马尔科夫链考试例题
马尔科夫链考试例题整理
解 设0 j c 考虑质点从j出发移动一步后的情况
设 u j 为质点从 j 出发到达 0 状态先于到达 c 状态的概率。
在以概率 p 移到 j 1 的假设下，
到达 0 状态先于到达 c 状态的概率为 u j 1
同理 以 概 率 q 移 到 j 1 的 前 提 下 ，
到达 0 状态先于到达 c 状态的概率为u j 1
0 0 0 p 1
14
（2）二步转移概率矩阵
P
(2)
P
2
1 q rp q2 0 0
0
0
0 p2 2pr r2 pq 0
r2 pq 2pr 2rq r2 2pq q2 0 2qr 0
0 0 p2 p rp 1
1 6 1 6 1 6 4 6 0 0
1 6 1 6 1 6 1 6 5 6 1
1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 0
12
例1
甲、乙两人进行比赛，设每局比赛中甲胜的概率 是p，乙胜的概率是q，和局的概率是 r ， （ p q r 1 ）。设每局比赛后，胜者记“+1” 分，负者记“—1”分，和局不记分。当两人中有 一人获得2分结束比赛。以 X n 表示比赛至第n局 时甲获得的分数。 （1）写出状态空间； （3）问在甲获得1分的情况下，再赛二局可以 结束比赛的概率是多少？
p01 P( X1 1| X0 0) P(Y0 1) p1
p10 P( Xn1 0 | Xn 1) P( Xn 1 Yn 0 | Xn 1)
p20 P( Xn1 0 | Xn 2) P( Xn 1 Yn 0 | Xn 2)
a
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若 X (n) 表示质点在时刻n所处的位置，分析它的
概率特性。
1
例 2 直 线 上 的 随 机 游 动 时 的 位 置 X(t),是 无后效性的随机过程.
例3 电话交换台在t时刻前来到的呼叫数X(t), 是无后效性的随机过程.
例4 布朗运动 无记忆性
未来处于某状态的概率特性只与现在状态 有关，而与以前的状态无关，这种特性叫 无记忆性（无后效性）。
6
q p 0 0 0 ...
P1 q0
0 q
p 0
0 p
0 0
... ...
... ... ... ... ... ...
qp
0123 反 射 壁
7
例3．一个圆周上共有N格（按顺时针排列），一 个质点在该圆周上作随机游动，移动的规则是： 质点总是以概率p顺时针游动一格， 以概率
q 1 p 逆时针游动一格。试求转移概率 矩阵。 I {1, 2, ..., N }
0
0
p2
prp
1
15
（3）
从而结束比赛的概率； 从而结束比赛的概率。 所以题中所求概率为
( p rp) 0 p(1 r)
16
例2 赌徒输光问题
赌徒甲有资本a元，赌徒乙有资本b元，两人进行 赌博，每赌一局输者给赢者1元，没有和局，直 赌至两人中有一人输光为止。设在每一局中，甲
获胜的概率为p，乙获胜的概率为 q 1 p ，
2
一步转移概率矩阵的计算
引例 例1 直线上带吸收壁的随机游动（醉汉游动）
设一质点在线段[1，5 ]上随机游动，每秒钟发生
一次随机游动，移动的规则是：
1
（1）若移动前在2，3，4处，则均以概率 向左
或向右 移动一单位；
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获胜的概率为p，乙获胜的概率为
，
求甲输光的概率。
分 析
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
这个问题实质上是带有两个吸收壁的随机游动。从 甲的角度看，他初始时刻处于a，每次移动一格，向 右移（即赢1元）的概率为p，向左移（即输1元）的 概率为q。如果一旦到达0（即甲输光）或a + b（即 乙输光）这个游动就停止。这时的状态空间为{0，1 ，2，…，c}，c = a + b，。现在的问题是求质点从a 出发到达0状态先于到达c状态的概率。
一步转移矩阵是
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路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
练习题．
扔一颗色子，若前n次扔出的点数的最大值为j，就
说
试问
是否为马氏链？求一步转移概率矩
阵。
I={1，2，3，4，5，6}
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路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
例1
甲、乙两人进行比赛，设每局比赛中甲胜的概率 是p，乙胜的概率是q，和局的概率是 ，（ ）。设每局比赛后，胜者记“+1”分，负者记“— 1”分，和局不记分。当两人中有一人获得2分结 束比赛。以 表示比赛至第n局时甲获得的分 数。
i+1，以概率r停留在i，且
，试
求转移概率矩阵。
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路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
5．设袋中有a个球，球为黑色的或白色的，今随 机地从袋中取一个球，然后放回一个不同颜色的 球。若在袋里有k个白球，则称系统处于状态k， 试用马尔可夫链描述这个模型（称为爱伦菲斯特 模型），并求转移概率矩阵。
解 这是一个齐次马氏链，其状态空间为 I={0，1，2，…，a}
设i是常返态， 则称i为正常返态； 则称i为零常返态。
离散时间马尔可夫模型例题
选择题在离散时间马尔可夫模型中，如果状态转移概率矩阵P的某一行所有元素之和不为1，这意味着什么？A. 该模型是稳态的B. 存在吸收状态C. 存在状态转移概率的误差（正确答案）D. 模型是周期性的设有一个三状态（S1, S2, S3）的离散时间马尔可夫模型，若从S1到S2的转移概率为0.4，从S1到S3的转移概率为0.5，则从S1到自身的转移概率是多少？A. 0.9B. 0.1（正确答案）C. 0.4D. 0.5在一个离散时间马尔可夫链中，如果一个状态是常返的，那么它满足什么条件？A. 平均返回时间为无穷大B. 在有限步内一定会返回到该状态（正确答案）C. 转移概率矩阵的对应行全为0D. 该状态是吸收状态假设一个离散时间马尔可夫模型有两个状态（A和B），从A到B的转移概率是0.7，从B 到A的转移概率是0.4，那么状态A是哪种类型的状态？A. 吸收状态B. 瞬时状态C. 常返状态（正确答案）D. 周期状态在离散时间马尔可夫链中，如果一个状态是瞬时的，那么它满足什么条件？A. 从该状态出发，最终会回到该状态B. 从该状态出发，永远不会回到该状态（正确答案）C. 该状态是链的起始状态D. 该状态是链的终止状态设有一个四状态（S1, S2, S3, S4）的离散时间马尔可夫模型，如果S1是吸收状态，那么从S1到其他状态的转移概率应该是多少？A. 大于0B. 小于1C. 等于0（正确答案）D. 无法确定在一个离散时间马尔可夫链中，如果状态转移概率矩阵P的某一列所有元素之和为1，这意味着什么？A. 存在一个吸收状态（正确答案）B. 模型是稳态的C. 存在状态转移概率的误差D. 模型是周期性的假设一个离散时间马尔可夫模型有三个状态（X, Y, Z），从X到Y的转移概率是0.3，从X到Z的转移概率是0.4，从X到自身的转移概率是0.2，那么从X状态出发，下一步不可能发生的情况是？A. 转移到Y状态B. 转移到Z状态C. 转移到一个新的未知状态（正确答案）D. 保持在X状态在离散时间马尔可夫模型中，如果一个状态是周期性的，且周期为2，那么这意味着什么？A. 该状态每隔一步就会返回到自身B. 该状态在两步之后才能返回到自身（正确答案）C. 该状态是吸收状态D. 该状态是瞬时状态。
马尔科夫计算例题
马尔科夫计算例题
马尔科夫链蒙特卡洛（Markov Chain Monte Carlo，MCMC）是一种统计模拟方法，用于从复杂的分布中抽样。
以下是一个简单的马尔科夫链蒙特卡洛计算例题：
假设我们有一个随机变量 \(X\)，其分布是 \(P(X)\)。
我们的目标是计算
\(P(X)\) 的期望值，也就是：
\(\text{E}[X] = \int x P(x) dx\)
但是，直接计算这个积分是非常困难的。
因此，我们使用马尔科夫链蒙特卡洛方法来近似这个积分。
步骤如下：
1. 初始化一个随机数 \(x_0\) 作为当前状态。
2. 生成一个随机数 \(r\) 服从均匀分布 \(U(0,1)\)。
3. 计算接受率 \(A = \min(1, \frac{P(x_i)}{P(x_j)})\)，其中 \(j\) 是 \(r\) 落入的区间中的状态。
4. 以概率 \(A\) 接受 \(x_j\) 作为新的状态 \(x_{i+1}\)。
5. 如果接受，回到步骤 2；否则，令 \(i = i+1\) 并回到步骤 2。
6. 重复步骤 2-5，直到达到足够的样本数量。
然后，我们可以用这些样本的平均值来近似期望值。
这是一个简单的例子，实际上马尔科夫链蒙特卡洛方法可以用于更复杂的问题，如高维积分、优化问题等。
2025高考数学专项复习马尔科夫链含答案
2025高考数学专项复习马尔科夫链含答案马尔科夫链1.(2024·高三·广东·开学考试)马尔科夫链因俄国数学家安德烈・马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第n+1次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，与第n-1,n-2,n-3,⋯次状态无关.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.现有A,B两个盒子，各装有2个黑球和1个红球，现从A,B两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行n n∈N*次这样的操作后，记A盒子中红球的个数为X n，恰有1个红球的概率为p n.(1)求p1,p2的值；(2)求p n的值(用n表示)；(3)求证：X n的数学期望E X n为定值.理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是⋯⋯X t-2,X t-1,X t,X t+1，⋯，那么X t+1时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态X t，即P X t+1⋯,X t-2,X t-1,X t=P X t+1X t．现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为50%，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为50%，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：记赌徒的本金为A A∈N*,A<B一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博；另一种是赌徒输光本金后，赌徒可以向赌场借钱，最多借A元，再次输光后赌场不再借钱给赌徒．赌博过程如图的数轴所示．当赌徒手中有n元-A≤n≤B,n∈Z时，最终欠债A元(可以记为该赌徒手中有-A元)概率为P(n)，请回答下列问题：(1)请直接写出P(-A)与P(B)的数值．(2)证明{P(n)}是一个等差数列，并写出公差d．(3)当A=100时，分别计算B=300,B=1500时，P(A)的数值，论述当B持续增大时，P(A)的统计含义．状态到另一个状态的转换的随机过程．该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关．甲、乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行n n∈N*次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为X n，恰有1个黑球的概率为p n．(1)求p1,p2的值；(2)求p n的值(用n表示)；(3)求证：X n的数学期望E X n为定值．4.(2024·高三·江西·开学考试)马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，其过程具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，即第n+1次状态的概率分布只与第n次的状态有关，与第n -1,n-2,n-3，⋯次的状态无关，即P(X n+1|X1,X2,⋯,X n-1,X n)=P(X n+1|X n)．已知甲盒中装有1个白球和2个黑球，乙盒中装有2个白球，现从甲、乙两个盒中各任取1个球交换放入对方的盒中，重复n 次(n∈N∗)这样的操作，记此时甲盒中白球的个数为X n，甲盒中恰有2个白球的概率为a n，恰有1个白球的概率为b n．(1)求a1,b1和a2,b2．为等比数列．(2)证明：a n+2b n-65(3)求X n的数学期望(用n表示)．5.在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若ξ是只取非负值的随机变量，则对∀a>0，都有Pξ≥a≤Eξa.某市去年的人均年收入为10万元，记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市民去年的年收入超过100万元”为事件A，其概率为P A.则P A的最大值为()A.271000B.2431000C.427D.496.(2024·广东肇庆·模拟预测)马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程，该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲口袋中各装有1个黑球和2个白球，乙口袋中装有2个黑球和1个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行n(n∈N*)次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为X n，恰有1个黑球的概率为p n，则p1的值是；X n的数学期望E X n是.7.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行n n∈N∗次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n，恰有1个黑球的概率为p n，则p1=；p n=．8.马尔科夫链是机器学习和人工智能的基石，其数学定义为:假设序列状态是...，X t-2,X t-1,X t,X t+1,⋯，那么X t+1时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态X t，即P X t+1∣⋯,X t-2,X t-1,X t=P X t+1∣X t.著名的赌徒模型就应用了马尔科夫链：假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率都为50%，每局赌赢可以赢得1金币，赌输就要输掉1金币.赌徒自以为理智地决定，遇到如下两种情况就会结束赌博游戏：一是输光了手中金币;二是手中金币达到预期的1000金币，出现这两种情况赌徒都会停止赌博.记赌徒的本金为70金币，求赌徒输光所有金币的概率.9.(2024·广东茂名·二模)马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第n+1次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，与第n-1,n-2,n-3,⋅⋅⋅次状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行n n∈N*次操作后，记甲盒子中黑球个数为X n，甲盒中恰有1个黑球的概率为a n，恰有2个黑球的概率为b n.(1)求X1的分布列；(2)求数列a n的通项公式；(3)求X n的期望.10.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲、乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行n n∈N*次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为X n，恰有1个黑球的概率为p n，恰有2个黑球的概率为q n，恰有0个黑球的概率为r n.(1)求p1,p2的值；(2)根据马尔科夫链的知识知道p n=a⋅p n-1+b⋅q n-1+c⋅r n-1，其中a,b,c∈0,1为常数，同时p n+q n+ r n=1，请求出p n；(3)求证：X n的数学期望E X n为定值.11.(2024·云南·模拟预测)材料一：英国数学家贝叶斯1701∼1763在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献.贝叶斯公式就是他的重大发现，它用来描述两个条件概率之间的关系.该公式为：设A1,A2,⋯,A n是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪⋯∪A n=Ω，且P A i>0,i=1，2,⋯,n，则对任意的事件B⊆Ω,P B >0，有P A i∣B=P A iP B∣A iP(B)=P A iP B∣A i∑n k=1P A kP B∣A k,i=1，2,⋯,n.材料二：马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假设我们的序列状态是⋯，X t-2,X t-1,X t,X t+1,⋯，那么X t+1时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态X t，即P X t+1∣⋯,X t-2,X t-1,X t=P X t+1∣X t.请根据以上材料，回答下列问题.(1)已知德国电车市场中，有10%的车电池性能很好.W公司出口的电动汽车，在德国汽车市场中占比3%，其中有25%的汽车电池性能很好.现有一名顾客在德国购买一辆电动汽车，已知他购买的汽车不是W公司的，求该汽车电池性能很好的概率；(结果精确到0.001)(2)为迅速抢占市场，W公司计划进行电动汽车推广活动.活动规则如下：有11个排成一行的格子，编号从左至右为0,1,⋯,10，有一个小球在格子中运动，每次小球有34的概率向左移动一格；有14的概率向右移动一格，规定小球移动到编号为0或者10的格子时，小球不再移动，一轮游戏结束.若小球最终停在10号格子，则赢得6百欧元的购车代金券；若小球最终停留在0号格子，则客户获得一个纪念品.记P i为以下事件发生的概率：小球开始位于第i个格子，且最终停留在第10个格子.一名顾客在一次游戏中，小球开始位于第5个格子，求他获得代金券的概率.马尔科夫链1.(2024·高三·广东·开学考试)马尔科夫链因俄国数学家安德烈・马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第n +1次状态的概率分布只跟第n 次的状态有关，与第n -1,n -2,n -3,⋯次状态无关.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.现有A ,B 两个盒子，各装有2个黑球和1个红球，现从A ,B 两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行n n ∈N * 次这样的操作后，记A 盒子中红球的个数为X n ，恰有1个红球的概率为p n .(1)求p 1,p 2的值；(2)求p n 的值(用n 表示)；(3)求证：X n 的数学期望E X n 为定值.【解析】(1)设第n n ∈N * 次操作后A 盒子中恰有2个红球的概率为q n ，则没有红球的概率为1-p n -q n .由题意知p 1=C 12C 12+C 11C 11C 13C 13=59，q 1=C 12C 11C 13C 13=29,p 2=p 1⋅C 12C 12+C 11C 11C 13C 13+q 1⋅C 12C 13C 13C 13+1-p 1-q 1 ⋅C 13C 12C 13C 13=4981．(2)因为p n =p n -1⋅C 12C 12+C 11C 11C 13C 13+q n -1⋅C 12C 13C 13C 13+1-p n -1-q n -1 ⋅C 13C 12C 13C 13=-19p n -1+23.所以p n -35=-19p n -1-35 .又因为p 1-35=-245≠0，所以p n -35 是以-245为首项，-19为公比的等比数列.所以p n -35=-245×-19 n -1，p n =-245×-19 n -1+35．(3)因为q n =C 12C 11C 13C 13p n -1+C 11C 13C 13C 13q n -1=29p n -1+13q n -1，①1-q n -p n =C 11C 12C 13C 13p n -1+C 13C 11C 13C 131-q n -1-p n -1 =29p n -1+131-q n -1-p n -1 ,②．所以①一②，得2q n +p n -1=132q n -1+p n -1-1 .又因为2q 1+p 1-1=0，所以2q n +p n -1=0，所以q n =1-p n 2.X n 的可能取值是0,1,2，P X n =0 =1-p n -q n =1-p n 2,P X n =1 =p n ,P X n =2 =q n =1-p n 2．所以X n 的概率分布列为X n012p 1-p n2p n 1-p n2所以E X n =0×1-p n 2+1×p n +2×1-p n 2=1.2.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是⋯⋯X t -2,X t -1,X t ,X t +1，⋯，那么X t +1时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态X t ，即P X t +1⋯,X t -2,X t -1,X t =P X t +1X t ．现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为50%，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为50%，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：记赌徒的本金为A A ∈N *,A <B 一种是赌金达到预期的B 元，赌徒停止赌博；另一种是赌徒输光本金后，赌徒可以向赌场借钱，最多借A 元，再次输光后赌场不再借钱给赌徒．赌博过程如图的数轴所示．当赌徒手中有n 元-A ≤n ≤B ,n ∈Z 时，最终欠债A 元(可以记为该赌徒手中有-A 元)概率为P (n )，请回答下列问题：(1)请直接写出P (-A )与P (B )的数值．(2)证明{P (n )}是一个等差数列，并写出公差d ．(3)当A =100时，分别计算B =300,B =1500时，P (A )的数值，论述当B 持续增大时，P (A )的统计含义．【解析】(1)当n =-A 时，赌徒已经欠债-A 元，因此P (-A )=1．当n =B 时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率P (B )=0；(2)记M :赌徒有n 元最后输光的事件，N :赌徒有n 元上一场赢的事件，P M =P N P M N +P N P M N ，即P (n )=12P (n -1)+12P (n +1)，所以P (n )-P (n -1)=P (n +1)-P (n )，所以{P (n )}是一个等差数列，设P (n )-P (n -1)=d ，则P (n -1)-P (n -2)=d ,⋯,P (-A +1)-P (-A )=d ，累加得P (n )-P (-A )=(n +A )d ，故P (B )-P (-A )=(A +B )d ，得d =-1A +B ；(3)A =100，由(2)P (n )-P (-A )=(n +A )d =-n +A A +B ，代入n =A 可得P (A )-P (-A )=-2A A +B ，即P (A )=1-2A A +B ，当B =300时，P A =12，当B =1500时，P (A )=78，当B 增大时，P (A )也会增大，即输光欠债的可能性越大，因此可知久赌无赢家，即便是一个这样看似公平的游戏，只要赌徒一直玩下去就会100%的概率输光并负债．3.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程．该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关．甲、乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行n n∈N*次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为X n，恰有1个黑球的概率为p n．(1)求p1,p2的值；(2)求p n的值(用n表示)；(3)求证：X n的数学期望E X n为定值．【解析】(1)设恰有2个黑球的概率为q n，则恰有0个黑球的概率为1-p n-q n．由题意知p1=C12C12+C11C11C13C13=59，q1=C12C11C13C13=29，所以p2=C12C12+C11C11C13C13p1+C12C13C13C13q1+C13C12C13C131-p1-q1=4981．(2)因为p n=C12C12+C11C11C13C13p n-1+C12C13C13C13q n-1+C13C12C13C131-p n-1-q n-1=-19p n-1+23，所以p n-35=-19p n-1-35．又因为p1-35=-245≠0，所以p n-35是以-245为首项，-19为公比的等比数列．所以p n-35=-245×-19n-1，p n=-245×-19n-1+35．(3)因为q n=C12C11C13C13p n-1+C11C13C13C13q n-1=29p n-1+13q n-1①，1-q n-p n=C11C12C13C13p n-1+C13C11C13C131-q n-1-p n-1=29p n-1+131-q n-1-p n-1②．所以①-②，得2q n+p n-1=132q n-1+p n-1-1．又因为2q1+p1-1=0，所以2q n+p n-1=0．所以q n=1-p n 2．所以X n的概率分布列为：X n012p1-p n-1-p n2p n1-p n2所以E X n=0×1-p n-1-p n 2+1×p n+2×1-p n2=1．所以X n的数学期望E X n为定值1．4.(2024·高三·江西·开学考试)马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，其过程具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，即第n+1次状态的概率分布只与第n次的状态有关，与第n -1,n-2,n-3，⋯次的状态无关，即P(X n+1|X1,X2,⋯,X n-1,X n)=P(X n+1|X n)．已知甲盒中装有1个白球和2个黑球，乙盒中装有2个白球，现从甲、乙两个盒中各任取1个球交换放入对方的盒中，重复n 次(n∈N∗)这样的操作，记此时甲盒中白球的个数为X n，甲盒中恰有2个白球的概率为a n，恰有1个白球的概率为bn．(1)求a1,b1和a2,b2．(2)证明：a n+2b n-65为等比数列．(3)求X n的数学期望(用n表示)．【解析】(1)若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，乙盒中的球变为1白1黑，概率a1 =23；若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为1白2黑，乙盒中的球仍为2白，概率b1=1 3，研究第2次交换球时的概率，根据第1次交换球的结果讨论如下：①当甲盒中的球为2白1黑，乙盒中的球为1白1黑时，对应概率为a1=2 3，此时，若甲盒取黑球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，乙盒中的球仍为1白1黑，概率为a1×13×12=16a1；若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为3白，乙盒中的球变为2黑，概率为a1×13×12=16a1；若甲盒取白球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球变为1白2黑，乙盒中的球变为2白，概率为a1×23×12=13a1；若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，乙盒中的球仍为1白1黑，概率为a1×23×12=13a1，②当甲盒中的球为1白2黑，乙盒中的球为2白时，对应概率为b1=1 3，此时，若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，乙盒中的球变为1白1黑，概率为b1×23=23b1若甲盒取白球，乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为1白2黑，乙盒中的球仍为2白，概率为b1×13=13b1，综上，a2=16a1+13a1+23b1=59,b2=13a1+13b1=13.(2)依题意，经过n次这样的操作，甲盒中恰有2个白球的概率为a n，恰有1个白球的概率为b n，则甲盒中恰有3个白球的概率为1-a n-b n，研究第n+1次交换球时的概率，根据第n次交换球的结果讨论如下：①当甲盒中的球为2白1黑，乙盒中的球为1白1黑时，对应概率为a n，此时，若甲盒取黑球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，乙盒中的球仍为1白1黑，概率为a n×13×12=16a n；若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为3白，乙盒中的球变为2黑，概率为a n×13×12=16a n；若甲盒取白球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球变为1白2黑，乙盒中的球变为2白，概率为a n×23×12=13a n；若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，乙盒中的球仍为1白1黑，概率为a n×23×12=13a n，②当甲盒中的球为1白2黑，乙盒中的球为2白时，对应概率为b n，此时，若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，乙盒中的球变为1白1黑，概率为b n×2 3=23b n；若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为1白2黑，乙盒中的球仍为2白，概率为b n ×13=13b n ，③当甲盒中的球为3白，乙盒中的球为2黑时，对应概率为1-a n -b n ，此时，甲盒只能取白球、乙盒只能取黑球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，乙盒中的球变为1白1黑，概率为1-a n -b n ，综上，a n +1=13a n +16a n +23b n +1-a n -b n =1-12a n -13b n ,b n +1=13a n +13b n 则a n +1+2b n +1-65=1-12a n -13b n +23a n +23b n -65=16a n +13b n -15，整理得a n +1+2b n +1-65=16a n +2b n -65 ，又a 1+2b 1-65=215>0，所以数列a n +2b n -65 是公比为16的等比数列.(3)由(2)知a n +2b n -65=215×16 n -1，则a n +2b n =65+215×16n -1，随机变量X n 的分布列为X n123P b n a n 1-a n -b n所以E (X n )=b n +2a n +3-3b n -3a n =3-(a n +2b n )=95-215×16 n -1.5.在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若ξ是只取非负值的随机变量，则对∀a >0，都有P ξ≥a ≤E ξ a.某市去年的人均年收入为10万元，记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市民去年的年收入超过100万元”为事件A ，其概率为P A .则P A 的最大值为()A.271000 B.2431000 C.427 D.49【答案】B【解析】记该市去年人均收入为X 万元，从该市任意选取3名市民，年收入超过100万元的人数为Y .设从该市任选1名市民，年收入超过100万元的概率为p ，则根据马尔可夫不等式可得p =P X ≥100 ≤E X 100=10100=110，∴0≤p ≤110，因为Y ~B (3,p )，所以P A =P Y =1 =C 13p 1-p 2=3p 1-p 2=3p 3-6p 2+3p ，令f (p )=3p 3-6p 2+3p ，则f (p )=9p 2-12p +3=3(3p -1)(p -1)，∵0≤p ≤110,∴3p -1<0,p -1<0，即f (p )>0，∴f (p )在0,110上单调递增.∴f (p )max =f 110 =3×110×1-110 2=2431000，即P (A )max =2431000.故选：B6.(2024·广东肇庆·模拟预测)马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲口袋中各装有1个黑球和2个白球，乙口袋中装有2个黑球和1个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行n (n ∈N *)次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为X n ，恰有1个黑球的概率为p n ，则p 1的值是；X n 的数学期望E X n 是.【答案】4932-1213 n【解析】考虑到乙袋中拿出的球可能是黑的也可能是白的，由全概率公式可得p 1=13×23+23×13=49；记X n -1取0，1，2，3的概率分别为p 0，p 1，p 2，p 3，推导X n 的分布列：P X n =1 =p 0+49p 1+49p 2，P X n =2 =49p 1+49p 2+p 3，P X n =3 =19p 2，则E X n =0⋅P X n =0 +1⋅P X n =1 +2⋅P X n =2 +3⋅P X n =3 =p 0+43p 1+53p 2+2p 3=1+13p 1+2p 2+3p 3 =1+13E X n -1 ，则E X n -32=13E X n -1 -32，故E X n -32=E X 1 -32 ×13n -1给合E X 1 =43，可知E X n =32-1213 n .故答案为：49;32-1213n .7.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行n n ∈N ∗ 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n ，恰有1个黑球的概率为p n ，则p 1=；p n =．【答案】5925⋅-19 n +35【解析】由题意，p 1=C 12C 12+C 11C 11C 13C 13=59；当n ≥2n ∈N ∗ 时，p n =C 12C 12+C 11C 11C 13C 13p n -1+C 12C 13C 13C 13P X n -1=0 +C 13C 12C 13C 13P X n -1=2 =59p n -1+23P X n -1=0 +P X n -1=2 =59p n -1+231-p n -1 =-19p n -1+23，整理得p n -35=-19p n -1-35 ，p 1-35=59-35=-245，故可知p n -35 是以-245为首项，以-19为公比的等比数列，所以p n =25⋅-19 n +35.故答案为：59；25⋅-19 n +358.马尔科夫链是机器学习和人工智能的基石，其数学定义为:假设序列状态是...，X t -2,X t -1,X t ,X t +1,⋯，那么X t +1时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态X t ，即P X t +1∣⋯,X t -2,X t -1,X t =P X t +1∣X t .著名的赌徒模型就应用了马尔科夫链：假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率都为50%，每局赌赢可以赢得1金币，赌输就要输掉1金币.赌徒自以为理智地决定，遇到如下两种情况就会结束赌博游戏：一是输光了手中金币;二是手中金币达到预期的1000金币，出现这两种情况赌徒都会停止赌博.记赌徒的本金为70金币，求赌徒输光所有金币的概率.【答案】93100/0.93【解析】设当赌徒手中有n 元0≤n ≤1000,n ∈N 时，最终输光的概率为P (n )，当n =0时，赌徒已经输光了，所以P (0)=1，当n =1000时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率为P (1000)=0，记M ：赌徒有n 元最后输光的事件，N ：赌徒有n 元下一次赢的事件，所以P M =P N P (M |N )+P N P (M |N )，即P (n )=12P (n -1)+12P (n +1)，所以P (n +1)-P (n )=P (n )-P (n -1)，所以P (n ) 为等差数列，设P (n )-P (n -1)=d ，由于P (1000)=P (0)+1000d =1+1000d =0，所以d =-11000，所以P (n )=P (0)+nd =1-n 1000，故P (70)=1-701000=93100故答案为：931009.(2024·广东茂名·二模)马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第n +1次状态的概率分布只跟第n 次的状态有关，与第n -1,n -2,n -3,⋅⋅⋅次状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行n n ∈N * 次操作后，记甲盒子中黑球个数为X n ，甲盒中恰有1个黑球的概率为a n ，恰有2个黑球的概率为b n .(1)求X 1的分布列；(2)求数列a n 的通项公式；(3)求X n 的期望.【解析】(1)(1)由题可知，X 1的可能取值为0，1，2.由相互独立事件概率乘法公式可知：P X 1=0 =13×23=29；P X 1=1 =13×13+23×23=59；P X 1=2 =23×13=29，故X 1的分布列如下表：X 1012P 295929(2)由全概率公式可知：P X n +1=1=P X n =1 ⋅P X n +1=1X n =1 +P X n =2 ⋅P X n +1=1X n =2 +P X n =0 ⋅P X n +1=1X n =0=13×13+23×23 P X n =1 +23×1 P X n =2 +1×23 P X n =0 =59P X n =1 +23P X n =2 +23P X n =0 ，即：a n +1=59a n +23b n +231-a n -b n ，所以a n +1=-19a n +23，所以a n +1-35=-19a n -35 ，又a 1=P X 1=1 =59，所以，数列a n -35 为以a 1-35=-245为首项，以-19为公比的等比数列，所以a n -35=-245⋅-19 n -1=25⋅-19 n ，即：a n =35+25⋅-19n .(3)由全概率公式可得：P X n +1=2 =P X n =1 ⋅P X n +1=2X n =1 +P X n =2 ⋅P X n +1=2X n =2 +P X n =0 ⋅P X n +1=2X n =0=23×13 ⋅P X n =1 +13×1 ⋅P X n =2 +0⋅P X n =0 ,即：b n +1=29a n +13b n ,又a n =35+25⋅-19 n ,所以b n +1=13b n +2935+25-19 n ,所以b n +1-15+15-19 n +1=13b n -15+15-19 n,又b 1=P X 1=2 =29,所以b 1-15+15×-19 =29-15-145=0,所以b n -15+15-19 n =0,所以b n =15-15-19n ,所以E X n =a n +2b n +01-a n -b n =a n +2b n =1.10.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲、乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行n n ∈N * 次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为X n ，恰有1个黑球的概率为p n ，恰有2个黑球的概率为q n ，恰有0个黑球的概率为r n .(1)求p 1,p 2的值；(2)根据马尔科夫链的知识知道p n =a ⋅p n -1+b ⋅q n -1+c ⋅r n -1，其中a ,b ,c ∈0,1 为常数，同时p n +q n +r n =1，请求出p n ；(3)求证：X n 的数学期望E X n 为定值.【解析】(1)由题意恰有0个黑球的概率为1-p n -q n .由题意知p 1=C 12C 12+C 11C 11C 13C 13=59,q 1=C 12C 11C 13C 13=29，所以p2=C12C12+C11C11C13C13p1+C12C13C13C13q1+C13C12C13C131-p1-q1=4981.(2)因为p n=C12C12+C11C11C13C13p n-1+C12C13C13C13q n-1+C13C12C13C131-p n-1-q n-1=-19p n-1+23，所以p n-35=-19p n-1-35.又因为p1-35=-245≠0，所以p n-35是以-245为首项，-19为公比的等比数列.所以p n-35=-245×-19n-1,p n=-245×-19n-1+35.(3)因为q n=C12C11C13C13p n-1+C11C13C13C13q n-1=29p n-1+13q n-1①，1-q n-p n=C11C12C13C13p n-1+C13C11C13C131-q n-1-p n-1=29p n-1+131-q n-1-p n-1②所以①-②，得2q n+p n-1=132q n-1+p n-1-1 .又因为2q1+p1-1=0，所以2q n+p n-1=0.所以q n=1-p n 2.所以X n的概率分布列为：X n012p1-p n-1-p n2p n1-p n2所以E X n=0×1-p n-1-p n 2+1×p n+2×1-p n2=1.所以X n的数学期望E X n为定值1.11.(2024·云南·模拟预测)材料一：英国数学家贝叶斯1701∼1763在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献.贝叶斯公式就是他的重大发现，它用来描述两个条件概率之间的关系.该公式为：设A1,A2,⋯,A n是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪⋯∪A n=Ω，且P A i>0,i=1，2,⋯,n，则对任意的事件B⊆Ω,P B >0，有P A i∣B=P A iP B∣A iP(B)=P A iP B∣A i∑n k=1P A kP B∣A k,i=1，2,⋯,n.材料二：马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假设我们的序列状态是⋯，X t-2,X t-1,X t,X t+1,⋯，那么X t+1时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态X t，即P X t+1∣⋯,X t-2,X t-1,X t=P X t+1∣X t.请根据以上材料，回答下列问题.(1)已知德国电车市场中，有10%的车电池性能很好.W公司出口的电动汽车，在德国汽车市场中占比3%，其中有25%的汽车电池性能很好.现有一名顾客在德国购买一辆电动汽车，已知他购买的汽车不是W公司的，求该汽车电池性能很好的概率；(结果精确到0.001)(2)为迅速抢占市场，W公司计划进行电动汽车推广活动.活动规则如下：有11个排成一行的格子，编号从左至右为0,1,⋯,10，有一个小球在格子中运动，每次小球有34的概率向左移动一格；有14的概率向右移动一格，规定小球移动到编号为0或者10的格子时，小球不再移动，一轮游戏结束.若小球最终停在10号格子，则赢得6百欧元的购车代金券；若小球最终停留在0号格子，则客户获得一个纪念品.记P i 为以下事件发生的概率：小球开始位于第i 个格子，且最终停留在第10个格子.一名顾客在一次游戏中，小球开始位于第5个格子，求他获得代金券的概率.【解析】(1)记事件A 为一辆德国市场的电车性能很好，事件B 为一辆德国市场的车来自W 公司.由全概率公式知：P A =P A |B P B +P A |B P B ,故：P A |B =P A -P A |B ⋅P B P B=10%-0.25×3%97%≈0.095.(2)记事件A i i =0,1,⋯,10 表示小球开始位于第i 个格子，且最终停留在第10个格子，事件C 表示小球向右走一格.小球开始于第i 格，此时的概率为P i ，则下一步小球向左或向右移动，当小球向右移动，即可理解为小球始于P i +1，当小球向左移动，即可理解为小球始于P i -1，即P i =14P i +1+34P i -1.由题知P 0=0,P 10=1，又4P i =3P i -1+P i +1，故P i +1-P i =3P i -P i -1 ，所以P i -P i -1 是以P 1-P 0为首项，3为公比的等比数列，即：P i -P i -1=3i -1P 1-P 0 ，即：P 10-P 9=39P 1-P 0 ，P 9-P 8=38P 1-P 0 ，⋯P 1-P 0=30P 1-P 0 ，故P 10=39+38+⋯+30P 1-P 0 =310-12P 1，P 5=34+33+⋯+30 P 1-P 0 =35-12P 1，则P 5=P 5P 10=35-1310-1=135+1=1244，故这名顾客获得代金券的概率为1244.。
连续时间马尔可夫链例题
连续时间马尔可夫链例题假设有一个连续时间马尔可夫链，描述一个人的健康状态。
该马尔可夫链包含三个状态：健康、生病和康复。
人的健康状态可以根据以下转移概率进行模拟：1. 在任何时间点，一个健康的人以0.1的速率生病。
2. 在任何时间点，一个生病的人以0.2的速率康复。
3. 在任何时间点，一个康复的人以0.05的速率重新生病。
现在假设一个人的初始状态是健康，我们可以使用连续时间马尔可夫链模型来模拟他的健康状态随时间的变化。
假设每个时间单位是一周，我们希望模拟他一年内的健康状态。
根据上面的转移概率，我们可以得到如下的转移矩阵：```| 健康 | 生病 | 康复 |----------------------------健康 | 0.9 | 0.1 | 0 |生病 | 0.05 | 0.75 | 0.2 |康复 | 0 | 0.05 | 0.95|```该矩阵中的每个元素表示从当前状态转移到下一个状态的概率。
例如，一个健康的人在一周后仍然健康的概率为0.9，在一周后生病的概率为0.1，在一周后康复的概率为0。
使用该转移矩阵，我们可以模拟一个人一年内的健康状态。
假设每个时间单位是一周，则一年共有52个时间单位。
我们可以使用随机数生成器来生成每个时间单位的状态。
假设生成的随机数在[0,1)之间，我们可以根据转移概率进行状态转移。
例如，如果生成的随机数小于0.9，则人在下一个时间单位仍然健康；如果生成的随机数介于0.9和0.95之间，则人在下一个时间单位康复；如果生成的随机数大于等于0.95，则人在下一个时间单位重新生病。
使用这种方法，我们可以模拟一个人一年的健康状态，并观察他在这段时间内的状态变化。
这可以帮助我们更好地了解和预测一个人的健康动向。
马尔可夫分析法练习题
马尔可夫分析法练习题一、基础概念题1. 马尔可夫过程的定义是什么？2. 简述马尔可夫链的基本特征。
3. 马尔可夫分析法在哪些领域有应用？4. 请解释转移概率矩阵的概念。
5. 什么是稳态概率分布？二、计算题| | A | B | C ||||||| A | 0.5 | 0.2 | 0.3 || B | 0.4 | 0.3 | 0.3 || C | 0.1 | 0.1 | 0.8 |2. 已知一个马尔可夫链的初始状态概率分布为 [0.4, 0.3, 0.3]，求经过三个周期后的状态概率分布。
| | X | Y | Z ||||||| X | 0.3 | 0.2 | 0.5 || Y | 0.4 | 0.3 | 0.3 || Z | 0.1 | 0.5 | 0.4 |4. 一个公司有三个部门，员工可以在这三个部门之间调动。
已知转移概率矩阵如下，求各部门的稳态员工人数比例：| | 部门一 | 部门二 | 部门三 ||||||| 部门一 | 0.6 | 0.2 | 0.2 || 部门二 | 0.3 | 0.5 | 0.2 || 部门三 | 0.4 | 0.1 | 0.5 |三、应用题1. 假设某地区天气分为晴天、多云和雨天三种状态，已知转移概率矩阵如下，预测未来三天的天气状态概率分布：| | 晴天 | 多云 | 雨天 ||||||| 晴天 | 0.6 | 0.2 | 0.2 || 多云 | 0.3 | 0.5 | 0.2 || 雨天 | 0.4 | 0.1 | 0.5 |2. 某公司产品销售分为高、中、低三个市场，已知转移概率矩阵如下，预测未来两个季度的市场占有率：| | 高市场 | 中市场 | 低市场 ||||||| 高市场 | 0.7 | 0.2 | 0.1 || 中市场 | 0.3 | 0.5 | 0.2 || 低市场 | 0.4 | 0.2 | 0.4 |3. 假设一个网站的用户分为新用户、活跃用户和流失用户三种状态，已知转移概率矩阵如下，求各状态用户的稳态比例： | | 新用户 | 活跃用户 | 流失用户 ||||||| 新用户 | 0.5 | 0.3 | 0.2 || 活跃用户 | 0.2 | 0.6 | 0.2 || 流失用户 | 0.3 | 0.1 | 0.6 |四、案例分析题初始状态分布：潜在客户 60%，新客户 20%，老客户 15%，流失客户 5%转移概率信息：（请自行构建）初始状态分布：主干道 40%，次干道 30%，支路 30%转移概率信息：（请自行构建）五、综合分析题普通会员有20%的概率升级为银卡会员，5%的概率直接成为金卡会员。
马尔可夫链作业
1.假设某地有1600户居民，某产品只有甲乙丙三家厂家在该地销售，经调查，8月份购买甲乙丙三层的户数分别为480,320,800. 9月份里，原买甲的有48户转买乙产品，有96户转买丙产品。
原买乙的有32户转买甲产品，有64户转买丙产品，原买丙的有64户转买甲产品，有32户转买乙产品。
用状态1,2,3分别表示甲乙丙三厂。
试求：
<!--[if !supportLists]-->a)<!--[endif]-->一步转移概率矩阵。
<!--[if !supportLists]-->b)<!--[endif]-->10月份市场占有率的分布。
<!--[if !supportLists]-->c)<!--[endif]-->稳定状态下的市场占有率的分布。
若甲厂考虑采用不同的策略来增加市场占有率，策略I为通过广告宣传等策略占领其他厂家的市场，则在原来的基础上改变为：原买乙的有45户转买甲产品，原买丙的有80户转买丙产品。
策略II为采用提高服务质量以挽留顾客减少顾客外流，则原买甲的减少为有40户转买乙产品，有50户转买丙产品。
采用这两种策略的成本分别为15万，和8万元。
请问甲厂为了在长期经营中获取最大利润，应采取哪种策略？假定策略一经采取就不再改变。
截止日期2014年12月17日下午11时59分00秒。
随机过程第四章复习题及其解答马尔科夫链
第四章一、填空1.参数集和状态集均为离散集的马尔可夫过程称为马尔可夫链。
2.设{X n ,n єT}为马尔可夫链，称pj=p{X0=j}为{X n ,n єT}的初始概率，称pj （n ）=p{Xn=j}为{X n ,n єT}的绝对概率。
3.设{X n ,n>=0}为马尔可夫链，则一步转移概率p ij =P{X n+1=j|X n =i}4.矩阵()ij a 其元素非负且对每i 有1j=∑ija，称矩阵()ij a 为随机矩阵。
5.f (n)ij =P{T ij =n|X 0=i}=P{X n =j,X k ≠j,1<=k<=n-1|X 0=i}为首达概率。
6.若1=ii f ,称i 为常返状态；若1<ii f ，称i 为非常返状态。
7.状态相通关系为等价关系，具有自反性、对称性、传递性。
8.设马尔可夫链的状态集为E={0，±1，±2，…}或其有限子集，其初始时刻n=0的概率记为p i (0)=P{X(0)=i},i єE,称集合{p i (0)}为该马尔可夫链的初始分布。
9.设马尔可夫链的状态集为E={0，±1，±2，…}或其有限子集，其绝对时刻n 时的概率记为p i (n)=P{X(n)=i},i єE,称集合{p i (n)}为该马尔可夫链的绝对分布。
10.设C ⊂S ，如对任意i ∈C 及j ∉C,都有p ij =0,称C 为闭集。
若C 的状态相通，C 成为不可约的。
11.若平稳齐次马尔可夫链的初始分布为平稳分布，则绝对概率等于初始概率。
12.不可约非周期马尔可夫链是正常返的充要条件是存在平稳分布，且此平稳分布就是极限分布⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈I j ,u 1j 。
13.马氏链的绝对分布由其初始分布及相应的转移概率唯一确定。
二、1.设昨日、今日都下雨，明日有雨的概率为0.7；昨日无雨，今日有雨、明日有雨的概率为0.5；昨日有雨，今日无雨，明日有雨的概率为0.4；昨日、今日均无雨，明日有雨的概率为0.2。
马尔可夫链的模型解概率题
马尔可夫链的模型解概率题马尔可夫链是一种随机过程，它描述了一系列可能的状态，以及在每个状态之间转移的概率。
这种模型特别适用于那些下一个状态只依赖于当前状态的情况。
假设我们有一个天气模型，其中只有两种状态：晴天（S）和雨天（R）。
我们观察到，如果今天是晴天，那么明天还是晴天的概率是0.9，变成雨天的概率是0.1。
如果今天是雨天，那么明天还是雨天的概率是0.8，变成晴天的概率是0.2。
我们可以使用马尔可夫链来描述这个模型。
首先，我们需要一个状态转移矩阵，它描述了从一个状态转移到另一个状态的概率。
在这个例子中，状态转移矩阵可以写成：= [0.9 0.10.2 0.8]，第一行表示如果今天是晴天，那么明天还是晴天的概率是0.9，变成雨天的概率是0.1。
第二行表示如果今天是雨天，那么明天变成晴天的概率是0.2，还是雨天的概率是0.8。
现在，假设我们想知道，如果今天是晴天，那么接下来三天都是晴天的概率是多少。
我们可以使用马尔可夫链的模型来解决这个问题。
首先，我们知道今天是晴天的概率是1，雨天的概率是0。
我们可以把这个概率分布表示为一个向量：接下来，我们可以使用这个向量和状态转移矩阵来计算明天是晴天的概率。
根据马尔可夫链的性质，我们可以通过乘以状态转移矩阵来得到下一个状态的概率分布：1 = π_0 * P = [1 0] * [0.9 0.10.2 0.8] = [0.9 0.1]，是雨天的概率是0.1。
接下来，我们可以使用同样的方法来计算接下来两天的天气概率分布：0.1] * [0.9 0.10.2 0.8] = [0.83 0.17]今天是晴天，那么接下来两天都是晴天的概率是0.83，有一天是雨天的概率是0.17。
最后，我们可以计算接下来三天都是晴天的概率：_3 = π_2 * [1 0] = [0.83 0.17] * [1 0] = 0.83错误，我们不能直接这样计算。
实际上，我们应该再次使用状态转移矩阵：= π_2 * P = [0.83 0.17] * [0.9 0.10.2 0.8] = [0.767 0.233]，即0.767。
高中数学概率与数列(含马尔可夫链问题)及参考答案
概率与数列(含马尔可夫链问题)一、基本技能练1(2023·华师大附中压轴卷)长江十年禁渔计划全面施行，渔民老张积极配合政府工作，如期收到政府的补偿款.他决定拿出其中10万元进行投资，并看中了两种为期60天(视作2个月)的稳健型(不会亏损)理财方案.方案一：年化率2.4%，且有10%的可能只收回本金；方案二：年化率3.0%，且有20%的可能只收回本金；已知老张对每期的投资本金固定(都为10万元)，且第一次投资时选择了方案一，在每期结束后，老张不间断地进行下一期投资，并且他有40%的可能选择另一种理财方案进行投资.(1)设第i次投资(i=1，2，3，⋯，n)选择方案一的概率为P i，求P4；(2)求一年后老张可获得总利润的期望(精确到1元).注：若拿1千元进行5个月年化率为2.4%的投资，则该次投资获利ω=2.4%×512×1000=10元.2(2023·杭州一模)中国男篮历史上曾12次参加亚运会，其中8次夺得金牌，是亚运会夺冠次数最多的球队.第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举办.(1)为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某学校随机抽取了男生和女生各100名进行调查，得到2×2列联表如下：喜爱篮球不喜爱篮球合计男生6535100女生2575100合计90110200依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为喜爱篮球运动与性别有关？(2)校篮球队中的甲、乙、丙三名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到，记开始传球的人为第1次触球者，第n次触球者是甲的概率记为P n，即P1=1.①求P3，P4，并证明：P n-1 3为等比数列；②比较第15次触球者是甲与第15次触球者是乙的概率的大小.参考公式：χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d为样本容量.参考数据：α=P(χ2≥k)0.100.050.010.0050.001 k 2.706 3.841 6.6357.87910.8283(2023·惠州一模)为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为23，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为14，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为12，如此往复.(1)求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；(2)记该同学第n天选择米饭套餐的概率为P n.证明：①P n-2 5为等比数列；②当n≥2时，P n≤5 12.二、创新拓展练1(2023·荆州统测)为倡导公益环保理念，培养学生社会实践能力，某中学开展了旧物义卖活动，所得善款将用于捐赠“圆梦困境学生”计划.活动共计50多个班级参与，1000余件物品待出售.摄影社从中选取了20件物品，用于拍照宣传，这些物品中，最引人注目的当属优秀毕业生们的笔记本，已知高三1，2，3班分别有12，13，14的同学有购买意向.假设三个班的人数比例为6∶7∶8.(1)现从三个班中随机抽取一位同学：①求该同学有购买意向的概率；②如果该同学有购买意向，求此人来自2班的概率；(2)对于优秀毕业生的笔记本，设计了一种有趣的“掷骰子叫价确定购买资格”的竞买方式：统一以0元为初始叫价，通过掷骰子确定新叫价，若点数大于2，则在已叫价格基础上增加1元更新叫价，若点数小于3，则在已叫价格基础上增加2元更新叫价；重复上述过程，能叫到10元，即获得以10元为价格的购买资格，未出现叫价为10元的情况则失去购买资格，并结束叫价.若甲同学已抢先选中了其中一本笔记本，试估计其获得该笔记本购买资格的概率(精确到0.01).概率与数列(含马尔可夫链问题)一、基本技能练1(2023·华师大附中压轴卷)长江十年禁渔计划全面施行，渔民老张积极配合政府工作，如期收到政府的补偿款.他决定拿出其中10万元进行投资，并看中了两种为期60天(视作2个月)的稳健型(不会亏损)理财方案.方案一：年化率2.4%，且有10%的可能只收回本金；方案二：年化率3.0%，且有20%的可能只收回本金；已知老张对每期的投资本金固定(都为10万元)，且第一次投资时选择了方案一，在每期结束后，老张不间断地进行下一期投资，并且他有40%的可能选择另一种理财方案进行投资.(1)设第i次投资(i=1，2，3，⋯，n)选择方案一的概率为P i，求P4；(2)求一年后老张可获得总利润的期望(精确到1元).注：若拿1千元进行5个月年化率为2.4%的投资，则该次投资获利ω=2.4%×512×1000=10元.【答案】解：(1)由题意知P i+1=(1-40%)P i+40%(1-P i)=25+15P i，整理得P i+1-12=15P i-12，其中P1=1，故数列P n-1 2是以P1-12为首项，15为公比的等比数列，则P n-12=12×15 n-1，即P n=12+12×15n-1，那么P4=63125.(2)当某期选择方案一时，获利期望值为W1=(1-10%)×2.4%×212×100000 =360元；当某期选择方案二时，获利期望值为W2=(1-20%)×3.0%×212×10000=400元；那么，在一年间，老张共投资了6次，获得的总利润的期望为W=[P1W1+(1-P1)W2]+[P2W1+(1-P2)W2]+⋯+[P6W1+(1-P6)W2]=(P1+P2+⋯+P6)W1+[(1 -P1)+(1-P2)+⋯+(1-P6)]W2≈2400-40×3+58=2255元.即一年后老张可获得的利润的期望约为2255元.2(2023·杭州一模)中国男篮历史上曾12次参加亚运会，其中8次夺得金牌，是亚运会夺冠次数最多的球队.第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举办.(1)为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某学校随机抽取了男生和女生各100名进行调查，得到2×2列联表如下：喜爱篮球不喜爱篮球合计男生6535100女生2575100合计90110200依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为喜爱篮球运动与性别有关？(2)校篮球队中的甲、乙、丙三名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到，记开始传球的人为第1次触球者，第n次触球者是甲的概率记为P n，即P1=1.①求P3，P4，并证明：P n-1 3为等比数列；②比较第15次触球者是甲与第15次触球者是乙的概率的大小.参考公式：χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d为样本容量.参考数据：α=P(χ2≥k)0.100.050.010.0050.001k 2.706 3.841 6.6357.87910.828【答案】解：(1)假设H0：喜爱足球运动与性别独立，即喜爱足球运动与性别无关，计算χ2=200×(65×75-25×35)2100×100×90×110≈32.323>10.828，根据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为喜爱足球运动与性别有关，此推断犯错误的概率不超过0.001.(2)①由题意知，P1=1，P2=0，P3=12，P4=12×0+1-12×12=14.证明：第n次触球者是甲的概率记为P n，则当n≥2时，第n-1次触球者是甲的概率为P n-1，第n-1次触球者不是甲的概率为1-P n-1，则P n=P n-1×0+(1-P n-1)×12=12(1-P n-1)，从而P n-13=-12P n-1-13，又P1-13=23，所以P n-1 3是以23为首项，公比为-12的等比数列.②第n 次触球者是甲的概率为P n =23×-12n -1+13，所以P 15=23×-1214+13=13×1213+13>13，第15次触球者是乙的概率为Q 15=12(1-P 15)=121-13×1213-13=13-13×1214<13，所以第15次触球者是甲的概率比第15次触球者是乙的概率大.3(2023·惠州一模)为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为23，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为14，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为12，如此往复.(1)求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；(2)记该同学第n 天选择米饭套餐的概率为P n .证明：①P n -25为等比数列；②当n ≥2时，P n ≤512.【答案】(1)解 设A 1=“第1天选择米饭套餐”，A 2=“第2天选择米饭套餐”，则A 1 =“第1天不选择米饭套餐”.根据题意P (A 1)=23，P (A 1)=13，P (A 2|A 1 )=14，P (A 2|A 1 )=1-12=12.由全概率公式，得P (A 2)=P (A 1)P (A 2|A 1)+P (A 1 )P (A 2|A 1 )=23×14+13×12=13.(2)证明 ①设A n =“第n 天选择米饭套餐”，则P n =P (A n )，P (A n)=1-P n ，根据题意P A n +1|A n )=14， P (A n +1|A n )=1-12=12.由全概率公式，得P n +1=P (A n +1)=P (A n )P (A n +1|A n )+P (A n )·P A n +1|A n )=14P n +12(1-P n )=-14P n +12.因此P n +1-25=-14P n -25.因为P 1-25=415≠0，所以P n -25 是以415为首项，-14为公比的等比数列.②由①可得P n =25+415-14n -1.当n 为大于1的奇数时，P n =25+41514 n -1≤25+415142=512.当n 为正偶数时，P n =25-41514n -1<25<512.因此当n ≥2时，P n ≤512.二、创新拓展练1(2023·荆州统测)为倡导公益环保理念，培养学生社会实践能力，某中学开展了旧物义卖活动，所得善款将用于捐赠“圆梦困境学生”计划.活动共计50多个班级参与，1000余件物品待出售.摄影社从中选取了20件物品，用于拍照宣传，这些物品中，最引人注目的当属优秀毕业生们的笔记本，已知高三1，2，3班分别有12，13，14的同学有购买意向.假设三个班的人数比例为6∶7∶8.(1)现从三个班中随机抽取一位同学：①求该同学有购买意向的概率；②如果该同学有购买意向，求此人来自2班的概率；(2)对于优秀毕业生的笔记本，设计了一种有趣的“掷骰子叫价确定购买资格”的竞买方式：统一以0元为初始叫价，通过掷骰子确定新叫价，若点数大于2，则在已叫价格基础上增加1元更新叫价，若点数小于3，则在已叫价格基础上增加2元更新叫价；重复上述过程，能叫到10元，即获得以10元为价格的购买资格，未出现叫价为10元的情况则失去购买资格，并结束叫价.若甲同学已抢先选中了其中一本笔记本，试估计其获得该笔记本购买资格的概率(精确到0.01).【答案】解：(1)①设事件A =“该同学有购买意向”，事件B i =“该同学来自i 班”(i =1，2，3).由题意可知P (B 1)=621，P (B 2)=721，P (B 3)=821，P (A |B 1)=12，P A |B 2)=13， P A |B 3)=14， 所以由全概率公式可得，P(A)=P(B1)·P(A|B1)+P(B2)·P(A|B2)+P(B3)·P(A|B3)=621×12+721×13+821×14=2263.②由条件概率可得P(B2|A)=P(B2A)P(A)=P(B2)·P(A|B2)P(A)=721×132263=722.(2)由题意可得每次叫价增加1元的概率为23，每次叫价增加2元的概率为1 3.设叫价为n(3≤n≤10)元的概率为P n，叫价出现n元的情况只有下列两种：①叫价为n-1元，且骰子点数大于2，其概率为23P n-1；②叫价为n-2元，且骰子点数小于3，其概率为13P n-2.于是得到P n=23P n-1+13P n-2(n≥3)，易得P1=23，P2=23×23+13=79，由于P n-P n-1=-13P n-1+13P n-2=-13(P n-1-P n-2)(n≥3)，于是当n≥2时，数列{P n-P n-1}是以首项为19，公比为-13的等比数列，故P n-P n-1=19×-13n-2(n≥2).于是P10=P1+(P2-P1)+(P3-P2)+⋯+(P9-P8)+(P10-P9)=23+19×1--1391--13=34+14×1310≈0.75，于是，甲同学能够获得笔记本购买资格的概率约为0.75.。
马尔可夫链专题讲义——2024届高三数学二轮复习
马尔可夫链专题马尔可夫链:)(),,,,(11211n n n n n x x P x x x x x P +-+=等式的意义:对于一个马尔可夫链来说，第n +1次的状态的结果，只跟上一次(也即第n 次)有关，与其他次无关。
马尔可夫链性质：无记忆性破题技巧:1.找到当下状态的“前一次”的所有可能情况；2.结合对应概率写出“前一次”所有可能中蕴含的数列递推关系;3.利用数列递推技巧求答案,例1.跳格游戏:如图，人从格外只能进入第1格，在格中每次可向前跳1格或2格，那么人从格外跳到第8格的方法种数为( C )A. 8种B. 13种C. 21种D. 34种【例2】质点在x 轴上从原点O 出发向右运动，每次平移一个单位或两个单位，且移动一个单位的概率为32，移动两个单位的概率为31，设质点运动到点)0,(n 的概率为n P . (1) 求1P 和2P ；(2) 求n P .【例3】为迅速抢占市场举行促销活动，销售公司现面向意向客户推出“玩游戏，赢大奖，送汽车模型”活动，客户可根据抛掷骰子向上的点数，遥控汽车模型在方格图上行进，若汽车模型最终停在“幸运之神”方格，则可获得购车优惠券2万元;若最终停在“赠送汽车模型”方格，则可获得汽车模型一个.方格图上标有第0格、第1格、第2格、……、第 20 格。
汽车模型开始在第0格，客户每掷一次骰子，汽车模型向前移动一次.若掷出 1，2，3，4点，汽车模型向前移动一格(从第k 格到第k +1格)，若掷出5,6点，汽车模型向前移动两格(从第k 格到第k +2格)，直到移到第 19 格(幸运之神)或第 20 格(赠送汽车模型)时游戏结束.设汽车模型移到第n (1≤n ≤19)格的概率为n P .则19P =_________.【例 4】【淮北高三二模T12】已知棋盘上标有第 0，1，2,.，100 站，棋子开始时位于第0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏，若掷出正面，棋子向前跳一站:若掷出反面，棋子向前跳两站，直到跳到第 99 站(胜利大本营)或第 100 站(欢乐大本营)时，游戏结束.设棋子跳到第n 站的概率为n P . ( )A. 211=P B. 833=P C. )981(,212111≤≤+=-+n P P P n n n D. )211(32101100+=P赌徒问题（随机游走）例5：(2023·杭州市二模/湖南师大附中三模T21)马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型,也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…X t-2, X t-1,X t, X t+1…,那么X t+1时刻的状态的条体概率仅依赖前一状态X t，即P(X t+1|… X t-2, X t-1,X t)=P(X t+1 |X t)．现实生活中也存在着许多马尔科大链，例如著名的赌徒模型.假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为50%，每局赌赢可以赢得1元,每一局赌徒赌输的概率为50%，赌输就要输掉1元.赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元,即赌徒输光;一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为A(A∈N*,A<B)，赌博过程如图的数轴所示．当赌徒手中有n元(0≤n≤B,n∈N)时,最终输光的概率为P（n），请回答下列问题：(1)请直接写出P(0)与P（B）的数值;(2）证明{ P（n）}是个等差数列，并写出公差d；(3）当A=100时，分别计算B=200，B=1000时，P（A）的数值，并结合实际，解释当B→+∞时,P（A）的统计含义.例6：（2023·惠州一模T22改编）为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐（吐槽一下惠州学生命真苦啊……）.已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为23，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为14，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为12，如此往复.(1)求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率;(2)记该同学第n 天选择米饭套餐的概率为P n ;(i)求P n 表达式；(ii)证明：当n ≥2时,P n ≤512；并结合实际，说明当n →+∞时, P n 的实际意义.传球问题中的马尔可夫模型例7：三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，每人得球后传球给其他人的可能性均相等.经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有（ ）A ．6种B ．8种C ．10种D ．16种（例7升级Plus 版本）：甲乙丙丁4人传接球训练，球从甲脚下开始，等可能地随机传向其余3人中的1人，接球者接到球后，再等可能地随机传向另外3人中的1人，依此类推.假设所有传出的球都能接住.记第n 次传球之前，球在甲脚下的概率为P n (n ∈N ∗) ，易知P 1=1 ，P 2=0.(1)推导P n 的表达式；(2)设第n 次传球之前，球在乙脚下的概率为Q n ,比较Q n 与P n ( n ≥3 )的大小; 并结合实际，解释当n→+∞时, P n 与Q n 的统计含义;(3) 假设经历了6次传球后，球依旧在甲的脚下，请问共有多少种不同的传球路径？【例 8】【武汉九调 T16】甲，乙，丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式:当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留;当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙;当球在丙手中时，若骰子点数大于 3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于 3，则丙将球传给乙.初始时，球在甲手中，投掷n 次骰子后(*∈N n )，记球在甲手中的概率为n P ,则3P =_____________;n P =____________ .【例9】【茂名高三&郴州高三二模 T22】马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第n +1次状态的概率分布只跟第n 次的状态有关，与第n -1,n -2,n -3,…次状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行n (*∈N n )次操作后，记甲盒子中黑球个数为n X ，甲盒中恰有1个黑球的概率为n a ，恰有2个黑球的概率为n b 。
随机过程的马尔可夫链
随机过程的马尔可夫链当然，请看以下的20道试题：1. 什么是马尔可夫链？- A. 一个随机过程- B. 一个确定过程- C. 一个线性过程- D. 一个非随机过程2. 马尔可夫链具有什么样的记忆特性？- A. 有限记忆- B. 无限记忆- C. 完全没有记忆- D. 部分记忆3. 马尔可夫链的状态空间是指什么？- 空格填空：__________4. 马尔可夫链状态的转移概率是指什么？- 空格填空：__________5. 马尔可夫链状态转移概率的性质是什么？- A. 非负性- B. 可加性- C. 归一性- D. 全部正确6. 马尔可夫链的平稳分布是指什么？- 空格填空：__________7. 马尔可夫链收敛到平稳分布的条件是什么？- A. 非周期性- B. 非简并性- C. 正常性- D. 所有选项都是8. 马尔可夫链的平稳分布可以通过什么方法求解？- 空格填空：__________9. 马尔可夫链的平稳分布与其初始分布之间的关系是什么？- A. 线性关系- B. 非线性关系- C. 比例关系- D. 无关系10. 马尔可夫链的遍历性质指的是什么？- 空格填空：__________11. 马尔可夫链的马尔可夫性质是指什么？- A. 状态的独立性- B. 未来状态只依赖于当前状态- C. 状态转移是确定的- D. 初始状态不影响最终状态12. 马尔可夫链的时间反转性质是指什么？- 空格填空：__________13. 马尔可夫链的条件转移概率公式是什么？- 空格填空：__________14. 马尔可夫链的转移概率矩阵具有什么性质？- A. 非负性- B. 可加性- C. 归一性- D. 所有选项都是15. 马尔可夫链的瞬时状态概率是指什么？- 空格填空：__________16. 马尔可夫链的延迟时间是指什么？- 空格填空：__________17. 马尔可夫链的重现时间是指什么？- 空格填空：__________18. 马尔可夫链的复发时间是指什么？- 空格填空：__________19. 马尔可夫链的周期性质是指什么？- A. 完全周期性- B. 非周期性- C. 部分周期性- D. 无关20. 马尔可夫链的平稳分布可以通过什么方法求解？- A. 特征向量法- B. 特征值法- C. 特征分布法- D. 特征过程法。
马尔科夫链考试例题
I={1，2，3，4，5，6}
11
1 1 1 1 1 1
6
6
6
6
6
6
0
2 6
1 6
1 6
1 6
1 6
P
0
0
3 6
1 6
1 6
1
6
0
0
0
4
1
1
6 6 6
0
...
0
0
5
1
6 6
0 ... 0 0 1 0
12
例1
甲、乙两人进行比赛，设每局比赛中甲胜的概率
是p，乙胜的概率是q，和局的概率是 r ，
0
0
p2
prp
1
15
（3）
从而结束比赛的概率； 从而结束比赛的概率。 所以题中所求概率为
( p rp) 0 p(1 r)
16
例2 赌徒输光问题
赌徒甲有资本a元，赌徒乙有资本b元，两人进行 赌博，每赌一局输者给赢者1元，没有和局，直 赌至两人中有一人输光为止。设在每一局中，甲
获胜的概率为p，乙获胜的概率为 q 1 p ，
前言：马尔可夫过程的描述分类
例1 直线上带吸收壁的随机游动（醉汉游动）
设一质点在线段[1，5 ]上随机游动，每秒钟发生
一次随机游动，移动的规则是：
1
（1）若移动前在2，3，4处，则均以概率 向左
或向右 移动一单位；
2
（2）若移动前在1，5处，则以概率1停留在原处。
12
3
4
5
质点在1，5两点被“吸收”
求甲输光的概率。
分 这个问题实质上是带有两个吸收壁的随机游动。从 析 甲的角度看，他初始时刻处于a，每次移动一格，向
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若 X (n) 表示质点在时刻n所处的位置，分析它的
概率特性。
1
例 2 直 线 上 的 随 机 游 动 时 的 位 置 X(t),是 无后效性的随机过程.
例3 电话交换台在t时刻前来到的呼叫数X(t), 是无后效性的随机过程.
例4 布朗运动 无记忆性
未来处于某状态的概率特性只与现在状态 有关，而与以前的状态无关，这种特性叫 无记忆性（无后效性）。
17
解 设0 j c
设 u j 为质点从 j 出发到达 0 状态先于到达 c 状态的概率。
考虑质点从j出发移动一步后的情况
在以概率 p 移到 j 1的假设下，
到达 0 状态先于到达 c 状态的概率为 u j1
同理 以 概 率 q 移 到 j 1 的 前 提 下 ，
到达0 状态先于到达c 状态的概率为u j1
d0
两式相比
uj
r j rc 1 rc
20
故
ua
ra rc 1 rc
(
q p
)a
(
q p
)c
1
(
q p
)c
当 r 1 u0 uc 1 cd0
而
u j (c j)d0
因此 故
uj
ua
c j
c c a c
b c
21
由以上计算结果可知
当 r 1 即 p q 时，甲先输光的概率为
当
概率（1）p{X0 0, X1 1, X2 2}
（2）p{X2 0, X3 2, X4 1}
27
• 练习：马氏链的状态空间I={1，2，3}，初始概 率为
1
4
3 4
0
p1
1 4
,
p2
1 2
,
p3
1,P 4
1 3
1 3
1 3
0
1
3
4 4
(1)计 算 P { X (0 )= 1 ,X (1 )= 2 ,X (2 )= 2 } ,p12 ( 2 )
（ p q r 1 ）。设每局比赛后，胜者记“+1”
分，负者记“—1”分，和局不记分。当两人中有
一人获得2分结束比赛。以 X n 表示比赛至第n局
时甲获得的分数。
（1）写出状态空间；
（3）问在甲获得1分的情况下，再赛二局可以 结束比赛的概率是多少？
13
解
（1）
记甲获得“负2分”为状态1，获得 “负1分”为状态2，获得“0分”为状态3， 获得“正1分”为状态4，获得“正2分”为 状态5，则状态空间为
I {1，2，3，4，5}
一步转移概率矩阵
1 0 0 0 0
q
r
p
0
0
P 0 q r p 0
0
0
q
r
p
0 0 0 0 1
14
（2）二步转移概率矩阵
P(2) P2
1
qrp
q2
0
0
0 r2 pq
2rq q2 0
0 2pr r2 2pq 2qr 0
0 p2 2pr r2 pq 0
根据全概率公式有 u j u j1 p u j1q
这一方程实质上是一差分方程，它的边界条件是
u0 1, uc 0
18
欲求 ua
于是
先求 u j
u
j
u
j 1
(
q p )(u j1
u
j
)
设 r q p
d j u j u j1
则可得到两个相邻差分间的递推关系
d j rd j1
于是
d j rd j1 r 2d j2 r j d0
0 p 0 0 ... 0 q
q
0
p
0 ... 0
0
0 q 0 p ... 0 0 P1 ... ... ... ... ... ... ...
0 0 ... 0 q 0 p
p 0 ... 0 0 q 0
8
4．一个质点在全直线的整数点上作随机游动，移
动的规则是：以概率p从i移到i-1，以概率q从i移到
i+1，以概率r停留在i，且 r p q 1 ，试
求转移概率矩阵。
E {..., 2, 1,0,1, 2,...}
... ... ... ... ... ... ... ...
P1
... ...
0 0
p 0
r p
q r
0 q
0 0
... ...
... ... ... ... ... ... ... ...
23
解 先求出转移概率
p00 P(X1 0| X0 0) P(Y0 0) p0
p01 P(X1 1| X0 0) P(Y0 1) p1
p10
P(Xn1
0|
Xn
1)
P(Xn
P(Yn
10) Yn
0|
p0
Xn
1)
p11 P(Xn1 1| Xn 1) P(Xn 1Yn 1| Xn 1)
求甲输光的概率。
分 这个问题实质上是带有两个吸收壁的随机游动。从 析 甲的角度看，他初始时刻处于a，每次移动一格，向
右移（即赢1元）的概率为p，向左移（即输1元）的 概率为q。如果一旦到达0（即甲输光）或a + b（即 乙输光）这个游动就停止。这时的状态空间为{0，1， 2，…，c}，c = a + b，。现在的问题是求质点从a出 发到达0状态先于到达c状态的概率。
1
0
a 1
0
... 0
一步转移矩阵是
a
a
P1
0
2 a
0
a2
...
0
a
... ... ... ... ... ...
0
...
0
a 1 a
0
1 a
0
...
0
0
1
0
10
练习题． 扔一颗色子，若前n次扔出的点数的最大值为j，
就说 Xn j, 试问 Xn j, 是否为马氏链？求一步转移概率矩
阵。
I={1，2，3，4，5，6}
11
1 1 1 1 1 1
6
6
6
6
6
6
0
2 6
1 6
1 6
1 6
1 6
P
0
0
3 6
1 6
1 6
1
6
0
0
0
4
1
1
6 6 6
0
...
0
0
5
1
6 6
0 ... 0 0 1 0
12
例1
甲、乙两人进行比赛，设每局比赛中甲胜的概率
是p，乙胜的概率是q，和局的概率是 r ，
设随机游动的状态空间I = {0，1，2，…}，移动的 规则是：
（1）若移动前在0处，则下一步以概率p向右移 动一个单位，以概率q停留在原处（p+q=1）；
（2）若移动前在其它点处，则均以概率p向右移 动一个单位，以概率q向左移动一个单位。
设 X n 表示在时刻n质点的位置，
则
{ X n ， n 0 }是一个齐次马氏链，写出其一步转
0
0
p2
prp
1
15
（3）
从而结束比赛的概率； 从而结束比赛的概率。 所以题中所求概率为
( p rp) 0 p(1 r)
16
例2 赌徒输光问题
赌徒甲有资本a元，赌徒乙有资本b元，两人进行 赌博，每赌一局输者给赢者1元，没有和局，直 赌至两人中有一人输光为止。设在每一局中，甲
获胜的概率为p，乙获胜的概率为 q 1 p ，
9
5．设袋中有a个球，球为黑色的或白色的，今随 机地从袋中取一个球，然后放回一个不同颜色的 球。若在袋里有k个白球，则称系统处于状态k， 试用马尔可夫链描述这个模型（称为爱伦菲斯特 模型），并求转移概率矩阵。
解 这是一个齐次马氏链，其状态空间为
I={0，1，2，…，a} 0 1 0 0 ... 0
移概率。
5
qp
q p
012 左反射壁
m-1 m 右反射壁
q p 0 0 0 ... 0 0 0
q 0 p 0 0 ... 0 0 0
0 q 0 p 0 ... 0 0 0 P1 ... ... ... ... ... ... ... ... ...
0 0 0 0 0 ... q 0 p
0 0 0 0 0 ... 0 q p
P(Yn 1) p1
p20 P(Xn1 0| Xn 2) P(Xn 1Yn 0| Xn 2)
p21
P(Xn1
1|
Xn
2)
P(Yn 1)
P(Xn 1Yn
0
1|
Xn
2)
P(Yn 0) p0
p22 P(Xn1 2| Xn 2) P(Yn 1) p1
24
所以转移矩阵为
p0 p1 p2 p3 p4
6
q p 0 0 0 ...
P1 q0
0 q
p 0
0 p
0 0
... ...
... ... ... ... ... ...
qp
0123 反 射 壁
7
例3．一个圆周上共有N格（按顺时针排列），一 个质点在该圆周上作随机游动，移动的规则是： 质点总是以概率p顺时针游动一格， 以概率
q 1 p 逆时针游动一格。试求转移概率 矩阵。 I {1, 2, ..., N }
若 X (n) 表示质点在时刻n所处的位置，求
一步转移概率。
3
状态空间I={1，2，3，4，5}，