10，……，97,98,99,100，那么这个数列一共有多少数？11.观察如下数列：3,4,5,6,6,7,8,9,9,10,11,12，……，99,100,101,102，那么这个数列一共有多少数？12.观察如下数列：2,4,6,8,8,10,12,14,14,16,18,20，……，194,196,198,200，那么这个数列一共有多少数？。
四年级奥数等差数列和等比数列
四年级奥数等差数列和等比数列
简介
本文将介绍四年级奥数中的等差数列和等比数列概念及其求和公式。
等差数列
等差数列是指一个数列中的每一项与它的前一项之差都相等。
例如，2、4、6、8、10 就是一个等差数列，其中公差为2。
公式
对于等差数列，可以使用以下公式来求前n项和：
$$S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n)$$
其中，$S_n$表示前n项的和，$a_1$表示数列的首项，
$a_n$表示数列的第n项。
等比数列
等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项之比都相等。
例如，2、6、18、54、162 就是一个等比数列，其中公比为3。
公式
对于等比数列，可以使用以下公式来求前n项和：
$$S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$$
其中，$S_n$表示前n项的和，$a_1$表示数列的首项，$q$表示公比，$n$表示项数。
总结
等差数列和等比数列是四年级奥数中常见的数列类型。
通过掌握它们的概念和求和公式，可以帮助学生更好地理解数列的特点和规律，并能应用到实际问题中。
以上是对四年级奥数中的等差数列和等比数列的简要介绍。
希望本文能够对大家有所帮助。
四年级高思奥数之数列与数表含答案
四年级高思奥数之数列与数表含答案第17讲数列与数表内容概述通过观察数列或数表中的已知数据，发现规律并进行填补与计算的问题，注意数表形式的多样性，计算时常常考虑周期性，或进行合理估算.典型问题兴趣篇1．1，1，4，2，7，3，10，1，13，2，16，3，19，1，22，2，25，3，…，100．请观察上面数列的规律，问：(1)这个数列一共有多少项?(2)这个数列所有数的总和是多少?2．观察数组(1，2，3)，(3，4，5)，(5，6，7)，(7，8，9)的规律，求：(1)第20组中三个数的和；(2)前20组中所有数的和．3．一个数列的第一项是l，之后的每一项是这样得到的：如果前一项是一位数，接着的一项就等于前一项的两倍；如果前一项是两位数，接着的一项就等于前一项个位数字的两倍．请问：(1)第100项是多少?(2)前100项的和是多少?4.如图17-1，方格表中的数是按照一定规律填人的．请观察方格表，并填出“?”处的数．5．如图17-2，数阵中的数是按一定规律排列的，请问：(1)100在第几行、第几列?(2)第20行第3列的数是多少?6．如图17-3，从4开始的自然数是按某种规律排列的，请问：(1)100在第几行，第几列?(2)第5行第20列的数是多少?7.如图17-4所示，把偶数2、4、6、8，排成5列．各列从左到右依次为第1列、第2列、第3列、第4列和第5列，请问：(1)100在第几行，第几列?(2)第20行第2列的数是几何?8．如图17-5，从1入手下手的自然数按某种体式格局布列起来，请问：(1)100在第几行?100是这一行左起第几个数?(2)第25行左起第5个数是多少?9.如图17-6，把从1入手下手的自然数排成数阵．试问：能否在数阵中放人一个3×3的方框，使得它围住的九个数之和等于：(1)1997；(2)2016；(3)2349．如果可以，请写出方框中最大的数．10.如图17-7，将1至400这400个自然数顺次填人20 x20的方格表中，请问：(1)246在第几行，第几列?(2)第14行第13列的数是多少?(3)所有阴影方格中数的总和是多少?拓展篇1．1，100，2，98，3，96，2，94，1，92，2，90，3，88，2，86，l，84，…，．请观察上面数列的规律，请问：(1)这个数列中有多少项是2？(2)这个数列所有项的总和是几何?2．一列由两个数组成的数组：(1，1)，(1，2)，(2，2)，(1，3)，(2，3)，(3，3)，(1，4)，(2，4)，(3，4)，(4，4)，(1，5)，…，请问：(1)第100组内的两数之和是多少?(2)前55组中“5”这个数出现了几何次?3．有一列数，第一个数是3，第二个数是4，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的和的个位数．从这列数中取出连续的50个数，并求出它们的和，所得的和最大是多少?如果从中取出连续的500个数，500个数的和最大又是多少?4．如图17-8，把从1开始的自然数填在图上，1在射线OA上，2在射线OB上，3在射线OC上，4在射线OD上，5在射线OE上，6在射线OF上，7在射线OG上，8在射线OH上，9又回到射线OA上，如此循环下去，问：78在哪条射线上?射线OE上的第30个数是多少?5．如图17-9，将从5开始的连续自然数按规律填人数阵中，请问：(1)123应该排在第几列?(2)第2行第20列的数是几何?6．如图17-10所示，将自然数有纪律地填入方格表中，请问：(1)500在第几行，第几列?(2)第100行第2列是几何?7．如图17-11所示，数阵中的数字是按一定规律排列的．这个数阵中第60行左起第4个数字是多少?8．中国现代的纪年办法叫“干支纪年”，是在“十天干”和“十二地支”的根蒂根基上树立起来的．天干共十个，其布列顺序为：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地十二个，其布列顺序为：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．以一个天干和一个地支相配，天干在前，地支在后，每对干支透露表现一年．在干支纪年中，每六十年龄年体式格局循环一次．公元纪年则是国际通行的纪年方式．图17-12是1911年到1926年的公元纪年与干支纪年的对照表．请问：(1)中国近代史上的“辛亥革命”发生在公元1911年，是干支纪年的辛亥年，请问公元2049年是干支纪年的什么年?(2)21世纪的甲子年是公元纪年的哪一年?(3)“戊戌变法”发生在19世纪末的戊戌年，这一年是公元纪年的哪一年?9．如图17-13所示，将1至400这400个自然数填入下面的小三角形中，每个小三角形内填有一个数.“l”所处的位置为第1行；“2，3，4”所处的位置为第2行；………请问：(1)第15行正中央的数是几何?(2)第12行中所有空缺三角形内的数之和是几何?(3)前8行中阴影三角形内的各数之和比空缺三角形内的各数之和大几何?10．如图17-14，把从1入手下手的自然数按某种体式格局布列起来．请问：(1)150在第几行，第几列?(2)第5行第10列的数是多少?11．如图17-15，把从l开始的自然数按某种方式排列起来．请问：(1)200排在第几行，第几列?(2)第18行第22列的数是多少?12．如图17-16所示，把自然数按纪律布列起来．假如用“土”字型阴影掩盖出8个数并求和，且和为798．这8个数中最大的数是几何?(“土”字不能扭转或翻转)超越篇1．下面的数组是按一定顺序排列的：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，…．请问：(1)其中第70个括号内的数划分是几何?(2)前50个括号内各数之和是多少?2.桌子上有一堆球，如果球的总数量是10的倍数，就平均分成10堆并拿走其中9堆；如果球的总数量不是10的倍数，就添加不多于9个球，使球数变为10的倍数，再平均分成10堆并拿走其中9堆．这个过程称为一次“操作”．若球仅为一个，则不做“操作”．如果最初有…个球，那么经过多少次“操作”后仅余下一个球?3．在图17-17所示的数阵中，将满足下面条件的两个数分为一组：它们上下相邻，且和为391．问：在所有这样的数组中，哪一组内的两个数乘积最小?4．图17-18中的数是按一定规律排列的，郡么XXX第23列的数字是多少?5．将“白、旦、田、由、甲、申”这六个字按如图17-19所示的体式格局布列．请问：(1)第1行从左往右数的第15个字是几何?(2)第1列从上往下数的第25个字是多少?(3)第25行的第15个字是多少?6．将自然数从1入手下手，顺次排成如图17-20所示的螺旋形，其中2，3，5，7，…处为拐点，请问：(1)第30个拐点处的数是多少?(2)前30个拐点处的各数之和是多少?7．如图17-2l，把从1入手下手继续的自然数按照一定的顺序排成数表，假如这个数表有40行，请经由进程计算回覆以下问题：(1)第1行的数是多少?(2)第20行中的最大数与最小数之和是多少?(3)第35行中的最大数与最小数之和是几何?8.如图17-22，25个同样大小的等边三角形拼成了一个大等边三角形．在每个小三角形的顶点处都标有一个数，使得任何两个相邻小等边三角形所构成的菱形的两组相对的顶点上所放置的数的和都相等．已知在大等边三角形的三个顶点放置的数分别是100、200、300．求所有顶点上数的总和．第17讲数列与数表内容概述经由进程观察数列或数表中的数据，发现纪律并举行填补与计算的问题，留意数表体式格局的多样性，计算经常常斟酌周期性，或举行公道估算.典型问题兴趣篇1．1，1，4，2，7，3，10，1，13，2，16，3，19，1，22，2，25，3，…，100．请观察上面数列的纪律，问：(1)这个数列一共有几何项?(2)这个数列所稀有的总和是几何?答案：67；1783解析：距离是是等差数列。
四年级奥数：数列与数表
四年级奥数：数列与数表经过观察与归纳找出数与图的规律。
观察是寻找规律不可少的手段，是发现本质、归纳规律的先导，有些问题解答不出来，究其原因，与其说是“想不出”，不如说是“看不出”。
在寻找规律的过程中，必须要高度重视对数、形、式等现象的观察，善于抓住问题的本质特征进行归纳，从而得出规律。
只有经过观察、思考和试算，发现数与数、图形与图形相互之间的关系，才能得到题目的答案。
同学们，通过学习，希望你在平时多积累，多归纳，善于发现、总结一些规律，因为学会发现往往比学会几道题目重要得多。
名师点题例1知识概述1、数列：主要包括⑴递增数列(等差数列，等比数列)，等差数列为重点考察对象。
⑵周期数列；例如：1，2，4，7，1，2，4，7，1，2，4，7，…⑶复合数列；例如：1，3，2，6，3，9，4，12，5，15…⑷特殊数列；例如：斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21…2、等差数列通用公式：通项公式：第n项=首项 +（项数– 1）×公差项数公式：项数=（末项–首项）÷公差 + 1求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷23、中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。
4、数表规律给出几个具体的、特殊的图形，要求找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论。
具体方法和步骤是：⑴通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳；⑵猜想符合规律的一般性结论；⑶验证或证明结论是否正确。
在杯赛考试中主要将图形规律与等差数列结合到一起来考察。
（1）在数列3、6、9……，201中共有多少数？ （2）在数列3、6、9……，201和是多少？ （3）如果继续写下去，第201个数是多少？ 【解析】（1）因为在这个等差数列中，首项=3，末项=201，公差=3，所以根据公式： 项数=（末项-首项）÷公差+1,便可求出。
小学四年级奥数找规律
小学四年级奥数第五讲找规律（一）一、知识要点按照一定次序排列起来的一列数，叫做数列。
如自然数列：1，2，3，4，……双数列：2，4，6，8，……我们研究数列，目的就是为了发现数列中数排列的规律，并依据这个规律来填写空缺的数。
按照一定的顺序排列的一列数，只要从连续的几个数中找到规律，那么就可以知道其余所有的数。
寻找数列的排列规律，除了从相邻两数的和、差考虑，有时还要从积、商考虑。
善于发现数列的规律是填数的关键。
二、精讲精练【例题1】在括号内填上合适的数。
（1）3，6，9，12，（），（）（2）1，2，4，7，11，（），（）（3）2，6，18，54，（），（）练习1：在括号内填上合适的数。
（1）2，4，6，8，10，（），（）（2）1，2，5，10，17，（），（）（3）2，8，32，128，（），（）（4）1，5，25，125，（），（）（5）12，1，10，1，8，1，（），（）【例题2】先找出规律，再在括号里填上合适的数。
（1）15，2，12，2，9，2，（），（）（2）21，4，18，5，15，6，（），（）练习2：按规律填数。
（1）2，1，4，1，6，1，（），（）（2）3，2，9，2，27，2，（），（）（3）18，3，15，4，12，5，（），（）（4）1，15，3，13，5，11，（），（）（5）1，2，5，14，（），（）【例题3】先找出规律，再在括号里填上合适的数。
（1）2，5，14，41，（）（2）252，124，60，28，（）（3）1，2，5，13，34，（ ） （4）1，4，9，16，25，36，（ ）练习3：按规律填数。
（1）2，3，5，9，17，（ ），（ ） （2）2，4，10，28，82，（ ），（ ）（3）94，46，22，10，（ ），（ ） （4）2，3，7，18，47，（ ），（ ）【例题4】根据前面图形里的数的排列规律，填入适当的数。
（1）（3） 练习4：找出排列规律，在空缺处填上适当的数。
四年级数学竞赛奥数讲义,例题
计算：999999999×111111111计算：66666×133332求算式200982009920096999888666⨯÷个个个的计算结果的各位数字之和。
计算：222010120108888111-个个计算：22222×99999＋33333×33334第一讲：多位数计算(★★★)(★★★★)(★★★★)(★★★★)(★★★)计算1009100910099999991999⨯+个个个结果末尾有多少个零？201032010420102201053335556444222⨯+⨯⨯个个个个【你还记得吗】 (★★★)计算：2010×20112011－2011×20102010计算：333×332332333－332×333333332(★★★★)(★★★★★) (★★★★)测试题1．计算222222×999999A ．222222217880B ．222222788888C ．222221777778D ．2222221777882．计算6666×13332A ．88871112B ．88881112C ．88872222D ．888822223．计算：3001300229931111222233334 个个个A ．3013333个3B ．2003333个3C ．3003333个3D ．3063333个34．计算100×100－99×99＋98×98－97×97＋…＋2×2－1×1A ．4950B ．5050C ．5150D ．52505．计算 99999×26＋33333×24A ．3996366B ．6933669C ．3399966D ．36699666．计算：899×899＋1799A ．819000B ．810000C ．900000D ．9810007．计算111111×777777＋444444×555555A ．333332666667B ．333333666667C ．333332777777D ．3333337777778．计算2009×20072008－2007×20092008A ．2B ．4016C ．4017D ．0网校老师共50人报名参加了羽毛球或乒乓球的训练，其中参加羽毛球训练的有30人，参加乒乓球训练的有35人，请问：两个项目都参加的有多少人？一个班30人，完成作业的情况有三种：一种是完成语文作业没完成数学作业；一种是完成数学作业没完成语文作业；一种是语文、数学作业都完成了。
四年级下册数学试题-奥数专题讲练：12 等差数列 提高篇(解析版)全国通用
第十二讲 等差数列在今天这节课中，我们来学习等差数列在实际解题过程中的综合运用.这节课主要以等差数列的综合运用为主，但考虑到许多学生没有系统接触过“等差数列”的知识，建议教师在本节课系统讲解一下. 知识点：1、等差数列在计算题中的综合运用.2、等差数列在数表中的综合运用.分析：通过审题可知，各个名次获奖的人数正好构成 一个等差数列：1，2，3，…，15，根据求和公式，获奖总人数为：(1+15)×15÷2=120(人).[复习一]你能给大家说一说有关等差数列的性质、结论以及相关公式吗？快快举手，多多赢得小印章！（1） 先介绍一下一些定义和表示方法：定义：从第二项起，每一项都比前一项大（或小）一个常数（固定不变的数），这样的数列我们称它为等差数列.譬如：2、5、8、11、14、17、20、…… 从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列 100、95、90、85、80、…… 从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列（2） 首项：一个数列的第一项，通常用a 1表示；末项：一个数列的最后一项，通常用a n 表示，它也可表示数列的第n 项. 每个数列都有最后一项吗？数列分有限数列和无限数列；项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示；公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d 来表示； 和 ：一个数列的前n 项的和，常用S n 来表示 .（3） 三个重要的公式：你还记得吗教学目标想挑 战 吗 ？育才小学举办“迎春杯”数学竞赛，规定前十五名可以获奖，比赛结果第一名1人，第二名并列2人，第三名并列3人……第十五名并列15人，你能快速计算出得奖的一共有多少人吗？① 通项公式：递增数列：末项=首项＋(项数-1)×公差， 1(1)n a a n d =+-⨯递减数列：末项=首项-(项数-1)×公差，1(1)n a a n d =--⨯回忆讲解这个公式的时候我们可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让同学明白末项其实就是首项加上（末项与首项的）间隔的公差个数，或者从找规律的情况入手.同时我们还可延伸出来这样一个有用的公式：(),()n m a a n m d n m -=-⨯> ② 项数公式：项数=（末项-首项）÷公差＋1由通项公式可以得到： 1()1n n a a d =-÷+ （1n a a >若）；1n ()1n a a d =-÷+（1n a a >若）. 找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的！譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、……、40、43、46 ，分析：配组：（4、5、6）、（7、8、9）、（10、11、12）、（13、14、15）、……、（46、47、48），注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有48-4+1=45项，每组3个数，所以共45÷3=15组，原数列有15组. 当然，我们还可以有其他的配组方法. ③ 求和公式：和=（首项＋末项）×项数÷2，1()2n n s a a n =+⨯÷ 对于这个公式的得到我们可以从两个方面入手： （思路1）1＋2＋3＋…＋98+99+100＝101×50=5050（思路2）这道题目，我们还可以这样理解：即，和= (100＋1)×100÷2＝101×50＝5050（4）中项定理对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数. 譬如：（1）4＋8＋12＋…＋32＋36=（4+36）×9÷2=20×9=1800 ，题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于20×9 ；（2）65＋63＋61＋…＋5＋3+1=（1+65）×33÷2=33×33=1089 ，题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于33×33 .[复习二]（1）5、8、11、14、17、20、…… ，这个数列有多少项？它的第201项是多少？65是其中的第几项？（2）如果一等差数列的第4项为21，第10项为57，求它的第16项.（3）一个等差数列2，4，6，8，10，12，14，这个数列各项的和是多少？分析：（1）它是一个无限数列，所以项数有无限多项.第n项=首项+公差×（n-1），所以，第99项=5+3×（201-1）=605，对于数列5，8，11，……，65，一共有：n=（65-5）÷3+1=21，即65是第21项. （2）要求第16项，必须知道首项和公差.第10项－第4项=（10－4）×公差，所以，公差= 6 ；第4项=首项+3×公差，21=首项+3×6 ，所以，首项=3 ；第16项=首项+15×公差=93 .（3）根据中项定理，这个数列一共有7项，各项的和等于中间项乘以项数，即为：8×7=56.专题精讲（一）等差数列在计算中的综合运用【例1】（1）(2+4+6+…+96+98+100)-(1+3+5+…+95+97+99)（2）1+3+4+6+7+9+10+12+13+…+66+67+69+70；（3）1000+999-998+997+996-995+…+106+105-104+103+102-101.（4）72+793+7994+79995+799996分析：（1）同学们可能已经发现和式2+4+…+98+100，l+3+5+…+97+99中的项成等差数列，从而可能想到先求和，再做减法.这样做，很自然，也比较简便，有其他更为简便的解法吗?再看题，你会冒出一个好想法：运用加减运算性质先做减法：2-l，4-3，6-5，…，100-99，它们的差都等于1，然后，计算等于1的差数有多少个.由于题中1至100的全部偶数之和作为被减数，奇数之和为减数，所以，相邻的奇偶数相减(以大减小)，共得50个差数1，从而，原式=(2-1)+(4-3)+…+(98-97)+(100-99)=50.（2）可以把这个数列拆分为两个数列1+4+7+10+13+…+67+70和3+6+9+12+…+66+69，对他们分别求和：原式=(1+70)×24÷2+(3+69)×23÷2=1680.（3）本题也可以按照上题的方法做，但我们还有更简便的办法，把式子中的减法都计算出来可以得到下式：1000+1+997+1+…+106+1+103+1．这是1000+997+…+106+103和1+1+…+1+1的组合，分别计算结果即可：原式=(1000+103)×300÷2+1×300=165750 .（4）原式=(80-8)+(800-7)+(8000-6)+(80000-5)+(800000-4)=888880-(8+7+6+5+4)=888850[评注]以上都是些常见的数列求和问题，以后我们遇到的题都是和这些题的类型相似的，我们应该熟练掌握他们的计算方法．【例2】在1～100这一百个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？分析：我们先计算l～100的自然数和，再减去能被9整除的自然数和，就是所有不能被9整除的自然数和了．1+2+…+100=(1+100)×100÷2=5050，9+18+27+…+99=(9+99)×11÷2=594，所有不能被9整除的自然数和：5050-594=4456．如果直接计算不能被9整除的自然数和，是很麻烦的，所以我们先计算所有1～100的自然数和，再排除掉能被9整除的自然数和，这样计算过程变得简便多了[前铺] 在1～100这一百个自然数中，所有能被9整除的数的和是多少分析：每9个连续数中必有一个数是9的倍数，在1～100中，我们很容易知道能被9整除的最小的数是9=9×1，最大的数是99=9×11，这些数构成公差为9的等差数列，这个数列一共有：11-1+1=11项，所以，所求数的和是：9+18+27+……+99=（9+99）×11÷2=594.[拓展]从401到1000的所有整数中，被8除余数为1的数有多少个？分析：（1）因为被8除余数为1的整数组成公差是8的等差数列，最小的是401，最大的是993，于是项数=(993—401)÷8+1=75．【例3】 已知数列2、3、4、6、6、9、8、12、…，问:这个数列中第2000个数是多少?第2003个数是多少?分析:奇数项的排列规律是：2、4、6、8，… 偶数项的排列规律是：3、6、9、12，…先求出这两个数各自在等差数列中的项数：第2000个数在偶数项等差数列中是第2000÷2=1000个数， 第2003个数在奇数项等差数列中是第（2003+1）÷2=1002个数 ，所以第2000个数是3000，第2003个数是2004 .[前铺一]已知数列2，4，6，8，……，问这个数列中第2000个数是多少？分析：根据等差数列通项公式：1(1)n a a n d =+-⨯，第2000个数为：2+（2000-1）×2=4000.（教师在这个数列中插入1，3，5，7，…，变为前铺二）[前铺二]已知数列：2，1，4，3，6，5，8，7……，问2008是这个数列的第多少项？分析：偶数项的排列规律是：1、3、5、7，… 奇数项的排列规律是：2、4、6、8，…可以看出两个数列都是等差数列.由于2008是偶数，所以在奇数项数列中，它的项数是：（2008-2）÷2+1=1004，所以在整个数列中，2008的项数是1004×2-1=2007，所以2008是这个数列的第2007项.[拓展]求出原题中的前100项和，并判断出100、111、120分别是数列中的第几项. 分析：前100项的和=（3＋150）×50÷2＋（2+100）×50÷2=255×25=6375 ， 100是2的倍数，所以是奇数项的第50项，原数列的第99项 ； 111是3的倍数，所以是偶数项的第37项，原数列的第74项 ； 同样，120是原数列的第80项和第119项 .【例4】 盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里.这时盒子里共有多少只乒乓球？分析：一只球变成3只球，实际上多了2只球.第一次多了2只球，第二次多了2×2只球……第十次多了2×10只球.因此拿了十次后，多了2×1＋2×2＋…＋2×10＝2×（1＋2＋…＋10）＝2×55＝110（只）. 加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）.综合列式为：（3-1）×（1＋2＋…＋10）＋3＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113（只）.【例5】从1到50这50个连续自然数中，取两不同的数相加，使其和大于50，有多少种不同的取法？分析：设满足条件的两数为a、b，且a＜b，则若a=1，则b=50，共1种.若a=2，则b=49，50，共2种.若a=3，则b=48，49，50，共3种.…若a=25，则b=26，27，…50，共25种.若a=26，则b=27，28，…50，共24种.（a=26，b=25的情形与a=25，b=26相同，舍去）.若a=27，则b=28，29，…50，共23种.…若a=49，则b=50，共1种.所以，所有不同的取法种数为1+2+3+…+25+24+23+22+…+l=2×（1+2+3+…+24）+25=625.【例6】如图，把边长为1的小正方形叠成“金字塔形”图，其中黑白相间染色.如果最底层有15个正方形，问其中有多少个染白色的正方形，有多少个染黑色的正方形？分析：由题意可知，从上到下每层的正方形个数组成等差数列，其中a1＝1，d＝2，a n＝15，所以n＝（15－1）÷2＋1＝8，所以，白色方格数是：1＋2＋3＋…＋8＝（1＋8）×8÷2＝36，黑色方格数是：1＋2＋3＋…＋7＝（1＋7）×7÷2＝28.[巩固]用相同的立方体摆成右图的形式，如果共摆了10层，那么最下面一层有多少个立方体？分析：从图可以看出最底层每一列的立方数分别为10，9，8， (1)所以最底层立方体数目为：(10+1)×10÷2=55．要学会正确的读图．【例7】在右图中，每个最小的等边三角形的面积是12平方厘米，边长是1根火柴棍.如果最大的三角形共有8层，问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？分析：最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：层 1 2 3 4 5 6 7 8小三角形数 1 3 5 7 9 11 13 15火柴数 3 6 9 12 15 18 21 24由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列.（1）最大三角形面积为：（1＋3＋5＋…＋15）×12＝［（1＋15）×8÷2］×12＝768（平方厘米）.（2）火柴棍的数目为：3＋6＋9+…+24＝（3＋24）×8÷2=108（根）.[前铺]一只小虫沿笔直的树干跳着上行，每跳一次升高4厘米.它从离地面10厘米处开始跳，如果把这一处称为小虫的第一落脚点，那么它的第100个落脚点离地面多少厘米？分析：由下往上依次用①、②、③、…表示小虫的落脚点，见下表首项（即起始高度）为10，公差是4.到第100落脚点时，已跳了99次，因此，第100落脚点的高度为：10＋4×（100-1）＝406（厘米）.[数学小笑话]一个财主请来家庭教师给儿子教写字，第一天老师教了一个“一”字，第二天教了个“二”字，第三天教了个“三”字，这时那位儿子要求父亲把教师辞退，说他已经无师自通了.财主很高兴，让儿子给一位姓万的先生写信，儿子自信满满的拿着一摞纸到了书房，写了一上午都没有出来，财主等不及就到了书房，看见儿子正卖力的在纸上画线，地上已经有好多已经画满线的纸，财主很生气，说道：“我让你写信，你怎么偷懒啊？”儿子很委屈，回答道：“我在写信啊，谁让这个人姓万呢，我写了一上午，还差三百横呢！”原来儿子以为“万”字就是画一万横，结果一上午连一个姓也没有写出来.（二）等差数列在数表中的综合运用【例8】（希望杯数学邀请赛）观察下面的序号和等式，填括号.序号等式1 1 ＋2 ＋ 3= 63 3 ＋ 5 ＋ 7= 155 5 ＋ 8 ＋ 11= 247 7 ＋ 11 ＋ 15= 33∶∶∶∶∶（）（）＋（）＋7983=（）分析：可以这样想：（1）表中各竖行排列的规律是什么？（等差数列）（2）表中这四个括号，应先填哪一个？为什么？这个括号里的数怎么求？应先填左起第一个，因为它是序号，表示了其他三个括号里的数在各自的等差数列中所在的位置，即各自的项数.第一个括号：（7983-3）÷4＋1=1996 ，1＋（1996-1）×2=3991 ；第二个括号：1＋（1996-1）×2=3991 ；第三个括号：根据等差数列通项公式：2＋（1996-1）×3=5987 或 3991+1996=5987 ；第四个括号：根据等差数列通项公式：6＋（1996-1）×9=17961 或 5987×3=17961 .【例9】自然数按一定规律排成下表，问第60行第5个数是几？135791113151719212325272931333537394143454749............分析：从两个方面考虑：（1）先看组成这张表的数：1，3，5，7，9，….这是一个公差为2的等差数列.第60行第5个数是这数列中的一项，已知首项和公差，知道第60行第5个数是数列中的第几项即可求解.而这个项数就是排列第60行第5个数时所用去数的个数.（2）从表的排法来看，每行的数的个数也是等差数列：1，3，5，7，….第60行第5个数也就是排完59行后又排5个数.59行所排数的个数就是1，3，5，7，…，中的第59项.所以，第59行所用数的个数为：1＋2×（59-1）＝117（个），从第一行排到第59行所用数的总个数为：（1＋117）×59÷2=3481（个），到第60行第5数共用去数的个数为：3481＋5＝3486（个），第60行第5个数是数列1，3，5，7，…中第3486项，为：1＋2×（3486-1）＝6971[巩固]观察下面的数阵，容易看出，第n行最右边的数是2n，那么，第20行最左边的数是几？第20行所有数字的和是多少？分析:通过观察可以看出，每一行最左边的数等于上一行最右边的数加1，所以第20行最左边的数等于192＋1=362；每一行的数字个数为：1，3，5，7，9，……，可以看出成等差数列，所以第20行的数字个数为：1+（20-1）×2=39，每一行的数字都成公差为1的等差数列，所以第20行所有数字的和是：（362＋400）×39÷2=14559 .【例10】将自然数如下排列，12671516...3581417...491318...1012...11......在这样的排列下，数字3排在第2行第1列，13排在第3行第3列，问：1993排在第几行第几列？分析：不难看出，数表的排列规律如箭头所指，为研究的方便，我们不妨把原图顺时针转动45°，就成为三角阵（如下图），三角阵中，第1行1个数，第2行2个数…第n行就有n个数，设1993在三角阵中的第n行，则：1+2+3+…+n-1＜1993≤1+2+3+…+n即：n×（n-1）÷2＜1993≤n×（n+1）÷2用试值的方法，可以求出n=63.又因为1+2+…+62=1953，即第62行中最大的数为1953.三角阵中，奇数列的数字从左到右，依次增大，又1993-1953=40，所以，1993是三角阵中第63行从左开始数起的第40个数（若从右开始数，则为第24个数）.把三角阵与左图作比较，可以发现：①三角阵中每一行从左开始数起的第几个数，就位于左图的第几列.②三角阵中每一行从右开始数起的第几个数，就位于左图的第几行.由此，我们可知，1993位于原图的24行40列.专题展望本讲主要讲了等差数列在实际解题过程中的综合运用，在以后的学习中我们还会学习到关于等差数列的更多知识，希望同学们再接再厉，加油！练习十二1.（例1）巧算: 61+692+6993+69994+699995+6999996分析:原式=(70-9)+(700-8) +(7000-7)+(70000-6)+(700000-5)+(7000000-4)=7777770-(9+8+7+6+5+4)=77777312.（例2）100到200之间不能被3整除的数之和是多少？分析:考虑能被3整除的各数之和102＋105＋…＋198 ;然后（100＋101＋102＋…＋200）—（102＋105＋…＋198）＝10200.3.（例5）明明在玩棋子，他想把35枚棋子放到8个不同的空盒中，如果要求每个盒子都不空，且任意2个盒子里的棋子数目都不一样，明明能办到吗?如果能，他该怎么放?如果不能，说说为什么?分析：因为每个盒子都不空，所以盒子中至少有l枚棋子.同时，任意2个盒中的棋子数不一样，所以8个盒中共有的棋子数至少为：1+2+3+4+5+6+7+8=36(枚).题目中只给了35枚棋子，所以，明明不能办到.4.（例7）某次宴会结束时总共握手45次，如果参加宴会的每一个人，和其他参加宴会的每一个人都只握一次手.参加宴会的一共有多少人？分析:经试验：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9=45，所以一共有10人参加宴会.5.（例9）把自然数依次排成“三角形阵”，如图9－3.第一排1个数；第二排3个数；第三排5个数；…求：（1）第十二排第一个数是几？最后一个数是几？（2）207排在第几排第几个数？（3）第13排各数的和是多少？分析：（1）122，144（2）第十五排的第11个数（3）3925.数学故事从前有一个非常聪明的数学家，他能用数学知识为人们解决许多常见的生活问题，受到人们的爱戴．可是国王嫉贤妒能，总想找借口把年轻的数学家除掉，但一直没有如愿．那时国王正在修一个豪华的宫殿，将要落成的一天，国王看着漂亮的宫殿忽然想到一个为难数学家的好办法，于是派人把数学家找来，说有难事请他帮忙．数学家来到皇宫拜见国王，国王见到数学家心中就有气，他脸露一丝坏笑，说：“听说你很有能耐，什么难题都难不倒你，并以此得到了我臣民的拥护，能有你这样的臣民我应该很高兴，但我怕你是欺世盗名之徒，骗取我臣民的忠心，所以我要考考你，假如你能过关，我就相信你，并保证永远不会再为难你，否则，就将你永远赶出我的国家!”数学家被迫答应了．国王的问题是：新建的皇宫给国王的每一位妃子都建了一个寝宫，国王为了区分不同的妃子在哪个寝宫，决定在每个寝宫门口挂上数目不同的中国结．办法是在第一个门口中间挂上一个，在第二个门口除了中间的一个再分别在两侧各挂上一个，在第三个门口除了第二个门口的三个再在两侧各挂上一个……如此类推，国王共有50个妃子，问一共需要多少个中国结?国王不许数学家到宫门口去试，只许他用脑子想，要是一小时内没有结果就算失败．国王出完题之后命人看住数学家，不让他出去，自己想到后宫去休息一会儿．可还没等到他跨出门口就被数学家叫住了，数学家已经得出了答案：2500个中国结．国王半信半疑，急忙命人去试一下．试了半天，终于试完了，果然是2500个!国王被迫让数学家离开了，可是事后百思不得其解，数学家是怎样知道答案的呢?但碍于面子他宁死不向数学家请教，只是终日冥思苦想，再也没有心思害人了．但他最终也没想明白是怎么回事，终于积劳成疾，命不久矣．临死前他终于忍不住命人把数学家请来，客气地说：“我以前终日与你为难，最终还是难不住你，这些日子我一直对你算出中国结数目的事不解，不知道你如何能那么快得出答案，你能告诉我吗?”见国王时日无多，数学家恭敬地说：“是这样的，我把每个门口的中国结数目列在一起，想成一列数，它们相邻两个的差都是2，我称这样的数列为等差数列，第50个门口是99个，与第一个门口的一个合成100个，第49个门口是97个，与第二个门口的3个合成100个，……如此类推，一共可以合成25个100，合起来共是2500个中国结．”国王听完满意地点了点头，传出命令：“封数学家为全国最聪明的人……”说完永远闭上了双眼．。
四年级奥数：数列与数表
四年级奥数：数列与数表经过观察与归纳找出数与图的规律。
观察是寻找规律不可少的手段，是发现本质、归纳规律的先导，有些问题解答不出来，究其原因，与其说是“想不出”，不如说是“看不出”。
在寻找规律的过程中，必须要高度重视对数、形、式等现象的观察，善于抓住问题的本质特征进行归纳，从而得出规律。
只有经过观察、思考和试算，发现数与数、图形与图形相互之间的关系，才能得到题目的答案。
同学们，通过学习，希望你在平时多积累，多归纳，善于发现、总结一些规律，因为学会发现往往比学会几道题目重要得多。
名师点题例1知识概述1、数列：主要包括⑴递增数列(等差数列，等比数列)，等差数列为重点考察对象。
⑵周期数列；例如：1，2，4，7，1，2，4，7，1，2，4，7，…⑶复合数列；例如：1，3，2，6，3，9，4，12，5，15…⑷特殊数列；例如：斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21…2、等差数列通用公式：通项公式：第n项=首项 +（项数– 1）×公差项数公式：项数=（末项–首项）÷公差 + 1求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷23、中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。
4、数表规律给出几个具体的、特殊的图形，要求找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论。
具体方法和步骤是：⑴通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳；⑵猜想符合规律的一般性结论；⑶验证或证明结论是否正确。
在杯赛考试中主要将图形规律与等差数列结合到一起来考察。
（1）在数列3、6、9……，201中共有多少数？ （2）在数列3、6、9……，201和是多少？ （3）如果继续写下去，第201个数是多少？ 【解析】（1）因为在这个等差数列中，首项=3，末项=201，公差=3，所以根据公式： 项数=（末项-首项）÷公差+1,便可求出。
小学数学四年级 数列数表基础 PPT+作业+答案
（1）将从 1 开始的连续自然数竖着排列，56÷4=14（列） 所以 56 在第 4 行、第 14 列。
（2）4×（7-1）+2 = 26。
【小结】 忽大忽小，隔空观察，分类分析。
演练5
观察下面的长方形数表，并回答：第6 行、第18 列的数是多少？
7×（18-1）+6 = 125
例题6
下面数表中的数是按照一定规律排列的。请问： （ 1） 111 排在第几行、第几列？（2） 第 19 行、第4 列的数是多少？
例题7
将连续奇数1，3，5，7，9，11，… 每五个一行排成 下面的数表。 请问：（1） “十”字框中的五个数的平均数 与中间数有什么关系？ （2） 如果可以上、下、左、右平移 “十”字框，使它框住另外五 个数，那么这五个数的和能等 于 2011 吗？能等于2015 吗？能等 于2045 吗？如果能，请 求出这五个数；如果不能，请说明理由。
作业3
3. 如下表：将从 1 开始的连续自然数填入下面的数表中。请问：这 个数表中每（ ）个 数为一个最小周期，98 是第（ ）个周期里的第 （ ）个数，即第（ ）行、第（ ）列 的数。
【答案】7；14；7；14；7。
作业4 4.小新、小东、小芳、小俞老师和小罗老师五人站成一横排，并 按照如下方式轮流报数。 想一想，最先报第 4 次数的是哪个人？ 最先报第 7 次数的又是哪个人？
演练4
请观察下面的长方形数表：请问：152 在该长方形数表里的第 几行、第几列？
按 S 形排152 在第 21+1=22 行，偶数行的数从右向左排列。152 在第 22 行、第 3 列。
例题5
观察下面的长方形数表，并回答： （1） 56 排在第几行、第几列？ （2） 第2 行、第7 列的数是多少？
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四年级奥数：数列与数表经过观察与归纳找出数与图的规律.观察是寻找规律不可少的手段，是发现本质、归纳规律的先导，有些问题解答不出来，究其原因，与其说是“想不出”，不如说是“看不出”.在寻找规律的过程中，必须要高度重视对数、形、式等现象的观察，善于抓住问题的本质特征进行归纳，从而得出规律.只有经过观察、思考和试算，发现数与数、图形与图形相互之间的关系，才能得到题目的答案. 同学们，通过学习，希望你在平时多积累，多归纳，善于发现、总结一些规律，因为学会发现往往比学会几道题目重要得多.名师点题例1知识概述1、数列：主要包括⑴递增数列(等差数列，等比数列)，等差数列为重点考察对象.⑵周期数列；例如：1，2，4，7，1，2，4，7，1，2，4，7，…⑶复合数列；例如：1，3，2，6，3，9，4，12，5，15…⑷特殊数列；例如：斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21…2、等差数列通用公式：通项公式：第n项=首项 +（项数– 1）×公差项数公式：项数=（末项–首项）÷公差 + 1求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷23、中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数.4、数表规律给出几个具体的、特殊的图形，要求找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论.具体方法和步骤是：⑴通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳；⑵猜想符合规律的一般性结论；⑶验证或证明结论是否正确.在杯赛考试中主要将图形规律与等差数列结合到一起来考察.（1）在数列3、6、9……，201中共有多少数？ （2）在数列3、6、9……，201和是多少？ （3）如果继续写下去，第201个数是多少？ 【解析】（1）因为在这个等差数列中，首项=3，末项=201，公差=3，所以根据公式： 项数=（末项-首项）÷公差+1,便可求出.项数=（201-3）÷3+1=67（2）求和公式=（首项+末项）×项数÷2 =（3+201）×67÷2 = 102×67 =6834（3）根据公式：末项=首项+公差⨯（项数-1）末项=3+3⨯（201-1）=603， 第201个数是603添在图中的三个正方形内的数具有相同的规律，请你根据这个规律， 确定出A= B = C= ；【解析】第一组 （1+2）×3=9 第二组 （2+3）×4=20 第三组 （3+4）×5=35 由分析得：A=35，B=4，C=5.用相同的立方体摆成下图的形式，如果共摆了10层，那么最下面一层有多少个立方体？9 1 2320 2 3 4A 3 BC【解析】第一层：1第二层：1+2第三层：1+2+3第四层：1+2+3+4...第十层：1+2+3+4+…+10=55（1+10）×10÷2=11×10÷2=110÷2=55 (个)【巩固拓展】1、3＋7＋11＋…＋99＝？【解析】3，7，11，…，99是公差为4的等差数列，项数=（99－3）÷4＋1＝25，原式=（3＋99）×25÷2＝1275.2、求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和.【解析】末项=25＋3×（40-1）＝142，和=（25＋142）×40÷2＝3340.利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题.3、添在图中的三个五边形内的数具有相同的规律，请你根据这个规律，确定出A= B= C= D= ；【解析】多线找规律①中出现123，②出现345，③应该为567，所以B=6 D=7①中1+3=4，②中3+5=8，③5+D=A，D=7，A=12①中1×7=7 ②中3×7=21 ③5×7=35 C=354、全部三位数的和是多少？【解析】所有的三位数就是从100~999共900个数，观察100、101、102、……、998、999这一数列，发现这是一个公差为1的等差数列.要求和可以利用等差数列求和公式来解答.（100+999）⨯900÷2=1099⨯900÷2=494550图中是一个堆放铅笔的V形架,如果最上面一层放60支铅笔. 问一共有多少支铅笔?例11 243 75 BAD C3 485 21【解析】从最底层到最上层每一层堆放的铅笔支数组成一个等差数列,所以一共放铅笔.(1+60)×60÷2=61×60÷2=3660÷2=1830(支).【巩固拓展】建筑工地上堆着一些钢管(如图所示),求这堆钢管一共有多少根.【解析】根据图可以知道，这是一个以3为首项，以1为公差的等差数列，求钢管一共有多少根其实是求这列数的和.求钢管一共有多少根,其实就是求3+4+5+…+9+10的和.项数=(10-3)÷1+1=8,根据公式求和为:3+4+5+…+9+10=(3+10)×8÷2=13×8÷ 2=52(根).计算：1+3+4+6+7+9+10+12+13+…+66+67+69+70=【解析】这是一个综合数列求和，我们把原数列的奇数项和偶数项分开来看奇数项：,7,4,11013,,偶数项：,15,12,9,6,3把奇数项的和求出来，偶数项的和求出来，两个和相加即为原数列的和.偶数项的项数是：2313)369(=+÷-，那么奇数项的项数就是24123=+.奇数项的和：852224)701(=÷⨯+，偶数项的和：828223)693(=÷⨯+，原数列的和：1680828852=+.【巩固拓展】有两个数列对应关系如下表所示：(1)当B=37时，A=_________．(2)当A=1995 时，B=______．【解析】（1）B=37代入项数=（末项–首项）÷公差 + 1 求出为第12项A的第12项：3+（12-1）×2=25（2）当A=1995 项数=（1995-3）÷2+1 求出为第997项B的第997项：4+（997-1）×3=2992在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍.问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？分析：最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列.例3【解析】（1）最大三角形面积为（1＋3＋5＋…＋15）×12＝［（1＋15）×8÷2］×12＝768（厘米2）.(2）火柴棍的数目为3＋6＋9+…+24＝（3＋24）×8÷2=108（根）.答：最大三角形的面积是768厘米2，整个图形由108根火柴摆成.【巩固拓展】用3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形,用这样的等边三角形，按下图所示铺满一个大的等边三角形,如果这个大的等边三角形的底边能放10根火柴棒,那么这个大的等边三角形中一共要放多少根火柴棒?【解析】如果把图中最上端的一个三角形看做第一层,与第一层紧相连的3个三角形(2个向上的三角形,一个向下的三角形)看做第二层,那么这个图中一共有10层三角形.不难看出,这10层三角形每层所需火柴棒根数,自上而下依次为:3,6,9,…,3×10.它们成等差数列,且首项为3,公差为3,项数为10.求火柴的总根数,也就是求这个等差数列各项的和.即: 3+6+9+…+30=(3+30) × 10÷ 2=33× 5=165(根)这个大的等边三角形中一共要放165根火柴棒.例4有50把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多要试多少次?【解析】提示：开第一把锁时，如果不凑巧，试了49把钥匙还不行，那所剩的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要试49次，同理，开第二把锁至多需要48次，开第三把锁至多需试47次，…，等打开第49把锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开.解：根据以上分析,可以把本题转化为求一个等差数列的和，即49+48+47+…+2+1=(49+1)×49÷ 2=1225(次)答：至多要试1225次.【巩固拓展】1、有60把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多试多少次?【解析】59+58+57+…+2+1=(59+1)×59÷2=1770(次)2、有一些锁的钥匙搞乱了,已知至多要试28次,就能使每把锁都配上自己的钥匙.一共有几把锁的钥匙搞乱了?【解析】答:一共有8把锁的钥匙搞乱了.（小机灵杯初赛）有许多等式：2＋4＋6＝1＋3＋5＋38＋10＋12＋14＝7＋9＋11＋13＋416＋18＋20＋22＋24＝15＋17＋19＋21＋23＋5…第十个等式的右边的和是多少？【解析】前九个等式左边的数共有3+4+5+…+11=(3+11)×9÷2=63个数那么第十个等式左边的第一个数就是第64个：根据通项公式：第n项=首项 +（项数– 1）×公差2+（64-1）×2=128.所以第十个等式右边的数的和：128+130+132+…+150=(128+150)×12÷2=1668（第九届小机灵杯五年级复赛）有若干个根长度相等的火柴棒，把这些火柴棒摆成下面的图形，找这样下去，第10个图中共用了多少根火柴？【解析】把最后一排封底用的火柴分开看.第一个图，上面用3个，封底用1个第二个图，上面用3＋7个，封底用3个第三个图，上面用3＋7＋11个，封底用5个例2例1……第十个图，上面用3＋7＋11＋15＋……＋=210，封底用19个.所以一共用了229根火柴.将一些半径相同的小圆按如下所示的规律摆放：第1个图形中有6个小圈，第2个图形中有10个小圈，第3个图形中有16个小圈，第4个图形中有24个小圈，…，依此规律，第6个图形有___________个小圈.【解析】除周围4个小圆外，中间小圆的规律是1×2，2×3，3×4，……，第6个图有6×7＋4＝46个小圆.(第七届“中环杯”四年级决赛)有一串这样的数字：2，0，0，6，0，6，2，0，0，6，0，6，2，0，0，6，0，6 (2006)数.其中共有( )个0，( )个2，( )个6.【解析】经过观察，这个数列以“2，0，0，6，0，6”为一周期循环；因为2006÷6=334……2；所以共有334×3＋1＝1003个0，334×1＋1=335个2，334×2＝668个6.例4例3例5(第六届“中环杯”四年级初赛)有一串数9286…，从第三个数字起，每一个数码都是它前面两个数码积的个位数，那么前100个数码的和是_______.【解析】因为9＋2＝18，2×8＝16，8×6＝48，6×8＝48，8×8＝64，8×4＝32，4×2＝8，…所以这串数从第二个开始以“286884”的规律不断循环；因为(100－1)÷6＝16……3；前100个数码的和是9＋(2＋8＋6＋8＋8＋4)×16＋(2×8＋6)＝601.例6盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里.这时盒子里共有多少只乒乓球？分析与解：一只球变成3只球，实际上多了2只球.第一次多了2只球，第二次多了2×2只球……第十次多了2×10只球.因此拿了十次后，多了2×1＋2×2＋…＋2×10＝2×（1＋2＋ (10)＝2×55＝110（只）.加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）.综合列式为：（3-1）×（1＋2＋…＋10）＋3＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113（只）.1、（第9届中环杯四年级初赛）计算：1+11+21+…+1991+2001+2011=【解析】等差数列求和，项数：（2011-1）÷10+1=202和：（1+2011）×202÷2=2032122、四（1）班45位同学举行一次同学联欢会，同学们在一起一一握手，且每两个人只能握一次手，同学们共握了多少次手？【解析】假设45位同学排成一队，第1位同学一次与其他同学握手，一共握了44次，第2位同学因与第1位同学已握手，只需要与另外43位同学握手，一共握了43次，这样第3位同学只需与另外的42位同学握手，…，依次类推.握手的次数分别为：44,43,42，…，3,2,1，这样应用等差数列求和公式即可解答.解：根据以上分析，可以把本题转化为求一个等差数列的和即44+43+42+…+3+2+1=（44+1）×44÷2=990（次）答：同学们共握了990次手.3、有一堆粗细均匀的圆木，堆成如下图的形状，最上面一层有7根园木，每面下层增加1根，最下面一层有95根，问：这堆圆木一共有多少根？【解析】7+95=102（根）95-7+1=89（层）102⨯89÷2=4539（根）答：这堆圆木一共有4539根.4、（第9届中环杯初赛）如图所示，白色和黑色的三角形按顺序排列.当两种三角形的数量相差12个时，白色三角形有_______个.【解析】每个图形两种三角形的个数相差依次成为数列1，2，3，4，5，第12个图形黑白三角形相差12，那么白色三角形的个数1+2+3+…+11=66（个）5、标有A,B,C,D,E,F,G,H记号的八盏灯，顺次排列一行，每盏灯装有一个开关，现在A,C,E,G开着，其余四盏是灭的，小明从灯A开始顺次拉开关，从A到H，再从A开始顺次拉动开关，他这样拉动2009次后，灭的灯是 .【解析】从A到H一个周期拉8次，200982511÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，所以总共拉了251周期多一次，也就是A灯拉了252次，其他的7盏灯拉了251次，所以灭的灯是C、E、G.6、（1）如上图这样的形状，如果最底层有11个三角形，那么这堆小三角形共有多少个？（2）现在共有169个小三角形，按上图排列，那么最底层三角形有几个？【解析】根据图示可以得到规律，底层与总数有“2→4，3→9，4→16”的关系.而22＝4，33=9，44＝16，就是：“底层的个数的平方正好等于总数”.所以可得：（1）下层有11个小三角形，共有11×11= 121（个）（2）因为13 ×13＝ 169，所以 169个小三角形如上图排列，底层有13个小三角形.。