鲁棒优化模型

（一）供应链运行的总成本函数
假设供应链运行的基本原则是总成本最小化：
min min ijk ijk ij ij ik ik ij ij
i j k i j i k i j jk j j k k ik ik j k j k i k Y w x wms xms wmc xmc s y fz fms zms fmc zmc p u ⎛
=++ + ⎝⎫
++++⎪
⎭
∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑（1）
其中，i 表示产品种类，j 表示供应厂商，k 表示消费者；ijk w 表示供应商j 供应给消费者k 的每单位产品i 的生产可变成本；ij wms 表示供应商j 在电子商务平台下每单位产品i 的可变成本；ik wmc 表示电子商务平台将每单位产品i 提供给消费者k 的可变成本；ij s 表示供应商j 生产产品i 的准备成本；ij s 表示供应商j 生产产品i 的固定成本；jk fz 表示供应商
j 为消费者k 生产产品的固定成本；j fms 表示供应商为电子商务平台提供产品的固定成本；k fmc 表示电子商务平台将产品提供给消费者k 的固定成本。

从式（1）可以看出，最优化的目标是使得供应链整体的运行成本最小。

其中，决策参数为：（1）供应商直接零售给消费者的产品数量ijk x ；（2）供应商通过电子商务平台批发的产品数量ij xms ；（3）电子商务平台零售给消费者的产品数量ik xmc ；（4）消费者未满足的产品需求ik u ；（5）生产虚拟变量ij y ：当供应商生产产品时，虚拟变量1ij y =，否则等于0；（6）直销虚拟变量jk z ：如果存在供应商直接向消费者零售产品，虚拟变量1jk z =，否则等于0；（7）供应链批发产品给电子商务平台的虚拟变量j zms ：如果存在供应商向电子商务平台批发产品，虚拟变量1j zms =，否则等于0；（8）电子商务平台零售产品的虚拟变量
k zmc ：如果存在电子商务平台向消费者零售产品，虚拟变量1k zmc =，否则等于0。

（三）约束条件束
此时，电子商务平台下供应链运行成本最小化的约束条件束包括： 1、产品供给约束
i j k
i j i j k
x
x m s y Q +≤∑ （2）
对于产品供给约束而言，是指供应商j 供给的产品i 不会超过可利用资源的总容量，其中ij Q 表示供应商j 供给的产品i 的容量。

2、生产能力约束
生产能力约束是指供应商j 供给的产品i 会受到生产能力的限制，表示为：
j ijk
ij ij ij ij j i
k
i
c x
c xms y Q T +-≤∑∑∑ （3）
其中，j T 表示供应商j 的生产能力上限。

3、费用约束
如果产品销售产生，此时的生产费用可以表示为式（4）、（5）和（6）：
0ijk ij ik x z d -≤ （4）
ij j ik k
xms zms d ≤∑ （5）
ik k ik k
xmc zmc d ≤∑ （6）
4、产品数量约束
对于产品数量而言，在销售过程中期数量是不变的：
ijk
ik ik ik j
x
xmc u d ++=∑ （7）
ij
ik
j
k
xms xmc
=∑∑ （8）
5、市场需求容量约束
电子商务平台下，其市场存在一个需求容量上限：
ij
i
j
xms
EMC ≤∑∑ （9）
其中，EMC 表示电子商务平台下的市场需求容量上限。

6、决策变量取值约束
0,0,0ijk ij ik x xms xmc ≥≥≥ （10）
三、基于鲁棒优化模型的仿真计算与分析 对于上文所述的这一由供应厂商、电子商务平台和消费者组成的供应链系统。

供应商可以通过直销和电子商务市场批发这两种销售模式来满足消费者的产品消费需求。

（一）仿真算法步骤 在电子商务环境下，消费者的需求是不确定的，这需要供应商根据市场调查情况和历史
数据进行估计。

通常来讲，大致可以确定市场的需求区间，定义为min max
,ik ik ik d d d ⎡⎤∈⎣⎦。

其中，min ik
d 和max
ik d 分别表示需求区间的下限和上限。

令需求情形集合为S ，其中的情形定义为0s
ik d ≥，最优决策定义为()max arg ,,,,,,ijk ij ik ij jk j k D x xms xmc y z zms zmc ≡，最优决策对应
的成本为max C 。

此时，电子商务环境下需求不确定情形下的供应链绝对鲁棒模型可以描述为最小最大供应链运行成本，即：
0,0,0ijk ij ik x xms xmc ≥≥≥ （10）
此时，电子商务环境下需求不确定情形下的供应链绝对鲁棒模型可以描述为最小最大供应链运行成本，即：
max arg min max ..(2)(10)
s S
D
D C
s t ∈= - （11）
根据Gang （1997）对鲁棒优化模型的定义，我们设计出了电子商务环境下需求不确定
情形下供应链管理模型的具体算法：
第一步，计算出最大成供应链运行成本max s S
C ∈，得到相应的需求情形0s ；
第二步，对于给定的0s ，计算出min D
C ，得到相应的k
D 和min
k C ；
第三步，对于给定的i D ，计算出max s S
C ∈，得到相应的需求情形k s ；
第四步，对于给定的k s ，计算出min D
C ，得到1k
D +和min 1k C +；
第五步，如果min min
1k k
C C ε+-≤成立，则运算停止，输出鲁棒值；如果min min
1k k
C C ε+-≤不成立，则设置1k k =+，返回第三步进行运算。

（二）仿真情形设定与参数赋值
以上鲁棒优化模型的结果需要通过仿真模拟进行验证分析。

我们假设电子商务环境下的供应链包括5个供应商、8个顾客和3种产品。

其中，产品用1、2和3来表示，5个供应商生产的产品种类分别为{}{}{}{}1,2,2,3,1,2,3,1,3和{}3；而8个消费者的产品需求种类则分别表示为[][][][][][][]1,3,1,3,1,2,3,1,2,1,2,3,1,1,2和[]2,3。

在进行仿真时，需要对外生参数进行赋值。

具体来讲，包括以下几个方面：
表1 单位可变成本w 供应商/消费者 1 2 3 4 5 6 7 8 1 40 40 35 40 4 40 45 48 2 35 35 30 50 10 35 40 38 3 35 35 30 3 40 35 40 50 4 10 8 15 40 45 10 2 8 5 2 5 10 35 40 2 10 8 1 20 20 18 20 2 20 23 24 2 18 18 15 25 5 18 20 19 3 18 18 15 2 20 18 20 25 4 5 4 8 20 24 5 1 4 5 1 3 5 18 20 1 5 4 1 10 10 9 10 1 10 12 12 2 9 9 8 13 3 9 10 10 3 9 9 8 1 10 9 10 13 4 3 2 4 10 12 3 1 2 5
1
2
3
9
10
1
3
2
表2 单位可变成本wms
产品/供应商 1 2 3 4 5
1 4
2
3
4 2
2 2 1 1.5 2 1
3 1 0.5 0.8 1 0.5
表3单位可变成本wmc
产品/消费者 1 2 3 4 5 6 7 8
1 16 8 1
2 16 8 14 20 22
2 8 4 6 8 4 7 10 11
3 4 2 3 4 2 3.5 5 5.5
表4 准备成本s
产品/供应商 1 2 3 4 5
1 50 150 100 55 95
2 60 240 80 160 120
3 40 180 150 180 150
表5 固定成本f
供应商/消费者 1 2 3 4 5 6 7 8
1 100 120 35 145 56 69 45 120
2 79 150 2
3 65 145 123 36 67
3 169 100 98 209 132 250 120 168
4 239 234 123 300 19
5 230 165 234
5 68 45 60 55 89 110 85 67
表6 固定成本fms
供应商 1 2 3 4 5
100 100 100 100 100
表7 固定成本fmc
消费者 1 2 3 4 5 6 7 8
50 50 50 50 50 50 50 50
表8 供应商产品能力
产品/供应商 1 2 3 4 5
1 1500 0 900 500 0
2 1600 1256 1300 0 0
3 0 900 800 600 1500
表9 供应商生产能力上限T
供应商 1 2 3 4 5
5000 5000 9500 8500 10000
表10 资源消费c
产品/供应商 1 2 3 4 5
1 5 4 8 3 4
2 4
3 6 6 3
3 8 6 7 5 6
表11 市场需求d
产品/消费者 1 2 3 4 5 6 7 8
1 100 75 350 600 90 50 100 0
2 0 0 100 2300 120 0 156 1000
3 500 100 90 0 35 0 0 750
表12 惩罚成本p
产品/消费者 1 2 3 4 5 6 7 8
1 50 10 10 10 10 20 20 30
2 30 50 10 5 5 50 40 34
3 5 26 50 10 20 10 39 25
表13 消费者需求区间
产品/消费者 1 2 3 4 5 6 7 8
1 需求下限75 50 250 500 50 25 75 0 需求上限120 85 400 750 100 80 120 0
2 需求下限0 0 60 2000 75 0 125 850 需求上限0 0 100 2500 125 0 150 1000
3
需求下限300 75 50 0 20 0 0 550
需求上限500 100 100 0 35 0 0 750 （三）仿真结果及分析
计算结果表明，需求最差情形下，供应链系统的最大总成本
max
C的值为204561.3；而
在鲁棒优化模型下，系统总成本不会大于
min
C=41278.4单位，明显低于需求最差情形对应的最高成本。

在需求不确定情形下，优化计算得到的鲁棒数值解为：
1、供应商的直销产品数量
供应商j直接销售给消费者k的产品i的数量为：
15100
x=，
134600
x=，
141120
x=，
14660
x=
147100
x=，
215150
x=，
234820
x=，
351500
x=，
352120
x=，
353750
x=。

2、电子商品平台的产品销售数量
电子商务平台销售给消费者k的产品i的数量为：
2396
xmc=，
27167
xmc=，
281023
xmc=；
3398
xmc=和
35100
xmc=。

3、供应商批发给电子商务平台的产品数量
供应商j批发给电子商务平台的产品i的数量为：
221250
xms=，
35125
xms=。

4、为满足的消费者需求
消费者k未满足的产品i的消费需求数量为：
1275
u=，
13400
u=，
238
u=和
241526
u=。