数学物理方法复习
数学物理方法复习要点13.6.19-24页PPT资料
利用递推公式
P lx P l' 1 x P l' 1 x
上式 u22Pl10Pl10Pl11Pl11
展成广义傅立叶级数。 7、熟练利用连带勒让德多项式给出拉普拉斯方程非轴对称
性定解问题的解。
第十一章 柱函数
1、熟悉三类贝塞尔方程和三类柱函数 2、掌握几类柱函数的自然边界条件 3、熟练掌握贝塞尔函数的递推公式 4、掌握贝塞尔函数的零点与模值 5、能将函数展成贝塞尔级数 6、能熟练解决柱坐标系下的边值问题（波动方程，输运方
第七章 数学物理方程定解问题 1、能导出弦的横振动方程、均匀杆的纵振动方程、扩散
方程、热传导方程、静电场方程 2、能正确写出波动方程、输运方程的初始条件 3、能正确写出数理方程方程的三类边界条件(注意符号的
正负) 固定端、自由端、弹性支撑、绝热、过截面有热量交换
衔接条件：振动问题，两种材料连接，位移连续、连接面上二力相等 静电场：电势相等，点位移矢量连续 4、能正确写出定解问题 5、掌握达朗贝尔公式，熟练运用达朗贝尔公式解无界和半 无界弦波动方程的定解问题 6、明确行波法中波动方程解的物理意义
解格林函数的边值问题。 5、掌握三维无界空间的基本解和二维无界空间极坐
标下的基本解。 6、熟练应用电像法求半空间、球形区域和圆域等的
格林函数 7、运用电像法给出半空间、球形区域和圆域等边值
问题的积分公式。
第十三章 积分变换法
1、掌握傅立叶变换的定义 2、掌握傅立叶变换的基本性质 3、掌握拉普拉斯变换的定义 4、掌握拉普拉斯变换的基本性质 5、熟练运用傅立叶变换法求解无限长杆热传导问
所以
ur,C 0l 1C lrllla l1a rl1P lcos
代入 第二个边界条件，有
数学物理方法复习
数学物理方法复习
数学物理方法是指在数学和物理学领域中常用的方法和技巧。
复习这些方法可以帮助我们更好地理解和应用数学和物理学的知识。
数学方法的复习包括但不限于以下内容：
1. 微积分：复习微分和积分的基本概念和性质，掌握常用的微积分技巧，如导数的计算、函数的积分等。
2. 线性代数：复习矩阵的运算和性质，如矩阵乘法、逆矩阵、特征值等；掌握线性方程组的解法，如高斯消元法、矩阵求逆法等。
3. 微分方程：复习一阶和二阶微分方程的基本概念和解法，如分离变量法、变换法、欧拉方程等。
4. 概率与统计：复习概率的基本概念和性质，如事件的概率、条件概率等；掌握常用的概率分布，如正态分布、泊松分布等。
5. 复变函数：复习复数的基本概念和运算，如复数的加减乘除、复函数的导数和积分等；掌握常用的复变函数，如指数函数、三角函数、对数函数等。
物理方法的复习包括但不限于以下内容：
1. 牛顿力学：复习牛顿的三大定律和它们的应用，如力的合成、力的分解、摩擦力等。
2. 电磁学：复习电荷、电场、电势等基本概念和性质，掌握库仑定律、电场强度和电势的计算方法。
3. 光学：复习光的折射、反射、干涉、衍射等基本原理和现象，掌握光的像的
成像公式和光的传播速度。
4. 热学：复习热力学和热传导的基本概念和定律，如热容、热力学第一定律、热传导方程等。
5. 量子力学：复习波粒二象性、不确定性原理等基本概念和性质，了解薛定谔方程和波函数的基本解法。
除了复习这些数学和物理方法外，还可以通过做习题、阅读教材、参加学习小组等方式来加深理解和应用。
数学物理方法总复习
第一章 复变函数复数的三种表示：代数表示，三角表示与指数表示几个初等函数的定义式：()1sin 2iz iz z e e i-=- ()1cos 2iz iz z e e -=+ ()12z z shz e e -=- ()12z z chz e e -=+ ln ln()ln iArg iArgz z z e z z ==+§1.3导数u v x y v u xy ∂∂⎧=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪=-⎪∂∂⎩ Cauchy-Riemann 方程§1.4 解析函数1．定义若复变函数()f z 在点0z 及其邻域上处处可导，则称()f z 在0z 点解析。
注意：如果只在一点导数存在，而在其他点不存在，那么也不能说函数在该点解析。
例如：函数2)(z z f =在0=z 点是否可导？是否解析？ 解：222)(y x z z f +==，22y x u +=，0=v ，x x u 2=∂∂，y y u 2=∂∂，0=∂∂xv ，0=∂∂y v ， 由此可见，仅在0=z ，u 、v 可微且满足C-R 条件，即)(z f 仅于0=z 点可导，但在0=z 点不解析。
在其他点不可导，则它在0z =点及整个复平面上处处不解析。
某一点，函数解析⇒⇐可导某一区域B，函数解析⇔可导2．解析函数的性质（ⅰ）几何性质（ⅱ）调和性（ⅲ）共轭性例已知323u x xy=-求v看书上例题§2.1 复变函数的积分∴复变函数的路积分可以归结为两个实函数的线积分。
因此复变函数积分也具有实变函数积分的某些性质。
一般说来，积分值不仅依赖于起点、终点。
积分路线不同，其结果也不同.§2.2 柯西定理的应用§2.3 不定积分§2.4 柯西公式均属于考试内容！第三章幂级数展开,)()()(20201000Λ+-+-+=-∑∞=z z a z z a a z z a k k k （1）比值判别法（达朗贝尔判别法,D ’ Alember ）（3.2.3） （2）根值判别法（柯西判别法）（3.2.6） §3.3 泰勒级数的展开2. 其他展开法可用任何方法展开，只要0()kz z -项相同，那么展开结果一定相同（根据Taylor 展开的唯一性）如利用00111!k k k z k t t t z e z k ∞==∞=⎧=<⎪-⎪⎨⎪=<∞⎪⎩∑∑ ∞<+-=∑∞=+z k z z k k k ,)!12()1(sin 012;∞<-=∑∞=z k z z k k k ,)!2()1(cos 02 等等！例6 将211z -在00z =点邻域展开（1z <） 解：利用011k k t t ∞==-∑有：24222011(1)1k k k z z z z z z ∞==+++++=<-∑K K例7 11z -在02iz =点的邻域展开 解：01011111(1)()1222211212()1122()2(1)22(1)2kk kk k i i iiz z z iiz i ii z i i z i∞=∞+===⋅---------=---=-<--∑∑§3.5 洛朗（Laurent ）级数展开（1）展开中心z 0不一定是函数的奇点；3展开方法的唯一性间接展开方法：利用熟知公式的展开法 较常用 例 2 将函数21()(2)(3)f z z z =--在021z <-<内展开为Laurent 级数 解：因为021z <-<内展开，展开形式应为(2)nn n c z ∞=-∞-∑ 01113(2)11(2)(2)(21)nn z z z z z +∞===------=---<∑ 而20111(2)(3)312(2)(2)(21)n n n z z z z n z z ∞=-''⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥--⎝⎭⎣⎦=+-++-+-<∑K K得到：22221111()(2)(3)(2)(3)123(2)(2)(2)(2)021n n n f z z z z z z n z z n z z -∞-===•----=++-++-+-=-<-<∑L L例3 函数1()(1)(2)f z z z =--在下列圆环域内都是处处解析的，将()f z 在这些区域内展开成Laurent级数 ①01z <<②12z <<③2z <<∞④011z <-< 解：①11111()211212f z zz z z =-=----- 由于1z <从而12z<，利用 21111n z z z z z =+++++<-K K 可得：22111(1)122222212n n z z z z z =+++++<-K K 22221()(1)(1)22221370248nn n z z z f z z z z z z z ∴=+++++-+++++=+++<K K K K K 结果中不含负幂次项，原因在于1()(1)(2)f z z z =--在1z <内解析的。
数学物理方法复习总结
数 学 物 理 方 法教 材：梁昆淼编写的《数学物理方法》[第四版]内 容：第一篇 复变函数论 第二篇 数学物理方程第一章 复变函数 一、复数1、复数的定义iy x z +=——代数式)sin (cos ϕϕρi z +=——三角式ϕρi e z =——指数式 重点：复数三种表示式之间的转换！实部： z x Re = 虚部：z y Im = 模：22y x z +==ρ主辐角：)(arg x yarctg z = ,2a r g 0π<≤z辐角：πk z Argz 2arg +=),2,1,0( ±±=k共轭复数:iy x z +=*z x i y =- 2、复数的运算:加、减、乘、除、乘方、开方(1)、加法和减法(2)、乘法和除法))((221121iy x iy x z z ++=)()(12212121y x y x i y y x x ++-=)()(212121y y i x x z z ±+±=±111iyx z +=222iy x z +=21z z *22*21zz z z ⋅⋅=22222211))((y x iy x iy x +-+=2222211222222121y x y x y x i y x y y x x +-+++=(2)、乘法和除法121111122222(cos sin )(cos sin )i i z i ez i eϕϕρϕϕρρϕϕρ=+==+=▶两复数相乘就是把模数相乘, 辐角相加;▶两复数相除就是把模数相除, 辐角相减。
(3) 复数的乘方和开方（重点掌握） )]sin()[cos(21212121ϕϕϕϕρρ-+-=i z z )(2121ϕϕρρ-=i e 12121212[cos()sin()]z z i ρρϕϕϕϕ=+++)(2121ϕϕρρ+=i e n i n e z )(ϕρ=ϕρin n e =)sin (cos ϕϕρn i n n +=或 （n 为正整数的情况)棣莫弗公式：ϕϕϕϕn i n i nsin cos )sin (cos +=+复数的乘、除、乘方和开方运算，采用三角式或指数式往往比代数式来得方便。
数学物理方法复习题
第一部分:填空题1复变函数f(z) u(x,y) i v(x,y)在点z x i y可导的必要条件是____ 2 柯西黎曼方程在极坐标系中的表达式为_______ 3 复变函数f(z) zz在z ____处可导4复变函数f(z) xy i y在z ____处可导5 ln( 1) _____6 指数函数f(z) ez的周期为______ 21dz _____ 7 1z 2(z )2zezdz _____ 8 z 3z 3 19 dz _____ 2 z 4z 2 1cos zd z _________ 5(z 1)z 111 z10 11 在z0 1的邻域上将函数f(z) e展开成洛朗级数为__________12 将e1/z在z0 0的邻域上展开成洛朗级数为_____________1在z0 1的邻域上展开成洛朗级数为________________ z 1sinz14 z0 0为函数的________________ 2z115 z0 0为函数sin的________________ z13 将sin16 z0 1为函数e17 z0 0为函数11 z的____________________ cosz的______阶极点4zsinz18 z0 0为函数4的______阶极点z1 e2z19 函数f(z) 在z0 0的留数Resf(0) ________ z320 函数f(z) e11 z在z0 1的留数Resf(1) ________,在无限远点的留数Resf( ) ________21 函数f(z) e1/z2在z0 0的留数Resf(0) ________22 函数f(z) cosz在z0 0的留数Resf(0) ________ 3zsinz23 函数f(z) 3在z0 0的留数Resf(0) ________ z24 积分 f( ) (t0 )d ______ (t (a,b) )ab25 两端固定的弦在线密度为 f(x,t) (x)sin t的横向力作用下振动,泛定方程为_______________.26 两端固定的弦在点x0受变力 f(x,t) f0sin t的横向力的作用,其泛定方程为_________________.27 弦在阻尼介质中振动，单位长度的弦所受的阻力F R ut（R为阻力系数），弦在阻尼介质中的振动方程为_______________。
数学物理方法(梁昆淼)总复习
i 1 li n
复通
l
公式 2 if ( )
l
f ( z) dz z
2 if ( )
l
n f ( z) f ( z) d d z k 1 lk z
求路径积分
第一类情形：沿非闭合曲线的积分
在实轴上没有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析 F ( z) 和 G( z) 的；当 z 在上半平面或实轴上 时， 一致地趋于零
0
1 F ( x) cos mxdx F ( x)e imx dx 2 imz
i{F ( z)e 在上半平面所有奇点留数之和}
0
1 G ( x)sin mxdx G ( x)eimx dx 2i imz {G( z)e 在上半平面所有奇点留数之和}
2
utt a uxx 0
2
(0 x , t 0)
半无界区间内的自由振动问题
u x 0 0
u t 0 ( x)
ut t 0 ( x)
奇延拓
一齐
( x)
( x)
u t 0 ( x)
x0
x0
( x)
ut t 0 ( x)
本性奇点 0 z z0 R内的洛朗级数含有无限个 z z0的负幂项
f ( z)
k k a ( z z ) k 0
z z0
lim f ( z )
不存在
如何判断极点的阶
z z0
lim[( z z0 ) f ( z )] 非零有限值
m
中考数学物理方法归纳总结
中考数学物理方法归纳总结在中考中，数学和物理是两门重要的科目。
为了帮助同学们更好地备考中考，下面将对数学和物理的相关方法进行归纳总结，以希望能够帮助同学们更好地理解和掌握这两门科目。
一、数学方法1. 整数运算法则整数运算法则包括加法、减法、乘法和除法。
加法和减法是数学中最基本的运算，掌握好整数的加减法则是非常重要的。
乘法和除法则是对加减法的推广和拓展，需要灵活运用。
2. 分数运算法则分数是数学中的一个重要概念，分数的加减乘除都需要掌握。
加减法的关键在于找到分母的最小公倍数，乘除法的关键在于分数的乘法和除法法则。
3. 代数方程与函数代数方程和函数是数学中的重点内容，理解代数方程和函数的意义以及解法是至关重要的。
需要掌握一元一次方程、平方根、平方差、二次函数等相关概念和求解方法。
4. 图形的性质和几何变换图形的性质和几何变换是中考中的重点内容，需要掌握平行线的性质、相似三角形、正多边形等几何概念，同时也需要了解几何变换中的平移、旋转、翻转等基本操作。
5. 概率与统计概率和统计是数学中的应用内容，需要掌握概率的计算方法、抽样调查和数据分析等统计概念和方法。
在中考中，概率题和统计题所占比例较小，但也需要重视。
二、物理方法1. 物理量和单位物理中的物理量有长度、质量、时间、速度、加速度等，每个物理量都需要有相应的单位。
掌握各种物理量和单位，可以更好地理解物理概念和解题方法。
2. 运动学运动学是物理中最基础的部分，包括直线运动、曲线运动和平抛运动等。
理解物体的位移、速度、加速度等运动学量，以及利用运动学公式解题的方法，是掌握物理的基本要求。
3. 力和牛顿定律力是物理中的基本概念，掌握力的性质、计算和合成方法是解决力学问题的关键。
牛顿定律是物理中的基本定律，包括惯性定律、运动定律和作用-反作用定律，需要理解和应用。
4. 能量与功率能量和功率是物理中的重要概念，能量守恒定律和功率的计算方法是物理问题中常见的考点。
数学物理方法复习
( x ,Байду номын сангаас)
2 xdy c 2 yx c
Y (X,Y)
0
(X,0)
X
例三：已知解析函数f（Z）的虚部 v(x,y)= -x+ x y ,
2 2
求其实部及整个解析函数。
已知解析函数f（Z）的虚部
2 2
v(x,y)= -x+ x y , 求其实部及整个解析函数 解：在极坐标系下表示：v 2 cos( / 2) v 1 v sin( / 2), 2 根据C R条件，可得： u 1 u cos( / 2), sin( / 2) 2 2
ln 2 3 i( / 2 2k ) z i ( / 2 2k ) i ln 2 3
计算下列各式数值 (1)sin(a ib) (2)sin(ix) (3) ln(1)
(1) sin(a ib) e sin(a ib) 2i b b e (cos a i sin a ) e (cos a i sin a ) 2i b b b b e sin a e sin a i e cos a e cos a 2 b b b b e e sin a i e e cos a 2 e
i ( a ib ) i ( a ib )
(2) sin(ix) sin(ix) e
i ( ix )
e 2i
i ( ix )
e e i 2
x
x
(3) ln(1) ln(1) ln 1 i 2k i 2k
理工类专业课复习资料-数学物理方法总结(改)
数学物理方法总结第一章 复变函数复数的代数式:z=x+iy复数的三角式和指数式:(cos sin )z ρϕϕ=+和i z e ϕρ=欧拉公式:{1sin ()21cos ()2iz iz iz izz e e iz e e --=-=+柯西-黎曼方程(或称为柯西-黎曼条件):{u u x yv v x y∂∂=∂∂∂∂=-∂∂ (其中f(z)=u+iv)函数f(z)=u+iv 在点0z 及其领域上处处可导,则称f(z)在0z 点解析.在区域B 上每一点都解析,则称f(z)是在区域B 上的解析函数.解析函数的性质:1.若函数f(z)=u+iv 在区域B 上解析,则12(,),(,)u x y C v x y C ==(12,C C 为常数)是B 上的两组正交曲线族.2.若函数在区域B 上解析,则u,v 均为B 上的调和函数,即22220u vx y ∂∂+=∂∂ 例题: 已知某解析函数f(z)的实部22(,)u x y x y =-,求虚部和这个解析函数.解答: 由于22ux∂∂=2;22v y ∂∂=-2;则22220u v x y ∂∂+=∂∂曲线积分法u x ∂∂=2x;u y ∂∂=-2y.根据C-R 条件有:v x∂∂=2y;v y ∂∂=2x.于是 22dv ydx xdy =+;(,0)(,)(0,0)(,0)(,)(,)(,0)(22)(22)(22)22x x y x x y x y x v ydx xdy C ydx xdy ydx xdy Cxdy C xy C=++=++++=+=+⎰⎰⎰⎰凑全微分显式法由上式可知dv=2ydx+2xdy贝易得dv=d(2xy)则显然v=2xy+C不定积分法上面已有—=2y;丝=2xdx dy则第一式对y积分,x视为参数，有v=J2xy+(p(x)=2xy+(p(x)......................dv...上式对x求导有一=2y+^\x),而由C-R条件可知(p\x)=0,dx从而(p(x)=C.故v=2xy+C.f(z)=x2-y2+i(2x y+C)=z2+iC第二章复变函数的积分单连通区域柯西定理如果函数f(z)在闭单连通区域B上解析，则沿B上任意一分段光滑闭合闭合曲线1(也可以是B的边界)，有血/⑵也=0.复连通区域柯西定理如果f(z)是闭复连通区域上的单值解析函数，则山任)也+£由/(z)也=0.式中1为区域外边界线，诸l为区域内边界线，积分均沿边界线的正方向进行.即血力＞)也=力血/(z)d z.柯西公式f(a)=t^-也""dz2m z-an次求导后的柯西公式f(〃)(z)=£山声舄化2mi中(。
初二数学物理复习资料
初二数学物理复习资料初二数学物理复习资料初二是一个关键的学习阶段，对于数学和物理的复习尤为重要。
这两门学科是培养学生逻辑思维和科学素养的基础，掌握好这两门学科的知识对于学生未来的学习和发展至关重要。
在这篇文章中，我将为大家提供一些初二数学物理复习的资料和方法，希望能够帮助大家更好地复习和理解这两门学科。
一、数学复习资料1. 教材复习：首先，我们要充分利用教材进行复习。
仔细阅读教材，理解每个知识点的定义和性质，掌握解题方法和技巧。
可以划重点、做笔记，将重要的公式和定理整理出来，方便日后的复习和查阅。
2. 习题集：习题是巩固知识、提高解题能力的重要途径。
选择一本适合自己的习题集，按照章节顺序进行练习。
切勿急于求成，要注重基础知识的理解和掌握，逐步提高解题的难度。
遇到难题可以寻求老师或同学的帮助，共同解决问题。
3. 网上资源：互联网是一个宝贵的学习资源。
可以通过搜索引擎查找相关的数学学习网站和视频教程，这些资源通常会提供详细的解题思路和方法，帮助我们更好地理解和应用知识。
但是要注意选择可靠的网站和视频，避免被错误的信息误导。
二、物理复习资料1. 实验复习：物理是一门实验性很强的学科，通过实验可以直观地观察和验证物理现象。
复习时可以回顾课堂上所做的实验，理解实验原理和步骤，弄清楚实验结果的原因和意义。
如果有条件，可以进行一些简单的物理实验，加深对物理现象的理解。
2. 理论知识复习：物理的理论知识非常丰富和复杂，需要掌握一定的基础概念和公式。
可以通过阅读教材、笔记和课堂讲义等途径进行复习。
对于难以理解的概念和原理，可以找老师请教或参考相关的物理教材和参考书。
3. 习题练习：物理的习题练习对于掌握解题方法和提高解题能力非常重要。
可以选择一些习题集进行练习，注意理解每个题目的要求和解题思路。
遇到难题可以先尝试自己解决，然后再寻求老师或同学的帮助。
总结：数学和物理是初中阶段的重要学科，对于学生的学习和发展具有重要的意义。
数学物理方法知识点归纳
数学物理方法知识点归纳一、向量1. 向量的定义：向量是具有大小和方向的量，可以用箭头表示。
2. 向量的表示方法：可以用坐标表示，也可以用分量表示。
3. 向量的运算：3.1 向量的加法：将两个向量的对应分量相加。
3.2 向量的减法：将两个向量的对应分量相减。
3.3 向量的数量积：将两个向量的对应分量相乘后求和。
3.4 向量的向量积：根据相关公式求得向量的模长和方向。
4. 坐标系与向量：向量的坐标表示与坐标系的选择有关。
5. 向量的模长和方向：可以通过向量的坐标计算得到。
二、微积分1. 极限与导数：1.1 极限的定义：函数在某一点的极限是函数逼近该点时的稳定值。
1.2 导数的定义：函数在某一点的导数是该点的切线斜率。
1.3 导数的计算：使用导数的定义或相关公式计算函数的导数。
2. 微分与积分：2.1 微分的定义：函数微分是函数在某一点附近的线性逼近。
2.2 积分的定义：积分是函数的反导数。
2.3 微分与积分的关系：微分和积分是互为逆运算。
3. 常见函数的导数与积分：3.1 基本函数的导数和积分：如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等。
3.2 三角函数的导数和积分：如正弦函数、余弦函数、正切函数等。
3.3特殊函数的导数和积分：如反三角函数、指数函数、四则运算函数等。
三、矩阵1. 矩阵的定义：矩阵是由数个数按照一定次序排列在矩形阵列中的数集合。
2. 矩阵的运算：2.1 矩阵的加法：将两个矩阵的对应元素相加。
2.2 矩阵的减法：将两个矩阵的对应元素相减。
2.3 矩阵的数乘：将矩阵的每个元素都乘以一个数。
2.4 矩阵的乘法：根据矩阵乘法的规则进行计算。
3. 矩阵的转置：将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
4. 矩阵的逆与行列式：根据相关公式进行计算。
5. 矩阵的应用：在线性代数、图像处理、物理等领域有广泛应用。
四、微分方程1. 微分方程的定义：含有未知函数及其导数的方程。
2. 常微分方程：只包含一元函数及其导数的方程。
数学物理方法 复习课件
小知识点 1.求复数的模、辐角 求复数的模、 求复数的模 2.求复数的乘幂与方根 求复数的乘幂与方根 3.求初等函数的值 e z , Lnz , a b , z b , sin z , cos z 求初等函数的值 4.求函数零点的阶、极点的阶（零点与极点的关系）. 求函数零点的阶、 求函数零点的阶 极点的阶（零点与极点的关系） 5.求幂级数的收敛半径 求幂级数的收敛半径. 求幂级数的收敛半径 6.求留数（不同类型孤立奇点的求留数方法） 求留数（不同类型孤立奇点的求留数方法） 求留数 7.傅氏变换、拉氏变换的微分性质、卷积定理 傅氏变换、拉氏变换的微分性质、 傅氏变换 8.拉氏变换及拉氏逆变换常用公式 8个 拉氏变换及拉氏逆变换常用公式 个
考试题型 填空题（ 分 个小题） 一.填空题（20分，10个小题） 填空题 个小题 判断题（ 分 个小题） 二.判断题（10分，5个小题） 判断题 个小题 判断下列函数何处可导？ 三.判断下列函数何处可导？何处解析？并求出其导数 判断下列函数何处可导 何处解析？并求出其导数. 四. 判断实部 u ( x, y ) 为调和函数，并求虚部 v ( x, y )，
使得 f ( z ) = u + iv 为解析函数 .
计算积分（ 五.计算积分（复积分 个）. 计算积分 复积分4个 将函数在指定区域内展开为泰勒级数、 六.将函数在指定区域内展开为泰勒级数、洛朗级数 将函数在指定区域内展开为泰勒数的傅氏变换 计算下列函数的傅氏变换 用拉氏变换解下列微分方程. 八.用拉氏变换解下列微分方程 用拉氏变换解下列微分方程
数学物理方法复习整理
数学物理方法复习整理数学物理方法是研究物理问题时所需要的数学方法和技巧的总和。
物理学是一门基础学科，数学是一门工具学科，物理学与数学密不可分。
掌握数学物理方法对于深入理解物理学的基本概念和问题的解决具有重要意义。
下面就数学物理方法进行一个复习整理。
1.微积分：微积分是数学物理方法的基础。
微积分包括微分学和积分学。
微分学研究函数的变化率和极限，积分学研究函数的定积分和不定积分。
在物理学中，微积分用于描述物理量的变化和求解物理问题的关键方程。
掌握微积分的基本理论和方法对于解决物理问题非常重要。
2.线性代数：线性代数是描述物理系统和问题的另一个重要数学工具。
线性代数研究矩阵、向量、线性方程组、线性变换等概念和性质。
在物理学中，线性代数用于描述物理量之间的线性关系和线性变换。
矩阵运算、特征值和特征向量、矩阵的对角化等概念和方法在物理学中有广泛应用。
3.调和分析：调和分析是一种研究周期现象的数学方法。
在物理学中，周期性现象非常常见，如波动、振动、周期运动等。
调和分析研究任意周期函数的频谱分解和重构，可以将周期函数表示为不同频率的正弦函数的叠加。
傅里叶级数和傅里叶变换是调和分析的基本工具，在物理学中有重要应用。
4.微分方程：微分方程是描述物理问题的主要数学工具之一、微分方程描述物理量随时间、空间或其他自变量的变化规律。
常见的微分方程包括常微分方程和偏微分方程。
在物理学中，微分方程用于描述自然界现象的规律和物理系统的运动方程。
解微分方程是解决物理问题的关键步骤。
5.变分法：变分法是一种求解极值问题的数学方法。
在物理学中，很多问题都可以转化为极值问题，如最速降线、最小作用量原理等。
变分法研究如何寻找函数使得泛函取极值。
在物理学中，变分法用于求解运动方程和确定物理量的极值，如量子力学的路径积分方法就是基于变分法的。
以上是数学物理方法的复习整理，主要包括微积分、线性代数、调和分析、微分方程和变分法等内容。
掌握这些基本数学方法对于深入理解物理学的理论和解决物理问题非常重要。
数学物理方法复习
x =0
x =0
=
F0 ⇒ ux YS
=
F0 YS
习题
P161 3.长为l的均匀杆，两端有恒定热流进入，其强度为q0，写出这个热传导 问题的边界条件。
若杆的某端点x = a有热流q0沿该端点外法线方向流出： −kun −kun
x =a
= q0 = −q0 ⇒ ku x = q0
若杆的端点x = a有热流q0沿该端点外法线方向流入：
0
∂u ∂u = ∂n ∂x
l
q0 x
习题
3.长为l的均匀杆，两端受压从而长度缩为l (1 − 2ε )，放手后自由振动，求解 杆的这一振动。
解：首先应正确理解物理量u:表示杆上各点相对于平衡位置的纵向位移 由胡克定律：Y = F/S ∂u ⇒ F = YS = YSun ∂u / ∂n ∂n ∆u l (1 − 2ε ) − l − F0 = YS = YS ⇒ F0 = 2ε YS , ∆x l
F0 0
∂u ∂u = ∂n ∂x
l
F0 x
习题
4.长为l的均匀杆，一端固定，另一端受力F0后而伸长，求解杆在 放手后的振动。
解：杆因受力而伸长，显然杆上各点有初始位移。 F/S ∂u ⇒ F = YS ∂u / ∂x ∂x F F t = 0时刻，du = 0 dx, 积分得：( x, t ) t =0 = 0 x + C u YS YS F0 ∵ x = 0, u = 0 ⇒ C = 0 ∴ u ( x, t ) t =0 = x YS ∴ 定解问题为： 由胡克定律：Y =
∞
u ( x, t ) = ∑
习题
2.研究细杆导热问题，杆的初始温度是均匀的u0 ,保持杆的一端温度为 不变的u0，至于另一端则有强度为恒定的q0热流流入。
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习题
4.长为l的均匀杆，一端固定，另一端受力F0后而伸长，求解杆在 放手后的振动。
解：杆因受力而伸长，显然杆上各点有初始位移。
由胡克定律：Y = F / S F YS u
u / x
x
t 0时刻，du F0 dx,积分得：u(x,t) F0 x C
YS
t0 YS
Q x 0,u 0 C 0u(x,t) F0 x t0 YS
v(x,t) (t) x [ (t) (t)](4)
l
利用叠加原理，令u(x,t) v(x,t) w(x,t) (5) 将(4)(5)代入(1)(2)(3)中
v
x0
wtt w
a2wxx vtt a2vxx
(t), v w
x0
xl
0
xl
(t)
v
t0
w t0
(x), vt
t0
wt
m0 lm
m0
lm
1 r l 1
[Clm
cos
m
Dlm
sin
m ]Pl m
(cos
)
5.非齐次泛定方程处理
uuttx0
a 2u xx 0,
u
f (x,t) 0
xl
u
t0
0, ut
t0
0
vtt a2vxx 0
v 0, v 0
x0
xl
v t 0, vt t f (x, )
解出v(x,t; )后
n1
n
l
x，代入(1)式得
[Tn
n1
''(t)
n2 2a2
l2
Tn (t)]sin
n
l
x
0
Tn
''(t
)
n2 2a2
l2
Tn
(t)
0
Tn
(t)
An
cos
n at
l
Bn
sin
n at
l
代入初始条件：ut (x,t)
t0
0
n1
Bn
n a
l
sin
n
l
x
0
Bn
0
又u(x,t)
t0
( x),
n1
(3)
设v(x,t) X (x)sint, 代入(1)(2)
X
''
2
a2
X
0
X x0 0,
X A xl
X (x) C cos( x) D sin( x)
a
a
X (0) C 0,
X (l) D sin(l ) A D A / sin l
a
a
v( x, t )
A
sin l
sin
如：长为l的弦两端固定：u(x,t) 0, u(x,t) 0
x0
xl
或一端固定一端按已知规律变化：u(x,t) 0, u(x,t) f (x,t)
x0
xl
细杆导热问题：一端为零度一端处于恒温环境中：u(x,t) 0, x0
u(x, t) xl u0
第二类边界条件：ux (x,t) xa f (t),
若为第二类非齐次边界条件：ux x0 (t), ux xl (t)
可设v(x,t) A(t)x2 B(t)x 这样无论弦振动方程是否齐次，边界条件是否齐次，最终
可用分离变量法求解。
（二）特殊处理方法——特解法
uuttx0
a 2u xx 0,
0 u
xl
Asint
(1) (2)
u t0 0, ut t0 0
或u
1
u
1
2
u
0(圆形边界条件)
uxx uyy 0(矩形边界条件) ku F (x, y, z) ~ 泊松方程
（4）静电场问题：
静电场方程：
v E
/
0
电势满足的静电场方程：u / 0 0
2.写边界条件：
第一类边界条件：u(x, y, z, t) 边界x0 ,y0 ,z0 f (x0 , y0 , z0 , t),
x
a
sin
t
a
令u( x, t )
v(x,
t)
w( x,
t)
A
sin l
sin
x
a
sin
t
w( x,
t),
代入(1)(2)(3)得：
a
wtt a2wxx 0
w 0, w
x0
xl
0
w
t0
0,
wt
t0
A sin(x / a) sin(l / a)
(一)一般的有界波动和输运问题
以有界弦的一般振动问题为例：
kun xa q0 若杆的端点x = a有热流q0沿该端点外法线方向流入：
kun xl q0 kux xl q0
若杆的端点x = 0有热流q0沿该端点外法线方向流入：
q0
q kux x0 q0 0
0
lx
习题
P201 1：长为l的弦，两端固定，弦中张力为T，在距一端为x0的一点 以力F0把弦拉开，然后突然撤除这力，求解弦的振动。
2 )
l
l
F0
2 YS ,
t 0,ux 2 u 2 dx C 2 x C
F0
F0
又x l 处，u 0 C l,u(x,t) (l 2x)
2
t0
0
l
x
定解问题为：
u u n x
utt a2uxx 0 ux x0 u0 , ux
xl
0
u(x, t) t0 (l 2x), ut (x, t) t0 0
m1
C0 D0 ln m (Cm cos m Dm sin m)
m1
u 0
u rr0
f ( )，u r 0
有限值
u(r, )
l0
R(r)( ) =
l0
( Alrl
Bl
1 r l 1
)Pl
(cos
)
uu u r
0 （r
f (
r r0
有限
0
r0）
,)
u(r,,)
rl ( Alm cos m Blm sin m)Plm (cos )
(x)
xl
0 设：u ( x, t )
Tn (t) sin
n1
n x
l
ut a2uxx 0
ux (x, t) x0 0, ux (x, t)
u(x,t) (x) t0
xl
0 设：u ( x, t )
Tn (t) cos
n0
n
l
x
ut a2uxx 0
u(x, t) x0 0, ux (x, t)
t0
(x)
wtt
a2wxx
''(t)
x [
l
''(t)
''(t)]
w 0, w 0
x0
xl
w (x) (0) x [ (0) (0)]
t0
l
wt
t0
(x)
'(0)
x [
l
'(0)
'(0)]
这样边界条件化为齐次的了， 但是泛定方程却变为非齐次 的，接着可参照非齐次方程 的求解过程进行。
由胡克定律：Y =
F u
/S / n
F
YS
u n
YSun
F0
F0
v
0
lx
un
x0
F0 vYS
ux
x0
F0 YS
ux
x0
F0 YS
,
un
xl
F0 YS
ux
xl
F0 YS
习题
P161
3.长为l的均匀杆，两端有恒定热流进入，其强度为q0，写出这个热传导
问题的边界条件。 若杆的某端点x = a有热流q0沿该端点外法线方向流出：
u n
边界x0 ,y0 ,z0
f (x0,y0, z0, t)
如：杆的某一端是自由的，自由即不受力：F YS ux xl 0
ux xl 0 又如：细杆导热问题：若杆的一端是绝热的，意味着进出该端点的热流
强度为零。q ku kux , ux xl 0
v0
l
3.写初始条件
长为l的均匀杆，一端固定在车壁上，另一端自由，
(2)细杆导热问题：ut
a2uxx
0/
f
( x, t )，f
( x, t )
F ( x, t )
c
F (x,t) : 热源强度(单位时间内在单位长度杆中产生的热量)
热传导问题：ut a2u 0 / f (x, y, z,t), f (x, y, z,t)按单位热容量计算的热源强度
（3）稳定温度分布问题：u 0
u(x,t)
t
u( ) (x, t)
t
v(x,t; )d
0
t0
6.非齐次边界条件的处理
(一)一般处理方法
例：自由振动问题
uuttx0
a2uxx
(t),
0 u
xl
(t)
(1) (2)
u t0 (x), ut t0 (x) (3)
可选取一个函数v(x,t) A(t)x B(t)使之满足边界条件(2)
v x0
v xl
(t ) (t)
A(t) A(t)
0 l
B(t) B(t)
(t)
(t)
B(t)
A(t)
(t) (t) (t)