第三章 X射线衍射强度.
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第3章 X射线衍射强度
由于衍射线的相互干涉，某些方向的强度将会有所加强， 某些方向的强度将会减弱甚至消失，习惯上将这种现象称 为系统消光
13
X射线衍射强度理论
包括运动学理论和动力学理论.
单位晶胞对X射线的散射与结构因素
1. 一个电子对X射线的散射
由汤姆逊公式进行描述，是汤姆逊从经典电动力学的观点分析 推出的。
re 2 1 (cos2 ) 2 Ie Io ( ) R 2
消失的反射
无
H、K全为奇数或全为 偶数 （H+K为偶数）
H+K+L为偶数 H、K、L全为奇数或 全为偶数
H、K奇偶混杂 （H+K为奇数）
H+K+L为奇数 H、K、L奇偶混杂
第二节 单位晶胞对X射线的散射与结构因数
二、几种点阵的结构因数计算
三种点阵晶体衍射线分布见图5-20 ， 图中N = H2 + K2 + L2，产生衍射的干 涉面指数平方和之比分别为， 简单点阵 体心点阵 面心点阵 12345 2 4 6 8 10 3 4 8 11 12
单位晶胞对X射线的散射与结构因素
2. 一个原子对X射线的散射
Ia f Ie
2
这里引入了f――原子散射因子
单位晶胞对X射线的散射与结构因素
推导过程：
一个原子包含Z个电子，那么可看成Z个电子散射的叠加。 （1）若不存在电子电子散射位相差：
I a Z Ae Z I e
2 2
26
单位晶胞对X射线的散射与结构因素
• 4. 底心点阵 – 每个晶胞中有2个同类原子，其坐标分别为000和1/2 1/2 0，原子散射因子相同，都为fa。
第三章 X射线衍射强度
X射线衍射强度
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目录
添加目录项标题 X射线衍射实验方法 X射线衍射强度的应用
X射线衍射原理 X射线衍射强度影响因素
01
添加章节标题
02
X射线衍射原理
X射线衍射现象
X射线衍射原理：X射线在晶体中发生衍射，形成特定的衍射花样 衍射方向：晶体中原子间距导致X射线衍射方向不同 衍射强度：晶体结构、原子间距和X射线波长等因素影响衍射强度 衍射图谱：通过测量和记录衍射方向和强度，形成X射线衍射图谱
重要性：晶体取向分析对于材料科学研究 和工业应用具有重要意义，有助于优化材 料性能和开发新型材料。
晶粒大小与形状分析
原理：利用X射线衍射强度分析晶 体结构中的晶粒大小和形状
实验方法：通过测量衍射峰的强 度和位置，计算晶粒大小和形状 参数
添加标题
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添加标题
应用范围：材料科学、化学、生 物学等领域
测量系统：用于测量衍射角度和 强度，包括角度编码器和多路信 号处理器
实验步骤
样品准备：选择合适的样品，并进行必要的处理和制备 实验设置：调整实验参数，如X射线源、探测器、扫描范围等 数据采集：进行实验，记录衍射强度数据 结果分析：对采集的数据进行处理和分析，得出结论
实验数据处理
实验数据收集：确保数据准确性和完整性 数据预处理：去除异常值、进行归一化处理等 数据分析：提取特征、进行统计推断等 结果解释：结合理论知识，对实验结果进行解释和讨论
实验结果分析
衍射峰位置：确 定晶体结构和对 称性
衍射峰强度：确 定晶胞大小和原 子位置
衍射峰形状：分 析晶格畸变和晶 粒大小
衍射峰数目：确 定晶体取向和对 称性
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目录
添加目录项标题 X射线衍射实验方法 X射线衍射强度的应用
X射线衍射原理 X射线衍射强度影响因素
01
添加章节标题
02
X射线衍射原理
X射线衍射现象
X射线衍射原理：X射线在晶体中发生衍射，形成特定的衍射花样 衍射方向：晶体中原子间距导致X射线衍射方向不同 衍射强度：晶体结构、原子间距和X射线波长等因素影响衍射强度 衍射图谱：通过测量和记录衍射方向和强度，形成X射线衍射图谱
重要性：晶体取向分析对于材料科学研究 和工业应用具有重要意义，有助于优化材 料性能和开发新型材料。
晶粒大小与形状分析
原理：利用X射线衍射强度分析晶 体结构中的晶粒大小和形状
实验方法：通过测量衍射峰的强 度和位置，计算晶粒大小和形状 参数
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应用范围：材料科学、化学、生 物学等领域
测量系统：用于测量衍射角度和 强度，包括角度编码器和多路信 号处理器
实验步骤
样品准备：选择合适的样品，并进行必要的处理和制备 实验设置：调整实验参数，如X射线源、探测器、扫描范围等 数据采集：进行实验，记录衍射强度数据 结果分析：对采集的数据进行处理和分析，得出结论
实验数据处理
实验数据收集：确保数据准确性和完整性 数据预处理：去除异常值、进行归一化处理等 数据分析：提取特征、进行统计推断等 结果解释：结合理论知识，对实验结果进行解释和讨论
实验结果分析
衍射峰位置：确 定晶体结构和对 称性
衍射峰强度：确 定晶胞大小和原 子位置
衍射峰形状：分 析晶格畸变和晶 粒大小
衍射峰数目：确 定晶体取向和对 称性
3 衍射强度
• 有序化使无序固溶体因消光而失却的衍射线复出
现，这些被称为超点阵衍射线。 • 根据超点阵线条的出现及其强度可判断有序化的 出现与否并测定有序度。
§3-3 多晶体的衍射强度
• 本小节讨论最广泛应用的粉末法的衍射强度问题. • 在粉末法中影响衍射强度的因子有如下五项: • （1） 结构因子(上节已讨论)
• 本章我们将讨论X射线衍射强度
• 从一个电子、一个原子、一个晶胞、一 个晶体、粉末多晶循序渐进地介绍它们 对X射线的散射问题.
• 最后讨论粉末多晶体的衍射强度问题.
一、关于衍射强度
** 单位时间内通过与衍射方向相垂直的单位面积 上的X射线光量子数目。 **绝对强度的测量既困难又无实际意义。 **衍射强度常用同一衍射图中各衍射线强度 (积分 强度或峰高)的相对比值即相对强度表示.
度变为0）。
**对衍射强度作出系统而全面的研究 ,就要依靠结 构因子。当 X 射线照射到晶体中某个晶胞时，该晶 胞中各原子的散射波具有不同的位相和振幅，其合 成波的强度为：
2 FHKL
n n 2 = f k cos 2p ( mc H + PK K + q K L + f k sin 2p ( mk H + PK K + q k L k =1 k =1
• A(θ)-吸收因子
• r-试样直径
• 线吸收系数-μl
• 这样的吸收与θ有关。
• 平板试样的吸收因子，在入
射角与反射角相等时，吸收 与θ无关。
四、温度因子
＊＊前面所讲的各节，均将晶体中的原子看作是 处于理想平衡位置的结点上。 ＊＊实际上，晶体中原子是处在连续不断的热振 动状态下，必然给衍射带来影响． 1.晶胞膨胀； 2.衍射线强度减小；
第三章 X射线衍射强度
温度因子
e
2 M
IT I
式中：IT — 原子热振动影响时的强度 I — 理相状态的强度 热振动的方向无规则性，使得非衍射方 向散射强度↑，增加衍射花样背底。
5 吸收因子 A(θ )
试样对x-ray的吸收造成衍射强度的衰减。
无吸收A(θ
)＝1，吸收越多，其值越小。 圆柱状试样的A(θ )是试样 l 和半径r的 函数，可通过查表求得。 1 板状试样的A(θ )与θ 无关， A( ) 2
角顶 Cs (0,0,0) FHKL = f Cs + f Cl e H + k + L = 偶数 F = f Cs+ f Cl 强度高 （110）（200）（211）… H + k + L= 奇数 F = f Cs – f Cl 强度低 （100）（111）（210）…
1 1 1 体心 Cl（ 2 , 2 , 2 ） iπ(H+K+L)
2 多重性因子 P
表示多晶体中同族晶面｛HKL｝的等同晶面
数。
P值越大，晶面获得衍射的几率越大，对应
的衍射线越强。
d同
θ同 衍射线重叠在同一衍射线环上。
P数值随晶系及晶面指数而变化。
例：
立方晶系（a
= b = c α=β=γ=90°）
P100= 6 四方晶系（a = b≠c α=β=γ=90°） P100= 4 P001= 2
系统消光
衍射线I=0，衍射线消失，称为系统消光。
（原子在晶胞中的位置不同引起某些方向 衍射线的消失--点阵消光）。
尽管满足衍射条件，因F
= 0使衍射线消失
的现象。
对于体心点阵，可以产生衍射的晶面为
第3章 X射线的衍射强度
1 1 1 2 i h k l F f 1 e 4 4 4
2) 当hkl全为奇数时，Ff=Fa。h+k+l=2n+1，其中n为任 意整数，则有
1 e
i
2
h k l
1 cos
2
h k l i sin
I＝A2
实际上，晶体要产生x射线衍射，x射线的波长应当 与晶体中原子间距在同一数量级。
与入射x射线平行的方向上(XX’): 相位差为0，所以Aa=ZAe 除了XX’方向：各电子的散射波之 间存在一定的相位差。 如在YY’方向上a、b两个电子产 生的散射波的波程差为CB-AD，
会产生干涉作用。 由于原子半径的尺度比x射线的波长的尺度要小，所以各电子的
四、一个晶胞对x射线的衍射
1、复杂点阵的衍射分析
简单点阵只由一种原子组成，每个晶胞只有一个原子，它 分布在晶胞的顶角上，单位晶胞的散射强度相当于一个原 子的散射强度。 复杂点阵晶胞中含有n个相同或不同种类的原子，它们除 占据单胞的顶角外，还可能出现在体心、面心或其他位置。 复杂点阵的衍射特点 （1）任何复杂点阵都是由完全相同且平行的几个简单点阵 镶嵌而成的； （2）整个复杂点阵的衍射可以看做是由各个简单点阵及基 点原子在相同方向的衍射合成结果； （3）复杂点阵的可能衍射方向不可能多余其中任何一个简 单点阵的衍射方向，只能减少或相等。
假定一个晶胞中有n个原子， 它们的坐标分别为u1v1w1、u2v2w2……unvnwn； 每个原子的原子散射因子分别为f1、f2、f3…… fn ；它们的散射波的振幅为 Aef1、Aef2、Aef3……Ae fn 各原子散射波与入射波的位相差分别为φ1、φ2、φ3、……φn。 那么，这n 个原子的散射波互相叠加合成的整个晶胞的散射波的振幅Ab为
2) 当hkl全为奇数时，Ff=Fa。h+k+l=2n+1，其中n为任 意整数，则有
1 e
i
2
h k l
1 cos
2
h k l i sin
I＝A2
实际上，晶体要产生x射线衍射，x射线的波长应当 与晶体中原子间距在同一数量级。
与入射x射线平行的方向上(XX’): 相位差为0，所以Aa=ZAe 除了XX’方向：各电子的散射波之 间存在一定的相位差。 如在YY’方向上a、b两个电子产 生的散射波的波程差为CB-AD，
会产生干涉作用。 由于原子半径的尺度比x射线的波长的尺度要小，所以各电子的
四、一个晶胞对x射线的衍射
1、复杂点阵的衍射分析
简单点阵只由一种原子组成，每个晶胞只有一个原子，它 分布在晶胞的顶角上，单位晶胞的散射强度相当于一个原 子的散射强度。 复杂点阵晶胞中含有n个相同或不同种类的原子，它们除 占据单胞的顶角外，还可能出现在体心、面心或其他位置。 复杂点阵的衍射特点 （1）任何复杂点阵都是由完全相同且平行的几个简单点阵 镶嵌而成的； （2）整个复杂点阵的衍射可以看做是由各个简单点阵及基 点原子在相同方向的衍射合成结果； （3）复杂点阵的可能衍射方向不可能多余其中任何一个简 单点阵的衍射方向，只能减少或相等。
假定一个晶胞中有n个原子， 它们的坐标分别为u1v1w1、u2v2w2……unvnwn； 每个原子的原子散射因子分别为f1、f2、f3…… fn ；它们的散射波的振幅为 Aef1、Aef2、Aef3……Ae fn 各原子散射波与入射波的位相差分别为φ1、φ2、φ3、……φn。 那么，这n 个原子的散射波互相叠加合成的整个晶胞的散射波的振幅Ab为
第三章 X射线衍射强度
由此可见，图3-2（a）中的（001） 晶面会参于衍射，而（b）中（001）面却 不产生衍射，也就是说原子位置改变，衍 射强度改变。
二 . 结构因素的概念
1. 系统消光——因原子在晶体中的位置不同或 原子种类不同，衍射线相互干涉，造成在某些 方向上衍射线强度减弱甚至消失的现象称之系 统消光。
2. 结构因数——定量地表征原子排布以及原子种 类对衍射强度影响规律的参数。即晶体结构对 衍射强度影响规律的参数。
晶体的衍射强度与参加衍射晶粒数目成正比.
∵ 参加衍射的晶粒分数＝(cosθΔθ)/2 ∴ 这一数目与衍射角有关，即I ∝ cosθ。
也将这一项称为第二几何因子。
⑶单位弧长的衍射强度（第三几何因子，即 衍射线位置对强度测量的影响）
意义：描述了衍射线所处位置不同对衍射强度的影 响，即2θ↓衍射线圆弧半径↓，单位弧长上的强度↑。
2.三种衍射几何对衍射强度的影响规律
⑴.晶粒大小的影响（第一几何因子）
由于实际晶体的不完整性、入射线也不可能是绝对 单色的，且不会绝对平行而是具有一定的发散角。因此， 衍射线的强度尽管在满足布拉格方程的方向上最大，但 偏离一定的布拉格角时也不会为零，故衍射曲线呈山峰 状，具有一定的宽度，而不是严格的直线。
2
当2θ=90。时
1 cos2 2
2对x射线的散射
1. 原子核对X-ray的散射
由于散射波强度与引起散射的粒子 质量成反比，原子核质量是电子质量的1840 倍，因此原子核引起的散射强度极弱，可忽 略不计。
2 . 原子中Z个电子对X-ray的散射
⑴ . 首先假设原子中的电子集于一点，即所有 电子散射波之间无位相差，则原子序数为Z的原 子对X-ray散射波振幅Aa为电子散射波振幅Ae的 Z倍，即 :
X射线衍射强度
那么散射振幅为：f1 Ae 、f2 Ae 、f3Ae ...fn Ae ； 各原子与O原子之间旳散射波光程差为：Φ1 、 Φ2 、Φ3 ... Φn ；
晶胞旳构造因子推导
则该晶胞旳散射振幅为这n种原子叠加：
n
Ab Ae
f j eij
j 1
引入构造参数 ：
FHKL
Ab Ae
n j 1
f j eij
（100）晶面族旳P为6 （111）晶面族旳P为8 （110）晶面族旳P为12 考虑多重性因数旳影响，强度公式为
I
I0
32
R
可知晶胞中（H K L）晶面旳衍射强度：
Ib FHKL 2 I e
(四) 构造因子旳讨论
构造因子
构造因子计算式 构造因子计算例
产生衍射旳充分条件及系统消光
系统消光 消光规律
1. 构造因子：
因为： j 2 HX j KYj LZ j
其中：Xj、Yj、Zj是j原子旳阵点坐标； H K L是发生衍射旳晶面。
1. 散射X射线旳强度很弱。 假定R=1cm，2θ=0处 Ie/I0=7.94×10-23 2. 散射X射线旳强度与电子到观察点之间旳距 离旳平方成反比。这是时很轻易了解旳。 3.不同方向上，即2θ不同步，散射强度不同。 平行入射X射线方向(2θ=0 或180°)散射线强度最大。 垂直入射X射线方向(2θ=90或270°)时，散射旳强 度最弱。为平行方向旳1/2。其他方向则散射线旳强
(2) 体心立方晶胞旳构造因子
体心立方晶胞内有两个同种原子，即000和
1 2
1 2
1 2
F
2
f
cos 0
f
cos 2 ( H
2
K 2
晶胞旳构造因子推导
则该晶胞旳散射振幅为这n种原子叠加：
n
Ab Ae
f j eij
j 1
引入构造参数 ：
FHKL
Ab Ae
n j 1
f j eij
（100）晶面族旳P为6 （111）晶面族旳P为8 （110）晶面族旳P为12 考虑多重性因数旳影响，强度公式为
I
I0
32
R
可知晶胞中（H K L）晶面旳衍射强度：
Ib FHKL 2 I e
(四) 构造因子旳讨论
构造因子
构造因子计算式 构造因子计算例
产生衍射旳充分条件及系统消光
系统消光 消光规律
1. 构造因子：
因为： j 2 HX j KYj LZ j
其中：Xj、Yj、Zj是j原子旳阵点坐标； H K L是发生衍射旳晶面。
1. 散射X射线旳强度很弱。 假定R=1cm，2θ=0处 Ie/I0=7.94×10-23 2. 散射X射线旳强度与电子到观察点之间旳距 离旳平方成反比。这是时很轻易了解旳。 3.不同方向上，即2θ不同步，散射强度不同。 平行入射X射线方向(2θ=0 或180°)散射线强度最大。 垂直入射X射线方向(2θ=90或270°)时，散射旳强 度最弱。为平行方向旳1/2。其他方向则散射线旳强
(2) 体心立方晶胞旳构造因子
体心立方晶胞内有两个同种原子，即000和
1 2
1 2
1 2
F
2
f
cos 0
f
cos 2 ( H
2
K 2
X射线的衍射强度
有序固溶体分析
（1）完全无序 每个晶胞中含有四个平均原子（0.75 Cu+0.25Au）属面心立 方点阵。坐标000 1/2 1/2 0 1/2 0 1/2 0 1/2 1/2
FHKL=f平均[1+eπi(H+K)+eπi(H+L)+eπi(K+L)] 当H、K、L全为奇数或全为偶数时 FHKL=4 f平均=fAu+3fCu 当H、K、L为奇偶混杂时，FHKL=0消光
一个原子对X射线的散射
原子散射因子曲线 对于不同类型的原子，其原子散射因子 f 是可变的，它与sinθ和λ有关。随 sinθ/λ的值的增大而变小。 Sinθ＝0时，f=Z. 原子序数越小，非相干散射越强。（核外电子所占比例增大）
一个晶胞对X射线的散射
预备知识： X射线的波前电场强度随时间的变化可以用周期函数表示：
实际上，原子中的电子是按照电子云状态分布在原子空 间的不同位置上，故各个电子散射波之间是存在位相差的， 这一位相差使得合成波的强度减弱。
一个原子对X射线的散射
X射线受到一个原子的散射
一个原子对X射线的散射
经过修正： 一个电子对X射线散射后空间某点强度可用Ie表示，那么一个 原子对X射线散射后该点的强度Ia：
fe 2 2 2
= f [1+ eπi(h+k+l) ]
F = 2 f （h+k+l）为偶数 F2 = 4f 2
F = 0 （h+k+l）为奇数
体心点阵中，只有当H+K + L为 偶数时才能产生衍射
体心立方
面心立方晶胞的结构因子
每个晶胞中有4个同类原子，分别位于000、1/2 1/2
哈工大材料成型加工方法第三章 x射线衍射强度
• 出现超点阵。
晶胞中不是同种原子时--结构振幅的计算
• 代入 FHKL 2 公式，其结果是： • 1）当 H、K、L全奇或全偶时，
FHKL 2 ( f Au 3 fCu )2
• 2）当H、K、L奇偶混杂时，
FHKL 2 ( f Au fCu )2 0
• 有序化使无序固溶体因消光而失去的衍射 线复出现，这些被称为超点阵衍射线。根 据超点阵线条的出现及其强度可判断有序 化的出现与否并测定有序度。
• 由此可计算各种晶胞的结构振幅
结构振幅的计算
1、简单点阵
• 单胞中只有一个原子，基坐标为（0，0，0），原
子散射因数为f，根据式（2-20）： FHKL 2 [ f cos2 (0)]2 [ f sin 2 (0)]2 f 2
• 该种点阵其结构因数与HKL无关，即HKL为任意整 数时均能产生衍射，例如（100）、（110）、 （111）、（200）、（210）…。能够出现的衍射
B为背射相， • 目前劳埃法用转晶法：(Rotation Method)
• 单色x-ray（K系）照射转动 的单晶体试样的衍射方法。 （θ变）
• 以样品转动轴为轴的圆环形 底片记录衍射花样。
• 此法用于测定试样的晶胞 常数，根据衍射花样能准 确测定晶体的衍射方向和 强度。
（1） 多重性因子
• 对多晶体试样，因同一{HKL}晶面族的各晶面组面 间距相同，由布拉格方程知它们具有相同的θ，其 衍射线构成同一衍射圆锥的母线。通常将同一晶 面族中等同晶面组数P称为衍射强度的多重性因数。 显然，在其它条件相间的情况下，多重性因数越 大，则参与衍射的晶粒数越多，或者说，每一晶 粒参与衍射的几率越多。
FHKL f j [cos 2 (Hx j Ky j Lz j ) i sin 2 (Hx j Ky j Lz j )] j 1
晶胞中不是同种原子时--结构振幅的计算
• 代入 FHKL 2 公式，其结果是： • 1）当 H、K、L全奇或全偶时，
FHKL 2 ( f Au 3 fCu )2
• 2）当H、K、L奇偶混杂时，
FHKL 2 ( f Au fCu )2 0
• 有序化使无序固溶体因消光而失去的衍射 线复出现，这些被称为超点阵衍射线。根 据超点阵线条的出现及其强度可判断有序 化的出现与否并测定有序度。
• 由此可计算各种晶胞的结构振幅
结构振幅的计算
1、简单点阵
• 单胞中只有一个原子，基坐标为（0，0，0），原
子散射因数为f，根据式（2-20）： FHKL 2 [ f cos2 (0)]2 [ f sin 2 (0)]2 f 2
• 该种点阵其结构因数与HKL无关，即HKL为任意整 数时均能产生衍射，例如（100）、（110）、 （111）、（200）、（210）…。能够出现的衍射
B为背射相， • 目前劳埃法用转晶法：(Rotation Method)
• 单色x-ray（K系）照射转动 的单晶体试样的衍射方法。 （θ变）
• 以样品转动轴为轴的圆环形 底片记录衍射花样。
• 此法用于测定试样的晶胞 常数，根据衍射花样能准 确测定晶体的衍射方向和 强度。
（1） 多重性因子
• 对多晶体试样，因同一{HKL}晶面族的各晶面组面 间距相同，由布拉格方程知它们具有相同的θ，其 衍射线构成同一衍射圆锥的母线。通常将同一晶 面族中等同晶面组数P称为衍射强度的多重性因数。 显然，在其它条件相间的情况下，多重性因数越 大，则参与衍射的晶粒数越多，或者说，每一晶 粒参与衍射的几率越多。
FHKL f j [cos 2 (Hx j Ky j Lz j ) i sin 2 (Hx j Ky j Lz j )] j 1
第三章 X射线衍射强度
K L H K FHKL [ f1 cos 2 (0) f 2 cos 2 ( ) f 3 cos 2 ( ) f 4 cos 2 2 2 2 2 H L K L H K ( )]2 [ f 1 sin 2 (0) f 2 sin 2 ( ) f 3 sin 2 ( ) f 4 sin 2 2 2 2 2 2 2 H L 2 ( )] f 2 [1 cos ( K L) cos ( H K ) cos ( H L)]2 2 2
• 对于简单立方： N1:N2:N3:„Nn= 1:2:3:4:5:6:8:9:10…
•对于体心立方： N1:N2:N3:…Nn=
=2：4：6：8：10: 12 : 14: 16:18 …
•对于面心立方： N1:N2:N3:…Nn=
=3：4：8：11；12：16…
（N1:N2:N3:…Nn）/N1 =1:2:3:4:5:6:8:9:10 （N1:N2:N3:…Nn）/N1 =1:2:3:4:5:6:7:8:9
f与sin/λ 有关， sin/λ 减 小时， f增大；sin =0时，f=Z； 一般情况下f〈Z
•一个晶胞对X射线的散射
1. 简单点阵只有一种原子组成，每个单胞中只有一个原子， 其位于单胞的顶角上，所以简单点阵单胞的散射强度相当 于一个原子的散射强度 2. 复杂点阵单胞中含有n个相同或不同种类的原子，它们除 占据单胞的顶角外，还可能位于体心、面心或底心位置， 所以复杂点阵单胞的散射波振幅为单胞中所有原子散射波 的合成振幅
4.消光规律与晶体点阵
点阵 简单点阵
体心点阵 面心点阵
Fhkl
2
n f j cos 2 HX j KY j LZ j j 1
• 对于简单立方： N1:N2:N3:„Nn= 1:2:3:4:5:6:8:9:10…
•对于体心立方： N1:N2:N3:…Nn=
=2：4：6：8：10: 12 : 14: 16:18 …
•对于面心立方： N1:N2:N3:…Nn=
=3：4：8：11；12：16…
（N1:N2:N3:…Nn）/N1 =1:2:3:4:5:6:8:9:10 （N1:N2:N3:…Nn）/N1 =1:2:3:4:5:6:7:8:9
f与sin/λ 有关， sin/λ 减 小时， f增大；sin =0时，f=Z； 一般情况下f〈Z
•一个晶胞对X射线的散射
1. 简单点阵只有一种原子组成，每个单胞中只有一个原子， 其位于单胞的顶角上，所以简单点阵单胞的散射强度相当 于一个原子的散射强度 2. 复杂点阵单胞中含有n个相同或不同种类的原子，它们除 占据单胞的顶角外，还可能位于体心、面心或底心位置， 所以复杂点阵单胞的散射波振幅为单胞中所有原子散射波 的合成振幅
4.消光规律与晶体点阵
点阵 简单点阵
体心点阵 面心点阵
Fhkl
2
n f j cos 2 HX j KY j LZ j j 1
第三章 X射线衍射强度
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原子中的电子在其周围形成 电子云，当散射角2θ=0时， 电子云，当散射角 时 各电子在这个方向的散射波 之间没有光程差， 之间没有光程差，它们的合 δ = Gn − Om = r ⋅ S − r ⋅ S = r (S − S ) 成振幅为Aa=ZAe； 成振幅为 ； 当散射角2θ≠0时，如图所 当散射角 时 观察原点O和空间一点 示，观察原点 和空间一点 G的电子，它们的相干散射 的电子， 的电子 波在2θ角方向上有光程差 角方向上有光程差。 波在 角方向上有光程差。 δ = Gn − Om = r ⋅ S − r ⋅ S 0 = r (S − S 0 ) 设入射和散射方向的单位矢 量分别是S 量分别是 0和S，位矢 ， 则其相位差Φ为 则其相位差 为 ： GO = r 2π 2π φ= (Gn − Om) = r (S − S 0 ) λ λ
2π 2π 2π
O与A原子散射波位相差为： 与 原子散射波位相差为 原子散射波位相差为：
＝ Hx j + Ky j + Lz j
原子的fj作振幅 以A原子的 作振幅，以与 原子的散射波的位相差 原子的 作振幅，以与O原子的散射波的位相差 为Φ位相， 位相， 位相 则晶胞内任意A原子沿 原子沿（ 则晶胞内任意 原子沿（HKL）晶面反射方向的散 ） 射波表示为： 射波表示为： iφ 2π i ( Hx j + Ky j + Lz j )
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主要内容
1 2 3 4
一个电子对X射线的散射 一个电子对 射线的散射
一个原子对X射线的散射 一个原子对 射线的散射
单位晶胞对X射线的散射 单位晶胞对 射线的散射
晶体对X射线的散射与衍射积分强度 晶体对 射线的散射与衍射积分强度
第3章 X射线衍射强度
15
一、一个电子对X射线的散射
16
一、一个电子对X射线的散射
• 晶体中的电子散射包括：相干散射与非相干散射。
1. 相干散射： • 指入射光子与原子内层电子发生弹性碰撞作用，仅使运动
方向改变而无能量损失。又称弹性散射或汤姆逊散射。
2. 非相干散射： • 指入射光子与原子外层电子或晶体中自由电子发生非弹性
25
原子散射强度（2）
• 原子对X射线的散射情况： • 入射X射线分别照射到原子中任意A和B两电子。
• 1、在XX′方向散射波：
• 因2差为 0 。
• 相当于Z个电子集中于一点 的“理想”情况，则
• 原子散射强度为：
Ia= Z2 Ie
X射线受一个原子的散射
相对衍射强度：用同一衍射图各衍射线强度（积分强度 或峰高）的相对比值。
4
X射线衍射的强度
I
背景 强度 2
5
衍射强度曲线
如：钢中马氏体（200）α和残奥（200）γ的局部衍射曲线。
图3-l衍射线强度曲线
• 各衍射峰曲线所包围面积即为其积分强度，这两积分强度大 小比较，可算出残奥γ的含量。
6
本章的目的
它考虑了原子中各电子散射波的位相差后，各散射波合成 的结果。则原子散射强度表达为：
Ia Z2Ie
Ia f 2Ie
显然： f ≤ Z 。
28
原子散射因子 f （2）
• 原子散射因数 f 定义为：在相同条件下，一个原子散射波 与一个电子散射波的波振幅或强度之比。
Ia f 2Ie
f
(Ia
1
)2
Aa
Ie
34
三、一个晶胞对X射线的散射（4）
2、晶胞内各原子相干散射波合成波振幅： 单胞对X射线的散射：晶胞内各原子散射波合成的结果。
第3章X射线衍射强度
结构因子只与原子的种类和原子在晶
胞中的位置有关，而不受晶胞的形状 和大小的影响。
结构消光
衍射强度： I Fhkl
2
满足布拉格方程条件2dsinθ=λ但结 构因子F=0导致衍射线强度I为零的 现象称之为结构消光。
小结
一个电子对X-ray的散射情况 偏振因子
一个原子对X-ray的散射情况 原子散射因子f 一个单胞对X-ray的散射情况 结构因子
e e
h l 2i ( ) 2 2
e
k l 2i ( ) 2 2
]
h k l 2i ( ) 2 2 2
e
k 2i ( ) 2
e
h 2i ( ) 2
]
讨论：
（1）h、k、l全为偶数时， F＝4fNa+4fCl |F|2＝（4fNa+4fCl）2
（2）h、k、l全为奇数时， F＝4fNa－4fCl |F|2＝（4fNa－4fCl）2 （3）h、k、l奇偶混杂时 F＝0 NaCl属于面心布拉菲点阵，可衍射的 指数是111、200、220· · · · · · 、
当h, k, l为全奇或全偶，(h + k)， (k+l) 和 (h+l) 必为偶数，故F = 4f， F 2 = 16f 2 当h, k, l中有两个奇数或两个偶数时，则在（h+k)，(k+l) 和(h+l)中必有两项为奇数，一项为偶数，故F = 0, F2 = 0
所以（111）,（200）,（220）,（311）时F≠0，这些 晶面衍射线存在，而（100）,（110） ,（112）,（221） 等F=0，出现消光，衍射线不存在
3.3 结构因子
【材料课件】03X射线衍射强度
其中：Xj、Yj、Zj是j原子的阵点坐标； H K L是发生衍射的晶面。
所以有：
2
2
n
FHKL f j cos2 HX j KYj LZ j
j1
2
n
f j sin 2 HX j KYj LX j
6/1/2019
j1
各晶面族的多重因子列表.
6/1/2019
HNU-ZLP
32
各晶面族的多重因子列表
指数
晶系
H00 0K0 00L HHH HH0 HK0 0KL H0L HHL HKL
立方
菱方、六方
正方 斜方 单斜 三斜
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P
6
8 12
24
24 48
62
6
12
24
42
48
8
16
2
4
8
2
42
4
2
2
2
HNU-ZLP
它分为：点阵消光 结构消光。
四种基本点阵的消光规律 （图表）
6/1/2019
HNU-ZLP
22
四种基本点阵的消光规律
布拉菲点 阵
出现的反射
消失的反射
简单点阵
全部
无
底心点阵 体心点阵
H、K全为奇数或全为偶数 H+K+L为偶数
H、K奇偶混 杂
H+K+L为奇 数
面心点阵 H、K、L全为奇数或全为偶数
H、K、L奇 偶混杂
因原子在晶体中位置不同或原子种类不同 而引起的某些方向上衍射线消失的现象， 称为系统消光。
根据系统消光结果以及通过测定X射线强 度的变化可以推断出原子在晶体中的位置。
X射线衍射强度
6
衍射强度－原子种类，原子位置
电子
晶体
思路:
晶胞
原子
一个原子 核
In电子
I原子核
I原子
I晶胞
I晶体
I多晶
7
二、电子对X射线的衍射
晶体的X射线衍射作用是由电子的相干 散射引起的.
当一束X射线碰到一个电子时，该电子在X射 线电场的作用下产生强迫振动，向四周幅射振动频 率（波长）与原X射线频率相同的X射线。这就是相 干散射。电子就成为一个新的X射线源。
46
四种基本点阵的消光规律
布拉菲点 阵
出现的反射 全部
消失的反射 无
简单点阵
H、K奇偶混 底心点阵 H、K全为奇数或全为偶数 杂 H+K+L为奇 体心点阵 H+K+L为偶数 数 H、K、L奇 面心点阵 H、K、L全为奇数或全为偶数 偶混杂
47
结构消光
由两种以上等同点构成的点阵结构来说，一方面 要遵循点阵消光规律，另一方面，因为有附加原 子的存在，还有附加的消光，称为结构消光
（3）体心点阵
每个晶胞中有2个同类原子，其坐标为 000和1/2 1/2 1/2 ，其原子散射因子相同
41
– 分析
• 当H+K+L为偶数时， • 当H+K+L为奇数时，
结论： 在体心点阵中，只有当H+K+L为偶数时 才能产生衍射
42
（4）面心点阵
– 每个晶胞中有4个同类原子
43
分析
• 当H、K、L全为奇数或偶数时，则（H+K）、 （H+K）、（K+L）均为偶数，这时：
这些消光规律，存在于金刚石结构、密堆六方等 结构中
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式中：Io—入射x-ray强度 m、e — 电子的质量与电荷 c— 光速 λ— 入射x-ray波长 R— 衍射仪半径 cm V— 试样被x-ray照射体积，cm3 Vo— 晶胞体积 cm3 F— 结构因子 P— 多重性因子 e－2M — 温度因子
( ) — 角因子 A(θ) — 吸收因子
同一衍射花样中，e、m、c为固定物理常数， Io、λ、R、V、Vo对同一物相的各衍射线均相 等，衍射线的相对积分强度可用 5个强度因子的乘积来表示：
而（100）,（111）,（210）,（221）等均无散射
4. 面心晶胞：四种位置的原子坐标分别是（0 0 0）和 （½ ½ 0）,（ ½ 0 ½ ）,（0 ½ ½）。
F fe2 i0 fe2 ih/ 2k / 2 fe fe 2 ik / 2l / 2 2 il / 2h/ 2 f 1 eihk eikl eilh
当h, k, l为全奇或全偶，(h + k)，(k+l) 和
(h+l) 必为偶数，故F = 4f，F 2 = 16f 2
当h, k, l中有两个奇数或两个偶数时，则在（h+k)，(k+l) 和 (h+l)中必有两项为奇数，一项为偶数，故F = 0, F2 = 0 所以（111）,（200）,（220）,（311）有反射，而 （100）,（110） ,（112）,（221）等无反射。
衍射线强度的测量采用衍 射仪法，得到I～θ曲线。
每个衍射峰下面的 面积（积分面积）称 为积分强度或累积强度。
x射线衍射线束的强度
波长λ强度Io的x-ray，照射到 晶胞体积Vo的多晶试样上，被 照射晶体的体积V，与入射线 夹角为2θ方向上产生（HKL） 晶面的衍射，距试样R处记录 到的衍射线其单位长度上积分 强度为：
第三章 X射线衍射强度
X射线衍射线束的方向（第二章）
布拉格公式 2d sin k k 1,2,3,4
应用：
布拉格方程反映了晶体结构中晶胞大小及形状的变 化。从而可以测定试样的晶体类型和晶格常数。 X射线衍射线束的强度（本章） 应用： 物相定量分析、内应力及织构测定、 固溶体有序度测定
x射线衍射线束的强度测量
222
FHKL = f Cs + f Cl e iπ(H+K+L) H + k + L = 偶数 F = f Cs+ f Cl 强度高
（110）（200）（211）… H + k + L= 奇数 F = f Cs – f Cl 强度低 （100）（111）（210）…
2 多重性因子 P
表示多晶体中同族晶面｛HKL｝的等同晶面 数。
P值越大，晶面获得衍射的几率越大，对应 的衍射线越强。
d同 θ同 衍射线重叠在同一衍射线环上。
P数值随晶系及晶面指数而变化。
例：
立方晶系（a = b = c α=β=γ=90°） P100= 6
系统消光
衍射线I=0，衍射线消失，称为系统消光。 （原子在晶胞中的位置不同而引起的某些 方向衍射线的消失，又称为点阵消光）。
尽管满足衍射条件，因F = 0使衍射线消 失的现象。
例如：对于体心点阵，可以产生衍射的晶面 为110、200、211、220、221、310 …
衍射产生的充分必要条件是：
F = 2f F2 = 4f2
（2）如果h和k一奇一偶，则和为奇数， F = 0 F2 = 0
不论哪种情况，l值对F均无影响。111,112,113或021,022,023的F 值均为2f。011，012，013或101，102，103的F值均为0。
3. 体心晶胞，两种位置原子坐标分别是（0,0,0）和 （1/2,1/2,1/2）
I相 F 2 P ( ) e2M A( )
影响衍射强度的因素很多，讨论这一问题必须一 步步进行：
பைடு நூலகம்
一个电子对x-ray的散射强度 原子内各电子散射波合成 晶胞内各原子叠加 多晶体积分强度
二、结构因子 FHKL
FHKL
一个晶胞的相干散射(原子全部)振幅 一个电子的相干散射振幅
Ab Ae
FHKL表征单胞的相干散射与单电子散射之间的对应关 系。
①满足布拉格方程 2d sin
②结构因子不为0 FHKL 2 0
三种 点阵 衍射 线的 分布
说明：
点阵常数没有参与结构因子的计算。FHKL 只与原子种类和原子在晶胞中的位置有关， 不受晶胞形状和大小影响。
点阵类型确定，任何晶系其晶胞的系统消 光规律都是相同的。
结构中的原子为不同种类，则原子散射因 子分别代入。
数学表达式（计算公式）
n
FHKL
f ei2 (Hxj Ky j Lz j ) j
j 1
式中：FHKL— (HKL) 晶面的结构因子。 表示沿（HKL）晶面族反射方向的散射能力。
n— 晶胞中的原子数
fj— 原子的散射因子（直接查表，附录C） HKL— 晶面指数
xj yj zj— 原子坐标
1. 最简单情况，简单晶胞，仅在坐标原点 (0,0,0)处含有一个原子的晶胞
F fe2 i0 fe2 ih/ 2k / 2l / 2 f 1 eihkl
eni 1n
∴当（h+k+l）为偶数，F = 2f ，F2 = 4f 2 当（h+k+l）为奇数，F = 0，F 2 = 0
即对体心晶胞，（h+k+l）等于奇数时的衍射强度为0。
例如（110）,（200）,（211）,（310）等均有散射；
结构消光
系统消光规则主要与晶体的对称性有关，根 据测得的系统消光条件，可决定晶体的空间 点阵及各对称要素。
两类以上等同点构成的复杂晶体结构，除遵 循所属的点阵消光外，还有附加的消光条件， 称为结构消光。（结构基元内原子位置不同 而进一步产生的附加消光）
例：氯化铯晶体的消光规律
CsCl属立方晶系，简单立方点阵。 角顶 Cs (0,0,0) 体心 Cl（ 1 , 1 , 1 ）
F fe2i(0) f F2 f2
即F与hkl无关，所有晶面均有反射。
2. 底心晶胞：两种位置原子，（0,0,0）（½,½,0)
F fe2i(0) fe2i(h/ 2k / 2) f [1 ei(hk ) ]
(h+k)一定是整数，分两种情况： （1）如果h和k均为偶数或均为奇数，则和为偶数