复旦课件固体物理之费米面和态密度by车静光
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固体物理 第四章 能带理论4.7 能态密度和费密面
—— ns态所对应的能带可以填充2N电子，N个原子只有N 个自由电子，只填充了半个能带而形成导带
—— 碱金属中的N个电子只填充了半个布里渊区，费密球 与布里渊区边界不相交，费米面接近球面
04_07_能态密度和费米面 —— 能带理论
二价碱土金属 —— 最外层2个s态电子，似乎刚好填充满和s 相应的能带。由于与s对应的能带和上面的能带发生重叠，2N 个尚未填充满s态能带，就开始填充上面的能带，形成两个能 带都是部分填充
04_07_能态密度和费米面 —— 能带理论
碱金属 —— 具有体心立方格子，每个原胞内有一个原子， 由N个原子构成的晶体，各满层电子的能级相应地分成2N个 量子态的能带，内层电子刚好填满了相应的能带
n＝2的能级
—— 原子的量子态数为8，电子填充数为8个
—— 形成晶体后相应的能带2s（1个）、2p（3个），共4 个能带，每个能带所容许的量子态2N，共有8N个量子 态，可以填充8N个电子
球的半径
kF
2 ( 3 )1/ 3 ( N )1/ 3 8 V
kF
2 ( 3n )1/3 8
04_07_能态密度和费米面 —— 能带理论
费米波矢、费米动量、费米速度和费米温度 费米球半径
费米能量 费米动量
费米速度
费米温度
04_07_能态密度和费米面 —— 能带理论
自由电子球半径rs
04_07_能态密度和费米面 —— 能带理论
—— 发射出X光子能量形成一个连续能量谱 —— 发射的X光子能量可以通过实验测得
X光子发射强度决定于
（能态密度）×（发射几率）
—— 根据不同固体的X光子 发射谱可以获知能态密 度的信息
04_07_能态密度和费米面 —— 能带理论
—— 碱金属中的N个电子只填充了半个布里渊区，费密球 与布里渊区边界不相交，费米面接近球面
04_07_能态密度和费米面 —— 能带理论
二价碱土金属 —— 最外层2个s态电子，似乎刚好填充满和s 相应的能带。由于与s对应的能带和上面的能带发生重叠，2N 个尚未填充满s态能带，就开始填充上面的能带，形成两个能 带都是部分填充
04_07_能态密度和费米面 —— 能带理论
碱金属 —— 具有体心立方格子，每个原胞内有一个原子， 由N个原子构成的晶体，各满层电子的能级相应地分成2N个 量子态的能带，内层电子刚好填满了相应的能带
n＝2的能级
—— 原子的量子态数为8，电子填充数为8个
—— 形成晶体后相应的能带2s（1个）、2p（3个），共4 个能带，每个能带所容许的量子态2N，共有8N个量子 态，可以填充8N个电子
球的半径
kF
2 ( 3 )1/ 3 ( N )1/ 3 8 V
kF
2 ( 3n )1/3 8
04_07_能态密度和费米面 —— 能带理论
费米波矢、费米动量、费米速度和费米温度 费米球半径
费米能量 费米动量
费米速度
费米温度
04_07_能态密度和费米面 —— 能带理论
自由电子球半径rs
04_07_能态密度和费米面 —— 能带理论
—— 发射出X光子能量形成一个连续能量谱 —— 发射的X光子能量可以通过实验测得
X光子发射强度决定于
（能态密度）×（发射几率）
—— 根据不同固体的X光子 发射谱可以获知能态密 度的信息
04_07_能态密度和费米面 —— 能带理论
费米面和态密度
* 在外电场作用下，导带中的电 子和价带中空穴都可以运动， 都对电流产生贡献 分别称为，电子导电和 空穴导电
10.107.0.68/~jgche/ 费米面和态密度
导带
价带
6
• 白点是空态，绿点被电子占据的态
* 在外电场作用下，电子就会填充这个位置，电子离 开在原位就留下一个新的空的状态
• 这样空状态的移动(与电子移动的方向相反)， 就象正的电子移动产生电流一样 • 这样的空态称为空穴，带有正电荷，具有波矢
费米面和态密度
12
空晶格能带过渡到近自由电子能带
• 能隙有可 能完全处 于B点的能 隙之下
* 显然导电 性能不同
• 费米面和 态密度就 可以显示 这种不同 来
10.107.0.68/~jgche/ 费米面和态密度
13
费米面能给出什么信息？
• 金属电子的输运性质，有费米面附近的电子行 为决定。看速度，与等能面垂直 1 vk k E k
10.107.0.68/~jgche/ 费米面和态密度
40
能态密度的定义
• 能量间隔在E~E+dE中的状态数
* 如果dZ表示状态数目，则态密度为
dZ D( E ) dE
k 空穴 k 电子
10.107.0.68/~jgche/ 费米面和态密度
7
• 空穴能带
* 空穴能量是满带中失去电子后系统的能量变化 * 如果价带顶位于能量零点，对应的空穴能带如图
E空穴 k 空穴 E电子 k 电子
空穴能带 E(k)
k 空穴
k
k 电子
10.107.0.68/~jgche/
10.107.0.68/~jgche/
费米面和态密度
10.107.0.68/~jgche/ 费米面和态密度
导带
价带
6
• 白点是空态，绿点被电子占据的态
* 在外电场作用下，电子就会填充这个位置，电子离 开在原位就留下一个新的空的状态
• 这样空状态的移动(与电子移动的方向相反)， 就象正的电子移动产生电流一样 • 这样的空态称为空穴，带有正电荷，具有波矢
费米面和态密度
12
空晶格能带过渡到近自由电子能带
• 能隙有可 能完全处 于B点的能 隙之下
* 显然导电 性能不同
• 费米面和 态密度就 可以显示 这种不同 来
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13
费米面能给出什么信息？
• 金属电子的输运性质，有费米面附近的电子行 为决定。看速度，与等能面垂直 1 vk k E k
10.107.0.68/~jgche/ 费米面和态密度
40
能态密度的定义
• 能量间隔在E~E+dE中的状态数
* 如果dZ表示状态数目，则态密度为
dZ D( E ) dE
k 空穴 k 电子
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7
• 空穴能带
* 空穴能量是满带中失去电子后系统的能量变化 * 如果价带顶位于能量零点，对应的空穴能带如图
E空穴 k 空穴 E电子 k 电子
空穴能带 E(k)
k 空穴
k
k 电子
10.107.0.68/~jgche/
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费米面和态密度
3.7费米面和态密度
N
kF
0
kF 2 N 2 2N Z (k )dk 2πkdk πkF 0 A A
A kF 2π
12
所以费米半径为
若二维正方晶格的晶格常量为a，
则其倒格边长为： 2/a，
2π 简约布里渊区的面积： A a
2π O： 0 ,0 ,0 a
2π X： 1 ,0 ,0 a
已知体心立方正格基矢:
L
X K
a a 1 2 i j k a a2 i j k 2 a3 a i j k 2
2π 1 1 1 L： , , a 2 2 2 2π 3 3 , ,0 a 4 4
倒格子空间分割成许多区域，这些区域称为布里渊区。
第 1 布里渊区(first Brillouin zone) 在P42，我们把倒格子空间中的WS原胞称为第1布里渊区。现
过任何布拉格平面(P45： k 空间中，连接原点和某一倒格 点的倒格矢 G 的垂直平分面)所能到达的所有点的集合，称 h
为第1布里渊区(first Brillouin zone)；显然，它是围绕原点
解：面心立方正格基矢：
a a 1 2 j k a a2 i k 2 a3 a i j 2
Ω a 1 (a 2 a 3 ) 1 a3 ak 4
a1
aj
a2 a3
ai
倒格基矢:
2π b1 a2 a3 Ω 2π b2 a 3 a1 Ω b 3 2 π a 1 a 2 Ω
的作用下，费米面的构造方法。
复旦大学车静光教授固体物理课件sec14
H H el H N H el N
2 ˆ p 1 i ˆ H el Vel (ri ri ' ) 2 i ,i ' i 2m 2 ˆ PJ 1 ˆ HN VN ( RJ RJ ' ) 2 J ,J ' J 2M J
1 ˆ H el N Vel N (ri RJ ) 2 i,J
• 可证绝热近似对能级影响在10-5eV
* 大多数情况可以略去，晶格振动能级在10-3eV量级
http://10.107.0.68/~jgche/ 单电子近似
6
如何描写电子之间的相互作用？
ˆ ({r }) H ˆ H
e i 0 0 0 ({ r }, { R }) E ({ R }) ({ r }, { R e N i J el J i J }) 0
RJ
ˆ H
R
r, R R ri , R 0 J
ˆ ({r }) H ˆ H
e i
N
R E N R 0
0 J
0 0 0 ({ r }, { R }) E ({ R }) ({ r }, { R e N i J el J i J }) 0
http://10.107.0.68/~jgche/ 单电子近似
5
绝热近似
ˆ H ˆ H ˆ (H e N e N ) ({ri }, {R J }) E ({ri }, {R J })
• 基本事实：原子核比电子重得多 • 绝热近似：考虑电子运动时可不考虑原子核得 运动。原子核固定在它的瞬间位置
http://10.107.0.68/~jgche/
E E ' dr r vr v' r
复旦课件固体物理之费米面和态密度by车静光
* 费米面是基态时电子占据态与非占据态的分界面 * 电子输运性质是由费米面及其附近(kBT)电子状态密 度决定的，因此，了解费米面的结构非常重要
• 从能带结构可以知道，由于周期性势场的作 用，一般的费米面形状可能很复杂，
* 从了解自由电子气费米面开始 * 金属电子，接近自由电子，费米面是一畸变球面 * 半导体、绝缘体不用费米面，而用价带顶概念
* 思考：对Bloch电子呢？
kz d Sd k ky
• 因此，在k空间，如图两个 E和E+dE等能面之间的状 kx 态数为
2V Z dS dk 3 2
固体物理学
25
http://10.107.0.68/~jgche/
考虑自旋
• 仿照电子气
E k E (k ) dk
1/ 3
三维 对四价原子 二维 一维
固体物理学
6
1/ 2
4 k F 2 A
1/ 2
2 2 a
http://10.107.0.68/~jgche/
引入二维正方格子空晶格
• 作布里渊区图
* 以费米波矢kF 为半径作圆， 圆内全占据 * 这是广延图
• 第一布里渊区 全部占据 • 费米圆与第二、 三、四 布里渊 区相交 • 第二、三、四 布里渊区部分 占据
• 下面以近自由电子近似的观点看这种畸变
近自由电子费米面——定性描述 * 定量的要通过实验测量或具体计算才能得到
http://10.107.0.68/~jgche/ 固体物理学
10
近自由电子费米面在布区边界畸变的原因
• 布里渊区边界处由 于畸变引起的能量 与k的关系变化
* 对第一能带，同样 的能量(等能)，近 自由电子的k比自 由电子的大；而对 第二能带正好相反 * 所以，靠近边界 时，等能面向外凸 * 离开边界时，等能 面向内缩 * 记住这幅图象畸 变的关系
• 从能带结构可以知道，由于周期性势场的作 用，一般的费米面形状可能很复杂，
* 从了解自由电子气费米面开始 * 金属电子，接近自由电子，费米面是一畸变球面 * 半导体、绝缘体不用费米面，而用价带顶概念
* 思考：对Bloch电子呢？
kz d Sd k ky
• 因此，在k空间，如图两个 E和E+dE等能面之间的状 kx 态数为
2V Z dS dk 3 2
固体物理学
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考虑自旋
• 仿照电子气
E k E (k ) dk
1/ 3
三维 对四价原子 二维 一维
固体物理学
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4 k F 2 A
1/ 2
2 2 a
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引入二维正方格子空晶格
• 作布里渊区图
* 以费米波矢kF 为半径作圆， 圆内全占据 * 这是广延图
• 第一布里渊区 全部占据 • 费米圆与第二、 三、四 布里渊 区相交 • 第二、三、四 布里渊区部分 占据
• 下面以近自由电子近似的观点看这种畸变
近自由电子费米面——定性描述 * 定量的要通过实验测量或具体计算才能得到
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10
近自由电子费米面在布区边界畸变的原因
• 布里渊区边界处由 于畸变引起的能量 与k的关系变化
* 对第一能带，同样 的能量(等能)，近 自由电子的k比自 由电子的大；而对 第二能带正好相反 * 所以，靠近边界 时，等能面向外凸 * 离开边界时，等能 面向内缩 * 记住这幅图象畸 变的关系
复旦大学固体物理课件19能带分析(车静光)
10107068jgche典型能带结构分析28cu3d104s电子如费米能级只穿越s带费米面是近似球面但在l点不只穿越s带所以在l处有一能隙费米面有一颈部与邻近b区的费米面互连如果没有d态应该也非常接近自由电子现s带与d带作用类自由电子能带被d带拦腰截断在有些k方向可区分d带和s带有些不能区分与k有关的轨道相互作用http
* 虚线H-F，实线LDA * 能隙=14.6eV 实验=14.2eV * 类p态：价带顶在Γ点，三 度简并，离开Γ点就下降 * 类s带也是紧束缚特征
http://10.107.0.68/~jgche/
19
典型能带结构分析
Ionic crystal (localized features)
• 特征：满壳层，电子交叠少 • 直接能隙，大，绝缘体 • 电荷完全转移，所以非常局 域，几乎没有色散 • 价电子紧紧束缚在Cl上 c a E E • 禁带宽度~ s p • K 的4s和3d态空，近自由 • Cl的3p 色散（变化）很 小，形成很窄的能带 • Cl的3s, 芯态，紧束缚，色 散小
Ri R j R
2
V
pp
V pp ij V pp
http://10.107.0.68/~jgche/ R
H ( k )
e ik R J ( R )中的 J ( R ) 视作参数
典型能带结构分析
17
紧束缚理解能带结构
• 对fcc结构，不考虑s-p作用
http://10.107.0.68/~jgche/
典型能带结构分析
5
最近邻 R
e
ik R
e e
ik x a
e e
ik x a
e
ik y a
* 虚线H-F，实线LDA * 能隙=14.6eV 实验=14.2eV * 类p态：价带顶在Γ点，三 度简并，离开Γ点就下降 * 类s带也是紧束缚特征
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19
典型能带结构分析
Ionic crystal (localized features)
• 特征：满壳层，电子交叠少 • 直接能隙，大，绝缘体 • 电荷完全转移，所以非常局 域，几乎没有色散 • 价电子紧紧束缚在Cl上 c a E E • 禁带宽度~ s p • K 的4s和3d态空，近自由 • Cl的3p 色散（变化）很 小，形成很窄的能带 • Cl的3s, 芯态，紧束缚，色 散小
Ri R j R
2
V
pp
V pp ij V pp
http://10.107.0.68/~jgche/ R
H ( k )
e ik R J ( R )中的 J ( R ) 视作参数
典型能带结构分析
17
紧束缚理解能带结构
• 对fcc结构，不考虑s-p作用
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典型能带结构分析
5
最近邻 R
e
ik R
e e
ik x a
e e
ik x a
e
ik y a
复旦大学车静光教授固体物理课件sec01
http://10.107.0.68/~jgche/
前言
5
最后成绩
• 期未考试占80% • 平时作业占20%
* 按时交：每周四上交，周四后请交辅导老师办公 室，光华楼东主楼24楼
• 注意
* 当次作业批改完退还后将不再登记该次作业的成绩 * 补考卷100%，不再计入平时作业成绩 * 不愿交作业，两周之内交一申请，考试成绩按 100%计 * 建议还是交作业，特别是免听的学生。这个20%可 能就决定能否通过
•
那么，固体的物理性质和规律由什么决定？
*
*
•
显然，这就需要在微观上来研究固体固体 中原子的分布
前言
13
http://10.107.0.68/~jgche/
固体的微观定义
• 如何定义固体，取决于我们的研究层次
* 在原子、电子层次，研究固体的宏观物理性质
• 原子分布?如何区别于气态和液态 • 固体的微观定义
• 每章结束后二周内email寄给我
* 我会作出简单评论，贴出供大家参考。署名听便
http://10.107.0.68/~jgche/ 前言
7
开讲寄语：不抛弃！不放弃！
• 预备知识：主要是量子和热统初步
* 也包括力学、电磁学、…，但都只涉及最基本的
• 讲授特点：先将复杂还原为简单，再从简单重 建复杂
固体性质既然涉及到原子、电子层次，那么 我们首先必须面对如下的三个重要的问题 ——用经典还是量子方法？
判据？
•
——如何描写原子、电子之间的相互作用？
多体问题
——如何处理1029/m3量级的粒子数？
周期结构
•
固体物理学的繁复就在这里，就是以前学过 与原子电子相互作用有关的物理理论，在这 样对象上的运用
sec费米面和态密度
分别移到第一布里渊区 • 变形费米面，使满足
1. 与布里渊区边界垂直相交 2. 尖角钝化 3. 费米面 包围的总体积不变
10.107.0.68/~jgche/
费米面和态密度
23
自由电子和金属费米面
• 简约图：将高布里渊区的费米面移到简约布 里渊区表示
• fcc结构，空晶格模型费米面，原胞内3电子
* 第一布里渊区全部填满，费米面延伸到第2第3布 里渊区
• 因此，在k空间，如图两个 E和E+dE等能面之间的状 态数为
dSdk kx
Z
2V
2 3
dSdk
考虑自旋
10.107.0.68/~jgche/
费米面和态密度
ky
33
E k E(k) dk
dk
E k E(k)
• 于是 • 所以
Z
2V
2 3
dSdk
• 我们从分析布里渊区边界的 能带结构入手
10.107.0.68/~jgche/
费米面和态密度
7
1、等能面在布里渊区边界的畸变
• E(k)关系相对于空 晶格模型发生畸变
* 这幅图畸变关系
* 对第一能带，同样 的能量(等能)，近 自由电子的k比自 由电子的大；而对 第二能带正好相反
靠近边界时，等 能面向外凸
• 在此以下， 接近自由电 子态密度
• 看这个箭头 在k空间对应 的位置？
* 正好是从 Gamma点开 始的第一个 出现的布里 渊区边界！
10.107.0.68/~jgche/
费米面和态密度
37
思考：为什么在此箭头以下，态密度 与自由电子气的基本相当，而在此以 上，态密度发生了变化？
1. 与布里渊区边界垂直相交 2. 尖角钝化 3. 费米面 包围的总体积不变
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费米面和态密度
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自由电子和金属费米面
• 简约图：将高布里渊区的费米面移到简约布 里渊区表示
• fcc结构，空晶格模型费米面，原胞内3电子
* 第一布里渊区全部填满，费米面延伸到第2第3布 里渊区
• 因此，在k空间，如图两个 E和E+dE等能面之间的状 态数为
dSdk kx
Z
2V
2 3
dSdk
考虑自旋
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费米面和态密度
ky
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E k E(k) dk
dk
E k E(k)
• 于是 • 所以
Z
2V
2 3
dSdk
• 我们从分析布里渊区边界的 能带结构入手
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费米面和态密度
7
1、等能面在布里渊区边界的畸变
• E(k)关系相对于空 晶格模型发生畸变
* 这幅图畸变关系
* 对第一能带，同样 的能量(等能)，近 自由电子的k比自 由电子的大；而对 第二能带正好相反
靠近边界时，等 能面向外凸
• 在此以下， 接近自由电 子态密度
• 看这个箭头 在k空间对应 的位置？
* 正好是从 Gamma点开 始的第一个 出现的布里 渊区边界！
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费米面和态密度
37
思考：为什么在此箭头以下，态密度 与自由电子气的基本相当，而在此以 上，态密度发生了变化？
5.8 能态密度和费米面
5.8 能态密度和费米面：一. 能态密度二. 费米面见黄昆书4.7节与孤立原子中的本征能态形成一系列的分立能级不同，固体中电子的能级是非常密集的，形成准连续的分布，和孤立原子那样去标注每个能级是没有意义的，为了概括晶体中电子能级的状况，我们引入“能态密度”的概念，这个函数在讨论晶体电子的各种过程时特别在输运现象的分析中是非常重要的。
费米面是固体物理中最重要的概念之一。
在自由电子论中费米面的重要性在于：只有费米面附近的电子才能参与热跃迁或输运过程，决定着晶体的各种物理性质。
这里费米面的含义不变，只是晶体势场的影响使费米面的形状变得复杂，从而对性质的影响变得复杂罢了，自由电子气模型受周期场的微弱影响，近自由电子的等能面偏离自由电子的球形。
并受到布里渊区界面影响和自由电子态密度相比近自由电子的能态密度发生了明显变化。
E A原因是明显的：在4.2节已经指出，周期场的微扰使布里渊区附近界面内的能量下降，而等能面的凸出正意味着达到同样的能量E ，需要更大的k 值，当能量E 超过边界上A 点的能量E A ，一直到E 接近于在顶角C 点的能量E C （即达到第一能带的顶点）时，等能面将不再是完整的闭合面，而成为分割在各个顶角附近的曲面。
由此我们给出对近自由电子能态密度的估计：在能量没有接近E A 时，N (E)和自由电子的结果相差不多，随着能量的增加，等能面一个比一个更加强烈地向外突出，态密度也超过自由电子，在E A 处达到极大值，之后，等能面开始残破，面积开始下降，态密度下降，直到E C 时为零。
所以近自由电子近似下的N (E)如图所示。
BCC LiFermi surface[100][010]Fermi surface is distortedfrom a spherenear the zone boundary.A cusp is caused by interactionN (E )N (E )E B E BE CE C EE 。
复旦固体物理讲义-21专题三：固体磁性
• 铁磁性：χ~100~ 105
C T TC
* 典型的有Fe，Co，Ni等，易饱和 * 温度高于TC时呈顺磁性，低于TC时原子磁矩平行排 列，或者说能带中正负自旋的电子数不等，来自于 自发磁化（无外磁场的磁化）
• 亚铁磁性： χ~ 100~ 105
* 一般是合金，典型如铁氧体Fe3O4，易饱和 * 温度高于TC时呈顺磁性，低于TC时原子磁矩反平行 排列，但由于不同原子磁矩大小不一，所以总磁矩 不为零。亦属自发磁化
http://10.107.0.68/~jgche/ 固体磁性
18
• 加磁场后，电子自旋顺着磁场方向平移
* 与磁场方向相反的电子自旋能量高，磁矩反转，填 到另一自旋方向的能级上，平衡时，两个自旋方向 的费米能级一致 2 M • 反转电子数约 B Bg ( EF ) / 2 总磁矩变化 B g ( EF ) B
2 k K i 2 E i0 2m 2 0 0 0 E 30 E 4 K2 E 10 E 2 E M 2jgche/
固体磁性
7
• 4个平面波为
1 e i k K
1
r
, 2 e i k K 2 r , 3 e i k K 3 r , 4 e i k K 4 r
http://10.107.0.68/~jgche/
固体磁性
14
磁畴、磁化曲线和磁滞回线
• 自发磁化出现在大块磁体的微小区域内——磁 畴
* 未加外磁场时，各磁畴的自发磁化矢量并不在同一 方向上，但合成的总磁化强度为零 * 外加磁场后，磁畴重新取向，导致了磁化 磁化曲线 磁滞回线 使所有磁畴在一个方向时，磁饱和
U K j K i U x , y e
C T TC
* 典型的有Fe，Co，Ni等，易饱和 * 温度高于TC时呈顺磁性，低于TC时原子磁矩平行排 列，或者说能带中正负自旋的电子数不等，来自于 自发磁化（无外磁场的磁化）
• 亚铁磁性： χ~ 100~ 105
* 一般是合金，典型如铁氧体Fe3O4，易饱和 * 温度高于TC时呈顺磁性，低于TC时原子磁矩反平行 排列，但由于不同原子磁矩大小不一，所以总磁矩 不为零。亦属自发磁化
http://10.107.0.68/~jgche/ 固体磁性
18
• 加磁场后，电子自旋顺着磁场方向平移
* 与磁场方向相反的电子自旋能量高，磁矩反转，填 到另一自旋方向的能级上，平衡时，两个自旋方向 的费米能级一致 2 M • 反转电子数约 B Bg ( EF ) / 2 总磁矩变化 B g ( EF ) B
2 k K i 2 E i0 2m 2 0 0 0 E 30 E 4 K2 E 10 E 2 E M 2jgche/
固体磁性
7
• 4个平面波为
1 e i k K
1
r
, 2 e i k K 2 r , 3 e i k K 3 r , 4 e i k K 4 r
http://10.107.0.68/~jgche/
固体磁性
14
磁畴、磁化曲线和磁滞回线
• 自发磁化出现在大块磁体的微小区域内——磁 畴
* 未加外磁场时，各磁畴的自发磁化矢量并不在同一 方向上，但合成的总磁化强度为零 * 外加磁场后，磁畴重新取向，导致了磁化 磁化曲线 磁滞回线 使所有磁畴在一个方向时，磁饱和
U K j K i U x , y e
固体物理课件pdf1
* 这个问题找到了解决之道后，才形成了固体物理学 这门学科——把已经找到结论的问题交给课堂
• ——如何化解这个困难？
* 面对1029个连立方程？统计？或者其他什么方法？
• ——线索和根据（衍射实验）？
* 晶体中原子呈有规律性的排列——周期性！ * 数学！后面会看到，数学上处理这样的周期性结 构——只需在几个或有限数量的原子、电子范围
• 国内出的固体物理学教材几乎都是Kittle系列 的教材，与我国的编写者大都师出同门有关 • 唯有两本教材可以归于Ashcroft系列
* 清华大学，顾秉林，1989年第一版，未再版和重印 * 北京大学，阎守胜，2000年第一版，2004第二版 （修改主要在第二部分）
国内参考书的简评和建议
• 固体物理基础，阎守胜编著，北京大学出版社
http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学
1
http://10.45.24.132/~jgche/
固体物理学
2
成绩
• 平时（30%），按时交作业 • 考试（70%）
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固体物理学
3
http://10.45.24.132/~jgche/
http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学
14
两套体系教材的区别，比如
• Kittle体系的教材
* 首先讲解晶体结构，但是在接受周期结构这个固体 中最重要的概念之前，我们并不清楚为什么要引 入？它的重要性在哪里？晶体周期结构所包含的假 定有多少合理性？为什么？等等。
Kittle的教材——注重结论
固体物理学
8
•
固体的物理性质和规律由什么决定？
• ——如何化解这个困难？
* 面对1029个连立方程？统计？或者其他什么方法？
• ——线索和根据（衍射实验）？
* 晶体中原子呈有规律性的排列——周期性！ * 数学！后面会看到，数学上处理这样的周期性结 构——只需在几个或有限数量的原子、电子范围
• 国内出的固体物理学教材几乎都是Kittle系列 的教材，与我国的编写者大都师出同门有关 • 唯有两本教材可以归于Ashcroft系列
* 清华大学，顾秉林，1989年第一版，未再版和重印 * 北京大学，阎守胜，2000年第一版，2004第二版 （修改主要在第二部分）
国内参考书的简评和建议
• 固体物理基础，阎守胜编著，北京大学出版社
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1
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3
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两套体系教材的区别，比如
• Kittle体系的教材
* 首先讲解晶体结构，但是在接受周期结构这个固体 中最重要的概念之前，我们并不清楚为什么要引 入？它的重要性在哪里？晶体周期结构所包含的假 定有多少合理性？为什么？等等。
Kittle的教材——注重结论
固体物理学
8
•
固体的物理性质和规律由什么决定？
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* 费米面根据原胞电子 数的多少，会延伸至 不同的高布里渊区。 这样在简约布里渊区 表示中，费米面形状 会非常复杂
• 高布里渊区
* 用2, 3, 4, …表示高布 里渊区，由分离的碎 片组成，但形状、面 积等都与第一布里渊 区完全相同
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3
固体物理学
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金属费米面
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固体物理学
22
5、能量状态密度
• 孤立原子中，能级分裂，每个能级能填两个不 同自旋状态的电子； • 而晶体中，能级准连续分布形成能带（能级间 隔10-21eV）。电子能级非常密集，标明每个能 级没有意义 • 但能级密集的程度直接反映有多少电子可以存 在于这一能量区域！比如说，高温超导材料的 一个特征就是费米面附近的能级密度非常高 • 如何表示这种情况下到底密集到什么程度呢？ • 能量态密度就是表示这种密集程度的量
D E
j
2 3
2V
k E j k
26
dS
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固体物理学
6、空晶格模型态密度
• 能带
2k 2 E k 2m
• 在k空间等能面是球面，半径为
2mE k • 在球面上
dE 2 k k E k dk m
固体物理学
18
自由电子(fcc空晶格模型)费米面
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固体物理学
19
自由电子(bcc空晶格模型)费米面
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固体物理学
20
自由电子(hcp空晶格模型)费米面
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* 靠近B区边界时，不连续，从原点开始，靠近边 界，向外凸出；过边界，向内凹缩，等能面不是闭 合的
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28
7、过渡到近自由电子态密度
Projected Density of States
(a) (b) (c)
E XIV XIII XII XI X IX VIII VII VI V IV III II I B
• 从能带结构可以知道，由于周期性势场的作 用，一般的费米面形状可能很复杂，
* 从了解自由电子气费米面开始 * 金属电子，接近自由电子，费米面是一畸变球面 * 半导体、绝缘体不用费米面，而用价带顶概念
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5
以四价原子、二维正方空晶格模型为例
等能面过布里渊区边界
• P和Q是倒格点，
* K是倒格矢 * 垂直于K的直线 即B区边界
• 等能面S(实线)与 边界相交 S
K P Q
S’
* S’是其等价等能 面，周期性 * 现不连续过界
• S不能连续地通过 边界
* 修正，圆弧 * 圆弧与边界垂直 相交
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27
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• 球面面积为
dS 4k
• 所以
2V D E 2 3
2
dS 2V m 2 4 k C E 3 2 k E k 2 k
• 对近自由电子，在远离B区边界，类似自由电 子，可以看作自由电子态密度的迭加
ky (11) (10) kx
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15
等能面：二维正方格子等能面
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16
费米面Harrison作图法
• • • • 倒格子——画布里渊区 自由电子：画半径与电子浓度有关的球 将处在第二、三、… 布里渊区的费米面碎片 分别移到第一布里渊区 变形费米面，使满足
1. 与布里渊区边界垂直相交 2. 尖角钝化 3. 费米面 包围的总体积不变
固体物理学
• 等能面在B区边界 发生突变 13
• 作二维一、二、三和四价原子正方格子费米面 • 先作自由电子费米面，靠近边界处有畸变 • 上图自由电子；下图近自由电子
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14
费米面的畸变
• 过渡到近自由电子近似，费米面在靠近布里渊 区边界发生畸变：
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E(k)
k
11
• 因此，近自由电子等能面在布里渊区边界是不 连续的，不能连续穿越布里渊区边界 • 而且，等能面与布里渊区边界垂直相交，看布 里渊区边界面(k=K/2,k=-K/2)处的斜率
E k E k
E k E k K
1
第17讲、费米面和态密度
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 高布里渊区 空晶格模型费米面 过渡到近自由电子费米面 自由电子和金属费米面举例 能量状态密度 空晶格模型态密度 过渡到近自由电子态密度
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2
1、高布里渊区
• 费米面是电子占据 与非占据分界面
本讲要解决的问题：能带给出的其他信息
• 电子能带结构给出的另外两个重要信息
* 费米面：最高占据能级的等能面 * 态密度：能量空间的状态密度
• 金属费米面
* 近自由电子费米面 * 等能面在布里渊区边界的畸变？ 布里渊区=倒空间的Wigner原胞
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1
2
3
4
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3、过渡到近自由电子费米面
• 费米面是能级等于费米能级的等能面
* 在k空间，自由电子的等能面是球面，所以，自由 电子的费米面是个球面
• 已知：能带在跨越布里渊区边界时，会有畸变 能隙
* 那么，费米面在跨越布里渊区边界会如何变化呢？ 靠近布里渊区边界处，费米面也有畸变
1. 等能面在远离布里渊区边界处，与自由电子相近， 也是圆 2. 等能面靠近布里渊区边界时，电子能量随波数k的 增加比自由电子慢，因此，等能线偏离圆而向外凸 出 3. 等能面离开布里渊区边界时，电子能量随波数k的 增加比自由电子快，因此，等能线偏离圆而向内收 缩
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7
• 围绕着邻 近的倒格 点作半径 为kF的圆
* 周期图
• 周期图中 可以看出 每个高布 里渊区中 碎片的形 状
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固体物理学
8
• 前面是费米面的周期图，第一布里渊区已被占 满，第二、三、四布里渊区被部分占满 • 通常在简约布里渊区作费米面 • 移动各个分片，即第二、三、四布里渊的分片 到第一布里渊区，按不同能带作费米面
高布里渊区碎片移动组成布里渊区示意图
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2、空晶格模型费米面
• T=0时电子的最高的填充能级费米能级EF • 随波矢k连续的变化的E (k)= EF在k空间构成一 个等能面(曲面)，这样的曲面称为费米面
* 费米面是基态时电子占据态与非占据态的分界面 * 电子输运性质是由费米面及其附近(kBT)电子状态密 度决定的，因此，了解费米面的结构非常重要
C
• 总的态密度是这些态密度之和
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31
例：二价金属能带重叠问题
1. 对于二维正方格子，证明第一布里渊区角上 π/a(1,1)的自由电子动能是区边中心点 π/a(1,0)的二倍 2. 讨论费米面（线）穿越布里渊区边界情况 3. 讨论二价金属能带重叠和导电情况
• 金属(近自由电子)费米面可由自由电子费米面 得到，因此先看自由电子费米面
* 价电子数N决定费米圆的半径费米波矢 * 自由电子气费米波矢
2 N k *F 3 V N k F 2 A N kF 2 L
1/ 3
三维 对四价原子 二维 一维
固体物理学
6
1/ 2
4 k F 2 A
1/ 2
2 2 a
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引入二维正方格子空晶格
• 作布里渊区图
* 以费米波矢kF 为半径作圆， 圆内全占据 * 这是广延图
• 第一布里渊区 全部占据 • 费米圆与第二、 三、四 布里渊 区相交 • 第二、三、四 布里渊区部分 占据
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30
C
D(E)
A
E • 当等能面超过第二布里渊区最低能量后，第二 条能带，重复刚才分析，可得态密度
* 如左上示意图，第二个B区贡献的态密度的最低点 应该出现在那里？ * 可分为重叠或不重叠两种情况，视能带是否重叠 * 如果能隙很大，则分成两部分，否则，重叠 * 具体要看原胞内电子总数和填充情况
• 下面以近自由电子近似的观点看这种畸变
近自由电子费米面——定性描述 * 定量的要通过实验测量或具体计算才能得到
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10
近自由电子费米面在布区边界畸变的原因
• 布里渊区边界处由 于畸变引起的能量 与k的关系变化
• 高布里渊区
* 用2, 3, 4, …表示高布 里渊区，由分离的碎 片组成，但形状、面 积等都与第一布里渊 区完全相同
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金属费米面
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5、能量状态密度
• 孤立原子中，能级分裂，每个能级能填两个不 同自旋状态的电子； • 而晶体中，能级准连续分布形成能带（能级间 隔10-21eV）。电子能级非常密集，标明每个能 级没有意义 • 但能级密集的程度直接反映有多少电子可以存 在于这一能量区域！比如说，高温超导材料的 一个特征就是费米面附近的能级密度非常高 • 如何表示这种情况下到底密集到什么程度呢？ • 能量态密度就是表示这种密集程度的量
D E
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k E j k
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6、空晶格模型态密度
• 能带
2k 2 E k 2m
• 在k空间等能面是球面，半径为
2mE k • 在球面上
dE 2 k k E k dk m
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自由电子(fcc空晶格模型)费米面
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自由电子(hcp空晶格模型)费米面
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* 靠近B区边界时，不连续，从原点开始，靠近边 界，向外凸出；过边界，向内凹缩，等能面不是闭 合的
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7、过渡到近自由电子态密度
Projected Density of States
(a) (b) (c)
E XIV XIII XII XI X IX VIII VII VI V IV III II I B
• 从能带结构可以知道，由于周期性势场的作 用，一般的费米面形状可能很复杂，
* 从了解自由电子气费米面开始 * 金属电子，接近自由电子，费米面是一畸变球面 * 半导体、绝缘体不用费米面，而用价带顶概念
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以四价原子、二维正方空晶格模型为例
等能面过布里渊区边界
• P和Q是倒格点，
* K是倒格矢 * 垂直于K的直线 即B区边界
• 等能面S(实线)与 边界相交 S
K P Q
S’
* S’是其等价等能 面，周期性 * 现不连续过界
• S不能连续地通过 边界
* 修正，圆弧 * 圆弧与边界垂直 相交
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• 球面面积为
dS 4k
• 所以
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2
dS 2V m 2 4 k C E 3 2 k E k 2 k
• 对近自由电子，在远离B区边界，类似自由电 子，可以看作自由电子态密度的迭加
ky (11) (10) kx
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等能面：二维正方格子等能面
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费米面Harrison作图法
• • • • 倒格子——画布里渊区 自由电子：画半径与电子浓度有关的球 将处在第二、三、… 布里渊区的费米面碎片 分别移到第一布里渊区 变形费米面，使满足
1. 与布里渊区边界垂直相交 2. 尖角钝化 3. 费米面 包围的总体积不变
固体物理学
• 等能面在B区边界 发生突变 13
• 作二维一、二、三和四价原子正方格子费米面 • 先作自由电子费米面，靠近边界处有畸变 • 上图自由电子；下图近自由电子
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费米面的畸变
• 过渡到近自由电子近似，费米面在靠近布里渊 区边界发生畸变：
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E(k)
k
11
• 因此，近自由电子等能面在布里渊区边界是不 连续的，不能连续穿越布里渊区边界 • 而且，等能面与布里渊区边界垂直相交，看布 里渊区边界面(k=K/2,k=-K/2)处的斜率
E k E k
E k E k K
1
第17讲、费米面和态密度
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 高布里渊区 空晶格模型费米面 过渡到近自由电子费米面 自由电子和金属费米面举例 能量状态密度 空晶格模型态密度 过渡到近自由电子态密度
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1、高布里渊区
• 费米面是电子占据 与非占据分界面
本讲要解决的问题：能带给出的其他信息
• 电子能带结构给出的另外两个重要信息
* 费米面：最高占据能级的等能面 * 态密度：能量空间的状态密度
• 金属费米面
* 近自由电子费米面 * 等能面在布里渊区边界的畸变？ 布里渊区=倒空间的Wigner原胞
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3、过渡到近自由电子费米面
• 费米面是能级等于费米能级的等能面
* 在k空间，自由电子的等能面是球面，所以，自由 电子的费米面是个球面
• 已知：能带在跨越布里渊区边界时，会有畸变 能隙
* 那么，费米面在跨越布里渊区边界会如何变化呢？ 靠近布里渊区边界处，费米面也有畸变
1. 等能面在远离布里渊区边界处，与自由电子相近， 也是圆 2. 等能面靠近布里渊区边界时，电子能量随波数k的 增加比自由电子慢，因此，等能线偏离圆而向外凸 出 3. 等能面离开布里渊区边界时，电子能量随波数k的 增加比自由电子快，因此，等能线偏离圆而向内收 缩
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• 围绕着邻 近的倒格 点作半径 为kF的圆
* 周期图
• 周期图中 可以看出 每个高布 里渊区中 碎片的形 状
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• 前面是费米面的周期图，第一布里渊区已被占 满，第二、三、四布里渊区被部分占满 • 通常在简约布里渊区作费米面 • 移动各个分片，即第二、三、四布里渊的分片 到第一布里渊区，按不同能带作费米面
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2、空晶格模型费米面
• T=0时电子的最高的填充能级费米能级EF • 随波矢k连续的变化的E (k)= EF在k空间构成一 个等能面(曲面)，这样的曲面称为费米面
* 费米面是基态时电子占据态与非占据态的分界面 * 电子输运性质是由费米面及其附近(kBT)电子状态密 度决定的，因此，了解费米面的结构非常重要
C
• 总的态密度是这些态密度之和
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例：二价金属能带重叠问题
1. 对于二维正方格子，证明第一布里渊区角上 π/a(1,1)的自由电子动能是区边中心点 π/a(1,0)的二倍 2. 讨论费米面（线）穿越布里渊区边界情况 3. 讨论二价金属能带重叠和导电情况
• 金属(近自由电子)费米面可由自由电子费米面 得到，因此先看自由电子费米面
* 价电子数N决定费米圆的半径费米波矢 * 自由电子气费米波矢
2 N k *F 3 V N k F 2 A N kF 2 L
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三维 对四价原子 二维 一维
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• 作布里渊区图
* 以费米波矢kF 为半径作圆， 圆内全占据 * 这是广延图
• 第一布里渊区 全部占据 • 费米圆与第二、 三、四 布里渊 区相交 • 第二、三、四 布里渊区部分 占据
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C
D(E)
A
E • 当等能面超过第二布里渊区最低能量后，第二 条能带，重复刚才分析，可得态密度
* 如左上示意图，第二个B区贡献的态密度的最低点 应该出现在那里？ * 可分为重叠或不重叠两种情况，视能带是否重叠 * 如果能隙很大，则分成两部分，否则，重叠 * 具体要看原胞内电子总数和填充情况
• 下面以近自由电子近似的观点看这种畸变
近自由电子费米面——定性描述 * 定量的要通过实验测量或具体计算才能得到
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近自由电子费米面在布区边界畸变的原因
• 布里渊区边界处由 于畸变引起的能量 与k的关系变化