【北师大版】七年级数学下册《活用乘法公式进行计算的六种技巧》专题试题(附答案)

北师大版七年级数学下册专题训练系列（附解析）

专训1活用乘法公式进行计算的六种技巧名师点金：

乘法公式是指平方差公式和完全平方公式，公式可以正用，也可以逆用．在使用公式时，要注意以下几点：(1)公式中的字母a，b可以是任意一个式子；(2)公式可以连续使用；(3)要掌握好公式中各项的关系及整个公式的结构特点；

(4)在运用公式时要学会运用

一些变形技巧．

巧用乘法公式的变形求式子的值

1．已知(a＋b)2＝7，(a－b)2＝4.求a2＋b2和ab的值．

2．已知x＋1

x＝3，求x

4＋

1

x4的值．

巧用乘法公式进行简便运算

3．计算：

(1)1982；(2)2 0042；

(3)2 0172－2 016×2 018；

(4)1002－992＋982－972＋…＋42－32＋22－12.

巧用乘法公式解决整除问题

4．试说明：(n＋7)2－(n－5)2(n为正整数)能被24整除．

应用乘法公式巧定个位数字

5．试求(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(232＋1)＋1的个位数字．

巧用乘法公式解决复杂问题(换元法)

6．计算20 182 0172

20 182 0162＋20 182 0182－2

的值．

巧用乘法公式解决实际问题(分类讨论思想)

7．王老师在一次团体操队列队形设计中，先让全体队员排成一方阵(行与列的人数一样多的队形，且总人数不少于

25人)，人数正好够用，然后再进行各种队形变化，其中一个队形需分为5人一组，手执彩带变换队形，在讨论分组方案时，有人说现在的队员人数按5人一组分将多出3人，你说这可能吗？

答案

1．解：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝7，

(a－b)2＝a2－2ab＋b2＝4，

所以a2＋b2＝1

2×(7＋4)＝

1

2×11＝

11

2，

ab＝1

4×(7－4)＝

1

4×3＝

3

4.

2．解：因为x＋1

x＝3，所以⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

x＋

1

x

2

＝x2＋

1

x2＋2＝9.

所以x2＋1

x2＝7.所以⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

x2＋

1

x2

2

＝x4＋

1

x4＋2＝49.

所以x4＋1

x4＝47.

3．解：(1)原式＝(200－2)2＝2002－800＋4＝39 204.

(2)原式＝(2 000＋4)2＝2 0002＋16 000＋16＝4 016 016.

(3)原式＝2 0172－(2 017－1)×(2 017＋1)

＝2 0172－(2 0172－12)

＝2 0172－2 0172＋1

＝1.

(4)原式＝()

1002－992＋(982－972)＋…＋(22－12) ＝(100＋99)×(100－99)＋(98＋97)×(98－97)＋…＋(2＋1)×(2－1)

＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1

＝100×（100＋1）

2

＝5 050.

4．解：(n＋7)2－(n－5)2

＝(n＋7＋n－5)·(n＋7－n＋5)

＝(2n＋2)·12

＝24(n＋1)．

因为n为正整数，所以n＋1为正整数．所以(n＋7)2－(n－5)2能被24整除．5．解：(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(232＋1)＋1 ＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(232＋1)＋1

＝(22－1)(22＋1)(24＋1)…(232＋1)＋1 ＝…

＝(264－1)＋1＝264＝(24)16＝1616.

因此个位数字是6.

6．解：设20 182 017＝m，则原式

＝

m2

（m－1）2＋（m＋1）2－2

＝

m2

（m2－2m＋1）＋（m2＋2m＋1）－2

＝m2 2m2

＝1 2.

7．解：人数可能为(5n)2人，(5n＋1)2人，(5n＋2)2人，(5n＋3)2人，(5n＋4)2人(n为正整数)．

(5n)2＝5×5n2；

(5n＋1)2＝25n2＋10n＋1＝5(5n2＋2n)＋1；

(5n＋2)2＝25n2＋20n＋4＝5(5n2＋4n)＋4；

(5n＋3)2＝25n2＋30n＋9＝5(5n2＋6n＋1)＋4；

(5n＋4)2＝25n2＋40n＋16＝5(5n2＋8n＋3)＋1.

由此可见，无论哪一种情况，总人数按每组5人分，要么不多出人数，要么多出的人数是1人或4人，不可能是3人．