曲线与方程
§2.1 曲线与方程
建系--设点----限制条件--代入坐标--化简证明
以上步骤用一句话概括就是:建设现(限)代化. ．．． ． ．． ． ．
典型例题
例4.已知线段AB, B点的坐标（6,0），A点在曲线 y=x2+3上运动，求AB的中点M的轨迹方程. y 解；设AB的中点M的坐标为（x，y）， y=x2+3 又设A（x1，y1），则
典型例题
例 1 已知一条直线 l 和它上方的一个点 F,点 F 到 l 的距离是 2.一条曲线也在 l 的上方,它上面的每一 点到 F 的距离减去到 l 的距离的差都是 2,建立适 当的坐标系,求这条曲线的方程.y源自.M( x, y )
B
(0 F., 2 )
0
l
x
练习
1.已知点 M 与 x 轴的距离和点 M 与点 F(0,4)的距 离相等,求点 M 的轨迹方程. 解:设点 M 的坐标为(x,y) 建立坐标系 ∵点 M 与 x 轴的距离为 y , 设点的坐标
10 8
x +6 x = 1 2 y = y1 2
x1 = 2x - 6 ∴ y1 = 2y
6
A
4
点A（x1，y1）在曲线y=x2+3上，则 y1=x1
2+3
2
M
代入，得 2y=（2x-6）2+3
整 理 ,得 AB的 中 点 的 轨 迹 方 程 为 y = 2 x - 3 +
√ √ 2.写出适合条件 P 的几何点集: √ 3.用坐标表示条件 ,列出方程 √ 4.化简方程 为最简形式; √ 5.证明(查漏除杂).
P (M ) f ( x, y ) 0
P M P ( M )
; ;
常用曲线和曲面的方程及其性质
常用曲线和曲面的方程及其性质曲线和曲面在三维空间中是常见的数学对象。
它们的方程可以通过几何性质描述它们的性质。
本文将介绍一些常用的曲线和曲面方程及其性质。
一、曲线方程1. 直线方程直线是一种最基本的曲线，它的方程可以写成一般式和斜截式两种形式。
一般式：$Ax+By+C=0$；斜截式：$y=kx+b$，其中$k$是直线的斜率，$b$是截距。
直线的斜率表示的是直线倾斜的程度，斜率越大表示直线越陡峭。
斜率等于零表示直线水平，而无限大则表示直线垂直于$x$轴。
2. 圆的方程圆是一种具有球面对称性质的曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。
标准式：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中$(a,b)$为圆心坐标，$r$为半径长度。
一般式：$x^2+y^2+Ax+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。
圆的标准式方程可以通过圆心和半径来描述圆的几何性质；而一般式方程则可以通过求圆的中心和半径来转化为标准式方程。
3. 椭圆的方程椭圆是一种内离于两个焦点的平面曲线，它的方程可以写成一般式和标准式两种形式。
标准式：$\frac{(x-a)^2}{a^2}+\frac{(y-b)^2}{b^2}=1$，其中$(a,b)$为椭圆中心坐标，$a$是横轴半径，$b$是纵轴半径。
一般式：$Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0$，其中$A,B,C,D,E$是常数。
椭圆的标准式方程中的$a$和$b$决定了椭圆的形状和大小。
当$a=b$时，椭圆变成了圆。
4. 抛物线的方程抛物线是一种开口朝上或朝下的U形曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。
标准式：$y=ax^2$，其中$a$是抛物线的参数。
一般式：$Ax^2+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。
抛物线的标准式方程中的参数$a$可以决定抛物线的开口方向，当$a>0$时开口向上，$a<0$时则开口向下。
5. 双曲线的方程双曲线是一种形状类似于抛物线的曲线，但它却有两个分支。
曲线与方程的关系
曲线与方程的关系
曲线与方程之间存在着密切的联系，它们不仅相互依存，而且彼
此又具有重要的数学意义。
首先，曲线是由一个函数表示的，而这个函数就是方程。
因此，
曲线和方程之间存在着直接的联系。
其次，通过求解该方程，可以得
到曲线的性质。
例如，如果曲线是抛物线，则可以根据抛物线的方程
来计算出它的顶点；如果曲线是椭圆，则可以通过椭圆方程来计算出
它的长轴和短轴等。
此外，曲线与方程还具有更为深刻的数学意义。
曲线和方程能够
反映物理和化学现象的发展趋势，并且可以使用数学工具对其进行解
析和研究。
更重要的是，曲线和方程也可以用于描述某些重要的场景，如关于经济学、生态学等的分析。
因此，曲线与方程之间有着密不可分的关系，而这种关系有着重
要的数学意义。
正是由于曲线和方程能够将复杂的物理世界变为易于
理解和推导的数学现象，它们才能够为人们在研究自然界现象中提供
强大的帮助。
曲线与方程
曲线与方程一、曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内的一条曲线C 与一个二元方程(,)0F x y =之间， 如果具有以下两个关系：1．曲线C 上的点的坐标，都是 的解；2．以方程(,)0F x y =的解为坐标的点，都是 的点，那么，方程(,)0F x y =叫做这条曲线C 的方程；曲线C 叫做这个方程(,)0F x y =的曲线．二、求轨迹方程的常用方法有：直接法，定义法，待定系数法，参数法，相关点法（代入法），交轨法等．三、求曲线的方程的步骤：①建立适当的坐标系，用(,)M x y 表示曲线上的任意一点的坐标；②写出适合条件P 的点M 的集合{|()}P M p M =；③用坐标表示条件P ，列出方程(,)0f x y =；④将方程(,)0f x y =化为最简形式；⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．四、直线系 具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系．它的方程称直线系方程．（1）共点直线系：过已知点 P (x 0 , y 0 ) 的直线系方程 y − y 0 = k (x − x 0 ) （k 为参数） （2）平行直线系：斜率为 k 的直线系方程 y = kx + b （b 是参数）与已知直线 Ax + By + C = 0 平行的直线系方程 Ax + By + λ = 0 （λ 为参数）（3）垂直直线系：与已知直线 Ax + By + C = 0 垂直的直线系方程Bx − Ay + λ = 0（λ 为参数）（4）过直线 l 1 ：A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 与 l 2 ：A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 的交点的直线系方程：A 1 x + B 1 y + C 1 + λ(A 2 x + B 2 y + C 2 ) = 0（λ 为参数），此直线系不含直线 l 2例1： “ 以方程 f(x, y) = 0 的解为坐标的点都在曲线 C 上” 是 “ 曲线 C 的方程是 f(x,y) = 0 ” 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件下列方程各表示什么曲线？① 29y x -=② 0324222=++-+y x y x 0)9)(2(22=-+-+y x y x例2： 设圆 C : (x − 1)2 + y 2 = 1 ，过原点 O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．练习1：（直接法）已知线段AB 的长度为10，它的两个端点分别在x 轴，y 轴上滑动，求AB 的中点P 的轨迹方程。
曲线及其方程知识点总结
曲线及其方程知识点总结一、直线的方程1. 斜率和截距法直线的方程可以用斜率和截距来表示。
直线的斜率是指直线上一点的纵坐标和横坐标的变化率，截距是指直线和y轴或x轴相交的坐标。
若直线的斜率为m，截距为b，则直线的方程可以表示为y=mx+b或者x=my+b。
2. 两点式直线的两点式表示了通过两个已知点的直线方程。
若已知直线上两点A(x1, y1)和B(x2,y2)，则直线的方程可以表示为(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)。
3. 截距式直线的截距式表示了直线和坐标轴的截距关系。
若已知直线的x轴截距为a，y轴截距为b，则直线的方程可以表示为x/a+y/b=1。
二、曲线的方程1. 二次曲线二次曲线的一般方程可以表示为Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0。
其中A、B、C、D、E、F为常数。
二次曲线包括圆、椭圆、双曲线和抛物线等。
- 圆的方程圆的一般方程可以表示为(x-h)^2+(y-k)^2=r^2。
其中(h,k)表示圆心的坐标，r表示圆的半径。
- 椭圆的方程椭圆的一般方程可以表示为(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1。
其中(h,k)表示椭圆的中心坐标，a和b分别表示椭圆在x轴和y轴的半轴长。
- 双曲线的方程双曲线的一般方程可以表示为(x-h)^2/a^2-(y-k)^2/b^2=1。
或者(x-h)^2/a^2-(y-k)^2/b^2=-1。
其中(h,k)表示双曲线的中心坐标，a和b分别表示双曲线在x轴和y轴的半轴长。
- 抛物线的方程抛物线的一般方程可以表示为y=ax^2+bx+c或者x=ay^2+by+c。
其中a不等于0。
抛物线的开口方向取决于系数a的正负性。
2. 极坐标方程极坐标方程是一种表示曲线的方程，它使用极坐标系下的极径r和极角θ来表示曲线上任意一点的位置。
极坐标方程可以表示为r=f(θ)，其中f(θ)为极坐标方程的极坐标函数。
三、参数方程参数方程是一种用参数的形式表示曲线的方程。
第二章 2.1 曲线与方程
跟踪训练 4 对任意平面向量A→B＝(x，y)，把A→B绕其起点沿逆时针方向旋转 θ 角
得到向量A→P＝(xcos θ－ysin θ，xsin θ＋ycos θ)，叫做把点 B 绕点 A 逆时针方向旋
转 θ 角得到点 P.设平面内曲线 C 上的每一点绕原点沿逆时针方向旋转4π后得到的
二、曲线与方程的应用
例2 已知方程x2＋(y－1)2＝10. (1)判断点 P(1，－2)，Q( 2，3)是否在上述方程表示的曲线上；
解 ∵12＋(－2－1)2＝10，( 2)2＋(3－1)2＝6≠10， ∴点P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上， 点 Q( 2，3)不在方程 x2＋(y－1)2＝10 表示的曲线上.
√C.不在曲线C上的点的坐标必不适合f (x，y)＝0
D.不在曲线C上的点的坐标有些适合f (x，y)＝0，有些不适合f (x，y)＝0
(2)分析下列曲线上的点与相应方程的关系： ①与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；
解 与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方 程xy＝5的解为坐标的点一定满足与两坐标轴的距离之积等于5.因此，与两 坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.
1.若命题“曲线C上点的坐标都是方程f (x，y)＝0的解”是真命题，则下列命 题为真命题的是 A.方程f (x，y)＝0所表示的曲线是曲线C
√B.方程f (x，y)＝0所表示的曲线不一定是曲线C
C.f (x，y)＝0是曲线C的方程 D.以方程f (x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上
解析 “曲线C上点的坐标都是方程f (x，y)＝0的解”，但以方程f (x，y)＝0 的解为坐标的点不一定在曲线C上，故A，C，D都为假命题，B为真命题.
曲线与方程
曲线与方程
曲线与方程是数学中常见的概念，它们之间有很多共同的地方，
但也有一些不同之处。
曲线是一种描述函数行为的几何图形。
它由一个或多个参数确定，通常是空间中的一条曲线，表示为x和y的函数，或者以极坐标系的
形式表示为ρ和θ的函数。
曲线的形状受参数的取值范围、参数的
关系以及参数的交互作用的影响。
方程，又称为函数方程，以数学表达式的形式表示多个变量之间
的关系，它是一种描述系统性质运动和事物变化规律的工具。
方程通
常用一个或多个未知量来表示，通过求解方程组可找到这些未知量的值，从而得出有关个系统的描述。
虽然曲线和方程都是数学概念，但它们不是一回事。
方程是一种
广义的概念，它可用于描述任何函数，而曲线只是一种特殊的函数，
也就是说，曲线也可以用方程来表示。
通常情况下，曲线是二维空间
上的图形，而方程是一种关系表达式，可以用来解释性地描述曲线。
总之，曲线和方程之间是有联系的，但它们是两个不同的概念，
曲线是用来描述函数行为的几何图形，而方程则是用数学表达式来描
述多个变量之间的关系。
曲线与方程ppt课件
1．曲线和方程的关系： (1)曲线上的点的坐标都是方程的解，无一例外； (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，缺一不可． 2．求曲线方程的一般步骤： ①建系 ②设动点 ③限制条件 ④代入 ⑤化简． 3．求曲线方程的关键是找关系列等式，常见方法为直译法 和代入法.
即 （x＋a）2＋y2· （x－a）2＋y2 ＝ x2＋（y＋b）2· x2＋（y－b）2. 化简得 x2－y2＝a2－2 b2.
题型三 代入法求轨迹方程 例 4 已知 A(－2，0)、B(2，0)，点 C、D 满足|A→C|＝2，A→D ＝12(A→B＋A→C)．求点 D 的轨迹方程．
解析 设点 C、D 的坐标分别为(a，b)、(x，y)，则A→C＝(a ＋2，b)，A→B＝(4，0)．
例 3 设△ABC 的周长为 18，|AB|＝8，求顶点 C 的轨迹方 程．
解析 如右图所示，以线段 AB 的中点 O 为坐 标原点，线段 AB 所在的直线为 x 轴建立直角坐标系， 由于|AB|＝8.∴A(－4，0)，B(4，0)，
设 C(x，y)为所求轨迹上任意点，∵|AC|＋|BC| ＝10，
解析 (1)错误．因为以方程|x|＝2 的解为坐标的点，不都 在直线 l 上，直线 l 只是方程|x|＝2 所示的图形的一部分．
(2)错误．因为到两坐标轴距离相等的点的轨迹有两条直线 l1 和 l2(如图所示)，直线 l1 上的点的坐标都是方程 y＝x 的解，但 是直线 l2 上的点(除原点)的坐标不是方程 y＝x 的解．故 y＝x 不 是所求的轨迹方程．
曲线与方程
点在曲线上的充要条件： 如果曲线C的方程是f（x,y）=0，那么点P0=（x0,y0）. 在曲线C上的充要条件是f(x0,y0)=0.
曲线的点集与方程的解集之间的关系
点M与有序实数对（x,y），曲线C与方程 f(x,y)=0之间建立一一对应的关系。
点M 按某种运动规律 几何意义 曲线C
坐标(x,y)
曲线与方程
直线 抛物线
曲线与方程概念
一般地，在直角坐标系中，如果其曲线 c 上的点与一 个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： （1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点， 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程 的曲线.
定义中为什么要作两条规定？从集合的角度来看： 一条曲线C和一个方程f(x，y)＝0可以是同一个点 集在“形”和“数”两个不同方面的反映，只有 当曲线所表示的点集C与方程f(x，y)=0的解所表 示的点集F是同一个点集，即C=F时，才能称曲线 为方程的曲线，方程为曲线的方程，那么怎样验 证C=F呢？从以下两个方面：
1°曲线C上任一点的坐标都是方程f(x，y)=0的解． 2°以方程f(x，y)=0的解为坐标的点都在曲线C上． (2)把点M1（3，－4）的坐标代入方程x2+y2=25，左右两 边相等，（3，－4）是方程的解，所以点M1在这个圆上； 把点M2（－2，2）的坐标代入方程x2+y2=25，左右两边不 等，（－2，2）不是方程的解，所以点M2不在这个圆上.
即点M1在线段AB的垂直平分线上 由（1）、（2）可知方程①是线段AB的垂直平分线的方程.
由上面的例子可以看出，求曲线（图形）的方程，一般 有下面几个步骤： （1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）表示曲 线上任意一点M的坐标； （2）写出适合条件P的点M的集合P={M|p（M）}； （3）用坐标表示条件p（M），列出方程f(x,y)=0; （4）化方程f(x,y)=0为最简形式； （5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
曲线与方程圆的方程
x y O B A M曲线与方程、圆的方程1．曲线C 的方程为:f(x,y)=0⇔曲线C 上任意一点P （x 0,y 0）的坐标满足方程f(x,y)=0，即f （x 0,y 0）=0；且以f(x,y)=0的任意一组解（x 0,y 0）为坐标的点P （x 0,y 0）在曲线C 上。
依据该定义：已知点在曲线上即知点的坐标满足曲线方程；求证点在曲线上也只需证点的坐标满足曲线方程。
求动点P(x,y)的轨迹方程即求点P 的坐标(x,y)满足的方程（等式）。
求动点轨迹方程的步骤：①建系，写（设）出相关点的坐标、线的方程，动点坐标一般设为(x,y)，②分析动点满足的条件，并用等式描述这些条件，③化简，④验证：满足条件的点的坐标都是方程的解，且以方程的解为坐标的点都满足条件。
[举例1] 方程04)1(22=-+-+y x y x 所表示的曲线是： （ ）A B C D解析：原方程等价于：⎩⎨⎧≥+=--40122y x y x ，或422=+y x ； 其中当01=--y x 需422-+y x 有意义，等式才成立，即422≥+y x ，此时它表示直线01=--y x 上不在圆422=+y x 内的部分，这是极易出错的一个环节。
选D 。
[举例2] 已知点A （－1，0），B （2，0），动点M 满足2∠MAB=∠MBA ，求点M 的轨迹方程。
解析：如何体现动点M 满足的条件2∠MAB=∠MBA是解决本题的关键。
用动点M 的坐标体现2∠MAB=∠MBA 的最佳载体是直线MA 、MB 的斜率。
设M （x ，y ），∠MAB=α，则∠MBA=2α，它们是直线 MA 、MB 的倾角还是倾角的补角，与点M 在x 轴的上方 还是下方有关；以下讨论：① 若点M 在x 轴的上方, ,0),90,0(00>∈y α此时，直线MA 的倾角为α，MB 的倾角为π-2α， ,2)2tan(,1tan -=-+==∴x y x y k MA απα （2090≠α）,2tan )2tan(ααπ-=-Θ,)1(112222+-+•=--∴x y x yx y得： 1322=-y x ，∵1,>∴>x MB MA ． 当2090=α时, α=450，MAB ∆为等腰直角三角形,此时点M 的坐标为(2,3)，它满足上述方程． ②当点M 在x 轴的下方时, y ＜０，同理可得点M 的轨迹方程为)1(1322≥=-x y x , ③当点M 在线段AB 上时,也满足2∠MAB=∠MBA,此时y=0(-1＜ｘ＜２)． 综上所求点的轨迹方程为)21(0)1(1322<<-=≥=-x y x y x 或． [巩固1]右图的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的一部分，则它的方程是A ．（21y x -+）·（21x y -+）=0B ．（21y x --）·（21x y --）=0C ．（21y x -+）·（21x y --）=0D ．（21y x --）·（21x y -+）=0[巩固2]已知点R （-3，0），点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足·=，2+3MQ =，当点P 移动时，求M 点的轨迹方程。
曲线和方程知识要点
曲线和方程的概念【知识要点】定义 一般地，如果曲线C 与方程0),(=y x F 之间有以下两个关系：(1)曲线C 上的点的坐标都是方程0),(=y x F 的解；(2)以方程0),(=y x F 的解为坐标的点都在曲线C 上. 我们就把0),(=y x F 叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程0),(=y x F 的曲线.注意：要建立曲线与方程间的对应关系，仅有条件“曲线C 上的点的坐标都是方程0),(=y x F 的解”是不够的，因为可能有满足方程0),(=y x F 的点不在曲线C 上；仅有条件“以方程0),(=y x F 的解为坐标的点都在曲线C 上”也是不够的，因为曲线C 上可能有不满足方程0),(=y x F 的点.只有同时具备这两个条件时，才能说方程0),(=y x F 是曲线C 的方程，曲线C 是方程0),(=y x F 的曲线.求曲线的方程【知识要点】1 求曲线的方程的步骤：①建立适当的直角坐标系(如果已给出，本步骤省略).②设曲线上任意一点的坐标为),(y x ，写出已知点的坐标，设出相关点的坐标.③根据曲线上点所适合的条件，写出等式.④用坐标表示这个等式(方程)，并化简.⑤证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点(在本教材不作要求).(6)检验，该说明的要说明.2 求曲线方程的常用方法：定义法、直接法、代入法、参数法等.(1)定义法：根据题意可以得出或推出动点的轨迹是直线或圆或椭圆或双曲线或抛物线.根据所学知识可以写出或求出轨迹方程.若方程形式知道，往往用待定系数法求.(2)直接法：根据题设条件直接写出动点的坐标),(y x 所满足的关系式，即方程0),(=y x F .(3)相关点法(代入法)：是所求轨迹上的动点),(y x P 随着另一个已知曲线上的动点),(11y x M 的运动而运动时，一般用代入法求动点P 的轨迹方程.其方法是根据题设条件求得两动点坐标),(y x 与),(11y x 之间的关系式，从中解出),(),,(11y x g y y x f x ==，由于),(11y x M 在已知曲线上，故),(11y x M 满足已知曲线方程，将11,y x 的表达式代入已知曲线方程，从而求得动点P 的轨迹方程.(4)参数法：根据题意得出动点P 的坐标y x ,用其他点的坐标或长度、角、斜率、时间等参数来表示.常用到的公式有两点间的距离公式、中点坐标公式、斜率公式、夹角公式、点到直线的距离公式.曲线的交点【知识要点】1 要求两条曲线的交点的坐标，只需解由这两条曲线的方程所组成的方程组.如果方程组没有实数解，那么这两个方程的曲线就没有交点.反过来，曲线有没有交点也可用来说明方程组有没有实数解.即可用几何图形的性质说明代数方程(组)有没有实数解.2 一般地，斜率为k 的直线b kx y l +=:与曲线C 相交于两点),(),,(2211y x B y x A ，则 ]4))[(1())(1()()(2122122212221221x x x x k x x k y y x x AB -++=-+=-+-=. 或]4))[(11())(11(2122122212y y y y k y y k AB -++=-+=.。
曲线与方程
曲线与方程一、 基本知识体系：1、 曲线的方程和方程的曲线：在直角坐标系中，如果某曲线C （看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程ƒ(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系：①曲线上的点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。
2、 求曲线的方程的一般步骤：建系，设点⇒转化条件，列出方程⇒化方程ƒ(x,y)=0为最简形式⇒证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
3、 两条曲线的交点：两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解，求曲线的交点的问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解的问题。
4、 求轨迹方程的常用方法：① 直接法：直接写出题目中的等量关系，从而化出所求的轨迹方程；这是最常用的一种求法。
② 定义法：运用解析几何中一些常用的定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。
③ 相关点法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q （x ′,y ′)的运动而有规律地运动，且动点Q 的轨迹为给定或容易求出，则可先将x′,y′表示为x,y 的式子，再代入Q 的轨迹方程，然后整理得P 的轨迹方程，这种利用相关动点和所求动点的关系求出轨迹方程的方法叫做相关点法，也叫做代入法。
④ 参数法：有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y 之间建立起联系，然后从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。
⑤ 交轨法：求两动曲线的交点的轨迹方程时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此方法。
也可以引入参数来建立这些曲线的联系，然后消去参数得到轨迹方程，故交轨法也属于参数法。
二、 典例剖析： ★【题1】、如图，圆O 1与圆O 2的半径都是1，O 1O 2=4，过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得2.PM PN =试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程.●[解析]：以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则O 1（-2，0），O 2（2，0），由已知：ＰＭ＝PN 2,即 ＰＭ２＝２ＰＮ２，因为两圆的半径都为1,所以有：)1(212221-=-PO PO ，设P （x,y ） 则（x+2）2+y 2-1=2[(x-2)2+y 2-1]， 即33)6(22=+-y x 综上所述，所求轨迹方程为：33)6(22=+-y x （或031222=+-+x y x ）★【题2】、已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足||||MN MP MN NP ⋅+⋅ ＝0，则动点P （x ，y ）的轨迹方程为( ) （A ）x y 82= （B ）x y 82-= （C ）x y 42= （D ）x y 42-= ●解：设(,)P x y ，0,0x y >>，(2,0),(2,0)M N -，4MN =；则(2,),(2,)MP x y NP x y =+=-由0=⋅+⋅NP MN MP MN ，则224(2)4(2)0x y x +++-=，化简整理得x y 82-= 所以选B★【题3】、如图，直线l 1：)0(>=k kx y 与直线l 2：kx y -=之间的阴影区域（不含边界）记为W ，其左半部分记为W 1，右半部分记为W 2. （Ⅰ）分别用不等式组表示W 1和W 2；（Ⅱ）若区域W 中的动点P （x ，y ）到l 1，l 2的距离之积等于d 2，求点P 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）设不过原点O 的直线l 与（Ⅱ）中的曲线C 相交于M 1，M 2两点，且与l 1，l 2分别交于M 3，M 4两点. 求证△OM 1M 2的重心与△OM 3M 4的重心重合. ●解：（I ）12{(,)|,0},{(,)|,0}.W x y kx y kx x W x y kx y kx x =<<-<=-<<>（II ）直线1:0,l kx y -=直线2:0l kx y +=,由题意得：222.,11d k k =++即22222||.1k x y d k -=+由(,),P x y W ∈知2220,k x y ->所以22222,1k x y d k -=+即22222(1)0.k x y k d --+=所以动点P 的轨迹方程为22222(1)0.k x y k d --+=（III ）①、当直线l 与x 轴垂直时,由对称性显然可知：1234,M M M M 的中点坐标都为(,0)a ,所以1234,OM M OM M ∆∆的重心坐标都为2(,0)3a,即它们的重心重合. ②、当直线l 与x 轴不垂直时,设直线l 的方程为(0).y mx n n =+≠由22222(1)0k x y k d y mx n⎧--+=⎨=+⎩,得222222()20.k m x mnx n k d ----=∵由直线l 与曲线C 有两个不同交点,可知220k m -≠,且2222222(2)4()()0.mn k m n k d d =+-⨯++>设12,M M 的坐标分别为1122(,),(,).x y x y 则121212222,()2.mnx x y y m x x n k m +=+=++- 设34,M M 的坐标分别为3344(,),(,).x y x y 由34,,y kx y kx n n x x y mx n y mx n k m k m ==-⎧⎧-==⎨⎨=+=+-+⎩⎩及得从而3412222.mnx x x x k m +==+-所以34341212()2()2,y y m x x n m x x n y y +=++=++=+所以343412120000,.3333x x y y x x y y ++++++++==于是12OM M ∆的重心与34OM M ∆的重心也重合.★【题4】、已知点 M （－2，0），N （2，0），动点 P 满足条件|PM |－|PN |=，记动点 P 的轨迹为 W ；（Ⅰ）求 W 的方程；（Ⅱ）若 A ，B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA ·OB 的最小值.解：（Ⅰ）由|PM|－|PN|= P 的轨迹是以 ,M N 为焦点的双曲线的右支，实半轴长a =又半焦距 c=2，故虚半轴长b ==所以 W 的方程为22122x y -=,x ≥ （Ⅱ）设 A ，B 的坐标分别为11(,)x y , 22(,)x y ；①、当 AB ⊥x 轴时,12,x x =从而12,y y =-从而22121211 2.OA OB x x y y x y ⋅=+=-=②、当AB 与x 轴不垂直时,设直线AB 的方程为y kx m =+,与W 的方程联立,消去y 得222(1)220.k x kmx m ----=故1222,1kmx x k+=- 21222,1m x x k +=-所以1212OA OB x x y y ⋅=+1212()()x x kx m kx m =+++221212(1)()k x x km x x m=++++2222222(1)(2)211k m k m m k k ++=++--22221k k +=-2421k =+-.又因为120x x >,所以210k ->,从而 2.OA OB ⋅>综上,当A B ⊥x 轴时, OA OB ⋅取得最小值2.三、巩固练习：★【题1】、直角坐标平面xoy 中，若定点)2,1(A 与动点),(y x P 满足4=•，则点P的轨迹方程是__解答：设点P 的坐标是(x,y)，则由4=•OA OP 知04242=-+⇒=+y x y x ★【题2】、．以下几个关于圆锥曲线的命题中 ①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，k PB PA =-||||，则动点P 的轨迹为双曲线；②设定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为坐标原点，若),(21OB OA OP +=则动点P 的轨迹为椭圆；③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线13519252222=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点. 其中真命题的序号为【解答】双曲线的第一定义是:平面上的动点P 到两定点是A,B 之间的距离的差的绝对值为常数2a,且2||a AB <,那么P 点的轨迹为双曲线,故①错，由1()2OP OA OB =+,得P 为弦AB 的中点,故②错，设22520x x -+=的两根为12,x x 则12125,12x x x x +==可知两根互与为倒数,且均为正,故③对，221259x y -=的焦点坐标(34,0±),而22135x y +=的焦点坐标(34,0±),故④正确. ★【题3】设过点P （x ，y ）的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，若1,2＝且AB OQ PA BP ⋅=，则点P 的轨迹方程是（D ） A.)0,0(123322>>=+y x y x B.)0,0(123322>>=-y x y x C.)0,0(132322>>=-y x y xD.)0,0(132322>>=+y x y x ★【题4】如图, 直线L 1和L 2相交于点M ，L 1⊥L 2, 点N ∈L 1. 以A, B 为端点的曲线段C 上的任一点到L 2的距离与到点N 的距离相等. 若∆AMN 为锐角三角形, |AM|= 17 , |AN| = 3, 且|BN|=6. 建立适当的坐标系,求曲线段C 的方程.（供选择用）★【题5】、平面α的斜线 AB 交α于点 B ，过定点 A 的动直线l 与 AB 垂直，且交α于点 C ，则动 点 C 的轨迹是 （ A ）（A ） 一条直线 （B ）一个圆 （C ）一个椭圆 （D ）双曲线的一支★【题】、在平面直角坐标系xOy 中，有一个以(10,F 和(2F 为焦点、离心率为2的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C ，动点P 在C 上，C 在点P 处的切线与x y 、轴的交点分别为A 、B ，且向量OM OA OB =+。
曲线与方程 课件(共35张PPT)
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1．了解方程的曲线与 曲线的方程的对应关系．
2.了解解析几何的基本 思想和利用坐标法研究几 何问题的基本方法．
3.能够根据所给条件选 择适当的方法求曲线的轨 迹方程．
一、曲线与方程的定义 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方
程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：
(2)证明：设 E(xE，yE)，F(xF，yF)，依题意，
y＝k1x＋3，
由y92＋x2＝1
⇒(k21＋9)x2＋6k1x＝0，①
解得 x＝0 或 x＝－k216＋k19. 所以 xE＝－k216＋k19，yE＝k1－k216＋k19＋3＝2k721－＋39k21， ∴E－k126＋k19，2k721－＋39k21. ∵k1k2＝－9，∴k2＝－k91.用 k2＝－k91替代①中的 k1， 同理可得 Fk126＋k19，3kk2121－ ＋297. 显然 E，F 关于原点对称，∴直接 EF 必过原点 O.
曲线的交点问题(师生共研)
例 2 (2015 年南京模拟)设 0<θ<π2，曲线 x2sin θ＋y2cos θ＝1 和 x2cos θ－y2sin θ＝1 有 4 个不同的交点．
(1)求θ的取值范围； (2)证明：这4个点共圆，并求圆的半径的取值范围．
解 析 (1) 两 曲 线 的 交 点 坐 标 (x ， y) 满 足 方 程 组 x2sin θ＋y2cos θ＝1， x2＝sin θ＋cos θ， x2cos θ－y2sin θ＝1， 即y2＝cos θ－sin θ.
D．以上答案都不对
(2)(2015年广州模拟)下列说法正确的是( )
A．△ABC中，已知A(1,1)，B(4,1)，C(2,3)，则AB边上的高的方
曲线与方程知识点总结
曲线与方程知识点总结一、直线的方程1. 斜截式方程直线的斜率k为非零常数，截距b为任意实数，直线方程可表示为：y = kx + b2. 截距式方程过点A(a,b)且与x轴、y轴交点分别为A，B的直线方程为：\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 13. 两点式方程经过两点A(x1,y1)和B(x2,y2)的直线方程为：\frac{y-y1}{y2-y1} = \frac{x-x1}{x2-x1}4. 四个参数式方程经过点A(x1,y1)且斜率为k的直线方程为：(y-y1) = k(x-x1)5. 我国教科书通常在中学阶段只讲解前三种方程的形式，但四个参数式方程在高等数学的微积分、解析几何等课程中非常常见。
6. 平面直角直线方程通常可写为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为截距。
二、曲线的方程1. 平面曲线方程：对于任一平面曲线，通常可以写成y=f(x)的形式。
其中，f(x)是x的函数，描述了y与x 的关系。
2. 参数式方程：有时，平面曲线不方便用y=f(x)的形式描述，而可以使用参数式方程。
参数式方程是一对函数x(t)，y(t)关于参数t的表达式。
3. 极坐标方程：在极坐标系中，平面曲线可以写成r=f(θ)的形式。
其中，r是极径，θ是极角。
三、曲线的性质1. 曲线的对称性：关于x轴对称、y轴对称、原点对称、关于直线y=x对称等。
2. 曲线的周期性：函数f(x)具有周期T的性质，如果满足f(x+T) = f(x)。
曲线在点(x,f(x))和点(x+T,f(x))上有相同的函数值。
3. 曲线的单调性：函数f(x)在区间I上单调递增或单调递减。
4. 曲线的凹凸性：函数f(x)在区间I上凹函数或凸函数。
5. 曲线的渐近线：直线y=kx+b与曲线f(x)有以下情形：a) f(x)在正无穷大的地方与y=kx+b趋近同一数值。
b) f(x)在正无穷大的地方与y=kx+b趋近无穷大。
c) f(x)在正无穷大的地方与y=kx+b有交点但同时趋于正无穷大和负无穷大。
8.5 曲线与方程
2.平面解析几何研究的两个主要问题 2.平面解析几何研究的两个主要问题 （1）根据已知条件，求出表示曲线的方程； 根据已知条件，求出表示曲线的方程； （2）通过曲线的方程研究曲线的性质. 通过曲线的方程研究曲线的性质. 3.求曲线方程的一般方法（五步法） 3.求曲线方程的一般方法（五步法） 求曲线方程的一般方法 求曲线（图形）的方程,一般有下面几个步骤： 求曲线（图形）的方程,一般有下面几个步骤： （1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）表示 建立适当的坐标系，用有序实数对（ 曲线上任意一点M的坐标； 曲线上任意一点M的坐标； （2）写出适合条件p的点M的集合P={M|p（M）}； 写出适合条件p的点M的集合P={M （3）用坐标表示条件p（M），列出方程 用坐标表示条件p ），列出方程 f(x,y)=0； )=0； （4）化方程f(x,y)=0为最简形式； 化方程f )=0为最简形式； 为最简形式 （5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线 上的点. 上的点.
4.两曲线的交点 4.两曲线的交点 （1）由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的 由曲线方程的定义可知， 坐标应该是两个曲线方程的 ， 公共实数解 即两个 曲线方程组成的方程组的实数解；反过来， 曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方 程组有几组解，两条曲线就有几个交点，方程 程组有几组解，两条曲线就有几个交点， 两条曲线就没有交点. 组 没有实数解 ，两条曲线就没有交点. （2）两条曲线有交点的充要条件是它们的方程 所组成的方程组有实数解.可见， 所组成的方程组有实数解.可见，求曲线的交点 问题， 问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的 实数解问题. 实数解问题.
a 焦距为|BC|= |=a 实半轴长为 ，焦距为|BC|=a. 4 ∴虚半轴长为 ( a ) 2 − ( a ) 2 = 3 a ，由双曲线标准 2 2 4 4 2 方程得 16 x − 16 y2 = 1 y≠0）的右支. （ ≠0）的右支. 2 a 3a 2 16x 16y2 答案 − 2 =1 2 a 3a
曲线和方程
曲线和方程【知识要点】1．曲线与方程的关系如果曲线C 上的点与一个二元方程0),(=y x F .建立如下关系：①曲线C 的点的坐标都是方程0),(=y x F 的解；②以方程0),(=y x F 的解为坐标的点都是曲线C 上的点.那么方程0),(=y x F 叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程0),(=y x F 的曲线.2．求曲线方程的步骤求曲线方程的基本步骤，用直接法求曲线方程要重点掌握五个步骤.①建立适当的直角坐标系，设y x m 2为曲线上的任意一点；②写出适合条件P 的点M 的集合{})(m P M P =③用坐标表示条件)(m P ，列出方程0),(=y x F④化方程0),(=y x F 为最简形式⑤证明比化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.注意：通常第②步可省略，如果化简过程为同解变形，第⑤步也可省略.如果第②步到第③步不是等价关系，或者第④步的变形不是同解变形，就必须检查轨迹是否完备，是否纯粹，即补漏和去伪.3．已知曲线求方程，已知方程画曲线是解析几何的核心内容.已知曲线求方程实质就是求轨迹方程，其议程有直接法、代入法、定义法、等数法. 已知方程画曲线，就是用方法，研究方程的性质（y x ,的取值范围，对称性等）然后根据性质及一些基本函数（方程）的图象作出曲线.4．关于曲线的交点（1）由曲线方程的定义可知，两曲线的交点坐标，就是两曲线的方程所构成的方程组的公共解，于是，求曲线交点坐标的问题，就转化为解二元方程组的问题.确定两曲线交点个数的问题，就转化为讨论方程的解的组数的问题.这类问题的解法，充分体现了解析几何利用代数方法解决几何问题的思想.（2）直线与二次曲线的交点：一般通过建立二方程得到关于x 或关于y 的一元二次方程的判别式来判断，当0>∆时，有两个交点，当0<∆时，无交点，当0=∆时有一个交点.（这时称直线与二次曲线相切）5．求含参数的轧迹方程，当参数在一定范围内变化时，曲线的开关亦发生改变，在高考中将求轧迹方程与分类讨论综合在一起，是常考内容之一.【经典练习】例1．判断每个图下面的方程是否为图中曲线的方程（ ）.例2．过定点),(b a A 任作互相垂直的两直线21l l 与，且1l 与x 轴交于M 点，2l 与y 轴交于N 点，求线段MN 中点P 的轧迹方程.例3．画出方程))(log (log 2log log )1()1()1()1(x x x x y y y y -+-+=+所表示的曲线.例4．与圆1)2(22=--y x 外切，且与y 轴相切的动圆圆心P 的轨迹方程为 .例5．已知方程x y kc y 422=+=和当k 为何值时，两曲线有且只有一个交点.122=+y x A022=-y x Bx y = CD【作业】1．已知直线023)2(:,062:21=++-=++a ay x a l y a x l .求当a 为何值时，21l l 与相交、平行、重合.2．已知直线l 与点A （3，3）和B （5，2）的距离相等，且过二直线023:1=--y x l 和03:2=-+y x l 的交点，求直线l 的方程.3．直线l 过点（1，0），且被两平行直线033063=++=-+y x y x 和所截得的线段长为9.求直线l 的方程.4．在直线42:=-y x l 上求一点P ，使它与两定点A （4，-1），B （3，4）的距离之差最大.。
曲线的方程与方程的曲线-课件
5．一般地：在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与 一个二元方程f(x，y)＝0的实数解之间建立了如下的关系： ①曲线上点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解 为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做 ______________；这条曲线叫做________．
例：画出方程y＝－x2(x≥0)的曲线．
解析：(1)∵12＋(－2－1)2＝10，
( 2)2＋(3－1)2＝6≠10.
∴点P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，
点Q( 2 ，3)不在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上．
(2)∵点 Mm2 ，－m在方程 x2＋(y－1)2＝10 表示的曲线上．
∴x＝m2 ，y＝－m 适合方程 x2＋(y－1)2＝10.
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11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/3/32021/3/32021/3/3M ar-213- Mar-21
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12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。2021/3/32021/3/32021/3/3Wednesday, March 03, 2021
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13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。2021/3/32021/3/32021/3/32021/3/33/3/2021
程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上．
答案：(1)不正确 (2)不正确 (3)不正确
一、选择填空题
1．下列命题正确的是( D )
A．方程x－y 2＝1 表示斜率为 1，在 y 轴上的截距为－2 的直线方程
B．△ABC 的三个顶点坐标为 A(－3,0)、B(3,0)、C(0,3)， 则中线 CO(O 为坐标原点)的方程是 x＝0
C．到 y 轴距离为 2 的轨迹方程为 x＝2 D．方程 y＝ x2＋2x＋1表示两条射线
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知识点：理解曲线与方程的概念；会求两条曲线的交点坐标；掌握弦长公式；掌握求曲线轨迹的方法。
上课例题：书本《高考复习方略》P ．256 基础训练1、 P ．256 例1，（2） 例2、例3 补充例题：1、讨论曲线2x y =与曲线()1622
=+-y m x 的交点的个数。
2、已知曲线C 的方程是222+-=x x y ，求：（1）曲线C 关于点()1,2-对称的曲线1C 的方程。
（2）曲线C 关于直线03=--y x 对称的曲线2C 的方程。
3、直线b x y +=与抛物线()2
1-=x y 交于B A ,两点。
求：（1）弦长||AB 关于实数b 的函数关系式。
（2）若弦AB 的中点M 落在圆422=+y x 内部，求实数b 的取值范围。
作业：书本《高考复习方略》P ．257 巩固提高：1——11
补充作业：设两点()()3,2,1,4Q P -
求（1）以PQ 为一条直角边的PQA Rt ∆的顶点A 的轨迹方程。
（2）满足PQB ∆的面积为20的点B 的轨迹方程。
（3）以PQ 为一条斜边的PQC Rt ∆的顶点C 的轨迹方程。
（4）以PQ 为一条边的矩形S R Q P PQRS ,,,(按逆时针方向排列）的顶点S 的轨迹方程。