固体物理答案第五章1
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A4 B4
a∗
kx
第二区
作为原点， （2） 取任意倒格点 作为原点，由原点至其最近邻 Ai 、次近邻 ） 取任意倒格点o作为原点 的连线的中垂线可围成第一、第二布里渊区(如上图 如上图)， Bi 的连线的中垂线可围成第一、第二布里渊区 如上图 ，这 是布里渊区的广延图。如采用简约形式，将第二区移入第一区， 是布里渊区的广延图。如采用简约形式，将第二区移入第一区， 其结果如图所示。 其结果如图所示。
[
]
E g2
−i x 1 b mω 2 2 2 b − x e b dx =2 4b ∫− b 2
[
]
π
1 b mω 2 2 π 2 =2 ∫−b 2 b − x cos b 4b
[
]
mω 2 b 2 x dx = 2 π
5.4 用紧束缚方法导出体心立方晶体 态电子的能带 用紧束缚方法导出体心立方晶体s态电子的能带
a 2
−i
2π x a
dx
1 mω 2 b − x2 e =2 4b ∫− b 2
b
b 2
2
[
]
−i
2π x a
dx
8mω b x dx = π3
2 2
1 mω 2 π 2 =2 ∫−b 2 b − x cos 2b 4b
第二禁带宽度为
−i x 1 a2 = 2 V2 = 2 ∫ V ( x )e a dx a −a 2 4π
由上知 可知
e
ikna
=1
kna = 2sπ
2s 所以 k = π na
(s = 0,1,2...
n = ±1,±2...)
5.2 电子在周期场中得势能
1 2 2 2 mω b − ( x − na ) V (x) = 2 0
[
]
当na − b ≤ x ≤ na + b
当(n - 1)a + b ≤ x ≤ na − b
a i a k x −i k x k ya kza at cos = E s − A − 4J e 2 + e 2 cos 2 2
k ya kza k xa cos cos = E − A − 8Jcos 2 2 2
at s
由余弦函数的性质，用观察法即可断定， 由余弦函数的性质，用观察法即可断定， k x = k y = k z = 0 时， 当 能带中的能量取最小值
r x=
此处
r r 1 −α x ϕat ( x ) = e α
µ ij = δ
r r r k ′,k + k i
1 aα
∫e
a
− α x − na
e
2π n i k+ ( x − na ) a
dx
Fra Baidu bibliotekΦ jk =
若只取一项， 若只取一项，则
x = 0
1 − α x − na ∑ e ikna e Nα n
ky
kx
个原胞， （3） 设晶体共有 个原胞，计入自旋后，在简约布里渊区中 ） 设晶体共有N个原胞 计入自旋后， 便有2N个状态。简约布里渊区的面积 便有 个状态。 个状态
v* v* 1 o 2 A = a × b = ( A) 8
*
而状态密度
o v 2N g ( k ) = * = 16 N ( A) 2 A
是常数。 试画出此势能曲线，并求此势能的平均值。 且 a = 4b, ω 是常数。 试画出此势能曲线，并求此势能的平均值。 V(x) 解：
x O a 2a 3a 如图所示，由于势能具有周期性， 如图所示，由于势能具有周期性，因此只在一个周期内求平均
即可， 即可， 于是得
1 a2 1 2b V = ∫ V ( x )dx = ∫− 2bV ( x )dx a −a 2 4b
r r 1 −α x 为正的常数。 e , α为正的常数。 电子基态波函数为ϕ ( x ) = α at
（1）试写出该晶体的紧束缚近似波函数； ）试写出该晶体的紧束缚近似波函数； （2）证明上面写出的紧束缚近似波函数具有布洛赫波函数 ） 的性质； 的性质； （3）对比说明孤立原子的电子和晶体中的电子的波函数及 ） 能量的特征。 能量的特征。 （ ）按紧束缚近似， 解： 1）按紧束缚近似，三维晶体电子的波函数为
a i (k x − k y ) i a (k x + k y ) kza kza 2 2 cos cos +e e 2 2 = E sat − A − 2J a i (− k x − k y ) i a (− k x + k y ) kza kza 2 2 cos cos +e + e 2 2
r r r r ik ⋅ Rn at E k = Es − A − J ∑ e , Rn 是最近邻格矢 n
()
()
对体心立方晶格，取参考格点的坐标为（ ， ， ） 对体心立方晶格，取参考格点的坐标为（0，0，0）， 则8个 个 最近邻格点的坐标为
a a a ± ,± ,± 2 2 2
第五章 能带理论
应当满足布洛赫定理。 5.1 一维周期场，电子的波函数 ψ k ( x ) 应当满足布洛赫定理。 一维周期场， 若晶格常数为 a ，电子的波函数为
x （1） ψ k ( x ) = sin π; ） a x （2） ψ k ( x ) = icos π; ） a
（3） ψ k ( x ) = ）
v* a =
1 v i o 2A v* 1 v b = j o 4A
v* v* 以 a ,b
为基矢构成的倒格子
B3
∗
ky
B2
A2
b
B1
A1
如图6-11所示 图中“。” 所示,图中 如图 所示 图中“
A3
o
代表倒格点。由图可见， 代表倒格点。由图可见， 矩形晶格的倒格子也是 矩形格子。 矩形格子。 第一区
r k ya kza k xa at E k = E s − A − 8J cos cos cos 2 2 2
并求能带宽度。 并求能带宽度。 用紧束缚方法处理晶格的s态电子，当只计及最近邻格点 用紧束缚方法处理晶格的 态电子， 解： 态电子 的相互作用时，其能带的表示式为 的相互作用时，
r r rr r r 1 ik⋅Rl at at ψ k,r = ∑e ϕα k − Rl N Rl
( )
(
)
r 一维晶体情况下， 一维晶体情况下，晶格常数 a ，Rl = na
所以
r r r 1 ψ k, x = ∑ e ikna ϕat ( x − na ) α n N
r r 1 −α x ϕ (x) = e α at
( )
又
得
r r ψ k, x =
( )
r 1 ikna − α x − na ∑e e Nα n
（2） 按正交化平面波方法，三维晶体电子的波函数为 ） 按正交化平面波方法，
r x=
1 N
r r M r (k + ki )⋅rr − ∑ µ Φ r r (r ) i e ij j,k + k j =1
当每个原胞有两个电子时， 当每个原胞有两个电子时，晶体电子的总数为
(s = 0,1,2...)
（2） ）
x π π ikna icos ( x + a ) = icos x + π = e cos a a a
即
e
得
ikna
= (− i )
n
3 kna = 2s + nπ 2
3 2s + 2π k= a
所以
(s = 0,1,2...)
r a ，Rl = na
=a
r r r M r 1 i (k + k i )⋅ x r r (x) e − ∑ µij Φ j,k + ki j =1 Na 1 r r r µ ij = δk ′,k + k ϕ at ( x − na )e i (k + k i )( x − na )dx ∫ j i a a
（3） ）
ψk (x + a ) =
令 得
l = −∞
∑ f ( x + a − la ) = ∑ f [x − (l − 1)a ]
l = −∞ ∞
∞
∞
l′ = l − 1
( x + a ) = ∑ f ( x − l ′a ) = ψ k ( x ) = e iknaψ k ( x ) ψk
l = −∞
i
r r r µ ij = δk ′,k + k i
1
r r r r r i (k + k i )⋅(rr − Rl ) ϕ at r − Rl e dτ ∫ j
(
)
r r r 1 ik ⋅ Rl at r r Φ jk = ∑ e ϕ j r − Rl N l
(
)
，
对于一维晶体情况下， 对于一维晶体情况下，晶格常数
Eg = 2Vn
是周期势场V(x)付里叶级数的系数，该系数可由式 付里叶级数的系数， 其中 Vn 是周期势场 付里叶级数的系数
1 Vn = ∫ V ( x )e a −a 2
a 2
−i
2π nx a
dx
求得。 求得。 第一禁带宽度为
1 E g1 = 2 V1 = 2 ∫ V ( x )e a −a 2
l = −∞
∑ f ( x − la )
∞
为某一确定的函数） （ f 为某一确定的函数）
试求电子在这些状态的波矢。 试求电子在这些状态的波矢。
r r r r r ir⋅Rn 解： 由式 ψk r + R = e ψk (r ) n
(
)
可知， 可知，在一维周期势场中运动的电子波函数满足
ψ k ( x + a ) = e ikna ψ k ( x )
1 b 1 2 2 2 = ∫−b 2 mω b − x dx 4b
[
]
mω = 8b
2
1 3 2 b x − 3 x −b
b
1 = mω 2 b 2 6
5.3 用近自由电子模型求解上题，确定晶体的第一及第二个禁带 用近自由电子模型求解上题， 宽度。 宽度。 在布里渊区边界上，电子的能量出现禁带，禁带宽度的表示 解： 在布里渊区边界上，电子的能量出现禁带， 式为
由此得 （1） ）
π π sin ( x + a ) = sin x + π a a π π n ikna = (− 1) sin x = e sin x a a
e ikna = (− 1)
n
于是 因此得 所以
kna = (2s + 1)nπ
2s + 1 k= π a
− α x − na ik x − na 1 ikx − 1 ikna e − α x − na e e dx ∑ e ∫e Na α Na a n
−10 b 5.6 一矩形晶格，原胞边长 a = 2 × 10 m ， = 4 × 10 −10 m 一矩形晶格，
（1）画出倒格子图； ）画出倒格子图； （2）以广延图和简约图两种形式，画出第一布里渊区和 ）以广延图和简约图两种形式， 第二布里渊区； 第二布里渊区； 设每个原胞有两个电子。） （3）画出自由电子的费密面。(设每个原胞有两个电子。） ）画出自由电子的费密面。 设每个原胞有两个电子 0 v v v a = ai = 2 A i 解：(1) 因为 0 v v v b = bj = 4 A j 倒格子基矢为
将上述8组坐标代入能带的表示式， 将上述 组坐标代入能带的表示式，得 组坐标代入能带的表示式
r r r ik ⋅ Rn at E k = Es − A − J ∑ e n
()
a i ia 2 2 e (k x + k y + k z ) + e (k x + k y − k z ) a a i i + e 2 (k − k + k ) + e 2 (− k + k + k ) x y z x y z at = Es − A − J + a ia i + e 2 (k x − k y − k z ) + e 2 (− k x + k y − k z ) a a + e i 2 (− k − k + k ) + e i 2 (− k − k − k ) x y z x y z
E min = E0 − A − 8J
当 k x = ± 1 a , k y = ± 1 a , k z = ± 1 a 时， 能量取最大值
E max = E0 − A + 8J
因而能带的宽度为
∆E = Emax − Emin = 16J
5.5由N格原子组成的三维晶体（简单晶格 其孤立原子中的 由 格原子组成的三维晶体 简单晶格),其孤立原子中的 格原子组成的三维晶体（
a∗
kx
第二区
作为原点， （2） 取任意倒格点 作为原点，由原点至其最近邻 Ai 、次近邻 ） 取任意倒格点o作为原点 的连线的中垂线可围成第一、第二布里渊区(如上图 如上图)， Bi 的连线的中垂线可围成第一、第二布里渊区 如上图 ，这 是布里渊区的广延图。如采用简约形式，将第二区移入第一区， 是布里渊区的广延图。如采用简约形式，将第二区移入第一区， 其结果如图所示。 其结果如图所示。
[
]
E g2
−i x 1 b mω 2 2 2 b − x e b dx =2 4b ∫− b 2
[
]
π
1 b mω 2 2 π 2 =2 ∫−b 2 b − x cos b 4b
[
]
mω 2 b 2 x dx = 2 π
5.4 用紧束缚方法导出体心立方晶体 态电子的能带 用紧束缚方法导出体心立方晶体s态电子的能带
a 2
−i
2π x a
dx
1 mω 2 b − x2 e =2 4b ∫− b 2
b
b 2
2
[
]
−i
2π x a
dx
8mω b x dx = π3
2 2
1 mω 2 π 2 =2 ∫−b 2 b − x cos 2b 4b
第二禁带宽度为
−i x 1 a2 = 2 V2 = 2 ∫ V ( x )e a dx a −a 2 4π
由上知 可知
e
ikna
=1
kna = 2sπ
2s 所以 k = π na
(s = 0,1,2...
n = ±1,±2...)
5.2 电子在周期场中得势能
1 2 2 2 mω b − ( x − na ) V (x) = 2 0
[
]
当na − b ≤ x ≤ na + b
当(n - 1)a + b ≤ x ≤ na − b
a i a k x −i k x k ya kza at cos = E s − A − 4J e 2 + e 2 cos 2 2
k ya kza k xa cos cos = E − A − 8Jcos 2 2 2
at s
由余弦函数的性质，用观察法即可断定， 由余弦函数的性质，用观察法即可断定， k x = k y = k z = 0 时， 当 能带中的能量取最小值
r x=
此处
r r 1 −α x ϕat ( x ) = e α
µ ij = δ
r r r k ′,k + k i
1 aα
∫e
a
− α x − na
e
2π n i k+ ( x − na ) a
dx
Fra Baidu bibliotekΦ jk =
若只取一项， 若只取一项，则
x = 0
1 − α x − na ∑ e ikna e Nα n
ky
kx
个原胞， （3） 设晶体共有 个原胞，计入自旋后，在简约布里渊区中 ） 设晶体共有N个原胞 计入自旋后， 便有2N个状态。简约布里渊区的面积 便有 个状态。 个状态
v* v* 1 o 2 A = a × b = ( A) 8
*
而状态密度
o v 2N g ( k ) = * = 16 N ( A) 2 A
是常数。 试画出此势能曲线，并求此势能的平均值。 且 a = 4b, ω 是常数。 试画出此势能曲线，并求此势能的平均值。 V(x) 解：
x O a 2a 3a 如图所示，由于势能具有周期性， 如图所示，由于势能具有周期性，因此只在一个周期内求平均
即可， 即可， 于是得
1 a2 1 2b V = ∫ V ( x )dx = ∫− 2bV ( x )dx a −a 2 4b
r r 1 −α x 为正的常数。 e , α为正的常数。 电子基态波函数为ϕ ( x ) = α at
（1）试写出该晶体的紧束缚近似波函数； ）试写出该晶体的紧束缚近似波函数； （2）证明上面写出的紧束缚近似波函数具有布洛赫波函数 ） 的性质； 的性质； （3）对比说明孤立原子的电子和晶体中的电子的波函数及 ） 能量的特征。 能量的特征。 （ ）按紧束缚近似， 解： 1）按紧束缚近似，三维晶体电子的波函数为
a i (k x − k y ) i a (k x + k y ) kza kza 2 2 cos cos +e e 2 2 = E sat − A − 2J a i (− k x − k y ) i a (− k x + k y ) kza kza 2 2 cos cos +e + e 2 2
r r r r ik ⋅ Rn at E k = Es − A − J ∑ e , Rn 是最近邻格矢 n
()
()
对体心立方晶格，取参考格点的坐标为（ ， ， ） 对体心立方晶格，取参考格点的坐标为（0，0，0）， 则8个 个 最近邻格点的坐标为
a a a ± ,± ,± 2 2 2
第五章 能带理论
应当满足布洛赫定理。 5.1 一维周期场，电子的波函数 ψ k ( x ) 应当满足布洛赫定理。 一维周期场， 若晶格常数为 a ，电子的波函数为
x （1） ψ k ( x ) = sin π; ） a x （2） ψ k ( x ) = icos π; ） a
（3） ψ k ( x ) = ）
v* a =
1 v i o 2A v* 1 v b = j o 4A
v* v* 以 a ,b
为基矢构成的倒格子
B3
∗
ky
B2
A2
b
B1
A1
如图6-11所示 图中“。” 所示,图中 如图 所示 图中“
A3
o
代表倒格点。由图可见， 代表倒格点。由图可见， 矩形晶格的倒格子也是 矩形格子。 矩形格子。 第一区
r k ya kza k xa at E k = E s − A − 8J cos cos cos 2 2 2
并求能带宽度。 并求能带宽度。 用紧束缚方法处理晶格的s态电子，当只计及最近邻格点 用紧束缚方法处理晶格的 态电子， 解： 态电子 的相互作用时，其能带的表示式为 的相互作用时，
r r rr r r 1 ik⋅Rl at at ψ k,r = ∑e ϕα k − Rl N Rl
( )
(
)
r 一维晶体情况下， 一维晶体情况下，晶格常数 a ，Rl = na
所以
r r r 1 ψ k, x = ∑ e ikna ϕat ( x − na ) α n N
r r 1 −α x ϕ (x) = e α at
( )
又
得
r r ψ k, x =
( )
r 1 ikna − α x − na ∑e e Nα n
（2） 按正交化平面波方法，三维晶体电子的波函数为 ） 按正交化平面波方法，
r x=
1 N
r r M r (k + ki )⋅rr − ∑ µ Φ r r (r ) i e ij j,k + k j =1
当每个原胞有两个电子时， 当每个原胞有两个电子时，晶体电子的总数为
(s = 0,1,2...)
（2） ）
x π π ikna icos ( x + a ) = icos x + π = e cos a a a
即
e
得
ikna
= (− i )
n
3 kna = 2s + nπ 2
3 2s + 2π k= a
所以
(s = 0,1,2...)
r a ，Rl = na
=a
r r r M r 1 i (k + k i )⋅ x r r (x) e − ∑ µij Φ j,k + ki j =1 Na 1 r r r µ ij = δk ′,k + k ϕ at ( x − na )e i (k + k i )( x − na )dx ∫ j i a a
（3） ）
ψk (x + a ) =
令 得
l = −∞
∑ f ( x + a − la ) = ∑ f [x − (l − 1)a ]
l = −∞ ∞
∞
∞
l′ = l − 1
( x + a ) = ∑ f ( x − l ′a ) = ψ k ( x ) = e iknaψ k ( x ) ψk
l = −∞
i
r r r µ ij = δk ′,k + k i
1
r r r r r i (k + k i )⋅(rr − Rl ) ϕ at r − Rl e dτ ∫ j
(
)
r r r 1 ik ⋅ Rl at r r Φ jk = ∑ e ϕ j r − Rl N l
(
)
，
对于一维晶体情况下， 对于一维晶体情况下，晶格常数
Eg = 2Vn
是周期势场V(x)付里叶级数的系数，该系数可由式 付里叶级数的系数， 其中 Vn 是周期势场 付里叶级数的系数
1 Vn = ∫ V ( x )e a −a 2
a 2
−i
2π nx a
dx
求得。 求得。 第一禁带宽度为
1 E g1 = 2 V1 = 2 ∫ V ( x )e a −a 2
l = −∞
∑ f ( x − la )
∞
为某一确定的函数） （ f 为某一确定的函数）
试求电子在这些状态的波矢。 试求电子在这些状态的波矢。
r r r r r ir⋅Rn 解： 由式 ψk r + R = e ψk (r ) n
(
)
可知， 可知，在一维周期势场中运动的电子波函数满足
ψ k ( x + a ) = e ikna ψ k ( x )
1 b 1 2 2 2 = ∫−b 2 mω b − x dx 4b
[
]
mω = 8b
2
1 3 2 b x − 3 x −b
b
1 = mω 2 b 2 6
5.3 用近自由电子模型求解上题，确定晶体的第一及第二个禁带 用近自由电子模型求解上题， 宽度。 宽度。 在布里渊区边界上，电子的能量出现禁带，禁带宽度的表示 解： 在布里渊区边界上，电子的能量出现禁带， 式为
由此得 （1） ）
π π sin ( x + a ) = sin x + π a a π π n ikna = (− 1) sin x = e sin x a a
e ikna = (− 1)
n
于是 因此得 所以
kna = (2s + 1)nπ
2s + 1 k= π a
− α x − na ik x − na 1 ikx − 1 ikna e − α x − na e e dx ∑ e ∫e Na α Na a n
−10 b 5.6 一矩形晶格，原胞边长 a = 2 × 10 m ， = 4 × 10 −10 m 一矩形晶格，
（1）画出倒格子图； ）画出倒格子图； （2）以广延图和简约图两种形式，画出第一布里渊区和 ）以广延图和简约图两种形式， 第二布里渊区； 第二布里渊区； 设每个原胞有两个电子。） （3）画出自由电子的费密面。(设每个原胞有两个电子。） ）画出自由电子的费密面。 设每个原胞有两个电子 0 v v v a = ai = 2 A i 解：(1) 因为 0 v v v b = bj = 4 A j 倒格子基矢为
将上述8组坐标代入能带的表示式， 将上述 组坐标代入能带的表示式，得 组坐标代入能带的表示式
r r r ik ⋅ Rn at E k = Es − A − J ∑ e n
()
a i ia 2 2 e (k x + k y + k z ) + e (k x + k y − k z ) a a i i + e 2 (k − k + k ) + e 2 (− k + k + k ) x y z x y z at = Es − A − J + a ia i + e 2 (k x − k y − k z ) + e 2 (− k x + k y − k z ) a a + e i 2 (− k − k + k ) + e i 2 (− k − k − k ) x y z x y z
E min = E0 − A − 8J
当 k x = ± 1 a , k y = ± 1 a , k z = ± 1 a 时， 能量取最大值
E max = E0 − A + 8J
因而能带的宽度为
∆E = Emax − Emin = 16J
5.5由N格原子组成的三维晶体（简单晶格 其孤立原子中的 由 格原子组成的三维晶体 简单晶格),其孤立原子中的 格原子组成的三维晶体（