计算方法第一章误差

1 因 n=2, r 10 ( n 1) 第 1 位 x1 未给出， 2 x1 1 1 10 ( n 1) 10 ( n 1) 5% 2 x1 2 1
x1 1 r x1 9
1 1 ( n 1) r 10 10 ( n 1) 0.56% ， 2 x1 29
数值计算中误差的传播
2. 对多元函数的计算：
对多元函数f ( x1 , x2 , 是x , x ,
* 1 * 2 * n n
, xn ), 若x1 , x2 , f ( x1 , x2 , xk
, xn分别
, x 的近似值，则 , xn )
( f ( x1 , x2 , , xn ))
例如： 有毫米刻度的尺子， 读出的近似值的 误差，不会超过毫米的一半（半个毫米） 。 读出 35 毫米代表 34.5 到 35.5 之间。误差 是半个毫米，误差限是末位的半个单位。
相对误差和相对误差限
• 相对误差和相对误差限
e x x* 记作 称 为近似值x的相对误差， x* x*
er
相对误差是个相对数，是无量纲的，也可正 可负。相对误差的估计 er r
现代复杂工程技术问题的解决步 骤
工程问题 数学模型 设计算法
问题解答
结果分析
上机计算
数值分析涉及的主要内容
• 计算机只能进行加减乘除四则运算和一些简单 的函数计算（即使函数也是通过数值分析方法 处理，转化为四则运算而形成的小型软件包） 数值代数：求解线性方程组和非线性方程组的 解法，分直接方法和间接方法 插值和数值逼近。离散的点上的函数值，想办 法得到点之间的值 数值微分和数值积分。很多函数无法求出积分， 利用数值方法求解 常微分方程和偏微分方程的数值解法
x x x
x
1 1 即 10 ( n 1) ( x1 1)10 m 1 10 m n ， 2( x1 1) 2
它至少具有 n 位有效数字。
例 解
已知近似数 x 的相对误差限为 0.25%， 问 x 至少有几位有效数字？ 由 r 0.25% ，根据定理，有
0.3529 10 ， 0.352900 10
2
2
当 x 0.a1a2
al
an 10m , ai为数字01 ， ， 2， ， 9，a1 0.
其中，有效数字的个数是l,即 a1, , al是有效的。
则 e x x * 0.510
ml
有效数字：由绝对误差决定
1 0.25% 10 ( n 1) 2( x1 1)
x1 的取值范围是 1 到 9，由于 x1 未给出，取 x1=1，n= 3 x1=9，n=2 按最不利情况，x 至少有 2 位有效数字。
Hale Waihona Puke Baidu值计算中误差的传播
1. 对函数的计算：
设x是x *的近似值。e( f ( x)) f ( x) f ( x*), 如果f ( x)可微,由泰勒公式得: 1 e( f ( x)) f '( x)( x x*) f ''( )( x x*) 2 2 1 故： e( f ( x)) f '( x) e( x) f ''( ) e 2 ( x) 2 忽略高项阶后可以得： e( f ( x)) f '( x) e( x)
• 若近似值x的绝对误差限是某一位数的半个 单位，则说 x 精确到该位，若从该位到 x 的左面第一位非零数字一共有n位，则称近 似值x有n位有效数字。
例： 3.1415926535
3.14有三位有效数字 误差限 0.005 ；3.1416有五位有效数字， 误差限为0.00005
,
又例：0.003529是四位有效数字，0.00352900 6 是六位有效数字。前者的误差限为 0.5 10 ， 8 后者为 0.5 10 ，写成标准的浮点数为：
数值计算方法
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上课时间： 1-18周周三上午三、四节 上课地点： 第4，8，12，16周：1班4#机房，2班5#机房 其余周次：A1-403 考试方式： 闭卷 成绩计算方法： 笔试60%，平时20%，上机20% 实验工具：MatLab
数值分析
数值分析是数学与计算机技术结合 的 一门学科，是利用计算机解决 数学问题的理论和方法，是计算数 学的一个重要分支。
k 1
( xk )
数值计算中误差的传播
3. 四则运算中误差的传播：
( x1 x2 ) ( x1 ) ( x2 ); ( x1 x2 ) x1 ( x2 ) x2 ( x1 )
x1 x1 ( x2 ) x2 ( x1 ) 2 x2 x2
用分部积分公式得递推式： I n 1 nI n 1 , I 0 1 e .用四位有效 数字计算：I 0 0.6321 I1 1 I 0 0.3679, I 2 1 2 I1 0.2642 I 3 1 3I 2 0.2074, I 4 1 4 I 3 0.1704 I 5 1 4 I 4 0.1480, I 6 1 5 I 5 0.1120 I 7 1 6 I 6 0.2160, I 8 1 7 I 7 0.7280
2
误差的来源和基本概念
• 1. 误差的来源 模型误差：在建立数学模型过程中，不可能将所有因素 都考虑，必然要进行必要的简化，带来了与实际问题的 误差。不是数值方法考虑的问题 测量误差：测量已知参数时，数据带来的误差。也不是 数值方法考虑的问题 截断误差：在设计算法时，必然要近似处理，寻求简化。 这是计算数学考虑问题 舍入误差：计算机的字长是有限的，每一步运算均需四 舍五入，由此产生的误差称舍入误差。 数值分析主要讨论截断误差。测量误差看成初始的 舍入误差，数值分析也要从整体上讨论舍入误差的影响
效数字，它准确到第 n 位。
例：求 3.142 和 3.141 作为圆周率 的近似值有几位有效数字。 解： 3.142 0.000407
m n 3, n 4 。有 4 位有效数字。
1 0.0005 103 ， m 1 ， 2 1 10 2 ， m 1 ， 2
称 r为相对误差限 ，即：

x*
x x* x*
2


x*
r
实际计算中，x*未知，用x代替，两者的差为：

x
x* x
x* x
x*x x*

2
x r2 x*
例：用 3.14 作为 的近似值，求其相 对误差。 解：四舍五入的近似值 3.14 的绝对误 1 2 差 限 10 ， 相 对 误 差 2 1 2 10 r 2 0.159% 3.14 x
数值分析需要考虑哪些问题
3. 数值稳定性 在大量计算中，舍入误差是积累还是能控制， 这与算法有关。 例：一元二次方程 9 2 9 9 其精确解为 x 10 , x2 1 x (10 1) x 10 0 1
b b2 4ac 如用求根公式：x1,2 2a 和字长为8位的计算器求解，有
2 18 9 18
b 4ac 10 4 10 10 10
9
又 109 1 109 ; 则
9 9 (109 ) 109 ( 10 ) 10 x1 109 , x2 0 2 2
数值分析需要考虑哪些问题
x2的值与精确解有天壤之别。若
b b 4ac 2c x2 2a b b 2 4ac 2 109 1与精确解相等 9 9 (10 ) 10
xn 10m 具有 n 位有效数字，
r
1 10 ( n 1) 2 x1
xn 10m ，有 x x1 10m 1 ，
又， x 有 n 位有效数字，即 x x *
1 10m n ，因此 2
1 mn 10 x x* 2 1 1 ( n 1) ( n 1) ，即 10 er 10 r x* x1 10 m 1 2 x1 2 x1
证明第二条如下：
e( x1 x2 ) x1 x2 x1 x x x x x
* 2 * 1 2
* * 1 2
x1 ( x2 x ) x ( x1 x )
* 2 * 2 * 1
e( x1 x2 ) x1 x2 x x x1 x
* 2 * 2
* 1
x1 ( x2 ) x2 ( x1 )
m-n=-2 ，所以 n=3，有 3 位有效数字。
有效数字与相对误差
绝对误差限、 相对误差限、 有效数字三者关系。
和 n 的关系
和 r 的关系
1 10mn 2
r

x
n 和 r 的关系有两个定理。
定理 1： 若近似数 x 0.x1 x2 则其相对误差限 证 因 x 0.x1 x2
3.141 0.00059
0.005
m n 2, n 3 。有 3 位有效数字。
22 的近似值有几位有 例： 以 作为圆周率 7
效数字。
22 解: ＝3.142857……， π ＝3.141592……。 7
22 1 2 0.00126 10 。因为 m=1， 7 2
例：重力加速度常数g。g 9.80米 秒2 , g 980厘米 秒2
两者均有三位有效数字
g 9.80 0.5 102 米 秒2
g 980 0.5厘米 秒2
后者的绝对误差大，而相对误差分别为
0.5 102 0.5 和 9.80 980
两者相等，与量纲的选取无关
有效数字
此定理说明，相对误差限是由有效数字决定。
例：用 3.14 作为 的近似值，求其相 对误差。 解：四舍五入的近似值各位都是有效 数字，即 n=3,由定理 1 (31) r 10 0.17% 23 和前例比较，思考结果不同的原因。
已知近似数 x 有两位有效数字，求其相对误差限。 解
2. 3.
4.
误差的基本概念
• 绝对误差和绝对误差限 X*是精确值，x是它的一个近似值，称 e=x-x*是近似值x的绝对误差，简称误 差。绝对误差可正可负，是有量纲的。 误差是无法计算的，但可以估计出它 的一个上界。即 ： x x * , 称 是近似值x的误差限
即x x* x
数值计算中的若干准则
1. 关于数值稳定性的算法 一个程序往往需要进行大量的四则运算才能 得出结果，每一步的运算均会产生舍入误差。 在运算过程中，舍入误差能控制在某个范围 内的算法称之为数值稳定的算法，否则就称 之为不稳定的算法。
例：I n e
1

1
0
x e dx，n 0,1, 2,
n x 1
取 r 5% 。
定理 2 若近似数 x 0.x1 x2
xn 10m ，的相对误差限
r
则它至少具有 n 位有效数字。 证 x 0.x1 x2 则 xx

1 10 ( n 1) 2( x1 1)
xn 10m 有 x ( x1 1) 10m 1
1. 2.
3.
4.
数值分析需要考虑哪些问题
1. 计算速度 例如：求解一个20阶线性方程组，20个未知量， 用加减消原法需3000次乘法运算，用行列式求 解需进行9.7*1020次运算，如果用每秒1亿次乘 法运算的计算机要30万年。 说明了算法方法的重要性 2. 存储量。大型问题有必要考虑 例如算法所需要保留的中间结果比较少，则可 以省下为保留中间结果所需要的额外的存储空 间。
定 义 设 x * 的 近 似 值 x 0.x1 x2
xn 10m ，
1 x1 0 ，若 x 的绝对误差 x - x * 10 m n 2 则称近似值 x 为 x * 的有 n 位有效数字的近似值。 其中
x1 , x2 , , xn 是 x 的有效数字。近似值 x 具有 n 位有