11-12随机过程期末试题A卷答案

一．填空题（每空2分，共20分）

1．设随机变量X 服从两点分布，则X 的特征函数为__it pe q +______。

2．设X(t)=Vcos t,α ,t T=[0,+)∈∞，振幅V 是在区间（0,1）上均匀分布的随机变量，

α为常数，则X(t)的相关函数=)4,2(X R _∂∂4cos 2cos 3

1 ____。

3．强度为λ的泊松过程{}X(t),t 0≥,{}n T ,n 1≥是对应的时间间隔序列，则随机变量

n T (n=1,2,)独立同分布，密度函数为_t e λλ-_______________。

4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则1W 的分布函数为

__t

e

λ--1____________。

5．设随机过程 X(t)只有两条样本曲线，1X(t,)=acost,ω2X(t,)=-acost,ω其中常数a>0，且

12P()=3ω，21

P()=3ω，则随机过程的期望=)(t EX ___t a cos 3

1______。

6．马氏链{}n X ,n 0≥，状态空间I ,记初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率j n p (n)P(X =j)=，n 步

转移概率(n)

ij p ，三者之间的关系式为__)()(n p p n p ij i I

i j ∑

∈=

______。

7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，记初始概率i 0p P(X =i)=，一步转移概率

{}ij n+1n p p X j X i ===，用其表示{}0011n n P X =i ,X =i ,

,X i ==__n n i i i i i p p p 1100- __。

8．在马氏链{}n X ,n 0≥中，记 {}

(n)

ij v n 0f P X j,1v n-1,X j X i ,n 1,=≠≤≤==≥

(n)ij ij n=1

f f ∞

=∑，若1

9．在直线上，如果质点每次向前、向后移动1步的概率都是31，向后移动2步的概率也是3

1，则每个状态的周期=d ___1_____。

10．如果状态j 非常返或零常返，则(n)

ij n lim p →∞

=___0___，i I ∀∈。

二．证明题（每题6分，共24分）

1.设离散型随机变量Y X 与的期望存在，证明[]

)(Y X E E EX =。

证明：右边=

∑==y

y Y P y Y X E }{)(=∑∑===y

x

y Y P y Y x X P x }{)(=EX =左边

2.设G F E ,,为三个随机事件，证明：)()()(EF G P F E P F EG P =。

证明：左边=

)

()

()()()()(F P EF P EF P EFG P F P EFG P =

=右边 3. 设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间为I ，则对任意整数0,≥n m ，及任意i,j I ∈，证明：

∑∈+=I

k m kj n ik m n ij p p p )

()()(。

证明：{}

(n)ij k I

P P X(n)=j X(0)=i P X(n)=j,

X(l)=k X(0)=i ∈⎧⎫

==⎨⎬⎩⎭={}k I P X(n)=j,X(l)=k X(0)=i ∈∑

=

{}{}k I

P X(l)=k X(0)=i P X(n)=j X(l)=k,X(0)=i ∈∑=(l)(n-l)ik kj

P

P

∑

令n l m n n =+=,，即得∑∈+=

I

k m kj

n ik m n ij p p

p )

()

()

(。 4.如果,j i → k j →，证明k i →。

证明：,j i →即0,1)(>≥∃l ij p l ； k j →，即0,1)

(>≥∃m jk p m ；由K C -方程可得k i →。

三．计算题（共50分）

1. （12分）设随机过程X(t)=Asint,-

分布列:

（1）给出样本函数集合及状态空间；（2）求一维分布函数)4

;(π

x F 。

解：（1）{t t t sin 3,sin 2,sin }与[]3,3-

（2）)4;(πx F =2

2

3223222

2

2

2132310≥

<≤<≤<

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧x x x x

2.（13分）设电话总机在(0，t]内接到电话的呼叫数)(t X 是具有强度(每分钟)为5的泊松过程，

求（1）2分钟内接到3次呼叫的概率；（2）在2分钟内呼叫数的平均数；（3）两次呼叫到

达的时间间隔在1分钟到3分钟之间的概率。

解：(1)2

53!

3)25(}3)2({⨯-⨯=

=e X P (2)1025))2((=⨯=X E

(3)设时间间隔序列为,n T 服从指数分布，即t n T e t T P t F n λ--=≤=1}{)(，其中5=λ， 得=≤<}31{n T P 155)1()3(---=-e e F F n n T T 。

3.（13分）设0,≥n X n 是具有三个状态0，1，2的齐次马氏链，一步转移概率矩阵为

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4/34/104/12/14/104/34/1P 初始分布为{}2,1,0,310====i i X P p i ， 求(1){}2,1,0210===X X X P ；

(2)判断此链是否具有遍历性，若是遍历的，求其平稳分布。

解：（1）{}2,1,0210===X X X P =02010p p p =

16

1

414331= （2）设求其平稳分布为（210,,πππ），由（210,,πππ）=（210,,πππ）P ，

得（210,,πππ）=（

7

3,73,71）

4. (12分)设马尔可夫链{},0n X n ≥的状态空间为{}0,1,2,3,4I =，它的一步转移概率矩阵

为：11/2001/201/4001/41/21/2001/20

001/21/20

00

1/2

1/2⎡⎤

⎢⎥⎢

⎥⎢⎥=⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

P （１）画出状态转移图；（２）对状态进行分类，并将状态空间进行分解。