第三章 X射线衍射强度.
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第三章 X射线衍射强度
X射线衍射线束的方向（第二章）
布拉格公式 2d sin k k 1,2,3,4
应用：
布拉格方程反映了晶体结构中晶胞大小及形状的变 化。从而可以测定试样的晶体类型和晶格常数。 X射线衍射线束的强度（本章） 应用： 物相定量分析、内应力及织构测定、 固溶体有序度测定
x射线衍射线束的强度测量
当h, k, l为全奇或全偶，(h + k)，(k+l) 和
(h+l) 必为偶数，故F = 4f，F 2 = 16f 2
当h, k, l中有两个奇数或两个偶数时，则在（h+k)，(k+l) 和 (h+l)中必有两项为奇数，一项为偶数，故F = 0, F2 = 0 所以（111）,（200）,（220）,（311）有反射，而 （100）,（110） ,（112）,（221）等无反射。
①满足布拉格方程 2d sin
②结构因子不为0 FHKL 2 0
三种 点阵 衍射 线的 分布
说明：
点阵常数没有参与结构因子的计算。FHKL 只与原子种类和原子在晶胞中的位置有关， 不受晶胞形状和大小影响。
点阵类型确定，任何晶系其晶胞的系统消 光规律都是相同的。
结构中的原子为不同种类，则原子散射因 子分别代入。
F = 2f F2 = 4f2
（2）如果h和k一奇一偶，则和为奇数， F = 0 F2 = 0
不论哪种情况，l值对F均无影响。111,112,113或021,022,023的F 值均为2f。011，012，013或101，102，103的F值均为0。
3. 体心晶胞，两种位置原子坐标分别是（0,0,0）和 （1/2,1/2,1/2）
数学表达式（计算公式）
n
FHKL
f ei2 (Hxj Ky j Lz j ) j
j 1
式中：FHKL— (HKL) 晶面的结构因子。 表示沿（HKL）晶面族反射方向的散射能力。
n— 晶胞中的原子数
fj— 原子的散射因子（直接查表，附录C） HKL— 晶面指数
xj yj zj— 原子坐标
1. 最简单情况，简单晶胞，仅在坐标原点 (0,0,0)处含有一个原子的晶胞
系统消光
衍射线I=0，衍射线消失，称为系统消光。 （原子在晶胞中的位置不同而引起的某些 方向衍射线的消失，又称为点阵消光）。
尽管满足衍射条件，因F = 0使衍射线消 失的现象。
例如：对于体心点阵，可以产生衍射的晶面 为110、200、211、220、221、310 …
衍射产生的充分必要条件是：
I相 F 2 P ( ) e2M A( )
影响衍射强度的因素很多，讨论这一问题必须一 步步进行：
一个电子对x-ray的散射强度 原子内各电子散射波合成 晶胞内各原子叠加 多晶体积分强度
二、结构因子 FHKL
FHKL
一个晶胞的相干散射(原子全部)振幅 一个电子的相干散射振幅
Ab Ae
FHKL表征单胞的相干散射与单电子散射之间的对应关 系。
而（100）,（111）,（210）,（221）等均无散射
4. 面心晶胞：四种位置的原子坐标分别是（0 0 0）和 （½ ½ 0）,（ ½ 0 ½ ）,（0 ½ ½）。
F fe2 i0 fe2 ih/ 2k / 2 fe fe 2 ik / 2l / 2 2 il / 2h/ 2 f 1 eihk eikl eilh
P值越大，晶面获得衍射的几率越大，对应 的衍射线越强。
d同 θ同 衍射线重叠在同一衍射线环上。
P数值随晶系及晶面指数而变化。
例：
立方晶系（a = b = c α=β=γ=90°） P100= 6
F fe2 i0 fe2 ih/ 2k / 2l / 2 f 1 eihkl
eni 1n
∴当（h+k+l）为偶数，F = 2f ，F2 = 4f 2 当（h+k+l）为奇数，F = 0，F 2 = 0
即对体心晶胞，（h+k+l）等于奇数时的衍射强度为0。
例如（110）,（200）,（211）,（310）等均有散射；
衍射线强度的测量采用衍 射仪法，得到I～θ曲线。
每个衍射峰下面的 面积（积分面积）称 为积分强度或累积强度。
x射线衍射线束的强度
波长λ强度Io的x-ray，照射到 晶胞体积Vo的多晶试样上，被 照射晶体的体积V，与入射线 夹角为2θ方向上产生（HKL） 晶面的衍射，距试样R处记录 到的衍射线其单位长度上积分 强度为：
结构消光
系统消光规则主要与晶体的对称性有关，根 据测得的系统消光条件，可决定晶体的空间 点阵及各对称要素。
两类以上等同点构成的复杂晶体结构，除遵 循所属的点阵消光外，还有附加的消光条件， 称为结构消光。（结构基元内原子位置不同 而进一步产生的附加消光）
例：氯化铯晶体的消光规律
CsCl属立方晶系，简单立方点阵。 角顶 Cs (0,0,0) 体心 Cl（ 1 , 1 , 1 ）
式中：Io—入射x-ray强度 m、e — 电子的质量与电荷 c— 光速 λ— 入射x-ray波长 R— 衍射仪半径 cm V— 试样被x-ray照射体积，cm3 Vo— 晶胞体积 cm3 F— 结构因子 P— 多重性因子 e－2M — 温度因子
( ) — 角因子 A(θ) — 吸收因子
同一衍射花样中，e、m、c为固定物理常数， Io、λ、R、V、Vo对同一物相的各衍射线均相 等，衍射线的相对积分强度可用 5个强度因子的乘积来表示：
F fe2i(0) f F2 f2
即F与hkl无关，所有晶面均有反射。
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2. 底心晶胞：两种位置原子，（0,0,0）（½,½,0)
F fe2i(0) fe2i(h/ 2k / 2) f [1 ei(hk ) ]
(h+k)一定是整数，分两种情况： （1）如果h和k均为偶数或均为奇数，则和为偶数
222
FHKL = f Cs + f Cl e iπ(H+K+L) H + k + L = 偶数 F = f Cs+ f Cl 强度高
（110）（200）（211）… H + k + L= 奇数 F = f Cs – f Cl 强度低 （100）（111）（210）…
2 多重性因子 P
表示多晶体中同族晶面｛HKL｝的等同晶面 数。
X射线衍射线束的方向（第二章）
布拉格公式 2d sin k k 1,2,3,4
应用：
布拉格方程反映了晶体结构中晶胞大小及形状的变 化。从而可以测定试样的晶体类型和晶格常数。 X射线衍射线束的强度（本章） 应用： 物相定量分析、内应力及织构测定、 固溶体有序度测定
x射线衍射线束的强度测量
当h, k, l为全奇或全偶，(h + k)，(k+l) 和
(h+l) 必为偶数，故F = 4f，F 2 = 16f 2
当h, k, l中有两个奇数或两个偶数时，则在（h+k)，(k+l) 和 (h+l)中必有两项为奇数，一项为偶数，故F = 0, F2 = 0 所以（111）,（200）,（220）,（311）有反射，而 （100）,（110） ,（112）,（221）等无反射。
①满足布拉格方程 2d sin
②结构因子不为0 FHKL 2 0
三种 点阵 衍射 线的 分布
说明：
点阵常数没有参与结构因子的计算。FHKL 只与原子种类和原子在晶胞中的位置有关， 不受晶胞形状和大小影响。
点阵类型确定，任何晶系其晶胞的系统消 光规律都是相同的。
结构中的原子为不同种类，则原子散射因 子分别代入。
F = 2f F2 = 4f2
（2）如果h和k一奇一偶，则和为奇数， F = 0 F2 = 0
不论哪种情况，l值对F均无影响。111,112,113或021,022,023的F 值均为2f。011，012，013或101，102，103的F值均为0。
3. 体心晶胞，两种位置原子坐标分别是（0,0,0）和 （1/2,1/2,1/2）
数学表达式（计算公式）
n
FHKL
f ei2 (Hxj Ky j Lz j ) j
j 1
式中：FHKL— (HKL) 晶面的结构因子。 表示沿（HKL）晶面族反射方向的散射能力。
n— 晶胞中的原子数
fj— 原子的散射因子（直接查表，附录C） HKL— 晶面指数
xj yj zj— 原子坐标
1. 最简单情况，简单晶胞，仅在坐标原点 (0,0,0)处含有一个原子的晶胞
系统消光
衍射线I=0，衍射线消失，称为系统消光。 （原子在晶胞中的位置不同而引起的某些 方向衍射线的消失，又称为点阵消光）。
尽管满足衍射条件，因F = 0使衍射线消 失的现象。
例如：对于体心点阵，可以产生衍射的晶面 为110、200、211、220、221、310 …
衍射产生的充分必要条件是：
I相 F 2 P ( ) e2M A( )
影响衍射强度的因素很多，讨论这一问题必须一 步步进行：
一个电子对x-ray的散射强度 原子内各电子散射波合成 晶胞内各原子叠加 多晶体积分强度
二、结构因子 FHKL
FHKL
一个晶胞的相干散射(原子全部)振幅 一个电子的相干散射振幅
Ab Ae
FHKL表征单胞的相干散射与单电子散射之间的对应关 系。
而（100）,（111）,（210）,（221）等均无散射
4. 面心晶胞：四种位置的原子坐标分别是（0 0 0）和 （½ ½ 0）,（ ½ 0 ½ ）,（0 ½ ½）。
F fe2 i0 fe2 ih/ 2k / 2 fe fe 2 ik / 2l / 2 2 il / 2h/ 2 f 1 eihk eikl eilh
P值越大，晶面获得衍射的几率越大，对应 的衍射线越强。
d同 θ同 衍射线重叠在同一衍射线环上。
P数值随晶系及晶面指数而变化。
例：
立方晶系（a = b = c α=β=γ=90°） P100= 6
F fe2 i0 fe2 ih/ 2k / 2l / 2 f 1 eihkl
eni 1n
∴当（h+k+l）为偶数，F = 2f ，F2 = 4f 2 当（h+k+l）为奇数，F = 0，F 2 = 0
即对体心晶胞，（h+k+l）等于奇数时的衍射强度为0。
例如（110）,（200）,（211）,（310）等均有散射；
衍射线强度的测量采用衍 射仪法，得到I～θ曲线。
每个衍射峰下面的 面积（积分面积）称 为积分强度或累积强度。
x射线衍射线束的强度
波长λ强度Io的x-ray，照射到 晶胞体积Vo的多晶试样上，被 照射晶体的体积V，与入射线 夹角为2θ方向上产生（HKL） 晶面的衍射，距试样R处记录 到的衍射线其单位长度上积分 强度为：
结构消光
系统消光规则主要与晶体的对称性有关，根 据测得的系统消光条件，可决定晶体的空间 点阵及各对称要素。
两类以上等同点构成的复杂晶体结构，除遵 循所属的点阵消光外，还有附加的消光条件， 称为结构消光。（结构基元内原子位置不同 而进一步产生的附加消光）
例：氯化铯晶体的消光规律
CsCl属立方晶系，简单立方点阵。 角顶 Cs (0,0,0) 体心 Cl（ 1 , 1 , 1 ）
式中：Io—入射x-ray强度 m、e — 电子的质量与电荷 c— 光速 λ— 入射x-ray波长 R— 衍射仪半径 cm V— 试样被x-ray照射体积，cm3 Vo— 晶胞体积 cm3 F— 结构因子 P— 多重性因子 e－2M — 温度因子
( ) — 角因子 A(θ) — 吸收因子
同一衍射花样中，e、m、c为固定物理常数， Io、λ、R、V、Vo对同一物相的各衍射线均相 等，衍射线的相对积分强度可用 5个强度因子的乘积来表示：
F fe2i(0) f F2 f2
即F与hkl无关，所有晶面均有反射。
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2. 底心晶胞：两种位置原子，（0,0,0）（½,½,0)
F fe2i(0) fe2i(h/ 2k / 2) f [1 ei(hk ) ]
(h+k)一定是整数，分两种情况： （1）如果h和k均为偶数或均为奇数，则和为偶数
222
FHKL = f Cs + f Cl e iπ(H+K+L) H + k + L = 偶数 F = f Cs+ f Cl 强度高
（110）（200）（211）… H + k + L= 奇数 F = f Cs – f Cl 强度低 （100）（111）（210）…
2 多重性因子 P
表示多晶体中同族晶面｛HKL｝的等同晶面 数。