材料加工冶金传输原理最新版精品课件流体力学部分-第二章 流体力学基本方程2.4-2.6

vz
vz z
f x dx
1
p x
dx
vx
vx x
dx
vy
vx y
dx
vz
vx z
dx
dx vx
dy vy
dz vz
vydx
vxdy,
vzdx
vxdz
f x dx
1
p x
dx
vx
vx x
dx
vx
vx y
dy
vx
vx z
dz
vxdvx
11
f x dx
1
p x
dx
vxdvx
f ydy
1
p y
-- 流量修正系数 ( ≈ 0.95 ~ 0.98 )
23
2.6 动量积分方程和动量矩积分方程及其应用
（1）动量积分方程
根据动量定理：流体系统的动量对时间的变化率等于外界作用在
该系统上的合力，即
dK dt
d dt
V
v dV
F
由于外力有质量力和表面力之分，故上式右边的等式可写为
d
dt
v dV
各点的测压管水头为常数（缓变流任意过流截面上流体静压力的分布规律与
平衡流体中的相同）：
p A ( p p) A g z A r A ru2
r
r
( p z) u2 r g gr
u2
缓变流:
0
gr
p zC g
常数C在同一缓变过断面上值不变，对不同的缓变过流断面C为不同值。
15
管道内、渠道内的流动流体可以被当成是一个总流，由多个微元流束组成。
p2
g
u22 ) gdQ
2g
A
(z
p
g
)dQ
(z
p
g
) A
dQ
(z
p
g
)Q
A1
dA1
u2 dQ V 2 dQ V 2 Q, u3dA
A1 2g
2g A2
2g
V3A
u1
z1
p1
g
1
V12 2g
z2
p2
g
2
V22 2g
17
A2
dA2
u2
（3）实际流体的伯努利方程
1.沿流线
z1
p1
g
1
p y
dv y dt
fz
1
p z
dvz dt
5
dv x dt
vx t
vx
vx x
vy
v x y
vz
v x z
dv y dt
v y t
vx
v y x
vy
v y y
vz
v y z
dv z dt
vz t
vx
vz x
vy
vz y
vz
v z z
fx
1
p x
vx t
vx
vx x
vy
vx y
d2 d1
4
z1
p1
g
z2
p2
g
22
A2 p2
V2
z2
h
A1 p1
压差与测压管液面高度差的关系为：
V1
p1 gz1 p2 g(z2 h) ' gh z1
z1
p1
g
z2
p2
g
'
h
A2 p2
V2
z2
h
Q
V2 A2
d
2 2
4
(' 1)2gh
1 (d2 / d1)4
26
动量方程为
F ( p1 pa )n 1 A1 ( p2 pa )n 2 A2 Q(v 2 v1 )
n1 i, n2 i cos j sin
水流对弯管作用力的两个分量可写为
Fx Q(v2 cos v1) ( p1 pa )A1 ( p2 pa )A2 cos Fy Qv2 sin ( p2 pa )A2 sin
13
（2）理想流体总流的伯努利方程
动能修正系数
用过流断面流体流动的真实速度u所表示的动能与用过流断面平均速度v所
表示的动能之比称为动能修正系数： 1 u3dA
2A
1 v3A
缓变流的特性
2
当流线的曲率半径很大或流体之间的夹角很小时，流线近似为平行直线，
这样的流动称为缓变流，否则称为急变流。
14
均匀流和渐变流的过水断面上，动水压强分布规律相同,即同一过水断面上
u12 2g
z2
p2
g
u22 2g
2.对于总流
z1
p1
g
u12 2g
z2
p2
g
u22 2g
hw'
z1
p1
g
1
V12 2g
z2
p2
g
2
V22 2g
hw
（4）伯努利方程应用举例
z0
p0
g
z1
p0
g
1
V12 2g
p
00
h
z0 z1 h, 1 1
1p
0
V1 2gh
18
例：水深 1.5 m，大截面开口水箱，箱 底接一长 2 m的开口竖直管，假设管 中流动定常，求竖直管中 2-2截面上 的压强。 解： 考虑缓变流截面1-1、2-2和3-3，
取
把基准面O-O取在3-3上，对1-1和3-3 写出总流的伯努利方程
1
2 3
O
1
1.5m
1.0m 2
1.0m 3
O
z1
p1
g
z3
p3
g
V32 2g
V3 2g(z1 z3) 8.285m / s
p1 p3 pa
19
对2-2和3-3写出总流的伯努利方程
z2
p2
g
V22 2g
z3
V32 2g
压强水头
z p v2 C
g 2g
位置水头
速度水头
z1
p1
g
v12 2g
z2
p2
g
v22 2g
C
2. 伯努利方程的意义
（1）几何意义：用几何图形来表示各物理量之间 的关系。表明：在流线上的总水头为一常数。
（2）物理意义
因此说伯努利方程是能量转化和守恒定律在流体力学中的具体反映。
表明：在流线上的单位重量流体的总能量为一常数。
V2 V3, p2 g(z3 z2 ) 9806
应用条件:
注意点:
1
1
1.5m
2
3
O
1.0m 2
1.0m 3
O
(1)恒定(定常) (2)不可压流体 (3)重力场 (4)无其它能量的输入或输出 (5)总流量沿程不变
(1)所选过流断面为均匀流或渐变流 (2)基准面选取任意,统一 (3)压强项可取绝对,相对,统一 (4)计算断面测压管水头时,可选断面任一点 (5)动能修正系数,一般可取为1
固定此段弯管所需的外力为
Fx Q(v2 cos v1) ( p1 pa )A1 ( p2 pa ) A2 cos Fy Qv2 sin ( p2 pa ) A2 sin
27
图2.6.4 射流对固定叶片的作用图
图2.6.5 射流对运动叶片的作用
Fx v02 A0 (1 cos ) Fy v02 A0 sin
20
例：皮托管测速。
如图所示，B点流速为零，形 成驻点，驻点处的压强称为总 压，可由弯管中静止液体的高 度决定，
pB gHB
被测点 A点压强为，
pA gH A
对A、B两点列出沿流线的伯努利方程，
zA
pA
g
VA2 2g
zB
pB
g
VB2 2g
(zA
zB ,VB
0)
pA
g
VA2 2g
pB
g
VA 2g(H B H A ) 2gh
假设 A1、A2是缓变流截面，对于微元流束：
z1
p1
g
u12 2g
z2
p2
g
u22 2g
A1
dA1
gu1dA1 gu2dA2 gdQ
u1
( z1
p1
g
u12 2g
)gdQ
(z2
p2
g
u22 2g
)gdQ
A2
dA2
u2
16
通过断面1和2的能量
A1
( z1
p1
g
u12 2g
) gdQ
A2
(z2
21
例：文丘里流量计原理。
假设测压管所在断面1、2为缓 变流截面，截面形心点为计算 点，对断面1、2写出伯努利方
程，取 1 2 1 ，得
A1 p1 V1
z1
z1
p1
g
V12 2g
z2
p2
g
V22 2g
V1 A1
V2 A2 ,
V2
V1
A1 A2
V1
d1 d2
2
V22 2g
1
pxxdydz+(
pxx
pxx x
dx)dydz
yxdxdz
(
yx
yx
y
dy)dxdz
zxdxdy
( zx
zx
z
dz)dxdy
dxdydz
dvx dt
7
上式两边同除以质量 dxdydz 得
fx
1
( pxx x
yx
y
zx
z
)
dvx dt
由牛顿内摩擦定律，可得到三维流动的广义牛顿内摩擦定律
xy
8
fx
1
p x
(
2vx x2
2vx y 2
2vx z 2
)
dvx dt
fy
1
p y
(
2vy x2
2vy y 2
2vy z 2
)
dvy dt
fz
1
p z
(
2vz x2
2vz y 2
2vz z 2
)
dvz dt
fx
1
p x
(
2vx x2
2vx y 2
2vx z 2
)
vx t
vx
vx x
vz
vx z
fy
1
p y
vy t
vx
vy x
vy
vy y
vz
vy z
fz
1
p z
vz t
vx
vz x
vy
vz y
vz
vz z
10
fx
1
p x
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
fy
1
p y
vx
vy x
vy
vy y
vz
vy z
fz
1
p z
vx
vz x
vy
vz y
V
fdV
V
S p n dS
根据式（2.3.7）可得控制体的动量积分方程
v
V t
dV
S v vndS
fdV
V
S p n dS
24
（2）动量矩积分方程
根据动量矩定理：流体系统对某点的动量矩 H
对时间的变化率等于外界作用在该系统上的合力 F
对同一点的力矩，即
dH dt
d dt
V
r
v dV
r
F
yx
2 z
( v x
y
vy ) x
pxx
p+2
vx x
xz
zx
2 y
( v x
z
Baidu Nhomakorabea
v z x
)
p yy
p+2
vy y
yz
zy
2 x
( v y
z
v z y
)
pzz
p+2
vz z
fx
1
p x
(
2vx x2
2vx y 2
2vx z 2
)
x
( vx x
vy y
vz z
)
dvx dt
9
2.5 伯努利方程
伯努利（瑞典），1738，《流体动力学》 ——“流速增加，压强降低”
（1）理想流体沿流线的伯努利方程 1. 伯努利方程的推导
欧拉运动方程五个假设
（1）定常流动 （2）沿流线积分 （3）理想流体 （4）质量力有势 （5）不可压缩
fx
1
p x
vx t
vx
vx x
vy
vx y
vy
vx y
vz
vx z
fy
1
p y
(
2vy x2
2vy y 2
2vy z 2
)
vy t
vx
vy x
vy
vy y
vz
vy z
fz
1
p z
(
2vz x2
2vz y 2
2vz z 2
)
vz t
vx
vz x
vy
vz y
vz
vz z
f 1 p 2v v (v )v
t
粘性不可压缩流体的运动微分方程（N-S）
第二章 流体力学基本方程
目录
2.1
描述流体运动的方法
2.2
描述流体运动的一些基本概念
2.3
连续性方程
2.4
流体运动的微分方程
2.5
伯努利方程
2.6 动量积分方程和动量矩积分方程及其应用
2
2.4 流体运动的微分方程
(1) 理想流体运动的微分方程（Euler方程）
图2.4.1控制体
3
p p dx, p p dy, p p dz
dy
vydvy
f z dz
1
p z
dz
vz dvz
U x
fx,
U y
fy,
U z
fz
U x
dx
U y
dy
U z
dz
1
( p x
dx
p y
dy
p z
dz)
vxdvx
vydvy
vzdvz
dU dp dv2 / 2
12
dU dp / dv2 / 2 U p / v2 / 2 C
fx 0, f y 0, fz g, U = gz
vz
vx z
fy
1
p y
v y t
vx
v y x
vy
v y y
vz
v y z
fz
1
p z
vz t
vx
vz x
vy
vz y
vz
vz z
6
f 1 p v (v )v
t
(2) 粘性流体运动的微分方程（N－S方程）
在x方向应用牛顿第二运动定律可得
图2.4.2 控制体
f x dxdydz
d
dt
r
V
vdV
r
V
fdV
r
S
p n dS
根据雷诺输运方程式（2.3.5）可得控制体的动量矩积分方程
r v dV
V t
S r vvndS
r fdV
V
S r p n dS
25
（3） 动量积分方程和动量矩积分方程的应用 1. 水流对弯管的作用力
(a)
(b)
(c) 图2.6.1 水流对弯管的作用力
Fx (v0 u)2 A0 (1 cos ) Fy (v0 u)2 A0 sin
28
29
2.射流对平板和叶片的作用力
例 求射流对斜置平板(单位厚度)的作用力F。 设：流量为 Q，速度为V，
来流方向与板的夹角为 。
解： 取控制体如图。因射流处于大 气之中，射流中压强都近似等
于大气压。又由伯努利方程知 V1 = V2 = V。
根据牛顿第二运动定律，可得
4
pdydz
(p
p dx)dydz x
f x dxdydz
dxdydz
dv x dt
pdxdz
(p
p dy)dxdz y
f y dxdydz
dxdydz
dv y dt
pdxdy
(p
p z
dz)dxdy
f z dxdydz
dxdydz
dv z dt
fx
1
p x
dvx dt
fy
x 方向动量方程： Q1V1 Q2V2 QV cos Fx
y 方向动量方程： QV sin Fy
由连续性条件 Q = Q1 + Q2 和 x 方向的动量方程还
可以解出
1 cosθ
1 cos θ
Q1 2 Q, Q2 2 Q
30
3. 水流对喷嘴的作用力
x
y
z
设在 x, y, z 三个坐标轴方向上的单位质量力分量分别为
fx, fy, fz
则作用于六面体上的质量力分量分别为
fx dxdydz, f y dxdydz, fz dxdydz
设六面体在 x, y, z 三个坐标轴方向上的加速度分量分别为
dvx / dt, dvy / dt, dvz / dt