线性代数与几何(上)全套课件(新)

其中 aij ( i , j =1, 2, 3 ) 表示第 i 行第 j 列上的元素. 三阶行列式的计算可如下图:
a11 a12 a13

a21 a 22 a 23 a31 a32 a33
+
+

+
第一章 行列式
上一页
8
0 4
1 1 . 1
求三阶行列式
2
3 2
解
原式=32 + 4 + 0 12 (16) 0 =32 + 4 12 +16 = 40.
a1 1x1 a1 2x2 b1 , a2 1x1 a2 2x2 b2 ,
当 a11a22 a12 a21 0 时，得
(1.1)
其中 a11, a12, a21, a22, b1, b2 均为已知参数. 用中学的消元法解此方程组.
x1
a2 2b1 a1 2b2 , a1 1a2 2 a1 2a2 1
VII
x VIII V
1 2 1 0 3 1 . y VI 6 0 3
( 2)=a12 1+ a22 ( n)=a1n 1+ a2n
课 件
2+ 2+
… a n1 n ,
… an2n ,
……………
2+
… annn ,
中, 往往要解多个变量的一次方程组 (称为线性方程组), 其中最简单、最重要的是未知
量的个数与方程的个数相同的线性方程组. 因此有必要引入高阶行列式的概念.
第一章 行列式
§2. n 阶行列式
一、三阶行列式
定义1 三阶行列式
a11 a 21 a31
a12 a 22 a32
a13 a 23 a33
a1 1a2 2a3 3 a2 1a3 2a1 3 a3 1a2 3a1 2 a1 3a2 2a3 1 a2 3a3 2a1 1 a3 3a2 1a1 2,
以后我们将证明三元一次方程组
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1,
a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 ,
a31x1 a32 x2 a33x3 b3
的解将与它的系数行列式
a11 D a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
密切相关.
第一章 行列式
§2. n 阶行列式
二、排列与逆序数
为了得到 n 阶行列式的定义和讨论其性质, 先引 入排列和逆序数的概念. 定义2 将前 n 个自然数 1, 2, …, n 按照某一顺序排成一行, 就称为一个 n 级排列. 其 中若某两数之间大数在前而小数在后, 则称它们构成一个逆序. 一个排列中所有逆 序数的总数称为该排列的逆序数. n 级排列 (i1 i2…in ) 的逆序数记为τ(i1i2…in), 简记为τ . 例如, 四级排列 2314 中, 2与1, 3 与 1 构成逆序, 故 τ(2314) = 2; 再如六级排列 243516 中, 2 与 1, 4 与 1, 3 与 1, 5与 1, 4
得
(1.2)
将它代入第一个方程并化简,
x2
a1 1b2 a2 1b1 . a1 1a2 2 a1 2a2 1
(1.3)
式 (1.2) 和 (1.3) 给出了两个变量两个方程的方程组 (1.1) 的求解公式 ( 当 a11 a22 a12 a21 0时). 下面介绍一种更简单的记法表示求解公 式 ( 1.2 ) , ( 1.3 ) .
13
11 1 12 2 1n n 1 21 1 22 2 2n n 2
23
33
m1 1
m2 2
mn n
m
III IV I 0
湖 南 大 学 数 1 1 学 L 0与 1 计 0 0 量 经 0 0 济 学 院
II
( 1)=a11 1+ a21
1 1 1 2 0 4 上4 册 0 0 3 0 1
一、二元一次方程组的求解公式
二、二阶行列式的概念
一、三阶行列式 二、排列与逆序数 三、n阶行列式的定义
一、行列式的性质
二、行列式按行(列)展开
D 1 , 1x D
D 2 , 2x D
,
nD
D
nx
§1.二元一次方程组与二阶行列式
一、二元一次方程组的求解公式
设关于 x1, x2 的二元一次方程组为
第一章 行列式
§1.二元一次方程组与二阶行列式
二、二阶行列式的概念
定义1 二阶行列式 主对角线
a11 a 21
a12 a 22
a1 1a2 2 a1 2a2 1,
副对角线
其中横排称为行, 竖排称为列. 数 aij ( i, j =1, 2) 表示第 i 行第 j 列的元素. 在方程组
a1 1x1 a1 2x2 b1 , a2 1x1 a2 2x2 b2 ,
a11 a12 a21 a22 a31 a32
(－ ) (－ ) (－ )
线 性 代 数 x =b 1 2 a1x+a x +…+a多 2 1 1 a 媒 a x + a x +…+ a x =b 体 a 3 0 1 0 3 1 (+) ………… 解 析 几 何 教 a 学 (+) a x +a x +…+a x =b 2 1 4 电 1(+) 2 4 z 子
(1, 2, …, n ) = (1, 2, …, n )A
目 录
第 一 章 行 列 式 第 二 章 矩 阵 理 论
第 三 章 向 量 空 间
第 四 章 线 性 方 程 组
自 我 测 试 题 及 解 答
综 合 试 卷
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是
否
第一节 二元一次方程组与二阶行列式 第二节 n 阶行列式 第三节 行列式的性质与行列式的展开 第四节 克莱姆法则
例1
设
2x1 + 3x2 = 5 ,
3x1 + x2 = 3 ,
2 3 3 1
解此方程组.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ解
D
= 2 + 9 = 11 0 , D1
x2 D2 21 . 11 D
5 3 3 1
= 4, D2
2
5
3 3
21,
x1
D1 4 , 11 D
在 §1 中我们利用二阶行列式已得到了二元一次方程组的求解公式. 但实际问题
中, 若令
D
a11 a 21
a12 a 22
,
D1
b1 b2
a12 a 22
,
D2
a11
b1
a 21 b2
,
第一章 行列式
上一页
其中 D 称为系数行列式, 则当系数行列式 D 0 时, 上述方程组的解可简记为
x1
D1 , D
x2
D2 D
( 1.4 )
公式 (1.4 ) 与公式 (1.2 ) 及 (1.3 ) 表示的是同一式子, 但显然公式 (1.4 ) 简单易记得多. 公式 (1.4 ) 称为解两个方程两个未知量的二元一次方程组的克莱姆(Cramer)法则.