人教版高中数学选修2-1第一章单元复习教案(提高)

x A x
∈使得 ( ).
p且q”为真假q真
，则它的
( B ) 必要不充分条件
D ）既不充分也不必要条件
所有有理数都是实数，命题正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是
答案：
题型一：四种命题之间的关系
例1 命题“2
0(b a b +=∈2
若a 、R ），则a=b=0”的逆否命题是（ D ）. (A) ≠≠若 a b 0∈(a,b R),则20b +≠2a (B) ≠若 a=b 0∈(a,b R),则20b +≠2a (C) 0≠≠若 a 且b 0∈(a,b R),则20b +≠2a
(D) 0≠≠若 a 或b 0∈(a,b R),则20b +≠2a
【审题要津】命题结论中的a=b=0如何否定是关键.
解: a=b=0是a=0且b=0,否定时“且”应变为“或”,所以逆否命题为:
0≠≠若 a 或b 0∈(a,b R),则20b +≠2a ,故应选D
【方法总结】一个命题结论当条件，条件作结论得到的命题为原命题的逆否命题. 题型二：充分、必要条件题型
例2 “,,αβγ 成等差数列”是“等式αγβsin(+)=sin2成立”的 （ A ）. （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件
（C ）充要条件 （D ）既不充分有不必要的条件
【审题要津】,,αβγ 成等差数列,说明2αγβ+= ,问题的关键是由两个角的正弦值相等是否一定有两个角相等.
解: 由,,αβγ 成等差数列,所以2αγβ+= ,所以αγβsin(+)=sin2成立,充分;反之,由
αγβsin(+)=sin2成立,不见得有,,αβγ 成等差数列,故应选A.
【方法总结】p q ⇒:p 是q 充分条件; q 是p 必要条件,否则:p 是q 的不充分条件; q 是p 不必要条件. 变式练习：“1a =”是“,21a
x x x
+
≥对任意的正数”的 （ A ）. （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件
（C ）充要条件 （D ）既不充分有不必要的条件 例3 221
:212;:210(0)3
x p q x x m m --≤-
≤-+-≤>已知，若p ⌝是q ⌝的必要但不充分条件，求实数m 的取值范围.
【审题要津】命题p ,q 可以化的更简,由p ⌝和q ⌝的关系可以得到p 与q 的关系,利用集合的理论方法将问题解决.
解: 由22
210x x m -+-≤得：11,(0)m x m m -≤≤+>，
{}:11,0q A x x m x m m ∴⌝=>+<->或. {}1
12210,:2103
x x p B x x x -≤-
≤-≤≤∴⌝=<->由-2得或. 由p ⌝是q ⌝的必要但不充分条件知：p 是q 的充分但不必要条件，即B A ⊆于是：
012110m m m >⎧⎪
-≥-≤⎨⎪+≤⎩
解得0<m 3为所求. 【方法总结】利用集合作为逻辑演绎的一个方法，体现了集合的应用，能把各种关系清楚地描绘出来. 题型三：复合命题真假的判断
例4 已知2
:10p x mx ++=方程有两个不等的负实数根；
q ：
方程24x +()4210m x -+=无实根, p q p q 若或为真，且为假，求m 的取值范围. 【审题要津】把两个方程化简，然后根据p q p q 或及且列不等式组，方可求m 的取值范围.
解：240,
:2;0
m p m m ⎧∆=->>⎨
>⎩解得 ()()2
2:16216164301 3.q m m m m ∆=--=-+<<<解得
p q p q 或及且，p q p q ∴为真，为假或为假，为真，
2,2,3121 3.
13m m m m m m m >≤⎧⎧≥<≤⎨⎨<<≤≥⎩⎩即或解得或或 【方法总结】此题是方程与命题的综合题,涉及到一元二次方程的判别式和根与系数的关系,一元二次不等式及不等式组、集合的补集、p q p q 或及且两类复合命题的真假判断.
变式练习：设有两个命题, p :不等式1x x a ++>的解集为R, q :函数()f x =
()73x
a --在R 上是减函数,如果这两个命题中有且只有一个真命题,则a 的取值范围是12a ≤<.
题型四：全称命题、特称命题
例5 设,A B 为两个集合,下列四个命题:
(1),A B x A x B ⊆⇔∀∈∉有 (2) A B A
B ⊄⇔=∅
(3) A B B A ⊄⇔⊄ (4) A B x A x B ⊄⇔∃∈∉使得
其中真命题的序号为(4).
【审题要津】根据子集的概念,通过举反例加以排除假命题. 解: {}{}{}1231241112A B A B A B A
B ==⊄∈∈=若，，，，，，满足，但且，，,
所以(1),(2)是假命题; {}{}1241A B A B B A ==⊄⊆若，，，，满足但,所以(3)是假命题,只有(4)为真命题.
【方法总结】全称命题通过“举反例”来否定.
变式练习：下列命题中,既是真命题又是特称命题的是 ( A ).
(A) ()
n 90sin ααα︒-=有一个使si (B) sin 2
x x π
=
存在实数，使
(C) ()
,sin 180sin ααα︒-=对一切 (D) sin15sin 60cos 45cos60sin 45︒︒︒︒︒=- 题型五：综合应用
例6 已知关于x 的实系数二次方程20x ax b ++=有两个实数根,αβ.证明: 2α< 且
2244b βα<<+<是且b 的充要条件.
【审题要津】充要条件的证明题都必须从充分和必要两个方面加以证明,其中的充分性是由条件推出结论，
从题目的叙述中可以看出，2α<且2β<是条件，244b α<+<且b 是结论，由于二次方程的根由相应的
二次函数的图象与x 轴的交点直观的表示出来，因此可以其直观性帮助解题。

证明：（1）充分性：由韦达定理得224αβαβ=
=<⨯=b .
设2
()f x x ax b =++,则函数()f x 的图象是开口向上的抛物线,又
2α<,2β<,(2)0f ∴±>.即有
420a b ++>,420a b -+>
联立解得24a b <+.
(2)必要性: 由24a b <+(2)0f ⇒±>且()f x 的图象是开口向上的抛物线,∴方程 ()0f x =的两根
,αβ同在(2,2)-内或无实根. ,αβ是方程()0f x =的根, ,αβ同在(2,2)-内,即2α<且2β<.
课堂练习： 一、选择题
1．C ①中有“且”；②中没有；③中有“非”；④ 中有“或”
2．A 因为原命题若2a b +≥，则,a b 中至少有一个不小于1的逆否命题为，若,a b 都小于1，则2a b +<显然为真，所以原命题为真；原命题若2a b +≥，则,a b 中至少有一个不小于1的逆命题为，若,a b 中至少有一个不小于
1，则2a b +≥，是假命题，反例为 1.2,0.3a b ==
3．B 当0
170A =时，00
1
sin170sin102
=<
，所以“过不去”；但是在△ABC 中， 0001
sin 30150302
A A A >
⇒<<⇒>，即“回得来” 4．B 一次函数n
x n m y 1
+-=的图象同时经过第一、三、四象限
1
0,00,00m m n mn n n
⇒-><⇒><⇒<且且，但是0mn <不能推导回来
5．A “x M ∈,或x P ∈”不能推出“x M P ∈”，反之可以
6．D 当2,2a b =-=时，从1a b +>不能推出1a b +>，所以p 假，q 显然为真 二、填空题
1．若△ABC 的两个内角相等，则它是等腰三角形
2．既不充分也不必要，必要 ①若 1.5, 1.53x y x y ==⇒+=且，143,1x +≠=而 ②1,2x ≠≠或y 不能推出3x y +≠的反例为若 1.5, 1.53x y x y ==⇒+=且， 3x y +≠⇒1,2x ≠≠或y 的证明可以通过证明其逆否命题1,23x y x y ==⇒+=且
3．①，②，③ ①“1k =”可以推出“函数22cos sin y kx kx =-的最小正周期为π”
但是函数22cos sin y kx kx =-的最小正周期为π，即2cos 2,,12y kx T k k
ππ====± ② “3a =”不能推出“直线230ax y a ++=与直线3(1)7x a y a +-=-相互垂直”
反之垂直推出25a =；③ 函数2222223333
y x x x x ===+++++的最小值为2 令2min 433,3,333x t t y +=≥=+
= 4．充要 332222(1)()a b ab a b a b a ab b ----=--++
5．(,3)-∞- 260a +<
三、解答题
1．解（1）存在一个正方形的四边不相等；（2）平方和为0的两个实数不都为0；
（3）若ABC ∆是锐角三角形， 则ABC ∆的某个内角不是锐角。

（4）若0abc =，则,,a b c 中都不为0；
（5）若(1)(2)0,12x x x x --≠==则或。

2．解：{}1:12,2,10,|2,103
x p x x A x x x -⌝-><->=<->或或 {}22:210,1,1,|1,1q x x m x m x m B x x m x m ⌝-+-><->+=<->+或或 p ⌝是q ⌝的必要非充分条件，B ∴A ，即129,9110m m m m -<-⎧⇒>∴>⎨
+>⎩。

3．证明：假设(1),(1),(1)a b b c c a ---都大于41，即11(1),(1),44
a b b c ->-> 1(1)4c a ->，而1111(1),(1),2222
a b b c a b b c -+-+≥->≥-> 11(1),22c a c a -+≥->得11132222
a b b c c a -+-+-+++>
即
3322
>，属于自相矛盾，所以假设不成立，原命题成立。

4．解：“p 或q ”为真命题，则p 为真命题，或q 为真命题，或q 和p 都是真命题 当p 为真命题时，则21212
40010m x x m x x ⎧∆=->⎪+=->⎨⎪=>⎩，得2m <-；
当q 为真命题时，则2
16(2)160,31m m ∆=+-<-<<-得
当q 和p 都是真命题时，得32m -<<- 1m ∴<-
课后作业：
BBABBBD
9.已知命题：矩形的对角线相等.
(1)写出这个命题的否命题,并判断真假；
（2）写出这个命题的否定，并判断真假.
解：（1）先将命题改写成“若p 则q ”的形式：若四边形是矩形，则它的对角线相等. 否命题:若四边形不是矩形,则它的对角线不相等(假).
这是一个全称命题,所以它的否定是:有些矩形的对角线不相等(假).
10.已知方程()22
210x k x k +-+=,求使方程有两个大于1的实数根的充要条件. 解：令()22
()21f x x k x k =+-+，方程有两个大于1的实数根 ()22
1,2140,42111,.22(1)0,210.k k k k k f k k ⎧≤⎧⎪∆=--≥⎪⎪-⎪⎪⇔-><-⎨⎨⎪⎪><->⎪⎪⎩⎪⎩即或 所以其充要条件为 2.k <-。