5.解题技巧专题：整式乘法及乘法公式中公式的巧用
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解题技巧专题：整式乘法及乘法公式中公式的巧用♦类型一利用公式求值一、逆用幕的相关公式求值1.已知5" = 3, 5>=4,则5小’的结果为【方法7①】（）A.7B. 12C. 13D. 142.如果（9n）2=312,则n的值是（）A. 4B. 3C. 2D. 13.若x2n = 3,则占= __________ .4.（湘潭期末）己知a x=3, a y=2,求尹的值.5.计算：-82015X(-0.125)2016+0.253X26.［方法7③】二、多项式乘法中求字母系数的值6.如果(x + m)(x—3)中不含x的项，则m的值是()4. 2 B. -2 C. 3 D. -37.(邵阳县期中)^(x —5)(2x—n) = 2x2 + mx—15,则m, n的值分别是( )A. m=—7, n = 3B. m=7, n=—3C. m=7, n = 3D. m=—7, n = —38.已知6x?—7xy—3y?+14x+y+a=(2x—3y+b)(3x+y+c),试确定a, b, c 的值.三、逆用乘法公式求值9.若x=l, y=*,则x2+4xy+4y2的值是()A. 2B. 4 C，2 D.T10.己知a+b=3,则a2-b2+6b 的值为( )A. 6B. 9C. 12D. 1511.(衡阳中考)已知a+b=3, a-b=-l, MO a2-b2的值为9•【方法9①】12.已知x+y = 3, x2-y2=21,求x3+12y3的值.四、利用整体思想求值13.若x+y=m, xy = —3,则化简(x—3)(y—3)的结果是()A. 12B. 3m+ 6C.—3m—12D.—3m+614.先化简，再求值：(1)(荷泽中考)已知4x = 3y,求代数式(x — 2y)2—(x—y)(x + y)—2y2的值;(2)已知2a2+3a-6=0,求代数式3a(2a+l)-(2a+l)(2a-l)的值.♦类型二利用乘法公式进行简便运算15.计算2672 - 266 X 268 得( )4. 2008 B. 1 C. 2006 D. ~\16.己知a=7202, b=719X721,贝ij( )A. a=bB. a>bC. a<bD. aWb17.计算：(1)99.8X100.2; (2)1023(3)5012+4992; (4) 19992 -1992 X 2008.♦类型三利用乘法公式的变形公式进行化简求值18.如果x+y=—5, x2+y2=13,则xy 的值是()A. 1B. 17C. 6D. 2519.若a+b=—4, ab=*,则a2+b2= _____________ .20.(永州模拟)已知a=2005x+2004, b=2005x + 2005, c = 2005x+2006,则多项式a?+ b2+c2_ab_be —ac 的值为___________ .21.己知(x+y)2=5, (x—y)2=3,求3xy—1 的值.♦类型四整式乘法中的拼图问题22.根据图中数据，计算大长方形的面积，通过不同的计算方法，你发现的结论是()a b b a aA.(a+b)(a+2b)=a2+3ab + 2b2B.(3a+b)(a+b) = 3a2+4ab + b2C.(2a+b)(a+b) = 2a2+3ab+b2D.(3a+2b)(a+b)=3a2+5ab+2b223.如图，边长为(m + 2)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后余下部分又剪开拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，若拼成的长方形一边长为2,其面积是()A. 2m+4B. 4m+4C. m+4D. 2m+224. ★如图①是一个长为2m,宽为2n 的长方形，沿图屮虚线用剪刀均分成四个小长方 形，然后按图②的形状拼成一个正方形.(1) 你认为图②中阴影部分的正方形的边长是多少？(2) 请你用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积；(3) 观察图②，你能写出下列三个代数式(m+n)2, (m-n)2, mn 之间的等量关系吗?(4) 根据(3)中的结论,解决下列问题：若a+b=9, a —b=7,求ab 的值.参考答案与解析1. B图①n m innm mm n图② n m2. B 解析：V(9,?)2=r (32)M l 2=34\ ・・・34"=3巳.-.471=12, :.n=3.故选 B.3. 274. 解：・・・N = 3, G ' = 2, :.a x ^2y =a x -o 2y =3X22=l2.5 .解：原式=一 82015X( 一 0.125)20,5X( 一 0.125) + (0.25)3X23X23 = - [8X( 一 0.125)]2015X(-0.125)+(0.25X2X2)3= 1X(-0.125)+1=0.875.6・ C 7.D8. 解：(2x — 3y+b)(3x+y+c) = 6x 2—7xy~3y 1+(2c+3b)x+(b — 3c)y+be=6x 2—Ixy —3y 2+14x+y+tz, A2c+3Z?= 14, /?—3c=l, bc=a.联立以上三式，可得 Q =4, b=4, c =1.9. B10. B 解析：a 2-b 2+6b=(a+b)(a-b)+6b=3(a-b)+6b=3a+3b=3(a+b) = 9.故选 B.11. —3c c [x+y=3, 12. 解：・・・x+y=3』一),2=2i, .••兀一y=2“3=7.联立方程组得| * 解得 [x~y=7, 当 x=5,丿=一2 时，x 3+12/=53+12X(-2)3= 125-96=29.13. D14. 解：(l)(x —2y)2—(x —y)(x+j)—2J 2=X 2—4Ay+4y 2—(x 2—j 2)—2y 2=—4A ^+3J 2.V4X =3y,二原式=—3y ・ y+3y 2=0.(2) ・・・2/ + 3心一6=0,即 2/ + 3G =6, ・・.3G (2G +1)—(2°+1)(2G —1)=6/+3^—4/+1 =2c 『+3d+1 =6+1 =7.15. B 解析：267?—266X268 = 2672-(267-1)(267 +1)=2672-2672 +1 = 1.故选 B.16. B17. 解：(1)原式=(100-0.2)( 100+0.2) = 1002-0.22=9999.96.(2) 原式=(100+2)2= 10000+4+400= 10404.(3) 原式=(500 + l)2 + (500- l)2 = 5002 + 2 X 500X 1 + l 2 + 5002 - 2 X 500X 1 + 12 = 2 X5002+2 = 500002.(4) 原式=(2000 -l)2-(2000 一 8)(2000 + 8) = 20002 一 2 X 2000 X 1 + 1 - (20002 一*)=一 4000+1+64=-3935.18. C 19.1520. 3 解析：由题意知 b —a=l, c~b — 1, c —67=2.V a 1+b 1+c 1—ab —bc —ac=^a 2 2+(c-Z?)2]=|x (1+4+1) = 3.21. 解：\*(x+y)2—(x —y)2=4xy=2,即 xy=^ ・*• 3xy~ 1 =3X^— 1 =^.22. D23. B 解析：依题意得剩余部分的面积为伽+2F —〃『=加2+4〃汁4—沪=伽+4.故选 24. 解：(1)加一几(2) 方法一:(m —7?)2=m 2—2mn + n 2 ；x=5,v=— 2.方法二：(m+«)2—4/?7/2=m2—2mn+n2.(3)(m+n)2—4mn=(m—ny.(4)(«+b)2 -(a-b)2=4ab, ：.4ab=32, :.ab=S.。
专题05整式的乘法(3个知识点6种题型3种中考考法)(原卷版)
专题05整式的乘法（3个知识点6种题型3种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1：单项式与单项式相乘知识点2：单项式与多项式相乘知识点3：多项式与多项式相乘【方法二】实例探索法题型1：单项式与单项式相乘题型2：单项式与单项式相乘的综合应用题型3：单项式与多项式相乘题型4：单项式与多项式相乘的综合应用题型5：多项式与多项式相乘题型6：多项式与多项式相乘的综合应用【方法三】仿真实战法考法1：单项式与单项式相乘考法2：单项式与多项式相乘考法3：多项式与多项式相乘【方法四】成果评定法【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1：单项式与单项式相乘单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式．注：单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方、再乘法”的顺序进行．例如：()()()22224245234312xy x y x y x y x y⋅-=⋅-=-．要点诠释：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数 的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指 数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.知识点2：单项式与多项式相乘单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即()m a b c ma mb mc ++=++.要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.知识点3：多项式与多项式相乘多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++.【方法二】实例探索法题型1：单项式与单项式相乘1．（2022秋•嘉定区期中）计算：﹣3ab •4b 2＝ ．2．（2022秋•杨浦区期中）计算：（﹣xy）2•x5＝．3．（2022秋•奉贤区期中）计算：ab2•（﹣4a2 b4）＝．题型2：单项式与单项式相乘的综合应用4．（2022秋•嘉定区期中）计算：（﹣2x3）•（﹣2x）3+（x3）2﹣x2•x4．5．（2022秋•黄浦区期中）计算：（﹣3a2b）3﹣（﹣2a3b）2•（﹣3b）．题型3：单项式与多项式相乘6．（2022秋•杨浦区期中）计算：6ab（2a﹣0.5b）﹣ab（﹣a+b）．7．（2022秋•嘉定区期中）计算：2x•（x2﹣x+3）．8．（2022秋•闵行区校级期中）计算：（﹣2xy）•（x2+xy﹣y2）．9．（2022秋•长宁区校级期中）若A＝3x﹣2，B＝1﹣2x，C＝﹣6x，则C•B+A•C＝．10．（2022秋•奉贤区期中）计算：（x2﹣3xy+y2）（﹣2x）2．题型5：多项式与多项式相乘11．（2022秋•黄浦区期中）计算：（3x﹣2）（x+2）＝．12．（2022秋•杨浦区期中）计算：（x+2y）（y﹣2）+（2y﹣4x）（y+1）．13．（2022秋•长宁区校级期中）2（x+2）（2x+3）﹣3（1﹣x）（x+6）．14．（2022秋•长宁区校级期中）计算：x（2x﹣3）+（3﹣x）（1﹣5x）．15．（2022秋•宝山区校级月考）计算：．16．（2022秋•闵行区期中）若多项式x﹣1与多项式x2+ax﹣b相乘，乘积不含一次项以及二次项，那么a，b的值分别是（）A．1，1B．1，﹣1C．﹣1，﹣1D．﹣1，117．（2022秋•浦东新区期中）已知（mx+n）（x2﹣3x+4）展开式中不含x2项，且x3的系数为2，则n m的值为．18．（2022秋•长宁区校级期中）如果（x﹣2）（x+m）＝x2+x+n，那么m＝，n＝．19．（2022秋•虹口区校级期中）有若干张如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为（2a+b），宽为（a+b）的矩形，则需要A类卡片张，B类卡片张，C类卡片张，请你在右下角的大矩形中画出一种拼法．（标上卡片名称）20．（2022秋•虹口区校级期中）已知多项式x2+ax+1与2x+b的乘积中含x2项的系数为4，含x项的系数为2，求a+b的值．21．（2022秋•浦东新区期中）甲、乙两人共同计算一道整式：（x+a）（2x+b），由于甲抄错了a的符号，得到的结果是2x2﹣7x+3，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是x2+2x﹣3．求（a﹣b）（﹣2a ﹣b）的值．22．（2022秋•长宁区校级期中）若关于x 的多项式2x +a 与x 2﹣bx ﹣2的乘积展开式中没有二次项，且常数项为10，求a 、b 的值．【方法三】 仿真实战法考法1：单项式与单项式相乘1．（2020•上海）计算：2a •（3ab ）＝ ．考法2：单项式与多项式相乘2．（2023•吉林）计算：a （b +3）＝ ．考法3：多项式与多项式相乘3．（2019•南京）计算（x +y ）（x 2﹣xy +y 2）【方法四】成功评定法一、单选题1．（2021秋·上海·七年级上海市西延安中学校考期中）下列计算正确的是（ ） A ．3x 2y +5yx 2＝8x 2y B ．2x •3x ＝6xC ．（3x 3）3＝9x 9D ．（﹣x ）3•（﹣3x ）＝﹣3x 42．（2021秋·上海黄浦·七年级统考期末）若x 2+px +q ＝（x ﹣3）（x +5），则p 的值为（ ） A ．﹣15B ．﹣2C ．2D ．83．（2022秋·上海普陀·七年级统考期末）如果2（5﹣a ）（6+a ）＝100，那么a 2+a +1的值为（ ） A ．19B ．﹣19C ．69D ．﹣694．（2022秋·上海闵行·七年级校考阶段练习）下列运算正确的是（ ） A ．325426x x x ⋅=B ．236326x x x ⋅=C ．()()25293212x x x -⋅-=-D ．()312319()x x x x -⋅--=-5．（2022秋·上海嘉定·七年级校考期中）如果A 、B 都是关于x 的单项式，且A B ⋅是一个八次单项式，A B +是一个六次多项式，那么A B -的次数（ ） A ．一定是八次 B ．一定是六次 C ．一定是四次D ．无法确定6．（2023秋·上海浦东新·七年级校考期中）如果()()253x m x x x k +-=-+，那么k 、m 的值分别是（ ）．A ．10k =，2m =B ．10k =，2m =-C ．10k =-，2m =D ．10k =-，2m =-二、填空题)213x y ⎛⎫- ⎝⎪⎭3⎫=⎪⎭．的结果是 )()32m n -三、解答题22241x y y y x y（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；根据以上规律，解答下列问题：（1）（a +b ）5展开式的系数和是 ；（a +b ）n 展开式的系数和是 ．（2）当a ＝2时，（a +b ）5展开式的系数和是 ；（a +b ）n 展开式的系数和是 ．24．（2022秋·上海静安·七年级上海市风华初级中学校考期中）7张如图1的长为a ，宽为b ()0b >的小长方形纸片，按如图2、3的方式不重叠地放在长方形ABCD 内；未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．(1)如图2，点E 、Q 、P 在同一直线上，点F 、Q 、G 在同一直线上，右下角与左上角的阴影部分的面积的差为____________（用含,a b 的代数式表示），长方形ABCD 的面积为____________（用含,a b 的代数式表示）(2)如图3，点F 、H 、Q 、G 在同一直线上，设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为S ，CP x =. ①用含,,a b x 的代数式表示AE ；②当BC 的长度变化时，按照同样的放置方式，要使S 始终保持不变，那么,a b 必须满足什么条件?25．（2022秋·上海静安·七年级上海市风华初级中学校考期中）已知关于x 的一次二项式ax b +与231x x -+的积不含二次项，一次项的系数是4． 求：(1)系数a 与b 的值；(2)二项式ax b +与231x x -+的积．26．（2022秋·上海闵行·七年级校考周测）阅读材料，回答下列问题．阅读材料，回答下列问题． 多项式相乘的计算法则为用多项式中的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把结果加起来，例如()()()()a b c d a c d b c d ++=+++（乘法分配律）ac ad bc bd =+++()()()()()2x y x y x y x x y y x y +=++=+++22x xy yx y =+++（合并同类项） 222x xy y =++则ac ad bc bd +++叫做()()a b c d ++的展开式，222x xy y ++叫做()2x y +的展开式． (1)计算()21x +的展开式；(2)请指出()2x y +是几次几项式，并计算()3x y +的展开式（按照x 进行降幂排列），指出这个展开式是几次几项式，并推测()nx y +是几次几项式（用n 表示，其中n 为正整数）；(3)推测()nx y +的展开式中各项系数之和，并证明你的结论（用n 表示，其中n 为正整数）．27．（2022秋·上海·七年级专题练习）请阅读以下材料：[材料]若1234912346x =⨯，1234812347y =⨯，试比较x ，y 的大小．解：设12348a =，那么()()2122x a a a a =+-=--，()21y a a a a =-=-． 因为()()22220x y a a a a -=----=-<，所以x y <． 我们把这种方法叫做换元法．请仿照例题比较下列两数大小：997657997655x =⨯，997653997659y =⨯．28．（2021秋·上海·七年级统考期末）如图，已知正方形ABCD 与正方形CEFG ，点G 在边CD 上，已知正方形ABCD 的边长为a ，正方形CEFG 的边长为b ，且a b >．用a 、b 表示下列图形的面积．(1)DFG 的面积．(2)BEF △的面积．(3)BDF 的面积．。
《整式乘法》中的思想方法与思维技巧
1、《整式》中的思想方法与思维技巧2、整式的乘法新题例析3、完全平方公式要点精析4、因式分解经典试题分析5、因式分解中常见的错误辨析6、整式除法运算新题放送7、正确理解与灵活运用乘法公式8、因式分解在赛题中的应用9、整式的乘法错解剖析10、聚焦特征，活用乘法公式1、《整式》中的思想方法与思维技巧本章中蕴含着丰富的数学思想，下面以例说明如何运用这些数学思想指导我们解决问题．1、“特殊→一般→特殊”的思想方法在本章中，许多性质与法则的得出，都是先举出一些具体的例子，然后找出它们的共同特征，加以推广，概括出一般化的结论，再把所得结论应用于具体的解题过程中。
例如：同底数幂的乘法的性质．2、分类讨论的数学思想方法例如：多项式4x2＋1加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方，那么这个单项式是什么？析解：根据已知多项式的特点，我们可以把添加的单项式分为：①四次式(可添4x4)，②二次式(添－4x2)，③一次式(±4x)，④常数(－1)．3、数形结合的数学思想方法多项式的乘法常常可以看作是某种图形的面积，本章有许多这样数形结合的例子．例如：课本P180，根据图形面积说明平方差公式．P182，根据图形面积说明完全平方公式．例．如图是用四张相同的矩形拼成的图形，请你利用图中的阴影部分的不同表示方法，写出一个关于a、b的恒等式：．析解：因大正方形的边长为a＋b，小正方形的边长为a－b，所以(a＋b)2－(a－b)2＝（a2＋2a b＋b2）－（a2－2a b＋b2）＝4a b．故填：(a＋b)2－(a－b)2＝4a b．4、整体代入的思想方法例如课本P185页第7题：已知a＋b＝5，a b＝3，求a2＋b2的值．析解：直接求出a、b的值有一定的困难，但可对所求代数式a2＋b2，我们可添项，变为：a2＋2a b＋b2－2a b＝(a＋b)2－2a b，然后整体代入求值．5、逆向思维技巧由于整式的乘除及因式分解都是恒等变形的过程，因此恰当地利用本章的一些性质、法则、公式进行逆向解题，常常可以起到简化运算，化难为易的作用．例如课本P193第7题：已知2m＝a，32n＝b，求23m+10n．析解：先逆用幂的乘方：(a m)n=a mn，再逆用积的乘方：(ab)n=a n b n．由2m＝a，得(2m)3＝a3，即23m＝a3，由32n＝b，得(25n)2＝b2，即210n＝b2，∴23m+10n＝23m·210n＝a3b2．由此可见正确地运用数学思想方法往往可使问题化繁为简、化难为易，起到事半功倍之效．2、整式的乘法新题例析整式的乘法是本章的重要内容，也是中考试题中常见的题型，下面请欣赏几例．一、定义运算类例1．（吉安市）如果“三角形”表示，“方框”表示，求×的值。
七年级数学下册 巧用乘法公式妙解题教案 新人教版
巧用乘法公式妙解题教案一、利用整式乘法进行计算⑵、化简：)12()12)(12)(12(32842++++解：原式=)]12()12)(12)(12)(12[(31328422++++-3132)12(31)]12()12)(12)(12[(31646432844-=-==+++-= ． 评析：这两个题目表面看是关于数的计算，显然直接计算是非常困难的．从以上的解题方法我们可以看出，利用整式乘法的数学思想进行计算，非常容易的得到答案．这正是数学的魅力．二、利用条件表示已知的代数式或求值 ⑶、已知：m z y x =++，n yz xz xy =++，p xyz =．用含有m 、n 、p 的式子表示)3)(3)(3(+++z y x ．解：27999333)3)(3)(3(+++++++=+++z y x yz xz xy xyz z y x279327)(9)(3+++=+++++++=m n p z y x yz xz xy xyz⑷、设4=+y x ，1422=+y x ．求55y x +的值．解：∵4=+y x ，∴162)(222=++=+y xy x y x ，又1422=+y x ，∴1=xy ．∵)())((22555233253322x y y x y x y y x y x x y x y x +++=+++=++455++=y x ，而52)114(4))(()(2233=-⨯=+-+=+y xy x y x y x ，∴4521455++=⨯y x ， 即72447284521455=-=-⨯=+y x评析：这两个题目一个是用字母表示代数式，一个是用数字表示代数式，也就是求代数式式的值．在这些变化中，体现了整式乘法的灵活运用，从而使数学计算变得简单有趣、生动活波． 三、求待定的字母或代数式的值⑸已知多项式)43)((22+-++x x n mx x 的乘积展开后不含3x 和2x 项，求m 和n 的值． 解：由于n x n m x m n x m x x x n mx x 4)34()43()3()43)((23422+-++-+-+=+-++， ∵展开后不含3x 和2x 项，∴⎩⎨⎧=+-=-04303m n m ，解得⎩⎨⎧==53n m ．评析：这两个题目的思路是一样的，主要方法是比较等式两边对应项的系数．其目的就是要利用等式两边对应项的系数相等这些条件列方程，从而求得相关的字母或代数式的值．四、证明整除性问题 ⑺试证：对于任意自然数n ，代数式)2)(3()7(---+n n n n 的值，都能够被6整除．证明：由于)12(6612)65(7)2)(3()7(22-=-=+--+=---+n n n n n n n n n n ，∵n 为自然数，∴12-n 必为整数．因此)2)(3()7(---+n n n n 能够被6整除．评析：关于整除性问题，一般来说总是利用整式乘法进行代数式的变换，找出所含有的数字因数或字母因数以及代数式因数，然后就可以确定能否被某数或某式整除．做此类题目也是离不开整式乘法的．练习：１、化简计算：)12()12)(12)(12)(12(32842+++++ ２、已知多项式12++ax x 与b x +2的乘积中含3x 项的系数为3，含x 项的系数为2，求b a +的值．3、利用待定系数法求常数p 和q ，使得q px x ++24能被522++x x 整除． 参考答案：1、1264- 2、3=+b a 或23=+b a 3、6=p ，25=q ．。
整式的乘法公式与因式分解方法
整式的乘法公式与因式分解方法整式是由数、字母和运算符号（仅限于加法、减法、乘法和乘方）组成的代数表达式。
在代数学中，整式的乘法公式和因式分解是非常重要的概念和方法。
一、整式的乘法公式在解决整式的乘法运算时，乘法公式起到了关键的作用，它能够帮助我们简化计算过程，提高效率。
1. 二项式的乘法公式二项式的乘法公式是指两个二项式相乘时的简化方法。
设有两个二项式$(a + b)$和$(c + d)$，它们的乘积可以通过使用FOIL法则来计算。
FOIL法则指的是先相乘、外乘再相加、内乘再相加、最后相加的步骤。
举个例子，我们计算$(2x + 3)(4x + 5)$的乘积：首先，先相乘：$2x \cdot 4x = 8x^2$；然后，外乘再相加：$2x \cdot 5 + 3 \cdot 4x = 10x + 12x = 22x$；接着，内乘再相加：$3 \cdot 5 = 15$；最后，相加结果：$8x^2 + 22x + 15$。
因此，$(2x + 3)(4x + 5)$的乘积为$8x^2 + 22x + 15$。
2. 三项式的乘法公式三项式的乘法公式是指两个三项式相乘时的简化方法。
与二项式的乘法公式类似，计算过程同样采用FOIL法则。
举个例子，我们计算$(2x + 3)(4x + 5)(x + 1)$的乘积：首先，先计算$(2x + 3)(4x + 5)$的乘积，结果为$8x^2 + 22x + 15$；然后，再乘以$(x + 1)$，使用FOIL法则，计算过程如下：一次相乘：$(8x^2 + 22x + 15)(x) = 8x^3 + 22x^2 + 15x$；外乘再相加：$(8x^2 + 22x + 15)(1) + (8x^3 + 22x^2 + 15x) = 8x^2 + 22x + 15 + 8x^3 + 22x^2 + 15x = 8x^3 + 30x^2 + 37x + 15$。
因此，$(2x + 3)(4x + 5)(x + 1)$的乘积为$8x^3 + 30x^2 + 37x + 15$。
整式乘法运算法则公式
整式乘法运算法则公式在代数中，整式乘法是一种常见的运算，它可以帮助我们简化复杂的代数表达式。
整式乘法运算法则公式是指在乘法运算中使用的规则和公式，通过这些规则和公式，我们可以将复杂的代数表达式化简为简单的形式。
本文将介绍整式乘法运算法则公式的基本概念和具体应用。
一、整式乘法的基本概念在代数中，整式是由数字、变量和运算符（如加法、减法、乘法、除法）组成的表达式。
整式乘法是指两个或多个整式相乘的运算。
例如，给定两个整式x+2和3x-4，它们的乘积可以通过整式乘法运算法则公式进行计算。
二、整式乘法运算法则公式整式乘法运算法则公式包括以下几个基本规则：1. 分配律：对于任意的整式a、b和c，有a*(b+c) = a*b + a*c。
2. 乘法交换律：对于任意的整式a和b，有a*b = b*a。
3. 乘法结合律：对于任意的整式a、b和c，有(a*b)*c =a*(b*c)。
这些基本规则可以帮助我们在整式乘法中进行化简和计算，从而得到最终的乘积结果。
三、整式乘法的具体应用整式乘法运算法则公式在代数中有着广泛的应用，特别是在多项式的乘法中。
多项式是由多个整式相加或相减而成的代数表达式，它们在代数中有着重要的地位。
通过整式乘法运算法则公式，我们可以将复杂的多项式乘法化简为简单的形式，从而更方便地进行计算和分析。
例如，考虑两个多项式(x+2)(3x-4)，我们可以利用整式乘法运算法则公式来计算它们的乘积。
首先，我们可以使用分配律将乘法展开：(x+2)(3x-4) = x*(3x-4) + 2*(3x-4)。
然后，我们再利用分配律将每一项再次展开：x*(3x-4) = 3x^2 - 4x，2*(3x-4) = 6x - 8。
最后，将这些展开后的结果相加，得到最终的乘积：(x+2)(3x-4)= 3x^2 - 4x + 6x - 8 = 3x^2 + 2x - 8。
通过以上的计算过程，我们可以看到整式乘法运算法则公式的应用非常简单直观，它可以帮助我们快速地计算多项式的乘积，从而简化代数表达式的计算。
整式乘法和乘法公式复习
常见的变形：
1、位置变化：(a b)(b a)
2、系数变化：(3x 5 y)(3x 5 y ) 3、指数变化： (m3 n2 )(m3 n2 ) 4、符号变化：(a b)(a b)
a b
2
2
2
2
9 x 25y
m n
6 4
b a
2
2
2
5、增项变化：(m n p)(m n p)
让我们一起来回顾：
单项式×单项式 ＝(系数×系数)(同底数幂相乘)(单独的幂)
2 3 3 单项式与单项式相乘，把他们的系 ( 3 a c ) ( 2 a b ) 数、相同字母的幂分别相乘。其余 =[(-3).(-2)](a2.a3).c.b3 字母连同他的指数不变，作为积的 5 3 =6a b c 因式。
m p n2
知识点五：完全 a b __________ 头平方，尾平方， 2倍乘积放中央 2 a 2 ab b a b __________ _____ 左边
2 2
两数和（差）的平方，等于这两个数的平方和加上 乘积的两倍 （减去）这两数____________ 右边 二次三项式
5、完全平方公式
2
a ba b __________ _____
2 2
a b
a b __________ _____ 2 a 2ab b a b __________ _____
a 2 2ab b 2
2 2
总结升华： (1)变形为完全平方形式，灵活运用公式； (2)非负性：平方、二次根式、绝对值
2 (m-1)(m+1)(m +1)
小
专题02 整式的乘法与乘法公式
专题02 整式的乘法与乘法公式一、单选题1．下列运算中，错误的个数是（ ）（1）224a a a ＋＝；（2）236a a a ×＝；（3）2n n n a a a ×＝；（4）()448a a a --×＝A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】利用同底数幂的乘法运算法则，合并同类项的法则对各式进行运算，即可得出结果．【解析】解：（1）22242a a a a ¹＋＝，故（1）错误；（2）2356a a a a ×¹＝，故（2）错误；（3）22n n n n a a a a ×¹＝，故（3）错误；（4）()4488a a a a ---×¹＝，故（4）错误，综上所述，错误的个数为4个，故选：D ．【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法运算法则、合并同类项运算等知识，解题的关键是对相应的运算法则的掌握．2．2312mn æö-ç÷èø的计算结果是（ ）A ．64mn B ．264m n -C ．2314m n -D ．2614m n3．下列计算中，正确的是（ ）A ．()()2333x x x +-=-B ．()()2326x x x +-=-C ．()()2111x x x -+--=-D ．()()23131 31x x x -+=-【答案】C【分析】根据平方差公式和多项式乘多项式运算法则进行计算，然后逐项进行判断即可．【解析】解：A.()()223393x x x x +-=-¹-，故A 错误；B.()()223266x x x x x +-=+-¹-，故B 错误；C.()()2111x x x -+--=-，故C 正确；D.()()2231319131x x x x -+=-¹-，故D 错误．【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式、平方差公式，熟练掌握平方差公式()()22a b a b a b +-=-，是解题的关键．4．()2022202120.5´-=（ ）A ．-1B ．1C ．0.5D ．-0.5【答案】C【分析】逆用积的乘方公式和同底数幂的乘法公式计算即可．【解析】()2022202120.5´-()()2021202120.50.5=´-´-()()2021005.52.=´-éùëû´-()()202110.5=-´-()()051.=-´-0.5=故选：C【点睛】本题考查了同底数幂乘法与积的乘方，掌握同底数幂乘法与积的乘方的法则是解题的关键．5．若()()224x x m x nx -+++＝，则mn ＝（ ）A ．-4B ．4C ．-8D ．8【答案】D 【分析】已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出m 与n 的值，即可确定出所求式子的值．【解析】解：已知等式整理得：()()()2222222x x m x mx x m x m x m -++--=+--＝，可得2m n -＝，24m -＝，解得：m ＝−2，n ＝−4，则mn ＝8．故答案为：D ．【点睛】此题考查了多项式乘多项式，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．若()2214x b x +-+是完全平方式，则b 的值为（ ）A ．3或－1B ．－3或1C ．3±D ．±1【答案】A 【分析】根据完全平方公式直接配方求解即可．【解析】解：若()2214x b x +-+是完全平方式，则()()222142x b x x +-+=±，()()222244214x x x x b x ±=±+=+-+Q ，()214b \-=±，解得3b =或1b =-，故选：A ．【点睛】本题考查完全平方公式，熟练运用配方法是解决问题的关键．7．已知2()49a b +=，2225a b +=，则ab =（ ）A ．24B ．48C ．12D ．2【答案】C【分析】根据题中条件，结合完全平方公式，先计算出2ab 的值，然后再除以2即可求出答案．【解析】解：（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2，将a 2+b 2＝25，（a +b ）2＝49代入，可得2ab +25＝49，则2ab ＝24，∴ ab ＝12，故选：C ．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是根据题中条件，变换形式即可．8．图①是一个长为2m ，宽为2n （m ＞n ）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形，则中间空白部分的面积不能表示为（ ）A ．2()4m n mn+-B ．2()m n -C ．2(2)m n m n -+D ．222m mn n -+【答案】C 【分析】根据题意可得图2正方形的边长为(m +n )，4个小长方形的长为a ，宽为b ，空白部分的面积为大正方的面积减去4个小长方形的面积，计算即可得出的答案．【解析】解：根据题意可得，图2正方形的边长为(m +n )，空白部分的面积2222()42()m n mn m mn n m n =+-=-+=-．所以中间空白部分的面积可以表示的选项有：A ，B ，D ．故选：C ．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的几何背景计算方法进行求解是解决本题的关键．9．若x 满足()()202120220.25x x --=，则()22(2021)2022x x -+-=（ ）A ．0.25B ．0.5C ．1D ．0.25-【答案】B 【分析】将()2021x -与()2022x -看做整体，根据完全平方公式的变形即：()2222a b a b ab +=+-，进行简便运算即可．【解析】解：()()2220212022x x -+-()()()220212022220212022x x x x =-+----120.25=-´0.5=，故选：B ．【点睛】本题考查完全平方公式的变形，整体代入思想，能够熟练运用完全平方公式的变形是解决本题的关键．10．已知20192020a x =+，20192021b x =+，20192022c x =+，那么222a b c ab bc ca ++---的值等于（ ）A ．6B ．3C ．2D ．0二、填空题11．计算：44()()a a ---=____．【答案】8a -【分析】先利用同底数幂的乘法法则计算，再根据积的乘方运算法则计算即可．【解析】解：44(())a a ---8()a =--8a =-故答案为：8a -．【点睛】本题考查同底数幂的乘法，积的乘方．解答的关键是熟记同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加．12．计算2342x y -（） =______．【答案】81216x y 【分析】利用积的乘方进行计算即可．【解析】解：42434813422=2162x y y x y x ´´=-（），故答案为：81216x y ．【点睛】本题考查积的乘方运算，熟练掌握积的乘方的运算法则是解题的关键．13．已知2m ＝8n ＝4，则m ＝_____，2m +3n ＝_____．【答案】 2 16【分析】先求得m ，n 的值，再代入代数式计算即可．【解析】∵()33822n n n ==，242=，∴32222m n ==，∴32m n ==，∴322422216m n ++===，故答案为：2；16．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法和乘方，熟练掌握运算性质是解题的关键．14．计算：()322123xy x y æö-×-ç÷的结果是______．15．计算：12342﹣1235×1233＝________．【答案】1【分析】将1235×1233转化成（1234＋1）（1234−1），再利用平方差公式计算即可．【解析】解：12342−1235×1233＝12342−（1234＋1）（1234−1）＝12342−（12342−1）＝12342−12342＋1＝1故答案为：1．【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式并灵活运用，是解本题的关键．16．小王和小明分别计算同一道整式乘法题：()()34x m x n ++，小王由于抄错了一个多项式中m 的符号，得到的结果为212176x x -+，小红由于抄错了第二个多项式中的x 的系数，得到的结果为2656x x --，则这道题的正确结果是_________．【答案】2126x x --【分析】利用小王和小明的解法列出关于m ，n 的二元一次方程组，解方程组求出m ，n 的值，再将m ，n 的值代入原式计算即可．【解析】解：由小王的解法可知()()34x m x n -+=212176x x -+，即()212+34x n m x mn --=212176x x -+，可知34n m -=17-；由小红的结果可知小红将4抄成2，故()()32x m x n ++=2656x x --，即()2632x n m x mn +++=2656x x --，可知32n m +=5-；联立得3417325n m n m -=-ìí+=-î，解得23m n =ìí=-î，将23m n =ìí=-î代入()()34x m x n ++得()()3243x x +-=2126x x --．故答案为：2126x x --．【点睛】本题考查了多项式与多项式的乘法运算及解二元一次方程组，正确列出关于m ，n 的方程组是解答本题的关键．17．()()()()248121212121+++++的结果是______．【答案】162【分析】将原式变形为()()()()()24812121212121--+++++，再利用平方差公式逐步计算即可．【解析】解：()()()()248121212121+++++=()()()()()24812121212121--+++++=()()()()2248121212121--++++=()()()4481212121--+++=()()8812121--++=()16121--+=162故答案为：162．【点睛】本题考查了平方差公式的应用，解题的关键是发现算式的规律，灵活构造平方差公式的形式．18．（1）已知实数a 、b 、c 满足a b c ++=2225a b c ++=，6abc =，则333111a b c ++=______．（2）已知实数a 、b 、c 满足5a b c ++=，22211a b c ++=，4abc =，则333111a b c ++=______．三、解答题19．计算：(1)()()3225x x y ×-；(2)()24321xy x xy ×-+-．【答案】(1)540x y-(2)3221284x y x y xy-+-【分析】（1）先计算积的乘方，然后计算单项式乘以单项式即可；（2）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可．（1）解：原式()3285x x y =×-540x y =-；（2）解：原式3221284x y x y xy =-+-．【点睛】本题主要考查了积的乘方，单项式乘以单项式，单项式乘以多项式，熟知相关计算法则是解题的关键．20．算一算：(1)()()2228233m m m m ××－；(2)()()53253a b éù×êúëû；(3)()()453t t t -×-×-；(4)已知24m n a a ==，，求32m n a +的值；(5)已知2328162x ´´=，求x 的值．【答案】(1)102m (2)7530a b (3)12t (4)128(5)6【分析】）（1）运用同底数幂乘法公式和幂的乘方公式运算，再合并即可；（2）运用幂的乘方和积的乘方公式运算即可；（3）先确定符号，再用同底数幂乘法公式运算即可；（4）逆用同底数幂乘法公式和幂的乘方公式，再整体代入即可；（5）将等式两边转化成同底数幂，再让指数相等得到一个一元一次方程，解之即可．（1）解：原式1046101010332m m m m m m ×===－－；（2）原式()()()5551561567530a b a b a b =×=×=；（3）原式34512t t t t =××=；（4）∵24m n a a ==，，∴()()3232323224816128m n m n m n a a a a a +=×=×´=´==；（5）∵2328162x ´´=，即()34232222x ´´=，∴352322x +=，∴3523x +=，解得：6x =．【点睛】本题考查了同底数幂乘法公式，积的乘方公式，幂的乘方公式，灵活掌握这三个公式正逆用是解题的关键．21．先化简，再求值：2(2)(2)(2)x y x y x y +-+-，其中1x =-，12y =．22．运用整式乘法公式先化简，再求值．()()()()2312312121a b a b a a +-++-+-其中，a ＝－2，b ＝1．【答案】2129ab b +，-15【分析】先根据平方差公式去括号，再合并同类项，然后把a 、b 的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．【解析】解： ()()()()2312312121a b a b a a +-++-+-()()2223141a b a =+---2224129141a ab b a =++--+2129ab b =+，当a=-2，b ＝1时，原式()212219124915=´-´+´=-+=-．【点睛】本题考查了整式的混合运算一化简求值，解题的关键是掌握平方差公式并准确熟练地进行计算．23．已知13x x +=，求21(x x-和441x x +的值．24．已知化简()()2283x px x x q ++-+的结果中不含2x 项和3x 项．(1)求p ，q 的值；(2)若()()()()24x q x x p x a -+-++是一个完全平方式，求a 的值．【答案】(1)3,1p q ==(2)25【分析】（1）先将原式化简，再根据结果中不含2x 项和3x 项可得30,380p q p -=-+= ，即可求解；（2）先将原式化简，再根据原式是一个完全平方式，把化简后的结果中()2x x + 作为一个整体，再变形为完全平方形式，即可求解．(1)解：()()2283x px x x q ++-+432322338248x x qx px px pqx x x q -++--=+++()()()432338248x p x q p x pq x q +-+-++-+= ，∵化简()()2283x px x x q ++-+的结果中不含2x 项和3x 项，∴30,380p q p -=-+= ，解得：3,1p q ==；(2)解：()()()()24x q x x p x a-+-++()()()()1234x x x x a =-+-++()()()()1234x x x x a =-+-++éùéùëûëû()()22212x x x x a =+-+-+()()2221424x x x x a =+-+++∵()()()()24x q x x p x a -+-++是一个完全平方式，∴()()()()()22222222142471449x x x x a x x x x x x +-+++=+-=+-++，∴2449a += ，解得：25a = ．【点睛】本题主要考查了整式乘法运算中的无关项题，完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式，不含某一项就是化简后该项的系数等于0是解题的关键．25．在比较162和123的大小时，我们可以这样来处理：∵162=44(2)=416，123=()433=427，16＜27，∴416＜427，即162＜123．请比较以下两组数的大小：(1)1002与753；(2)55544434，与3335．【答案】(1)1007523<；(2)333555444534<<【分析】（1）直接利用已知将各数转化为次数相等的数进而比较得出即可；（2）逆用幂的乘方的运算性质将它们的指数变得相同，然后根据底数较大的其幂也较大（都是正数时），得出结果．（1）解：∵100425252(2)16==，75325253(3)27==，又∵16＜27，∴25251627<，即1007523<；（2）解：∵55551111113(3)243==，44441111114(4)256==，()111333311151255==，又∵125＜243＜256，∴111111111125243256<<，即333555444534<<．【点睛】本题主要考查了幂的大小比较的方法．一般说来，比较几个幂的大小，或者把它们的底数变得相同，或者把它们的指数变得相同，再分别比较它们的指数或底数．26．通过学习，我们知道可以用图1的面积运算来解释公式()2222a b a ab b +=++，用图2的面积运算来解释多项式与多项式相乘的法则：（a +b ）（p +q ）＝ap +aq +bp +bq ．(1)请写出如图3所示的图形面积运算表示的等式．(2)试画出一个几何图形，使它的面积运算能表示为()()22454a b a b a ab b ++=++．(3)已知a +b +c ＝11，ab +bc +ca ＝38，请你利用（1）中的结论，求222a b c ++的值．【答案】(1)()()222222a b c a b c a b c ab ac bc++++=+++++(2)见解析(3)45【分析】（1）由面积不同的表示方法，可得等式；（2）画一个长为a +b 、宽为a +4b 的矩形即可求解；（3）由（1）的结论可求解．（1）解：由题意得：()()222222a b c a b c a b c ab ac bc ++++=+++++；（2）解：如图所示，即为所求；（3）解：∵a +b +c =11，∴222222121a b c ab ac bc +++++=，∵ab +bc +ca =38，∴22245a b c ++=．【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式与图形面积，利用长方形面积的不同表示方法建立等式是解题的关键．27．正方形ABCD 中，点G 是边CD 上一点（不与点C ，D 重合），以CG 为边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，且B ，C ，E 三点在同一条直线上，设正方形ABCD 和正方形CEFG 的边长分别为a 和b （a b >）．(1)求图1中阴影部分的面积1S （用含a ，b 的代数式表示）；(2)当5a =，3b =时，求图1中阴影部分的面积1S 的值；(3)当5a =，3b =时，请直接写出图2中阴影部分的面积2S 的值．则四边形CEHD 为矩形，∴DH ＝CE ＝b ，HE ＝CD ＝∴HF ＝HE −EF ＝a −b ．∵2ABCD CEHD S S S -正方形矩形＝＋28．数学是研究现实世界的数量关系与空间形式的学科，同学们，我们就用数形结合思想来解决下面问题吧!(1)将图①甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你根据两个图形的面积关系得到的数学公式是_________．(2)将图②甲中阴影部分的一个小长方形变换到图乙位置，你根据两个图形的面积关系写出一个等式：()a b -（________）2a ab =+-_______．(3)图③甲是一个长为2a ，宽为()2b a b >的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图③乙那样拼成一个正方形，则图③乙中间空余的部分的面积是__________．(4)观察图③乙，请你写出三个代数式()2a b +，()2a b -，ab 之间的等量关系是________．(5)根据（4）中等量关系解决如下问题：若7m n +=-，5m n -=，求mn 的值．【答案】(1)()()22a b a b a b +-=-(2)2+a b ；22b (3)()2a b -，（()24a b ab +-也可）(4)()()224a b ab a b +-=-（移项变式后答案皆可）(5)6mn =【分析】（1）分别表示出两个图形的面积即可得出结果；（2）分别表示出图甲，图乙的面积即可；（3）中间部分的四边形是正方形，表示出边长，则面积可以求得；（4）根据阴影部分面积可得关于()2a b +，()2a b -，ab 的等式；（5）利用（4）中结论代入求解即可．（1）解：图甲：大矩形的面积可表示为：（a -b ）（a +b ）；图乙：大正方形的边长为a ，图形的面积可表示为：22a b -，所以根据两个图形的面积关系，可得出的公式是()()22a b a b a b +-=-，故答案为：()()22a b a b a b +-=-；（2）解：图甲的面积可表示为：（a -b ）（a +2b ），图乙的面积可表示为：222a ab b +-，所以根据两个图形的面积关系，可得出的公式是（a -b ）（a +2b ）=222a ab b +-，故答案为：a +2b ，22b ；（3）解：中间部分的四边形是正方形，边长是a +b -2b =a -b ，则面积是()2a b -．故答案为：()2a b -；（4）解：根据图形得出()()224a b ab a b +-=-（5）解：根据阴影部分面积可得：()()224a b a b ab +--=，∵7m n +=-，5m n -=，∴()()224mn m n m n =+--492524=-=，∴mn =6．【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，完全平方公式的几何背景，数形结合、表示出图形阴影部分面积是解题的关键．。
整式的乘法解题技巧
妙用幂的运算法则解题一、计算例1 计算（1）0.12516×（-8）17；（2）（-0.125）673×22026.分析：本题的两个小题指数较大，按常规方法计算很难，观察式子特点发现：0.125与8互为倒数，乘积为1．因此逆用积的乘方法则，简化计算．注意在逆用法则时，应先把不同的指数变成相同指数．解：（1）0.12516×（-8）17=0.12516×（-817）=-0.12516×817=-0.12516×816×8=-0.125×816×8=-116×8=-8.（2）6733673202367320232023201920194111(0.125)2()22()22822⎡⎤⎛⎫-⨯=-⨯=-⨯=-⨯⨯⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=201920192019411()2221616.22⎡⎤⎛⎫-⨯⨯=-⨯⨯=-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦二、求值例2 已知a p=2，a q＝3，a r＝4，a m＝12，求a4p+3q+r-2m的值.分析：条件中已经分别给出了a p、a q、a r、a m的值，要求a4p+3q+r-2m的值，看似复杂，其实只需逆用同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则及幂的乘方的法则，将a4p+3q+r-2m转化成a p、a q、a r、、a m的形式即可.解：因为a4p+3q+r-2m＝a4p×a3q×a r÷a2m＝（a p）4×（a q）3×a r÷（a m）2，又a p＝2，a q＝3，a r＝4，a m＝12，所以a4p+3q+r-2m＝24×33×4 ÷122＝12.多项式乘多项式的两个基本方法多项式的乘法不仅是本节的重点内容，也是前面所学知识的综合运用，多项式与多项式相乘时，如何做到不重、不漏，简便易行呢？下面给同学们介绍两种常用的方法.一、普遍乘：箭头法两个多项式相乘，可根据箭头指示并结合原式计算，即先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.例1 计算：（a-2b）（-a-3b）.=-a2-3ab+2ab+6b2=-a2-ab+6b2.评注：利用箭头法计算，要防止出现漏项，检查有无漏项的方法是：两个多项式相乘，在没有合并同类项之前，积的项数应是这两个多项式项数的积.多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号．在计算时，可根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负”直接来确定积中各项的符号.二、整体乘：整体法两个多项式相乘时，我们可以把其中的一个多项式看成一个“整体”，先按单项式与多项式相乘的法则来计算，然后再进一步求解.例2 计算：（2m-3）（m2+3m）.（2m-3）（m2+3m）=2m（m2+3m）-3（m2+3m）=2m3+6m2-3m2-9m=2m3+3m2-9m.评注：依据转化思想，多项式的乘法可转化为单项式与多项式相乘，进而再转化为单项式与单项式相乘.整式乘法求值小技巧有些关于整式乘法运算求值的问题，不宜直接计算，这就需要同学们抓住问题的特点，施以不同的方法和技巧来解决.本文介绍几种小技巧，作为开启同学们计算能力之门的钥匙.一、巧用特殊值例1 若（3+x）2（2-x）=a+bx+cx2+dx3，则a-b+c-d的值为＿＿＿＿＿.分析：a-b+c-d恰好是当x=-1时关于x的多项式a+bx+cx2+dx3的值，所以将x=-1分别代入原等式的两边即可.解：令x=-1，得（3-1）2[2-（-1）]=a-b+c-d，所以a-b+c-d=12.二、系数巧对应例2若（x-1）（x2+ax+3b）=x3+5x2+cx-15，求a，b，c的值.分析：（x-1）（x2+ax+3b）可化为x3+（a-1）x2+（3b-a）x-3b，所以比较对应项系数即可求出a，b，c的值.解：因为（x-1）（x2+ax+3b）=x3+（a-1）x2+（3b-a）x-3b，且（x-1）（x2+ac+3b）=x3+5x2+cx-15，所以比较对应项的系数，得a-1=5，-3b=-15，3b-a=c，解得a=6，b=5，c=9.三、大数巧换元例3 计算：20063-2005×2006×2007-2008.分析：仔细观察发现本题是由四个数“2005、2006、2007、2008”有规律排列的，我们只需选其中一个用字母表示，其余的可以用含此字母的代数式表示，这样就可以将“数”转化为“式”简化计算.解：设2006=a，那么原式＝a3-（a-1）·a·（a+1）-（a+2）＝a3-（a3-a）-a-2=-2.整式的除法一二三一、单项式除以单项式例1 计算：（1）b a c b a 232232÷-；（2）)2(23)2(433y x y x +÷+. 分析 （1）依据单项式除以单项式的法则：①确定商的系数；②相同字母分别按同底数幂相除；③只在被除式里含有的字母，连同它的指数一起作为商的一个因式． （2）把)2(y x +看做一个整体进行单项式除法.解：（1）b a c b a 232232÷-=c b c b b a a 232231)()()232(-=⋅÷⋅÷⋅÷-； （2）)2(23)2(433y x y x +÷+=23)2(21)]2()2[()2343(y x y x y x +=+÷+⋅÷=222221y xy x ++.评注：单项式除以单项式要注意到结果中的字母不多不漏，例如在第（1）题中，102222===÷-a a a a ，商式里就不能再含字母a ，同时被除式中的字母c 也不能漏掉.二、多项式除以单项式例2 计算： 22222335121)433221(y x y x y x y x ÷+-. 分析：按照多项式除以单项式法则，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．注意“多项式的每一项”应连同它前面的符号.解：22222335121)433221(y x y x y x y x ÷+-=22232235121)32(12121y x y x y x y x ÷-+÷222212143y x y x ÷+ =9863+-x y x .评注：多项式除以单项式，实际上是先转化为单项式除以单项式，但必须注意项的符号和漏项问题．三、整式的除法与整式的乘法互为逆运算例3 已知多项式2x 3+ax 2+x-3能被2x 2+1整除，商式为x-3，试求a 的值. 分析：根据整式的除法与整式的乘法互为逆运算，列式求解. 解：（2x 2+1）（x-3）=2x 3-6x 2+x-3. 根据题意可得2x 3-6x 2+x-3=2x 3+ax 2+x-3.由两个多项式相等，则对应项系数必相等，得a=-6.评注：整式除法中没有余式，则被除式=除式⨯商式；整式除法中有余式，则被除式=除式⨯商式+余式.整式的除法可用乘法检验，整式的乘法也可用除法检验.。
整式的乘法法则公式
整式的乘法法则公式在代数学中，整式的乘法法则公式是指用来计算两个整式相乘的规则和公式。
整式是由数、变量和运算符号（加减乘除）组成的代数表达式。
整式的乘法法则公式是代数学中非常重要的一部分，它能够帮助我们简化复杂的代数表达式，解决各种数学问题。
本文将介绍整式的乘法法则公式，并通过一些例子来说明如何应用这些公式进行计算。
首先，让我们来看一下整式的基本形式。
一个整式通常由若干个单项式相加或相减而成。
例如，3x^2 + 2xy - 5y^2就是一个整式，其中3x^2、2xy和-5y^2分别是三个单项式。
整式的乘法法则公式适用于任意两个整式的相乘，无论它们是单项式还是多项式。
整式的乘法法则公式可以总结为以下几条规则：1. 单项式乘单项式：两个单项式相乘时，只需要将它们的系数相乘，并将它们的字母部分相乘。
例如，3x乘以4y等于12xy。
2. 单项式乘多项式：一个单项式与一个多项式相乘时，只需要将单项式的系数依次与多项式的每一项相乘，并将它们的字母部分相乘。
然后将得到的各项再相加。
例如，2x乘以(3x^2 + 4y)等于6x^3 + 8xy。
3. 多项式乘多项式：两个多项式相乘时，需要将一个多项式的每一项依次与另一个多项式的每一项相乘，并将它们的结果相加。
这其实就是分配律的运用。
例如，(3x + 2y)乘以(4x - 5y)等于12x^2 - 15xy + 8xy - 10y^2，再将相同项合并得到12x^2 - 7xy- 10y^2。
整式的乘法法则公式可以帮助我们快速准确地计算整式的乘法。
通过这些规则，我们可以将复杂的整式相乘的问题简化为一系列简单的乘法运算。
下面我们通过一些例子来演示如何应用整式的乘法法则公式进行计算。
例1：计算(3x + 2)(4x - 5)。
根据整式的乘法法则公式，我们将第一个多项式的每一项依次与第二个多项式的每一项相乘，并将结果相加。
即(3x乘以4x) + (3x乘以-5) + (2乘以4x) + (2乘以-5)。
整式的乘除—乘法公式
整式的乘除—乘法公式【复习】(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3 (a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2=x 2y 2-(z +m )(z +m )=x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2)=x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z )=(x -y )2-z 2=(x -y )(x -y )-z 2=x 2-xy -xy +y 2-z 2=x 2-2xy +y 2-z 2⑦ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2)=x 4-y 4⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )]=2x (-2y +2z )=-4xy +4xz【典例分析】例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。
例3：计算19992-2000×1998例4：已知a+b=2，ab=1，求a 2+b 2和(a-b)2的值。
例5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。
求x 2-z 2的值。
整式的乘法与乘法公式考点归纳
人教版八年级上第十四章14.1整式的乘法、14.2乘法公式必背重点公式考点归纳黎平县地坪附中80（2）班、80（4）班 姓名14.1整式的乘法1、同底数幂的乘法：p n m p n ma a a a ++=∙∙ 例如：621323x x x x x ==∙∙++2、幂的乘方：()mnnm aa = 例如：()()[]24342342126262;x xxm mm ====⨯⨯⨯3、积的乘方：()m m mb a ab =例如：()()()242222223333422;y x y x y xc b a abc ===4、单项式⨯单项式（单单）：①有乘方先算乘方；②系数乘系数；③同底数幂相乘；④单独的字母连同它的指数作为积的一个因式。
例如：()()()255322432222232212343232z y x xy z y x xy zy x xy yz x =⨯=⨯-=⨯-5、单项式⨯多项式（单多）：()cx bx ax c b a x ++=++（类似乘法分配律）例如：6、多项式⨯多项式（多多）：bn bm an am n m b a +++=++))((例如：4)3(5)3(4252)45)(32(∙-+∙-+∙+∙=+-y x y x y x1215810)12()15(810--+=-+-++=y x xy y x xy7、同底数幂的除法：),(n m n m aa anm nm＞都是正整数，-=÷)0(10≠=a a 重点公式： 例如：()12020114.3;1)2019(;052727-=-=-=-==÷-；πx xx x8、单项式÷单项式：①有乘方先算乘方；②系数除系数；③同底数幂相除；④对于被除式里单独的字母连同它的指数作为商的一个因式。
（也可以变成分数的约分来理解）5)3(4)3(23)542)(3(2222⨯--⨯-+⨯-=-+-ab ab ab a ab ab a ab abb a b a ab b a b a 15126)15()12(6323323+--=---+-=例如：333364332343234686)()2(6)2(b a a b a a b a a b a -=÷-=÷-=÷-9多项式÷单项式：m c m b m a m c b a ÷+÷+÷=÷++)(（类似乘法分配律）例如：124333)6(3123)3612(22323+-=÷+÷-+÷=÷+-a a a a a a a a a a a a 14.2乘法公式10、平方差公式：22))((b a b a b a -=-+11、完全平方公式：①完全平方和公式：2222)(bab a b a ++=+②完全平方差公式：2222)(bab a b a +-=-12、整式的加减乘除混合运算：①有乘方先算乘方；②再算乘除；③最后算加减说明：整式的加减乘除混合运算必须要以以上11个公式为运算工具，所以必须掌握上面11个公式。
第一章整式乘法-乘法公式拓展提升(教案)
3.注重个体差异，针对不同水平的学生进行有针对性的辅导和指导；
4.定期对学生们进行评价，了解他们在整式乘法方面的掌握程度，以便调整教学策略。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对整式乘法的基础知识掌握得相对扎实，但在乘法公式的运用上还存在一些问题。尤其是在完全平方公式、平方差公式等拓展提升部分，学生们在理解上还有一定的难度。这让我意识到，在今后的教学中，需要更加注重乘法公式的推导过程和实际应用。
课堂上，我尽量用生动的语言和具体的例子来解释乘法公式的来源和运用，但显然，这部分内容对于一些学生来说仍然难以消化。我想，在下一节课中，可以尝试通过更多的互动和实际操作，让学生们亲自参与到公式的推导和应用中来，以提高他们的理解和记忆。
（3）各类乘法公式在实际问题中的综合运用。
举例：
-多项式乘法法则：要求学生掌握(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd的展开方法；
-完全平方公式：熟练运用a²±2ab+b²=(a±b)²解决实际问题；
-平方差公式：掌握a²-b²=(a+b)(a-b)，并能应用于求解相关问题；
-立方和与立方差公式：熟练运用a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)和a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)解决具体问题。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了整式乘法的基本概念、乘法公式的重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对乘法公式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决数学问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
《整式的乘法》整式的运算
反映了数学中对于形式运算的规律。
整式乘法的基本规则
01
02
03
单项式乘单项式
系数乘系数，同底数幂相 乘。
单项式乘多项式
单项式乘多项式的每一项 。
多项式乘多项式
多项式乘多项式转化为单 项式相乘。
02
整式乘法的运算技巧
单项式与单项式相乘
总结词
系数相乘，相同字母相加，不同字母不变
详细描述
将两个单项式的系数相乘，相同的字母相加，不同的字母保持不变。例如，$2a^2b \times 3ab = 6a^3b^2$。
流的基本规律。
经济学中的整式乘法
在经济学中，整式的乘法可以用来计算生产 成本、市场需求等经济指标。例如，计算生 产成本时，需要将原材料、劳动力等成本因 素相乘得到总成本。
在金融学中，整式的乘法可以用来计算投资 回报率、风险评估等指标。例如，在计算投 资回报率时，需要将投资收益与投资本金相
乘并减去投资风险溢价。
04
整式乘法的练习与巩固
整式乘法的例题解析
总结词
理解与掌握
详细描述
通过解析整式乘法的典型例题，帮助学生们 深入理解整式乘法的运算规则和技巧，从而 加深对整式乘法的理解和掌握。
整式乘法的练习题
要点一
总结词
实践与熟练
要点二
详细描述
通过大量的整式乘法练习题，让学生们反复练习，熟 练掌握整式乘法的运算规则和技巧，提高解题速度和 准确度。
《整式的乘法》整式的运算
2023-11-10
目 录
• 整式乘法的基本概念 • 整式乘法的运算技巧 • 整式乘法的实际应用 • 整式乘法的练习与巩固 • 总结与反思
01
整式乘法的基本概念
《整式的乘法》整式的乘除
汇报人： 2023-11-28
contents
目录
• 整式乘除法的定义与规则 • 整式乘法的运算方法 • 整式除法的运算方法 • 整式乘除法的实际应用 • 整式乘除法在数学中的重要性 • 整式乘法的技巧和注意事项
01
整式乘除法的定义与规则
整式的乘法定义
整式乘法的定义
整式乘法是将几个整式相乘，所得的 积叫做整式的乘积。
整式乘法的运算顺序
在进行整式乘法时，应先进行单项式 的乘法运算，再合并同类项。
整式的乘法规则
同底数幂相乘
同底数幂相乘，底数不变，指 数相加。
幂的乘方
幂的乘方，底数不变，指数相 乘。
积的乘方
积的乘方，等于把积的每一个 因式分别乘方，再把所得的幂 相乘。
单项式与多项式相乘
单项式与多项式相乘，就是根 据分配律用单项式去乘多项式 的每一项，再把所得的积相加
单项式与多项式的乘法运算
要点一
总结词
要点二
详细描述
逐项处理，将单项式与多项式的每一项分别相乘，再合并 同类项。
单项式与多项式的乘法运算，需要把单项式与多项式的每 一项分别相乘，并且把所得的积相加。具体地，对于多项 式的每一项，将其系数和字母部分分别与单项式的系数和 字母部分相乘，然后合并同类项得到结果多项式的每一项 。特别地，当多项式中有一项与单项式完全相同时，则结 果多项式中该项的系数为单项式的系数乘以多项式中该项 的系数。
03
整式除法的运算方法
单项式与单项式的除法运算
总结词
简单、易于操作
详细描述
单项式与单项式的除法运算相对简单，只需将被除数除以除数，得到商即可。例 如，$10/3 = 3.33\ldots$。
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(3)5012＋4992; (4)19992－1992×2008.
类型三 利用乘法公式的变形公式进行化简求值 18．如果x＋y＝－5，x2＋y2＝13，则xy的值是( ) A．1 B．17 C．6 D．25 19．若a＋b＝－4，ab＝，则a2＋b2＝________． 20．(永州模拟)已知a＝2005x＋2004，b＝2005x＋2005，c＝2005x＋2006，则多项式a2 ＋b2＋c2－ab－bc－ac的值为________． 21．已知(x＋y)2＝5，(x－y)2＝3，求3xy－1的值．
类型二 利用乘法公式进行简便运算 15．计算2672－266×268得( ) A．2008 B．1 C．2006 D．－1 16．已知a＝7202，b＝719×721，则( ) A．a＝b B．a>b C．a<b D．a≤b 17．计算： (1)99.8×100.2; (2)1022；
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四、利用整体思想求值 13．若x＋y＝m，xy＝－3，则化简(x－3)(y－3)的结果是( ) A．12 B．3m＋6 C．－3m－12 D．－3m＋6 14．先化简，再求值： (1)(菏泽中考)已知4x＝3y，求代数式(x－2y)2－(x－y)(x＋y)－2y2的值；
(2)已知2a2＋3a－6＝0，求代数式3a(2a＋1)－(2a＋1)(2a－1)的值．
解题技巧专题：整式乘法及乘法公式中公式的巧用
类型一 利用公式求值 一、逆用幂的相关公式求值 1．已知5x＝3，5y＝4，则5x＋y的结果为【方法7①】( ) A．7 B．12 C．13 D．14 2．如果(9n)2＝312，则n的值是( ) A．4 B．3 C．2 D．1 3．若x2n＝3，则x6n＝________． 4．(湘潭期末)已知ax＝3，ay＝2，求ax＋2y的值．
5．计算：－82015×(－0.125)2016＋0.253×26.【方法7③】
二、多项式乘法中求字母系数的值 6．如果(x＋m)(x－3)中不含x的项，则m 的值是( ) A．2 B．－2 C．3 D．－3 7．(邵阳县期中)若(x－5)(2x－n)＝2x2＋mx－15，则m，n的值分别是 ( ) A．m＝－7，n＝3 B．m＝7，n＝－3 C．m＝7，n＝3 D．m＝－7，n＝－3 8．已知6x2－7xy－3y2＋14x＋y＋a＝(2x－3y＋b)(3x＋y＋c)，试确定a，b，c的值．
类型四 整式乘法中的拼图问题 22．根据图中数据，计算大长方形的面积，通过不同的计算方法，你发现的结论是( )
A．(a＋b)(a＋2b)＝a2＋3ab＋2b2 B．(3a＋b)(a＋b)＝3a2＋4ab＋b2 C．(2a＋b)(a＋b)＝2a2＋3ab＋b2 D．(3a＋2b)(a＋b)＝3a2＋5ab＋2b2 23．如图，边长为(m＋2)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后余下部分又剪 开拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，若拼成的长方形一边长为2，其面积是( )
参考答案与解析
1．B 2．B 解析：∵(9n)2＝[(32)n]2＝34n，∴34n＝312，∴4n＝12，∴n＝3.故选B. 3．27 4．解：∵ax＝3，ay＝2，∴ax＋2y＝ax· a2y＝3×22＝12.
4
5．解：原式＝－82015×(－0.125)2015×(－0.125)＋(0.25)3×23×23＝－[8×(－ 0.125)]2015×(－0.125)＋(0.25×2×2)3＝1×(－0.125)＋1＝0.875.
三、逆用乘法公式求值
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9．若x＝1，y＝，则x2＋4xy＋4y2的值是( ) A．2 B．4 C. D. 10．已知a＋b＝3，则a2－b2＋6b的值ห้องสมุดไป่ตู้( ) A．6 B．9 C．12 D．15 11．(衡阳中考)已知a＋b＝3，a－b＝－1，则a2－b2的值为9.【方法9①】 12．已知x＋y＝3，x2－y2＝21，求x3＋12y3的值．
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A．2m＋4 B．4m＋4 C．m＋4 D．2m＋2 24．★如图①是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方 形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
(1)你认为图②中阴影部分的正方形的边长是多少？ (2)请你用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积； (3)观察图②，你能写出下列三个代数式(m＋n)2，(m－n)2，mn之间的等量关系吗？ (4)根据(3)中的结论，解决下列问题：若a＋b＝9，a－b＝7，求ab的值．