流体力学第二章
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13
第四节 液柱测压计
一、测压管（ Piezometer ）
测压管：一根玻璃直管或U形管，一端接在被测器壁的孔口上，另一端与大气相通。
(a) PA为正压 PA＝γhA
(b) PA为负压 PA＋γh’A＝0
PA＝－ γh’A
Pv＝ γh’A
(c) 忽略气柱高度产生的压强，PA为正压 PA＝γhA
(d) 忽略气柱高度产生的压强， PA为负压 PA＋γh’A＝0
p0 γ p0 γ
Z1
p1 γ
Z2
p2 γ
Z0
p0 γ
Z pC
结论：在同一种液体中，无论哪一点(Z+P/ γ)总是一个常数。
Z －位置水头（Elevation Head）
p
－压强水头（Pressure Head）
Z p
－测压管水头（Piezpmetric Head ）。
测压管水头 9
二、分界面和自由面是水平面
微小压力dP 对x轴的力矩：dP y hdA y y2 sinadA
各微小力矩的总和为： y2 sinadA sina y2dA sina J x
A
A
受压面积A对x轴的惯性矩：J x y2dA
A
水静压力P对x轴的力矩：P yD hc AyD yc sinaAyD
绝对压强
0
0
绝 对 压 强：Absolute Pressure。
当地大气压：Atomspheric Pressure。
真 空 度：Vacuum。
表
压：Gage Pressure 12
第三节 压强的计算基准和度量单位
二、压强的三种度量单位
1.从压强的基本定义出发，用单位面积上的力表示。 国际单位：Pa [N/㎡] 工程单位：kgf/㎡
P 9.807 2 3 58.84kN
压力中心用
yD
yc
Jc yc A
yc hc 2m
Jc
1 12
bh3
1m 4
1
1
yD 2 21.5 2 2 6 2.17m
25
例题2－5
图解法
1 2
[h1
(h1
h)]h
39.23kN / m
b 1.5m
P b 39.231.5 58.84kN
2.用大气压的倍数表示。 标准大气压：atm (0℃，海平面) 工程大气压：at （1kgf/㎡）
3.用液柱的高度来表示。 水柱高度：mH2O 汞柱高度：mmHg
常用换算关系：
1atm=1.03323at=101325Pa=1.01325bar=760mmHg=10332.3mmH2O 1at=98070Pa=10000mmH2O=735.6mmHg，液面的压强可能会大于或小于Pa， 此时可以把压强与大气压的差值折合成液柱的高度，从而构造一 个假想的自由面，相当于打开容器加入或取走一些液体，因此， 我们就可以利用前面介绍的方法进行计算了，如果容器中装有两 种不同容重的液体也可以采用这种方法进行处理。
h p0 pa
第六节 作用于曲面的液体压力 第七节 流体平衡微分方程 第八节 液体的相对平衡
流体静力学着重研究流体在外力作用下处于平 衡状态的规律及其在工程实际中的应用。
这里所指的静止包括绝对静止和相对静止两种。 以地球作为惯性参考坐标系，当流体相对于惯性坐 标系静止时，称流体处于绝对静止状态；当流体相 对于非惯性参考坐标系静止时，称流体处于相对静 止状态。
反证法：两种液体γ2>γ1, 设分界面不是水平面而是倾斜面。
p 1h p 2h ( 1 2 )h 0
h 0 p 0
静力学基本方程的适用条件：
1. 静止
2. 连通(连续)
a
3. 连通的介质为同一均质流体
4. 质量力仅有重力
5. 同一水平面
b γ1
γ1
γ2 分界面是水平面的推论
c
v
d
dA 0
P1 p1dA, P2 p2dA,G l dA p2dA p1dA l dA cos 0 l cos h p2 p1 h p h
普遍关系式：静止液体中任意两点的 压强差等于两点间的深度差乘以容重。
静力学的基本方程：p=p0+γ· h p－液体内某点的压强，Pa
0
dAcos(n ˆ x) 1 dydz代 入, 并 忽 略 高 阶 小 量 。 2
px pn p y pn , pz pn
px p y pz pn
7
第二节 流体静压强的分布规律
一、流体静压强的基本方程
两端压力P1、P2与重力的轴向分力G·cosα 三个力处于平衡： P2-P1-G·cosα ＝0
5
作用在ACD面 上的流体静压强
px
pz
pn
作用在BCD面
上的静压强
py
作用在ABD面
上的静压强
微元四面体受力分析
6
Px
px
1 2
dydz
表 面
1 Py p y 2 dzdx
1
力 Pz pz 2 dydx
Pn pn dA
质 Fx
1 dxdydz 6
X
量 力
Fy
1 dxdydz Y 6
h水
油 水
h油
22
常见图形的几何特征量
23
三、图解法(规则的矩形)
绘制水静压强分布图
对于高为h，宽为b，顶边与水面齐平的铅直矩形 平面AA’B’B,由水静压强分布图计算水静压力：
P
pc A
hcbh
h bh 2
1 h2b
2
1 h2
2
SABE
P b V
P的作用点：通过Ω的形心并位于 对称轴上，如图,D点 位于水面下的2h/3处。
A、B为同种液体 A B pA pB ( )hm (Z2 Z1) A、B同种、同高 A B , Z1 Z2 pA pB ( )hm
hm γ A
y a
B
(a)
B γB
A
Z1
γA
hm
1
2
γ'
(b)
Z2
15
三、微压计
P1-P2= γ L·sin(a)
四、复式水银压计
平面的总压力： F=ρghA＝γhA
总压力的作用点是水平面面积的形心。可见，仅由液体产生作用 在水平平面上的总压力同样只与液体的密度、平面面积和液深有关。 如图所示，四个容器装有同一种液体，根据上式，液体对容器底部的 作用力是相同的，而与容器的形状无关，这一现象称为静水奇象。换 句话说，液体作用在容器上的总压力不要和容器所盛液体的重量相混 淆。工程上可以利用这一现象对容器底部进行严密性检查。
作业：
2-1 2-3 2-12 2-13 2-17 21-26 3
第五节 作用于平面的液体压力 一、静水压强分布图 • 静水压强分布图绘制原则： • 1. 根据基本方程：p gh 绘制静水压强大小；
• 2. 静水压强垂直于作用面且为压应力。
17
• • 静水压强分布图绘制规则： • 1. 按照一定的比例尺，用一定长度的线段代表
PA＝－ γh’A
Pv＝ γh’A
pA a hm
p AhA
γ
A
hm
a
γ pA A
hA'
1 hm1 a
(a)
(b)
γ
A
hA
1
1
(c)
γ A
1
hA' 1
(d1) 4
二、压差计
pA ( y hm a) pB y pA pB (hm a)
pA A(Z1 hm ) pB BZ2 hm pA pB ( )hm BZ2 AZ1
Fz
1 dxdydz 6
Z
z
↑
A
Py
Pn
Px
dz
→
o dx
dy
↑
B
→x
↓ ↓
C
y
Pz
Px Pn cos(n ˆ x) Fx 0
Py Pn cos(n ˆ y) Fy 0
Pz Pn cos(n ˆ z) Fz 0
px
1 dydz 2
pndA cos(n ˆ
x)
1 6
dxdydz X
压力中心的确定方法：
直接绘制梯形的形心，构造一个平行四边形， 对角线的交点就是梯形的形心位置。
也可以把梯形分成一个三角形和一个矩形， 用合力矩＝分力矩之和确定合力作用点。
26
第六节 作用于曲面的液体压力
设垂直于屏幕的柱体 ： 长度为L，受压曲面为AB。
作用在dA上的水静压力:
Fluid Mechanics
流体力学
朱长军
Christorf@
Hebei University of Engineering
环境教研室
二00七年
1
Chapter 2 Fluid Statics 第二章 流体静力学
第一节 流体静压强及其特性 第二节 流体静压强的分布规律 第三节 压强的计算基准和度量单位 第四节 液柱测压计 第五节 作用于平面的液体压力
A
A
A
ydA yc A
A
P sina yc
hc sina yc
P hc A pc A
hc－受压面形心在水面下的淹没深度 pc－受压面形心的静压强 A－受压面积
ydA yc A
A
受压面积A对x轴的静面矩。
19
力ye－压力中心沿y轴方向至受压面形心的距离； yyDc－－受压压力大面中小形心：心沿作沿y轴用y轴方在方向任向至意至液位液面置面交、交线任线的意的距形距离状离；平；面上的水静压力值 Jc－受压面通过等形于心受且压平面行面于积液与面其交形线心轴点的所惯受性水矩静；压强的乘积。 A－受压方面受向压：部沿分受的压面面积的。法向方向。 关于水作静用点压：力？的作用点（即压力中心）
e
γ
等压面条件
10
三、气体压强的计算
气体容重很小，一般忽略γh的影响。 p=p0
四、等密面是水平面
(1) 水平面是等压面
p1=p2 说明：静止非均质流体的
水平面仍然是等压面。
（2)水平面是等容重面
Δpa=γaΔh Δpb=γbΔh
γa =γb
说明：水平面不仅是等压面
而且还是等容重面，
即：等密面。
大气和静止的水体、室内的空气、电热水器、太阳能热水器等均按密度和温度分层。11
Pa A
Ω P
E
γh
B
A
A'
C D
B
B'
24
例题2－5
一铅直矩形闸门，顶边水平，所在水深 h1＝1m，闸门高h＝2m，宽b＝1.5m， 试用用解析法和图解法水静压力P的大小 及作用点。
解：解析法
P hc A pc A
h
2
hc h1 2 1 2 2m
A bh 1.5 2 3m 2
第三节 压强的计算基准和度量单位
一、压强的两种计算基准
p A
绝对压强(P’):以绝对真空为零点起算的压强。
A点相对压强
相对压强 (P): 以当地同高程的大气压强Pa为 零点起算的压强。
当地大气压 Pa＝0 三者之间的关系：P=P’-Pa
Pa A点绝对压强
B点真空度 B
大气压强 Pa
B点绝对压强
正 压：相对压强为正值（压力表读数）。 负 压：相对压强为负值。 真空度：负压的绝对值(真空表读数，用Pv表示)。
静水压强的大小； • 2. 用箭头标出静水压强的方向，并与该处作用
面垂直。 • 受压面为平面的情况下，压强分布图的外包
线为直线；当受压面为曲线时，曲面的长度与 水深不成直线函数关系，故压强分布图外包线 亦为曲线。
18
第五节 作用于平面的液体压力
二、解析法
P dP pdA hdA sina ydA
流体静压力：作用在某一面积上的总压力； 流体静压强：作用在某一面积上的平均压强或某一点的压强。
4
第一节 流体静压强及其特性
二、流体静压强的特性 1、静压强的方向— 沿作用面的内法线方向
2、任一点的流体静压强的大小 与作用面的方向无关，只与 该点的位置有关
流体静力学的根本问题是研究流体 静压强的问题； 研究流体静压强的根本问题就是 研究流体静压强的分布规律问题 即求解压强函数 p=f(x,y,z)。
流体处于静止或相对静止状态，两者都表现不 出黏性作用，即切向应力都等于零。所以，流体静 力学中所得的结论，无论对实际流体还是理想流体 都是适用的。
3
第一节 流体静压强及其特性
一、流体静压强的定义
面积ΔA上的平均流体静压强P
P P A
A 点 上 的 流 体 静 压 强 P P Lim P Aa A
p0－液面气体压强，Pa γ－液体的容重，N/m3
h－某点在液面下的深度，m
压强增加的方向就是质量力的作用8方向
第二节 流体静压强的分布规律
液体静力学方程的推证（用坐标表示）：
p1 p0 ( Z0 Z1 ) p2 p0 ( Z0 Z2 )
Z1 Z2
p1 γ p2 γ
Z0 Z0
力矩守恒： yc sin a AyD sina J x
惯性矩性质： 水静压力P作用点：
J x J c yc2 A
yD
Jx yc A
Jc yc
or, ye yD yc
yc2 A A
Jc yc A
yc
Jc yc A
20
静水奇象
静止液体作用在水平面上的总压力。由于水平面是水平放置的， 压强分布是均匀分布的，那么仅由液体作用在底面为A、液深为h的水
第四节 液柱测压计
一、测压管（ Piezometer ）
测压管：一根玻璃直管或U形管，一端接在被测器壁的孔口上，另一端与大气相通。
(a) PA为正压 PA＝γhA
(b) PA为负压 PA＋γh’A＝0
PA＝－ γh’A
Pv＝ γh’A
(c) 忽略气柱高度产生的压强，PA为正压 PA＝γhA
(d) 忽略气柱高度产生的压强， PA为负压 PA＋γh’A＝0
p0 γ p0 γ
Z1
p1 γ
Z2
p2 γ
Z0
p0 γ
Z pC
结论：在同一种液体中，无论哪一点(Z+P/ γ)总是一个常数。
Z －位置水头（Elevation Head）
p
－压强水头（Pressure Head）
Z p
－测压管水头（Piezpmetric Head ）。
测压管水头 9
二、分界面和自由面是水平面
微小压力dP 对x轴的力矩：dP y hdA y y2 sinadA
各微小力矩的总和为： y2 sinadA sina y2dA sina J x
A
A
受压面积A对x轴的惯性矩：J x y2dA
A
水静压力P对x轴的力矩：P yD hc AyD yc sinaAyD
绝对压强
0
0
绝 对 压 强：Absolute Pressure。
当地大气压：Atomspheric Pressure。
真 空 度：Vacuum。
表
压：Gage Pressure 12
第三节 压强的计算基准和度量单位
二、压强的三种度量单位
1.从压强的基本定义出发，用单位面积上的力表示。 国际单位：Pa [N/㎡] 工程单位：kgf/㎡
P 9.807 2 3 58.84kN
压力中心用
yD
yc
Jc yc A
yc hc 2m
Jc
1 12
bh3
1m 4
1
1
yD 2 21.5 2 2 6 2.17m
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例题2－5
图解法
1 2
[h1
(h1
h)]h
39.23kN / m
b 1.5m
P b 39.231.5 58.84kN
2.用大气压的倍数表示。 标准大气压：atm (0℃，海平面) 工程大气压：at （1kgf/㎡）
3.用液柱的高度来表示。 水柱高度：mH2O 汞柱高度：mmHg
常用换算关系：
1atm=1.03323at=101325Pa=1.01325bar=760mmHg=10332.3mmH2O 1at=98070Pa=10000mmH2O=735.6mmHg，液面的压强可能会大于或小于Pa， 此时可以把压强与大气压的差值折合成液柱的高度，从而构造一 个假想的自由面，相当于打开容器加入或取走一些液体，因此， 我们就可以利用前面介绍的方法进行计算了，如果容器中装有两 种不同容重的液体也可以采用这种方法进行处理。
h p0 pa
第六节 作用于曲面的液体压力 第七节 流体平衡微分方程 第八节 液体的相对平衡
流体静力学着重研究流体在外力作用下处于平 衡状态的规律及其在工程实际中的应用。
这里所指的静止包括绝对静止和相对静止两种。 以地球作为惯性参考坐标系，当流体相对于惯性坐 标系静止时，称流体处于绝对静止状态；当流体相 对于非惯性参考坐标系静止时，称流体处于相对静 止状态。
反证法：两种液体γ2>γ1, 设分界面不是水平面而是倾斜面。
p 1h p 2h ( 1 2 )h 0
h 0 p 0
静力学基本方程的适用条件：
1. 静止
2. 连通(连续)
a
3. 连通的介质为同一均质流体
4. 质量力仅有重力
5. 同一水平面
b γ1
γ1
γ2 分界面是水平面的推论
c
v
d
dA 0
P1 p1dA, P2 p2dA,G l dA p2dA p1dA l dA cos 0 l cos h p2 p1 h p h
普遍关系式：静止液体中任意两点的 压强差等于两点间的深度差乘以容重。
静力学的基本方程：p=p0+γ· h p－液体内某点的压强，Pa
0
dAcos(n ˆ x) 1 dydz代 入, 并 忽 略 高 阶 小 量 。 2
px pn p y pn , pz pn
px p y pz pn
7
第二节 流体静压强的分布规律
一、流体静压强的基本方程
两端压力P1、P2与重力的轴向分力G·cosα 三个力处于平衡： P2-P1-G·cosα ＝0
5
作用在ACD面 上的流体静压强
px
pz
pn
作用在BCD面
上的静压强
py
作用在ABD面
上的静压强
微元四面体受力分析
6
Px
px
1 2
dydz
表 面
1 Py p y 2 dzdx
1
力 Pz pz 2 dydx
Pn pn dA
质 Fx
1 dxdydz 6
X
量 力
Fy
1 dxdydz Y 6
h水
油 水
h油
22
常见图形的几何特征量
23
三、图解法(规则的矩形)
绘制水静压强分布图
对于高为h，宽为b，顶边与水面齐平的铅直矩形 平面AA’B’B,由水静压强分布图计算水静压力：
P
pc A
hcbh
h bh 2
1 h2b
2
1 h2
2
SABE
P b V
P的作用点：通过Ω的形心并位于 对称轴上，如图,D点 位于水面下的2h/3处。
A、B为同种液体 A B pA pB ( )hm (Z2 Z1) A、B同种、同高 A B , Z1 Z2 pA pB ( )hm
hm γ A
y a
B
(a)
B γB
A
Z1
γA
hm
1
2
γ'
(b)
Z2
15
三、微压计
P1-P2= γ L·sin(a)
四、复式水银压计
平面的总压力： F=ρghA＝γhA
总压力的作用点是水平面面积的形心。可见，仅由液体产生作用 在水平平面上的总压力同样只与液体的密度、平面面积和液深有关。 如图所示，四个容器装有同一种液体，根据上式，液体对容器底部的 作用力是相同的，而与容器的形状无关，这一现象称为静水奇象。换 句话说，液体作用在容器上的总压力不要和容器所盛液体的重量相混 淆。工程上可以利用这一现象对容器底部进行严密性检查。
作业：
2-1 2-3 2-12 2-13 2-17 21-26 3
第五节 作用于平面的液体压力 一、静水压强分布图 • 静水压强分布图绘制原则： • 1. 根据基本方程：p gh 绘制静水压强大小；
• 2. 静水压强垂直于作用面且为压应力。
17
• • 静水压强分布图绘制规则： • 1. 按照一定的比例尺，用一定长度的线段代表
PA＝－ γh’A
Pv＝ γh’A
pA a hm
p AhA
γ
A
hm
a
γ pA A
hA'
1 hm1 a
(a)
(b)
γ
A
hA
1
1
(c)
γ A
1
hA' 1
(d1) 4
二、压差计
pA ( y hm a) pB y pA pB (hm a)
pA A(Z1 hm ) pB BZ2 hm pA pB ( )hm BZ2 AZ1
Fz
1 dxdydz 6
Z
z
↑
A
Py
Pn
Px
dz
→
o dx
dy
↑
B
→x
↓ ↓
C
y
Pz
Px Pn cos(n ˆ x) Fx 0
Py Pn cos(n ˆ y) Fy 0
Pz Pn cos(n ˆ z) Fz 0
px
1 dydz 2
pndA cos(n ˆ
x)
1 6
dxdydz X
压力中心的确定方法：
直接绘制梯形的形心，构造一个平行四边形， 对角线的交点就是梯形的形心位置。
也可以把梯形分成一个三角形和一个矩形， 用合力矩＝分力矩之和确定合力作用点。
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第六节 作用于曲面的液体压力
设垂直于屏幕的柱体 ： 长度为L，受压曲面为AB。
作用在dA上的水静压力:
Fluid Mechanics
流体力学
朱长军
Christorf@
Hebei University of Engineering
环境教研室
二00七年
1
Chapter 2 Fluid Statics 第二章 流体静力学
第一节 流体静压强及其特性 第二节 流体静压强的分布规律 第三节 压强的计算基准和度量单位 第四节 液柱测压计 第五节 作用于平面的液体压力
A
A
A
ydA yc A
A
P sina yc
hc sina yc
P hc A pc A
hc－受压面形心在水面下的淹没深度 pc－受压面形心的静压强 A－受压面积
ydA yc A
A
受压面积A对x轴的静面矩。
19
力ye－压力中心沿y轴方向至受压面形心的距离； yyDc－－受压压力大面中小形心：心沿作沿y轴用y轴方在方向任向至意至液位液面置面交、交线任线的意的距形距离状离；平；面上的水静压力值 Jc－受压面通过等形于心受且压平面行面于积液与面其交形线心轴点的所惯受性水矩静；压强的乘积。 A－受压方面受向压：部沿分受的压面面积的。法向方向。 关于水作静用点压：力？的作用点（即压力中心）
e
γ
等压面条件
10
三、气体压强的计算
气体容重很小，一般忽略γh的影响。 p=p0
四、等密面是水平面
(1) 水平面是等压面
p1=p2 说明：静止非均质流体的
水平面仍然是等压面。
（2)水平面是等容重面
Δpa=γaΔh Δpb=γbΔh
γa =γb
说明：水平面不仅是等压面
而且还是等容重面，
即：等密面。
大气和静止的水体、室内的空气、电热水器、太阳能热水器等均按密度和温度分层。11
Pa A
Ω P
E
γh
B
A
A'
C D
B
B'
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例题2－5
一铅直矩形闸门，顶边水平，所在水深 h1＝1m，闸门高h＝2m，宽b＝1.5m， 试用用解析法和图解法水静压力P的大小 及作用点。
解：解析法
P hc A pc A
h
2
hc h1 2 1 2 2m
A bh 1.5 2 3m 2
第三节 压强的计算基准和度量单位
一、压强的两种计算基准
p A
绝对压强(P’):以绝对真空为零点起算的压强。
A点相对压强
相对压强 (P): 以当地同高程的大气压强Pa为 零点起算的压强。
当地大气压 Pa＝0 三者之间的关系：P=P’-Pa
Pa A点绝对压强
B点真空度 B
大气压强 Pa
B点绝对压强
正 压：相对压强为正值（压力表读数）。 负 压：相对压强为负值。 真空度：负压的绝对值(真空表读数，用Pv表示)。
静水压强的大小； • 2. 用箭头标出静水压强的方向，并与该处作用
面垂直。 • 受压面为平面的情况下，压强分布图的外包
线为直线；当受压面为曲线时，曲面的长度与 水深不成直线函数关系，故压强分布图外包线 亦为曲线。
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第五节 作用于平面的液体压力
二、解析法
P dP pdA hdA sina ydA
流体静压力：作用在某一面积上的总压力； 流体静压强：作用在某一面积上的平均压强或某一点的压强。
4
第一节 流体静压强及其特性
二、流体静压强的特性 1、静压强的方向— 沿作用面的内法线方向
2、任一点的流体静压强的大小 与作用面的方向无关，只与 该点的位置有关
流体静力学的根本问题是研究流体 静压强的问题； 研究流体静压强的根本问题就是 研究流体静压强的分布规律问题 即求解压强函数 p=f(x,y,z)。
流体处于静止或相对静止状态，两者都表现不 出黏性作用，即切向应力都等于零。所以，流体静 力学中所得的结论，无论对实际流体还是理想流体 都是适用的。
3
第一节 流体静压强及其特性
一、流体静压强的定义
面积ΔA上的平均流体静压强P
P P A
A 点 上 的 流 体 静 压 强 P P Lim P Aa A
p0－液面气体压强，Pa γ－液体的容重，N/m3
h－某点在液面下的深度，m
压强增加的方向就是质量力的作用8方向
第二节 流体静压强的分布规律
液体静力学方程的推证（用坐标表示）：
p1 p0 ( Z0 Z1 ) p2 p0 ( Z0 Z2 )
Z1 Z2
p1 γ p2 γ
Z0 Z0
力矩守恒： yc sin a AyD sina J x
惯性矩性质： 水静压力P作用点：
J x J c yc2 A
yD
Jx yc A
Jc yc
or, ye yD yc
yc2 A A
Jc yc A
yc
Jc yc A
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静水奇象
静止液体作用在水平面上的总压力。由于水平面是水平放置的， 压强分布是均匀分布的，那么仅由液体作用在底面为A、液深为h的水