人教版高中数学选修4-4课件 《双曲线的参数方程》

|M0M|2＝sec2θ＋(tan θ－2)2
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＝(tan2θ＋1)＋(tan2θ－4tan θ＋4)
＝2tan2θ－4tan θ＋5
＝2(tan θ－1)2＋3，
栏
目
π 当 tan θ－1＝0，即 θ＝ 4 时，|M0M|2 取最小值 3，此时有|M0M|
链 接
＝ 3.
即点 M0 到双曲线的最小距离为 3.
2．2.2 双曲线的参数方程
1
栏 目 链 接
2
1．理解双曲线参数方程的概念． 2．能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程． 3．掌握参数方程化为普通方程几种基本方法． 4．利用双曲线的参数方程求最值和有关点的轨迹问 题．
3
栏 目 链 接
4
题型一 双曲线参数方程的 理解
例 1 写出圆锥曲线 x2－y2＝4 的参数方程．
＝ 4 ， 但 x ＝ et ＋ e － t 不 能 取 负 值 ， 所 以 不 是 整 条 双 曲
线.xy＝＝eett－＋ee－－tt，，
① ②
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①2－②2 得 x2－y2＝(et＋e－t)2－(et－e－t)2＝(e2t＋2＋e－2t)＋(e2t－2 ＋e－2t)＝4，故曲线的普通方
例 2 求点 M0(0，2)到双曲线 x2－y2＝1 的最小距离(即双曲线上
任一点 M 与点 M0 距离的最小值)．
栏
分析：点 M0 与双曲线上任一点 M 距离可转化为一个函数关系式目链
接
来进一步研究求解．
解析：把双曲线方程化为参数方程xy＝＝tsaenc
θ， θ (θ 为参数)，
设双曲线上动点为 M(sec θ，tan θ)，则
是常见的方法和题型，一定要熟练掌握．
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析疑难
提
能
力栏 目 链
接
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例 曲线的参数方程为xy＝＝eett－＋ee－－tt(t 为参数)，则它表示的曲线 形状为( )
A．椭圆
B．双曲线
栏
目
C．双曲线左支 D．双曲线右支
链 接
点拨：本题容易错选 B.利用平方相减的方法消去参数 t 得 x2－y2
程为 x2－y2＝4.因为 x＝et＋e－t＝et＋e1t≥2，所以曲线的形状为双
栏
目
曲线右支．
链 接
答案：D
【易错点辨析】把参数方程化为普通方程后，很容易改变变量
的取值范围，从而使得用两种方法所表示的曲线不一致，因此我们
要注意参数方程与普通方程的等价性．
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解析：x2－y2＝4 变形为：x42－y42＝1.
栏 目 链
接
∴参数方程为xy＝＝22tsaenc
α， α (α
为参数)．
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►变式训练
1．已知双曲线的参数方程为xy＝＝se3ctaθn
θ
， (θ
为参数)，则它的
栏 目 链
接
两条渐近线所成的锐角是________．
答案;60°
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题型二 双曲线参数方程应用
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►变式训练
2．已知圆 O1：x2＋(y－2)2＝1 上一点 P 与双曲线 x2－y2＝1 上一
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点 Q，求 P，Q 两点间距离的最小值．
栏
点拨：先求圆心
O1
与点
Q
的距离的最小值，再利用圆的性质得目
链
出 PQ 的最小值．
接
解析：设 Q(sec θ，tan θ)，
由题意知|O1P|＋|PQ|≥|O1Q|. |O1Q|2＝sec2θ＋(tan θ－2)2
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＝(tan2 θ＋1)＋(tan2 θ－4tan θ＋4)
＝2tan2 θ－4tan θ＋5
＝2(tan θ－1)2＋3，
栏
目
当 tan θ＝1 时，|O1Q|2 取得最小值为 3，
链 接
此时有|O1Q|min＝ 3，|PQ|min＝ 3－1.
【解题策略】利用双曲线的参数方程可以求目标函数的最值，这