高考数学一轮复习指数与指数函数课件
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高考总复习一轮数学精品课件 第三章 函数与基本初等函数 第五节 指数与指数函数
∴e2a-ea+b+eb+c-ea+b=ea(ea-eb)+eb(ec-ea)=0,其中ea>1,eb>1,ec>1,对于A,若
a=b=c,则ea-eb=ec-ea=0,满足题意;对于B,若a>b>c,则ea-eb>0,ec-ea<0,满足
题意;对于C,若b>c>a,则ea-eb<0,ec-ea>0,满足题意;对于D,若b>a>c,则
(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
微点拨在进行指数幂的运算时,一般用分数指数幂的形式表示,并且结果不
能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又有负指数.
3.有理指数幂的运算性质
(1)aras= ar+s (a>0,r,s∈Q);
(2)(ar)s= ars
(a>0,r,s∈Q);
3.f(x)=ax与g(x)=a-x=
1
x(a>0,且a≠1)的图象关于y轴对称.
4.指数函数的图象以x轴为渐近线.
5.函数y=
-1
+ 1
(a>0,且a≠1),y=ax-a-x(a>0,且a≠1)均为奇函数,函数
y=ax+a-x(a>0,且a≠1)为偶函数.
6.若函数g(x)=af(x)(a>0,且a≠1)的值域为(0,+∞),则f(x)的值域必为R.
根式的概念
n=a
x
如果
,那么x叫做a的n次方根
符号表示
—
当n是奇数时,正数的n次方根是一个
正数 ,负数的n次方根是一个 负数
当n是偶数时,正数的n次方根有两个,这
a=b=c,则ea-eb=ec-ea=0,满足题意;对于B,若a>b>c,则ea-eb>0,ec-ea<0,满足
题意;对于C,若b>c>a,则ea-eb<0,ec-ea>0,满足题意;对于D,若b>a>c,则
(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
微点拨在进行指数幂的运算时,一般用分数指数幂的形式表示,并且结果不
能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又有负指数.
3.有理指数幂的运算性质
(1)aras= ar+s (a>0,r,s∈Q);
(2)(ar)s= ars
(a>0,r,s∈Q);
3.f(x)=ax与g(x)=a-x=
1
x(a>0,且a≠1)的图象关于y轴对称.
4.指数函数的图象以x轴为渐近线.
5.函数y=
-1
+ 1
(a>0,且a≠1),y=ax-a-x(a>0,且a≠1)均为奇函数,函数
y=ax+a-x(a>0,且a≠1)为偶函数.
6.若函数g(x)=af(x)(a>0,且a≠1)的值域为(0,+∞),则f(x)的值域必为R.
根式的概念
n=a
x
如果
,那么x叫做a的n次方根
符号表示
—
当n是奇数时,正数的n次方根是一个
正数 ,负数的n次方根是一个 负数
当n是偶数时,正数的n次方根有两个,这
2025届高中数学一轮复习课件《指数函数》PPT
第29页
求解与指数函数有关的复合函数问题时，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性 等相关性质，其次要明确复合函数的构成，当涉及单调性问题时，要借助“同增异减”这一 性质分析判断．
高考一轮总复习•数学
第30页
对点练 4(1)(2024·山东莱芜模拟)已知函数 f(x)＝|－2x－x＋15|，，xx≤>22，， 若函数 g(x)＝f(x)－
解析：∵y＝35x 是 R 上的减函数，∴35－13 >35－14 >350，即 a>b>1，又 c＝32－34 <320 ＝1，∴c<b<a.
高考一轮总复习•数学
第11页
4．(2024·四川成都模拟)若函数 f(x)＝13－x2＋4ax 在区间(1,2)上单调递增，则 a 的取值范 围为___－__∞__，__12_ _．
在(4，＋∞)上单调递增．令12x≤4，得 x≥－2，令12x>4，得 x<－2， 代入外层函数的单调递减区间，得到自变量 x 的取值范围，这才是复合函数的单调递增 区间． 而函数 t＝12x 在 R 上单调递减，所以函数 y＝122x－8·12x＋17 的单调递增区间为[－2， ＋∞)．
高考一轮总复习•数学
所谓“底大图高”，反映指数函数的排列规律．
高考一轮总复习•数学
第8页
1．判断下列结论是否正确． (1)函数 y＝a－x(a>0，且 a≠1)是 R 上的增函数．( ) (2)函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)与 x 轴有且只有一个交点．( ) (3)若 am>an，则 m>n.( ) (4)函数 y＝ax 与 y＝a－x(a>0，且 a≠1)的图象关于 y 轴对称．( √ )
幂函数、指数与指数函数课件-2025届高三数学一轮复习
标轴没有公共点，则 f ( 2 )＝(
A.
1
2
B. 2
A )
C. 2
D. 2 2
[解析] 因为 f ( x )为幂函数，所以 m 2＋ m －1＝1，解得 m ＝－2或 m ＝1，又 f ( x )的
图象与坐标轴无公共点，故 m ＜0，所以 m ＝－2，故 f ( x )＝ x －2，所以 f ( 2 )＝
＝
3
－
2
.
三、知识点例题讲解及方法技巧总结
命题点1
幂函数的图象与性质
例1 (1)[2023山西省运城市景胜中学模拟]如图所示的曲线是幂函数 y ＝ xn 在第一象限
1
2
内的图象.已知 n 分别取±2，± 四个值，与曲线 C 1， C 2， C 3， C 4对应的 n 依次为
(
A )
1
2
1
2
A. 2， ，－ ，－2
图象恒过定点 M ( m ， n )，则函数 g ( x )＝ m ＋ xn 的图象不经过(
A. 第第四象限
D )
[解析] ∵ a 0＝1，∴ f ( x )＝ ax －1－2的图象恒过定点(1，－1)，∴ m ＝1， n ＝－1，
1
∴ g ( x )＝1＋ ，其图象不经过第四象限，故选D.
5−1
5−1
≤ m ＜2，所以实数 m 的取值范围为[
，2).
2
2
命题点2 指数幂的运算
例2 计算：
2
−
3
3
(1)(－3 )
8
1
−2
＋(0.002 )
−
[解析] 原式＝(－1 )
4
9
2
3
A.
1
2
B. 2
A )
C. 2
D. 2 2
[解析] 因为 f ( x )为幂函数，所以 m 2＋ m －1＝1，解得 m ＝－2或 m ＝1，又 f ( x )的
图象与坐标轴无公共点，故 m ＜0，所以 m ＝－2，故 f ( x )＝ x －2，所以 f ( 2 )＝
＝
3
－
2
.
三、知识点例题讲解及方法技巧总结
命题点1
幂函数的图象与性质
例1 (1)[2023山西省运城市景胜中学模拟]如图所示的曲线是幂函数 y ＝ xn 在第一象限
1
2
内的图象.已知 n 分别取±2，± 四个值，与曲线 C 1， C 2， C 3， C 4对应的 n 依次为
(
A )
1
2
1
2
A. 2， ，－ ，－2
图象恒过定点 M ( m ， n )，则函数 g ( x )＝ m ＋ xn 的图象不经过(
A. 第第四象限
D )
[解析] ∵ a 0＝1，∴ f ( x )＝ ax －1－2的图象恒过定点(1，－1)，∴ m ＝1， n ＝－1，
1
∴ g ( x )＝1＋ ，其图象不经过第四象限，故选D.
5−1
5−1
≤ m ＜2，所以实数 m 的取值范围为[
，2).
2
2
命题点2 指数幂的运算
例2 计算：
2
−
3
3
(1)(－3 )
8
1
−2
＋(0.002 )
−
[解析] 原式＝(－1 )
4
9
2
3
高三数学一轮复习 2.6指数与指数函数课件
第十一页，共47页。
4．(2009·江苏高考)已知 a＝ 52－1，函数 f(x)＝ax，若实数 m，n 满足 f(m)>f(n)，则 m，n 的大小关系为________． 解析(jiě xī)：由题意可知f(x)为减函数，而f(m)>f(n)， 所以m<n. 答案(dáàn)： m<n
第十二页，共47页。
4．设a>0且a≠1，函数(hánshù)y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的 最大
值解是：1令4，t求＝aa的x(a值>．0 且 a≠1)， 则原函数化为 y＝(t＋1)2－2(t>0)． ①当 0<a<1 时， x∈[－1,1]，t＝ax∈a，1a， 此时 f(t)在a，1a上为增函数．
第三十页，共47页。
第二十二页，共47页。
指数函数图象的画法及应用 (1)画指数函数 y＝ax(a>0，a≠1)的图象，应抓住三个关 键点：(1，a)，(0,1)，－1，1a.
(2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应 指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．
(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的 指数型函数图象数形结合求解．
R
值域
__(_0，__＋__∞_)__
过定点_(_0_,1_)_
性质
当x＞时， y＞1 ； 当x＞0时， 0＜y＜1 ； x＜0时，_0_＜__y_＜_1___ x＜0时，_y_＞__1__ 在R上是 _增__函__数__ 在R上是_减__函__数_(_hánshù)
第七页，共47页。
[探究] 3.函数 y＝ax，y＝a|x|，y＝|ax|(a>0，a≠1)，y ＝1ax 之间有何关系？
提示：图中直线x＝1与它们图象交点的纵坐标即为它们各自 底数的值，即c1>d1>1>a1>b1，所以，c>d>1>a>b，即无论在y轴 的左侧还是右侧(yòu cè)，底数按逆时针方向变大．
4．(2009·江苏高考)已知 a＝ 52－1，函数 f(x)＝ax，若实数 m，n 满足 f(m)>f(n)，则 m，n 的大小关系为________． 解析(jiě xī)：由题意可知f(x)为减函数，而f(m)>f(n)， 所以m<n. 答案(dáàn)： m<n
第十二页，共47页。
4．设a>0且a≠1，函数(hánshù)y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的 最大
值解是：1令4，t求＝aa的x(a值>．0 且 a≠1)， 则原函数化为 y＝(t＋1)2－2(t>0)． ①当 0<a<1 时， x∈[－1,1]，t＝ax∈a，1a， 此时 f(t)在a，1a上为增函数．
第三十页，共47页。
第二十二页，共47页。
指数函数图象的画法及应用 (1)画指数函数 y＝ax(a>0，a≠1)的图象，应抓住三个关 键点：(1，a)，(0,1)，－1，1a.
(2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应 指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．
(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的 指数型函数图象数形结合求解．
R
值域
__(_0，__＋__∞_)__
过定点_(_0_,1_)_
性质
当x＞时， y＞1 ； 当x＞0时， 0＜y＜1 ； x＜0时，_0_＜__y_＜_1___ x＜0时，_y_＞__1__ 在R上是 _增__函__数__ 在R上是_减__函__数_(_hánshù)
第七页，共47页。
[探究] 3.函数 y＝ax，y＝a|x|，y＝|ax|(a>0，a≠1)，y ＝1ax 之间有何关系？
提示：图中直线x＝1与它们图象交点的纵坐标即为它们各自 底数的值，即c1>d1>1>a1>b1，所以，c>d>1>a>b，即无论在y轴 的左侧还是右侧(yòu cè)，底数按逆时针方向变大．
一轮基础知识复习12、指数与指数函数课件
x
1 2
＋x
1 2
＝3，两边平方，得x＋x－1＝7，
再平方得x2＋x－2＝47.
∴x2＋x－2－2＝45.
3
3
x 2＋x 2＝(
1
x2
)3＋(
x
1 2
)3＝(
1
x2
＋ 1
x2
)(x－1＋x－1)＝3×(7－1)＝18.
∴
3
3
x2 x 2 3
x2 x 2
＝13.
总结：指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数
√A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b
2
2
2
解析 a＝43 ，b＝45 ，c＝53 ，
∵y＝4x 在 R 上单调递增，23>52，
2
2
∴ 43 > 45 ，即a>b，
2
∵y＝ x 3 在(0，＋∞)上单调递增，4<5，
2
∴43
2
< 53
，即a<c.∴b<a<c.
例题3、若偶函数f (x)满足f (x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f (x－2)>0的解集为
√C.1<b<a
D.1<a<b
解析 ∵当x>0时，1<bx，∴b>1. ∵当 x>0 时，bx<ax，∴当 x>0 时，abx>1. ∴ab>1，∴a>b，∴1<b<a，故选 C.
高考数学理一轮复习 2.5 指数与指数函数精品课件 新人教A
y＝(13)x＋1(x≥－1)；
另一部分是：y＝3x(x<0)向1―个左―单平→位移y＝3x＋1(x<－1)． 图象如下图：
(2)由图象知函数在(－∞，－1]上是增函数，在(－1， ＋∞)上是减函数． (3)由图象知当 x＝－1 时，函数有最大值 1，无最小值．
即时训练 若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取 值范围是________．
解析：分别作出曲线和直线的图象，通过图象的交点个数来判断 参数的取值范围．
曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如右图所示，由图象可得|y|＝ 2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．
答案：[－1,1]
热点之三 指数函数的性质及应用 对指数函数的直接考查并不多，多的是考查指数函数型的复合函 数，考查这类复合函数的定义域、值域、单调性，或者涉及指数式的 二次函数的定义域、值域、单调性，此类问题一般较复杂，解决问题 过程中注意知识的迁移，关键还是指数函数性质的应用及有关指数幂 的运算．
解：(1)依题意，函数 f(x)的定义域为 R，
∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴a·22－－x＋x＋a1－2＝－a·22x＋x＋a1－2，
∴2(a－1)(2x＋1)＝0，∴a＝1.
(2)由(1)知，f(x)＝22xx－ ＋11， 设 x1<x2 且 x1，x2∈R， 则 f(x2)－f(x1)＝22xx22－ ＋11－22xx11＋－11 ＝(1－2x22＋1)－(1－2x12＋1) ＝(2x22(＋2x12)－(22xx1＋1) 1)>0， ∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在 R 上是增函数．
A．2x2y
B．2xy
指数与指数函数(课件)2024届高三数学一轮全方位基础复习(新教材新高考)
4 3
25
【解析】对于A，根据分式指数幂的运算法则，可得3 ⋅ 4 = 3+4 = 12 ≠ ，选项A错误；
对于B，8 = 2，故 = ± 8 2，选项B正确；
1
1
1
1
1
对于 C， + = 3， (2 + −2 )2 = + −1 + 2 = 3 + 2 = 5，因为 > 0，所以2 + −2 = 5，选项C错误；
立，
则满足2 − 4 < 0，即2 < 4，解得−2 < < 2，所以实数的取值范围是(−2,2)．
故答案为：(−2,2)．
考向典题讲解
【对点训练6】（2023·全国·高三专题练习）已知不等式4 − ⋅ 2 + 2 > 0，对于 ∈ (−∞, 3]恒成立，则实数
的取值范围是_________．
当 n 为偶数时， an＝|a|＝
－a，a<0.
n
考点知识梳理
2.分数指数幂
m
n
n
m
a
正数的正分数指数幂， a ＝____(a>0，m，n∈N*，n>1).
1
m
n
m
n
1 (a>0，m，n∈N*，n>1).
a
正数的负分数指数幂，a ＝____＝
n m
a
0的正分数指数幂等于__,0的负分数指数幂没有意义.
当() = 0时，e = ，结合图象可知，此时 < 0，所 > 0，则e > e0 = 1，所以 > 1，
故选：C．
）
考向典题讲解
高三数学一轮总复习第二章函数导数及其应用2.5指数与指数函数课件.ppt
7
3．指数函数的图象与性质 y＝ax
a＞1
0＜a＜1
图象
定义域 值域 性质
R (0，＋∞)
(1)过定点□18 ____(0_,_1_)___
8
y＝ax 性质
a＞1
0＜a＜1
(2)当 x＞0 时，□19 _y_＞__1_；x＜0 (2)当 x＞0 时，□21 _0_＜__y＜__1___；
时，□200_＜__y_＜__1
C．{x|x＜0，或 x＞6}
D．{x|x＜－2，或 x＞2}
解析：(1)∵a＝21.2，b＝12－0.8＝20.8， ∴a＞b＞1。 又∵c＝2log52＝log54＜1，∴a＞b＞c。
28
(2)f(x)为偶函数，
当 x＜0 时，f(x)＝f(－x)＝2－x－4。
2x－4，x≥0， ∴f(x)＝2－x－4，x＜0。
10
3 个关键点——指数函数图象的画法 画指数函数 y＝ax(a＞0，且 a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)， －1，1a。
11
1
1．化简[(－2)6] 2 －(－1)0 的结果为( )
A．－9
B．7
C．－10
D．9
1
解析：原式＝(26) 2 －1＝7。
答案：B
12
2．函数 f(x)＝ 1－2x的定义域是( )
27
考点三
指数函数的性质及其应用
【例 3】 (1)已知 a＝21.2，b＝12－0.8，c＝2log52，则 a，b，c 的大小关系为(
)
A．c＜b＜a
B．c＜a＜b
C．b＜a＜c
D．b＜c＜a
(2)设偶函数 f(x)满足 f(x)＝2x－4(x≥0)，则{x|f(x－2)＞0}＝( )
3．指数函数的图象与性质 y＝ax
a＞1
0＜a＜1
图象
定义域 值域 性质
R (0，＋∞)
(1)过定点□18 ____(0_,_1_)___
8
y＝ax 性质
a＞1
0＜a＜1
(2)当 x＞0 时，□19 _y_＞__1_；x＜0 (2)当 x＞0 时，□21 _0_＜__y＜__1___；
时，□200_＜__y_＜__1
C．{x|x＜0，或 x＞6}
D．{x|x＜－2，或 x＞2}
解析：(1)∵a＝21.2，b＝12－0.8＝20.8， ∴a＞b＞1。 又∵c＝2log52＝log54＜1，∴a＞b＞c。
28
(2)f(x)为偶函数，
当 x＜0 时，f(x)＝f(－x)＝2－x－4。
2x－4，x≥0， ∴f(x)＝2－x－4，x＜0。
10
3 个关键点——指数函数图象的画法 画指数函数 y＝ax(a＞0，且 a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)， －1，1a。
11
1
1．化简[(－2)6] 2 －(－1)0 的结果为( )
A．－9
B．7
C．－10
D．9
1
解析：原式＝(26) 2 －1＝7。
答案：B
12
2．函数 f(x)＝ 1－2x的定义域是( )
27
考点三
指数函数的性质及其应用
【例 3】 (1)已知 a＝21.2，b＝12－0.8，c＝2log52，则 a，b，c 的大小关系为(
)
A．c＜b＜a
B．c＜a＜b
C．b＜a＜c
D．b＜c＜a
(2)设偶函数 f(x)满足 f(x)＝2x－4(x≥0)，则{x|f(x－2)＞0}＝( )
2025版高考数学一轮总复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第5讲指数与指数函数pptx课件
[解析] ①将
＝3 两边平方，得 a＋a－1＋2＝9，所以 a＋a－1
＝7. ②将 a＋a－1＝7 两边平方，得 a2＋a－2＋2＝49，所以 a2＋a－2＝47.
a2＋a－2＋1 47＋1 ③由①②可得 a＋a－1＋1 ＝ 7＋1 ＝6.
名师点拨：指数幂运算的一般原则 1．有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． 2．先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． 3．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是 带分数的，先化成假分数． 4．若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用 指数幂的运算性质来解答． 5．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含 有负指数，形式力求统一．
2
2 ，f(－1)＝
22－1＝
2.
题组三 走向高考 5．(2017·北京)已知函数 f(x)＝3x－13x，则 f(x)( A ) A．是奇函数，且在 R 上是增函数 B．是偶函数，且在 R 上是增函数 C．是奇函数，且在 R 上是减函数 D．是偶函数，且在 R 上是减函数
[解析] 因为 f(x)＝3x－13x，且定义域为 R，所以 f(－x)＝3－x－13－x ＝13x－3x＝－3x－13x＝－f(x)，即函数 f(x)是奇函数．又 y＝3x 在 R 上 是增函数，y＝13x 在 R 上是减函数，所以 f(x)＝3x－13x 在 R 上是增函数， 故选 A.
双基自测 题组一 走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
4
(1)
－44＝－4.(
×
)
(2)2a·2b＝2ab.( × )
(3)
(n，m∈N*)．( × )
(4)函数 y＝3·2x，与 y＝2x＋1 都不是指数函数．( √ )
3.4指数与指数函数课件高三数学一轮复习
所以当0<b<2时,两函数图象有两个交点,从而函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点. 所以b的取值范围是(0,2).
考点三指数函数的性质的应用 考情提示 指数函数的性质及应用是高考的命题热点,多以选择题或填空题的形式呈现,重 点考查比较大小、解方程或不等式、求值域等问题,难度中档或以下.
解题技法
第三章 函数及其应用
第四节 指数与指数函数
必备知识·逐点夯实 核心考点·分类突破
【课标解读】 【课程标准】 1.了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质. 2.了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念. 3.会画出具体指数函数的图象,理解指数函数的单调性与特殊点. 【核心素养】 数学抽象、逻辑推理、数学运算.
(0,1)∪(1,+∞)
核心考点·分类突破
1
-10y
47
解题技法 指数幂的运算
(1)运算顺序:有括号先算括号内的,无括号先进行指数的乘方、开方,再乘除后加 减,底数是负数的先确定符号. (2)运算基本原则:①化负指数为正指数;②化根式为分数指数幂;③化小数为分数, 化带分数为假分数.
由图象知,其在(-∞,0]上单调递减,所以实数k的取值范围为(-∞,0].
解题技法 有关指数函数图象问题的解题思路
(1)已知函数解析式判断其图象,一般是取特殊点,判断选项中的图象是否过这些点,若 不满足则排除; (2)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、 伸缩、对称变换而得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论; (3)有关指数方程、不等式问题的求解,往往是利用相应的指数型函数图象,数形结合求 解; (4)根据指数函数图象判断底数大小的问题,可以通过直线x=1与图象的交点进行判断.
考点三指数函数的性质的应用 考情提示 指数函数的性质及应用是高考的命题热点,多以选择题或填空题的形式呈现,重 点考查比较大小、解方程或不等式、求值域等问题,难度中档或以下.
解题技法
第三章 函数及其应用
第四节 指数与指数函数
必备知识·逐点夯实 核心考点·分类突破
【课标解读】 【课程标准】 1.了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质. 2.了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念. 3.会画出具体指数函数的图象,理解指数函数的单调性与特殊点. 【核心素养】 数学抽象、逻辑推理、数学运算.
(0,1)∪(1,+∞)
核心考点·分类突破
1
-10y
47
解题技法 指数幂的运算
(1)运算顺序:有括号先算括号内的,无括号先进行指数的乘方、开方,再乘除后加 减,底数是负数的先确定符号. (2)运算基本原则:①化负指数为正指数;②化根式为分数指数幂;③化小数为分数, 化带分数为假分数.
由图象知,其在(-∞,0]上单调递减,所以实数k的取值范围为(-∞,0].
解题技法 有关指数函数图象问题的解题思路
(1)已知函数解析式判断其图象,一般是取特殊点,判断选项中的图象是否过这些点,若 不满足则排除; (2)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、 伸缩、对称变换而得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论; (3)有关指数方程、不等式问题的求解,往往是利用相应的指数型函数图象,数形结合求 解; (4)根据指数函数图象判断底数大小的问题,可以通过直线x=1与图象的交点进行判断.
指数与指数函数课件-2025届高三数学一轮复习
解析：选D. =
B.[, ]
−
)
C.(−∞, ]
−+
=
D.[, +∞)
√
,因为 = 在上单调递增，
= �� − 在 −∞, 上单调递减，在[, +∞)上单调递增，所以
−+
=
在 −∞, 上单调递减，在[, +∞)上单调递增.故选D.
C.(, ]
D.[, +∞)
√
［分析及溯源］ 本题考查指数函数与二次函数的复合函数的单调性，试
题源于教材人教A版必修第一册 习题4.2复习巩固 、 习题4.2拓广
探索 .
解析：设 = − ，易知函数 = 是增函数.因为 =
−
在 ,
2.指数函数
（1）概念：函数 =⑫____( > ，且 ≠ )叫做指数函数，其中指数
是自变量，定义域是.
（2）图象和性质
底数
图象
>
<<
续表
, +∞
定义域为⑬___，值域为⑭________
,
图象过定点⑮______
性质
当 > 时，恒有 > ；当
当 > 时，恒有 < < ；
即 + − ≤ ,
解得− ≤ ≤ ,
故原不等式的解集为{| − ≤ ≤ }.
指数方程或不等式的解法
（1）解指数方程或不等式的依据： ①
②
>
=
⇔ = .
,当 > 时，等价于 > ；当 < < 时，等价于
B.[, ]
−
)
C.(−∞, ]
−+
=
D.[, +∞)
√
,因为 = 在上单调递增，
= �� − 在 −∞, 上单调递减，在[, +∞)上单调递增，所以
−+
=
在 −∞, 上单调递减，在[, +∞)上单调递增.故选D.
C.(, ]
D.[, +∞)
√
［分析及溯源］ 本题考查指数函数与二次函数的复合函数的单调性，试
题源于教材人教A版必修第一册 习题4.2复习巩固 、 习题4.2拓广
探索 .
解析：设 = − ，易知函数 = 是增函数.因为 =
−
在 ,
2.指数函数
（1）概念：函数 =⑫____( > ，且 ≠ )叫做指数函数，其中指数
是自变量，定义域是.
（2）图象和性质
底数
图象
>
<<
续表
, +∞
定义域为⑬___，值域为⑭________
,
图象过定点⑮______
性质
当 > 时，恒有 > ；当
当 > 时，恒有 < < ；
即 + − ≤ ,
解得− ≤ ≤ ,
故原不等式的解集为{| − ≤ ≤ }.
指数方程或不等式的解法
（1）解指数方程或不等式的依据： ①
②
>
=
⇔ = .
,当 > 时，等价于 > ；当 < < 时，等价于
高考数学全程一轮复习第二章函数第六节指数与指数函数课件
a
当n为奇数时， ＝________，
a，a ≥ 0，
当n为偶数时， ＝|a|＝ቊ
−a，a < 0.
2．分数指数幂
(1)正数的正分数指数幂：
m
n
*，n＞1)．
a ＝________(a＞0，m，n∈N
(2)正数的负分数指数幂：
a
m
−
n
1
m
an
＝________＝
1
*，n>1)．
提示：c>d>1>a>b>0.在第一象限内，底数越大，
函数图象越高，即“底大图高”．
关键能力·题型剖析
题型一 指数幂的运算
2
3
5
例1 (1)计算：(7+4 3)0＋32 －2×
4
1
3 −83
2
2
3
4 3 +2 +3
(2)化简：
÷
2
−3
−
3
2
1 −3
3
＋
8
2×
3
×5
a× a2
(4)函数y＝ax与y＝a－x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．( √ )
2．(教材改编)计算 −2
A．－9
B．7
C．－10
D．9
6
1
2
－(－1)0的结果为(
答案：B
解析：原式＝2
1
6×2
－1＝23－1＝7.故选B.
)
3．(易错)式子a
1
− 化简得(
a
A． −a
C．－ a
B． a
2024届新高考一轮总复习人教版 第二章 第5节 指数与指数函数 课件(40张)
分数指数幂 负分数指数幂
1 规定 a－mn＝ 1m＝__n_a_m__(a>0，m，n∈N*，n>1)
an
0 的分数指数幂 0 的正分数指数幂等于_0__，0 的负分数指数幂没有意义
4.有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝__a_r＋__s __(a>0，r，s∈Q). (2)(ar)s＝__a_r_s _(a>0，r，s∈Q). (3)(ab)r＝__a_rb_r__(a>0，b>0，r∈Q). 5．指数函数定义 一般地，函数 y＝ax(a＞0，且 a≠1)叫做指数函数，其中指数 x 是自变量，定义域是 _R___．
在(－∞，＋∞)上是_减__函__数___
[必记结论] 指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx 的图象，底数 a，b，c，d 与 1 之间的大小关系为 c>d>1>a>b.
由此我们可得到以下规律：在 y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．
第二章 函 数
[课标解读] 1.了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质． 2.了解指数函数 的实际意义，理解指数函数的概念． 3.能画具体指数函数的图象，探索并理解指数函 数的单调性与特殊点．
备考第 1 步——梳理教材基础，落实必备知识 1．根式及相关概念 (1)a 的 n 次方根定义 如果_x_n_＝__a__，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n>1，且 n∈N*. (2)根式：式子n a叫做根式，这里 n 叫做_根__指__数___，a 叫做_被__开__方__数___．
备考第 2 步——突破核心考点，提升关键能力 考点 1 指数幂的运算 【考点集训】
第04讲 指数与指数函数(八大题型)(课件)高考数学一轮复习(新教材新高考)
(1)一般地，如果xn＝a，那么 x 叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
n
(2)式子 a叫做 根式 ，这里 n 叫做根指数，a 叫做被开方数.
n
(3)( a)n＝ a .
2、根式的性质：
当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数．
当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数．
【答案】10
【解析】由题可知，1 , 2 也是 = 2 , = log 2 与 = − + 10图象交点的横坐标，
在同一坐标系中，作图如下：
数形结合可知，1 , 2 为, 两点对应的横坐标；
根据指数函数和对数函数的性质可知， = 2 , = log 2 关于 = 对称；
A．−1
B．−2
C．−4
D．−9
【答案】C
【解析】因为函数 = () =
1
( )
2
+
1 0
图象过原点，所以( )
2
+ = 0，
得 + = 0，又该函数图象无限接近直线 = 2，且不与该直线相交，
所以 = 2，则 = −2，所以 = −4．故选：C
【方法技巧】
对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过伸缩、
【解析】（1）原式=
49
9
1
2
2
+ 10 +
+ 2
1
1
2 + 2
2 + 2
64
27
2
3
10
27
2
3
− 100π0 ；
的值．
7
新高考一轮复习人教A版2.4 指数与指数函数课件(60张)
象不经过第二象限，则需同时满足
()
A. a>1 B. 0<a<1 C. b>0 D. b≤0
解：由题意，函数 y＝ax＋b－1 (a>0，且 a≠1)的图象过第 一、三、四象限，或过第一、 三象限及原点，所以其大致图象如图所示. 由图象可知函数为增函数，所以 a>1， 当 x＝0 时，y＝1＋b－1＝b≤0. 故选 AD.
对称轴－2ba＜0，可排除 B，D；又因为二次函数 y＝ax2＋bx 的图象过坐标原点，所以 C 正确. 故选 C.
(2)(2020 杨浦区期末)已知函数 f(x)＝ax＋1－2(a＞0，且 a≠1)的图象不经过第四象限，则 a 的取值范围为__________. 解：由 f(x)的图象不经过第四象限，则 a>1 且 f(0)＝a－2≥0，解得 a≥2，所以 a 的取值范 围是[2，＋∞). 故填[2，＋∞).
＝2. 5－1＋116＋18＋0. 1
＝1. 6＋136
＝18403. 故填18403.
(2)(2020 河北行唐县三中高一月考)若 2x＝3，12y＝32，则 22x＋y＝__________.
解：22x＋y＝（21x）y 2＝93＝6. 故填 6. 2 2
11
(3)已知 x＋y＝12，xy＝9，且 x<y，则x12－y21＝__________. x2＋y2
②正数的负分数指数幂的意义是
a－mn ＝a1mn＝
n
1 (a>0，m，n∈N*，n>1). am
③0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义.
2. 无理数指数幂及实数指数幂的运算性质 (1)一般地，无理数指数幂 aα(a＞0，α 为无理数)是一个确定的实数. 这样，我们就将指 数幂 ax(a＞0)中指数 x 的取值范围从整数逐步拓展到了实数. 实数指数幂是一个确定的 实数. (2)实数指数幂的运算性质： ①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)； ②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)； ③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R).
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第四节 指数与指数函数
内容索引
必备知识·自主学习 核心考点·精准研析 核心素养·微专题 核心素养测评
【教材·知识梳理】 1.根式的性质 (1)( n a )n=a(n>1，且n∈N*).
a,当n为奇数n 1且n N *时，
(2)
n
a n＝ __a _
a, a a,
a＜00, ,当n为偶数n
1且n
N
*时.
2.分数指数幂
(1)
m
an
__n _a_m_
(a>0，m，n∈N*，且n>1).
(2)
a
m
n＝
1
(a>0，m，n∈N*，且n>1).
n am
3.有理数指数幂的运算性质
(1)aras=_a_r_+s_.(2)(ar)s=_a_rs_.(3)(ab)r=_a_r_b_r (a>0，b>0，r，s∈Q).
提示:(1)×. n an=
a a,
, n为偶数，(
n为奇数，
n a )n=a.
(2)×.2a·2b=2a+b.
(3)√.由指数函数的定义知应满足的条件:①系数为1,②指数为x.③底数a>0且
a≠1.
(4)×.当a>1时,由am<an,得m<n,
当0<a<1时,由am<an,得m>n.
【易错点索引】
序号
易错警示
典题索引
1 注意有理数指数幂性质的条件
考点一、T1
2 忽略底数的取值范围
考点二、T1
3 忽略指数函数的值域
考点二、T3
4 忽略恒成立与存在使之成立的差异 考点三、角度3
【教材·基础自测】
1.(必修1P90 练习B T2改编)化简 4 16x8y4 (x<0,y<0)得 ( )
A.2x2y B.2xy
, .
思想方法指导 (1)指数函数的底数不确定时,应分a>1和0<a<1两种情况讨论. (2)解决和指数函数有关的值域或最值问题时,要熟练掌握指数函数的单调性, 搞清复合函数的结构,利用换元法求解时要注意新元的取值范围.
迁移应用
已知a>0,且a≠1,函数f(x)= 值比最小值大 5 ,求a的值.
上有最大值3和最小值 5 ,试求a,b的值.
2
【解析】令t=x2+2x=(x+1)2-1,
因为x∈ [ 3，0] ,所以t∈[-1,0].
2
(1)若a>1,则函数y=at在[-1,0]上为增函数,
所以at∈ [ 1 ，1]
a
,则b+
a x22x
∈
[b
1，b a
1]，
依题意得
b
1 a
5， 2
解得
b 1 3，
a 2， b 2.
(2)若0<a<1,则函数y=at在[-1,0]上为减函数,
所以at∈ [1，1]
a
,则b+
a x22x
∈ [b 1，b 1]
a
,
依题意得
b b
1 3, a
1 5, 2
解得
综上,所求a,b的值为
a b
a b
2 3 3 2
2，或
2
, .
a b
2 3 3 2
4.指数函数的图象和性质
【常用结论】 1.指数函数的图象与底数大小的比较 在第一象限内，指数函数y=ax(a>0，a≠1)的图象越高，底数越大.
2.指数函数y=ax(a>0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1 与0<a<1来研究.
【知识点辨析】 (正确的打“√”,错误的打“×”) (1)n an 与( n a )n都等于a(n∈N*). ( ) (2)2a·2b=2ab. ( ) (3)函数y=3·2x与y=2x+1都不是指数函数. ( ) (4)若am<an(a>0,且a≠1),则m<n. ( )
由于f(x)在[0,2]上的最大值比最小值大 5 ,
2
所以a-1= 5 ,解得a= 7 .
2
2
(ⅱ)若-2+a<1,即a<3,则f(x)min=-2+a,
所以a-(-2+a)= 5 ,a无解.
2
②若0<a<1,则a≤ax≤1,f(x)max=1,f(x)min=-2+a,
所以1-(-2+a)= 5 ,解得a= 1 .
【解析】选B.第一年为y=a(1+p%), 第二年为y=a(1+p%)(1+p%)=a(1+p%)2, 第三年为y=a(1+p%)(1+p%)(1+p%)=a(1+p%)3,…, 则第x年为y=a(1+p%)x(0≤x≤m且x∈N).
4.(必修1P93 练习BT1改编)若函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象经过点P (2，1) ,
2
则f(-1)=________.
【解析】由题意知 1 =a2,所以a= 2 ,
2
2
所以f(x)= ( 2 )x ,所以f(-1)= ( 2 )1 = 2 .
2
2
答案: 2
思想方法 分类讨论思想在指数函数中的应用
【典例】已知函数f(x)=
a x22x
+b(a,b是常数且a>0,a≠1)在区间
[ 3，0] 2
ax，x 1， x＋a，x
1.
若函数f(x)在区间[0,2]上的最大
2
【解析】当1<x≤2时,f(x)=-x+a是减函数,
f(x)min=f(2)=-2+a,f(x)<-1+a. 当0≤x≤1时,①若a>1,则有1≤ax≤a,
所以当x∈[0,2]时,f(x)max=a.
(ⅰ)若1≤-2+a,即a≥3,则f(x)min=1.
C.4x2y D.-2x2y
【解析】选D.因为x<0,y<0,所以
1
1
1
1
4 16x8y4 =( 16x8·y4 ) 4= (16 ) 4 ·( x8 ) 4 ·( y4 ) 4 =2x2|y|=-2x2y.
2.(必修1P94
习题3-1AT4改编)已知a=
(
3
)
1 3
,b=
(
3
)
1 4
,c=
(
3
)
3 4
,则a,b,c的大小
5
5
2
关系是( )
A.a<b<c
B.a<c<b
C.b<a<c
D.c<b<a
【解析】选D.因为y= (3)是x 减函数,
5
所以 (3)>13
5
(
3>)
1 4
,即(a3)>0 b>1,
5
5
又c=
(
3
)
< 3 4
2
(=3 )10 ,所以c<b<a.
2
3.(必修1P94习题3-1BT6改编)某种产品的产量原来是a件,在今后m年内,计划使每 年的产量比上一年增加p%,则该产品的产量y随年数x变化的函数解析式为( ) A.y=a(1+p%)x(0<x<m) B.y=a(1+p%)x(0≤x≤m,x∈N) C.y=a(1+xp%)(0<x<m) D.y=a(1+xp%)(0≤x≤m,x∈N)
2
2
所以a的值为 1 或 7 .
22
内容索引
必备知识·自主学习 核心考点·精准研析 核心素养·微专题 核心素养测评
【教材·知识梳理】 1.根式的性质 (1)( n a )n=a(n>1，且n∈N*).
a,当n为奇数n 1且n N *时，
(2)
n
a n＝ __a _
a, a a,
a＜00, ,当n为偶数n
1且n
N
*时.
2.分数指数幂
(1)
m
an
__n _a_m_
(a>0，m，n∈N*，且n>1).
(2)
a
m
n＝
1
(a>0，m，n∈N*，且n>1).
n am
3.有理数指数幂的运算性质
(1)aras=_a_r_+s_.(2)(ar)s=_a_rs_.(3)(ab)r=_a_r_b_r (a>0，b>0，r，s∈Q).
提示:(1)×. n an=
a a,
, n为偶数，(
n为奇数，
n a )n=a.
(2)×.2a·2b=2a+b.
(3)√.由指数函数的定义知应满足的条件:①系数为1,②指数为x.③底数a>0且
a≠1.
(4)×.当a>1时,由am<an,得m<n,
当0<a<1时,由am<an,得m>n.
【易错点索引】
序号
易错警示
典题索引
1 注意有理数指数幂性质的条件
考点一、T1
2 忽略底数的取值范围
考点二、T1
3 忽略指数函数的值域
考点二、T3
4 忽略恒成立与存在使之成立的差异 考点三、角度3
【教材·基础自测】
1.(必修1P90 练习B T2改编)化简 4 16x8y4 (x<0,y<0)得 ( )
A.2x2y B.2xy
, .
思想方法指导 (1)指数函数的底数不确定时,应分a>1和0<a<1两种情况讨论. (2)解决和指数函数有关的值域或最值问题时,要熟练掌握指数函数的单调性, 搞清复合函数的结构,利用换元法求解时要注意新元的取值范围.
迁移应用
已知a>0,且a≠1,函数f(x)= 值比最小值大 5 ,求a的值.
上有最大值3和最小值 5 ,试求a,b的值.
2
【解析】令t=x2+2x=(x+1)2-1,
因为x∈ [ 3，0] ,所以t∈[-1,0].
2
(1)若a>1,则函数y=at在[-1,0]上为增函数,
所以at∈ [ 1 ，1]
a
,则b+
a x22x
∈
[b
1，b a
1]，
依题意得
b
1 a
5， 2
解得
b 1 3，
a 2， b 2.
(2)若0<a<1,则函数y=at在[-1,0]上为减函数,
所以at∈ [1，1]
a
,则b+
a x22x
∈ [b 1，b 1]
a
,
依题意得
b b
1 3, a
1 5, 2
解得
综上,所求a,b的值为
a b
a b
2 3 3 2
2，或
2
, .
a b
2 3 3 2
4.指数函数的图象和性质
【常用结论】 1.指数函数的图象与底数大小的比较 在第一象限内，指数函数y=ax(a>0，a≠1)的图象越高，底数越大.
2.指数函数y=ax(a>0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1 与0<a<1来研究.
【知识点辨析】 (正确的打“√”,错误的打“×”) (1)n an 与( n a )n都等于a(n∈N*). ( ) (2)2a·2b=2ab. ( ) (3)函数y=3·2x与y=2x+1都不是指数函数. ( ) (4)若am<an(a>0,且a≠1),则m<n. ( )
由于f(x)在[0,2]上的最大值比最小值大 5 ,
2
所以a-1= 5 ,解得a= 7 .
2
2
(ⅱ)若-2+a<1,即a<3,则f(x)min=-2+a,
所以a-(-2+a)= 5 ,a无解.
2
②若0<a<1,则a≤ax≤1,f(x)max=1,f(x)min=-2+a,
所以1-(-2+a)= 5 ,解得a= 1 .
【解析】选B.第一年为y=a(1+p%), 第二年为y=a(1+p%)(1+p%)=a(1+p%)2, 第三年为y=a(1+p%)(1+p%)(1+p%)=a(1+p%)3,…, 则第x年为y=a(1+p%)x(0≤x≤m且x∈N).
4.(必修1P93 练习BT1改编)若函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象经过点P (2，1) ,
2
则f(-1)=________.
【解析】由题意知 1 =a2,所以a= 2 ,
2
2
所以f(x)= ( 2 )x ,所以f(-1)= ( 2 )1 = 2 .
2
2
答案: 2
思想方法 分类讨论思想在指数函数中的应用
【典例】已知函数f(x)=
a x22x
+b(a,b是常数且a>0,a≠1)在区间
[ 3，0] 2
ax，x 1， x＋a，x
1.
若函数f(x)在区间[0,2]上的最大
2
【解析】当1<x≤2时,f(x)=-x+a是减函数,
f(x)min=f(2)=-2+a,f(x)<-1+a. 当0≤x≤1时,①若a>1,则有1≤ax≤a,
所以当x∈[0,2]时,f(x)max=a.
(ⅰ)若1≤-2+a,即a≥3,则f(x)min=1.
C.4x2y D.-2x2y
【解析】选D.因为x<0,y<0,所以
1
1
1
1
4 16x8y4 =( 16x8·y4 ) 4= (16 ) 4 ·( x8 ) 4 ·( y4 ) 4 =2x2|y|=-2x2y.
2.(必修1P94
习题3-1AT4改编)已知a=
(
3
)
1 3
,b=
(
3
)
1 4
,c=
(
3
)
3 4
,则a,b,c的大小
5
5
2
关系是( )
A.a<b<c
B.a<c<b
C.b<a<c
D.c<b<a
【解析】选D.因为y= (3)是x 减函数,
5
所以 (3)>13
5
(
3>)
1 4
,即(a3)>0 b>1,
5
5
又c=
(
3
)
< 3 4
2
(=3 )10 ,所以c<b<a.
2
3.(必修1P94习题3-1BT6改编)某种产品的产量原来是a件,在今后m年内,计划使每 年的产量比上一年增加p%,则该产品的产量y随年数x变化的函数解析式为( ) A.y=a(1+p%)x(0<x<m) B.y=a(1+p%)x(0≤x≤m,x∈N) C.y=a(1+xp%)(0<x<m) D.y=a(1+xp%)(0≤x≤m,x∈N)
2
2
所以a的值为 1 或 7 .
22