直线与椭圆位置关系教学设计

直线与椭圆的位置关系 （教学案例）

一、教学目标

1.理解直线与椭圆的各种位置关系，能利用方程根的判别式来研究直线与椭圆的各种位置关系；

2.掌握和运用直线被椭圆所截得的弦长公式；

3.初步掌握与椭圆有关的弦长、中点、垂直等问题的一些重要解题技巧；

4.进一步树立数形结合、函数方程、等价转化、分类讨论等重要数学思想.

二、重点难点

利用“数”与“形”的结合，利用方程解决直线与椭圆的位置关系和有关弦长等问题.

三、教学方法 导学——讨论式，多媒体课件辅助教学.

四、教学过程

（一）设置情境 导入新课

在初中已经研究过直线与圆的各种位置关系，通常用圆心到直线的距离的变化来判断直线与圆的各种不同的位置关系.但这种方法能用于直线与椭圆的位置关系的讨论吗？不能！那么怎么办？将两个方程联立，转化为一个关于x (有时也可以转化为关于y )的一元二次方程来研究、讨论.而我们对一元二次方程是比较熟悉的，那么今天就是用熟悉的“武器”来研究、讨论、解决陌生的直线与椭圆的位置关系及其有关问题.

（二）探索研究

问题1： 当实数m 分别取何值时，直线l ：y =x +m 与椭圆9x 2+16y 2=144 相交、相切、相离？

分析：将直线和椭圆的方程联立，得关于x 的一元二次方程25x 2+32m x +16m 2-144=0，

∵△=576(25- m 2)，

∴当(1)△>0，即 -5

(2)△=0，即m=5，或m= -5时，直线l 与椭圆相切；

(3)△<0，即m< -5，或m>5，时，直线l 与椭圆相离.

将曲线位置关系的研究的问题转化为方程根的讨论的问题，这是本节课的核心。在不同的范围内取值时，决定了直线与椭圆的不同的位置关系，体现了量变到质变的哲学思想。

问题2： 过椭圆14

162

2=+y x 内一点M(2，1)作椭圆的弦，点M 恰为该弦的中点，求该弦所在直线l 的方程(如图)。

分析一：设l ：y -1=k(x -2)交椭圆于点A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，

将直线方程代入椭圆方程化为 x 2-8(2k 2-k)x +4(2k-1)-16=0.

则由韦达定理得……，故所求直线方程为x +2y -4=0.

这个方法是最基本、最常规、最通用，也是最重要的方法，

必须熟练掌握.韦达定理在这里发挥出很大的作用，以后我们还可以发现它的更大的作用.知识就是要做到前后连贯，并组成一个有机的整体.

分析二：同上所设，因为点A 、B 都在椭圆上，则得

1642121=+y x ①

1642222=+y x ②

经观察知这两个式子除了字母的下标不同外，其余都相同，将两式相减，看能得到什么结果：

(x 1+x 2) (x 1-x 2)+4(y 1+y 2) (y 1-y 2)=0

可以知道式中的 x 1+ x 2=4，y 1+y 2=2，那么得4 (x 1-x 2)+8 (y 1-y 2)=0.

根据上式能得到什么呢？得到直线l 的斜率，则…….

①、②两式被称为同构式，就是除了字母的下标不同外，其余的结构都相同.第一次用同构式来解题，觉得非常新颖和奇妙，甚至觉得不可思议，怎么想起来的呢？这是探索尝试的结果.可是当你掌握了这个方法，并熟练地解决了几道题后，你就会觉得不新鲜了.许多技能技巧都是这样，一个生，二回熟，熟能生巧嘛！

分析三：设A(x ，y )，则得 x 2+4y 2=16 ③

又M(2，1)是AB 的中点，所以B(4-x ，2-y )，又点B 也在椭圆上，

则得 (4-x )2+4(2-y )2=16 ④

③、④两式当然不是同构式，怎么办？回顾在研究求相交两圆的公共弦所在直线方程时，用过什么方法，那么在这里能不能用呢？大胆尝试！

③-④化得……

没有想到在圆中曾用过的技巧在这里又发挥了它的威力。

分析四：椭圆的上顶点和右顶点分别是(0，2)、(4，0)，M(2，1)恰为连结这两点的线段的中点，故所求直线即为连结这两点的直线…… 由巧妙的发现得到巧妙的解法.虽然这里有一定的偶然性，但这是一种机遇，解数学题A O · B

x l y M

时若发现和利用题中的某些隐含条件，充分题目给的机遇，可使解答大大简捷.不过，这到底不是一种通用的常规解法.

问题3 ： 椭圆C 的焦点分别为F 1(-2，0)、F 2(2，0)，椭圆E 以C 的焦点为焦点，且过直线x +y -9=0上的一点P ，当椭圆E 的长轴最短时，求椭圆E 的方程.

分析一：如图，在直线l 上求一点P ，使P 到直线l 外的两个已知点A 、B 的距离之和

最短.

在初中时解过此题，作点B 关于直线l 的对称的点C ，连AC 交 l 于点P ，则P 为所求之点，即P 到A 、B 两点的距离之和最短.

利用上面的结论，即可得椭圆E 的方程为177

28522

2=+y x .

贮存在脑中的初中知识在这里显示出它的巨大作用. 分析二：由已知可设椭圆E ： 14

22

22=-+a y a x . 与直线l 的方程联立，化得关于x 的一元二次方程，由△=0得解……

当椭圆E 与直线l 相切时，椭圆E 的长轴最长，故得上述解法.

问题4： 若椭圆a x 2+b y 2=1(a>0，b>0)与直线l ：x +y =1交于A 、B 两点，M 是AB 的中点，直线OM 的斜率为2，且OA ⊥OB(O 为原点)，求椭圆的方程.

分析：欲求椭圆的方程，只要求出a 、b 的值，构建关于a 、b 的方程组是解决问题的关键.为此，设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则M )2

,2(2121y y x x ++. OM 所在直线为y =2x ，与直线AB 的交点为)3

2

,31(，由椭圆与直线l 的方程消去y 得 (a+b)x 2-2b x +b-1=0，则由韦达定理得 3

1=+b a b ① 再设法求得关于a 、b 的一个方程，由已知得⇔=⋅0OB OA x 1x 2+y 1y 2=0.

再由韦达定理得 a+b=2 ②

A P

B l C