湖北省2019届高三八校联考第二次理科数学试卷及答案
湖北省2019届高三第二次八校联考理数试题
第I卷
一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题5分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题
目要求的）
1.已知复数 z = -l1+.L_i ，则z的共辄复数在复平面内对应的点在〈
A.第一象限
B.第二象限
c. 第三象限
n 2.已知集合 P= {xi y= J- x2 - x+ 2} ,Q= {x I lnx<l｝，贝，1 P Q= c
湖北省八校 2019 届高三第二次联考 鼓掌（理科）试题 第l页（共 4 页〉
3. 填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的特题区域内。 写在jj；卷、 .l;r. 摘
纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。 答案写在特跑卡
上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题厌域均无效。
5. 考试结束后，请将答题卡上交。
食祝考试顺利食
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名 、 准考证号填写在以卷和科陋卡上，并将准考证 .I,.｝.. 条形阴 tili 贴在：科题 k
上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选ti＼特案后. J J:J 2日铅笔把伴随·卡上对！但跑. 1:1的特来标号涂黑。 写在试
卷 、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均元效。
A. ( o, 2 J
B. [ - 2 , e)
C. < O , 1〕
D.第四象限
)
D. ( 1, e)
3.空气质量指数 AQI 是反映空气质量状况的指数， AQI 指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系
如下表：
AQI 指数值 0 ～ 50 51 ～100 101～150 151 ～ 200 201～300 >300
湖北省八市2019届高三下学期3月联考数学(理)答案(PDF版)
m k 1
2
2, m2 2 2k 2 ,
4km 2m 2 6 , x x 1 2 2k 2 1 2k 2 1
联立椭圆方程得 (2k 1) x 4kmx 2m 6 0, x1 x2
2 2 2
3m2 6 6k 2 x1 x2 y1 y2 (k 1) x1 x2 km( x1 x2 ) m 0 2k 2 1 OA OB …………8 分
,c 3 2 b b c 设 EF1 F2 , tan ,sin , cos c a a c b EF1 2 3 , EF2 2 3 , EF1 EF2 2a a a
即 , 6 2 3b a 6,b 3 2a, 又a 2 b2 3, 解得 a a 20.解： （1）连接 EF1,EF2,由题意知 F1 EF2
2
当 a 2 2 时 h( x) 0 ，h(x)在 0, 上单调递增； 当 a 2 2 时，令 h( x) 0 得 x
a a2 8 , 4
x
a a2 8 0, 4
+ 增
a a2 8 a a2 8 , 4 4
12 2 4 6 4 4 4, P( 12)
14 4 4 6 2 6 6, P( 12)
1 2 C3 C 108 ; 16 4 6 6, P( 16) 3 9 364 C14 3 C9 84 3 C14 364
AB BC ，
∴ BC 平面 ABB1 A1 ．又 A1 B 平面 ABB1 A1 ，∴ A1B BC ． ∵ BC∥B1C1 ，∴ A1B B1C1 ．∵ B1C1
湖北省八校(荆州中学.孝感中学.襄阳四中.襄阳五中)2019届高三第二次联合考试数学(理科)试题
湖北省八校（鄂南高中.黄石二中.华师一附中.黄冈中学.荆州中学.孝感中学.襄阳四中.襄阳五中）2019届高三第二次联合考试数学（理科）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合A ={y|y =2x ,x ∈R}，B ={x|y =√1−x,x ∈R}，则A ∩B =( )A. {1}B. (0,+∞)C. (0,1)D. (0,1]【答案】D【解析】解：A ={y|y >0}，B ={x|x ≤1}； ∴A ∩B =(0,1]． 故选：D ．可解出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，指数函数的值域，以及交集的运算．2. 若复数z 满足2+zi =z −2i(i 为虚数单位)，z −为z 的共轭复数，则|z −+1|=( )A. √5B. 2C. √3D. 3【答案】A【解析】解：由2+zi =z −2i ，得(1−i)z =2+2i ，则z =2+2i 1−i=2(1+i)2(1−i)(1+i)=2i ，∴z −+1=1−2i ，则|z −+1|=√5． 故选：A ．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，结合复数模的公式求解． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3. 在矩形ABCD 中，AB =4，AD =3，若向该矩形内随机投一点P ，那么使得△ABP与△ADP 的面积都不小于2的概率为( )A. 14B. 13 C. 47 D. 49【答案】D【解析】，解：由题意知本题是一个几何概型的概率， 以AB 为底边，要使面积不小于2， 由于S △ABP =12AB ×h =2h ，则三角形的高要h ≥1，同样，P 点到AD 的距离要不小于43，满足条件的P 的区域如图，其表示的区域为图中阴影部分，它的面积是整个矩形面积的(4−43)(3−1)=163，∴使得△ABP与△ADP的面积都不小于2的概率为：1634×3=49；故选：D．本题是一个几何概型的概率，以AB为底边，要使面积不小于2，则三角形的高要h≥1，得到两个三角形的高即为P点到AB和AD的距离，得到对应区域，利用面积比求概率．本题给出几何概型，明确满足条件的区域，利用面积比求概率是关键．4.已知函数f(x)=(x−1)(ax+b)为偶函数，且在(0,+∞)上单调递减，则f(3−x)<0的解集为()A. (2,4)B. (−∞,2)∪(4,+∞)C. (−1,1)D. (−∞,−1)∪(1,+∞)【答案】B【解析】解：∵f(x)=ax2+(b−a)x−b为偶函数，所以b−a=0，即b=a，∴f(x)= ax2−a，由f(x)在(0,+∞)上单调递减，所以a<0，∴f(3−x)=a(3−x)2−a<0，可化为(3−x)2−1>0，即x2−6x+8>0，解得x<2或x>4故选：B．根据f(x)为偶函数，可得b=a；根据f(x)在(0,+∞)上递减得a<0；然后解一元二次不等式可得．本题考查了奇偶性与单调性得综合，属中档题．5.已知双曲线x2a −y22−a2=1的离心率为√2，则a的值为()A. 1B. −2C. 1或−2D. −1【答案】C【解析】解：双曲线x2a −y22−a2=1的离心率为√2，实轴在x轴上，可得e2=2−a2+aa=2，解得a=1或−2．故选：C．直接利用双曲线的标准方程以及离心率转化求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．6.等比数列的前n项和，前2n项和，前3n项的和分别为A，B，C，则()A. A+B=CB. B2=ACC. (A+B)−C=B2D. A2+B2=A(B+C)【答案】D【解析】解：由题意可得：S n=A，S2n=B，S3n=C．由等比数列的性质可得：S2n−S nS n =q n，S3n−S2n S2n− S n=q n，所以B−AA =C−BB−A，所以整理可得：A2+B2=A(B+C)．故选：D．利用等比数列的性质可得S2n−S nS n =q n,S3n−S2nS2n−S n=q n，所以B−AA=C−BB−A，进行整理可得答案．解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质，并且进行正确的运算，一般以选择题的形式出现．7.执行如图所示的程序框图，若输入m=0，n=2，输出的x=1.75，则空白判断框内应填的条件可能是()A. |m−n|<1B. |m−n|<0.5C. |m−n|<0.2D. |m−n|<0.1【答案】B【解析】解：模拟执行如图所示的程序框图知，输入m=0，n=2，x=1，满足12−3<0，m=1，不满足判断框内的条件，x=1.5，满足1.52−3<0，m=1.5，不满足判断框内的条件，x=1.75，不满足1.752−3<0，n=1.75，由题意，应该满足判断框内的条件，输出x=1.75，此时，m=1.5，n=1.75，则空白判断框内应填的条件为|m−n|<0.5．故选：B．模拟执行如图所示的程序框图，即可得出空白判断框内应填的条件是什么．本题考查了算法与程序语言的应用问题，是基础题．8.将函数f(x)=2sin(2x+π3)图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移π12个单位得到函数g(x)的图象，在g(x)图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为()A. x=−π24B. x=π4C. x=5π24D. x=π12【答案】A【解析】解：将函数f(x)=2sin(2x+π3)图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到y=2sin(4x+π3)，再将所得图象向左平移π12个单位得到函数g(x)的图象，得到g(x)=2sin[4(x+π12)+π3]=2sin(4x+2π3)，由4x+2π3=π2+kπ，k∈Z，得x=14kπ−π24，k∈Z，当k=0时，离原点最近的对称轴方程为x=−π24，故选：A．根据三角函数的图象关系求出g(x)的解析式，结合对称轴方程进行求解即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出g(x)的解析式，结合对称轴方程是解决本题的关键．9.在(1+x)2+(1+x)3+⋯+(1+x)9的展开式中，含x2项的系数是()A. 119B. 120C. 121D. 720【答案】B【解析】解：在(1+x)2+(1+x)3+⋯+(1+x)9的展开式中，含x2项的系数为C22+C32+ C42+⋯+C92=C103=120，故选：B．利用二项展开式的通项公式求得含x2项的系数，再利用二项式系数的性质化简得到结果．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．10.我国古代数学名著《九章算术》记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无丈.刍，草也；甍，屋盖也.”翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形.则它的体积为()A. 1603B. 160 C. 2563D. 64【答案】A【解析】解：作出几何体的直观图如图所示：沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱，则三棱柱的体积V1=12×4×4×4=32，四棱锥的体积V2=13×2×4×4×1=323，由三视图可知两个四棱锥大小相等，∴V=V1+2V2=1603．故选：A．作出几何体的直观图，将几何体分解成两个四棱锥和一个三棱柱计算体积．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，其中分析出几何体的形状是解答的关键．11.已知椭圆C：x24+y23=1，直线l：x=4与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A，B两点，点C在直线l上，则“BC//x轴”是“直线AC过线段EF中点”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：设直线AC与x轴的交点为点N，过点A作AD⊥l，点D是垂足．因为点F是椭圆的右焦点，直线l是右准线，BC//x轴，即BC⊥l，根据椭圆几何性质，得AFAD =BFBC═e(e是椭圆的离心率)．∵AD//FE//BC．∴ENAD =CNCA═BFAB，FNBC=AFAB，即EN═AD⋅BFAB =e⋅AD⋅BCAB=AF⋅BCAB=FN．∴N为EF的中点，即直线AC经过线段EF的中点N，即充分性成立，当直线AB斜率为0时，则BC与x轴重合，此时BC//x轴不成立，则“BC//x轴”是“直线AC过线段EF中点”的充分不必要条件，故选：A．根据充分条件和必要条件的定义，结合直线和椭圆的位置关系进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线和椭圆的位置关系，综合性较强，有一定的难度．12. 下列命题为真命题的个数是( )①ln3<√3ln2； ②lnπ<√πe ； ③2√15<15； ④3eln2<4√2A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】解：构造函数f(x)=lnx x，导数为f′(x)=1−lnx x 2，当0<x <e 时，f′(x)>0，f(x)递增，x >e 时，f′(x)<0，f(x)递减，可得x =e 处f(x)取得最大值1e ， ln3<√3ln2⇔2ln √3<√3ln2⇔ln √3√3<ln22，由√3<2<e可得f(√3)<f(2)，故①正确； lnπ<√πe ⇔ln √π√π<ln √e √e，由√e <√π<e ，可得f(√e)<f(√π)，故②错误； 2√15<15⇔ln22<ln √15√15，由e −2<√15−2，可得f(2)<f(√15)，故③正确； 3eln2<4√2⇔ln88<√22e<1e ，由f(x)的最大值为1e ，故④正确．故选：C ． 构造函数f(x)=lnx x，求得导数，以及单调性和最值，作出图象，对照选项一一判断即可得到所求答案．本题考查数的大小比较，注意运用构造函数，以及导数的运用：求单调性和最值，考查化简运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 平面向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为45∘，a ⃗ =(1,−1)，|b ⃗ |=1，则|a ⃗ +2b ⃗ |=______． 【答案】√10【解析】解：∵a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为45∘，且|a ⃗ |=√2，|b ⃗ |=1；∴(a ⃗ +2b ⃗ )2=a ⃗ 2+4a ⃗ ⋅b ⃗ +4b ⃗ 2=2+4+4=10；∴|a ⃗ +2b ⃗ |=√10．故答案为：√10．根据a ⃗ ,b ⃗ 的夹角为45∘，|b ⃗ |=1，并求得|a ⃗ |=√2，从而可求出(a ⃗ +2b ⃗ )2的值，进而得出|a ⃗ +2b ⃗ |的值．考查向量数量积的运算及计算公式，根据向量坐标可求向量长度．14. 已知实数x ，y 满足约束条件{x −y +2≥0x +y +k ≥0x ≤1，且z =x +2y 的最小值为3，则常数k =______． 【答案】−2【解析】解：作出实数x ，y 满足足约束条件{x −y +2≥0x +y +k ≥0x ≤1对应的平面区域，z =x +2y 的最小值为3，平移直线z =x +2y ，由图象可知当直线z =x +2y ，经过点A ，{x =1x+2y=3可得A(1,1)，A(1,1)代入x +y +k =0， 可得k =−2． 故答案为：−2．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值． 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．15. 考虑函数y =e x 与函数y =lnx 的图象关系，计算：∫ln e 21xdx =______．【答案】e 2+1【解析】解：如下图所示，由于函数y =lnx 与函数y =e x 互为反函数，两个函数的图象关于直线y =x 对称， 结合图象可知，图中两个阴影部分区域的面积相等，所以，∫ln e 21xdx =∫(20e 2−e x )dx =(e 2x −e x )|02=e 2+1． 答案为：e 2+1．作出函数y =lnx 、y =e x 以及直线y =x 的图象，利用函数y =lnx 与函数y =e x 的图象关于直线y =x 对称，利用对称性得出∫ln e 21xdx =∫(20e 2−e x )dx ，利用定积分公式进行计算可得出答案．本题考查定积分的计算，解决本题的关键在于利用函数图象的对称性进行转化，考查计算能力与推理能力，属于中等题．16. 如图所示，在平面四边形ABCD 中，若AD =2，CD =4，△ABC 为正三角形，则△BCD 面积的最大值为______．【答案】4+4√3【解析】解：设∠ADC =α，∠ACD =β，由余弦定理得：AC 2=42+22−2×4×2cosα=20−16cosα， ∴cosβ=AC 2+128AC，又由正弦定理可得ADsinβ=ACsinα，则sinβ=2sinαAC，∴S △BCD =12BC ⋅CD ⋅sin(β+π3)=2BC(12sinβ+√32cosβ)=2BC ⋅(12⋅2sinαAC+√32⋅AC 2+128AC)=4sin(α−π3)+4√3，故△BCD 面积的最大值为4+4√3， 故答案为：4+4√3运用余弦定理，表示出AC ，进而用三角函数表示出S △BCD ．本题考查三角形的面积的最值的求法，注意运用正弦定理，余弦定理和面积公式，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 若数列{a n }的前n 项和为S n ，首项a 1>0且2S n =a n 2+a n (n ∈N ∗)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若a n >0(n ∈N ∗)，令b n =1an (a n +2)，求数列{b n }的前n 项和T n ．【答案】解：(1)当n =1时，2a 1=2S 1=a 12+a 1，则a 1=1； 当n ≥2时，a n =S n −S n−1=a n 2+a n2−a n−12+a n−12，即(a n +a n−1)(a n −a n−1−1)=0，可得a n =−a n−1或a n −a n−1=1， 可得a n =(−1)n−1或a n =n ； (2)由a n >0，则a n =n ，b n =1an (a n+2)=1n(n+2)=12(1n −1n+2)， 即有前n 项和T n =12(1−13+12−14+13−15+⋯+1n−1−1n+1+1n −1n+2) =12(1+12−1n+1−1n+2)=34−2n+32(n+1)(n+2)．【解析】(1)由数列的递推式：当n =1时，a 1=S 1；当n ≥2时，a n =S n −S n−1，化简计算可得所求通项公式； (2)求得b n =1a n (a n +2)=1n(n+2)=12(1n−1n+2)，再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列递推式，考查数列的裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于基础题．18. 如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，FA =FC ，且∠DAB =∠DBF =60∘．(1)求证：AC ⊥平面BDEF ；(2)求直线AD 与平面ABF 所成角的正弦值．【答案】证明：(1)设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ， ∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，且O 为AC 中点， ∵FA =FC ，∴AC ⊥FO ，又FO ∩BD =O ，∴AC ⊥平面BDEF.…………………(5分) 解：(2)连接DF ，∵四边形BDEF 为菱形，且∠DBF =60∘， ∴△DBF 为等边三角形，∵O 为BD 中点，∴FO ⊥BD ，又AC ⊥FO ，∴FO ⊥平面ABCD ．∵OA ，OB ，OF 两两垂直，∴建立空间直角坐标系O −xyz ，如图所示，………(7分) 设AB =2，∵四边形ABCD 为菱形，∠DAB =60∘，∴BD =2，AC =2√3． ∵△DBF 为等边三角形，∴OF =√3．∴A(√3,0,0)，B(0,1，0)，D(0,−1,0)，F(0,0，√3)，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,−1,0)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,0,√3)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1，0)． 设平面ABF 的法向量为n⃗ =(x,y ，z)， 则{AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−√3x +√3z =0AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−√3x +y =0，取x =1，得n ⃗ =(1,√3,1)． 设直线AD 与平面ABF 所成角为θ，………(10分) 则直线AD 与平面ABF 所成角的正弦值为： sinθ=|cos <AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ |=√155.…………………(12分) 【解析】(1)设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ，推导出AC ⊥BD ，AC ⊥FO ，由此能证明AC ⊥平面BDEF ．(2)连接DF ，推导出△DBF 为等边三角形，从而FO ⊥BD ，AC ⊥FO ，进而FO ⊥平面ABCD.由OA ，OB ，OF 两两垂直，建立空间直角坐标系O −xyz ，利用向量法能求出直线AD 与平面ABF 所成角的正弦值．本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．19. 某市政府为了节约生活用电，计划在本市试行居民生活用电定额管理，即确定一户居民月用电量标准a ，用电量不超过a 的部分按平价收费，超出a 的部分按议价收费.为此，政府调查了100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260.280),[280,300)分组的频率分布直方图如图所示．(1)根据频率分布直方图的数据，求直方图中x 的值并估计该市每户居民月平均用电量μ的值；(2)用频率估计概率，利用(1)的结果，假设该市每户居民月平均用电量X 服从正态分布N(μ,σ2)(═)估计该市居民月平均用电量介于μ～240度之间的概率；(═)利用(═)的结论，从该市所有居民中随机抽取3户，记月平均用电量介于μ～240度之间的户数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．【答案】解：(1)由(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x +0.005+0.0025)×20=1， 得x =0.0075，------------(2分)∴μ=170×0.04+190×0.19+210×0.22+230×0.25+250×0.15+270×0.1+290×0.05=225.6.…………………(4分)(2)(═)P(225.6<X <240)=12[1−2P(X >240)]=15.-----------------(6分)(═)∵ξ～B(3,15)，∴P(Y =i)=C 3i(15)i (45)3−i ，i =0，1，2，3.-------(8分)∴ξ的分布列为：ξ 0123P6412548125121251125-----------------(10分)∴E(Y)=3×15=35.…………………………(12分)【解析】(1)由(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x +0.005+0.0025)×20=1，求出x =0.0075，由此能估计该市每户居民月平均用电量μ的值．(2)(═)P(225.6<X <240)=12[1−2P(X >240)]，由此能求出结果．(═)∵ξ～B(3,15)，∴P(Y =i)=C 3i(15)i (45)3−i ，i =0，1，2，3，由此能求出ξ的分布列及数学期望E(ξ)．本题考查频率、平均数、概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20. 如图，圆O ：x 2+y 2=4，A(2,0)，B(−2,0)，D 为圆O 上任意一点，过D 作圆O 的切线分别交直线x =2和x =−2于E ，F 两点，连AF ，BE 交于点G ，若点G 形成的轨迹为曲线C ．(1)记AF ，BE 斜率分别为k 1，k 2，求k 1⋅k 2的值并求曲线C 的方程；(2)设直线l ：y =x +m(m ≠0)与曲线C 有两个不同的交点P ，Q ，与直线x =2交于点S ，与直线y =−1交于点T ，求△OPQ 的面积与△OST 面积的比值λ的最大值及取得最大值时m 的值． 【答案】解：(1)设D(x 0,y 0)，(y 0≠0)，易知过D 点的切线方程为x 0x +y 0y =4，其中x 02+y 02=4，则E(2,4−2x 0y 0)，F(−2,4+2x 0y 0)，∴k 1k 2=4−2x 0y 04⋅4+2x 0y 0−4=16−4x 02−16y 02=−4y 0216y 02=−14 设G(x,y)，由k 1k 2=−14， ∴yx−2⋅yx+2=−14， ∴x 24+y 2=1，(y ≠0)故曲线C 的方程为x 24+y 2=1(y ≠0)(2){x 2+4y 2=4y=x+m，消y 可得5x 2+8mx +4m 2−4=0， 设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−85m ，x 1x 2=4m 2−45由△=64m 2−20(4m 2−4)>0得−5<m <√5且m ≠0且m ≠±2 ∴|PQ|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√2⋅√(−85m)2−4×4m 2−45=4√25√5−m 2，∵与直线x =2交于点S ，与直线y =−1交于点T ， ∴S(2,2+m)，T(−m −1,−1)∴|ST|=√(3+m)2+(3+m)2=√2(3+m)， ∴λ=S OPQ S △OST =|PQ||ST|=45√5−m 2(3+m)2，令3+m =t ，t ∈(3−√5,3+√5)且t ≠1，3，5 则λ=45√−t 2+6t−4t 2=45√−4t 2+6t−1=45√−(1t−34)2+54，当1t =34，即t =43，m =−53时，λ取得最大值2√55．【解析】(1)设D(x 0,y 0)，(y 0≠0)，易知过D 点的切线方程为x 0x +y 0y =4，根据斜率公式，即可得出．(2)直线方程与椭圆方程联立化为：5x 2+8mx +4m 2−4=0，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，由△>0可得m 的范围，再求得|ST|，通过换元利用二次函数的单调性即可得出 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长公式、三角形面积计算公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21. 已知函数f(x)=(1+ax 2)e x −1．(1)当a ≥0时，讨论函数f(x)的单调性； (2)求函数f(x)在区间[0,1]上零点的个数．【答案】解：(1)f′(x)=(ax 2+2ax +1)e x ……………(1分) 当a =0时，f′(x)=e x ≥0，此时f(x)在R 单调递增； ……………(2分) 当a >0时，△=4a 2−4a ，①当0<a ≤1时，△≤0，ax 2+2ax +1≥0恒成立， ∴f′(x)≥0，此时f(x)在R 单调递增；……(3分)②当a >1时，令f′(x)=0，解得：x 1=−1−√1−1a ，x 2=−1+√1−1a ，x ，f′(x)，f(x)的变化如下：即f(x)在(−∞,−1−√1−1a )和(−1+√1−1a ,+∞)上单调递增；在(−1−√1−1a ,−1+√1−1a )上单调递减； ……(5分)综上：当0≤a ≤1时，f(x)在R 单调递增；当a >1时，f(x)在(−∞,−1−√1−1a )和(−1+√1−1a ,+∞)上单调递增；在(−1−√1−1a ,−1+√1−1a )上单调递减；…………………(6分) (2)由(1)知，当0≤a ≤1时，f(x)在[0,1]单调递增，f(0)=0，此时f(x)在区间[0,1]上有一个零点；当a >1时，−1−√1−1a <0且−1+√1−1a<0，∴f(x)在[0,1]单调递增；f(0)=0，此时f(x)在区间[0,1]上有一个零点； 当a <0时，令f′(x)=0，故x =−1+√1−1a >0(负值舍去)①当−1+√1−1a ≥1即−13≤a <0时，f(x)在[0,1]单调递增，f(0)=0，此时f(x)在区间[0,1]上有一个零点； ②当−1+√1−1a<1即a <−13时，若f(1)>0即1e −1<a <−13时，f(x)在[0,−1+√1−1a )单调递增，在[−1+√1−1a ,1]单调递减，f(0)=0，此时f(x)在区间[0,1]上有一个零点；若f(1)≤0即a ≤1e −1时，f(x)在[0,−1+√1−1a )单调递增，在[−1+√1−1a ,1]单调递减，f(0)=0，此时f(x)在区间[0,1]上有零点x =0和在区间[−1+√1−1a ,1]有一个零点共两个零点；综上：当a ≤1e −1时，f(x)在区间[0,1]上有2个零点；当a >1e −1时，f(x)在区间[0,1]上有1个零点.…………………(12分)【解析】(1)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可； (2)通过讨论a 的范围，求出函数f(x)在[0,1]的单调性，从而判断函数的零点个数． 本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22. 已知直线l 的参数方程为{x =−√22ty =a +√22t(t 为参数，a ∈R)，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=4cosθ．(1)分别将直线l 的参数方程和曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)若直线l 经过点(0,1)，求直线l 被曲线C 截得线段的长． 【答案】解：(1)∵直线l 的参数方程为{x =−√22ty =a +√22t (t 为参数，a ∈R)， ∴直线l 的方程为y =−x +a ，即x +y −a =0，…………………(2分) ∵曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=4cosθ，∴ρ2sin 2θ=4ρcosθ， ∴曲线C 的直角坐标方程为y 2=4x.……………(5分)(2)∵直线l 的参数方程{x =−√22ty =a +√22t(t 为参数，a ∈R) 过(0,1)，∴a =1，将直线l 的参数方程{x =−√22ty =a +√22t(t 为参数，a ∈R)代入y 2=4x ， 得t 2+6√2t +2=0， t 1+t 2=−6√2，t 1t 2=2， 由直线参数方程的几何意义可知，|AB|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√72−8=8.…………………(10分)【解析】(1)直线l 的参数方程消去参数，能求出直线l 的直角坐标方程；曲线C 的极坐标方程化为ρ2sin 2θ=4ρcosθ，由此能求出曲线C 的直角坐标方程．(2)由直线l 的参数方程过(0,1)，得到a =1，将直线l 的参数方程代入y 2=4x ，得t 2+6√2t +2=0，由此能求出|AB|．本题考查直线和曲线的直角坐标方程的求法，考查弦长的求法，考查直角坐方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23. 已知函数f(x)=|2x −4|+|x +1|，x ∈R ．(1)解不等式f(x)≤9；(2)若方程f(x)=−x 2+a 在区间[0,2]有解，求实数a 的取值范围． 【答案】解：(1)f(x)≤9可化为|2x −4|+|x +1|≤9， 故{3x −3≤9x>2，或{5−x ≤9−1≤x≤2，或{−3x +3≤9x<−1；…(2分) 解得：2<x ≤4，或−1≤x ≤2，或−2≤x <−1； …(4分) 不等式的解集为[−2,4]；…(5分)(2)由题意：f(x)=−x 2+a ⇔a =x 2−x +5，x ∈[0,2]．故方程f(x)=−x 2+a 在区间[0,2]有解⇔函数y =a 和函数y =x 2−x +5，图象在区间[0,2]上有交点∵当x ∈[0,2]时，y =x 2−x +5∈[194,7]∴，实数a 的取值范围是[194,7]…………………(10分)【解析】(1)通过讨论x 的范围得到关于x 的不等式组，解出即可；(2)根据题意，原问题可以等价函数y =a 和函数y =x 2−x +5图象在区间[0,2]上有交点，结合二次函数的性质分析函数y =x 2−x +5的值域，即可得答案．本题考查绝对值不等式的性质以及应用，注意零点分段讨论法的应用，属于中档题．。
湖北省八校2019届高三第二次联考理科数学试题及参考答案
湖北省八校2019届高三第二次联考数学试卷（理科）参考答案一、选择题：题号123456789101112答案D C C C B A A C A C A D二、填空题：13.4；14.310x y +-=；15.3；三、解答题：17.解：（1） （ − ， ）与(cos ,cos )n C B = 共线，(2)cos cos a c B b C ∴-=.即(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=，2sin cos sin()sin A B B C A ∴=+=………4分即sin (2cos 1)0A B -=..21cos ,0sin =∴≠B A 3π),π,0(=∴∈B B .……………6分（2）3π,373===B a b ，在ABC ∆中，由余弦定理得：222229631cos ,35402232a cbc B c c ac c +-+-===∴--=⨯⨯.则9c =或6c =-（舍去）.………………8分222cos2a b c C ab +-∴===，123AD DC DC b =∴== 分在BDC ∆中，由余弦定理得：2222cos 972319BD CB DC CB DC C =+-⋅=+-⨯⨯=,BD ∴=………………12分18.解：（1）AD BC BC AD 21,//= ，Q 为AD 的中点，∴四边形BCDQ 为平行四边形，.//BQ CD ∴90,90=∠∴=∠AQB ADC 即.AD QB ⊥………………2分又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD =AD ，∴BQ ⊥平面PAD ．…………4分∵BQ ⊂平面PQB ，∴平面PQB ⊥平面PAD ．………………5分（2）∵PD PA =，Q 为AD 的中点，∴PQ ⊥AD ．∵面PAD ⊥面ABCD ，且面PAD ∩面ABCD =AD ，∴PQ ⊥面ABCD ．如图，以Q 为原点，分别以QP QC QA ,,所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．………………6分平面BQC 的法向量可取为)1,0,0(=n ；………………7分(0,0,0)Q，P，B，(C -．设(,,)M x y z ，则(,,PM x y z =，(1,)MC x y z =--- ,3PM MC=343(1)3),,44443()4x x x y y y M z z z ⎧=-⎪=--⎧⎪⎛⎫⎪⎪∴=⇒=- ⎪⎨⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪=-⎩⎪=⎪⎩………………………9分在平面MBQ中，30),,444QB QM ⎛==- ⎝⎭，设平面MBQ 法向量的法向量为(,,)m x y z =，(,,)0003(,,),,00444x y z y m QB x y z z m QM ⎧⋅=⎧=⎧⎪⋅=⎪⎪∴⇒⎛⎫⎨⎨⎨⋅-==⎪⋅= ⎪⎪⎩⎪⎩ ⎪⎝⎭⎩ 令1x =则m = .……………………11分设二面角M BQ C --的平面角为θ，则33cos cos ,122m n m n m n θ⋅====⨯⋅ .6π=∴θ所以二面角M BQ C --的大小为6π.……………………12分19.（1）解：由题意可得2,a c bc ==……………………2分又222a b c =+ 得2224,3,1a b c ===所以椭圆C 的方程为22143x y +=.……………………4分（2）证明：由（1）可得：直线:1l x =-，3(1,)2A -，设直线MN 的方程为y kx m =+，代入椭圆方程，消y 可得222(34)84120k x kmx m +++-=，设1,122(),(,)M x y N x y 则2248(43)k m ∆=-+，222122143124,438k m x x k km x x +-=+-=+………………7分MAB NAB ∠=∠ 0AM AN K K ∴+=，………………8分12123322011y y x x --∴+=++，即122133()(1)()(1)022kx m x kx m x +-+++-+=.212122232(412)382()()23(230234234k m km kx x m k x x m m k m k k-∴++-++-=-+-⋅+-=++化简可得(21)(223)0k m k +--=，………………10分21-=∴k 或0322=--k m .当2230m k --=时，直线MN 的方程为3(1)2y k x =++，直线MN 经过点3(1,2A -，不满足题意，则21-=k .故直线MN 的斜率为定值12-.………………12分20．解：（1）根据散点图可以判断，dx c y e =更适宜作为平均产卵数y 关于平均温度x 的回归方程类型．………………………1分对dx c y e =两边取自然对数得ln ln d y c x =+，令ln z y =，ln a c =，b d =，得z a bx =+．因为71721()()40.1820.272147.714()i i i i i xx z z b xx ==--===-∑∑ ，………………………3分 3.6120.27227.429 3.849az bx =-=-⨯=- ，所以z 关于x 的线性回归方程为0.272 3.849z x =- ．………………………4分所以y 关于x 的回归方程为849.3272.0e -∧=x y ．………………………5分（2）（i）由2335)1(C )(p p p f -=，得)53)(1(C )(235'p p p p f --=，因为01p <<，令()0f p '>得053>-p ，解得305p <<，所以()f p 在3(0)5，上单调递增，在3()5,1上单调递减，所以()f p 有唯一极大值3()5f ，也为最大值.所以当3=5p 时，max 216()625f p =……………9分（ii）由（i），当()f p 取最大值时3=5p ，所以)53,5(~B X ，…………………10分3()5=3,5E X ∴=⨯326()5=555D X =⨯⨯.…………………12分21.解:（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，2221221()1a x ax f x x x x--+'=-+=-.………1分（i ）若1a ≤,则()0f x '≤，当且仅当1a =，1x =时()0f x '=，………………2分（ii ）若1a >，令()0f x '=得12x a x a =-=+………………3分当),1()1,0(22+∞-+--∈a a a a x 时，()0f x '<；当()1,122-+--∈a a a a x 时，()0f x '>.所以:当1a ≤时,()f x 单调递减区间为(0,)+∞,无单调递增区间;当1a >时,()f x单调递减区间为(()0,,a a ++∞；单调递增区间为(a a +.………………………5分(2)由(1)知:1a >且12122, 1.x x a x x +==………………6分又()12121212()2,()2x x g x b cx g b c x x x x x +''=--∴=--++,由12()()0g x g x ==得:22112122ln ()()x b x x c x x x =-+-.………………7分221212121121212121222()2()()()()()ln 2x x x x x x x y x x g b x x c x x x x x x x +--'∴=-=----=-++1211222(1)ln 1x x x x x x -=-+.………………9分令()120,1x t x =∈2(1)ln ,1t y t t -∴=-+22(1)0(1)t y t t --'∴=<+,所以y 在()0,1上单调递减，由y 的取值范围是2ln 2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，得t 的取值范围是10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈++=++=∴,29212412212t t x x x x a ，又1>a ，故实数a的取值范围是,4⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭.………………12分22．解：（1）把6πcos(4-=θρ，展开得θθρcos 32sin 2+=，……………1分两边同乘ρ，得θρθρρcos 32sin 22+=①．………………3分将222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==代入①，………………4分即得曲线C 的直角坐标方程为023222=--+y x y x ．………………5分（2）将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 23121代入②式，得0132=-+t t ，………………6分设方程的两个实根分别为t 1，t 2，则1,32121-=-=+t t t t .………………7分点M 的直角坐标为)1,0(.………………8分则由参数t 的几何意义即得12,MA t MB t ==,且021<t t ，1212||||MA MB t t t t ∴+=+=-===.………10分23．解：（1）当1a =时，()11f x x x =++-即⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤-=.1,2,11,2,1,2)(x x x x x x f ………………3分故不等式4)(≤x f 的解集为{}22≤≤-x x ．………………5分（2）若(0,1)x ∈时，不等式()2f x x <+恒成立，即112x ax x ++-<+恒成立，等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<恒成立．………………7分若0a ≤，则当(0,1)x ∈时|1|1ax -≥，不满足条件；………………8分若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，所以21a ≥，故02a <≤．………………9分综上，a 的取值范围为(0,2]．………………10分。
湖北省八校联盟2019届高三第二次猜题考试数学(理)试题
湖北省八校联盟2019届高三第二次猜题考试数学（理科）试题本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{|2,}xA y y x R ==∈，{|}B x y x R ==∈，则A B =A ．{}1B ．(0,)+∞C ．(0,1)D ．(0,1]2．若复数z 满足22zi z i +=-（i 为虚数单位），z 为z 的共轭复数，则1z +=A ．2 C ．33. 某学校的两个班共有100名学生，一次考试后数学成绩()N ξξ∈服从正态分布()2100,10N ，已知()901000.4P ξ≤≤=，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为A.20B.10C.7D.54．古代数学著作《九章算术》有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述已知条件，若要使织布的总尺数不少于50尺，则至少需要A ．7天B ．8天C ．9天D ．10天5．在矩形ABCD 中，6,4AB AD ==，若向该矩形内随机投一点P ，那么使得ABP ∆与ADP ∆的面积都不小于3的概率为 A ．14 B ．13 C ．916 D ．496. 执行如图所示的算法，则输出的结果是 A ．2B ．43C ．54D ．17. 有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4，5，6号选手都不可能获得第一名，比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是 A.甲 B.乙 C.丙D.丁8．一个几何体的三视图如右图所示，该几何体外接球的表面积为A.1723π B.433π C. 48πD. 56π9. 设O 为坐标原点，点P 为抛物线C ：22(0)y px p =>上异于原点的任意一点，过点P 作斜率为0的直线交y 轴于点M ，点P 是线段MN 的中点，连接ON 并延长交抛物线于点H ，则||||OH ON 的值为 A ．p B ．12 C ．2D ．3210. 设函数()f x 为定义域为R 的奇函数，且()(2)f x f x =-，当[0,1]x ∈时，()sin f x x =，则函数()cos()()g x x f x π=-在区间[3,5]-上的所有零点的和为 A ．10B ．8C ．16D ．2011. 已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象过点()0,1B ，且在72,183ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，同时()f x 的图象向左平移π个单位之后与原来的图象重合，当12195,,126x x ππ⎛⎫∈--⎪⎝⎭，且12x x ≠时，()()12f x f x =，则()12f x x +=A.B.1-C. 1D.2-12. 在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是BC 中点，点P 是正方形11DCC D 内的动点(含边界)，且满足APD MPC ∠=∠，则三棱锥P BCD -A.649B.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量a ,b 的夹角为60︒，2a =，1b =，则3a b +=_______ ．14.已知,x y 满足,2,2 2.y x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩则2z x y =+最大值为_________．15.在ABC ∆中，,6B ACD π∠==是AB 边上一点，2,CD ACD =∆的面积为2，ACD ∠为锐角，则BC = ．16.已知实数a ，b ，c 满足2211a a e cb d --==-，其中e 是自然对数的底数，那么()()22a cb d -+-的最小值为________．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答.17. (本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且21nn a S -=.(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设21(1)n n n b a n n +=⋅+，求数列{}n b 的前100项和100T .18. (本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面BCP ，//CD 平面ABP ，2BC CP BP ===，2,4CD AB ==（1）证明：平面ABP ⊥平面ADP ；（2）若直线PA 与平面PCD 所成角为α，求sin α的值.19．(本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为6，且椭圆C 与圆940)2(:22=+-y x M 的公共弦长为3104． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点P （0，1）作斜率为)0(>k k 的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点D ，使得ADB △为以AB 为底边的等腰三角形，若存在，求出点D 的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．20. (本小题满分12分)随着生活节奏的加快以及智能手机的普及，外卖点餐逐渐成为越来越多用户的餐饮消费习惯，由此催生了一批外卖点餐平台。
湖北省黄冈、华师附中等八校2019届高三第二次联考数学(理)试题
湖北省黄冈、华师附中等八校2019届高三第二次联考理科数学本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知是虚数单位，若，则的共轭复数对应的点在复平面的（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【详解】解：由2+i＝z（1﹣i），得z，∴，则z的共轭复数z对应的点的坐标为（），在复平面的第四象限．故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别求y＝3x，x∈R，y，x∈R的值域，得：A＝（0，+∞），B＝[0，2]，再求交集即可．【详解】解：由y＝3x，x∈R，得y＞0，即A＝（0，+∞），由y，x∈R，得：0≤y≤2，即B＝[0，2]，即A∩B＝（0，2]，故选：C．【点睛】本题考查了求函数值域及交集的运算，考查指数函数与幂函数的图象与性质，属简单题．3.函数的大致图像是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先判断函数为偶函数，再求出f（1）即可判断【详解】f（﹣x）f（x），则函数f（x）为偶函数，故排除C、D，当x＝1时，f（1）0，故排除B，故选：A．【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.4.已知等边内接于，为线段的中点，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用平面向量的线性运算写出用、的表达式即可．【详解】解：如图所示，设BC中点为E，则（）•．故选：A．【点睛】本题考查了平面向量的线性表示与应用问题，是基础题．5.某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为2，四条用虚线表示的线段长度均相等，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用三视图，还原出原几何体，进一步利用几何体的体积公式求出结果．【详解】根据几何体的三视图：该几何体是由一个边长为2正方体挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥构成的不规则的几何体．所以：v，．故选：A．【点睛】本题考查的知识要点：三视图的应用，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和空间想象能力，属于基础题型．6.若在上是增函数，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用辅助角公式，化简函数的解析式，再根据正弦函数的单调性，求得m的最大值．【详解】解：若f（x）＝sin x cos x＝2（sin x cos x）＝2sin（x）在[﹣m，m]（m＞0）上是增函数，∴﹣m，且m．求得m，且m，∴m，故m的最大值为，故选：C．【点睛】本题主要考查辅助角公式，正弦函数的单调性，考查转化能力与计算能力，属于中档题．7.如图，边长为的正六边形内有六个半径相同的小圆，这六个小圆分别与正六边形的一边相切于该边的中点，且相邻的两个小圆互相外切，则在正六边形内任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分别求出正六边形和阴影部分的面积，作商即可．【详解】如图所示，边长为a的正六边形，则OA＝OB＝AB＝a，设小圆的圆心为O'，则O'C⊥OA，∴OC a，∴O'C a，OO'a，∴OD a，∴S阴影＝12[a•aπ•（a）2]＝（）a2，S正六边形a2，∴点恰好取自阴影部分的概率P，故选：C．【点睛】本题考查了几何概型问题，考查特殊图形面积的求法，是一道常规题．8.如图，点为双曲线的右顶点，点为双曲线上一点，作轴，垂足为，若为线段的中点，且以为圆心，为半径的圆与双曲线恰有三个公共点，则的离心率为（）A. B. C. 2 D.【答案】A【解析】【分析】设A的坐标（a，0），求得B的坐标，考虑x＝2a，代入双曲线的方程可得P的坐标，再由圆A经过双曲线的左顶点，结合两点的距离公式可得a＝b，进而得到双曲线的离心率．【详解】由题意可得A（a，0），A为线段OB的中点，可得B（2a，0），令x＝2a，代入双曲线的方程可得y＝±b，可设P（2a，b），由题意结合图形可得圆A经过双曲线的左顶点（﹣a，0），即|AP|＝2a，即有2a，可得a＝b，e，故选：A．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．9.已知偶函数满足，现给出下列命题：①函数是以2为周期的周期函数；②函数是以4为周期的周期函数；③函数为奇函数；④函数为偶函数，则其中真命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】由偶函数的定义和条件，将x换为x+2，可得f（x+4）＝f（x），可得周期为4，即可判断①②的正确性；再由奇函数、偶函数的定义，将x换为﹣x，化简变形即可判断③④的正确性．【详解】解：偶函数f（x）满足f（x）+f（2﹣x）＝0，即有f（﹣x）＝f（x）＝﹣f（2﹣x），即为f（x+2）＝﹣f（x），f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），可得f（x）的最小正周期为4，故①错误；②正确；由f（x+2）＝﹣f（x），可得f（x+1）＝﹣f（x﹣1），又f（﹣x﹣1）＝f（x+1），即有f（﹣x﹣1）＝﹣f（x﹣1），故f（x﹣1）为奇函数，故③正确；由f（﹣x﹣3）＝f（x+3），若f（x﹣3）为偶函数，即有f（﹣x﹣3）＝f（x﹣3），可得f（x+3）＝f（x﹣3），即f（x+6）＝f（x），可得6为f（x）的周期，这与4为最小正周期矛盾，故④错误．故选：B．【点睛】本题考查抽象函数的周期性和奇偶性的判断，注意运用定义法，考查化简变形能力和运算能力，属于中档题．10.在中，角、、的对边分别是、、，若，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意利用正弦定理化简已知等式，利用同角三角函数间基本关系可求tan A＝3tan B，进而利用正弦定理，基本不等式化简所求即可求解．【详解】解：∵a cos B﹣b cos A，∴由正弦定理化简得：sin A cos B﹣sin B cos A sin C sin（A+B）sin A cos B cos A sin B，整理得：sin A cos B＝3cos A sin B，∴cos A cos B＞0，∴tan A＝3tan B；∴则222．∴可得的最小值为．故选：D．【点睛】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数间基本关系，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．11.如图，在等腰中，斜边，为直角边上的一点，将沿直线折叠至的位置，使得点在平面外，且点在平面上的射影在线段上设，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】推导出AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AC1＝AC＝1，CD＝C1D∈（0，1），∠AC1D＝90°，CH⊥平面ABC，从而AH＜AC1＝1，当CD＝1时，B与D重合，AH，当CD＜1时，AH，由此能求出x的取值范围．【详解】解：∵在等腰Rt△ABC中，斜边AB，D为直角边BC上的一点，∴AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，将△ACD沿直AD折叠至△AC1D的位置，使得点C1在平面ABD外，且点C1在平面ABD上的射影H在线段AB上，设AH＝x，∴AC1＝AC＝1，CD＝C1D∈（0，1），∠AC1D＝90°，CH⊥平面ABC，∴AH＜AC1＝1，故排除选项A和选项C；当CD＝1时，B与D重合，AH，当CD＜1时，AH，∵D为直角边BC上的一点，∴CD∈（0，1），∴x的取值范围是（，1）．故选：B．【点睛】本题考查线段长的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.设，是抛物线上的两个不同的点，是坐标原点，若直线与的斜率之积为，则（）A. B. 以为直径的圆的面积大于C. 直线过抛物线的焦点D. 到直线的距离不大于2【答案】D【解析】【分析】由已知分类求得MN所在直线过定点（2，0），结合选项得答案．【详解】解：当直线MN的斜率不存在时，设M（，y0），N（，﹣y0），由斜率之积为，可得，即，∴MN的直线方程为x＝2；当直线的斜率存在时，设直线方程为y＝kx+m，联立，可得ky2﹣y+m＝0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，∴，即m＝﹣2k．∴直线方程为y＝kx﹣2k＝k（x﹣2）．则直线MN过定点（2，0）．则O到直线MN的距离不大于2．故选：D．【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题．二、填空题（将答案填在答题纸上）13.设，满足约束条件，则的最大值为__．【答案】5【解析】【分析】先画出约束条件的可行域，利用目标函数z＝﹣3x+4y的几何意义，求解目标函数的最大值．【详解】作出x，y满足约束条件，所示的平面区域，如图：作直线﹣3x+4y＝0，然后把直线L向可行域平移，结合图形可知，平移到点A时z最大，由可得A（1，2），此时z＝5．故答案为：5．【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14.某共享汽车停放点的停车位排成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，则该停车点的车位数为_______．【答案】10【解析】【分析】设停车位有n个，求出这3辆共享汽车都不相邻的种数和恰有2辆相邻的种数，可得A n﹣23＝A32A n﹣22，解得即可.【详解】设停车位有n个，这3辆共享汽车都不相邻的种数：相当于先将（n﹣3）个停车位排放好，再将这3辆共享汽车，插入到所成（n﹣2）个间隔中，故有A n﹣23种，恰有2辆相邻的种数：先把其中2辆捆绑在一起看做一个复合元素，再和另一个插入到，将（n﹣3）个停车位排放好所成（n﹣2）个间隔中，故有A32A n﹣22种，因为这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，∴A n﹣23＝A32A n﹣22，解得n＝10，故答案为：10．【点睛】本题考查了排列组合中的相邻问题和不相邻问题，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.15.《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.已知满足.且，则用以上给出的公式可求得的面积为____．【答案】【解析】【分析】由题意可得：c＝2a＝2，a，利用正弦定理化简已知等式可得a2+c2﹣b2＝ac，根据题意利用三角形的面积公式即可计算得解．【详解】解：∵AB＝2BC＝2，∴由题意可得：c＝2a＝2，a，∵（sin A﹣sin B）（sin A+sin B）＝sin A sin C﹣sin2C，∴由正弦定理可得：（a﹣b）（a+b）＝ac﹣c2，可得：a2+c2﹣b2＝ac，∴S ac．故答案为：．【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.设函数，若函数有4个零点，则的取值范围为__．【答案】【解析】【分析】由题意可知函数为偶函数，函数有4个零点转化为函数在有2个零点，即研究函数的单调性与最值即可.【详解】由题意可知，函数的定义域，，即，∴函数为偶函数，若函数有4个零点，即函数在有2个零点，当x＞0时，,易知：函数在上单调递减，在上单调递增，且时，，且时，，故只需：的最小值∴，解得∴的取值范围为.故答案为：【点睛】（1）函数零点个数（方程根的个数）的判断方法：①结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；②利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零点个数．（2）本题将方程实根个数的问题转化为两函数图象交点的问题解决，解题时注意换元法的应用，以便将复杂的问题转化为简单的问题处理。
湖北省黄冈、华师附中等八校2019届高三第二次联考数学(理)试题
湖北省黄冈、华师附中等八校2019届高三第二次联考数学试题(理科)本试题卷共6页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，41iz =+，则复数z 的虚部为( ).A.2i -B.2iC.2D.2- 2.集合}{220A x x x =--≤，{}10B x x =-<，则A B = ( ).A.}{1x x < B.}{11x x -≤< C.{}2x x ≤ D.{}21x x -≤<3.执行右图所示的程序框图，则输出n 的值为( ). A.63 B.47 C.23 D.74.已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S (n N *∈)，25760a a a +-=，则11S 的值为( ).A.11B.12C.20D.225.已知偶函数()f x 在[)0+∞，上单调递增，则对实数a b ，，“a b >”是“()()f a f b >”的( ).A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是( ).注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.A.互联网行业从业人员中90后占一半以上B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C.互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D.互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多7.平面α外有两条直线a ，b ，它们在平面α内的射影分别是直线m ，n ，则下列命题正确的是( ).A.若a b ⊥，则m n ⊥B.若m n ⊥，则a b ⊥C.若//m n ，则//a bD.若m 和n 相交，则a 和b 相交或异面8.若6ax⎛ ⎝展开式的常数项为60，则a 的值为( ).A.4B.4±C.2D.2±9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为( ).A.10B.43C.83D.16310.某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1，2，3，4，5的五个小球，每次摸奖需要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：若第一次取出的两球号码连号，则中奖，摸奖结束；若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行第二次摸球.若与第一次取出的两个小球号码相同，则为中奖.按照这样的规则摸奖，中奖的概率为( ).A.45B.1925C.2350D.4110011.设双曲线2222:1x y C a b-=(00a b >>，)的左、右焦点分别为12F F ，，过1F 的直线分别交双曲线左右两支于点M N ，，连结22MF NF ，，若220MF NF ⋅=，22MF NF =，则双曲线C的离心率为( ).12.已知函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点12x x ，，若不等式()()12f x f x λ>+恒成立，则实数λ的取值范围是( ).A.[)3-+∞，B.()3+∞，C.[)e -+∞，D.()e +∞，第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡上的相应位置.13.设x y ，满足约束条件001030x y x y x y >⎧⎪>⎪⎪-+>⎨⎪+-<⎪⎪⎩，则2z x y =-的取值范围为 .14.若非零向量 a b ，满足()2a a b ⊥+，则a b b+= .15.在锐角ABC ∆中，2BC =，sin sin 2sin B C A +=，则中线AD 长的取值范围是 .16.在平面直角坐标系xOy 中，点n A (()12 2nnn n+-⋅，)(*n N ∈)，记21221n n n A A A -+∆的面积为n S ，则1ni i S ==∑ .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本小题满分12分)已知函数()cos2sin 26f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期； (Ⅱ)若0 2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，()13f α=，求cos2α.18.(本小题满分12分)在四棱锥P ABCD -中，BC BD DC === 2AD AB PD PB ====.(Ⅰ)若点E 为PC 的中点，求证：BE ∥平面PAD ；(Ⅱ)当平面PBD ⊥平面ABCD 时，求二面角C PD B --的余弦值.19.(本小题满分12分)每年3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础.为了做好今年的世界睡眠日宣传工作，某社区从本辖区内同一年龄层次的人员中抽取了100人，通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间(单位：小时)，并绘制出如右的频率分布直方图：(Ⅰ)求这100人睡眠时间的平均数x (同一组数据用该组区间的中点值代替，结果精确到个位)；(Ⅱ)由直方图可以认为，人的睡眠时间t 近似服从正态分布()2N μσ，，其中μ近似地等于样本平均数x ，2σ近似地等于样本方差2s ，233.6s ≈.假设该辖区内这一年龄层次共有10000人，试估计该人群中一周睡眠时间位于区间(39.2，50.8)的人数.附：.65.8.若随机变量Z 服从正态分布()2N μσ，，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=.DPC EA20.(本小题满分12分)设椭圆2222:1x y C a b+=(0a b >>)，圆22:2O x y +=与x 轴正半轴交于点A ，圆O 在点A 处的切线被椭圆C 截得的弦长为．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于点M N ，，试判断PM PN ⋅是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.21.(本小题满分12分)已知函数()()ln 1x f x e x =-+(e 为自然对数的底数). (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若()()g x f x ax =-，a R ∈，试求函数()g x 极小值的最大值.请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数).以坐标原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为=2cos ρθ.(Ⅰ)求1C 、2C 交点的直角坐标；(Ⅱ)设点A 的极坐标为3π⎛⎫⎪⎝⎭4，，点B 是曲线2C 上的点，求AO B ∆面积的最大值.23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲设函数()1f x x =+.(Ⅰ)若()22f x x +>，求实数x 的取值范围；(Ⅱ)设()()()g x f x f ax =+(1a >)，若()g x 的最小值为12，求a 的值.数学试题(理科)答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.()1 6-， 14.115.⎭ 16.222433n n ⎛⎫-⋅+ ⎪⎝⎭ 三、解答题：17.(本小题满分12分) (Ⅰ)∵()11cos 22cos 22cos 2sin 2226f x x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭， ∴函数()f x 的最小正周期为T π=. …………………………5分(Ⅱ)由()13f α=可得，1sin 263πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴72 666πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，. 又∵110sin 2632x π⎛⎫<+=< ⎪⎝⎭，∴2 62ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，∴cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. ………………………12分 18.(本小题满分12分)(Ⅰ)取CD 的中点为M ，连结EM ，BM . 由已知得，BCD ∆为等边三角形，BM CD ⊥. ∵2AD AB ==，BD = ∴30ADB ABD ∠=∠=， ∴90ADC ∠=，∴//BM AD .又∵BM ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，BDPCE MA∴BM ∥平面PAD .∵E 为PC 的中点，M 为CD 的中点，∴EM ∥PD . 又∵EM ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ， ∴EM ∥平面PAD . ∵EMBM M =，∴平面BEM ∥平面PAD .∵BE ⊂平面BEM ，∴BE ∥平面PAD . …………………………5分 (Ⅱ)连结AC ，交BD 于点O ，连结PO ，由对称性知，O 为BD 的中点，且AC BD ⊥，PO BD ⊥.∵平面PBD ⊥平面ABCD ，PO BD ⊥， ∴PO ⊥平面ABCD ，1PO AO ==，3CO =.以O 为坐标原点，OC 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系D xyz -.则D (0，，0)，C (3，0，0)，P (0，0，1). 易知平面PBD 的一个法向量为()11 0 0n =，，. 设平面PCD 的法向量为()2n x y z =，，， 则2n DC ⊥，2n DP ⊥，∴2200n DC n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∵()3DC =，()0DP =，∴300x z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩.令y =，得13x z =-=-，，∴()213n =--，∴121212cos 13n n n n n n⋅===⋅，. 设二面角C PD B --的大小为θ，则cos θ=………………………12分19.(本小题满分12分)(Ⅰ)0.06340.18380.20420.28460.16500.10540.025844.7245x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈；…………………………5分(Ⅱ)由题意得，39.2 50.8μσμσ-≈+≈，，()39.250.80.6826P t <<=， 所以估计该人群中一周睡眠时间在区间()39.2 50.8，的人数约为100000.68266826⨯=(人)；…………………………12分20.(本小题满分12分)(Ⅰ)设椭圆的半焦距为cb c a=，，∴椭圆C的方程可设为22221 2x yb b+=.易求得)A，∴点在椭圆上，∴222212b b+=，解得2263ab⎧=⎨=⎩，∴椭圆C的方程为22163x y+=. …………………………5分(Ⅱ)当过点P且与圆O相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为x(Ⅰ)知，M N，，()()22220OM ON OM ON==-⋅=，，，，，∴O M O N⊥.当过点P且与圆O相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为y kx m =+，()()1122M x y N x y，，，，=()2221m k=+.联立直线和椭圆的方程得()2226x kx m++=，∴()222124260k x kmx m+++-=，得()()()222122212244122604212621km k mkmx xkmx xk⎧∆=-+->⎪⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-=⎪+⎩.∵()()1122OM x y ON x y==，，，，∴()()12121212OM ON x x y y x x kx m kx m⋅=+=+++，()()()22222121222264112121m kmk x x km x x m k km mk k--=++++=+⋅+⋅+++()()()()222222222222212642132266366212121k m k m m k k km kk k k+--+++----====+++，∴O M O N⊥.综上所述，圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于点M N ，，都有O M O N ⊥. 在Rt OM N ∆中，由OM P ∆与NO P ∆相似得，22OP PM PN =⋅=为定值.…………………………12分21.(本小题满分12分) (Ⅰ)易知1x >-，且()11x f x e x '=-+. 令()11x h x e x =-+，则()()2101x h x e x '=+>+， ∴函数()11x h x e x =-+在()1x ∈-+∞，上单调递增，且()()000h f '==. 可知，当()1 0x ∈-，时，()()0h x f x '=<，()()ln 1x f x e x =-+单调递减； 当()0x ∈+∞，时，()()0h x f x '=>，()()ln 1x f x e x =-+单调递增. ∴函数()f x 的单调递减区间是()1 0-，，单调递增区间是()0+∞，.…………………………5分 (Ⅱ)∵()()()ln 1xg x f x ax e x ax =-=-+-，∴()()g x f x a ''=-.由(Ⅰ)知，()g x '在()1x ∈-+∞，上单调递增， 当1x →-时，()g x '→-∞；当x →+∞时，()g x '→+∞，则()0g x '=有唯一解0x . 可知，当()01x x ∈-，时，()0g x '<，()()ln 1x g x e x ax =-+-单调递减； 当()0x x ∈+∞，时，()0g x '>，()()ln 1x g x e x ax =-+-单调递增，∴函数()g x 在0x x =处取得极小值()()0000ln 1x g x e x ax =-+-，且0x 满足0011x e a x -=+. ∴()()()0000011ln 111x g x x e x x =--++-+. 令()()()11ln 111xx x e x x ϕ=--++-+，则()()211xx x e x ϕ⎡⎤'=-+⎢⎥+⎢⎥⎣⎦. 可知，当()1 0x ∈-，时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增； 当()0x ∈+∞，时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减， ∴()()max 01x ϕϕ==.∴函数()g x 极小值的最大值为1. …………………………12分22.(本小题满分10分)(Ⅰ)221:1C x y +=，2:=2cos C ρθ，∴2=2cos ρρθ，∴222x y x +=.联立方程组得222212x y x y x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得111 2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，221 2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴所求交点的坐标为12⎛ ⎝⎭，1 2⎛ ⎝⎭，.………………………5分 (Ⅱ)设()B ρθ，，则=2cos ρθ.∴AO B ∆的面积11sin 4sin 4cos sin 2233S OA OB AOB ππρθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅∠=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 26πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴当2312πθ=时，max 2S = ………………………10分23.(本小题满分10分)(Ⅰ)()22f x x +>，即1>22x x +-⇔10 1>22x x x +>⎧⎨+-⎩或10 122x x x +<⎧⎨-->-⎩13x ⇔>，∴实数x 的取值范围是1 3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，. ………………………5分 (Ⅱ)∵1a >，∴11a -<-，∴()()()()()121111112a x x g x a x x a a x x a ⎧⎪-+-∈-∞-⎪⎪⎡⎤=-∈--⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎛⎫++∈-+∞⎪ ⎪⎝⎭⎩，，， ，，，， 易知函数()g x 在1x a ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，时单调递减，在1x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，时单调递增， ∴()min 111g x g a a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.∴1112a -=，解得2a =. ………………………10分11。
2019届湖北八校第二次联考理科数学答案
2 ⨯ 3⨯3 7 cos C = = = 湖北省八校2019 届高三第二次联考数学试卷（理科）参考答案一、选择题：13. 4 ； 14. 3x + y -1 = 0 ； 15. 3 ； 16. 2 -1.三、解答题： 17.解：（1）¯N ¯˙ = （2a −c ，b ）与 n = (cos C , cos B ) 共线，∴(2a - c ) cos B = b cos C .即(2sin A -sin C ) cos B = sin B cos C 即sin A (2 cos B -1) = 0 .sin A ≠ 0,∴cos B = 1 .2B ∈(0, π),∴ B = π ...................6 分3，∴2sin A cos B = sin(B + C ) = sin A ………4 分 （2） b = 37, a = 3, B = π，在∆ABC 3中，由余弦定理得： a 2 + c 2 - b 2 9 + c 2 - 63 1 2cos B = = = ,∴ c - 3c - 54 = 0 .2ac 2 ⨯ 3⨯ c 2则c = 9 或c = -6 （舍去） ..................................................8 分∴ a 2 + b 2 - c 2 9 + 63 - 81 2ab 在∆BDC 中，由余弦定理得：-1 ，AD = 2DC ∴ DC = 1 b = 3 .……10 分 BD 2 = CB 2 + DC 2 - 2CB ⋅ DC cos C = 9 + 7 - 2 ⨯ 3 ⨯ 7 ⨯ -12 7= 19 ,∴ BD = 19………………12 分 18. 解：（1） AD // BC , BC = 1AD ，Q 为 AD 的中点， 2∴四边形 BCDQ 为平行四边形，∴CD // BQ .∠ADC = 90 ,∴∠AQB = 90即QB ⊥ AD . ………………2 分又∵平面 PAD ⊥平面 ABCD ，且平面 PAD ∩平面 ABCD = AD ，∴ BQ ⊥平面 PAD ．......... 4 分 ∵ BQ ⊂平面 PQB ，∴平面 PQB ⊥平面 PAD ． (5)分 （2）∵ PA = PD ， Q 为 AD 的中点，∴ PQ ⊥ AD ．∵面 PAD ⊥面 ABCD ，且面 PAD ∩面 ABCD = AD ，∴ PQ ⊥面 ABCD ．2 773 3 3 3 3 y ⎪如图，以Q 为原点，分别以QA , QC , QP 所在的直线为 x 轴， y 轴， z 轴 建立空间直角坐标系． ....................................................... 6 分平面 BQC 的法向量可取为 n = (0,0,1) ；......................................... 7 分 Q (0, 0, 0) ， P (0, 0, 3) ， B (0, 3, 0) ， C (-1, 3, 0) ．设 M ( x , y , z ) ，则 PM = (x , y , z - 3) ， MC = (-1 - x , - y , - z ) , PM ⎧x = - 3= 3MC⎧ x = 3(-1- x ) ⎪⎪3 3 ⎛ 3 ⎫ ∴⎨ y = 3( - y ) ⇒ ⎪ y =∴ M - , , ⎪………………………9 分⎨ 4 4 4 4 ⎪ ⎪z - = 3(-z ) ⎪ ⎝ ⎭ ⎩ ⎪ 3⎪ z =⎩4 ⎛ 3 3 3 3 ⎫ 在平面 MBQ 中， QB = (0, 3, 0), QM = - 4 , 4 , 4⎪ ， ⎝ ⎭设平面 MBQ 法向量的法向量为 m = (x , y , z ) ，⎧ ⎧ (x , y , z ) ⋅ (0, 3, 0) = 0 ⎧ y = 0⎪ m ⋅ Q B = 0 ∴⎪ ⇒ ⎪ ⎨ ⎨(x , y , z ) ⎛ 3 3 3 3 ⎫ ⎨⎪⎩m ⋅ Q M = 0 ⎪ ⋅ - 4 , 4 , 4 ⎪ = 0 ⎪⎩z = 3x ⎩ ⎝ ⎭令 x = 1 则 m = (1, 0, 3) (11)分 设二面角 M - BQ - C 的平面角为θ ，则cos θ= cos m ,n === 1⨯ 2 2∴θ= π. 6 所以二面角 M - BQ - C 的大小为 π12 分619. （1）解：由题意可得 a = 2c , bc = 2 分 又 a 2 = b 2 + c 2 得 a 2 = 4,b 2 = 3, c 2 = 1所以椭圆C 的方程为 x 2+ = 1 ..................................................................................... 4 分43（2）证明：由（1）可得：直线l : x = -1，A (- 3，设直线 MN 的方程为 y = kx + m ，1, ) 2代入椭圆方程，消 y 可得(3 + 4k 2 )x 2 + 8kmx + 4m 2 -12 = 0 ，设 M (x 1, y 1 ), N (x 2 , y 2 )则∆ = 48(4k 2 - m 2 + 3)， x + x = - 8km, x x = 1 23 + 4k 2 1 2 4m 2 - 12 3 + 4k 2………………7 分∠MAB = ∠NAB ∴ K AM + K AN = 0， .......................................... 8 分y -3y -33 3∴ 12 + 22 = 0 ，即(kx + m - )(x +1) + (kx + m - )(x +1) = 0 . x +1 x +11 2 2 2 2 1 12∴ 3 2k (4m 2 -12) 3 8km2kx 1x 2 + (m + k - 2)(x 1 + x 2 ) + 2m - 3 = 3 + 4k 2 - (m + k - ⋅ + 2m - 3 = 0 2 3 + 4k 23 3 3 34 2∑ 40.182 i y = e5 5 ，f ( ) 化简可得(2k + 1)(2m - 2k - 3) = 0 ∴ k = - 1或2m - 2k - 3 = 0 .2， ........................................ 10 分当2m - 2k - 3 = 0 时，直线 MN 的方程为 y = k (x +1) + 3，直线 MN 经过点 A (-1, 3) ，不满足题意，22则 k = - 1 .故直线 MN 的斜率为定值- 1 ........................ 12 分22 20. 解：（1）根据散点图可以判断， y = c edx更适宜作为平均产卵数 y 关于平均温度x 的回归方程类型． ............................................................... 1 分对 y = c e dx 两边取自然对数得ln y = ln c + d x ，令 z = ln y ， a = ln c ， b = d ，得 z = a + bx ．7(x i - z i - z 因为b = i =1 = = 0.272 ， .......................................................................... 3 分∑ i =1(x - x )2147.714a= z - b x = 3.612 - 0.272 ⨯ 27.429 = -3.849 ， 所以 z 关于 x 的线性回归方程为 z = 0.272x - 3.849 ． ..............................4 分 所以 y 关于 x 的回归方程为 ∧0.272 x -3.849 ． .................................... 5 分 （2）（i ）由 f ( p ) = C 3 p 3 (1 - p )2 ，得 f ' ( p ) = C 3 p 2(1 - p )(3 - 5 p ) ，因为0 < p < 1 ，令 f '( p ) > 0 得3 - 5 p > 0 ，解得0 < p < 3，所以 f ( p ) 在(0 3) 上单调递增，在(3 ,1) 上单调递减，所以 5 5 5 f ( p ) 有唯一极大值 3 5，也为最大值.所以当 p = 3 时， f ( p ) 5 max = 216 625 ……………9 分（ii ）由（i ），当 f ( p ) 取最大值时 p = 3 ，所以 53X ~ B (5, ) ， .................. 10 分5 ∴ E ( X ) = 5 ⨯ 3 =3, D ( X ) = 5⨯ 3 ⨯ 2 =6 ..............................................................................12 分5f (x )5 5 5 (0, +∞)-1 2a x 2 - 2ax + 121.解:（1） 的定义域为 ， f '(x ) = - 1 + = - 1 分 x 2 x x 2（i ）若 a ≤ 1,则 f '(x ) ≤ 0 ，当且仅当 a = 1 ， x = 1 时 f '(x ) = 0 ， .................2 分 （ii ）若 a > 1 ，令 f '(x ) = 0 得 x = a -x = a +………………3 分当 x ∈ (0, a -a 2 - 1) (a +1 2a 2 - 1,+∞) 时， f '(x ) < 0 ；当 x ∈ (a -a 2 -1, a + a 2 -1)时， f '(x ) > 0 .所以:当a ≤ 1时, f (x ) 单调递减区间为(0, +∞),无单调递增区间;当 a > 1 时, f (x ) 单调递减区间为(0, a -, (a ++∞)；单调递增区间为(a - a + ................................ 5 分77 = < ⎨ ⎩(2)由(1)知: a > 1 且 x 1 + x 2 = 2a , x 1 x 2 = 1. ………………6 分又g '(x ) = 1 - b - 2cx ,∴ g '( x 1 + x 2 ) = 2- b - c ( x + x ) ,由 g (x ) = g (x ) = 0 x 2 x + x1 2 1 2 得 : lnx 11 2= b (x - x ) + c (x 2 - x 2 ) ................................................................ 7 分x 2 ∴ y = (x 1212- x )g '( x 1 + x 2 ) = 2( x 1 - x 2 )- b (x- x ) - c (x 2- x 2 ) = 2( x 1 - x 2 ) - ln x 1 1 2x + x 1 2 1 2 x + x x 2( x1 -1) = x 2x 1 + 1 x 21 2 1 2 2- ln x 1 ..................................................................................................................................................................9 分 x 2 令 x 1 = t ∈(0,1) x 2∴ y = 2(t - 1) - ln t , ∴ y ' t + 1 -(t - 1)2t (t + 1)2 0 ,所以 y 在(0,1) 上单调递减，由 y 的取值范围是⎡ln 2 - 2 , +∞ ⎫ ，得t 的取值范围是⎛ 0, 1 ⎤， ⎢ 3 ⎪ 2 ⎥∴ 4a 2 =⎣ ⎭ ⎝ ⎦ x 1+x 2+ 2 = t + 1 + 2 ∈ ⎡ 9 ,+∞⎫> 1x 2 x 1t ⎢⎣2⎪ ，又 a ，⎭故实数a 的取值范围是⎡ 3 2, +∞⎫ 12 分 ⎢ 4 ⎪ ⎣ ⎭22．解：（1）把ρ= 4 cos(θ- π ，展开得ρ= 2 s in θ+ 2 63 cos θ，............ 1 分 两边同乘ρ，得ρ2 = 2ρsin θ+ 23ρcos θ①．....................................3 分 将ρ2 = x 2 + y 2 ,ρcos θ= x ,ρsin θ= y 代入①， .................................... 4 分即得曲线C 的直角坐标方程为 x 2 + y 2 - 2 ⎧x = - 1 t3x - 2 y = 0 ． ...................... 5 分⎪（2）将⎨2 代入②式，得t 2 + 3t - 1 = 0 ， .......................... 6 分 ⎪ y = 1 +3 t ⎩ 2设方程的两个实根分别为 t 1，t 2，则t 1 + t 2 = - 3, t 1t 2 = -1 ................................................. 7 分 点 M 的直角坐标为(0,1).............................................................................................................. 8 分 则由参数 t 的几何意义即得 MA = t 1 , MB = t 2 ,且t 1t 2 < 0 ，∴| MA | + | MB |= t + t = t - t === 10分 1212⎧- 2x , x ≤ -1,23．解：（1）当 a = 1时， f (x ) = x +1 + x -1 即 f (x ) = ⎪2,-1 < x < 1, ⎪2x , x ≥ 1. ………………3 分故不等式f (x) ≤ 4 的解集为{x - 2 ≤x ≤ 2}．................................ 5 分（2）若x ∈(0,1) 时，不等式 f (x) <x + 2 恒成立，即 x +1 +ax -1<x + 2恒成立，等价于当x ∈(0,1) 时| ax -1|<1 恒成立．....................................... 7分若a ≤ 0 ，则当x ∈(0,1) 时| ax -1|≥1 ，不满足条件；............................ 8 分若a > 0 ，| ax -1|<1 的解集为0 <x <2，所以2≥1 ，故0 <a ≤ 2 ．............. 9 分a a综上，a 的取值范围为(0, 2] ．............................................... 10 分。
湖北省八校2019届高三数学下学期第二次联考试题 理
湖北省八校2019届高三数学下学期第二次联考试题 理本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数(1)(2)i i z i-++=-，则z 在复平面内对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，集合{2,4,5}A =，{1,3,5,7}B =，则()U C A B =∩ A ．{7} B ．{3,5} C ．{1,3,6,7} D ．{1,3,7}3.下列选项中说法正确的是A ．命题“q p ∨为真”是命题“q p ∧为真” 的必要条件.B ．若向量,a b r r 满足0a b ⋅>r r ，则a r与b r 的夹角为锐角.C ．若22bm am ≤，则b a ≤.D ．“0,0200≤-∈∃x x R x ”的否定是“0,2≥-∈∀x x R x ”.4.若等差数列{}n a 的公差为2，且5a 是2a 与6a 的等比中项，则该数列的前n 项和n S 取最小值时，n 的值等于A. 7B. 6C.5D.45.过双曲线2221(0)4x y b b -=>的左焦点的直线交双曲线的左支于A ，B 两点，且||6AB =，这样的直线可以作2条，则b 的取值范围是A ．(0,2]B ．(0,2)C ．D ．(6.已知若1e ，2e 是夹角为90的两个单位向量，则213e e a -=，212e e b +=的夹角为A ．120B ．60C ．45D ．307.()20cos a x dx π=-⎰，则912ax ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中，3x 项的系数为A ．212-B ．638-C ．638D ．63168.右图是求样本x 1，x 2，…，x 10平均数x 的程序框图，图中空白框中应填入的内容为A.S =S +n xB.S =S +nx n C.S =S + n D.S =S +10nx 9.设F 为抛物线24x y =的焦点，,,A B C 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++=，则FA FB FC ++的值为A ．3B ．6C ．9D ．1210.函数()y f x =的定义域是R ，若对于任意的正数a ，函数()()()g x f x a f x =+-都是其定义域上的减函数，则函数()y f x =的图象可能是11.公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V ）与它的直径（d ）的立方成正比”，此即3V kd =。
2019届湖北省黄冈中学、华师一附中等八校高三第二次联考数学(理)试题(word版)
湖北省鄂南高中 华师一附中 黄冈中学 黄石二中 孝感高中荆州中学 襄阳四中 襄阳五中八校2019届高三毕业班第二次联考数学(理科)试题第I 卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知复数i1i2z +=,则z 的共轭复数在复平面内对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知集合2{2+--==x x y x P ,}1ln {＜x x Q =,则=Q P I A.(0,2] B.[-2,e) C.(0,1] D.(1,e)3.空气质量指数AQI 是反映空气状况的指数,AQI 指数值越小,表明空气质量越好,其对应关系如下表：AQI 指数 0-50 51-100 101-150 151-200 201-300 ＞300 空气质量 优良轻度污染中度污染重度污染严重污染下图是某市10月1日-20日AQI 指数变化趋势，下列叙述错误的是A. 这20天中AQI 指数值的中位数略高于100B. 这20天中的中度污染及以上的天数占1/4C. 该市10月的前半个月的空气质量越来越好D. 总体来说,该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好4.若等差数列{a n }的公差为-2,a 5是a 2与a 6的等比中项,则该数列的前n 项和Sn 取得最大值时,n 的值等于 A.4 B.5 C.6 D.75.将5个人从左至右排成一行,最左端只能排成甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有 A.36种 B.42种 C.48种 D.60种6.在△ABC 中,AD 为BC 边上的中线,且=,若AC u AB EB +=λ,则=uλA.-3B.31-C.3D.31 7.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”,三国时期吴国的数学家赵爽创制了一副“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如下图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角6πα=，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是 A.23-1 B.23 C.43-4 D.43 8.函数])0,2[)(cos (sin cos 2)(π-∈+=x x x x x f 的最大值为A.2-1B.1C.2D.21+9.已知抛物线)0(22＞p px y =的焦点为F ,过F 的直线l 交抛物线于B A ,两点(点A 在第一象限),若直线l 的倾斜角为32π,则=BFAF A.31 B.52 C.21 D.3210.如图,某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为 A.22 B.10 C.32 D.1311.已知双曲线)0,(12222＞b a by a x =-的左、右顶点分别为B A ,,右焦点为F ,过点F 且垂直于x 轴的直线l 交双曲线于N M ,2点,P 为直线l 上的一点，当APB ∆的外接圆面积达到最小值时,点P 恰好在M (或N )处,则双曲线的离心率为A.2B.3C.2D.512.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧--≥+=0),1ln(20,121)(2＜x x x x x f ,若函数kx x f x g -=)()(有且只有2个零点,则实数k 的取值范围为A.(0,2)B.(0,12)C.(2,+∞)D.(12,2)第II 卷二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在答题卡)13. 若y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥≤322y x x y x ,则y x 2+的最小值为_____.14. 已知函数13)1()(23+--+=ax x a x x f ,若)(x f 在1=x 处取得极值,则曲线)(x f y =在点(0,f (0))处的切线方程为____.15. 已知数列{a n }满足a n =2a n-1+2n-1(n ∈N*,n ≥2),若a 4=65,则a 1=____.16. 设),0(4)4(ln )(),(2222R b a b b a b a b a ∈+-+-=＞ϕ,当b a ,变化时),(b a ϕ的最小值为_____.三、解答题(本大题分为必考题和选做题两部分共70分)17．(12分)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，且向量m =(2a-c ,b )与向量n =(cos C ,cos B )共线。
湖北八校2019届高三第二次联合考试数学(理科)试题及精品解析
湖北省八校（鄂南高中.黄石二中.华师一附中.黄冈中学.荆州中学.孝感中学.襄阳四中.襄阳五中）2019届高三第二次联合考试数学（理科）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】：化简集合，根据交集的定义计算．【详解】：因为集合，化简，所以，故选D．【点睛】：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性．研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合．2.若复数z满足为虚数单位，为z的共轭复数，则A. B. 2 C. D. 3【答案】A【解析】分析：把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，结合复数模的公式求解.详解：由，得，则，，则，故选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.在矩形ABCD中，，，若向该矩形内随机投一点P，那么使得与的面积都不小于2的概率为A. B. C. D.【答案】D【解析】，由题意知本题是一个几何概型的概率，以AB为底边，要使面积不小于2，由于，则三角形的高要h⩾1,同样,P点到AD的距离要不小于，满足条件的P的区域如图，其表示的区域为图中阴影部分,它的面积是，∴使得△ABP与△ADP的面积都不小于2的概率为：.故选D.4.已知函数为偶函数，且在上单调递减，则的解集为A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义，求出a，b的关系，结合函数的单调性判断a的符号，然后根据不等式的解法进行求解即可．【详解】∵f（x）=（x-1）（ax+b）=ax2+（b-a）x-b为偶函数，∴f（-x）=f（x），则ax2-（b-a）x-b=ax2+（b-a）x-b，即-（b-a）=b-a，得b-a=0，得b=a，则f（x）=ax2-a=a（x2-1），若f（x）在（0，+∞）单调递减，则a＜0，由f（3-x）＜0得a[（3-x）2-1）]＜0，即（3-x）2-1＞0，得x＞4或x＜2，即不等式的解集为（-∞，2）∪（4，+∞），故选B．【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的性质求出a，b的关系是解决本题的关键．5.已知双曲线的离心率为，则a的值为A. 1B.C. 1或D.【答案】C【解析】分析：可用排除法，验证与是否符合题意即可得结果.详解：可用排除法，当时，化为，离心率为，符合题意；当时，化为，离心率为，符合题意,的值为，故选C.点睛：用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率.6.等比数列的前n项和，前2n项和，前3n项的和分别为A，B，C，则A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：由等比数列的性质，可知其第一个项和，第二个项和，第三个项和仍然构成等比数列，化简即可得结果.详解：由等比数列的性质可知，等比数列的第一个项和，第二个项和，第三个项和仍然构成等比数列，则有构成等比数列，，即，，故选D.点睛：本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列前项和，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力，是基础题.7.执行如图所示的程序框图，若输入，，输出的，则空白判断框内应填的条件可能是A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：将题中所给的程序框图模拟运行，逐步运算，结合题的条件，明确循环几次，到什么程度就会结束，从而利用相关的条件，得到其满足的式子，从而求得结果.详解：当第一次执行，，，返回；第二次执行，，，，返回；第三次执行，，，，要输出x，故满足判断框，此时，故选B.点睛：该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点是补全程序框图，在解题的过程中，注意对框图进行模拟运行，结合题的条件，求得结果.8.将函数图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位得到函数的图象，在图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据平移变换可得，根据放缩变换可得函数的解析式，结合对称轴方程求解即可. 详解：将函数的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到，再将所得图象向左平移个单位得到函数的图象，即，由，得，当时，离原点最近的对称轴方程为，故选A.点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.9.在的展开式中，含项的系数是A. 119B. 120C. 121D. 720【答案】B【解析】分析：展开式中含项的系数是，利用组合数的运行性质计算即可.详解：的展开式中，含项的系数是，故选B.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数以及组合式的性质，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.10.我国古代数学名著九章算术记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无丈刍，草也；甍，屋盖也”翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱刍甍字面意思为茅草屋顶”如图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形则它的体积为A. B. 160 C. D. 64【答案】A【解析】分析：由三视图可知该刍甍是一个组合体，它由成一个直三棱柱和两个全等的四棱锥组成，根据三视图中的数据可得其体积.详解：由三视图可知该刍甍是一个组合体，它由成一个直三棱柱和两个全等的四棱锥组成，根据三视图中的数据，求出棱锥与棱柱的体积相加即可，，故选A.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.11.已知椭圆C：，直线l：与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A，B两点，点C在直线l上，则“轴”是“直线AC过线段EF中点”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：若轴，不妨设与轴交于点，过作交直线于点，由平行线的性质结合椭圆第二定义可得，进而可得结果.详解：若轴，不妨设与轴交于点，过作交直线于点，则：，两次相除得：，又由第二定义可得，为的中点，反之，直线过线段中点，直线斜率为零，则与重合，所以“轴”是“直线过线段中点”的充分不必要条件，故选A.点睛：判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.12.下列命题为真命题的个数是；；；A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】本题首先可以构造函数，然后通过导数计算出函数的单调性以及最值，然后通过对①②③④四组数字进行适当的变形，通过函数的单调性即可比较出大小。
湖南湖北八市十二校2019届高三第二次联考理科数学试题及答案解析
湖南湖北八市十二校 2019 届高三第二次联考理科数学试题及答案解析
（一）必考题：60 分。 17．在 ABC 中，角 A, B , C 的对边分别为 a , b, c , 且 c 2 .
（1）若
A
, b 3, 3 求 sin C 的值；
B A 25 sin B cos 2 3sin C S sin C 2 2 2 ，且 ABC 的面积 ，
的图象大致为
A.
B.
C.
D.
7．已知 f ( x) 是定义域为 (, ) 的奇函数，满足 f (1 x) f (1 x) ．若 f (1) 2 ，则
f (1) f (2) f (3) … f (50)
A． 50 B．0 C．2 D．50
8．已知数列 A.150
x2 x1 x− 1 p 2p x2 x− p 2p x +x x x2 x1 1 x − ，点 p 2p x +x x2 x x1 ， p
B 处的切线方程为 y =
x2 x2 2 x − ，由 p 2p
1 2 x = 12 2 =1 2 P(1 ， − 2) 解得 ，又两切线交于点 ，∴ ，故得x1 + x2 = 2，x1 x2 =− 4p( ∗ )．∵ x x x x 1 2 1 2 x2 y = 2p =− 2 2 2p
2 3
ห้องสมุดไป่ตู้
B． 1
C．
4 3
D． 2
10．过抛物线x2 = 2py(p > 0)上 两点 A,B 分别作抛物线的切线,若两切线垂直且交于点 P(1, − 2),则直线 AB 的方程为 A． y = 2 x + 2 C． y = 2 x + 3
【精品】湖南湖北八市十二校2019届高三第二次调研联考数学(理)试卷(含答案)
2an
n
2
1 ，若不等式
2n2
n
3
5
an 对 n N * 恒成立，
则整数 的最大值为 ________________. 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必 考题，每个试题考生都必须作答。第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题： 60 分。
，∴
．设
，
则
，抛物线在点 处的切线方程为
，点 处的切
线方程为
，由
解得
，又两切线交于点
，
∴
，故得
．∵过
两点的切线垂直，
∴
，故
，∴
的斜率存在，可设直线方程为
，故得抛物线的方程为 ，
．由题意得直线
由
消去 y 整理得
，∴
，
由和
可得
且
，∴直线 的方程为
．
11、【答案】 A 【详解】设 外接圆直径为
，则
，
，如图，
（2）已知曲线 C3 的极坐标方程为
0
, R ，点 A 是曲线 C3 与 C1 的交点，点 B
是曲线 C3与 C2 的交点，且 A, B 均异于原点 O ，且 AB 4 2 ，求 a 的值 . 23. [选修 4–5：不等式选讲 ] 已知 f ( x) ax 2 x 2 .
（1）在 a 2时，解不等式 f ( x) 1 ；
为梯形，
，
均为等边三角形，
，
．
（1）过 作截面与线段 交于点 ，使得 证明； （2）在（ 1）的条件下，求直线 与平面
平面 ，试确定点 的位置，并予以 所成角的正弦值．
湖北省八校(荆州中学.孝感中学.襄阳四中.襄阳五中)2019届高三第二次联合考试数学(理科)试题(解析版)
湖北省八校（鄂南高中.黄石二中.华师一附中.黄冈中学.荆州中学.孝感中学.襄阳四中.襄阳五中）2019届高三第二次联合考试数学（理科）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】：化简集合，根据交集的定义计算．【详解】：因为集合，化简，所以，故选D．【点睛】：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性．研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合．2.若复数z满足为虚数单位，为z的共轭复数，则A. B. 2 C. D. 3【答案】A【解析】分析：把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，结合复数模的公式求解.详解：由，得，则，，则，故选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.在矩形ABCD中，，，若向该矩形内随机投一点P，那么使得与的面积都不小于2的概率为A. B. C. D.【答案】D【解析】，由题意知本题是一个几何概型的概率，以AB为底边，要使面积不小于2，由于，则三角形的高要h⩾1,同样,P点到AD的距离要不小于，满足条件的P的区域如图，其表示的区域为图中阴影部分,它的面积是，∴使得△ABP与△ADP的面积都不小于2的概率为：.故选D.4.已知函数为偶函数，且在上单调递减，则的解集为A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义，求出a，b的关系，结合函数的单调性判断a的符号，然后根据不等式的解法进行求解即可．【详解】∵f（x）=（x-1）（ax+b）=ax2+（b-a）x-b为偶函数，∴f（-x）=f（x），则ax2-（b-a）x-b=ax2+（b-a）x-b，即-（b-a）=b-a，得b-a=0，得b=a，则f（x）=ax2-a=a（x2-1），若f（x）在（0，+∞）单调递减，则a＜0，由f（3-x）＜0得a[（3-x）2-1）]＜0，即（3-x）2-1＞0，得x＞4或x＜2，即不等式的解集为（-∞，2）∪（4，+∞），故选B．【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的性质求出a，b的关系是解决本题的关键．5.已知双曲线的离心率为，则a的值为A. 1B.C. 1或D.【答案】C【解析】分析：可用排除法，验证与是否符合题意即可得结果.详解：可用排除法，当时，化为，离心率为，符合题意；当时，化为，离心率为，符合题意,的值为，故选C.点睛：用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率.6.等比数列的前n项和，前2n项和，前3n项的和分别为A，B，C，则A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：由等比数列的性质，可知其第一个项和，第二个项和，第三个项和仍然构成等比数列，化简即可得结果.详解：由等比数列的性质可知，等比数列的第一个项和，第二个项和，第三个项和仍然构成等比数列，则有构成等比数列，，即，，故选D.点睛：本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列前项和，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力，是基础题.7.执行如图所示的程序框图，若输入，，输出的，则空白判断框内应填的条件可能是A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：将题中所给的程序框图模拟运行，逐步运算，结合题的条件，明确循环几次，到什么程度就会结束，从而利用相关的条件，得到其满足的式子，从而求得结果.详解：当第一次执行，，，返回；第二次执行，，，，返回；第三次执行，，，，要输出x，故满足判断框，此时，故选B.点睛：该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点是补全程序框图，在解题的过程中，注意对框图进行模拟运行，结合题的条件，求得结果.8.将函数图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位得到函数的图象，在图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据平移变换可得，根据放缩变换可得函数的解析式，结合对称轴方程求解即可. 详解：将函数的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到，再将所得图象向左平移个单位得到函数的图象，即，由，得，当时，离原点最近的对称轴方程为，故选A.点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.9.在的展开式中，含项的系数是A. 119B. 120C. 121D. 720【答案】B【解析】分析：展开式中含项的系数是，利用组合数的运行性质计算即可.详解：的展开式中，含项的系数是，故选B.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数以及组合式的性质，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.10.我国古代数学名著九章算术记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无丈刍，草也；甍，屋盖也”翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱刍甍字面意思为茅草屋顶”如图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形则它的体积为A. B. 160 C. D. 64【答案】A【解析】分析：由三视图可知该刍甍是一个组合体，它由成一个直三棱柱和两个全等的四棱锥组成，根据三视图中的数据可得其体积.详解：由三视图可知该刍甍是一个组合体，它由成一个直三棱柱和两个全等的四棱锥组成，根据三视图中的数据，求出棱锥与棱柱的体积相加即可，，故选A.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.11.已知椭圆C：，直线l：与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A，B两点，点C在直线l上，则“轴”是“直线AC过线段EF中点”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：若轴，不妨设与轴交于点，过作交直线于点，由平行线的性质结合椭圆第二定义可得，进而可得结果.详解：若轴，不妨设与轴交于点，过作交直线于点，则：，两次相除得：，又由第二定义可得，为的中点，反之，直线过线段中点，直线斜率为零，则与重合，所以“轴”是“直线过线段中点”的充分不必要条件，故选A.点睛：判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.12.下列命题为真命题的个数是；；；A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】本题首先可以构造函数，然后通过导数计算出函数的单调性以及最值，然后通过对①②③④四组数字进行适当的变形，通过函数的单调性即可比较出大小。
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湖北省2019届高三八校联考第二次理科数学试卷鄂南高中 黄冈中学 黄石二中 华师一附中 荆州中学 襄樊四中 襄樊五中 孝感高中命题人：襄樊五中 刘 军 何宇飞 审题人：襄樊四中尹春明考试时间：2019.3.27下午15：00～17：00一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. ()U x M N ∈I ð成立的充要条件是（ ）()U A x M ∈ð ()U B x N ∈ð ()U UC x M x N ∈∈且痧 ()U UD x M x N ∈∈或痧2. 设复数11z i =+，2z x i =-（x R ∈），若12z z ⋅为实数，则x 等于（ ） ()2A - ()1B - ()1C ()2D3. 已知a r 、b r 是不共线的向量，AB a b λ=+u u u r r r ，AC a b μ=+u u ur r r （λ、R μ∈），则A 、B 、C 三点共线的充要条件是（ ）()1A λμ+= ()1B λμ-= ()1C λμ=- ()1D λμ=4. 设映射2:2f x x x →-+是实数集M 到实数集P 的映射，若对于实数t P ∈，t 在M 中不存在原象，则t 的取值范围是（ ）()[)1,A +∞ ()()1,B +∞ ()(),1C -∞ ()(],1D -∞ 5. 等差数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，12008a =，20072005220072005S S -=，则2008S 的值为（ ） ()2006A - ()2006B ()2008C - ()2008D 6. 已知函数()()212xx f x e e -=+（1x <）（其中e 是自然对数的底数）的反函数为()1f x -，则有（ ）()111322A f f --⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()111322B f f --⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()11322C f f --⎛⎫<⎪⎝⎭ ()()11322D f f --⎛⎫> ⎪⎝⎭7. 要从10名女生和5名男生中选出6名学生组成课外兴趣小组，如果按性别依比例分层随机抽样，则组成此课外兴趣小组的概率为（ ）()42105615C C A C ()33105615C C B C ()615615C C A ()42105615A A D C 8. 半径为1的球面上有A 、B 、C 三点，其中点A 与B 、C 两点间的球面距离均为2π，B 、C 两点间的球面距离均为3π，则球心到平面ABC 的距离为（ ） (A (B (C (D 9. 已知函数()()f x sin x ωϕ=+（0ω>，x R ∈）对定义域内的任意x ，都满足条件()f x =()()12f x f x +-+，若()9A sin x ωϕω=++，()9B sin x ωϕω=+-，则有（ ）()A A B > ()B A B = ()C A B ≥ ()D A B <10. 已知()()()321111132f x x a x a b x =++++++，若方程()0f x '=的两个实数根可以分别作为一个椭圆和双曲线的离心率，则（ ）()3A a b -<- ()3B a b --≤ ()3C a b ->- ()3D a b --≥二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 设实数x 、y 满足2025020x y x y y --⎧⎪+-⎨⎪-⎩≤≥≤，则22x y u xy +=的取值范围是__________.12. 设n a是(3n的展开式中x 项的系数（2n =、3、4、…），则2323333n n n lim a a a →∞⎛⎫+++= ⎪⎝⎭L_____________.13. 已知函数()()f x sinx cos x t =++为偶函数，且t 满足不等式23400t t --<，则t 的值为_____________.14. 在Rt ABC ∆中，1AB AC ==，以点C 为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在AB边上，且这个椭圆过A 、B 两点，则这个椭圆的焦距长为_____________.15. 设a 、b 、c 依次是ABC ∆的角A 、B 、C 所对的边，若1004tanA tanBtanC tanA tanB⋅=+，且222a b mc +=，则m =_____________.11. 102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 12. 18； 13．32π-或2π或52π； 14； 15．2009.三、解答题（本大题共6小题，共75分）16．（本小题满分12分）已知向量()(),2a sin x ωϕ=+r ，()()1,b cos x ωϕ=+r（0ω>，04πϕ<<）.函数()()()f x a b a b =+⋅-r r r r，()y f x =的图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为1，且过点71,2M ⎛⎫⎪⎝⎭.（Ⅰ）求函数()f x 的表达式；（Ⅱ）当11x -≤≤时，求函数()f x 的单调区间。
【解】（Ⅰ）()()()()()22222241f x a b a b a b a b sin x cos x ωϕωϕ=+⋅-=-=-=++--+r r r r r r r r()223cos x ωϕ=-++…………3′由题意得周期242T πω==，故4πω=.…………4′ 又图象过点71,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴73222cos πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭即122sin ϕ=，而04πϕ<<，∴26πϕ=，∴()326f x cos x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭………6′（Ⅱ）当11x -≤≤时，23263x ππππ-+≤≤∴当0326x πππ-+≤≤时，即11,3x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，()f x 是减函数当20263x πππ+≤≤时，即1,13x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 是增函数∴函数()f x 的单调减区间是11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，单调增区间是1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦…………12′17．（本小题满分12分）在某社区举办的《2008奥运知识有奖问答比赛》中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲回答这道题对．的概率是34，甲、丙两人都回答错．．．．的概率是112，乙、丙两人都回答．．．对．的概率是14. （Ⅰ）求乙、丙两人各自回答这道题对的概率；（Ⅱ）用ξ表示回答该题对的人数，求ξ的分布列和数学期望E ξ.【解】（Ⅰ）记“甲回答对这道题”、“ 乙回答对这道题”、“丙回答对这道题”分别为事件A 、B 、C ，则()34P A =，且有()()()()11214P A P C P B P C ⎧⋅=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，即()()()()1111214P A P C P B P C ⎧⎡-⎤⋅⎡-⎤=⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩∴()38P B =，()23P C =.…………6′（Ⅱ）由（Ⅰ）()()114P A P A =-=，()()113P B P B =-=.ξ的可能取值为：0、1、2、3.则()()1155043896P P A B C ξ==⋅⋅=⋅⋅=；()()()()3511323527148348348324P P A B C P A B C P A B C ξ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=； ()()()()15232P P A B C P A B C P A B C ξ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=； ()()3316P P A B C ξ==⋅⋅=.…………9′∴ξ的分布列为ξ 0 1 23 P596 724 1532 316 ξ的数学期望01239624321624E ξ=⋅+⋅+⋅+⋅=.…………12′18．（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱111ABC A B C -各棱长都为a ，P 为棱1A B 上的动点。
（Ⅰ）试确定1:A P PB 的值，使得PC AB ⊥；（Ⅱ）若1:2:3A P PB =，求二面角P AC B --的大小； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求点1C 到面PAC 的距离。
【法一】（Ⅰ）当PC AB ⊥时，作P 在AB 上的射影D . 连结CD .则AB ⊥平面PCD ，∴AB CD ⊥，∴D 是AB 的中点，又1//PD AA ，∴P 也是1A B 的中点，即1:1A P PB =. 反之当1:1A P PB =时，取AB 的中点D '，连接CD '、PD '. ∵ABC ∆为正三角形，∴CD AB '⊥. 由于P 为1A B 的中点时，1//PD A A ' ∵1A A ⊥平面ABC ，∴PD '⊥平面ABC ，∴AB PC ⊥.……4′ （Ⅱ）当1:2:3A P PB =时，作P 在AB 上的射影D . 则PD ⊥底面ABC .作D 在AC 上的射影E ，连结PE ，则PE AC ⊥. ∴DEP ∠为二面角P AC B --的平面角。
又∵1//PD AA ，∴132BD BP DA PA ==，∴25AD a =.∴360DE AD sin =⋅=o ，又∵135PD AA =，∴35PD a =. ∴3PDtan PED DE∠=，∴P AC B --的大小为60PED ∠=o .…8′ （Ⅲ）设1C 到面PAC 的距离为d ，则11C PAC P ACC V V --=，∵1//PD AA ，∴//PD 平面1A C ,∴DE 即为P 点到平面1A C 的距离，又2222332355PE PD DE a a ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴11133PAC ACC S d S DE ∆∆⋅⋅=⋅⋅.即21123113325325a d a ⎛⎫⋅⋅⋅=⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭，解得2a d =.即1C 到面PAC 的距离为12a .……12′ 【法二】以A 为原点，AB 为x 轴，过A 点与AB 垂直的直线为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，如图所示，设(),0,P x z ，则(),0,0B a 、()10,0,A a 、3,,022a a C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.（Ⅰ）由0CP AB ⋅=u u u r u u u r 得()3,,0,002a a x z a ⎛⎫-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭， 即02a x a ⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，∴12x a =，即P 为1A B 的中点，也即1:1A P PB =时，AB PC ⊥.…………4′（Ⅱ）当1:2:3A P PB =时，P 点的坐标是23,0,55a a ⎛⎫⎪⎝⎭. 取()3,3,2m =--u r .则()233,3,2,0,055a a m AP ⎛⎫⋅=--⋅= ⎪⎝⎭u r u u u r ，()33,3,202a a m AC ⎛⎫⋅=--⋅= ⎪ ⎪⎝⎭u r u u u r .∴m u r是平面PAC 的一个法向量。