平面向量基本定理

形如AD x AB y AC =+条件的应用

一、基础知识：

1、平面向量基本定理：若平面上两个向量12,e e 不共线，则对平面上的任一向量a ，

均存在唯一确定的()12,λλ，（其中12,R λλ∈），使得1122a e e λλ=+。其中12,e e 称为平面向量的一组基底。

（1）不共线的向量即可作为一组基底表示所有的向量

（2）唯一性：若1122a e e λλ=+且1122a e e μμ=+，则1122

λμλμ=⎧⎨=⎩

2、“爪”字型图及性质：

（1）已知,AB AC 为不共线的两个向量，则对于向量AD ，必

存在,x y ，使得AD x AB y AC =+。则,,B C D 三点共线⇔1x y +=

当01x y <+<，则D 与A 位于BC 同侧，且D 位于A 与BC 之间 当1x y +>，则D 与A 位于BC 两侧

1x y +=时，当0,0x y >>，则D 在线段BC 上；当0xy <，则D 在线段BC 延长线上

（2）已知D 在线段BC 上，且::BD CD m n =，则n m AD AB AC m n m n

=

+++ 3、AD x AB y AC =+中,x y 确定方法

（1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定,x y

（2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程AD x AB y AC =+，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于,x y 的方程，再进行求解

（3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于,x y 的方程，再进行求解

B

二、典型例题：

例1：在ABC 中，D 为BC 边的中点，H 为AD 的中点，过点H 作一直线MN 分别交,AB AC 于点,M N ，若,AM xAB AN yAC ==，则4x y +的最小值是（ ） A. 94

B. 2

1 思路：若要求出4x y +的最值，则需从条件中得到,x y 的

关系。由,,M H N 共线可想到“爪”字型图，所以

AH mAM nAN =+，其中1m n +=，下面考虑将,m n 的关

系转为,x y 的关系。利用条件中的向量关系：12AH AD =且()12AD AB AC =+，所以()

14AH AB AC =+，因为,AM x AB AN y AC ==，所以AH mx AB ny AC =+，由平面向量基本定理可得：11441144m mx x n ny y ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩，所以111144m n x y +=⇒+=，所以()11144414444y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭

，而44y x x y +≥=，所以944x y +≥ 答案：A

例2：如图，在ABC 中，13AN NC =，P 是BN 上的一点，若211

AP mAB AC =+，则实数m 的值为（ ） A. 911 B. 511 C. 311 D. 211

思路：观察到,,B P N 三点共线，利用“爪”字型图，可得

AP m AB n AN =+，且1m n +=，由1

3A N N C =可得

14A N A C =

，所以14

A P m A

B n A

C =+，由已知211AP mAB AC =+

可得：12841111n n =⇒=，所以311m = 答案：

C

例3：在平面内，已知1,3,0,30OA OB OA OB AOC ==⋅

=∠=，设(),,

OC mOA nOB m n R =+∈，则m n

等于（ ） A. 3± C. 13

± D. 3± 思路：所求为m n ，可以考虑对(),,OC mOA nOB m n R =+∈两边同时对同一向量作数量积，从而得到,m n 的方程，解出,m n ，例如两边同对OA 作数量积，可得：2OC OA mOA nOB OA ⋅

=+⋅，因为1OA =，0OA OB ⋅=，所以有2cos OC OA AOC

m OC OA ⋅==，同理，两边对OB 作数量积，可得：2OC OB mOA OB nOB ⋅=⋅+，即2c o O C O B C B O C

n OB ⋅

==，所以312cos m n BOC =⋅，通过作图可得60BOC ∠=或120BOC ∠=，从而1cos 2

BOC =±，代入可得：3m n

=± 答案：B

小炼有话说：（1）当向量等式中的向量系数含参时，可通过对两边作同一向量的数量积运算便可得到关于系数的方程。若要解出系数，则可根据字母的个数确定构造方程的数量

（2）本题也可通过0OA OB ⋅=判定OA OB ⊥，从而想到建立坐标系通过坐标解出,m n ，进而求出3m n

=± 例4：如图，在正六边形ABCDEF 中，点P 是CDE 内（包括边界）的一个动点，设(),AP AB AF R λμλμ=+∈，则λμ+的取值范围是（ ）

A. []1,2

B. []2,3

C.

[]2,4 D. []3,4 思路：因为P 为动点，所以不容易利用数量积来得到,λμ的

F C

关系，因为六边形为正六边形，所以建立坐标系各个点的坐标易于确定，

可得：(

)(

(311,0,,,,22B C D F E ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭，则

(

)11,0,,22AB AF ⎛==- ⎝⎭

，所以设(),P x y ，则由

AP AB AF λμ=+

可得：122P λμ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭

，因为P 在CDE

内，且:3,:CE x CD y +=+=，所以P

所满足的可行域为3x y y ⎧+≥⎪⎪≤⎨+≤，代入可得：32

2λμμλ+≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，通过线性规划可得：[]3,4λμ+∈ 答案：[]3,4

例5：已知2111,2,,323OA OB AOB OC OA OB π==∠==+，则OA 与OC 的夹角的余弦值为__________

思路：若要求OA 与OC 的夹角，可联想到cos ,OA OC OA OC OA OC ⋅=，所以只需确定

OA OC ⋅与OC ，由1123

OC OA OB =+一方面可以两边同时对OA 作数量积得到OA OC ⋅，另一方面等式两边可以同时取模长的平方计算出OC ，进而求出cos ,OA OC

解：1111123236

OC OA OB OC OA OA OA OB OA =+⇒⋅=⋅+⋅= 且2

22211111112323439OC OA OB OC OA OB OA OA OB OB ⎛⎫=+⇒=+=+⋅+ ⎪⎝⎭1336= 13OC ∴

=

1cos

,OA OC OA OC OA OC ⋅∴===