第三章 刚体力学基础

0 t dt
对角速度不随时间变化的转动叫匀速转动
常量 ＝t 0
（2） 已知角速度的初始条件和角加速度，可得任意时 刻的角速度
0 t dt
t 0
角加速度不随时间变化的转动叫作匀变速转动
常量 0 t
t 0, 0
1 2 0 t t 2
比较－质点匀变速直线运动和刚体绕定轴的匀变速转动
（线量关系与角量关系） 质点的匀变速直线运动 刚体绕定轴的匀变速转动
v v0 at
1 2 x x0 v0t at 2
2 v 2 v0 2a( x x0 )
0 t
1 2 0 0 t t 2
0 ；反之， 0。
角加速度β：
t t t , (t ) (t t )
( t t ) ( t )
d d 2 ( t ) lim 2 t 0 t dt dt 即：瞬时角加速度等于角速度对时间的导数。

加速转动 方向一致 减速转动 方向相反
v r 2 an r
a r


r
v
例题 一转速为每分钟150转、半径为0.2米的飞轮， 因受到制动而均匀减速，经过30秒停止转动。试求： （1）β和在此时间内飞轮所转的圈数 （2）t=6秒时飞轮的ω （3） t=6秒时飞轮边缘上任一点的线速度、切向加 速度和法向加速度 分析： 由 每分钟150转 可知
θ角的正负规定：定轴转动刚体转动的方向和z 轴成右手螺旋时，θ角为正，否则θ角为负。
4、定轴转动刚体运动的描述
②描述刚体整体运动的物理量——角量，包括：角位
移，角速度，角加速度。 角位移
①运动学方程： (t )， 即：角坐标随时间的变化规律。
：定轴转动刚体在 t 时间内角坐标的增量 。
2 2 0 2 ( 0 )
③线量：描述定轴转动刚体上任一质元运动的物理量： 线位移，线速度，线加速度。 如图示：A质元的线速度不同于B质
元的线速度，以刚体上质元A为例：
线位移：
s rA
ds d v A rA rA dt dt
3-1 刚体的基本运动
刚体：任何情况下物体的大小和形状都不发生变化，
即 任意两点间的相对位置保持不变的质点系（物体）
一、刚体的基本运动 ：平动和定轴转动
1, 平动： (可以归结为质点运动的问题) 刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持平行。
A B A B
A B
特点：
①刚体上任意两点的连线在平动中是平行且相等的！ ②刚体上任意质元的位置矢量不同，相差一恒矢量，但
J mi ri
2
M J
质量为线分布
质量为面分布
i
外力矩一定时，J越大，则β越小即 刚体转动的运动状态越难改变
dm dl
其中、、分别
为质量的线密度、 面密度和体密度。
dm ds
dm dV
质量为体分布
线分布
面分布
体分布
注 意
只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布 的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量
将切向分量式两边同乘 ri 变换得 ，
转动平面
O
r
d

mi Fin
Fi
Fi ri f i ri mi ai ri mi ri 2
对等式左边求和得到外力矩

i
Fi ri f i ri ( mi ri 2 )
i i
合外力矩M
内力矩＝0
转动惯量J
刚体绕定轴转动时，刚体对定轴的转动惯量与角 加速度的乘积，等于作用在刚体上所有外力对该轴 的合力矩。 刚体定轴转动的转动定律
刚体的形状
转轴的位置
单个质点的转动惯量 质点系的转动惯量 质量连续分布的刚体 的转动惯量
J (mi ri )
2 i 1
n
J r dm
2 m
国际单位制中转动惯量的单位为千克· 2（kg· 2） 米 m
转动惯量的定义及物理意义 刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质点的质量 与该质点到转轴的距离平方的乘积之总和。
2、特点
①刚体中始终保持不动的直线就是转轴。 ②刚体上轴以外的质元绕轴转动，转动平面与轴垂直 且为圆周，圆心在轴上。 ③和转轴相平行的线上各质元的运动情况完全一样。
3、刚体的角坐标θ
如图示：建立O-xyz系，z轴与
转轴重合，O点任意选取，截取
刚体一个剖面o-xy平面，此位置 只要确定，刚体的位置就确定了，除O点外，再选一个 A点，此图形的位置可由矢量来确定，而 矢量的大小是 不变的，方向只需由矢量与x轴的夹角θ来确定，此θ角称为：绕 定轴转动刚体的角坐标。
i
内力的合力 m
Z
在的转动平面内 得到：
Mz
fi
Fi


Fi f i mi ai
转动平面
O
r
d

mi Fin
Fi
将力分解为作用在质量元△m上 的切向力和法向力
Z
Mz
fi
Fi


Fi f i mi ai mi ri Fin f in mi ain
四 平行轴定理 在上个例题中
J A mL / 3
2
J C mL / 12
2
其中JC表示相对通过质心的轴的转动惯量， JA表示
相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距
L/2。可见：
1 1 2 1 2 L 2 J A＝J C＋m mL mL mL 4 3 2 12
Z
解：取半径为r宽为dr的薄圆环,
dm dV
2
2rdr l
3
O
R
dJ r dm 2lr dr
1 4 J dJ 2lr dr R l 0 2 m 1 2 J mR 2 R l 2
R 3
可见，转动惯量与l无关。所以，实心圆柱对其轴的 转动惯量也是mR2/2。
各质元的速度和加速度却相同。
rj ri rij 根据刚体平动特点 r 为恒矢量 ij
drj
rj
O
2 2 dri d rj d ri v j vi , 2 a j ai 2 dt dt dt dt
ri
rij
刚体内任何一点的运动就可代表整个刚体的运动
例3、求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴 的转动惯量。 解：取如图坐标，dm=dx (质量为线分布)
A
dx
L
B
X
J A r dm
2
o
A
L/2 C
x dx mL / 3
2 2 0
L
dx
L/2
B
X
J2 / 12
L 2 L 2
线速度：
线加速度： 2 dv A d v ˆ aA rA n dt dt rA
v rA rA n rA n rA a A rA 即：
2
2 A
a An
v 2 rA rA
2 A
已知角量就可求出刚体上任意一点作圆周运动的线速 度、切向加速度和法向加速度。 角量充分地描述了刚 体绕定轴的转动状态
an r 0.2 (4 ) 3.2 (m / s )
2 2 2 2
a r 0.2 (

6
) 0.102(m / s )
3-2 刚体绕定轴的转动定律 转动惯量
一 力对转轴的力矩
(1)
Z
Mz
(2)
Z
O r F d P
F F O r P
F
转动平面
转动平面
任意方向的力 对转轴的力矩
Mz r F M rF sin Fd
Ｍ的方向由右手螺旋定则来确定，若先选定了转轴的
正方向，则M与转轴方向一致时取正值，反之为负值
注意：
F应该理解为外力在转动平面内的分力
如果有几个外力矩作用在刚体上，则合力矩等于 各个力矩的代数和
2、刚体绕固定轴的转动（较简单） 定轴转动：各质点均作圆
转轴
周运动，其圆心都在一条固 定不动的直线（转轴）上。
A


A
既平动又转动：质心
的平动加绕质心的转动 转 速
1、定义 若刚体运动时，所有质元都在与某一直线垂直 的诸平面上作圆周运动且圆心在该直线上，则称刚
体绕固定轴转动，该直线称作转轴。
例1、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯量。 轴与圆环平面垂直并通过圆心。
解:
J r dm
2
Z
2 2
R dm R dm mR
2
O
R dm
J是可加的，所以若为薄圆筒 （不计厚度）结果相同。
例2、求质量为m、半径为R、厚为l 的均匀圆盘的转 动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。
M i ri Fi
i i
力是引起质点运动状态变化的原因，而力矩是引起 转动物体运动状态变化的原因
二
刚体绕定轴的转动定律
刚体转动定律可由牛顿第二定律直接导出
Fi f i mi ai
外力的合力 质点i的加速度
假设 Fi 和 f i 都是位于质点i所
J mi ri
i
2
写成矢量形式 M＝J
与 F ma地位相当
M J d M J J dt