有理不等式的解法ppt
2.2.1 基本不等式-(新教材人教版必修第一册)(35张PPT)
利用基本不等式比较大小
【例 2】 (1)已知 a，b∈R＋，则下列各式中不一定成立的是( )
A．a＋b≥2 ab
B.ba＋ab≥2
C.a2＋abb2≥2 ab
D.a2＋abb≥ ab
(2)已知 a，b，c 是两两不等的实数，则 p＝a2＋b2＋c2 与 q＝ab＋bc
＋ca 的大小关系是________．
B [当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0 1．不等式a2＋1≥2a中等号成立 即a＝1时，“＝”成立．] 的条件是( ) A．a＝±1 B．a＝1 C．a＝－1 D．a＝0
2．已知a，b∈(0,1)，且a≠b，
D [∵a，b∈(0,1)，∴a2＜a，
下列各式中最大的是( )
b2＜b，
A．a2＋b2
一定成立的是( )
A．a－b<0
B．0<ab<1
C.
a＋b ab< 2
D．ab>a＋b
C [∵a>b>0，由基本不等式知 ab<a＋2 b一定成立．]
3．不等式x－9 2＋(x－2)≥6(其 中x＞2)中等号成立的条件是( )
A．x＝3 B．x＝－3
C [由基本不等式知等号成立 的条件为x－9 2＝x－2，即x＝5(x＝－ 1舍去)．]
∴a2＋b2＜a＋b，又a2＋b2＞
B．2 ab
2ab(∵a≠b)，
C．2ab
∴2ab＜a2＋b2＜a＋b.
D．a＋b
又∵a＋b＞2 ab(∵a≠b)，∴a
＋b最大．]
3．已知ab＝1，a>0，b>0，则a
B [∵a>0，b>0，∴a＋
＋b的最小值为( )
b≥2 ab＝2，当且仅当a＝b＝1时取
不等式的性质、解集与解法
不等式的性质、解集与解法不等式的基本性质及其解集⼀、不等式的性质1．不等式的两边都加上（或减去）同⼀个数或整式，不等号的⽅向不变． c a b a +?> ca b a c b +?<+, c b +2．不等式的两边都乘以（或除以）同⼀个正数，不等号的⽅向不变。
若：0,>>c b a ，可得ac bc ．3．不等式的两边都乘以（或除以）同⼀个负数，不等号的⽅向改变．若ac c b a ?<>0, bc ．⼆．不等式的解集1．定义：⼀般的，⼀个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.2．解与解集的联系：解集和解那个的范围⼤.（解是指个体，解集是指群体） 3．不等式解集的表⽰⽅法. 1-≤x ①⽤不等式表⽰。
如1-≤x 或x <-1等。
x <②⽤数轴表⽰.（注意实⼼圈与空⼼圈的区别） 4.解⼀元不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，注意是否需要变号。
典型例题例1.①如果)2(2)2(-<-m x m 的解集为2>x ，求m 的取值范围. ②不等式a x <2的解集为7例2.（1）如果关于x 的⽅程x m m x +-=+2432的解为⼤于4的数，求m 的取值范围.（2）已知不等式03≤-a x 的正整数解恰是1，2，3，求a 的取值范围.例3．直线l 1：y ＝k 1x ＋b 与直线l 2：y ＝k 2x 在同⼀平⾯直⾓坐标系中的图象如图所⽰，则关于x 的不等式k 1x ＋b ＞k 2x 的解为（）。
A 、x ＞－1B 、x ＜－1C 、x ＜－2D 、⽆法确定例4．（1）若0)2(32=--+-k y x x 中，y 为⾮负数，求k 的取值范围．思考题．设c b a ,,均为正数，若ac bc b a b a c +<+<+，试确定c b a ,,三个数的⼤⼩．y k 2x(第3题图)【经典练习】⼀、选择题（每⼩题2分，共36分）1、“x 的2倍与3的差不⼤于8”列出的不等式是（） A 、2x －3≤8 B 、2x －3≥8 C 、2x －3＜8 D 、2x －3＞82、下列不等式⼀定成⽴的是（） A 、5a ＞4aB 、x +2＜x +3C 、－a ＞－2aD 、aa 24> 3、如果x ＜－3，那么下列不等式成⽴的是（） A 、x 2＞－3x B 、x 2≥－3x C 、x 2＜－3x D 、x 2≤－3x 4、不等式－3x +6＞0的正整数解有（） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、⽆数多个 *5、若m 满⾜|m |＞m ，则m ⼀定是（） A 、正数 B 、负数 C 、⾮负数 D 、任意有理数 6、在数轴上与到原点的距离⼩于8的点对应的x 满⾜（） A 、－8＜x ＜8 B 、x ＜－8或x ＞8 C 、x ＜8 D 、x ＞8**7、要使函数y =（2m －3）x +（3n +1）的图象经过x 、y 轴的正半轴，则m 与n 的取值应为（）A 、m ＞23，n ＞－31B 、m ＞3，n ＞－3C 、m ＜23，n ＜－31D 、m ＜23，n ＞－31*8、下列说法中，正确的有（）.①若0ab <，则0,0;a b <<②若0,0a b <>，则0ab <；③若22,a b m m <则a b <；④若a b <，则22am bm <;⑤若0a b <<，则0a b +<；⑥若0a b +<，则0a b <<.A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个 9、下列说法正确的是（）. A 、5是不等式x+5＞10的解集 B 、x ＜5是不等式x-5＞0的解集 C 、x ≥5是不等式-x ≤-5的解集D 、x ＞3是不等式x-3≥0的解集10、若a-b ＜0，则下列各式中⼀定正确的是（）.A 、a ＞bB 、ab ＞0C 、ab＜0 D 、-a ＞-b11 不等式5x-1≤24的正整数解有（）.A 、4个B 、5个C 、6个D 、⽆限多个 **12 实数b 满⾜|b |<3，并且实数a 使得a －4x D 、 x 2<－4x*14、关于x 的⽅程2435x a x b++=的解不是负数，则a 与b 的关系是（） A 、35a b > B 、 b ≥53aC 、5a =3bD 、5a ≥3b 15、在不等式100>5x 中，能使不等式成⽴的x 的最⼤正整数值为（）. A 、18 B 、19 C 、20 D 、21 16、下列不等式中，错误的是（）. A 、57-<-B 、5>3C 、0a 12>+D 、a a ->**17、已知5x －m ≤0只有两个正整数解，则m 的取值范围是（） A 、10+- C 、2x141x 2+=+ D 、x 61x 31x 21>+⼆、填空题（每⼩题2分，共36分）1、不等式6－2x ＞0的解集是________.2、当x ________时，代数式523--x 的值是⾮正数. 3、当m ________时，不等式（2－m ）x ＜8的解集为x ＞m-28. 4、若x =23+a ，y =32+a ，且x ＞2＞y ，则a 的取值范围是________.5、已知三⾓形的两边为3和4，则第三边a 的取值范围是________.6、已知⼀次函数y =（m +4）x －3+n （其中x 是⾃变量），当m 、n 为________时，函数图象与y 轴的交点在x 轴下⽅.*7、某种商品的价格第⼀年上升了10%，第⼆年下降了（m －5）%（m ＞5）后，仍不低于原价，则m 的值应为________.8、5m-3是⾮负数，⽤不等式表⽰为______. 9、不等式238654x--<-<-的解集为______.10、当a b >，则2ab b <成⽴的条件是______.*11、明明的语⽂、外语两科的平均分为m 分，若使语⽂、外语、数学三科的平均分超过n 分，则数学分数a （分）应满⾜的关系式是_________.（m >n ） 12、设a ＜b ，⽤“＜”或“＞”|号填空：11(1)_____;(2)100_____100;22(3)1.5_____1.5;(4)_____.1212a b a b a ba b --++--13、不等式的性质：（1）如果a>b, 那么a+c b+c. （2）如果m>n, p>0, 那么mp np. （3） . 14、若-3x +4<-2x -5,则-x ______-9.15、已知直线y=kx+b 经过点（2，0），且k <0，则当x ______时，y <0. 16、不等式x <3的⾮负整数解是________.17、不等式|x |-2≤3的正整数解是____________.18、在2y 2-3y +1>0, y 2+2y +1=0,-6<-2, 27ab<2, 2312x x +- ,2103y y --<,7x +5≥5x +6中, ⼀元⼀次不等式有_____个,它们是_____________________.三、解答题1、解下列不等式，并把解集在数轴上表⽰出来：（每题4分共16分）（1）3（1-x ）-2（x+8）<2；（2）3（x+3）-5（x-1） ≥7；（3）132+-x ≤42+x ；（4）)69(6123--x x ≥7+x ．3、（6分）在“科学与艺术”知识竞赛的预选赛中共有20道题，对于每⼀道题，答对得10分，答错或不答扣5分，总得分不少于80分者通过预选赛。
第六章 第四节基本不等式≤ (a,b∈R+ )课件 理课件
考点四 利用基本不等式证明其他不等式
≥9. 【例4】 若x>0，y>0，x＋y＝1，求证：1＋1x·1＋1y
思路点拨：本题要求根据条件求最值，x＋y为常数， xy可有最大值，如何合理利用条件x＋y＝1是解答本题的关 键，可在要求的式子上乘以(x＋y)，也可通过三角换元转化 为三角问题.
之和为
f(x)
＝
20C(x)
＋
C1(x)
＝
20×
40 3x＋5
＋
6x
＝
800 3x＋5
＋
6x(0≤x≤10)．
(2)由(1)知 f(x)＝38x0＋05＋6x(0≤x≤10)， ∴f(x)＝38x0＋05＋2(3x＋5)－10≥
2 38x0＋05·23x＋5－10＝80－10＝70， 当且仅当38x0＋05＝2(3x＋5)时，等号成立， 即(3x＋5)2＝400,3x＋5＝±20， ∴x＝5 或 x＝－235(舍去)时，上式中的等号成立， 即 f(x)min＝70(万元)， 所以当隔热层修建 5 cm 厚时，总费用达到最小， 最小值为 70 万元．
＝b时取等号)．
2
2
2(当且仅当a
三、均值不等式(基本不等式)
两个正数的均值不等式：若 a，b∈R＋，则a＋2 b
≥ ab(当且仅当 a＝b 时取等号)．
变式： ab≤a＋2 b2(a，b∈R＋)．
三个正数的均值不等式：a＋3b＋c≥3 abc(属知识
拓展)．
n
个
正
数
的
均
值
不
等
式
：
a1＋a2＋…＋an n
≥n a1a2…an(属知识拓展)．
四、最值定理
初等数学研究不等式的解法
f g
(x) (x)
0, 0.
第20页/共62页
第 同解变形（ 无理不等式 ）
五
节
f (x) 0,
f (x) g(x) g(x) 0,
不 等
f
(x)
g 2 (x)
式
f (x) 0,
f (x) g(x) g(x) 0,
f
(x)
g
2
(x)
第21页/共62页
思维训练
第
五
节 1、(x 1) x2 x 2 0;
等
式 2) log 2 x log 1 (x 2) 1
2
x
x 2
0, 0
x
x
2
0.
答案：(2,4)
第29页/共62页
方法一（指数、对数不等式）
第
五 节 ①同底法：不等式两边化为同底，再利用
指数、对数函数的单调性进行同解变形。
不
等
1)a 1时，a f (x) a g(x) f (x) g(x);
式
f (x) 0;
log a
f
(x)
log a
g(x)
g(x) 0;
f (x) g(x)
第30页/共62页
第 五 节
2)当0 a 1时，a f (x) a g(x) f (x) g(x);
不 等 式
f (x) 0;
log a
f (x) log a
g
(
x)
g(x) 0;
都有f (b) g(b)的解。
第19页/共62页
第 同解变形（ 无理不等式 ）
五
节 不
f (x) 0,
f (x)
g(x)
高考数学一轮复习第6章不等式6.3基本不等式课件理
第二十七页，共61页。
2．(2018·广西三市调研)已知 m，n 为正实数，向量 a ＝(m,1)，b＝(1－n,1)，若 a∥b，则m1 ＋2n的最小值为_3_＋__2__2__．
第二十八页，共61页。
解析 ∵a∥b，∴m－(1－n)＝0，即 m＋n＝1，又 m，
n
为
正
实
数
，
∴
1 m
＋
2 n
＝
＝fa＋2 b，Q＝f(
ab)，R＝f
a2＋2 b2，则(
)
A．P＜Q＜R B．P＜R＜Q
C．R＜Q＜P D．R＜P＜Q
用导数法．
第三十页，共61页。
解析 f′(x)＝x＋1 1－1＝x－＋x1(x＞－1)，由 f′(x)>0 解 得－1<x<0，由 f′(x)<0 解得 x>0，所以 f(x)在(－1,0)上单调 递增，在(0，＋∞)上单调递减．
∴存在 m＝± 3使得△ABF1 的面积最大．
第四十页，共61页。
方法技巧 基本不等式的综合运用常见题型及求解策略
1．应用基本不等式判断不等式的成立性或比较大小， 有时也与其他知识进行综合命题，如角度 1 典例，结合函数 的单调性进行大小的比较．
根据题意得出三角形面积表达式，求最 值时，用基本不等式法．
第三十六页，共61页。
解 (1)易知直线 l：x＝my＋2 与 x 轴的交点坐标为 (2,0)，∴椭圆 C：ax22＋y2＝1(a>0)的一个焦点坐标为(2,0)，
∴c＝2，∴a2＝c2＋1＝4＋1＝5. 故椭圆 C 的方程为x52＋y2＝1. (2)存在． 将 x＝my＋2 代入x52＋y2＝1 并整理得(m2＋5)y2＋4my－ 1＝0， Δ＝(4m)2－4(m2＋5)×(－1)＝20m2＋20>0，
不等式解法-图表
解无理不等式的基本思想就是讨论不带根式一边的正负情况并用乘方转化为有理不等式组求解。但一定要注意偶次根式下非负及使用偶次乘方的前提条件： （ 是正偶数）。简单的无理不等式用数形结合法求解更好。
1． 2．
3． 或
对数指数不等式解法
解对数指数不等式的指导思想就是利用对数指数函数的单调性转化为有理不等式（组）求解。但必须注意对数真数大于0，底数大于0且不等于1。
高次分式不等式解法
穿根法：把高次分式不等式分解成一次因式的乘积和商（要求每一个一次因式中 的系数是正数），然后把各因式的根从小到大标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线（不穿过偶次根），最后根据符号规律写出不等式解集（注意偶次根是否需要排除）
分式不等式一般用移项通分法或分组分解法求解，分组分解法的常见类型为： 或
1．
2．
3． ；
4． 或
绝对值不等式
解绝对值不等式的基本思想就是根据绝对值定义或基本绝对值不等式去掉绝对值。
基本绝． 法一： 或
法二：
2． 法一： 或
法二： 或
3.． （然后移项分解因式）
4．含二个以上绝对值的不等式的解法常用零点分区间去绝对值的思想求解
高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.1 不等式及其解法课件 理
D.a2>ab>b2
答案 D 选项A,∵c为实数,∴取c=0,得ac2=0,bc2=0,此时ac2=bc2,故选项A不正确;选项B, 1 - 1 =
ab
b ,a∵a<b<0,∴b-a>0,ab>0,∴ b>0a,即 >1 ,1故选项B不正确;选项C,∵a<b<0,∴取a=-2,b=-1,
ab
ab
ab
12/11/2021
2.(2014江苏,10,5分)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的
取值范围是
.
答案
2 2
,0
解析 要满足f(x)=x2+mx-1<0对于任意x∈[m,m+1]恒成立,
只需
f f
(即m ) 0,解得-
(m 1) 0,
∵0<log0.20.3<log0.20.2=1,log20.3<log20.5=-1,即0<a<1,b<-1,∴a+b<0,排除D.
∵ b =l o g 2=0 . 3 =llgo0g.220.2,∴b- =logb 20.3-log20.2=log2
a lo g 0.2 0 .3 l g 2
a
解法二:易知0<a<1,b<-1,∴ab<0,a+b<0,
<1,∴3 b<1+
2
⇒ab b<a+b,排除A.故选B.
a
∵ 1 +1 =log0.30.2+log0.32=log0.30.4<1,
高考理科数学一轮复习不等式全套课件
【互动探究】
比较1816与1618的大小.
解：11861168＝1186161162＝9816 1216＝8 9 216.
∵ 8
9
2∈(0,1)，∴8
9
216＜1.∵1618＞0，∴1816＜1618.
易错、易混、易漏 ⊙忽略考虑等号能否同时成立 例题：设 f(x)＝ ax2＋bx，1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2) 的取值范围. 正解：方法一，设 f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n 为待定系 数)，则 4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b). 即 4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b. 则有mn－＋mn＝ ＝4－，2. 解得nm＝＝13.，
ac＞＞db＞＞00⇒ac_＞___bd
⇒
可乘方性 可开方性
a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) a，b 同为正数
a>b>0⇒ n a > n b (n∈N，n≥2)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1.(2014 年四川)若 a>b>0，c<d<0，则一定有( B )
ab A.d>c
ab B.d<c
ab C.c>d
解析：令 x＝－2，y＝－3，a＝3，b＝2，符合题意 x>y， a>b.
因为 a－x＝3－(－2)＝5，b－y＝2－(－3)＝5，所以 a－x ＝b－y.故①不成立；
因为 ax＝－6，by＝－6，所以 ax＝by.故③也不成立； 因为ay＝－33＝－1，bx＝－22＝－1，所以ay＝bx.故⑤不成立.
答案：B
(2)在等比数列{an}中，an>0(n∈N)，公比q≠1.则( ) A.a1＋a8>a4＋a5 B.a1＋a8<a4＋a5 C.a1＋a8＝a4＋a5 D.不确定
基本不等式(共43张)ppt课件
判别式及根的关系
根的关系
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方
程的根的情况。
01
02
03
当 $Delta > 0$ 时，方程有 两个不相等的实根；
当 $Delta = 0$ 时，方程有 两个相等的实根（即一个重
根）；
04
2024/1/25
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
基本不等式性质
传递性
若$a > b$且$b > c$，则$a > c$。
正数乘法保序性
若$a > b > 0$且$c > d > 0$ ，则$ac > bd$。
对称性
若$a = b$，则$b = a$；若 $a > b$，则$b < a$。
2024/1/25
可加性
若$a > b$且$c > d$，则$a + c > b + d$。
2024/1/25
35
思考题与练习题
思考题：如何利用均值不 等式证明其他不等式？
2024/1/25
|x - 3| < 5
练习题：解下列不等式， 并在数轴上表示解集
(x + 1)/(x - 2) > 0
36
THANKS。
2024/1/25
37
次不等式组来解决。
12
03
一元二次不等式解法
2024/1/25
13
一元二次不等式概念
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
标准形式
$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中 $a neq 0$。
第三节 基本不等式 (高中数学精品课件PPT)
返回
设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为
a＋b 2
，几何平均
数为 ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均
数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x＞0，y＞0，则
(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是
2 p(简记：积定和最小)．
(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是
返回
考点——在细解中明规律
题目千变总有根，梳干理枝究其本
返回
考点一 利用基本不等式求最值[全析考法过关]
返回
(一) 拼凑法——利用基本不等式求最值
[例1] (1)已知0＜x＜1，则x(4－3x)取得最大值时x的值
2 为____3____．
[解析]
x(4－3x)＝
1 3
·(3x)(4－3x)≤
1 3
A．80
B．77
C．81
D．82
( C)
返回
2．设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是
(B )
A．a＜b＜ ab＜a＋2 b
B．a＜ ab＜a＋2 b＜b
C．a＜ ab＜b＜a＋2 b
D. ab＜a＜a＋2 b＜b
解析：因为0＜a＜b，所以a－ ab＝ a( a－ b)＜0，
故a＜ ab；b－a＋2 b＝b－2 a＞0，故b＞a＋2 b；由基本不等式
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(2)ba＋ab≥2(a，b同号)；
(3)ab≤a＋2 b2(a，b∈R)；(4)a＋2 b2≤a2＋2 b2(a，b∈R)；
(5)a2＋abb≤ ab≤a＋2 b≤
2020版高考数学大一轮复习不等式选讲第2讲不等式的证明课件理新人教A版选修4_5
“放”和“缩”的常用技巧
在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧．
常见的放缩变换有：
(1)变换分式的分子和分母，如k12<k（k1－1），k12>k（k1＋1），1k
<
2 k＋
k－1，
1k>
2 k＋
k＋1.上面不等式中
k∈N*，k>1；
(2)利用函数的单调性； (3)真分数性质“若 0<a<b，m>0，则ab<ab＋ ＋mm”． [提醒] 在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一 个度．
2．不等式的证明方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、 放缩法、数学归纳法等． 3．数学归纳法证明不等式的关键 使用数学归纳法证明与自然数有关的不等式，关键是由 n＝k 时不等式成立推证 n＝k＋1 时不等式成立，此步的证明要具有 目标意识，要注意与最终达到的解题目标进行分析、比较，以 便确定解题方向．
(2)证明：要证1a－b－abcc>1，只需证|1－abc|>|ab－c|， 只需证 1＋a2b2c2>a2b2＋c2，只需证 1－a2b2>c2(1－a2b2)， 只需证(1－a2b2)(1－c2)>0， 由 a，b，c∈A，得－1<ab<1，c2<1，所以(1－a2b2)(1－c2)>0 恒 成立． 综上，1a－b－abcc>1.
所以 a2＋2ab＋b2＝1.
因为 a>0，b>0，
所以a12＋b12＝（a＋a2b）2＋（a＋b2b）2＝1＋2ab＋ba22＋1＋2ba＋ab22＝
2 ＋ 2ab＋2ba ＋ ba22＋ab22 ≥ 2 ＋ 2
2ab·2ba ＋ 2
高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明6.1不等式的性质及一元二次不等式课件理
合A,再求解.
(2)利用指数函数的性质,将原不等式化为关于x的一元
二次不等式求解即可.
【规范解答】(1)选C.A={x|1<x<3}， B={x|2<x<4}, 故A∩B={x|2<x<3}.
(2)因为4=22且y=2x在R上单调递增，所以 <4可化
为x2-x<2，解得-1<x<2.所以 <4的解集是 a(x 1 ) a
B．2个
C．433个，
D．4个
【解析】选C.运用倒数性质，
由a>b，ab>0可得 {x|2x
4}.
②④正确．又正数大于3 负数，①正确，③错误.
2.如果a,b,c满足c<b<a,且ac<0,那么下列选项中不一
定成立的是 ( )
A.ab>ac
B.c(b-a)>0
C.cb2<ab2
D.ac(a-c)<0
A.n>m>p
B.m>p>n
C.m>n>p
D.p>m>n
【解题导引】(1)根据已知条件可判断出x和z的符号, 然后由不等式的性质便可求解. (2)根据不等式性质和函数单调性求解.
【规范解答】(1)选C.因为x>y>z,x+y+z=0,所以x>0,
z<0.所以由 1 可得xy>xz. (2)选B.因为ax >1,所以a2+1-2a=(a-1)2>0,即a2+1>2a,
第六章 不等式、推理与证明 第一节
不等式的性质及一元二次不等式
ab
1
a
高考数学(理,北师大版)一轮复习课件第34讲 一元二次不等式及其解法(50张PPT)
②若 a＝12，则不等式为(x－2)2<0，不等式的解集为∅；
③若 a>12，则1a<2，此时不等式的解集为1a，2.
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第34讲 一元二次不等式及其解法
(2)当 a＝0 时，不等式为－x＋2<0， 此时不等式的解集为(2，＋∞)．
点
(3)当 a<0 时，不等式可化为x－1a(x－2)>0.
面
（x－a）（x－b）≥0，
xx－ －ab≥0 等价于_x_－___b_≠__0_____________；
xx－ －ab≤0 等价于（x－x－b≠a）0. （x－b）≤0，
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第34讲 一元二次不等式及其解法
双
向
—— 链接教材 ——
固
基 础
1 ． [ 教 材 改 编 ] 不 等 式 － x2 － x ＋ 2≥0 的 解 集 是
础 间的函数关系式为 y＝3000＋20x－0.1x2(0＜x＜240，x∈N)，
若每台产品的售价为 25 万元，则生产者不亏本(销售收入不
小于总成本)时的最低产量是________台．
[答案] 150
[解析] 根据题意，得 3000＋20x－0.1x2≤25x，移项 整理，得 x2＋50x－30 000≥0，解得 x≤－200(舍去)或 x ≥150.因为 x∈N，则生产者不亏本时的最低产量是 150 台．
即 0<|x|<2，解得－2<x<0 或 0<x<2，故所求的不等式的解
点 集是(－2，0)∪(0，2)．
面 讲 考
(2)x－1x<0⇒x2－x 1<0⇒x<－1 或 0<x<1；x2－1x>0⇒x<0
不等式课件ppt
_______.
5. 8 x 1,两边都乘 7 ，得 ______.
7
8
例 已知a<0 ，试比较2a与a的大小。 解法一：∵2＞1，a＜0， ∴2a＜a（不等式的基本性质3）
解法二： 在数轴上分别表示2a和a的点（a＜0）， 如图.2a位于a的左边，所以2a＜a
∣a∣ ∣a∣
2a
a
想一想：还有其 他比较2a与a的 大小的方法吗？
C
●
-2 0
B
●
-2 0
D
试一试: 写出下列数轴所表示的不等式的解集:
○
-3 0 ⑴
X > -3
●
02 ⑵
X≥2
○
-3 0 ⑶
X < -3
●
0a ⑷
X ≤a
2、下列数哪些是不等式3X＞6的解？哪些不是？ －4，－2.5，0，1，2.5，3，3.2，4.8，8，12。
3、在数轴上表示不等式3X＞6 的解集，正确的 是（ B ）
3
收获和体会
不等式的定义 不等式的解 不等式的解集 不等式解集的表示方法
根据以下图形，写出不等式的解集：
(1)
( x≤4 )
(2)
( x>2 )
(3)
( x≥-2 )
大于向右，小于 向左，有等号为实 心，无等号为空心
.
在数轴上表示下列不等式的解集：
(1)x≤-1 (3)x＜2
(2)x≥-3 (4)-3≤x＜2
形相类似？
•（1）x－7<8
解：
x-7+7 <8+7
移 x <8+7
x <15
（2）3x<2x-3
高考数学大一轮复习 第七章 不等式 第42讲 基本不等式及其应用课件 理
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当_____a_＝_时b 取等号. (3)适用(shìyòng)于求含两个代数式的最值.
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2.几个(jǐ ɡè)重要的不等式
(1)a2＋b2≥_2_a_b__ (a，b∈R). (2)ba＋ab≥__2___ (a，b 同号). (3)ab≤a＋2 b2，(a，b∈R). (4)a2＋2 b2≥a＋2 b2(a，b∈R). (以上不等式要根据条件合理选择其中之一) 以上不等式等号成立的条件均为 a＝b.
考点一 利用基本不等式求最值(多维探究(tànjiū))
命题角度1 配凑法求最值
【例1－1】 (1)已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________.
(2)已知 x<54，则 f(x)＝4x－2＋4x－1 5的最大值为________. (3)函数 y＝xx2－＋12(x>1)的最小值为________.
已知 x>0，y>0，则 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当_x_＝__y__时，x＋y 有最_小__值 2 p(简记：积定和 最小). (2)如果和 x＋y 是定值 p，那么当且仅当__x_＝_y__时，xy 有最_大__值p42(简记：和定积最 大).
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(1)当 a≥0，b≥0 时，a＋2 b≥ ab.(
)
(2)两个不等式 a2＋b2≥2ab 与a＋2 b≥ ab成立的条件是相同的.(
)
(3)函数 y＝x＋1x的最小值是 2.( )
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不等式的解法课件
f ( x)⋅ g ( x) ≤ 0 g ( x) ≠ 0
x − 2x − 8 3x − 1 ≥ 0 （2） （1） 2 ≥1 x + 2x − 3 2− x 2 x − 2x − 8 ≥0 解： 2 x + 2x − 3 ( x − 4 ) ⋅ ( x + 2 ) ⋅ ( x + 3 ) ⋅ ( x − 1) ≥ 0 ⇒ x ≠ 1且 x ≠ − 3
△≥0
b x≠− 2a
x< x1或x> x2
例1：解不等式4x2-4x +1>0 解不等式4
解: 由于4x2-4x+1=(2x-1)2≥0 4 故原不等式的解集为{ 故原不等式的解集为 x| x ≠ 1/2 }
例2：解不等式 x2 + 2x – 3 >0 ：解不等式解：整理，得 x2 - 2x + 3 < 0 整理， 因为△ 因为△= 4 - 12 = - 8 < 0 方程 2 x2 - 3x – 2 = 0无实数根 无实数根 所以原不等式的解集为ф 所以原不等式的解集为
x2 −2 x
例4．解下列不等式： ．
2
⇔
(x − 2) x < 0
∴ 原 不 等 式 的 解 集 ：0， ) ( 2
1 + x2 (2) log 2 x 1 + a < 0 2x > 1 0 < 2 x < 1 2 1+ x 2 log 或 1 + x2 < 0 ⇔ 1+ x 解： 2 x 1+ a <1 >1 0 < 1+ a 1+ a
f (x) ≥ 0 f (x) < g (x) ⇔ g (x) ≥ 0 2 f ( x ) < g ( x )
2021高考数学(苏教,理科)复习课件：第十六章 不等式选讲第二节 不等式的证明及柯西不等式.ppt
第二节 不等式的证明及柯西不等式
1．不等式证明的方法 (1)比较法： ①求差比较法： 知道a>b⇔a－b>0，a<b⇔a－b<0，因此要证明a>b只要证明 a－b>0 即可，这种方法称为求差比较法．
数学
第二节 不等式的证明及柯西不等式
②求商比较法：
由a>b>0⇔
a ba
①kk1－1>k12>kk1＋1(k≥2，k∈N*)；
②
2 k－1＋
k>2 2 k>
k＋2 k＋1(k≥2，且k∈N*)．
数学
第二节 不等式的证明及柯西不等式
[练一练] 设 M＝2110＋2101＋1＋2101＋2＋…＋2111－1，则 M 与 1 的大小关系 是__________． 解析：∵210＋1>210,210＋2>210，…，211－1>210， ∴M＝2110＋2101＋1＋2101＋2＋…＋2111－1
①先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件， 应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的 条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说 明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫作反证法．
数学
第二节 不等式的证明及柯西不等式
②证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩 小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种方法叫作放缩法．
>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时，要证明
a>b，只要证明 b>1 即可，这种方法称为求商比较法．
(2)综合法：
利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出
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由上表可知，原不等式的解集为： x | 1 x 1或2 x 3 .
解法（三）： 数轴标根法，也叫穿线法。 对于一元高次不等式，形如（x-x1) （x-x2) （x-x3) …（x-xn) ﹤0(﹥0),其中x1 ﹤ x2﹤ … ﹤ xn 的解法.用穿线法。 步骤： （1）化为标准形式，系数必须为正。 （2）令 f(x)=0 ,在数轴上从左到右，从小到大依次标 出x1 、 x2、 … 、 xn （3）从右上方依次过每一个点画曲线。
例1 解不等式
x 2x 3
2
0
解法一：这个不等式的解集是下面的不等式组（I）和 不等式组（II）的解集的并集：
x 2 3x 2 0...(1) x 2 3 x 2 0...( 3) ( I ).. 2 ( II ).. 2பைடு நூலகம் x 2 x 3 0...( 2) x 2 x 3 0...( 4)
把各因式的根按从小到大的顺序排列，可得下表：
各因式的 值的符号
根
因式
0
-
-1
+
-
2
+
+ -
3
+
+ +
x x+1 x-2 x-3
x( x 3)( x 1)( x 2)
+
+ + + +
+
+
-
由上表可知，原不等式的解集为： x | 0 x 1或2 x 3 .
例3
解不等式：
1. 2.
x 1 0 x2
1 1 x
归纳：
分式
转化
整式
f ( x) 1. 0 f ( x ) g ( x ) 0 g ( x)
f ( x) g ( x) 0 f ( x) 2. 0 g ( x) g ( x) 0
分式不等式的解法_--------- x 2 3 x 2
所以原不等式的解集为：
有理不等式的课堂练习2
2.解下列不等式： x ( x 3)( x 1)( x 2) 0
答案：
+ -1 0 + 2 3 +
x | 1 x 0或2 x 3
所以原不等式的解集为：
高次不等式的解法----x 2 ( x 2 x 2) 3x 3 3x 2 6 x 例2 解不等式 解：原不等式可化为： x( x 3)( x 1)( x 2) 0
2
4
3
2
y x 5x 6
2
1 2 3 4
x 5x 6 0
2
1
因为 (5) 2 4 1 6 1 0 解方程 x 2 5 x 6 0
-2 -1
O
-1
-2
得
x1 2, x2 3
所以原不等式的解集是
x | 2 x 3.
解下列不等式：
-1 1 2
解不等式(I)得：
解不等式(II)得：x | 1
x | x 1或x 2 x | 1 x 3 x | 1 x 1或2 x 3 .
x 2 x | x 1或x 3
3
-1
1
2
3
所以原不等式的解集是：
x | 1 x 1或2 x 3.
x 1 2 x 7 x 12
分式不等式的解法_---------
解法二：
各因式的 值的符号
( x 1)( x 2) 0 原不等式可化为： ( x 3)( x 1)
把分子分母各因式的根按从小到大的顺序排列，可得下表： 根
因式
-1
-
1
+
-
2
+
+ -
3
+
+ +
x+1 x-1 x-2 x-3 ( x 1)( x 2) ( x 3)( x 1)
（4）根据曲线显示的符号规律，写出不等式的解集。
有理不等式的课堂练习1
x 3x 2 1.解下列不等式：2 0 x 7 x 12
2
答案：
( x 2)( x 1) 原不等式可以化为： 0 ( x 4)( x 3)
+ 1 2 + 3 4 +
x | x 1或2 x 3或x 4
有理不等式的解法
基本概念
1、同解不等式：
如果两个不等式的解集相等，那么 这两个不等式就叫做同解不等式。 2、同解变形：
一个不等式变形为另一个不等式时， 如果这两个不等式是同解不等式，那么 这种变形叫做不等式的同解变形。
复习一元二次不等式的解法
解不等式 x 5x 6. 解：原不等式可变形为