无理不等式的解法

新教师汇报课教案

课题：解无理不等式

教学目的：通过分析典型类型例题，讨论它们的解法，要求学生能正确地解答无理不等式。

教学过程：

一、新课引入：

前面我们已经研究了一元一次不等式、一元二次不等式和一元高次不等式，它们称为整式不等式，再加上分式不等式，统称为有理不等式，今天我们学习一下无理不等式的解法。

二、讲解新课

无理不等式一般是指在根号下含有未知数的不等式，今天我们主要研究在二次根号下含有未知数的简单的无理不等式的解法。首先，我们来看下面这个例题：

例一解不等式0

3

4

3>

-

-

-x

x

引导学生思考：

3

4

3-

>

-x

x

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

>

≥

≥

⇔

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

-

>

-

≥

-

≥

-

⇔

2

1

3

3

4

3

4

3

3

4

3

x

x

x

x

x

x

x

（结合数轴）

∴3

≥

x

∴不等式的解集是：{3

|≥

x

x} 这是我们所要研究的：

题型Ⅰ：

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

>

⇒

⎭

⎬

⎫

≥

≥

⇔

>

)

(

)

(

)

(

)0

)

(

(

)

(

)

(

x

g

x

f

x

g

x

f

x

g

x

f

定义域

型

通过这个例题（题型）我们可以发现：在解无理不等式的时候，关键是找出与其同解的有理不等式组，而解有理不等式组（如：一元一次不等式组、一元二次不等式组和一元高次不等式组等等）都是我们比较拿手的。简言之：

有理不等式

即：通常所说的无理不等式的有理化解法。

练习一：解不等式⑴0231≤---x x ⑵125->-x x

（本练习由两位同学板演，其他同学练习后讲解）

解：⑴移项：231-≤-x x

∴⎪⎩

⎪⎨⎧≥≤⇒⎩⎨⎧-≥-≥-43112301x x x x x ∴143≤≤x ∴原不等式的解集为⎭

⎬⎫⎩⎨⎧≤≤143|x x ⑵⎩

⎨⎧<≥⇒⎩⎨⎧->-≥-2112501x x x x x ∴21<≤x ∴原不等式的解集为{21|<≤x x }

对两位同学的板演进行讲评，并让同学注意这种题型的结构特征，

在解题过程中不要忘记结合数轴来求几个不等式的解集的交集。

变题：将上例中的⑵变形为：

例二 解不等式 125->-x x

让学生回答解这道题的方法或需要注意的有关问题，有同学提到：首先要考虑根式有意义，即025≥-x ，接下来去根号；（如何去？）平方！直接平方后得到的不等式是否与原不等式等价？提醒同学注意：解不等式所进行的变换一定要保证是等价变换。

引导学生思考：

22b a b a >⇒> 是否一定成立？

不一定！因为：只有在0≥>b a 的情况之下，2

2b a b a >⇒>才会成立 而例二中的1-x 的符号并不能确定！由此可见：我们需要对1-x 的符号进行讨论。OK, 下面就来做此工作（解题）。

解：原不等式的解集等价于下面两个不等式组解集的并集：

Ⅰ：⎪⎩

⎪⎨⎧->-≥-≥-2)1(2501025x x x x 或 Ⅱ：⎩⎨⎧<-≥-01025x x

解Ⅰ：⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧<<-≥≤22125x x x 解Ⅱ：⎪⎩⎪⎨⎧<≤125x x

即：21<≤x 或 1

∴原不等式的解集为{2|

这道题可以作为我们所研究的： 题型Ⅱ：

⎩⎨⎧<≥⎪⎩

⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或型 练习二：解不等式x x x 211322+>+- （ 学生回答，老师板演）

解：原不等式的解集等价于下面两个不等式组解集的并集：

Ⅰ：⎪⎩

⎪⎨⎧+>+-≥+≥+-222)21(1320210132x x x x x x 或 Ⅱ：⎩⎨⎧<+≥+-02101322x x x 解Ⅰ：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<--≥≤≥02

721211x x x x 或 解Ⅱ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<≤≥21211x x x 或 即：021<≤-x 或 2

1-

请同学们注意这种题型的解法，一定要注意g (x )的正负的讨论，并

且原不等式的解集应当是与其等价的两个不等式组解集的并集，尤其要注意结合数轴找出它们的并集，切记！但是，如果将上述练习二中的“>”改为“<”的话，那么又是另一种题型，我们就来看看：

例三：解不等式x x x 211322

+<+- 我们可以将其视为：型)()(x g x f <

让学生总结其解法，首先考虑一下是否要讨论g (x )的正负？不需要！为什么？因为g (x )只能有一种情况，那就是必须为正，即：g (x )>0