初中数学：一道难解又必解的题
人教版初中数学中考经典好题难题(有答案)
数学难题一•填空题(共2小题)1如图，矩形纸片ABCD中，AB= 7, BC= .第一次将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕与BD交于点O1；O i D的中点为D1，第二次将纸片折叠使点B与点D i重合，折痕与BD交于点。
2；设O2D1的中点为D2，第三次将纸片折叠使点B与点D2重合，折痕与BD交于点03,….按上述方法折叠，第n次折叠后的折痕与BD交于点O n,贝y B0i= , BO n= .2.如图，在平面直角坐标系xoy中，A (- 3, 0), B (0, 1),形状相同的抛物线C n ( n=1 , 2 , 3 , 4,…)的顶点在直线AB 上,其对称轴与x轴的交点的横坐标依次为 2 , 3 , 5 , 8 , 13 ,…，根据上述规律，抛物线C2的顶点坐标为 ;抛物线C s的顶点坐标为 ______ .二.解答题(共28小题)23 .已知：关于x的一元二次方程kx +2x+2 - k=0 ( k昌).(1)求证：方程总有两个实数根；(2)当k取哪些整数时，方程的两个实数根均为整数.24. 已知：关于x的方程kx + (2k - 3) x+k - 3=0.(1)求证：方程总有实数根；2(2)当k取哪些整数时，关于x的方程kx + (2k- 3) x+k - 3=0的两个实数根均为负整数？3 35. 在平面直角坐标系中，将直线I:「一 - 一沿x轴翻折，得到一条新直线与x轴交于点A，与y轴交于点B ,将抛物线C1：*沿x轴平移，得到一条新抛物线C2与y轴交于点D，与直线AB交于点E、点F.(1)求直线AB的解析式；(2)若线段DF // x轴，求抛物线C2的解析式；(3)在(2)的条件下，若点F在y轴右侧，过F作FH丄x轴于点G ,与直线I交于点H，—条直线m( m不过△ AFH 的顶点)与AF交于点M，与FH交于点N，如果直线m既平分△ AFH的面积，又平分△ AFH的周长，求直线m 的解析式.第一次折叠第二次折叠第三次折叠0^126. 已知：关于x的一元二次方程-x+ (m+4) x - 4m=0，其中0 v m v4.(1)求此方程的两个实数根(用含m的代数式表示)；(2)设抛物线y= - x + ( m+4) x - 4m与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，若点D的坐标为(0,- 2),且AD?BD=10，求抛物线的解析式；(3)已知点E (a, y i)、F (2a, y2)、G (3a, y3)都在(2)中的抛物线上，是否存在含有y i、y2、y3，且与a无关的等式？如果存在，试写出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由.2 27. 点P为抛物线y=x - 2mx+m (m为常数，m>0) 上任一点，将抛物线绕顶点G逆时针旋转90°后得到的新图象与y轴交于A、B两点(点A在点B的上方)，点Q为点P旋转后的对应点.(1)当m=2，点P横坐标为4时，求Q点的坐标；(2)设点Q (a, b)，用含m、b的代数式表示a；(3)如图，点Q在第一象限内，点D在x轴的正半轴上，点C为OD的中点，QO平分/ AQC , AQ=2QC ,当QD=m 时，求m的值.2&关于x的一元二次方程x1 2 3- 4x+c=0有实数根，且c为正整数.1 求c的值；22 若此方程的两根均为整数，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x - 4x+c与x轴交于A、B两点(A在B左侧)，与y轴交于点C .点P为对称轴上一点，且四边形OBPC为直角梯形，求PC的长；3 将(2)中得到的抛物线沿水平方向平移，设顶点D的坐标为(m, n),当抛物线与(2)中的直角梯形OBPC只有两个交点，且一个交点在PC边上时，直接写出m的取值范围.210.如图，AD 是厶ABC 的角平分线，EF 是AD 的垂直平分线. 求证：(1)/ EAD= / EDA .(2) DF // AC . (3) Z EAC= / B .一 211 .已知：关于 x 的一兀二次方程(m - 1) x + (m - 2) x -仁0 ( m 为实数) (1)若方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围；(2) 在(1)的条件下，求证：无论 m 取何值，抛物线 y= (m - 1) x 2+ (m - 2) x - 1总过x 轴上的一个固定点；一、 2 2 (3)关于x 的一兀二次方程(m - 1) x + (m - 2) x -仁0有两个不相等的整数根，把抛物线 y= (m - 1) x + (m -2)x - 1向右平移3个单位长度，求平移后的解析式.12. 已知△ ABC ，以AC 为边在△ ABC 外作等腰 △ ACD ，其中AC=AD .(1) ____________________________________________________________________________________ 如图1,若/ DAC=2 / ABC , AC=BC ，四边形 ABCD 是平行四边形，则/ ABC= __________________________________ ; (2) 如图2,若/ ABC=30 ° △ ACD 是等边三角形， AB=3 , BC=4 .求BD 的长；(3) 如图3,若/ ACD 为锐角，作 AH 丄BC 于H .当BD 2=4AH 2+BC 2时，/ DAC=2 / ABC 是否成立？若不成立, 请说明你的理由；若成立，证明你的结论.213. 已知关于 x 的方程 mx + (3- 2m ) x+ ( m - 3) =0，其中m >0. (1) 求证：方程总有两个不相等的实数根；垃 ~ I(2) 设方程的两个实数根分别为 X 1, X 2，其中X 1>X 2,图33 x |(3) 在(2)的条件下，请根据函数图象，直接写出使不等式yw- m成立的m的取值范围.2 214. 已知：关于x的一元二次方程x+ (n-2m) x+m - mn=O①(1)求证：方程① 有两个实数根；(2)若m- n-仁0,求证：方程① 有一个实数根为1;(3)在(2)的条件下，设方程①的另一个根为a.当x=2时，关于m的函数y i=nx+am与y2=x2+a (n - 2m) x+m2 -mn的图象交于点A、B (点A在点B的左侧)，平行于y轴的直线L与y i、y2的图象分别交于点C、D .当L沿AB由点A平移到点B时，求线段CD的最大值.y= ( 3- m) x2+2 ( m - 3) x+4m - m2的顶点A在双曲线y==上，直线y=mx+b经过点A ,与y轴交于点B，与x轴交于点C.(1) 确定直线AB的解析式；(2) 将直线AB绕点O顺时针旋转90°与x轴交于点D，与y轴交于点E,求sin/ BDE的值；(3) 过点B作x轴的平行线与双曲线交于点G,点M在直线BG上，且到抛物线的对称轴的距离为6.设点N在15.如图，已知抛物线16.如图，AB为O O的直径，AB=4，点C在O O上，CF丄OC,且CF=BF .(1)证明BF是O O的切线；(2) 设AC与BF的延长线交于点M，若MC=6，求/ MCF的大小.17 .如图1,已知等边△ ABC的边长为1，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点(均不与点A、B、C重合)，记厶DEF的周长为p.(1)____________________________________________________________ 若D、E、F分别是AB、BC、AC边上的中点，贝U p= _______________________________________________________ ;(2)_______________________________________________________________________ 若D、E、F分别是AB、BC、AC边上任意点，贝U p的取值范围是_____________________________________________ .小亮和小明对第(2)问中的最小值进行了讨论，小亮先提出了自己的想法：将△ ABC以AC边为轴翻折一次得△ AB1C，再将△ AB1C以B1C为轴翻折一次得△ A1B1C,如图2所示.则由轴对称的性质可知，DF+FE1+E1D2=p, 根据两点之间线段最短，可得p£D2.老师听了后说：你的想法很好，但DD2的长度会因点D的位置变化而变化，所以还得不出我们想要的结果. ”小明接过老师的话说：那我们继续再翻折3次就可以了”请参考他们的想法，写出你的答案.图1 图2218. 已知关于x的方程x -( m- 3) x+m - 4=0 .(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根大于4且小于8,求m的取值范围；2(3)设抛物线y=x -( m - 3) x+m - 4与y轴交于点M，若抛物线与x轴的一个交点关于直线y= - x的对称点恰好是点M，求m的值.19. 在Rt△ ABC中，/ ACB=90 ° tan/BAC=2 .点D在边AC上(不与A, C重合)，连接BD , F为BD中点.2(1)若过点D作DE丄AB于E,连接CF、EF、CE,如图1 .设CF=kEF，则k= _ _ ;(2)若将图1中的△ ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示.求证：BE -DE=2CF ;(3)若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最20•我们给出如下定义：如果四边形中一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等，则把这对顶点叫做这个四边形的一对等高点•例如：如图1,平行四边形ABCD中，可证点A、C到BD的距离相等，所以点A、C是平行四边形ABCD的一对等高点，同理可知点B、D也是平行四边形ABCD的一对等高点.(1)如图2,已知平行四边形ABCD，请你在图2中画出一个只有一对等高点的四边形ABCE (要求：画出必要的辅助线)；(2)已知P是四边形ABCD对角线BD上任意一点(不与B、D点重合)，请分别探究图3、图4中S1, S2, S3, S4四者之间的等量关系(S1, S2, S3, S4分别表示△ ABP , △ CBP , △ CDP, △ ADP的面积)：①如图3,当四边形ABCD只有一对等高点A、C时，你得到的一个结论是 ____________________ ;②如图4,当四边形ABCD没有等高点时，你得到的一个结论是____________________ .221. 已知：关于x的一元一次方程kx=x+2① 的根为正实数，二次函数y=ax - bx+kc (c旳)的图象与x轴一个交点的横坐标为1.(1)若方程①的根为正整数，求整数k的值；(2)求代数式一的值；akc(3)求证：关于x的一元二次方程ax2- bx+c=0②必有两个不相等的实数根.22. 已知抛物线经过点A (0, 4)、B (1, 4)、C (3, 2),与x轴正半轴交于点D.(1)求此抛物线的解析式及点D的坐标；(2)在x轴上求一点E,使得△ BCE是以BC为底边的等腰三角形；(3)在(2)的条件下，过线段ED上动点P作直线PF// BC,与BE、CE分别交于点F、6,将厶EFG沿FG翻折得到△ E F G .设P ( x, 0), △ E F G与四边形FGCB重叠部分的面积为S,求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围.223. 已知二次函数y=ax +bx+c的图象分别经过点（0, 3） , （3, 0）, （- 2, - 5）.求：（1）求这个二次函数的解析式；（2）求这个二次函数的最值；（3）若设这个二次函数图象与x轴交于点C, D （点C在点D的左侧），且点A是该图象的顶点，请在这个二次函数的对称轴上确定一点B，使△ ACB是等腰三角形，求出点B的坐标.24•根据所给的图形解答下列问题：（1）如图1, △ ABC中，AB=AC，/ BAC=90 ° AD丄BC于D,把△ ABD绕点A旋转，并拼接成一个与△ ABC 面积相等的正方形，请你在图中完成这个作图；（2）如图2，△ ABC中，AB=AC，/ BAC=90 °请你设计一种与（1）不同的方法，将这个三角形拆分并拼接成一个与其面积相等的正方形，画出利用这个三角形得到的正方形；（3）设计一种方法把图3中的矩形ABCD拆分并拼接为一个与其面积相等的正方形，请你依据此矩形画出正形，并根据你所画的图形，证明正方形面积等于矩形ABCD的面积的结论.25. 例.如图①，平面直角坐标系xOy中有点B （2，3）和C （5，4），求厶OBC的面积. 解：过点B作BD丄x轴于D，过点C作CE丄x轴于E.依题意，可得S A OBC=S梯形BDEC+S A OBD- S^OCE=- -1 - ；i-.l ■・•・“w £w=',X ( 3+4) X( 5- 2) +[X2>3—[拓>4=3.5 .££w•••△ OBC的面积为3.5.（1）如图②，若B （X1，yd、C （X2，y2）均为第一象限的点，O、B、C三点不在同一条直线上.仿照例题的解法，求△ OBC的面积（用含X1、X2、y1、y2的代数式表示）；（2）如图③，若三个点的坐标分别为 A （2，5），B （7，7），C （9，1），求四边形OABC的面积.① ② ③26. 阅读:①按照某种规律移动一个平面图形的所有点，得到一个新图形称为原图形的像. 如果原图形每一个点只对应像的一个点，且像的每一个点也只对应原图形的一个点，这样的运动称为几何变换•特别地，当新图形与原图形的形状大小都不改变时，我们称这样的几何变换为正交变换.问题1:我们学习过的平移、________________ 、______________ 变换都是正交变换.② 如果一个图形绕着一个点（旋转中心）旋转n°（O v nW60）后，像又回到原图形占据的空间（重合）变换为该图形的n度旋转变换.特别地，具有180?旋转变换的图形称为中心对称图形.例如，图A中奔驰车标示意图具有120°, 240°, 360°的旋转变换.图B的几何图形具有180。
专题14-菱形、正方形的性质与判定重难点题型(解析版)-初中数学重难点必刷题(人教版)
专题14 菱形、正方形的性质与判定重难点题型分类-高分必刷题 （解析版）专题简介：本份资料包含菱形、正方形的性质与判定这两节的常考主流题型，所选题目源自各名校期中、期末试题中的典型考题，具体包含四类题型：菱形的性质、菱形的判定、中点套路之中位线＆Rt △斜边上的中线、 正方形的性质与判定。
适合于培训机构的老师给学生作复习培训时使用或者学生考前刷题时使用。
题型一 菱形的性质1.（中雅培粹）如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥AB 于点E ，若⊥ADC =130°，则⊥AOE 的度数为（ ）A.75°B.65°C.55°D.50°【解答】解：在菱形ABCD 中，∠ADC ＝130°，∴∠BAD ＝180°﹣130°＝50°， ∴∠BAO ＝∠BAD ＝×50°＝25°，∵OE ⊥AB ，∴∠AOE ＝90°﹣∠BAO ＝90°﹣25°＝65°． 故选：B ．2.（中雅培粹）如图，菱形ABCD 中，⊥B =60°，AB =2，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则⊥AEF 的周长为（ ）A.32B.33C.34D.3【解答】解：连接AC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ，∵∠B ＝60°，∴△ABC 为等边三角形， ∴AC ＝AB ＝AD ＝CD ，∴∠CAD ＝60°，∴∠BAD ＝120°，∵E 为BC 的中点，∴AE ⊥BC ，∠EAC ＝30°， ∴AE ＝，同理：AF ＝，∵AE ＝AF ，∠CAF ＝30°∴∠EAF ＝60°，∴△AEF 是等边三角形，∴EF ＝，∴△AEF 的周长为3．故选：B ．3.（长郡）如图，已知菱形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，2cm OC =，30ABO ∠=，则菱形ABCD 的面积是__________.【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ABO ＝∠CBO ＝30°，∠BOC ＝90°， ∵OC ＝2cm ， ∴OB ＝2cm ，∴＝cm 2．∴菱形ABCD 的面积为2cm 2．故答案为：8cm 2．4.（中雅培粹）已知菱形ABCD 的面积是212cm ，对角线cm AC 4=，则菱形的边长是 . 【解答】解：由菱形的面积公式，可得另一对角线长12×2×＝6，∵菱形的对角线互相垂直平分， 根据勾股定理可得菱形的边长＝＝cm ．故答案为． 题型二 菱形的判定5.（中雅培粹）如图，添加下列条件之一，能使平行四边形ABCD 是菱形的是（ ） ⊥BD AC ⊥；⊥︒=∠90BAD ；⊥BC AB =；⊥BD AC =； A.⊥⊥ B.⊥⊥ C.⊥⊥ D.⊥⊥⊥【解答】解：①▱ABCD 中，AC ⊥BD ，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判定▱ABCD 是菱形；故①正确；②▱ABCD 中，∠BAD ＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可判定▱ABCD 是矩形，而不能判定▱ABCD 是菱形；故②错误；③▱ABCD 中，AB ＝BC ，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定▱ABCD 是菱形；故③正确；D 、▱ABCD 中，AC ＝BD ，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定▱ABCD 是矩形，而不能判定▱ABCD 是菱形；故④错误． 故选：A ．6.（中雅）已知矩形ABCD ，把BCD ∆沿BD 翻折，得BDG ∆，BG ，AD 所在的直线交于点E ，过点D 作//DF BE 交BC 所在直线于点F . (1)求证：四边形DEBF 是菱形；(2)若8AB =，4AD =，求四边形DEBF 的面积.【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ∥BC ，∴∠EDB ＝∠DBC ， 根据题意可知△BCD ≌△BDG ，∴∠DBG ＝∠DBC ，∴∠EDB ＝∠EBD ，∴DE ＝BE ， ∵AD ∥BC ，DF ∥BE ，∴四边形BEDF 为平行四边形， 又∵DE ＝BE ，∴四边形BEDF 为菱形；（2）设菱形BEDF 的边长为x ，则AE ＝DE ﹣AD ＝x ﹣4，在Rt △AEB 中，BE 2＝AE 2+AB 2， 即x 2＝（x ﹣4）2+82，解得x ＝10，∴菱形BEDF 的面积＝DE •AB ＝10×8＝80．7.(长郡培粹)如图，矩形ABCD 中AD AB >，O 是对角线的交点，过O 任作一直线分别交BC 、AD 于点M 、N (如图①)，四边形AMNE 是由四边形CMND 沿MN 翻折得到图②，连接CN .(1)求证：四边形AMCN 是菱形；(2)若CDN ∆的面积与CMN ∆的面积比为1:3，求MNDN的值.【解答】（1）证法一：连接BD ，则BD 过点O ，∵AD ∥BC ，∴∠OBM ＝∠ODN ， 又OB ＝OD ，∠BOM ＝∠DON ，∴△OBM ≌△ODN ，∴BM ＝DN ；证法二：∵矩形ABCD 是中心对称图形，点O 是对称中心，∴B 、D 和M 、N 关于O 点中心对称，∴BM ＝DN ；（2）证法一：∵矩形ABCD ，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，又BM ＝DN ，∴AN ＝CM ，∴四边形AMCN是平行四边形，由翻折得，AM＝CM，∴四边形AMCN是菱形；证法二：由翻折得，AE＝CD，∠E＝∠D，∠AMN＝∠CMN，又∵∠ANE＝∠CND，∴△ANE≌△CND，∴AN＝CN．∵AD∥BC，∴∠ANM＝∠CMN，∴∠AMN＝∠ANM，∴AM＝AN，∴AM＝MC＝CN＝NA，∴四边形AMCN是菱形．（3）解法一：∵S△CDN＝DN•CD，S△CMN＝CM•CD，又S△CDN：S△CMN＝1：3，∴DN：CM＝1：3，设DN＝k，则CN＝CM＝3k，过N作NG⊥MC于点G，则CG＝DN＝k，MG＝CM﹣CG＝2k，NG＝，∴MN＝，∴＝＝2；解法二：∵S△CDN＝DN•CD，S△CMN＝CM•CD，又S△CDN：S△CMN＝1：3，∴DN：CM＝1：3，连接AC，则AC过点O，且AC⊥MN，设DN＝k，则CN＝AN＝CM＝3k，AD＝4k，CD＝，OC＝AC＝＝＝k，∴MN＝2ON＝2＝2＝2k，∴＝＝2．8.（广益）如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F．（1）求证：△BDF是等腰三角形；（2）如图2，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O．①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；②若AD＝AB+2，BD＝10，求四边形BFDG的面积．【解答】证明：（1）如图1，根据折叠，∠DBC＝∠DBE，又AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB，∴∠DBE＝∠ADB，∴DF＝BF，∴△BDF是等腰三角形；（2）①四边形BFDG是菱形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴FD∥BG，又∵DG∥BE，∴四边形BFDG是平行四边形，∵DF＝BF，∴四边形BFDG是菱形；②在Rt△ABD中，AD＝AB+2，BD＝10，BD2＝AD2+AB2，∴100＝（AB+2）2+AB2，∴AB＝6，∴AD＝8，∵BF2＝AF2+AB2，∴DF2＝（8﹣DF）2+36，∴DF＝，∴四边形BFDG的面积＝×6＝．题型三中点套路：中位线＆Rt△斜边上的中线9.（中雅）顺次联结对角线互相垂直且相等的四边形四边的中点所得的四边形是（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形【解答】解：∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，∴EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AC⊥BD，AC＝BD，∴EF⊥FG，FE＝FG，∴四边形EFGH是正方形，故选：D．BD CD的中点，若10.(雅礼)如图，BD是矩形ABCD的一条对角线，点,E F分别是,==，则AE EF4,3AB BC+的长为______．【解答】解：∵点E，F分别是BD，DC的中点，∴FE是△BCD的中位线，∴EF＝BC＝1.5，∵∠BAD＝90°，AD＝BC＝3，AB＝4，∴BD＝5，又∵E是BD的中点，∴Rt△ABD中，AE ＝BD ＝2.5，∴AE +EF ＝2.5+1.5＝4，故答案为：4．11.(师大高新)如图，已知矩形ABCD ，12,9AD CD = =，点R 、P 分别是DC ，BC 上的定点，点E 、F 分别是AP 、RP 的中点，若4CR =，则EF =（ ） A . 12B . 6.5C . 9D . 不能确定【解答】解：B.12.(长郡培粹)已知ABC ∆中，AB AC =，点O 在ABC ∆的内部，90BOC ∠=︒，OB OC =，D 、E 、F 、G 分别是AB 、OB 、OC 、AC 的中点. (1)求证：四边形DEFG 是矩形； (2)若2DE =，3EF =，求ABC ∆的面积.【解答】解：（1）连接AO 并延长交BC 于H ，∵AB ＝AC ，OB ＝OC ，∴AH 是BC 的中垂线，即AH ⊥BC 于H ，∵D 、E 、F 、G 分别是AB 、OB 、OC 、AC 的中点，∴DG ∥EF ∥BC ，DE ∥AH ∥GF ，∴四边形DEFG 是平行四边形，∵EF ∥BC ，AH ⊥BC ，∴AH ⊥EF ，DE ∥AH ， ∴EF ⊥DE ，∴平行四边形DEFG 是矩形． （3）∵△BOC 是等腰直角三角形，∴BC ＝2EF ＝2OH ＝2×3＝6，AH ＝OA +OH ＝2DE +EF ＝2×2+3＝7， ∴S △ABC ＝×6×7＝21．13.（中雅培粹）如图，在⊥ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，BE=2DE ，延长DE 到点F ，使得EF=BE ，连接CF 。
专题02 全等三角形重难点题型(解析版)-初中数学七年级上学期重难点题型分类高分必刷题(人教版)
专题02高分必刷题-全等三角形重难点题型分类（解析版）题型1：全等三角形的性质1．下列说法正确的是（）A．两个等边三角形一定全等B．形状相同的两个三角形全等C．面积相等的两个三角形全等D．全等三角形的面积一定相等【解答】解：A、两个边长不相等的等边三角形不全等，故本选项错误；B、形状相同，边长不对应相等的两个三角形不全等，故本选项错误；C、面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；D、全等三角形的面积一定相等，故本选项正确．故选：D．2．如图，△ABC≌△DCB，△A＝80°，△DBC＝40°，则△DCA的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°【解答】解：△△ABC≌△DCB，∴∠D＝△A＝80°，△ACB＝DBC＝40°，∴∠DCB＝180°﹣∠D﹣∠DBC＝60°，∴∠DCA＝△DCB﹣∠ACB＝20°，故选：A．3．如图，△ABC≌△DEF，BE＝7，AD＝3，则AB＝．【解答】解：△△ABC≌△DEF，∴AB＝DE，∴AB﹣AD＝DE﹣AD，即BD＝AE，∵BE＝7，AD＝3，∴BD＝AE＝＝2∴AB＝AD+DB＝3+2＝5．故答案为：5．题型2：添加一个条件，是两三角形全等4．如图，已知MB＝ND，△MBA＝△NDC，下列条件中不能判定△ABM≌△CDN的是（）A．△M＝△N B．AM∥CN C．AB＝CD D．AM＝CN【解答】解：A、△M＝△N，符合ASA，能判定△ABM≌△CDN，故A选项不符合题意；B、AM∥CN，得出△MAB＝△NCD，符合AAS，能判定△ABM≌△CDN，故B选项不符合题意．C、AB＝CD，符合SAS，能判定△ABM≌△CDN，故C选项不符合题意；D、根据条件AM＝CN，MB＝ND，△MBA＝△NDC，不能判定△ABM≌△CDN，故D选项符合题意；故选：D．5．如图，已知△ADB＝△CBD，下列所给条件不能证明△ABD≌△CDB的是（）A．△A＝△C B．AD＝BC C．△ABD＝△CDB D．AB＝CD【解答】解：在△ABD和△CDB中，，∴△ABD≌△CDB（AAS）∴选项A能证明；在△ABD和△CDB中，，∴△ABD≌△CDB（SAS），∴选项B能证明；在△ABD和△CDB中，，∴△ABD≌△CDB（ASA），∴选项C能证明；选项D不能证明△ABD≌△CDB；故选：D．6．如图，已知△1＝△2，要使△ABC≌△CDA，还需要补充的条件不能是（）A．AB＝CD B．BC＝DA C．△B＝△D D．△BAC＝△DCA 【解答】解：A、根据AB＝CD和已知不能推出两三角形全等，错误，故本选项正确；B、△在△ABC和△CDA中∴△ABC≌△CDA（SAS），正确，故本选项错误；C、△在△ABC和△CDA中∴△ABC≌△CDA（AAS），正确，故本选项错误；D、△在△ABC和△CDA中∴△ABC≌△CDA（AAS），正确，故本选项错误；故选：A．题型三：尺规作图的依据7．如图，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明△A′O′B′＝△AOB的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA【解答】解：由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'，故选：A．8．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，△AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C作射线OC．由此作法便可得△MOC≌△NOC，其依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【解答】解：∵在△ONC和△OMC中，∴△MOC≌△NOC（SSS），∴∠BOC＝∠AOC，故选：A．9．如图，红红书上的三角形被墨迹污染了一部分，她根据所学的知识很快就画了一个与书上完全一样的三角形，那么红红画图的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．故选：C．题型4：角平分线的性质10．如图，在△ABC中，△C＝90°，AC＝BC，AD平分△CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6cm，则△DBE的周长是（）A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm【解答】解：△AD平分△CAB，DE⊥AB，△C＝90°，∴DE＝CD，又△AC＝BC，AC＝AE，∴AC＝BC＝AE，∴△DBE的周长＝DE+BD+EB＝CD+BD+EB＝BC+EB＝AE+EB＝AB，∵AB ＝6cm，∴△DBE的周长＝6cm．故选：A．11．如图，△ABC中，△C＝90°，AD是角平分线，AB＝14，S△ABD＝28，则CD的长为．【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD是角平分线，∴由角平分线的性质，得DE＝CD．∵AB＝14，S△ABD＝28，∴×AB×DE＝28，即×14×DE＝28，解得DE＝4，∴CD＝4，故答案为：4．12．如图，BD是△ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC＝36cm2，AB＝18cm，BC＝12cm，则DE＝cm．【解答】解：过点D作DF⊥BC于点F，∵BD是△ABC的平分线，DE⊥AB，∴DE＝DF，∵AB＝18cm，BC＝12cm，∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD＝AB•DE+BC•DF＝DE•（AB+BC）＝36cm2，∴DE＝2.4（cm）．故答案为：2.4．题型五：全等三角形中档证明题考向1：重叠边技巧①短边相等+重叠边=长边相等②长边相等-重叠边=短边相等13．如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，△A＝△D，AF＝DC．求证：（1）△ABC≌△DEF；（2）BC∥EF．【解答】证明：（1）△AF＝DC，∴AF+CF＝DC+CF，∴AC＝DF，∵在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS）；（2）△由（1）知△ABC≌△DEF，∴∠BCA＝△EFD，∴BC∥EF．14．已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，BC＝EF，求证：AB∥DE．【解答】证明：△AF＝DC，∴AF﹣FC＝DC﹣CF，即AC＝DF．在△ACB和△DFE中，∴△ACB≌△DFE（SSS），∴∠A＝△D，∴AB∥DE．考向2：重叠角技巧重叠角技巧：①小角相等+重叠角=大角相等②大角相等-重叠角=小角相等15．如图，AB＝AD，△C＝△E，△1＝△2，求证：△ABC≌△ADE．【解答】证明：△△1＝△2，∴∠1+∠EAC＝△2+∠EAC，即△BAC＝△DAE，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（AAS）．16．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且△BAC＝90°，△DAE＝90°，B，C，D在同一条直线上．求证：BD＝CE．【解答】证明：△△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AD＝AE，AB＝AC，又△△EAC ＝90°+∠CAD，△DAB＝90°+∠CAD，∴∠DAB＝△EAC，∵在△ADB和△AEC中，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴BD＝CE．考向三：等角的余角相等技巧：∠1+∠2=90，∠2+∠3=90， ∠1=∠3技巧：把全等三角形中一个三角形的两个锐角分别随意标上∠1、∠2，再从第二个三角形的两个锐角中挑一个和∠1或∠2互余的角标上∠3。
初二数学经典难题(带答案及解析)
初二数学经典难题一、解答题（共10小题，满分100分）1．（10分）已知：如图，P是正方形内点，∠∠15°．求证：△是正三角形．（初二）2．（10分）已知：如图，在四边形中，，M、N分别是、的中点，、的延长线交于E、F．求证：∠∠F．3．（10分）如图，分别以△的边、为一边，在△外作正方形和，点P是的中点，求证：点P到的距离是的一半．4．（10分）设P是平行四边形内部的一点，且∠∠．求证：∠∠．5．（10分）P为正方形内的一点，并且，2a，3a，求正方形的边长．6．（10分）一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水．向容器中注满水的全过程共用时间t分．求两根水管各自注水的速度．7．（10分）（2009•郴州）如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P（﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，垂直于x轴，垂直于y轴，垂足分别是A、B．（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q在直线上运动时，直线上是否存在这样的点Q，使得△与△面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以、为邻边的平行四边形，求平行四边形周长的最小值．8．（10分）（2008•海南）如图，P是边长为1的正方形对角线上一动点（P与A、C不重合），点E在线段上，且．（1）求证：①；②⊥；（2）设，△的面积为y．①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值．9．（10分）（2010•河南）如图，直线1与反比例函数（x＞0）的图象交于A （1，6），B（a，3）两点．（1）求k1、k2的值．（2）直接写出时x的取值范围；（3）如图，等腰梯形中，∥，，边在x轴上，过点C作⊥于点E，和反比例函数的图象交于点P，当梯形的面积为12时，请判断和的大小关系，并说明理由．10．（10分）（2007•福州）如图，已知直线与双曲线交于A，B两点，且点A的横坐标为4．（1）求k的值；（2）若双曲线上一点C的纵坐标为8，求△的面积；（3）过原点O的另一条直线l交双曲线于P，Q两点（P点在第一象限），若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．初二数学经典难题参考答案与试题解析一、解答题（共10小题，满分100分）1．（10分）已知：如图，P是正方形内点，∠∠15°．求证：△是正三角形．（初二）2．（10分）已知：如图，在四边形中，，M、N分别是、的中点，、的延长线交于E、F．求证：∠∠F．∴∥，且3．（10分）如图，分别以△的边、为一边，在△外作正方形和，点P是的中点，求证：点P到的距离是的一半．，则（）4．（10分）设P是平行四边形内部的一点，且∠∠．求证：∠∠．5．（10分）P为正方形内的一点，并且，2a，3a，求正方形的边长．22，中，即正方形的边长为6．（10分）一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水．向容器中注满水的全过程共用时间t分．求两根水管各自注水的速度．解之得：经检验得：∴小口径水管速度为立方米7．（10分）（2009•郴州）如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P（﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，垂直于x轴，垂直于y轴，垂足分别是A、B．（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q在直线上运动时，直线上是否存在这样的点Q，使得△与△面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以、为邻边的平行四边形，求平行四边形周长的最小值．）为双曲线）坐标代入得，所以正比例函数解析式为，，××m×（﹣所以有，）（﹣）﹣，由勾股定理得+2=28．（10分）（2008•海南）如图，P是边长为1的正方形对角线上一动点（P与A、C不重合），点E在线段上，且．（1）求证：①；②⊥；（2）设，△的面积为y．①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值．，﹣ו×x﹣2．x2）x2﹣﹣+＜时，．9．（10分）（2010•河南）如图，直线1与反比例函数（x＞0）的图象交于A （1，6），B（a，3）两点．（1）求k1、k2的值．（2）直接写出时x的取值范围；（3）如图，等腰梯形中，∥，，边在x轴上，过点C作⊥于点E，和反比例函数的图象交于点P，当梯形的面积为12时，请判断和的大小关系，并说明理由．（）在＞，即12=，即10．（10分）（2007•福州）如图，已知直线与双曲线交于A，B两点，且点A的横坐标为4．（1）求k的值；（2）若双曲线上一点C的纵坐标为8，求△的面积；（3）过原点O的另一条直线l交双曲线于P，Q两点（P点在第一象限），若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．代入是直线与双曲线（在双曲线××=×）））。
初中数学难题精选(附答案)
初中数学难题精选(附答案)一、数与代数1. 题目：解方程：2x 3 = 5解答思路：这是一道一元一次方程的题目。
我们需要将方程两边的项进行移项，然后求解x的值。
解答过程：2x 3 = 52x = 5 + 32x = 8x = 8 / 2x = 4答案：x = 42. 题目：计算：3^2 2^3 + 4解答思路：这是一道指数运算的题目。
我们需要先计算指数，然后进行加减运算。
解答过程：3^2 2^3 + 4= 9 8 + 4= 1 + 4= 5答案：5二、空间与图形3. 题目：一个等边三角形的边长为5cm，求它的面积。
解答思路：这是一道求等边三角形面积的题目。
我们需要使用等边三角形的面积公式：面积 = (边长^2 根号3) / 4。
解答过程：面积 = (5^2 根号3) / 4= (25 根号3) / 4= 6.25 根号3答案：6.25 根号3 平方厘米4. 题目：一个圆柱的底面半径为3cm，高为6cm，求它的体积。
解答思路：这是一道求圆柱体积的题目。
我们需要使用圆柱体积的公式：体积 = 底面积高= π 半径^2 高。
解答过程：体积= π 3^2 6= π 9 6= 54π答案：54π 立方厘米三、统计与概率5. 题目：一个班级有30名学生，其中男生20名，女生10名。
随机抽取一名学生，求抽到女生的概率。
解答思路：这是一道求概率的题目。
我们需要计算女生的人数除以总人数，得到抽到女生的概率。
解答过程：概率 = 女生人数 / 总人数= 10 / 30= 1 / 3答案：1/3初中数学难题精选(附答案)一、数与代数6. 题目：解不等式：3x 7 > 2x + 4解答思路：这是一道一元一次不等式的题目。
我们需要将不等式两边的项进行移项，然后求解x的值。
解答过程：3x 7 > 2x + 43x 2x > 4 + 7x > 11答案：x > 117. 题目：计算：4^3 / 2^2解答思路：这是一道指数运算的题目。
难点详解青岛版八年级数学下册第8章一元一次不等式必考点解析试题(含详解)
八年级数学下册第8章一元一次不等式必考点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，A 、B 、M 、N 四人去公园玩跷跷板．设M 和N 两人的体重分别为m 、n ，则m 、n 的大小关系为（ ）A ．m ＜nB ．m ＞nC ．m ＝nD ．无法确定2、已知关于x 的分式方程()()232626mx x x x x +=----无解，且关于y 的不等式组()4434m y y y ->⎧⎨-≤+⎩有且只有三个偶数解，则所有符合条件的整数m 的乘积为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．83、若数a 使关于x 的不等式组()324263x x x a ⎧+<+⎨-≤⎩有且仅有5个整数解，且使关于y 的分式方程312122y a y y++=--有整数解，则满足条件的所有a 的值之和是（ ） A ．﹣21 B ．﹣12 C ．﹣14 D ．﹣184、如果关于x 的方程35122x a x x ++=--有正整数解，且关于x 的不等式组2()641115x a x a x x +≤+-⎧⎪-⎨-<⎪⎩的解集为6x <-，则符合条件的所有整数a 之和为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．15、若x y >，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．x y ->-B ．22x y <C ．66x y <D ．44x y +>+6、若关于x 的一元一次不等式组()23242741x m x x x -+⎧⎪⎨⎪++⎩的解集为32x ，且关于y 的方程2(53)322m y y ---=的解为非负整数，则符合条件的所有整数m 的和为（ ）A ．2B ．7C ．11D ．107、某矿泉水每瓶售价1.5元，现甲、乙两家商场 给出优 惠政策：甲商场全部9折，乙商场20瓶以上的部分8折．老师要小明去买一些矿泉水，小明想了想觉得到乙商场购买比较优惠．则小明需要购买的矿泉水的数量x 的取值范围是（ ）A ．x ＞20B ．x ＞40C ．x ≥40D ．x ＜408、若x y <，且()()33->-a x a y ，则a 的取值范围是（ ）A ．3a <B ．3a >C ．3a ≥D ．3a ≤9、若方程组233x y k x y +=⎧⎨-=-⎩的解满足20x y +>，则k 的值可能为（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．210、如果关于x 的分式方程3111ax x x =---的解为整数，且关于y 的不等式组()322242y y y y a +⎧≥+⎪⎨⎪+>+⎩有解，则符合条件的所有整数a 的和为（ ）A ．－1B ．0C ．1D ．4第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、某测试共有20道题，每答对一道得5分，每答错一道题扣1分，若小明得分要超过90分，设小明答对x 道题，可列不等式 _____．2、不等式组5202131x x x <⎧⎨-<+⎩的解集为_________． 3、如果关于x 的不等式mx ﹣2m ＞x ﹣2的解集是x ＜2，那么m 的取值范围是______．4、某种商品的进价为500元，售价为750元，由于换季，商店准备打折销售，但要保持该商品的利润率不低于20%，那么最多可以打______折．5、关于x 的不等式组1(25)131(3)2x x x x a ⎧+>+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩的所有整数解的和为﹣5，则a 的取值范围是 _____． 三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知：A ＝222111x x x x x -+--+． (1)化简A ；(2)若x 为不等式a +1≥3的最小整数解，求A 的值．2、先化简，再求值：(x －1－1x x ＋)÷221x x x ＋＋，其中x 是不等式组()213324x x x ⎧⎨≥⎩－＜＋＋的整数解． 3、六•一前夕，某幼儿园园长到厂家选购A 、B 两种品牌的儿童服装，每套A 品牌服装进价比B 品牌服装每套进价多25元, 已知用2000元购进A 种服装的数量是用750元购进B 种服装数量的2倍．(1)求A 、B 两种品牌服装每套进价分别为多少元？(2)该服装A 品牌每套售价为130元，B 品牌每套售价为95元，服装店老板决定，购进B 品牌服装的数量比购进A 品牌服装的数量的2倍还多4套，两种服装全部售出后，可使总的获利超过1200元, 则最少购进A 品牌的服装多少套？4、对于数轴上给定两点M 、N 以及一条线段PQ ，给出如下定义：若线段MN 的中点R 在线段PQ 上（点R 能与点P 或Q 重合），则称点M 与点N 关于线段PQ “中位对称”．如图为点M 与点N 关于线段PQ“中位对称”的示意图．已知：点O为数轴的原点，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2(1)若点C、D、E表示的数分别为﹣3，1.5，4，则在C、D、E三点中，与点A关于线段OB“中位对称”；点F表示的数为t，若点A与点F关于线段OB“中位对称”，则t的最大值是；(2)点H是数轴上一个动点，点A与点B关于线段OH“中位对称”，则线段OH的最小值是；(3)在数轴上沿水平方向平移线段OB，得到线段O'B'，设平移距离为d，若线段O'B'上（除端点外）的所有点都与点A关于线段O'B'“中位对称”，请你直接写出d的取值范围．5、为了更安全地开展冰上运动某校决定购进一批护肘及护膝．已知用900元购进护膝的数量比用400元购进护肘的数量多10副，且每副护膝价格是每副护肘价格的1.5倍．(1)每副护肘和护膝的价格分别是多少元；(2)若学校决定用不超过8000元购进两种护具共300副，且护肘数量不多于102副，求有哪几种购买方案；(3)在（2）的条件下，若已知商家每副护肘的进价为15元，每副护膝的进价为20元，为支持学校的冰上运动，该商家准备正好用去方案中的最大利润的10%再次购进两种护具赠送给学校，请直接写出最多可赠送护膝多少副？-参考答案-一、单选题1、A【解析】【分析】设A，B两人的体重分别为a，b，根据题意列出等式和不等式，即可得出答案．【详解】解：设A ，B 两人的体重分别为a ，b ，根据题意得：a +m ＝n +b ，a ＞b ，∴m ＜n ，故选：A ．【点睛】本题考查了不等式的性质，根据题意列出等式和不等式是解题的关键．2、B【解析】【分析】分式方程无解的情况有两种，第一种是分式方程化成整式方程后，整式方程无解，第二种是分式方程化成整式方程后有解，但是解是分式方程的增根，以此确定m 的值，不等式组整理后求出解集，根据有且只有三个偶数解确定出m 的范围，进而求出符合条件的所有m 的和即可．【详解】解：分式方程去分母得：()22()63mx x x +-=-，整理得：6(10)m x --=，分式方程无解的情况有两种，情况一：整式方程无解时，即10m -=时，方程无解，∴1m =；情况二：当整式方程有解，是分式方程的增根，即x =2或x =6，①当x =2时，代入6(10)m x --=，得：280m -=解得：得m =4．②当x =6时，代入6(10)m x --=，得：6120m -=，解得：得m=2．综合两种情况得，当m=4或m=2或1m=，分式方程无解；解不等式443(4)m yy y->⎧⎨-≤+⎩，得：48 y my<-⎧⎨≥-⎩根据题意该不等式有且只有三个偶数解，∴不等式组有且只有的三个偶数解为−8，−6，−4，∴−4<m−4≤−2，∴0<m≤2，综上所述当m=2或1m=时符合题目中所有要求，∴符合条件的整数m的乘积为2×1=2．故选B．【点睛】此题考查了分式方程的无解的问题，以及一元一次不等式组的偶数解，其中分式方程无解的情况有两种情况，一种是分式方程化成整式方程后整式方程无解，另一种是化成整式方程后有解，但是解为分式方程的增根，易错点是容易忽略某种情况；对于已知一元一次不等式组解，求参数的值，找到参数所表示的代数式的取值范围是解题关键．3、B【解析】【分析】先解不等式组，根据不等式组的有且仅有5个整数解确定a的范围，根据分式方程的解为整数，确定a的值，进而即可求解．【详解】解：324(2)63x x x a +<+⎧⎨-≤⎩①②解不等式①得：6x >- 解不等式②得：36a x +≤ ∵不等式组有且仅有5个整数解， ∴3106a +-≤< 解得93a -≤<-解3(12)2y a y -+=- 解得102a y +=， 1022a +≠且y 为整数，又93x -≤<- ∴a =−8,−48412--=-故选B【点睛】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，掌握解分式方程，解一元一次不等式组是解题的关键．4、C【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程的解为正整数求出a 的范围，再由不等式组的解集确定出a 的范围，进而求出a 的具体范围，确定出整数a 的值，求出之和即可．【详解】解：分式方程去分母得：3(5)2x a x -+=-， 解得：32a x +=， 由分式方程的解为正整数，得到30a +>，即3a >-，2x ≠， ∴232a +≠，1a ≠， 不等式2()641115x a x a x x +≤+-⎧⎪-⎨-<⎪⎩，整理得：636x a x ≤-⎧⎨<-⎩， 由不等式的解集为6x <-，得到636a -≥-，即4a ≤，a ∴的范围是34a -<≤，且1a ≠ a 是整数，a ∴的值为2-，1-，0， 2，3，4，把2a =-代入32a x +=，得：223x -+=，即12x =，不符合题意； 把1a =-代入32a x +=，得：123x -+=，即1x =，符合题意； 把0a =代入32a x +=，得：320x +=，即32x =，不符合题意； 把2a =代入32a x +=，得：322x +=，即52x =，不符合题意； 把3a =代入32a x +=，得：323x +=，即3x =，符合题意； 把4a =代入32a x +=，得：324x +=，即72x =，不符合题意； ∴符合条件的整数a 取值为1-，3，之和为2，故选：C ．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，以及解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5、D【解析】【分析】根据不等式的性质逐一进行判断即可得到答案．【详解】选项A ，在不等式x ＞y 两边都乘以-1，不等号的方向改变得＜x y --，故选项A 不正确； 选项B ，在不等式x ＞y 两边都乘上2，不等号的方向不变得22＞x y ，故选项B 不正确；选项C ，在不等式x ＞y 两边都除以6，不等号的方向不变得66＞x y ，故选项C 不正确； 选项D ，在不等式x ＞y 两边都加以4，不等号的方向不变得44x y +>+，故选项D 正确． 故选D ．【点睛】本题主要考查了不等式的相关知识质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．6、B【解析】【分析】先解关于x 的一元一次不等式组()23242741x m x x x -+⎧⎪⎨⎪++⎩，再根据其解集是32x ，得m 小于5；再解方程，根据其有非负整数解，得出m 的值，再求积即可． 【详解】解：由2324x m x -+，得：310x m ，由()2741x x ++，得：32x ， 不等式组的解集为32x ， ∴33102m ， 解得5m ；解关于y 的方程得：213m y -=， 方程的解为非负整数，210m ∴-=或3或6或9，解得0.5m =或2或3.5或5，所以符合条件的所有整数m 的和257+=，故选：B ．【点睛】此题考查了解一元一次不等式组及一元一次方程的解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．7、B【解析】略8、A【解析】【分析】根据不等式的性质求解即可．【详解】解：∵x y <，且()()33->-a x a y ，∴a -3<0，∴a <3，故选A ．【点睛】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．9、D【解析】【分析】将两个方程组相加得到：233+=-x y k ，再由330->k 即可求出1k >进而求解．【详解】解：由题意可知：233x y k x y +=⎧⎨-=-⎩①②， 将①+②得到：233+=-x y k ，∵20x y +>，∴330->k ，解得1k >，故选：D ．【点睛】本题考查二元一次方程组的解法及不等式的解法，解题关键是求出233+=-x y k ，进而求出k 的取值范围．10、A【解析】【分析】先解分式方程，根据分式方程有整数解求解a的值，再根据一元一次不等式组有解，求解a的取值范围，从而可得答案.【详解】解：3111axx x=---13,ax x12, a x关于x的分式方程3111axx x=---的解为整数，1,a∴≠则2,1xa11a∴-=±或12,a解得：2a=或0a=或3a=或1,a=-又10,x则1,x≠即21,1a3,a∴≠所以2a=或0a=或1,a=-()322242yyy y a①②+⎧≥+⎪⎨⎪+>+⎩由①得：2y≥由②得：42,y a关于y的不等式组()322242yyy y a+⎧≥+⎪⎨⎪+>+⎩有解，422,a1,a综上：0a=或1,a=-∴符合条件的所有整数a的和为 1.-故选A【点睛】本题考查的是分式方程的整数解，根据一元一次不等式组有解求解参数的取值范围，掌握“解分式方程及分式方程的整数解的含义，一元一次不等式组有解的含义”是解本题的关键.二、填空题1、5x−（20−x）＞90【解析】【分析】设小明答对x道题，则答错（20−x）道题，根据小明的得分＝5×答对的题目数−1×答错的题目数结合小明得分要超过90分，即可得出关于x的一元一次不等式．【详解】解：设小明答对x道题，则答错（20−x）道题，依题意，得： 5x−（20−x）＞90，故答案为：5x−（20−x）＞90．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．2、故答案为：【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的不等关系，并据此列出不等式．7．﹣2＜x ＜4【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，然后取交集，即可解题．【详解】解：解不等式5x ＜20，得：x ＜4，解不等式2x ﹣1＜3x +1，得：x ＞﹣2，则不等式组的解集为﹣2＜x ＜4，故答案为：﹣2＜x ＜4．【点睛】本题考察了解不等式组的知识，在取交集时牢记口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了来确定不等式组的解集．3、m ＜1【解析】【分析】根据不等式的基本性质，两边都除以1m -后得到2x <，可知10m -<，解之可得．【详解】解：22mx m x ->-，移项得，22mx x m ->-，∴()()121m x m ->-，∵不等式22mx m x ->-的解集为2x <，∴10m -<，即1m <，故答案为：1m <．【点睛】题目主要考查不等式的性质及解不等式，熟练掌握不等式的性质是解题关键．4、八##8【解析】【分析】设该商品打x 折销售，根据利润=售价-进价，结合要保持利润不低于20%，即可得出关于x 的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．【详解】解：设该商品打x 折销售， 依题意得：750×10x -500≥500×20%， 解得：x ≥8．故答案为：八．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．5、732a ≤<【解析】【分析】根据不等式组所有整数解之和为﹣5可知，比2小的连续整数之和为﹣5的情况为，10(1)(2)+(3)=5++-+---，最小整数为﹣3，故323a -≤-且324a ->-，解出解集即可．【详解】 解：不等式()12513x x +>+，解集为：2x <， 不等式()132x x a +≤+ ，的解集为：32a x -≤， ∵不等式组所有整数解之和为﹣5，10(1)(2)+(3)=5++-+---，∴ 323a -≤-且324a ->-，解得：3a ≥，72a <， 综上所述，732a ≤< ， 故答案为：732a ≤<． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组的解集，以及数形结合思想，能够熟练应用数形结合思想是解决本题的关键．三、解答题1、 (1)﹣11x + (2)﹣13【解析】【分析】（1）先将分式的分子分母分解因式，然后约分，再根据分式的减法计算即可；（2）根据x 为不等式a +1≥3的最小整数解，可以得到x 的值，然后代入（1）中的结果，即可得到A 的值．(1)A＝222111 x x x x x-+--+＝2(1)(1)(1)xx x-+-﹣1xx+＝11xx-+﹣1xx+＝11 x x x--+＝11x-+；(2)由不等式a+1≥3可得，a≥2，∵x为不等式a+1≥3的最小整数解，∴x＝2，由（1）知，A化简后的式子是﹣11x+，当x＝2时，原式＝﹣121+＝﹣13，即A的值是﹣13，【点睛】本题考查了分式的化简求值，求一元一次不等式的整数解，正确的计算是解题的关键．2、321x xx--，2-【解析】【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据x 是不等式组()213324x x x ⎧⎨≥⎩－＜＋＋的整数解，可以得到x 的整数值，再从x 的整数值中选取使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】 解：2(1)121x x x x x x --÷+++ 2(1)(1)(1)1x x x x x x-+-+=⋅+ 221(1)1x x x x x--+=⋅+ 2(1)(1)x x x x--+= 321x x x--=， 由不等式组()213324x x x ⎧⎨≥⎩－＜＋＋得，-1≤x <2， ∴x 的整数值为-1，0，1，∵x ≠0，x +1≠0，∴x ≠0，-1，∴x =1， ∴原式3121121-⨯-==-． 【点睛】本题考查了分式的化简求值、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．3、 (1)A 、B 两种品牌服装的进价分别为100元和75元；(2)最少购进A 品牌的服装16套【分析】（1）首先设B 品牌服装每套进价为x 元，则A 品牌服装每套进价为（x+25）元，根据关键语句“用2000元购进A 种服装数量是用750元购进B 种服装数量的2倍”列出方程，解方程即可；（2）首先设购进A 品牌的服装a 套，则购进B 品牌服装（2a +4）套，根据“可使总的获利超过1200元”可得不等式(130-100)a +（95-75)(2a +4）≥200，再解不等式即可．(1)设B 品牌服装每套进价为x 元种，则A 品牌服装每套进价为（x +25）元根据题意得：2000750225x x=⨯+， 解得：x =75经检验：x =75是原方程的解，x +25=100，答：A 、B 两种品牌服装的进价分别为100元和75元；(2)设购买A 种品牌服装a 件，则购买B 种品牌服装（2a +4）件，根据题意得：(130-100)a +(95-75)(2a +4)≥1200解得：a ≥16，∴a 取最小值是16，答：最少购进A 品牌的服装16套．【点睛】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，弄清题意，表示出A 、B 两种品牌服装每套进价，根据购进的服装的数量关系列出分式方程，求出进价是解决问题的关键．4、 (1)D 、E ；5(2)0.5(3)13d <<【分析】（1）根据“中位对称”的定义求出中点再去判断即可；（2）根据“中位对称”的定义求出中点再去判断即可；（3）分别表示出O B ''、表示的数，再分别求O B ''、与点A 关于线段O 'B '“中位对称”，对称时的d 值即可，需要注意向左或右两种情况．(1)点A 表示的数为﹣1，点B 表示的数为2，点C 、D 、E 表示的数分别为﹣3，1.5，4∴线段AC 的中点表示的数为-2，不在线段OB 上，不与点A 关于线段OB “中位对称”； 线段AD 的中点表示的数为0.25，在线段OB 上，D 与点A 关于线段OB “中位对称”； 线段AE 的中点表示的数为1.5，在线段OB 上，E 与点A 关于线段OB “中位对称”； ∴D 、E 与点A 关于线段OB “中位对称”；∵点F 表示的数为t∴线段AF 的中点表示的数为12t -+ ∴若点A 与点F 关于线段OB “中位对称”，∴点F 在线段OB 上，∴当AF 中点与B 重合时 t 最大，此时122t -+=，解得5t =，即t 的最大值是5 (2)∵点A 表示的数为﹣1，点B 表示的数为2∴线段AE 的中点表示的数为0.5，∵点A 与点B 关于线段OH “中位对称”，∴0.5在线段OH 上∴线段OH 的最小值是0.5(3)当向左平移时，O '表示的数是d -，B '表示的数是2d -线段AO '的中点表示的数为12d --,线段AB '的中点表示的数为12d -, 当O '与点A 关于线段O 'B '“中位对称”时，∴线段AO '的中点在O B ''上， ∴122d d d ---<<- ∴15d <<当B '与点A 关于线段O 'B '“中位对称”时，线段AB '的中点在O B ''上， ∴122d d d --<<- ∴13d -<<∵线段O 'B '上（除端点外）的所有点都与点A 关于线段O 'B '“中位对称”∴当向左平移时，13d <<同理，当向右平移时，d 不存在综上若线段O 'B '上（除端点外）的所有点都与点A 关于线段O 'B '“中位对称”13d <<【点睛】本题考查数轴上的动点问题，解题的关键是根据“中位对称”的定义进行解题，同时熟记数轴上中点公式也是解题的关键点．5、 (1)每副护肘的价格是20元，每副护膝的价格的价格是30元(2)方案1：购进护肘100副，护膝200副；方案2：购进护肘101副，护膝199副；方案3：购进护肘102副，护膝198副(3)最多可赠送护膝11副【解析】【分析】1）设每副护肘的价格是x元，则每副护膝的价格的价格是1.5x元，利用数量＝总价÷单价，结合用900元购进护膝的数量比用400元购进护肘的数量多10副，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可求出每副护肘的价格，再将其代入1.5x中即可求出每副护膝的价格；（2）设购进护肘m副，则购进护膝（300﹣m）副，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过8000元且购进护肘数量不多于102副，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购买方案；（3）利用总利润＝每副的销售利润×购进数量，即可求出选择各方案获得的销售总利润，比较后可得出最大利润，设可赠送护膝a副，护肘b副，利用总价＝单价×数量，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数可得出最多可赠送护膝11副．(1)解：设每副护肘的价格是x元，则每副护膝的价格的价格是1.5x元，依题意得：900400101.5x x-=，解得：x＝20，经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意，∴1.5x＝1.5×20＝30．答：每副护肘的价格是20元，每副护膝的价格的价格是30元．(2)解：设购进护肘m副，则购进护膝（300﹣m）副，依题意得：2030(300)8000102m mm+-≤⎧⎨≤⎩，解得：100≤m≤102．又∵m为正整数，∴m可以取100，101，102，∴共有3种购买方案，方案1：购进护肘100副，护膝200副；方案2：购进护肘101副，护膝199副；方案3：购进护肘102副，护膝198副．(3)解：方案1获得的利润为（20﹣15）×100+（30﹣20）×200＝2500（元）；方案2获得的利润为（20﹣15）×101+（30﹣20）×199＝2495（元）；方案3获得的利润为（20﹣15）×102+（30﹣20）×198＝2490（元）．∵2500＞2495＞2490，∴选择方案1获得的利润最大，最大利润为2500元．设可赠送护膝a副，护肘b副，依题意得：20a+15b＝2500×10%，化简得：a＝5034b-．又∵a，b均为正整数，∴112ab=⎧⎨=⎩或86ab=⎧⎨=⎩或510ab=⎧⎨=⎩或{a=2a=14，∴最多可赠送护膝11副．【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程．。
专题05 等腰、等边三角形压轴真题(解析版)-初中数学七年级上学期重难点题型分类高分必刷题(人教版)
专题05 高分必刷题-等腰三角形、等边三角形压轴题真题（解析版）题型一：等腰三角形、等边三角形中的动点问题1.如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12cm，BC＝10cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段AC上由点A向C点以4cm/s的速度运动．（1）若点P、Q两点分别从B、A两点同时出发，经过2秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；（2）若点P、Q两点分别从B、A两点同时出发，△CPQ的周长为16cm，设运动时间为t，问：是否存在某一时刻t，使得△CPQ是等腰三角形？如存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∠CMQ＝60°不变．∵等边三角形中，AB＝AC，∠B＝∠CAP＝60°，又由条件得AP＝BQ，∴△ABQ≌△CAP（SAS），∴∠BAQ＝∠ACP，∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM ＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°．（2）设时间为t，则AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t①当∠PQB＝90°时，∵∠B＝60°，∴PB＝2BQ，得4﹣t＝2t，t＝；②当∠BPQ＝90°时，∵∠B＝60°，∴BQ＝2BP，得t＝2（4﹣t），t＝；∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形．（3）∠CMQ＝120°不变．∵在等边三角形中，BC＝AC，∠B＝∠CAP＝60°∴∠PBC＝∠ACQ＝120°，又由条件得BP ＝CQ，∴△PBC≌△QCA（SAS）∴∠BPC＝∠MQC又∵∠PCB＝∠MCQ，∴∠CMQ＝∠PBC＝180°﹣60°＝120°2．如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）何时△PBQ是直角三角形？（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．【解答】解：（1）∠CMQ＝60°不变．∵等边三角形中，AB＝AC，∠B＝∠CAP＝60°，又由条件得AP＝BQ，∴△ABQ≌△CAP（SAS），∴∠BAQ＝∠ACP，∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°．（2）设时间为t，则AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t，①当∠PQB＝90°时，∵∠B＝60°，∴PB＝2BQ，得4﹣t＝2t，t＝；②当∠BPQ＝90°时，∵∠B＝60°，∴BQ＝2BP，得t＝2（4﹣t），t＝；∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形．（3）∠CMQ＝120°不变．∵在等边三角形中，BC＝AC，∠B＝∠CAP＝60°∴∠PBC＝∠ACQ＝120°，又由条件得BP＝CQ，∴△PBC≌△QCA（SAS）∴∠BPC＝∠MQC又∵∠PCB＝∠MCQ，∴∠CMQ＝∠PBC＝180°﹣60°＝120°3.已知，△ABC是边长3cm的等边三角形．动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB 向点B运动．（1）如图1，设点P的运动时间为t（s），那么t为何值时，△PBC是直角三角形；（2）若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D．如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．①如图2，设运动时间为t（s），那么t为何值时，△DCQ是等腰三角形？②如图3，连接PC，请你猜想：在点P、Q的运动过程中，△PCD和△QCD的面积有什么关系？并说明理由．【解答】解：（1）当△PBC是直角三角形时，∠B＝60°，∠BPC＝90°，所以BP＝1.5cm，所以t＝，（2）①∵∠DCQ＝120°，当△DCQ是等腰三角形时，CD＝CQ，∴∠PDA＝∠CDQ＝∠CQD＝30°，∵∠A＝60°，∴AD＝2AP，∴2t+t＝3，解得t＝1（s）；②相等，如图所示：作PE垂直AD，QG垂直AD延长线，则PE∥QG，∴∠G＝∠AEP，在△EAP和△GCQ，，∴△EAP≌△GCQ（AAS），∴PE＝QG，∴△PCD和△QCD同底等高，所以面积相等．4.如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于A（a，0）、B（0，b）两点，且a，b满足（a﹣b）2+|a﹣4t|＝0，且t＞0，t是常数．直线BD平分∠OBA，交x轴于D 点．（1）若AB的中点为M，连接OM交BD于N，求证：ON＝OD；（2）如图2，过点A作AE⊥BD，垂足为E，猜想AE与BD间的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，在x轴上有一个动点P（在A点的右侧），连接PB，并作等腰Rt△BPF，其中∠BPF＝90°，连接F A并延长交y轴于G点，当P点在运动时，OG的长是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度．【解答】（1）证明：∵直线AB分别交x轴、y轴于A（a，0）、B（0，b）两点，且a，b满足（a﹣b）2+|a﹣4t|＝0，且t＞0，∴a＝b＝4t，当x＝0时，y＝4t，当y＝0时，﹣x+4t＝0，解得x＝4t，∴点A、B的坐标是A（4t，0），B（0，4t），∴△AOB是等腰直角三角形，∵点M是AB 的中点，∴OM⊥AB，∴∠MOA＝45°，∵直线BD平分∠OBA，∴∠ABD＝∠ABO＝22.5°，∴∠OND＝∠BNM＝90°﹣∠ABD＝90°﹣22.5°＝67.5°，∠ODB＝∠ABD+∠BAD＝22.5°+45°＝67.5°，∴∠OND＝∠ODB，∴ON＝OD（等角对等边）；（2）答：BD＝2AE．理由如下：延长AE交BO于C，∵BD平分∠OBA，∴∠ABD＝∠CBD，∵AE⊥BD于点E，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，在△ABE≌△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（ASA），∴AE＝CE，∴AC＝2AE，∵AE⊥BD，∴∠OAC+∠ADE＝90°，又∠OBD+∠BDO＝90°，∠ADE＝∠BDO（对顶角相等），∴∠OAC＝∠OBD，在△OAC与△OBD中，，∴△OAC≌△OBD（ASA），∴BD＝AC，∴BD＝2AE；（3）OG的长不变，且OG＝4t．过F作FH⊥OP，垂足为H，∴∠FPH+∠PFH＝90°，∵∠BPF＝90°，∴∠BPO+∠FPH＝90°，∴∠FPH＝∠BPO，∵△BPF是等腰直角三角形，∴BP＝FP，在△OBP与△HPF中，，∴△OBP≌△HPF（AAS），∴FH＝OP，PH＝OB＝4t，∵AH＝PH+AP＝OB+AP，OA＝OB，∴AH＝OA+AP＝OP，∴FH＝AH，∴∠GAO ＝∠F AH＝45°，∴△AOG是等腰直角三角形，∴OG＝OA＝4t．5.如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，△OAB为等边三角形，P、Q分别为AO、AB边上的动点，点P、点Q同时从点A出发，且当其中一点停止运动时，另一点也立即停止运动；若P以2个单位长度每秒的速度从点A向终点O运动，点Q以3个单位长度每秒的速度从点A向终点B运动，设运动时间为t，已知点A坐标为（a，b），且满足（a﹣6）2+|a﹣b|＝0．（1）求A点坐标；（2）如图1，连接BP、OQ交于点C，请问当t为何值时，∠OCP＝60°；（3）如图2，D为OB边上的中点，P，Q在运动过程中，D，P，Q三点是否能构成使∠PDQ ＝120°的等腰三角形，若能，求运动时间t并直接写出四边形APDQ的面积：若不能，请说明理由．【解答】解：（1）∵（a﹣6）2+|a﹣b|＝0，又∵（a﹣6）2，≥0，|a﹣b|≥0，∴a＝6，b＝6∴点A（6，6）．（2）如图1中，∵△AOB是等边三角形，点A（6，6），∴AO＝BO＝AB＝12，∠AOB＝∠ABO＝60°＝∠A，∵∠OCP＝60°＝∠AOB，∴∠AOB＝∠QOB+∠AOQ＝∠QOB+∠PBO＝∠PCO，∴∠AOQ＝∠PBO，且AO＝BO，∠A＝∠AOB，∴△AOQ≌△OBP（ASA），∴OP＝AQ，∴12﹣2t＝3t∴t＝2.4∴当t＝2.4时，∠OCP＝60°．（3）如图2中，过点D作DF⊥AO，DE⊥AB，连接AD，∵△ABO是等边三角形，D是OB中点，点A（6，6），∴OD＝BD＝6，∠AOB＝∠ABO ＝60°，AD＝6，又∵∠DFO＝∠DEB＝90°，∴△ODF≌△BDE（AAS），∴OF＝BE，DF＝DE，∵AO＝AB，∴AO﹣OF＝AB﹣BE，∴AF＝AE，∵DF＝DE，PD＝DQ，∴Rt△DFP≌Rt△DEQ（HL），∴PF＝EQ，∵OD＝6，∠AOD＝60°，∠DFO＝90°，∴∠ODF＝30°∴OF＝3，DF＝OF＝3，∴AF＝AO﹣OF＝9＝AE，BE＝OF＝3，∵AP+AQ＝AP+AE+EQ＝AP+PF+AE＝AF+AE＝2AF，∴2t+3t＝18∴t＝3.6，∴当t＝，3.6时，D，P，Q三点是能构成使∠PDQ＝120°的等腰三角形，∵Rt△DFP≌Rt△DEQ，∴S△DFP＝S△DEQ，∴S四边形APDQ＝S四边形AFDQ＝S△AOB﹣2S△OFD＝×12×6﹣2××3×3＝27．6．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x 正半轴上．（1）如图，若∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，BD、CE是△ABC的两条角平分线，且BD、CE 交于点F，直接写出CF的长6．（2）如图，△ABD是等边三角形，以线段BC为边在第一象限内作等边△BCQ，连接QD并延长，交y轴于点P，当点C运动到什么位置时，满足PD＝DC？请求出点C的坐标；（3）如图，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值．【解答】解：（1）作∠DCH＝10°，CH交BD的延长线于H，∵∠BAO＝60°，∴∠ABO＝30°，∴AB＝2OA＝6，∵∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，∴∠ABC＝180°﹣60°﹣40°＝80°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠CBD＝40°，∴∠CBD＝∠DCB，∠OBD＝40°﹣30°＝10°，∴DB＝DC，在△OBD和△HCD中，，∴△OBD≌△HCD（ASA），∴OB＝HC，在△AOB和△FHC中，，∴△AOB≌△FHC（ASA），∴CF＝AB＝6，故答案为：6；（2）∵△ABD和△BCQ是等边三角形，∴∠ABD＝∠CBQ＝60°，∴∠ABC＝∠DBQ，在△CBA和△QBD中，，∴△CBA≌△QBD（SAS），∴∠BDQ＝∠BAC＝60°，∴∠PDO＝60°，∴PD＝2DO＝6，∵PD＝DC，∴DC＝9，即OC＝OD+CD＝12，∴点C的坐标为（12，0）；（3）如图3，以OA为对称轴作等边△ADE，连接EP，并延长EP交x轴于点F．由（2）得，△AEP≌△ADB，∴∠AEP＝∠ADB＝120°，∴∠OEF＝60°，∴OF＝OA＝3，∴点P在则OP的最小值为．直线EF上运动，当OP⊥EF时，OP最小，∴OP＝OF＝，7.等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点A、点B分别是y轴、x轴上两个动点，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E．（1）如图（1），已知C点的横坐标为﹣1，直接写出点A的坐标；（2）如图（2），当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB ＝∠CDE；（3）如图（3），若点A在x轴上，且A（﹣4，0），点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为直角边在第一、二象限作等腰直角△BOD和等腰直角△ABC，连接CD交y轴于点P，问当点B在y轴的正半轴上运动时，BP的长度是否变化？若变化请说明理由，若不变化，请求出BP的长度．【解答】解：（1）如图（1），过点C作CF⊥y轴于点F，∵CF⊥y轴于点F，∴∠CF A＝90°，∠ACF+∠CAF＝90°，∵∠CAB＝90°，∴∠CAF+∠BAO＝90°，∴∠ACF＝∠BAO，在△ACF 和△ABO中，，∴△ACF≌△ABO（AAS），∴CF＝OA＝1，∴A（0，1）；（2）如图2，过点C作CG⊥AC交y轴于点G，∵CG⊥AC，∴∠ACG＝90°，∠CAG+∠AGC＝90°，∵∠AOD＝90°，∴∠ADO+∠DAO＝90°，∴∠AGC＝∠ADO，在△ACG和△ABD中，，∴△ACG≌△ABD（AAS），∴CG＝AD＝CD，∠ADB＝∠G，∵∠ACB＝45°，∠ACG＝90°，∴∠DCE＝∠GCE＝45°，在△DCE和△GCE中，，∴△DCE≌△GCE（SAS），∴∠CDE＝∠G，∴∠ADB＝∠CDE；（3）BP的长度不变，理由如下：如图（3），过点C作CE⊥y轴于点E．∵∠ABC＝90°，∴∠CBE+∠ABO＝90°．∵∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠CBE＝∠BAO．∵∠CEB＝∠AOB＝90°，AB＝AC，∴△CBE≌△BAO（AAS），∴CE＝BO，BE＝AO＝4．∵BD＝BO，∴CE＝BD．∵∠CEP＝∠DBP＝90°，∠CPE＝∠DPB，∴△CPE≌△DPB（AAS），∴BP＝EP＝2．8．如图，在△ABC中．AB＝AC，点E在线段BC上，连接AE并延长到G，使得EG＝AE，过点G作GD∥BA分别交BC，AC于点F，D．（1）求证：△ABE≌△GFE；（2）若GD＝3，CD＝1，求AB的长度；（3）过点D作DH⊥BC于H，P是直线DH上的一个动点，连接AF，AP，FP，若∠C＝45°，在（2）的条件下，求△AFP周长的最小值．【解答】（1）证明：如图1中，∵GD∥AB，∴∠B＝∠EFG，在△ABE和△GFE中，，∴△ABE≌△GFE（AAS）．（2）解：如图1中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵DF∥AB，∴∠DFC＝∠B，∴∠DFC ＝∠DCF，∴DC＝DF＝1，∵DG＝3，∴FG＝DG﹣DF＝2，∵△ABE≌△GFE，∴AB＝GF＝2．（3）解：如图2中，∵AB＝AC＝2，∴∠B＝∠C＝45°，∴∠BAC＝90°，∵AB∥FD，∴∠FDC＝∠BAC＝90°，即FD⊥AC∵AC＝AB＝2，CD＝1，∴DA＝DC，∴F A＝FC，∴∠C＝∠F AC＝45°，∴∠AFC＝90°，∴DF＝DA＝DC＝1，∴AF＝，∵DH⊥CF，∴FH＝CH，∴点F与点C关于直线PD对称，∴当点P与D重合时，△P AF的周长最小，最小值＝△ADF的周长＝2+．9.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（0，3）与点B关于x轴对称，点C （n，0）为x轴的正半轴上一动点．以AC为边作等腰直角三角形ACD，∠ACD＝90°，点D在第一象限内．连接BD，交x轴于点F．（1）如果∠OAC＝38°，求∠DCF的度数；（2）用含n的式子表示点D的坐标；（3）在点C运动的过程中，判断OF的长是否发生变化？若不变求出其值，若变化请说明理由．【解答】解：（1）∵∠AOC＝90°，∴∠OAC+∠ACO＝90°，∵∠ACD＝90°，∴∠DCF+∠ACO＝90°，∴∠DCF＝∠OAC，∵∠OAC＝38°，∴∠DCF＝38°；（2）如图，过点D作DH⊥x轴于H，∴∠CHD＝90°∴∠AOC＝∠CHD＝90°，∵等腰直角三角形ACD，∠ACD＝90°∴AC＝CD，由（1）知，∠DCF＝∠OAC，∴△AOC≌△CHD （AAS），∴OC＝DH＝n，AO＝CH＝3，∴点D的坐标（n+3，n）；（3）不会变化，理由：∵点A（0，3）与点B关于x轴对称，∴AO＝BO，又∵OC⊥AB，∴x轴是AB垂直平分线，∴AC＝BC，∴∠BAC＝∠ABC，又∵AC＝CD，∴BC＝CD，∴∠CBD＝∠CDB，∵∠ACD＝90°，∴∠ACB+∠DCB＝270°，∴∠BAC+∠ABC+∠CBD+∠CDB＝90°，∴∠ABC+∠CBD＝45°，∵∠BOF＝90°，∴∠OFB＝45°，∴∠OBF＝∠OFB＝45°，∴OB＝OF＝3，∴OF的长不会变化．题型二：等腰三角形、等边三角形综合类压轴题10．（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．①∠AEB的度数为②猜想线段AD，BE之间的数量关系为：，并证明你的猜想．（2）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请求出∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系．【解答】解：（1）①∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB ＝∠DCE＝60°，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE，∴∠CEB＝∠CDA＝120°，∴∠AEB＝60°，故答案为：60°；②AD＝BE，证明：∵△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，故答案为：AD＝BE；（2）∠AEB＝90°，AE﹣BE＝2CM，证明：∵△DCE是等腰直角三角形，CM是中线，∴CM＝DM＝EM＝DE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE，∴∠CDA＝∠CEB，∵∠CDA＝135°，∴∠AEB＝135°﹣45°＝90°，∴BE＝AD，∴AE﹣AD＝DE＝2CM，∴AE﹣BE＝2CM．11.如图1，已知△ABC和△EFC都是等边三角形，且点E在线段AB上．（1）求证：BF∥AC；（2）过点E作EG∥BC交AC于点G，试判断△AEG的形状并说明理由；（3）如图2，若点D在射线CA上，且ED＝EC，求证：AB＝AD+BF．【解答】（1）证明：∵△ABC和△EFC都是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝∠ECF＝60°，AC＝BC，CE＝FC，∴∠ACE＝∠BCF，在△ACE与△FCB中，，∴△ACE≌△FCB（SAS），∴∠A＝∠CBF＝60°，∵∠ABC＝60°，∴∠A+∠ABC+∠CBF＝180°，∴∠A+∠ABF＝180°，∴AC∥BF；（2）解：△AEG是等边三角形，理由如下：如图1所示：∵△ABC是等边三角形，∴∠A ＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵EG∥BC，∴∠AEG＝∠ABC＝60°，∠AGE＝∠ACB＝60°，∴∠A＝∠AEG＝∠AGE＝60°，∴△AEG是等边三角形；（3）证明：如图2，过E作EM∥BC交AC于M，则∠AEM＝∠ABC＝60°，∠AME＝∠ACB ＝60°，∵∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠A＝∠AEM＝∠AME＝60°，∴△AEM是等边三角形，∴AE＝EM＝AM，∴∠DAE＝∠EMC＝120°，∵DE＝CE，∴∠D＝∠MCE，在△ADE和△MCE中，，∴△ADE≌△MCE（AAS），∴AD＝CM，∴AC＝AM+CM，由（1）得△ACE≌△FCB，∴BF＝AE，∴BF＝AM，∴AC＝BF+AD，∴AB＝AD+BF．12．已知：△ABC为等边三角形，点E为射线AC上一点，点D为射线CB上一点，AD＝DE．（1）如图1，当E在AC的延长线上且CE＝CD时，求证：BD＝CD；（2）如图2，当E在AC的延长线上时，AB+BD等于AE吗？请说明理由；（3）如图3，当D在线段CB的延长线上，E在线段AC上时，请直接写出AB、BD、AE 的数量关系，并证明．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠E，∵∠ACD＝∠CDE+∠E＝60°，∴∠E＝30°，∵DA＝DE，∴∠DAC＝∠E ＝30°，∵∠BAC＝60°，∴∠DAB＝∠CAD，∵AB＝AC，∴BD＝DC；（2）结论：AB+BD＝AE，理由如下：如图2，在AB上取BH＝BD，连接DH，∵BH＝BD，∠B＝60°，∴△BDH为等边三角形，AB﹣BH＝BC﹣BD，即AH＝DC，∴∠BHD＝60°，BD＝DH，∵AD＝DE，∴∠E＝∠CAD，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠ACB﹣∠E，即∠BAD＝∠CDE，∵∠BHD＝60°，∠ACB＝60°，∴180°﹣∠BHD＝180°﹣∠ACB，即∠AHD＝∠DCE，在△AHD和△DCE，，∴△AHD≌△DCE（AAS），∴DH＝CE，∴BD＝CE，∴AE＝AC+CE＝AB+BD；（3）AB＝BD+AE；如图3，在AB上取AF＝AE，连接DF，∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝60°，∴△AFE是等边三角形，∴∠F AE＝∠FEA＝∠AFE＝60°，∴EF∥BC，∴∠EDB＝∠DEF，∵AD＝DE，∴∠DEA＝∠DAE，∴∠DEF＝∠DAF，在△AFD和△EFD中，，∴△AFD≌△EFD（SSS），∴∠ADF＝∠EDF，∠DAF＝∠DEF，∴∠FDB＝∠EDF+∠EDB，∠DFB＝∠DAF+∠ADF，∵∠EDB＝∠DEF，∴∠FDB＝∠DFB，∴DB＝BF，∵AB＝AF+FB，∴AB＝BD+AE．13．已知△ABC为等边三角形，取△ABC的边AB，BC中点D，E，连接DE，如图1，易证△DBE为等边三角形，将△DBE绕点B顺时针旋转，设旋转的角度∠ABD＝α，其中0＜α＜180°．（1）如图2，当α＝30°，连接AD，CE，求证：AD＝CE；（2）在△DBE旋转过程中，当α超过一定角度时，如图3，连接AD，CE会交于一点，记交点为点F，AD交BC于点P，CE交BD于点Q，连接BF，请问BF是否会平分∠CBD？如果是，求出α，如果不是，请说明理由；（3）在第（2）问的条件下，试猜想线段AF，BF和CF之间的数量关系，并说明理由．【解答】证明：（1）∵△ABC，△DBE都是等边三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴AD＝CE；（2）不存在，理由如下：如图3，过点B作BN⊥AD于N，过点B作BH⊥CE于H，∵△ABC，△DBE都是等边三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABD ＝∠CBE，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴AD＝CE，S△ABD＝S△CBE，∠BAD＝∠BCE，∴×AD×BN＝×CE×BH，∴BN＝BH，又∵BF＝BF，∴Rt△BFN≌Rt△BFH（HL），∴∠AFB＝∠EFB，∵∠BAD＝∠BCE，∠CPF＝∠APB，∴∠AFC＝∠ABC＝60°，∴∠AFB ＝∠EFB＝60°，∴∠CFB＝∠DFB＝120°，当BF平分∠CBD时，则∠CBF＝∠DBF，∴∠BCF＝180°﹣∠CBF﹣∠CFB＝180°﹣∠DBF﹣∠DFB＝∠ADB，∴∠DAB＝∠ADB，∴AB ＝DB，与题干DB＝BC＝AB相矛盾，∴BF不会平分∠CBD；（3）AF＝CF+BF，理由如下：如图4，在AF上截取MF＝BF，连接BM，∵∠AFB＝60°，MF＝FB，∴△MFB是等边三角形，∴MB＝BF，∠MBF＝∠ABC＝60°，∴∠ABM＝∠CBF，在△ABM和△CBF中，，∴△ABM≌△CBF（SAS），∴AM＝CF，∵AF＝AM+MF，∴AF＝CF+BF．14．如图1，△ABC为等腰三角形，∠ABC＝90°，点P在线段BC上（不与B、C重合），以点A为直角顶点作等腰直角△P AQ，且点Q在AP的左下方，过点Q作QE⊥AB于点E．（1）求证：△P AB≌△AQE；（2）连接CQ交AB于M，若PC＝2PB，求的值．（3）如图2，过点Q作QF⊥AQ于AB的延长线于点F，过P点作DP⊥AP交AC于点D，连接DF，当点P在线段BC上运动时（不与B，C重合），式子的值会变化吗？若不变，求出该值；若变化，请说明理由．【解答】（1）证明：∵△ACB为等腰三角形，∠ABC＝90°，△P AQ是等腰直角三角形，QE⊥AB于E．∴AP＝AQ，∠ABP＝∠QEA＝90°，∠QAE+∠BAP＝∠BAP+∠APB＝90°，∴∠QAE＝∠APB，在△P AB和△AQE中，，∴△P AB≌△AQE（AAS）；（2）解：∵△P AB≌△AQE，∴AE＝PB，∵AB＝CB，∴QE＝CB．在△QEM和△CBM 中，，∴△QEM≌△CBM（AAS），∴ME＝MB，∵AB＝CB，AE＝PB，PC＝2PB，∴BE＝PC，∵PC＝2PB，∴PC＝2MB，∴＝2；（3）解：式子的值不会变化，理由如下：过A作HA⊥AC交QF于点H，如图2所示：∵QA⊥AP，HA⊥AC，AP⊥PD，⊥⊥QAH+⊥HAP＝⊥HAP+⊥P AD＝90°，⊥AQH＝⊥APD＝90°，⊥⊥QAH＝⊥P AD，⊥⊥P AQ为等腰直角三角形，⊥AQ＝AP，在⊥AQH和⊥APD中，，⊥⊥AQH⊥⊥APD（ASA），⊥AH＝AD，QH＝PD，⊥HA⊥AC，⊥BAC＝45°，⊥⊥HAF＝⊥DAF，在⊥AHF和⊥ADF中，，⊥⊥AHF⊥⊥ADF（SAS），⊥HF＝DF，⊥＝＝＝1．15．如图1，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，AB＝AC，⊥BAC＝90°，CM⊥y轴，交y轴于点M．（1）求证⊥ABO＝⊥CAM；（2）如图2，D，E为y轴上的两个点，BD＝BE，BD⊥BE，求⊥CEM的度数；（3）如图3，⊥P AQ是等腰直角三角形，⊥P AQ为顶角，点Q在x轴负半轴上，连接CB，交y轴于点H，AC与x轴交于点G，连接PC，交AQ于点K，交x轴于点N，若CN＝CM，NG＝3，HM＝2，求GH．【解答】（1）证明：⊥⊥BOA＝90°，⊥⊥BAO+⊥ABO＝90°，又⊥⊥BAC＝⊥BAO+⊥CAM＝90°，⊥⊥ABO＝⊥CAM；（2）解：⊥CM⊥y轴，⊥⊥AMC＝⊥BOA＝90°，⊥AB＝AC，⊥ABO＝⊥CAM，⊥⊥AMC⊥⊥BOA （AAS），⊥CM＝AO，AM＝BO，⊥BD＝BE，BD⊥BE，⊥⊥BDE是等腰直角三角形，⊥⊥BDE＝⊥BED ＝45°，⊥EBO＝⊥DBE＝45°，⊥⊥EBO＝⊥BEO，⊥BO＝EO＝AM，⊥EO﹣OM＝AM﹣OM，⊥EM＝AO＝CM，⊥⊥CME是等腰直角三角形，⊥⊥CEM＝45°；（3）解：⊥AB＝AC，⊥BAC＝90°，⊥⊥ACB＝45°，⊥⊥P AQ是等腰直角三角形，⊥P A＝QA，⊥P AQ＝⊥CAB＝90°，⊥⊥P AQ+⊥QAC＝⊥CAB+⊥QAC，即⊥P AC＝⊥QAB，⊥AC＝AB，⊥⊥P AC⊥⊥QAB（SAS），⊥⊥APC＝⊥AQB，⊥⊥AKP＝⊥QKN，⊥⊥QNK＝⊥P AK＝90°，⊥CM⊥y 轴，⊥CM⊥NO，⊥⊥NCM＝⊥KNO＝90°，在ON的延长线上截取NI＝MH，连接CI，如图3所示：⊥CN＝CM，⊥CNI＝⊥CMH＝90°，⊥⊥CNI⊥⊥CMH（SAS），⊥⊥NCI＝⊥MCH，CI＝CH，⊥⊥NCG+⊥NCI＝⊥NCG+⊥MCH＝⊥NCM﹣⊥GCH＝90°﹣45°＝45°＝⊥GCH＝⊥GCI，⊥⊥GCI⊥⊥GCH（SAS），⊥GI＝GH，⊥GI＝IN+NG＝HM+NG＝2+3＝5，⊥GH＝5．16．如图1，OA＝2，OB＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt⊥ABC，（1）求C点的坐标；（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，P A为腰作等腰Rt⊥APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值；（3）如图3，已知点F坐标为（﹣2，﹣2），当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作Rt⊥FGH，始终保持⊥GFH＝90°，FG与y轴负半轴交于点G（0，m），FH与x轴正半轴交于点H（n，0），当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，以下两个结论：⊥m﹣n为定值；⊥m+n为定值，其中只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．【解答】解：（1）过C作CM⊥x轴于M点，如图1，⊥CM⊥OA，AC⊥AB，⊥⊥MAC+⊥OAB ＝90°，⊥OAB+⊥OBA＝90°则⊥MAC＝⊥OBA在⊥MAC和⊥OBA中，则⊥MAC⊥⊥OBA（AAS），则CM＝OA＝2，MA＝OB＝4，则点C的坐标为（﹣6，﹣2）；（2）过D作DQ⊥OP于Q点，如图2，则OP﹣DE＝PQ，⊥APO+⊥QPD＝90°⊥APO+⊥OAP＝90°，则⊥QPD＝⊥OAP，在⊥AOP和⊥PDQ中，则⊥AOP⊥⊥PDQ（AAS），⊥OP﹣DE＝PQ＝OA＝2；（3）结论⊥是正确的，m+n＝﹣4，如图3，过点F分别作FS⊥x轴于S点，FT⊥y轴于T 点，则FS＝FT＝2，⊥FHS＝⊥HFT＝⊥FGT，在⊥FSH和⊥FTG中，则⊥FSH⊥⊥FTG（AAS），则GT＝HS，又⊥G（0，m），H（n，0），点F坐标为（﹣2，﹣2），⊥OT═OS＝2，OG＝|m|＝﹣m，OH＝n，⊥GT＝OG﹣OT＝﹣m﹣2，HS＝OH+OS＝n+2，则﹣2﹣m＝n+2，则m+n＝﹣4．17．如图，四边形OABC的位置在平面直角坐标系中如图所示，且A（0，a），B（b，a），C（b，0），又a，b满足﹣+b2+4b+8＝0，点P在x轴上且横坐标大于b，射线OD是第一象限的一条射线，点Q在射线OD上，BP＝PQ．并连接BQ交y轴于点M．（1）求点A，B，C的坐标为A、B、C．（2）当BP⊥PQ时，求⊥AOQ的度数．（3）在（2）的条件下，若点P在x轴的正半轴上，且OP＝3AM，试求点M的坐标．【解答】解：（1）⊥﹣+b2+4b+8＝0，⊥﹣+（b﹣4）2＝0，⊥a＝4，b＝4，⊥A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣4，0），故答案为（0，4），（﹣4，4），（﹣4，0）；（2）由（1）知，A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣4，0），⊥AB＝BC＝OC＝OA＝4，⊥四边形OABC是菱形，⊥⊥AOC＝90°，⊥菱形OABC是正方形，过点Q作QN⊥x轴于N，⊥⊥PNQ ＝90°，⊥⊥QPN+⊥PQN＝90°，⊥BP⊥BQ，⊥⊥BPQ＝90°，⊥⊥BPC+⊥QPN＝90°，⊥⊥PQN ＝⊥BPC，由（1）知，B（﹣4，4），C（﹣4，0），⊥BC＝4，BC⊥x，⊥⊥BCP＝⊥PNQ＝90°，在⊥BCP和⊥PNQ中，，⊥⊥BCP⊥⊥PNQ（AAS），⊥CP＝QN，BC＝PN，⊥OC＝PN＝4，⊥当点P在x轴负半轴时，如图1、OC＝CP+OP，PN＝OP+ON，⊥CP＝ON，⊥CP＝QN，⊥ON＝QN，⊥⊥PNQ＝90°，⊥⊥QON＝45°，⊥⊥AOQ＝45°，⊥当点P在x轴正半轴时，如图2、OC＝CP﹣OP，PN＝ON﹣OP，⊥CP＝ON，⊥CP＝QN，⊥ON＝QN，⊥⊥PNQ＝90°，⊥⊥QON＝45°，∴∠AOQ＝45°，即：∠AOQ＝45°；（3）如图2，过点Q作QN⊥x轴于N，设P（m，0）（m＞0），∵OP＝3AM，∴AM＝OP ＝m，∴M（0，m+4），∵点B（﹣4，4），∴直线BM的解析式为y＝mx+m+4，由（2）知，PN＝OC＝4，∴N（m+4，0），∴Q（m+4，m+4），∵点Q在直线BM上，∴m（m+4）+m+4＝m+4，∴m＝0（舍）或m＝4，∴M（0，）．。
(必考题)初中八年级数学下册第十九章《一次函数》经典习题(含答案解析)
一、选择题1．若一次函数y kx b =+（k b ，都是常数）的图象经过第一、二、四象限，则一次函数y bx k =+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．B解析：B【分析】根据一次函数y kx b =+图像在坐标平面的位置，可先确定,k b 的取值范围，在根据,k b 的取值范围确定一次函数y bx k =+图像在坐标平面的位置，即可求解．【详解】根据一次函数y kx b =+经过一、二、四象限，则函数值y 随x 的增大而减小，可得0k <；图像与y 轴的正半轴相交则0b >，因而一次函数y bx k =+的一次项系数0b >，y 随x 的增大而增大，经过一三象限，常数0k <，则函数与y 轴的负半轴，因而一定经过一、三、四象限，故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数的图像与系数的关系，解题关键是根据已知函数图像的位置确定,k b 的取值范围．2．已知点()1,4P 在直线2y kx k =-上，则k 的值为（ ）A ．43B ．43-C ．4D ．4-D解析：D【分析】根据一次函数图象上的点的坐标特征，将P （1，4）代入反比例函数的解析式2y kx k =-，然后解关于k 的方程即可．【详解】解：∵点P （1，4）在反比例函数2y kx k =-的图象上，∴4=k-2k ，解得，k=-4．故选：D ．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，图象上的点的坐标适合解析式是解题的关键． 3．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中．以(О为圆心，适当长为半径作圆弧，与x 轴交于点A ，与y 轴交于点,B 再分别以A B 、为圆心．大于12AB 长为半径作圆弧，两条圆弧在第四象限交于点C ．以下四组x 与y 的对应值中，能够使得点(),1P x y -在射线OC 上的是（ ）A ．2和1-B ．2和2-C ．2和2D ．2和3A解析：A【分析】 根据题意可得OC 的解析式为y=-x ，再由各选项的数字得到点P 的坐标，代入解析式即可得出结论．【详解】解：由作图可知，OC 为第四象限角的平分线，故可得直线OC 的解析式为y=-x ，A 、当x=2，y=-1时，P （2，-2），代入y=-x ，可知点P 在射线OC 上，故A 符合题意；B 、当x=2，y=-2时，P （2，-3），代入y=-x ，可知点P 不在射线OC 上，故B 不符合题意；C 、当x=2，y=2时，P （2，1），代入y=-x ，可知点P 不在射线OC 上，故C 不符合题意； D/当x=2，y=3时，P （2，2），代入y=-x ，可知点P 不在射线OC 上，故D 不符合题意； 故选：A ．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，正确的理解题意是解题的关键．4．将直线2y x =-向下平移后得到直线l ，若直线l 经过点(),a b ，且27a b +=-，则直线l 的解析式为（ ）A ．22y x =--B ．22y x =-+C ．27y x =--D ．27y x =-+C解析：C【分析】可设直线l 的解析式为y=-2x+c ，由题意可得关于a 、b 、c 的一个方程组，通过方程组消去a 、b 后可以得到c 的值，从而得到直线l 的解析式．【详解】解：设直线l 的解析式为y=-2x+c ，则由题意可得： 227a c b a b -+=⎧⎨+=-⎩①②， ①+②可得：b+c=b-7，∴c=-7，∴直线l 的解析式为y=-2x-7，故选C ．【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数的解析式，设定一次函数解析式后再由题意得到含有待定系数的方程或方程组并由方程或方程组得到待定系数的值是解题关键．5．如图，在平面直角坐标系中点A 的坐标为()0,6，点B 的坐标为3,52⎛⎫-⎪⎝⎭，将AOB 沿x 轴向左平移得到A O B '''，若点B '的坐标为19,52⎛⎫-⎪⎝⎭，点A '落在直线y kx =上，则k 的值为（ ）A ．43-B ．34-C ．34D ．611-B 解析：B【分析】确定向左平移的距离为319()822---=，确定点A '的坐标为（-8,6），将其代入y=kx中，得k=6(8)-=34-. 【详解】 ∵点B 的坐标为3,52⎛⎫-⎪⎝⎭，将AOB 沿x 轴向左平移得到A O B '''，且点B '的坐标为19,52⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴向左平移的距离为319()822---=， ∵点A 的坐标为()0,6，∴点A '的坐标为（-8,6），∵点A '落在直线y kx =，∴6= -8k ，解得k=34-， 故选：B. .【点睛】本题考查了平移的基本规律，正比例函数解析式的确定，熟记平移的规律是解题的关键. 6．已知直线()1:0l y kx b k =+≠与直线()2:30l y mx m =-<在第三象限交于点M ，若直线1l 与x 轴的交点为()10B ,，则k 的取值范围是（ ） A ．33k -<<B ．03k <<C ．04k <<D ．30k -<<B解析：B【分析】 由直线1l 与x 轴的交点为()10B ,可得直线1l 轴的表达式为y ＝kx−k ，则1l 与y 轴交点（0，−k ），再由直线()2:30l y mx m =-<在第三象限交于点M 得出（0，−k ）在原点和点（0，−3）之间，即可求解．【详解】解：∵直线()1:0l y kx b k =+≠与x 轴的交点为B （1，0），∴k ＋b ＝0，则b ＝−k ，∴y ＝kx−k ，直线()2:30l y mx m =-<与y 轴的交点坐标为（0，−3），则1l 与y 轴交点（0，−k ）在原点和点（0，−3）之间，即：−3＜−k ＜0，解得：0＜k ＜3，故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是掌握一次函数的图象与性质并能利用数形结合的思想确定1l 与y 轴交点位置．7．下列关于一次函数25y x =-+的说法，错误的是（ ）A ．函数图象与y 轴的交点()0,5B ．当x 值增大时，y 随着x 的增大而减小C ．当 5y >时，0x < D ．图象经过第一、二、三象限D 解析：D【分析】根据一次函数的性质，依次分析各个选项，选出错误的选项即可．【详解】A 选项：25y x =-+，当0x =时5y =，则一次函数与y 轴交于()0,5，A 正确，故不符合题意；B 选项：25y x =-+，斜率2k =-，则0k <，y 随x 增大而减小，B 正确，故不符合题意；C 选项：25y x =-+，5y >即255x -+>，解得0x <，C 正确，故不符合题意；D 选项：25y x =-+，与y 轴交于()0,5，与x 轴交于5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，则图象过一、二、四象限，D 错误，故符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查一次函数的性质，属于基础题，熟练掌握一次函数的性质是解决本题的关键． 8．函数2y x=+()P x,y 一定在第（ ）象限 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限B解析：B【分析】由二次根式和分式有意义的条件，得到0x <，然后判断得到0y >，即可得到答案．【详解】解：根据题意，则∵00x x -≥⎧⎪⎨-≠⎪⎩，解得：0x <， ∴20x >，10x >-， ∴210y x x=+>-， ∴点(,)P x y 一定在第二象限；故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，以及判断点所在的象限，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题．9．在某大国的技术封锁下，华为公司凭借自身强大的创造力和凝聚力，华为概念指数从年初至今涨幅连连翻倍，比如硕贝德股票涨幅接近200%（如图AB 段），小丽在图片中建立了坐标系，将AB 段看作一次函数y kx b =+图象的一部分，则k ，b 的取值范围是( )A ．0k >，0b <B ．0k >，0b >C ．0k <，0b <D ．0k <，0b >A解析：A【分析】 根据题意和题目中函数图象，可以延长，得到该函数图象经过的象限，从而可以得到k 、b 的正负情况，本题得以解决．【详解】解：由图象可得，该函数经过第一、三、四象限，0k ∴>，0b <，故选：A ．【点睛】本题考查了一次函数的应用，一次函数的图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合思想解答．10．已知，整数x 满足1266,1,24x y x y x -≤≤=+=-+，对任意一个x ，p 都取12,y y 中的大值，则p 的最小值是（ ）A ．4B ．1C ．2D ．-5C解析：C【分析】先画出两个函数的图象，然后联立解析式即可求出两个函数的交点坐标，然后根据图象对x 分类讨论，分别求出对应p 的取值范围，即可求出p 的最小值．【详解】 11y x =+，224y x =-+的图象如图所示联立124y x y x =+⎧⎨=-+⎩，解得：12x y =⎧⎨=⎩∴直线11y x =+与直线224y x =-+的交点坐标为（1,2），∵对任意一个x ，p 都取1,y 2y 中的较大值由图象可知：当61x -≤<时，1y ＜2y ，2y ＞2∴此时p=2y ＞2；当x=1时，1y =2y =2，∴此时p=1y =2y =2；当16x <≤时，1y ＞2y ，1y ＞2∴此时p=1y ＞2．综上所述：p≥2∴p 的最小值是2．故选：C ．【点睛】此题考查的是画一次函数的图象、求两个一次函数的交点坐标和比较函数值的大小，掌握一次函数的图象的画法、联立函数解析式求交点坐标、根据图象比较函数值大小是解决此题的关键．二、填空题11．如图，一次函数y ax b =+与y cx d =+的图象交于点P ．下列结论中，所有正确结论的序号是_________．①0b <；②0ac <；③当1x >时，ax b cx d +>+；④a b c d +=+；⑤c d >．②④⑤【分析】仔细观察图象：①根据一次函数y ＝ax ＋b 图象从左向右变化趋势及与y 轴交点即可判断ab 的正负；②根据一次函数y ＝cx ＋d 图象从左向右变化趋势及与y 轴交点可判断cd 的正负即可得出结论；③以解析：②④⑤【分析】仔细观察图象：①根据一次函数y ＝ax ＋b 图象从左向右变化趋势及与y 轴交点即可判断a 、b 的正负；②根据一次函数y ＝cx ＋d 图象从左向右变化趋势及与y 轴交点可判断c 、d 的正负，即可得出结论；③以两条直线的交点为分界，哪个函数图象在上面，则哪个函数值大；④由两个一次函数图象的交点坐标的横坐标为1可得出结论；⑤由一次函数y ＝cx ＋d 图象与x 轴的交点坐标为（d c -，0），可得d c-＞-1，解此不等式即可作出判断． 【详解】解：①由图象可得：一次函数y ＝ax ＋b 图象经过一、二、四象限，∴a ＜0，b ＞0，故①错误；②由图象可得：一次函数y ＝cx ＋d 图象经过一、二、三象限，∴c ＞0，d ＞0，∴ac ＜0，故②正确；③由图象可得：当x ＞1时，一次函数y ＝ax ＋b 图象在y ＝cx ＋d 的图象下方， ∴ax ＋b ＜cx ＋d ，故③错误；④∵一次函数y＝ax＋b与y＝cx＋d的图象的交点P的横坐标为1，∴a＋b＝c＋d，故④正确；⑤∵一次函数y＝cx＋d图象与x轴的交点坐标为（dc-，0），且dc-＞-1，c＞0，∴c＞d．故⑤正确．故答案为：②④⑤．【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数与一元一次不等式，掌握一次函数的图象与性质并利用数形结合的思想是解题的关键．12．某生物小组观察一植物生长，得到植物高度y（位：厘米）与观察时间x（单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（AC是线段，直线CD平行x轴）请你算一下，该植物的最大高度是________厘米．16【分析】根据平行线间的距离相等可知50天后植物的高度不变也就是停止长高设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0）然后利用待定系数法求出直线AC的解析式再把x=50代入进行计算即可得解【详解】设直解析：16【分析】根据平行线间的距离相等可知50天后植物的高度不变，也就是停止长高，设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），然后利用待定系数法求出直线AC的解析式，再把x=50代入进行计算即可得解．【详解】设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），∵经过点A（0，6），B（30，12），∴63012 bk b=⎧⎨+=⎩，解得156kb⎧=⎪⎨⎪=⎩．所以，直线AC的解析式为165y x=+（0≤x≤50），当x=50时，15065y =⨯+=16cm ． 答：该植物最高长16cm ．【点睛】 本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知自变量求函数值，仔细观察图象，准确获取信息是解题的关键．13．已知一次函数y kx b =+的图象与直线1y x =-+平行，且经过点(8,2)，那么b 的值是________．10【分析】根据两条直线平行比例系数k 相同求出k=-1把点代入即可求b 【详解】解：因为一次函数的图象与直线平行所以k=-1把点代入得解得b=10故答案为：10【点睛】本题考查了一次函数图象互相平行时解析：10【分析】根据两条直线平行，比例系数k 相同，求出k=-1，把点(8,2)代入即可求b ．【详解】解：因为一次函数y kx b =+的图象与直线1y x =-+平行，所以k=-1，把点(8,2)代入y x b =-+，得28b =-+，解得，b=10，故答案为：10．【点睛】本题考查了一次函数图象互相平行时，比例系数的关系和待定系数法求解析式，解题关键是知道两条直线平行时比例系数k 相同．14．在平面直角坐标系中，直线6y kx =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，若AOB 的面积为12，则k 的值为_________．或【分析】求出AB 点坐标在Rt △AOB 中利用面积构造方程即可解得k 值【详解】由直线与y 轴于B 则则∴直线与x 轴于A 令则∴∴∴∴∴解得：由k≠0符合题意则k 的值为或故答案为：或【点睛】本题主要考查了一次 解析：32-或32【分析】 求出A 、B 点坐标，在Rt △AOB 中，利用面积构造方程即可解得k 值．【详解】由直线6y kx =+与y 轴于B ，则0x =，则6y =，∴(0,6)B ，直线6y kx =+与x 轴于A ，令0y =，则60kx +=，6x k=-， ∴6,0A k ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴6OA k =-，6OB =， ∴1122AOB S OA OB =⋅=△， ∴64k -=， ∴64k-=±， 解得：132k =-，232k =， 由k≠0，符合题意， 则k 的值为32-或32． 故答案为：32-或32． 【点睛】本题主要考查了一次函数问题，掌握图象上点的坐标特征以及利用面积构造方程，会解方程是解题关键．15．已知y ＝kx+b ，当﹣1≤x≤4时，3≤y≤6，则k ，b 的值分别是_____．k=b=或k=b=【分析】分 k ＞0和 k ＜0两种情况结合一次函数的增减性可得到关于 k b 的方程组求解即可【详解】解：当 k ＞0时此函数是增函数∵当﹣1≤x≤4时3≤y≤6∴当x ＝﹣1时解析：k =35，b =185或k =35-，b=275． 【分析】分 k ＞0和 k ＜0两种情况，结合一次函数的增减性，可得到关于 k 、 b 的方程组，求解即可．【详解】解：当 k ＞0时，此函数是增函数，∵当﹣1≤x≤4时，3≤y≤6，∴当x ＝﹣1时，y ＝3；当x ＝4时，y ＝6，∴346k b k b -+=⎧⎨+=⎩ ，解得35185k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩； 当k ＜0时，此函数是减函数，∵当﹣1≤x≤4时，3≤y≤6，∴当x ＝﹣1时，y ＝6；当x ＝4时，y ＝3，∴643k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得35275k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故答案为：k =35，b =185或k =35-，b=275． 【点睛】本题考查一次函数知识，涉及一次函数的增减性以及求一次函数解析式，属于基础题，熟练掌握一次函数的增减性以及解析式的求法是解决此题的关键．16．已知直线y ＝x+b 和y ＝ax ﹣3交于点P （2，1），则关于x 的方程x+b ＝ax ﹣3的解为________．x ＝2【分析】交点坐标同时满足两个函数的解析式而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成因此两函数的交点坐标即为方程组的解【详解】∵直线y ＝x+b 和y ＝ax ﹣3交于点P （21）∴当x ＝2时x+b ＝解析：x ＝2【分析】交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解．【详解】∵直线y ＝x+b 和y ＝ax ﹣3交于点P （2，1），∴当x ＝2时，x+b ＝ax ﹣3＝1，∴关于x 的方程x+b ＝ax ﹣3的解为x ＝2．故答案为：x ＝2．【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：熟练掌握交点坐标同时满足两个函数的解析式是解题关键．17．一次函数2y x b =+的图象过点()0,2，将函数2y x b =+的图象向下平移5个单位长度，所得图象的函数表达式为______．【分析】根据待定系数法求得b 然后根据函数图象平移的法则上加下减就可以求出平移以后函数的解析式【详解】解：∵一次函数y=2x+b 的图象过点（02）∴b=2∴一次函数为y=2x+2将函数y=2x+2的图解析：23y x =-【分析】根据待定系数法求得b，然后根据函数图象平移的法则“上加下减”，就可以求出平移以后函数的解析式．【详解】解：∵一次函数y=2x+b的图象过点（0，2），∴b=2，∴一次函数为y=2x+2，将函数y=2x+2的图象向下平移5个单位长度，所得函数的解析式为y=2x+2-5，即y=2x-3．故答案为：y=2x-3．【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，利用函数图象平移的规律是解题关键，注意求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变．18．已知一次函数y＝2x+b的图象经过点A（2，y1）和B（﹣1，y2），则y1_____y2（填“＞”、“＜”或“＝”）．＞【分析】由k＝2＞0利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大结合2＞﹣1即可得出y1＞y2【详解】解：∵k＝2＞0∴y随x的增大而增大又∵2＞﹣1∴y1＞y2故答案为：＞【点睛】本题考查一次函数解析：＞【分析】由k＝2＞0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大，结合2＞﹣1即可得出y1＞y2．【详解】解：∵k＝2＞0，∴y随x的增大而增大，又∵2＞﹣1，∴y1＞y2．故答案为：＞．【点睛】本题考查一次函数的增减性，根据比例系数k的正负，判断y随x的变化规律是解题关键．，且y随x的增大而减小，则这个一次函数的解19．已知一个一次函数的图象过点(1,2)析式为__________．（只要写出一个）y=-x+1(答案不唯一)【分析】设一次函数的解析式为y=kx+b根据一次函数的性质得k＜0取k=-1然后把（-12）代入y=-x+b 可求出b【详解】解：设一次函数的解析式为y=kx+b∵y随x的增解析：y=-x+1．(答案不唯一)【分析】设一次函数的解析式为y=kx+b，根据一次函数的性质得k＜0，取k=-1，然后把（-1，2）代入y=-x+b可求出b．【详解】解：设一次函数的解析式为y=kx+b，∵y随x的增大而减小，∴k可取-1，把（-1，2）代入y=-x+b得1+b=2，解得b=1，∴满足条件的解析式可为y=-x+1．故答案为y=-x+1．(答案不唯一)【点睛】本题考查了一次函数y=kx+b的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．20．平面直角坐标系中，点A坐标为()，将点A沿x轴向左平移a个单位后恰好落在正比例函数y=-的图象上，则a的值为__________．【分析】根据点的平移规律可得平移后点的坐标是(2-a3)代入计算即可【详解】解：∵A坐标为(23)∴将点A沿x轴向左平移a个单位后得到的点的坐标是(2-a3)∵恰好落在正比例函数的图象上∴解得：a=【分析】根据点的平移规律可得平移后点的坐标是，3)，代入y=-计算即可．【详解】解：∵A坐标为3)，∴将点A沿x轴向左平移a个单位后得到的点的坐标是-a，3)，∵恰好落在正比例函数y=-的图象上，∴)3-=，a解得：．【点睛】此题主要考查了正比例函数图象上点的坐标特点，以及点的平移规律，关键是要懂得左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．．三、解答题21．设一次函数y1＝kx﹣2k（k是常数，且k≠0）．（1）若函数y1的图象经过点(﹣1，5)，求函数y1的表达式．（2）已知点P(x1，m)和Q(﹣3，n)在函数y1的图象上，若m＞n，求x1的取值范围．（3）若一次函数y2＝ax+b（a≠0）的图象与y1的图象始终经过同一定点，探究实数a，b满足的关系式．解析：（1）151033y x =-+；（2）当k ＜0时，x 1＜﹣3；当k ＞0时，x 1＞﹣3；（3）2a +b ＝0．【分析】（1）将点（﹣1，5）代入y 1＝kx ﹣2k ，求得k 值，即可得出函数解析式；（2）根据一次函数的性质，由k 值判断函数自变量的大小，即可得出结论；（3）根据一次函数y 1＝kx ﹣2k 得y 1＝k （x ﹣2），可得函数图象经过的定点为（2，0），再将定点坐标代入y 2＝ax+b 即可求出实数a ，b 满足的关系式．【详解】解：（1）∵函数y 1的图象经过点（﹣1，5），∴5＝﹣k ﹣2k ，解得k ＝53-， 函数y 1的表达式151033y x =-+； （2）当k ＜0时，若m ＞n ，则x 1＜﹣3；当k ＞0时，若m ＞n ，则x 1＞﹣3；（3）∵y 1＝kx ﹣2k ＝k （x ﹣2），∴函数y 1的图象经过定点（2，0），当y 2＝ax +b 经过（2，0）时，0＝2a +b ，即2a +b ＝0．【点睛】本题考查了一次函数图象与性质，掌握一次函数的图象与性质并能准确理解题意进行解答是解题的关键．22．如图，顶点M 在y 轴上的抛物线2=y ax c +与直线1y x =+相交于,A B 两点，且点A 在x 轴上，点B 的横坐标为2，连接,AM BM ，（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）判断ABM ⊿的形状，并说明理由；（3）若将（1）中的抛物线沿y 轴上下平移，则如何平移才能使平移后的抛物线过点(2,3)--？解析：（1）21y x =-；（2）△ABM 为直角三角形，见解析；（3）向下平移6个单位过点（-2，-3）【分析】（1）将y=0，x=2，分别代入直线解析式求出x 、y 的值，即求得点A 、B 的坐标，再利用待定系数法即可求解抛物线解析式；（2）令x=0，代入抛物线解析式求得M 坐标，利用两点间的距离公式求得AB 、AM 、BM ，再利用勾股定理的逆定理即可判定△ABM 为直角三角形；（3）设抛物线2=1y x -平移后的解析式为y=x 2-1+m ，将点（-2，-3）代入上式，得到关于m 的方程，解方程即可得出结论．【详解】（1）当y=0时，有x+1=0，则x=-1．∴A （-1，0），当x=2时，y=2+1=3，∴B （2，3），将A ，B 两点代入2=y ax c +中，得0=34a c a c +⎧⎨=+⎩，解得=11a c ⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的解析式为2=1y x -．（2）三角形ABM 为直角三角形，理由如下：在抛物线中，当x=0时，y=-1，∴M （0，-1），又∵A （-1，0），B （2，3）， ∴=32AB ，=2AM =25BM ，又∵22220AM AB BM +==，∴三角形ABM 为直角三角形．（3）设抛物线2=1y x -沿y 轴平移后的解析式为2=1y x m -+，将点（-2，-3）代入上式，得m=-6，则向下平移6个单位过点（-2，-3）．【点睛】本题考查待定系数法求解析式，一次函数图象上的坐标特征、两点间的距离公式及勾股定理的逆定理，解题的关键是（1）求出A 、B 的坐标，（2）求出求得AB 、AM 、BM 的长，（3）正确写出平移后的抛物线解析式，难度适中．23．甲、乙两人计划8：00一起从学校出发，乘坐班车去博物馆参观，乙乘坐班车准时出发，但甲临时有事没赶上班车，8：45甲沿相同的路线自行驾车前往，结果比乙早1小时到达．甲、乙两人离学校的距离y （千米）与甲出发时间x （小时）的函数关系如图所示．（1）求甲、乙两人的速度．（2）求OC 和BD 的函数关系式．（3）求学校和博物馆之间的距离．解析：（1）甲、乙的速度分别是80千米/小时，40千米/小时；（2）OC 的函数关系式为：80y x =，BD 的函数关系式为：4030y x =+；（3）140千米．【分析】（1）根据函数图像，甲0.75小时行驶60千米，计算得出甲的速度；结合题意，乙行驶60千米时，所用总时间为：(0.750.75)+小时，计算得出乙的速度．（2）观察函数图像，根据A 点坐标，计算得出OC 的函数解析式；根据题意得出A 、B 两点的坐标，用待定系数法求出BD 的函数解析式．（3）设甲行驶时间为x 小时，根据甲乙两人行驶路程相等，列出一元一次方程，计算得出行驶时间，根据“路程＝速度×时间”计算得出学校和博物馆之间的距离．【详解】解：（1）甲的速度：600.7580÷=（千米/小时），从8：00到8：45经过0.75小时，乙的速度为：60(0.750.75)40÷+=（千米/小时），甲、乙的速度分别是80千米/小时，40千米/小时．（2）∵根据题意得：A 点坐标为(0.75,60)，当乙运动了45分钟后即0.75小时，距离学校：400.7530⨯=（千米），∴B 点坐标为(0,30)．∵设直线OC 的函数关系式为1y k x =，将点A 代入得：1600.75k =，解得：180k =，∴直线OC 的函数关系式为80y x =，∵设BD 的函数关系式为2y k x b =+，将A 、B 两点的坐标值代入得：220.7560030k b k b +=⎧⎨⨯+=⎩，解得：24030k b =⎧⎨=⎩， ∴直线BD 的函数关系式为：4030y x =+．（3）∵设甲的行驶时间为x 小时，则乙所用的时间为：0.751 1.75x x ++=+（小时），列方程为：()8040 1.75x x =+ 解得：74x =， 7801404⨯=（千米）． ∴学校和博物馆之间的距离是140千米．【点睛】本题考查一次函数的实际应用，从函数图像中获取相关信息是解题关键．24．如图，A ，B ，C 为三个超市，在A 通往C 的道路（粗实线部分）上有一D 点，D 与B 有道路（细实线部分）相通，A 与D ，D 与C ，D 与B 之间的路程分别为25km ，10km ，5km ，现计划在A 通往C 的道路上建一个配货中心H ，每天有一辆货车只为这三个超市送货，该货车每天从H 出发，单独为A 送货1次，为B 送货1次，为C 送货2次，货车每次仅能给一家超市送货，每次送货后均返回配货中心H ，设H 到A 的路程为km x ，这辆货车每天行驶的路程为km y ．（1）用含的代数式填空：当025x ≤≤时：货车从H 到A 往返1次的路程为2km x ，①货车从H 到B 往返1次的路程为_______km ．②货车从H 到C 往返2次的路程为_______km ，当2535x <≤时，这辆货车每天行驶的路程y =__________．（2）求y 与x 之间的关系式；（3）配货中心H 建在哪段，这辆货车每天行驶的路程最短？最短路程是多少？（直接写出结果，不必写出解答过程）解析：（1）①602x -；②1404x -；100；（2）2004(025)100(2535)x x y x -≤≤⎧=⎨<≤⎩；（3）建在CD 段，100km ．【分析】（1）根据当0≤x ≤25时，结合图象分别得出货车从H 到A ，B ，C 的距离，进而得出y 与x 的函数关系，再利用当25＜x ≤35时，分别得出从H 到A ，B ，C 的距离，即可得出y ＝100；（2）利用（1）的结论可得y 与x 的函数关系；（3）根据一次函数的性质解答即可．【详解】解：（1）①如图1，当025x ≤≤时，货车从H 到A 往返1次路程为22km AH S x =货车从H 到B 往返1次的路程为：()22(255)HD DB S S x +=-+2(30)x =-602x =-；②货车从H 到C 往返2次的路程为：()44(2510)DH CD S S x +=-+4(35)x =-1404x =-，如图2，25DH S x =-，25,10(25)35DH CH S x S x x =-=--=-，∴2535x <≤时，货车从H 到A 往返1次路程为：2x ，货车从H 到B 往返1次的路程为：2(525)240x x +-=-，货车从H 到C 往返2次的路程为：4(35)1404x x -=-，∴这辆货车每天行驶的路程为：22401404100km y x x x =+-+-=．（2）由（1）可得：025x ≤≤时，26021404y x x x =+-+-2004x =-，2535x <≤时，100y =，∴2004(025)100(2535)x x y x -≤≤⎧=⎨<≤⎩． （3）由②得，025x ≤≤时，4200y x =-+，2535x <≤时，100y =，如图所示，由图象可知，配货中心建在CD 段时，这辆货车每天行驶的路程最短为100km ．【点睛】此题主要考查了一次函数的应用，利用已知分别表示出从P 到A ，B ，C ，D 距离是解题关键．25．地表以下岩层的温度()y ℃随着所处深度() km x 的变化而变化，在某个地点y 与x 之间满足如下关系： 深度() km x1 2 3 4 温度()y ℃ 55 90 125 160 y x （2）当8x =时，求出相应的y 值．（3）若岩层的温度是510℃，求相应的深度是多少？解析：（1）3520y x =+；（2）300；（3）相应的深度是14km ．【分析】（1）根据图表可知，深度每增加1km ，温度增加35℃，据此直接直接写出y 与x 之间的关系式即可；（2）根据（1）所得关系式，令x=8，求得y 的值即可；（3）根据（1）所得关系式，令y=510，求得x 的值即可．【详解】（1）由图表可知，深度每增加1km ，温度增加35℃，5535(1)y x ∴=+-553535x =+-3520x =+，即y 与x 之间的关系式为：3520y x =+；（2）由3520y x =+令8x =时，则35820300y =⨯+=；（3）由3520y x =+令510y =时，则3520510x +=，解得14x =故相应的深度是14km ．【点睛】本题主要考查一次函数的应用，明确题意、正确列出函数解析式成为解答本题的关键． 26．小东从A 地出发以某一速度向B 地走去，同时小明从B 地出发以另一速度向A 地走去，1y ，2y 分别表示小东、小明离B 地的距离()y km 与所用时间()x h 的关系，如图所示，根据图象提供的信息，回答下列问题：（1）试用文字说明交点P 所表示的实际意义；（2）求1y 与x 的函数关系式；（3）求小明到达A 地所需的时间．解析：（1）交点P 表示小东和小明出发2.5小时在距离B 地7.5km 处相遇；（2）1520y x =-+；（3）263h 【分析】（1）根据相遇问题的等量关系结合函数图象的表示的量，可知点P 横纵坐标表示两人相遇时的时间和两人离B 地的距离；（2）代入两个已知点坐标列出方程组，用待定系数法求出解析式即可；（3）根据时间等于路程除以速度，用小明走的路程除以小明走的速度即可得到结果．【详解】解：（1）交点P 表示小东和小明出发2.5小时在距离B 地7.5km 处相遇．（2）设1y 与x 的函数关系式为1y kx b =+（k ，b 为常数，且0k ≠），因为函数图象经过点()020，，()40，，所以20b =，①40k b +=，②解得5k =- 所以1y 与x 的函数关系式为1520y x =-+．（3）小明的速度为()7.5 2.53/km h ÷=，小明到达A 地所需的时间为()220363h ÷=． 【点睛】本题考查一次函数的应用、待定系数法求解析式和读懂函数图象的能力，熟练运用相遇问题的数量关系解决相关问题是解题的关键．27．某水果生产基地销售苹果，提供以下两种购买方式供客户选择:方式1：若客户缴纳1200元会费加盟为生产基地合作单位，则苹果成交价为3元/千克． 方式2：若客户购买数量达到或超过1500千克，则成交价为3.5元/千克；若客户购买数量不足1500千克，则成交价为4元/千克．设客户购买苹果数量为x (千克)，所需费用为y (元)﹒（1）若客户按方式1购买，请写出y (元)与x (千克）之间的函数表达式．(备注：按方式1购买苹果所需费用=生产基地合作单位会费+苹果成交总价)（2）如果购买数量超过1500千克，请说明客户选择哪种购买方式更省钱．解析：（1）12003y x =+；（2）当15002400x <<时，选择方案二省钱；当 2400x =时，两种方案费用一样；当2400x >时，选择方案一省钱．【分析】（1）根据题意即可得出y （元）与x （千克）之间的函数表达式；（2）设方式2购买时所需费用记作y 2元，求出y 2与x （千克）之间的函数表达式，结合（1）的结论解答即可；【详解】解：（1）根据题意得：12003y x =+．（2）方案一:112003y x =+，方案二:2 3.5y x =，当12y y >，12003 3.5,x x +>2400,x <当12,12003 3.5y y x x =+=，2400,x =当12,12003 3.5y y x x <+>2400,x >∴当15002400x <<时，选择方案二省钱；当2400x =时，两种方案费用一样；当2400x >时，选择方案一省钱．【点睛】此题主要考查一次函数的应用；得到两种方案总付费的等量关系是解决本题的关键． 28．已知一次函数3y kx =-的图象经过点()2,1A ．。
(带解析)人教版初中数学勾股定理必练题总结
(每日一练)(带解析)人教版初中数学勾股定理必练题总结单选题1、已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c．试判断△ABC 的形状（）A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形2、如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S1､S2､S3；如图2，分别以直角三角形三边长为半径向外作半圆，面积分别为S4､S5､S6．其中S1=16,S2=45,S5=11,S6=14，则S3+S4=（）A．86B．64C．54D．483、在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（）A．5B．6C．7D．84、如图，已知ABCD是长方形纸片，CD=3，在CD上存在一点E，沿直线AE将△AED折叠，D恰好落在BC 边上的点F处，且S△AFB=6，则△AED的面积是（）．A ．253B ．256C ．43D ．235、如图，长方体的底面边长分别为2cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈达到点B ，那么所用细线最短需要（ ）A ．11cmB ．2√34cmC ．（8+2√10）cmD ．（7+3√5）cm6、如图，在△ABC 中，AB ＝2，∠ABC ＝60°，∠ACB ＝45°，D 是BC 的中点，直线l 经过点D ，AE ⊥l ，BF ⊥l ，垂足分别为E ，F ，则AE +BF 的最大值为（ ）A ．√6B ．2√2C ．2√3D ．3√27、如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要多少米?（ ）A ．4B ．8C ．9D ．78、如图，P，Q分别是BC，AC上的点，过点P作PR⊥AB于点R，作PS⊥AC于点S，若AQ=PQ，PR=PS，则下面三个结论：①AS=AR；②QP//AR；③△BRP≅△CSP，正确的是（）A．①③B．②③C．①②D．①②③填空题9、如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为__________．10、如图，在△ABC中，已知AB=AC=4，BC=6，P是BC边上的一动点（P不与点B，C重合），连接AP，∠B=∠APE，边PE与AC交于点D，当△APD为等腰三角形时，PB的长为____.11、如图，某农舍的大门是一个木制的长方形栅栏，它的高为2m，宽为1.5m，现需要在相对的顶点间用一块木板加固，则木板的长为________．12、（2011贵州安顺，16，4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是．13、公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形面积是49，直角三角形中较小锐角θ的正切为5，那么12大正方形的面积是_____．解答题14、如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽40cm，长50cm，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是多少？15、如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1.线段AB，AE分别是图中两个1×3的长方形的对角线，请你说明：AB⊥AE.(带解析)人教版初中数学勾股定理_019参考答案1、答案：A解析：已知的式子变形，出现三个非负数的平方和等于0的形式，求出a、b、c，再验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．解：a2+b2-c2+338=10a+24b+26c，a2-10a+25+b2-24b+144-c2-26c+169=0，原式可化为（a-5）2+（b-12）2-（c-13）2=0，即a=5，b=12，c=13（a，b，c都是正的），而52+122=132符合勾股定理的逆定理，故该三角形是直角三角形．故选A.小提示：本题考查因式分解的应用，解题关键是勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．2、答案：C解析：分别用AB、BC和AC表示出S1、S2、S3，然后根据AB2=AC2+BC2即可得出S1、S2、S3的关系．同理，得出S4、S5、S6的关系，即可得到结果．解：如图1，过点E作AB的垂线，垂足为D，∵△ABE是等边三角形，∴∠AED=∠BED=30°，设AB=x ，∴AD=BD=12AB=12x ， ∴DE=√AE 2−AD 2=√32x ，∴S 2=12×x ×√32x =√34AB 2， 同理：S 1=√34AC 2，S 3=√34BC 2，∵BC 2=AB 2-AC 2， ∴S 3=S 2-S 1，如图2，S 4=12×(12AB)2π=π8AB 2，同理S 5=π8AC 2，S 6=π8BC 2， 则S 4=S 5+S 6，∴S 3+S 4=45-16+11+14=54．小提示：本题考查了勾股定理、等边三角形的性质．勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．3、答案：A解析：直接根据勾股定理求解即可．解：∵在直角三角形中，勾为3，股为4，∴弦为√32+42=5，故选A．小提示：本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．4、答案：B解析：根据面积求出BF、AF、CF，设DE为x，列方程求出即可．解：ABCD是长方形纸片，∴AB=CD=3，∵S△AFB=1AB⋅BF，2∴6=1×3⋅BF，2∴BF=4，∴AF=√AB2+BF2=5，∴AF=AD=BC=5，CF=1，设DE为x，EF=DE=x，EC=3-x，x2=(3-x)2+1，解得，x= 53，∴SΔAED=12AD⋅ED=12×5×53=256，故选：B．小提示：本题考查了勾股定理与翻折，解题关键是恰当的设未知数，根据勾股定理列方程．5、答案：B解析：要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．解：将长方体展开,连接AB′，则AB′最短.∵AA′=3+2+3+2=10cm，A′B′=6 cm，∴AB′=√102+62=2√34cm.故选B..6、答案：A解析：把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，在Rt△AHB中，∵∠ABC＝60°，AB＝2，∴BH＝1，AH＝√3，在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，∴AC＝√AH2+CH2=√(√3)2+(√3)2=√6，∵点D为BC中点，∴BD＝CD，在△BFD与△CKD中，{∠BFD=∠CKD=90°∠BDF=∠CDKBD=CD，∴△BFD≌△CKD（AAS），∴BF＝CK，延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，在Rt△ACN中，AN＜AC，当直线l⊥AC时，最大值为√6，综上所述，AE+BF的最大值为√6．故选：A．小提示：本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关键．7、答案：D解析：先求出楼梯的水平宽度，根据题意可知，地毯的长度为楼梯的水平宽度和垂直高度的和.解：楼梯的水平宽度=√52−32=4，∵地毯的长度为楼梯的水平宽度和垂直高度的和，∴地毯的长度至少为：3+4=7米，故选D.小提示：本题考查勾股定理，用平移的思想将不规则图形的计算转化为规则图形的计算是解决本题的关键.8、答案：C解析：根据角平分线的判定，先证AP是∠BAC的平分线，再证ΔAPR≅ΔAPS(HL)，可证得AS=AR，QP//AR成立．解：如图示，连接AP，∵PR=PS，∴AP是∠BAC的平分线，∴ΔAPR≅ΔAPS(HL)∴AS=AR，①正确．∵AQ=PQ∴∠BAP=∠QAP=∠QPA∴QP//AR，②正确．BC只是过点P，并没有固定，明显ΔBRP≅ΔCSP③不成立．故选：C．小提示：本题主要考查三角形全等的判定方法，以及角平分线的判定和平行线的判定，熟悉相关性质是解题的关键．9、答案：√192解析：连接DE，根据题意可得ΔDEG是直角三角形，然后根据勾股定理即可求解DG的长．解：连接DE，∵D 、E 分别是AB 、BC 的中点，∴DE ∥AC ，DE=12AC ．∵ΔABC 是等边三角形，且BC=4，∴∠DEB=60°，DE=2．∵EF ⊥AC ，∠C=60°，EC=2，∴∠FEC=30°，EF=√3．∴∠DEG=180°-60°-30°=90°．∵G 是EF 的中点，∴EG=√32．在RtΔDEG 中，DG=√DE 2+EG 2=√22+(√32)2=√192． 故答案为√192． 小提示：本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线性质定理，记住和熟练运用性质是解题的关键．10、答案：2或103解析：分三种情况进行讨论：①当AP=PD时，易得△ABP≌△PCD．②当AD=PD时，根据等腰三角形的性质，勾股定理以及三角形的面积公式求得答案．③当AD=AP时，点P与点B重合．∵AB=AC=4，∴∠B=∠C∵∠B=∠APE，∠APC=∠B+∠BAP=∠APE+∠CPE∴∠BAP=∠CPE①当AP=PD时，△ABP≌△PCD，则PC=AB=4，故PB=2．②当AD=PD时，∴∠PAD=∠APD．∵∠B=∠APD=∠C，∴∠PAD=∠C，∴PA=PC．如图，过P作PH⊥AC于H，过A作AG⊥BC于G，∴CG=3，∴AG=√AC2−CG2=√42−32=√7，∴CH=2．设PC=x，∴SΔAPC=12AG⋅PC=12AC⋅PH，∴√7x=4PH，∴PH=√74x．∵PC2=PH2+CH2，∴x2=(√74x)2+4，解得x =83（负值舍去）， ∴PC =83，∴PB =103．③当AD =AP 时，点P 与点B 重合，不合题意．综上所述，PB 的长为2或103. 小提示：此题考查了勾股定理、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．11、答案：2.5m解析：设木棒的长为xm ，根据勾股定理可得：x 2=22+1.52，解得x=2.5．故木棒的长为2.5m ．故答案为2.5m ．12、答案：6cm 2解析：先根据勾股定理得到AB=10cm ，再根据折叠的性质得到DC=DC′，BC=BC′=6cm ，则AC′=4cm ，设DC=xcm ，在Rt △ADC′中根据勾股定理列方程求得x 的值，然后根据三角形的面积公式计算即可．∵∠C=90°，BC=6cm ，AC=8cm ，∴AB=10cm ，∵将△BCD 沿BD 折叠，使点C 落在AB 边的C′点，∴△BCD ≌△BC′D ，∴∠C=∠BC′D=90°，DC=DC′，BC=BC′=6cm ，∴AC′=AB -BC′=4cm ，设DC=xcm ，则AD=（8-x ）cm ，在Rt △ADC′中，AD 2=AC′2+C′D 2，即（8-x ）2=x 2+42，解得x=3，∵∠AC′D=90°，∴△ADC′的面积═12×AC′×C′D=12×4×3=6（cm 2）． 考点：折叠的性质，勾股定理点评：折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点的连线段被折痕垂直平分．13、答案：169．解析：由题意知小正方形的边长为7．设直角三角形中较小边长为a ，较长的边为b ，运用正切函数定义求解． 解：由题意知，小正方形的边长为7，设直角三角形中较小边长为a ，较长的边为b ，则tanθ＝短边：长边＝a ：b ＝5：12．所以b ＝125a ，① 又以为b ＝a +7，②联立①②，得a ＝5，b ＝12．所以大正方形的面积是：a 2+b 2＝25+144＝169．故答案是：169．小提示：本题主要考查了解直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积，掌握解直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积是解题的关键.14、答案：130cm解析：先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．解：如图所示，∵它的每一级的长宽高为20cm，宽40cm，长50cm，∴AB=√502+[2(20+40)]2=130cm，答：蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程是130cm．小提示：本题考查的是平面展开－最短路线问题，根据题意画出台阶的平面展开图是解答本题的关键．15、答案：△ABE是直角三角形，且∠BAE=90°，即AB⊥AE解析：由勾股定理分别求得AE、AB、BE的值，再证明AE2+AB2=BE2，即可证明AB⊥EA．如图，连接BE.因为AE2=12＋32=10，AB2=12＋32=10，BE2=22＋42=20，所以AE2＋AB2=BE2，所以△ABE是直角三角形，且∠BAE=90°，即AB⊥AE.小提示：本题考查在网格中运用勾股定理及其逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．。
初中数学《相似三角形》压轴30题含解析
相似三角形(压轴必刷30题专项训练)一．填空题(共9小题)1(2020秋•虹口区校级月考)一张等腰三角形纸片，底边长为15cm ，底边上的高长22.5cm ．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm 的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是第6张．【分析】设第x 张为正方形，如图，△ADE ∽△ABC ，则DE BC =AM AN，从而计算出x 的值即可．【解答】解：如图，设第x 张为正方形，则DE =3(cm )，AM =(22.5-3x )(cm )，∵△ADE ∽△ABC ，∴DE BC =AM AN ，即315=22.5-3x 22.5，解得x =6．故答案为：6．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质以及正方形的性质，注：相似三角形的对应边之比等于对应边上的高之比．2(2019秋•浦东新区校级月考)如图，在平行四边形ABCD 中，E 是边BC 上的点，AE 交BD 于点F ，如果BE BC=23，那么BF FD =23．【分析】由平行四边形的性质可证△BEF ∽△DAF ，再根据相似三角形的性质得BE ：DA =BF ：DF 即可解．【解答】解：ABCD 是平行四边形，∴BC ∥AD ，BC =AD∴△BEF ∽△DAF∴BE ：DA =BF ：DF∵BC =AD∴BF ：DF =BE ：BC =2：3．【点评】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定定理和性质．3(2017秋•虹口区校级月考)如图，直角三角形ABC 中，∠ACB =90°，AB =10，BC =6，在线段AB上取一点D ，作DF ⊥AB 交AC 于点F ，现将△ADF 沿DF 折叠，使点A 落在线段DB 上，对应点记为A 1；AD 的中点E 的对应点记为E 1，若△E 1FA 1∽△E 1BF ，则AD =165．【分析】利用勾股定理列式求出AC ，设AD =2x ，得到AE =DE =DE 1=A 1E 1=x ，然后求出BE 1，再利用相似三角形对应边成比例列式求出DF ，然后利用勾股定理列式求出E 1F ，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解得到x 的值，从而可得AD 的值．【解答】解：∵∠ACB =90°，AB =10，BC =6，∴AC =AB 2-BC 2=102-62=8，设AD =2x ，∵点E 为AD 的中点，将△ADF 沿DF 折叠，点A 对应点记为A 1，点E 的对应点为E 1，∴AE =DE =DE 1=A 1E 1=x ，∵DF ⊥AB ，∠ACB =90°，∠A =∠A ，∴△ABC ∽△AFD ，∴AD AC =DF BC ，即2x 8=DF 6，解得DF =32x ，在Rt △DE 1F 中，E 1F =DF 2+DE 12=3x 22+x 2=13x 2，又∵BE 1=AB -AE 1=10-3x ，△E 1FA 1∽△E 1BF ，∴E 1F A 1E 1=BE 1E 1F ，∴E 1F 2=A 1E 1•BE 1，即(13x 2)2=x (10-3x )，解得x =85，∴AD 的长为2×85=165．故答案为：165．【点评】本题考查了相似三角形的性质，主要利用了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形对应边成比例，综合题，熟记性质并准确识图是解题的关键．4(2021秋•普陀区校级月考)如图，在△ABC 中，4AB =5AC ，AD 为△ABC 的角平分线，点E 在BC 的延长线上，EF ⊥AD 于点F ，点G 在AF 上，FG =FD ，连接EG 交AC 于点H ．若点H 是AC 的中点，则AG FD的值为43．【分析】解题关键是作出辅助线，如解答图所示：第1步：利用角平分线的性质，得到BD =54CD ；第2步：延长AC ，构造一对全等三角形△ABD ≌△AMD ；第3步：过点M 作MN ∥AD ，构造平行四边形DMNG ．由MD =BD =KD =54CD ，得到等腰△DMK ；然后利用角之间关系证明DM ∥GN ，从而推出四边形DMNG 为平行四边形；第4步：由MN ∥AD ，列出比例式，求出AG FD的值．【解答】解：已知AD 为角平分线，则点D 到AB 、AC 的距离相等，设为h ．∵BD CD =S △ABD S △ACD =12AB ⋅h 12AC ⋅h =AB AC =54，∴BD =54CD ．如图，延长AC ，在AC 的延长线上截取AM =AB ，则有AC =4CM ．连接DM ．在△ABD 与△AMD 中，AB =AM ∠BAD =∠MAD AD =AD ∴△ABD ≌△AMD (SAS )，∴MD =BD =54CD ．过点M 作MN ∥AD ，交EG 于点N ，交DE 于点K ．∵MN ∥AD ，∴CK CD =CM AC =14，∴CK =14CD ，∴KD =54CD ．∴MD =KD ，即△DMK 为等腰三角形，∴∠DMK =∠DKM ．由题意，易知△EDG 为等腰三角形，且∠1=∠2；∵MN ∥AD ，∴∠3=∠4=∠1=∠2，又∵∠DKM =∠3(对顶角)∴∠DMK =∠1，∴DM ∥GN ，∴四边形DMNG 为平行四边形，∴MN =DG =2FD ．∵点H 为AC 中点，AC =4CM ，∴AH MH=23．∵MN ∥AD ，∴AG MN =AH MH ，即AG 2FD =23，∴AG FD =43．故答案为：43．方法二：如图，有已知易证△DFE ≌△GFE ，故∠5=∠B +∠1=∠4=∠2+∠3，又∠1=∠2，所以∠3=∠B ，则可证△AGH ∽△ADB设AB =5a ，则AC =4a ，AH =2a ，所以AG /AD =AH /AB =2/5，而AD =AG +GD ，故GD /AD =3/5，所以AG ：GD =2：3，F 是GD 的中点，所以AG ：FD =4：3．【点评】本题是几何综合题，难度较大，正确作出辅助线是解题关键．在解题过程中，需要综合利用各种几何知识，例如相似、全等、平行四边形、等腰三角形、角平分线性质等，对考生能力要求较高．5(2022秋•普陀区校级月考)如图，点A 1，A 2，A 3，A 4在射线OA 上，点B 1，B 2，B 3在射线OB 上，且A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，A 2B 1∥A 3B 2∥A 4B 3．若△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为10.5．【分析】已知△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3的面积分别为1，4，且两三角形相似，因此可得出A 2B 2：A 3B 3=1：2，由于△A 2B 2A 3与△B 2A 3B 3是等高不等底的三角形，所以面积之比即为底边之比，因此这两个三角形的面积比为1：2，根据△A 3B 2B 3的面积为4，可求出△A 2B 2A 3的面积，同理可求出△A 3B 3A 4和△A 1B 1A 2的面积．即可求出阴影部分的面积．【解答】解：△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3的面积分别为1，4，又∵A 2B 2∥A 3B 3，A 2B 1∥A 3B 2，∴∠OB 2A 2=∠OB 3A 3，∠A 2B 1B 2=∠A 3B 2B 3，∴△B 1B 2A 2∽△B 2B 3A 3，∴B 1B 2B 2B 3=12=A 2B 2A 3B 3，∴A 2A 3A 3A 4=12．∵S △A 2B 2A 3S △B 2A 3B3=12，△A 3B 2B 3的面积是4，∴△A 2B 2A 3的面积为=12×S △A 2B 2B 3=12×4=2(等高的三角形的面积的比等于底边的比)．同理可得：△A 3B 3A 4的面积=2×S △A 3B 2B 3=2×4=8；△A 1B 1A 2的面积=12S △A 2B 1B 2=12×1=0.5．∴三个阴影面积之和=0.5+2+8=10.5．故答案为：10.5．【点评】本题的关键是利用平行线证明三角形相似，再根据已给的面积，求出相似比，从而求阴影部分的面积．6(2017秋•徐汇区校级月考)设△ABC 的面积为1，如图①，将边BC 、AC 分别2等分，BE 1、AD 1相交于点O ，△AOB 的面积记为S 1；如图②将边BC 、AC 分别3等分，BE 1、AD 1相交于点O ，△AOB 的面积记为S 2；⋯，依此类推，则S n 可表示为 12n +1 ．(用含n 的代数式表示，其中n 为正整数)【分析】连接D 1E 1，设AD 1、BE 1交于点M ，先求出S △ABE 1=1n +1，再根据AB D 1E 1=BM ME 1=n +1n 得出S △ABM ：S △ABE 1=(n +1)：(2n +1)，最后根据S △ABM ：1n +1=(n +1)：(2n +1)，即可求出S n ．【解答】解：如图，连接D 1E 1，设AD 1、BE 1交于点M ，∵AE1：AC =1：(n +1)，∴S △ABE 1：S △ABC =1：(n +1)，∴S △ABE 1=1n +1，∵AB D 1E 1=BM ME 1=n +1n ，∴BM BE 1=n +12n +1，∴S △ABM ：S △ABE 1=(n +1)：(2n +1)，∴S △ABM ：1n +1=(n +1)：(2n +1)，∴S n =12n +1．故答案为：12n +1．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、三角形的面积，关键是根据题意作出辅助线，得出相似三角形．7(2018秋•南岗区校级月考)已知菱形ABCD 的边长是6，点E 在直线AD 上，DE =3，连接BE 与对角线AC 相交于点M ，则MC AM的值是 2或23 ．【分析】由菱形的性质易证两三角形相似，但是由于点E 的位置未定，需分类讨论．【解答】解：分两种情况：(1)点E 在线段AD 上时，△AEM ∽△CBM ，∴MC AM =BC AE=2；(2)点E在线段AD的延长线上时，△AME∽△CMB，∴MCAM =BCAE=23．【点评】本题考查了相似三角形的性质以及分类讨论的数学思想；其中由相似三角形的性质得出比例式是解题关键．注意：求相似比不仅要认准对应边，还需注意两个三角形的先后次序．8(2020秋•虹口区校级月考)如图，在△ABC中，∠ACB的内、外角平分线分别交BA及其延长线于点D、E，BC=2.5AC，则ABAD+ABAE=5．【分析】根据CD平分∠ACB，可得ABDA=BCAC，根据CE平分∠ACB的外角，可得DEAE=BCAC，进而可得结果．【解答】解：∵CD平分∠ACB，∴AB DA =BC AC，∴BD+DADA =BC+ACAC，∴AB DA =BC+ACAC，①∵CE平分∠ACB的外角，∴DE AE =BC AC，∴BE-AEAE =BC-ACAC，∴AB AE =BC-ACAC，②①+②得，AB AD +ABAE=BC+ACAC+BC-ACAC=2BCAC=2×2.5=5．故答案为：5．【点评】主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用相似三角形的性质来分析、判断、推理或解答．9(2022秋•黄浦区校级月考)如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点P在BA的延长线上，PA=1 4AB，点D在BC边上，PD=PC，则CDBC的值是 34 ．【分析】过点P 作PE ∥AC 交DC 延长线于点E ，根据等腰三角形判定与性质，平行线的性质可证PB =PE ，再证△PCE ≌△PDB ，可得BD =CE ，再利用平行线分线段成比例的PA AB=CE BC ，结合线段的等量关系以及比例的性质即可得出结论．【解答】解：如图，过点P 作PE ∥AC 交DC 延长线于点E ，∵AB =AC ，∴∠B =∠ACB ，∵AC ∥PE ，∴∠ACB =∠E ，∴∠B =∠E ，∴PB =PE ，∵PC =PD ，∴∠PDC =∠PCD ，∴∠BPD =∠EPC ，∴在△PCE 和△PDB 中，PC =PD ∠BPD =∠EPC PB =PE，∴△PCE ≌△PDB (SAS )，∴BD =CE ，∵AC ∥PE ，∴PA AB =CE BC ，∵PA =14AB ，∴CE BC =14，∴BD BC =14，∴CD BC =34．故答案为：34．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，以及全等三角形的判定，解决问题的关键是正确作出辅助线，列出比例式．二．解答题(共21小题)10(2017秋•虹口区校级月考)在△ABC 中，∠CAB =90°，AD ⊥BC 于点D ，点E 为AB 的中点，EC 与AD交于点G ，点F 在BC 上．(1)如图1，AC ：AB =1：2，EF ⊥CB ，求证：EF =CD ．(2)如图2，AC ：AB =1：，EF ⊥CE ，求EF ：EG 的值．【分析】(1)根据同角的余角相等得出∠CAD =∠B ，根据AC ：AB =1：2及点E 为AB 的中点，得出AC =BE ，再利用AAS 证明△ACD ≌△BEF ，即可得出EF =CD ；(2)作EH ⊥AD 于H ，EQ ⊥BC 于Q ，先证明四边形EQDH 是矩形，得出∠QEH =90°，则∠FEQ =∠GEH ，再由两角对应相等的两三角形相似证明△EFQ ∽△EGH ，得出EF ：EG =EQ ：EH ，然后在△BEQ 中，根据正弦函数的定义得出EQ =12BE ，在△AEH 中，根据余弦函数的定义得出EH =32AE ，又BE =AE ，进而求出EF ：EG 的值．【解答】(1)证明：如图1，在△ABC 中，∵∠CAB =90°，AD ⊥BC 于点D ，∴∠CAD =∠B =90°-∠ACB ．∵AC ：AB =1：2，∴AB =2AC ，∵点E 为AB 的中点，∴AB =2BE ，∴AC =BE ．在△ACD 与△BEF 中，∠CAD =∠B ∠ADC =∠BFE =90°AC =BE，∴△ACD ≌△BEF ，∴CD =EF ，即EF =CD ；(2)解：如图2，作EH ⊥AD 于H ，EQ ⊥BC 于Q ，∵EH ⊥AD ，EQ ⊥BC ，AD ⊥BC ，∴四边形EQDH 是矩形，∴∠QEH =90°，∴∠FEQ =∠GEH =90°-∠QEG ，又∵∠EQF =∠EHG =90°，∴△EFQ ∽△EGH ，∴EF ：EG =EQ ：EH ．∵AC ：AB =1：3，∠CAB =90°，∴∠B =30°．在△BEQ 中，∵∠BQE =90°，∴sin B =EQ BE =12，∴EQ =12BE ．在△AEH中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°，∴cos∠AEH=EHAE =32，∴EH=32AE．∵点E为AB的中点，∴BE=AE，∴EF：EG=EQ：EH=12BE：32AE=1：3=3：3=33．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质，解直角三角形，综合性较强，有一定难度．解题的关键是作辅助线，构造相似三角形，并且证明四边形EQDH是矩形．11(2021秋•杨浦区校级月考)如图，已知在菱形ABCD，点E是AB的中点，AF⊥BC于点F，连接EF、ED、DF，DE交AF于点G，且DE⊥EF．(1)求证：AE2=EG•ED；(2)求证：BC2=2DF•BF．【分析】(1)根据直角三角形的性质得到AE=FE，根据菱形的性质得到AD∥BC，求得∠DAG=∠AFB =90°，然后证明△AEG∽△DEA，即可得到结论；(2)由AE=EF，AE2=EG•ED，得到FE2=EG•ED，推出△FEG∽△DEF，根据相似三角形的性质得到∠EFG=∠EDF，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】证明：(1)∵AF⊥BC于点F，∴∠AFB=90°，∵点E是AB的中点，∴AE=FE，∴∠EAF=∠AFE，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠DAG=∠AFB=90°，∵DE⊥EF，∴∠FEG=90°，∴∠DAG=∠FEG，∵∠AGD=∠FGE，∴∠EFG=∠ADG，∴∠EAG=∠ADG，∵∠AEG=∠DEA，∴△AEG∽△DEA，∴AE DE =EG AE，∴AE2=EG•ED；(2)∵AE=EF，AE2=EG•ED，∴FE2=EG•ED，∴EF DE =EGEF，∵∠FEG=∠DEF，∴△FEG∽△DEF，∴∠EFG=∠EDF，∴∠BAF=∠EDF，∵∠DEF=∠AFB=90°，∴△ABF∽△DFE，∴AB DF =BF EF，∵四边形ACBD是菱形，∴AB=BC，∵∠AFB=90°，∵点E是AB的中点，∴FE=12AB=12BC，∴BC DF =BF12BC，∴BC2=2DF•BF．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．12(2021秋•杨浦区校级月考)如图，已知在平行四边形ABCD中，AE：ED=1：2，点F为DC的中点，连接BE、AF，BE与AF交于点H．(1)求EH：BH的值；(2)若△AEH的面积为1，求平行四边形ABCD的面积．【分析】(1)延长AF，BC交于点G，证明△ADF≌△GCF(AAS)，可得AD=CG=BC，所以BG=2BC，根据AE：ED=1：2，可得AE：AD=1：3，AE：BG=1：6，，证明△AEH∽△GBH，即可解决问题；(2)在△AEH中，设AE=x，AE边上的高为h，△BGH中，BG边上的高为h′，可得平行四边形ABCD的高为h+h′，BC=3x，根据△AEH的面积为1，可得x•h=2，所以h′=6h，进而可以求平行四边形ABCD 的面积．【解答】解：(1)如图，延长AF，BC交于点G，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD =BC ，∴∠D =∠DCG ，∠DAF =∠G ，∵点F 为DC 的中点，∴DF =CF ，在△ADF 和△GCF 中，∠D =∠FCG ∠DAF =∠G DF =CF，∴△ADF ≌△GCF (AAS )，∴AD =CG ，∴AD =CG =BC ，∴BG =2BC ，∵AE ：ED =1：2，∴AE ：AD =1：3，∴AE ：BG =1：6，∵AD ∥BC ，∴△AEH ∽△GBH ，∴EH ：BH =AE ：BG =1：6；(2)在△AEH 中，设AE =x ，AE 边上的高为h ，△BGH 中，BG 边上的高为h ′，∴平行四边形ABCD 的高为h +h ′，BC =3x ，∵△AEH 的面积为1，∴12x •h =1，∴x •h =2∵△AEH ∽△GBH ，∴h ：h ′=1：6，∴h ′=6h ，∴h +h ′=7h ，∴平行四边形ABCD 的面积=BC •(h +h ′)=3x •7h =21xh =42．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平行线分线段成比例等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．13(2021春•徐汇区校级月考)如图，在菱形ABCD 中，点E 在对角线AC 上，点F 在BC 的延长线上，EF =EB ，EF 与CD 相交于点G ；(1)求证：EG •GF=CG •GD ；(2)联结DF ，如果EF ⊥CD ，那么∠FDC 与∠ADC 之间有怎样的数量关系？证明你的结论．【分析】(1)先证明△BCE ≌△DCE ，得∠EDC =∠EBC ；利用此条件再证明∠DGE ∽△FGC ，即可得到EG •GF =CG •GD．(2)利用第(1)题的结论，可证明△DGE ∽△FGC ，再利用三角形内角外角关系，即可得到∠ADC 与∠FDC 的关系．【解答】解：(1)证明：∵点E 在菱形ABCD 的对角线AC 上，∴∠ECB =∠ECD ，∵BC =CD ，CE =CE ，∴△BCE ≌△DCE ，∴∠EDC =∠EBC ，∵EB =EF ，∴∠EBC =∠EFC ；∴∠EDC =∠EFC ；∵∠DGE =∠FGC ，∴△DGE ∽△FGC ；∴EGCG =GD FG∴EG •GF =CG •GD ；(2)∠ADC =2∠FDC ．证明：∵EG CG =GD FG ，∴EG DG =CG FG，又∵∠DGF =∠EGC ，∴△CGE ∽△FGD ，∵EF ⊥CD ，DA =DC ，∴∠DAC =∠DCA =∠DFG =90°-∠FDC ，∴∠ADC =180°-2∠DAC =180°-2(90°-∠FDC )=2∠FDC ．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、菱形的性质等知识点的综合应用，解题时注意：相似三角形的对应角相等，对应边成比例．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．14(2021秋•宝山区校级月考)如图，四边形DEFG 是△ABC 的内接正方形，AB =BC =6cm ，∠B =45°，则正方形DEFG 的面积为多少？【分析】过A 作AH ⊥BC 于H ，交GF 于M ，于是得到△ABH 是等腰直角三角形，求得AH =BH =2222AB =32cm ，由△AGF ∽△ABC ，得到GF BC =AM AH，求得GF =(62-6)cm ，即可得到结论．【解答】解：过A 作AH ⊥BC 于H ，交GF 于M ，∵∠B =45°，∴AH =BH =22AB =32cm ，∵GF ∥BC ，∴△AGF ∽△ABC ，∴GF BC =AM AH，即GF 6=32-GF 32，∴GF =(62-6)cm ，∴正方形DEFG 的面积=GF 2=(62-6)2=(108-722)cm ．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的四条边都相等的性质，利用相似的性质：对应边的比值相等求出正方形的边长是解答本题的关键．15(2021秋•松江区月考)如图，在平行四边形ABCD 中，点E 为边BC 上一点，联结AE 并延长AE 交DC 的延长线于点M ，交BD 于点G ，过点G 作GF ∥BC 交DC 于点F ．求证：DF FC =DM CD．【分析】由GF ∥BC ，根据平行线分线段成比例定理，可得DF FC，又由四边形ABCD 是平行四边形，可得AB =CD ，AB ∥CD ，继而可证得DM AB =DG BG ，则可证得结论．【解答】证明：∵GF ∥BC ，∴DF FC =DG BG，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AB ∥CD ，∴DM AB =DG BG ，∴DF FC =DM CD．【点评】此题考查了平行分线段成比例定理以及平行四边形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．16(2021秋•松江区月考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 的中点，DE 的延长线与BC 的延长线交于点F ．(1)求证：FD FC =BD DC ；(2)若BC FC =54，求BD DC的值．【分析】(1)根据直角三角形斜边上中线性质求出DE =EC ，推出∠EDC =∠ECD ，求出∠FDC =∠B ，根据∠F =∠F 证△FBD ∽△FDC ，即可；(2)根据已知和三角形面积公式得出S △BDC S △FDC =54，S △BDF S △FDC =94，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得出S △BDFS △FDC =BD DC 2=94，即可求出BD DC．【解答】(1)证明：∵CD ⊥AB ，∴∠ADC =90°，∵E 是AC 的中点，∴DE =EC ，∴∠EDC =∠ECD ，∵∠ACB =90°，∠BDC =90°∴∠ECD +∠DCB =90°，∠DCB +∠B =90°，∴∠ECD =∠B ，∴∠FDC =∠B ，∵∠F =∠F ，∴△FBD ∽△FDC ，∴FD FC =BD DC(2)解：∵BC FC =54，∴S △BDCS △FDC =54，∴S △BDFS △FDC =94，∵△FBD ∽△FDC ，∴S △BDF S △FDC =BD DC2=94，∴BD DC=32．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的面积，注意：相似数据线的面积比等于相似比的平方，题目比较好，有一定的难度．17(2021春•黄浦区校级月考)如图，四边形ABCD 是矩形，E 是对角线AC 上的一点，EB =ED 且∠ABE =∠ADE ．(1)求证：四边形ABCD 是正方形；(2)延长DE 交BC 于点F ，交AB 的延长线于点G ，求证：EF •AG =BC •BE ．【分析】(1)根据邻边相等的矩形是正方形即可证明；(2)由AD ∥BC ，推出EF DE =EC EA ，同理DC AG =EC EA，由DE =BE ，四边形ABCD 是正方形，推出BC =DC，可得EFBE =BCAG解决问题；【解答】(1)证明：连接BD．∵EB=ED，∴∠EBD=∠EDB，∵∠ABE=∠ADE，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD是正方形．(2)证明：∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC，∴EF DE =EC EA，同理DCAG=ECEA，∵DE=BE，四边形ABCD是正方形，∴BC=DC，∴EF BE =BC AG，∴EF•AG=BC•BE．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、正方形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．18(2021秋•浦东新区校级月考)如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，求证：AD2=AF•AB．【分析】由DE∥BC，EF∥CD，可得△ADE∽△ABC，△AFE∽△ADC，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论．【解答】证明：∵DE∥BC，EF∥CD，∴△ADE∽△ABC，△AFE∽△ADC，∴AD：AB=AE：AC，AF：AD=AE：AC，∴AD：AB=AF：AD，∴AD2=AF•AB．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．注意掌握相似三角形的对应边成比例．19(2020秋•浦东新区月考)在△ABC中，D是BC的中点，且AD=AC，DE⊥BC，与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．(1)求证：△ABC∽△FCD；(2)若DE=3，BC=8，求△FCD的面积．【分析】(1)由DE⊥BC，D是BC的中点，根据线段垂直平分线的性质，可得BE=CE，又由AD=AC，易得∠B=∠DCF，∠FDC=∠ACB，即可证得△ABC∽△FCD；(2)首先过A作AG⊥CD，垂足为G，易得△BDE∽△BGA，可求得AG的长，继而求得△ABC的面积，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得△FCD的面积．【解答】(1)证明：∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴BE=CE，∴∠B=∠DCF，∵AD=AC，∴∠FDC=∠ACB，∴△ABC∽△FCD；(2)解：过A作AG⊥CD，垂足为G．∵AD=AC，∴DG=CG，∴BD：BG=2：3，∵ED⊥BC，∴ED∥AG，∴△BDE∽△BGA，∴ED：AG=BD：BG=2：3，∵DE=3，∴AG=92，∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，∴S△FCDS△ABC=(CDBC)2=14．∵S△ABC=12×BC×AG=12×8×92=18，∴S△FCD=14S△ABC=92．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．20(2021春•静安区校级月考)已知：如图，在菱形ABCD中，点E在边BC上，点F在BA的延长线上，BE=AF，CF∥AE，CF与边AD相交于点G．求证：(1)FD=CG；(2)CG2=FG•FC．【分析】(1)根据菱形的性质得到∠FAD =∠B ，根据全等三角形的性质得到FD =EA ，于是得到结论；(2)根据菱形的性质得到∠DCF =∠BFC ，根据平行线的性质得到∠BAE =∠BFC ，根据全等三角形的性质得到∠BAE =∠FDA ，等量代换得到∠DCF =∠FDA ，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】证明：(1)∵在菱形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠FAD =∠B ，在△ADF 与△BAE 中，AF =BE ∠FAD =∠B AD =BA，∴△ADF ≌△BAE ，∴FD =EA ，∵CF ∥AE ，AG ∥CE ，∴EA =CG ，∴FD =CG ；(2)∵在菱形ABCD 中，CD ∥AB ，∴∠DCF =∠BFC ，∵CF ∥AE ，∴∠BAE =∠BFC ，∴∠DCF =∠BAE ，∵△ADF ≌△BAE ，∴∠BAE =∠FDA ，∴∠DCF =∠FDA ，又∵∠DFG =∠CFD ，∴△FDG ∽△FCD ，∴FD FC=FG FD ，FD 2=FG •FC ，∵FD =CG ，∴CG 2=FG •FC ．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．21(2021秋•浦东新区校级月考)如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC =2AD ，点E 为边DC 的中点，BE 交AC 于点F ．求：(1)AF ：FC 的值；(2)EF ：BF 的值．【分析】(1)延长BE 交直线AD 于H ，如图，先由AD ∥BC 得到△DEH ∽△CEB ，则有DH BC =DE CE，易得DH =BC ，加上BC =2AD ，所以AH =3AD ，然后证明△AHF ∽△CFB ，再利用相似比可计算出AF ：FC 的值；(2)由△DEH ∽△CEB 得到EH ：BE =DE ：CE =1：1，则BE =EH =12BH ，由△AHF ∽△CFB 得到FH ：BF =AF ：FC =3：2；于是可设BF =2a ，则FH =3a ，BH =BF +FH =5a ，EH =52a ，接着可计算出EF =FH -EH =12a ，然后计算EF ：BF 的值．【解答】解：(1)延长BE 交直线AD 于H ，如图，∵AD ∥BC ，∴△DEH ∽△CEB ，∴DH BC =DE CE，∵点E 为边DC 的中点，∴DE =CE ，∴DH =BC ，而BC =2AD ，∴AH =3AD ，∵AH ∥BC ，∴△AHF ∽△CFB ，∴AF ：FC =AH ：BC =3：2；(2)∵△DEH ∽△CEB ，∴EH ：BE =DE ：CE =1：1，∴BE =EH =12BH ，∵△AHF ∽△CFB ，∴FH ：BF =AF ：FC =3：2；设BF =2a ，则FH =3a ，BH =BF +FH =5a ，∴EH =52a ，∴EF =FH -EH =3a -52a =12a ，∴EF ：BF =12a ：2a =1：4．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，主要通过相似比得到线段之间的关系．22(2021秋•浦东新区校级月考)已知：如图，在△ABC 中，BD 是∠ABC 的平分线，过点D 作DE ∥CB ，交AB 于点E ，AD DC =13，DE =6．(1)求AB 的长；(2)求S △ADE S △BCD．【分析】(1)由∠ABD =∠CBD ，DE ∥BC 可推得∠EDB =∠CBD ，进而推出∠ABD =∠EDB ，由此可得BE =DE =6，由DE ∥BC 可得AE EB =AD DC=13，进而证得AE =2，于是可得结论；(2)△ADE 看成以DE 为底，高为h 1，△BCD 看成以BC 为底，高为h 2，由平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质可得h 1h 2=AD DE =13，DE BC =14，进而证得结论．【解答】解：(1)BD 平∠ABC ，∴∠ABD =∠CBD ，∵DE ∥BC ，∴∠EDB =∠CBD ，∴∠ABD =∠EDB ，∴BE =DE =6，∵DE ∥BC ，∴AE EB =AD DC =13，∴AE 6=13，∴AE =2，∴AB =AE +BE =8；(2)△ADE 看成以DE 为底，高为h 1，△BCD 看成以BC 为底，高为h 2，∵DE ∥CB ，∴△AED ∽△ABC ，∴h 1h 2=AD DE =13，DE BC =14，∴S △ADE S △BCD =12DE ⋅h 112BC ⋅h 2=112．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质，三角形的面积等知识，熟练应用平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质是解决问题的关键．23(2022春•长宁区校级月考)已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AC 、DB 交于点E ，点F 在BC 的延长线上，联结EF 、DF ，且∠DEF =∠ADC ．(1)求证：EFBF =AB DB；(2)如果BD 2=2AD •DF ，求证：平行四边形ABCD 是矩形．【分析】(1)由已知条件和平行四边形的性质易证△ADB ∽△EBF ，再由相似三角形的性质：对应边的比值相等即可证明：EF BF =AB DB；(2)由(1)可得BD 2=2AD •BF ，又因为BD 2=2AD •DF ，所以可证明BF =DF ，再由等腰三角形的性质可得∠DEF =90°，所以∠ADC =∠DEF =90°，进而可证明平行四边形ABCD 是矩形．【解答】解：(1)证明：∵平行四边形ABCD ，∴AD ∥BC ，AB ∥DC∴∠BAD +∠ADC =180°，又∵∠BEF +∠DEF =180°，∴∠BAD +∠ADC =∠BEF +∠DEF ，∵∠DEF =∠ADC ，∴∠BAD =∠BEF ，∵AD ∥BC ，∴∠EBF =∠ADB ，∴△ADB ∽△EBF ，∴EF BF =AB DB；(2)∵△ADB ∽△EBF ，∴AD BD =BE BF，在平行四边形ABCD 中，BE =ED =12BD ，∴AD •BF =BD •BE =12BD 2，∴BD 2=2AD •BF ，又∵BD 2=2AD •DF ，∴BF =DF ，∴△DBF 是等腰三角形，∵BE =DE ，∴FE ⊥BD ，即∠DEF =90°，∴∠ADC =∠DEF =90°，∴平行四边形ABCD 是矩形．【点评】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判断和性质以及矩形的判断，其中(2)小题证明△DBF 是等腰三角形是解题的关键．24(2021秋•宝山区校级月考)已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=6，点P是射线AD上的点，BP交AC于点E，∠CBP的角平分线交AC于点F，且CF=13AC时．求AP+BP的值．【分析】延长BF交射线AP于M，根据AD∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠M=∠CBM，再根据角平分线的定义可得∠PBM=∠CBM，从而得到∠M=∠PBM，根据等角对等边可得BP=PM，求出AP+BP=AM，再根据AC=13CF求出AE=2CF，然后根据△MAF和△BCF相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．【解答】解：如图，延长BF交射线AP于M，∵AD∥BC，∴∠M=∠CBM，∵BF是∠CBP的平分线，∴∠PBM=∠CBM，∴∠M=∠PBM，∴BP=PM，∴AP+BP=AP+PM=AM，∵CF=13AC，则AF=2CF，由AD∥BC得，△MAF∽△BCF，∴AMBC =AFCF=2，∴AM=2BC=2×6=12，即AP+BP=12．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长BF构造出相似三角形，求出AP+BP=AM并得到相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．25(2020秋•虹口区校级月考)已知：如图，已知△ABC与△ADE均为等腰三角形，BA=BC，DA= DE．如果点D在BC边上，且∠EDC=∠BAD．点O为AC与DE的交点．(1)求证：△ABC∽△ADE；(2)求证：DA•OC=OD•CE．【分析】(1)根据三角形的外角的性质和角的和差得到∠B=∠ADE，由于BABC=DADE=1，根据得到结论；(2)根据相似三角形的性质得到∠BAC=∠DAE，于是得到∠BAD=∠CAE=∠CDE，证得△COD∽△EOA，根据相似三角形的性质得到OCOE =ODOA，由∠AOD=∠COE，推出△AOD∽△COE，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】证明：(1)∵∠ADC =∠ABC +∠BAD =∠ADE +∠EDC ，∴∠B =∠ADE ，∵BA BC=DA DE =1，∴△ABC ∽△ADE ；(2)∵△ABC ∽△ADE ，∴∠BAC =∠DAE ，∴∠BAD =∠CAE =∠CDE ，∵∠COD =∠EOA ，∴△COD ∽△EOA ，∴OC OE =OD OA，∵∠AOD =∠COE ，∴△AOD ∽△EOC ，∴DA ：CE =OD ：OC ，即DA •OC =OD •CE ．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．26(2021秋•金山区校级月考)已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在边AD 上，CE 与BD 相交于点F ，AD =4，AB =5，BC =BD =6，DE =3．(1)求证：△DFE ∽△DAB ；(2)求线段CF 的长．【分析】(1)AD ∥BC ，DE =3，BC =6，DF FB =DE BC=36=12，DF DA =DE DB ．又∠EDF =∠BDA ，即可证明△DFE ∽△DAB ．(2)由△DFE ∽△DAB ，利用对应边成比例，将已知数值代入即可求得答案．【解答】证明：(1)∵AD ∥BC ，DE =3，BC =6，∴DF FB =DE BC =36=12，∴DF BD =12，∵BD =6，∴DF =2．∵DA =4，∴DF DA =24=12，DE DB =36=12．∴DF DA=DE DB ．又∵∠EDF =∠BDA ，∴△DFE ∽△DAB ．(2)∵△DFE ∽△DAB ，∴EF AB =DE DB ．∵AB =5，∴EF 5=36，∴EF =52=2.5．∵DE ∥BC ，∴CFEF =BC DE ．∴CF 2.5=63，∴CF =5．(或利用△CFB ≌△BAD )．【点评】此题考查学生对梯形和相似三角形的判定与性质的理解和掌握，第(2)问也可利用△CFB ≌△BAD 求得线段CF 的长，不管学生用了哪种方法，只要是正确的，就要积极地给予表扬，以此激发学生的学习兴趣．27(2020秋•宝山区月考)如图，正方形DEFG 的边EF 在△ABC 的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，已知△ABC 的边BC =15，高AH =10，求正方形DEFG 的边长和面积．【分析】高AH 交DG 于M ，如图，设正方形DEFG 的边长为x ，则DE =MH =x ，所以AM =10-x ，再证明△ADG ∽△ABC ，则利用相似比得到x 15=10-x 10，然后根据比例的性质求出x ，再计算x 2的值即可．【解答】解：高AH 交DG 于M ，如图，设正方形DEFG 的边长为x ，则DE =MH =x ，∴AM =AH -MH =10-x ，∵DG ∥BC ，∴△ADG ∽△ABC ，∴DG BC =AM AH，即x 15=10-x 10，∴x =6，∴x 2=36．答：正方形DEFG 的边长和面积分别为6，36．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；也考查了正方形的性质．28(2021秋•闵行区校级月考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，M 是CD 上的点，DH ⊥BM 于H ，DH 的延长线交AC 的延长线于E ．求证：(1)△AED ∽△CBM ；(2)AE •CM =AC •CD ．【分析】(1)由于△ABC 是直角三角形，易得∠A +∠ABC =90°，而CD ⊥AB ，易得∠MCB +∠ABC =90°，利用同角的余角相等可得∠A =∠MCB ，同理可证∠1=∠2，而∠ADE =90°+∠1，∠CMB =90°+∠2，易证∠ADE =∠CMB ，从而易证△AED ∽△CBM ；(2)由(1)知△AED ∽△CBM ，那么AE ：AD =CB ：CM ，于是AE •CM =AD •CB ，再根据△ABC 是直角三角形，CD 是AB 上的高，易知△ACD ∽△CBD ，易得AC •CD =AD •CB ，等量代换可证AE •CM =AC •CD ．【解答】证明：(1)∵△ABC 是直角三角形，∴∠A +∠ABC =90°，∵CD ⊥AB ，∴∠CDB =90°，即∠MCB +∠ABC =90°，∴∠A =∠MCB ，∵CD ⊥AB ，∴∠2+∠DMB =90°，∵DH ⊥BM ，∴∠1+∠DMB =90°，∴∠1=∠2，又∵∠ADE =90°+∠1，∠CMB =90°+∠2，∴∠ADE =∠CMB ，∴△AED ∽△CBM ；(2)∵△AED ∽△CBM ，∴AE BC =AD CM，∴AE •CM =AD •CB ，∵△ABC 是直角三角形，CD 是AB 上的高，∴△ACD ∽△CBD ，∴AC ：AD =CB ：CD ，∴AC •CD =AD •CB ，∴AE •CM =AC •CD ．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、直角三角形斜边上的高所分成的两个三角形与这个直角三角形相似．解题的关键是证明∠A =∠MCB 以及∠ADE =∠CMB ．29(2022秋•徐汇区校级月考)如图，在直角坐标平面内有点A (6，0)，B (0，8)，C (-4，0)，点M 、N 分别为线段AC 和射线AB 上的动点，点M 以2个单位长度/秒的速度自C 向A 方向做匀速运动，点N 以5个单位长度/秒的速度自A 向B 方向做匀速运动，MN 交OB 于点P ．(1)求证：MN ：NP 为定值；(2)若△BNP 与△MNA 相似，求CM 的长；(3)若△BNP 是等腰三角形，求CM 的长．【分析】(1)过点N 作NH ⊥x 轴于点H ，然后分两种情况进行讨论，综合两种情况，求得MN ：NP 为定值53．(2)当△BNP 与△MNA 相似时，当点M 在CO 上时，只可能是∠MNB =∠MNA =90°，所以△BNP ∽△MNA ∽△BOA ，所以AM AN =AB AO ，所以10-2k 5k =106，k =3031，即CM =6031；当点M 在OA 上时，只可能是∠NBP =∠NMA ，所以∠PBA =∠PMO ，根据题意可以判定不成立，所以CM =6031．(3)由于等腰三角形的特殊性质，应分三种情况进行讨论，即BP =BN ，PB =PN ，NB =NP 三种情况进行讨论．【解答】证明：(1)过点N 作NH ⊥x 轴于点H ，设AN =5k ，得：AH =3k ，CM =2k ，①当点M 在CO 上时，点N 在线段AB 上时：∴OH =6-3k ，OM =4-2k ，∴MH =10-5k ，∵PO ∥NH ，∴MN NP =MH OH=10-5k 6-3k =53，②当点M 在OA 上时，点N 在线段AB 的延长线上时：∴OH =3k -6，OM =2k -4，∴MH =5k -10，∵PO ∥NH ，∴MN NP =MH OH=5k -103k -6=53；解：(2)当△BNP 与△MNA 相似时：①当点M 在CO 上时，只可能是∠MNB =∠MNA =90°，∴△BNP ∽△MNA ∽△BOA ，∴AMAN =AB AO，。
(推荐)初中数学：一道难解又必解的题
赤潮 爆发
2.上题中所反映问题的实质是（
）
A.人口问题
B.发展问题
C.资源问题
D.卫生习惯问题
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3、(09年衢州卷）右边统计结 果显示该市 ①限塑工作初显成效 ②环保意识不断增强 ③节能减排任重道远 ④“白色污染”已经消除 A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.②③④
环保袋 一次性塑料袋
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人
作为追随时尚的我们，当然也要讲 究“低碳”生活，请举出具体的做法。
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人类发展 经济
工农业废 水排放
生活污水 排放
海水富营 养化
赤潮 爆发
1.图示反映出当前平阳南麂主要的环境
问题是（
）
A.土地荒漠化 B. “三废问题”
C.水土流失 D.空气污染
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人类发展 经济
工农业废 水排放
生活污水 排放
海水富营 养化
3、共同性原则：全球性问题要求国际合作
2009年12月哥本哈根联合国气候变化大会结束以 来， 《联合国气候变化框架公约》秘书处已收到55 个国家递交的到2020年温室气体减排和控制承诺， 而这些国家温室气体总排放量占目前人类总排放量 的78%。 这些国家的做法符合可持续发展的哪一个 原则（ ）
提示：（1）要联系教材内容，选择最佳答案； （2）选项本身正确，但不符合题义、
利用 森 古代
从
利用 林 近代
众 利用
计划 生育
合理的 人口
可 持 续
保护资源
木
林
森
发 展
当代
将来
有人生动形象地将我国人口与森林的变化画成这 样的示意图（如上），请结合所学知识回答： （1）这张示意图表明了什么？(2分）
专题11 射影定理——高分必刷题(解析版)-初中数学上学期重难点题型分类高分必刷题(人教版)
专题11 射影定理-高分必刷题（解析版）射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
射影定理是数学图形计算的重要定理，在初三各名校的数学和各地中考试题中都多次考查了这一模型的应用。
图形1.（青竹湖）如图，在Rt△ABC中，ACB∠则AC的长等于__________.【解答】解：∵AD＝6，BD＝18，∴AB＝AD+BD＝24．∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD 是AB边上的高，∴由射影定理得：AC2＝AD•AB＝6×24，∴AC＝12．故答案是：12．2.（青竹湖）如图,△ABC中,∠ACB=90∘，CD⊥AB于D. 若BC=4，BD:AD=1:3，则BD的长为33【解答】解：∵BC=4，BD:AD=1:3，．∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，∴由射影定理得：B C2＝BD•AB，∴16＝)3(xxx+，∴2=x．故答案是：A．DC BA3.（长沙中考）如图，点P 在以MN 为直径的半圆上运动（点P 不与M ，N 重合），PQ ⊥MN ，NE 平分∠MNP ，交PM 于点E ，交PQ 于点F ． （1）+＝ ．（2）若PN 2＝PM •MN ，则＝ ．【解答】解：（1）∵MN 为⊙O 的直径，∴∠MPN ＝90°，∵PQ ⊥MN ，∴∠PQN ＝∠MPN ＝90°，∵NE 平分∠PNM ，∴∠MNE ＝∠PNE ，∴△PEN ∽△QFN ，∴，即①，∵∠PNQ +∠NPQ ＝∠PNQ +∠PMQ ＝90°，∴∠NPQ ＝∠PMQ ，∵∠PQN ＝∠PQM ＝90°， ∴△NPQ ∽△PMQ ，∴②，∴①×②得，∵QF ＝PQ ﹣PF ，∴＝1﹣， ∴+＝1，故答案为：1；（2）∵∠PNQ ＝∠MNP ，∠NQP ＝∠NPM ，∴由射影定理得：PN 2＝QN •MN ，∵PN 2＝PM •MN ，∴PM ＝QN ，∴，∵，∴，∴，∴NQ 2＝MQ 2+MQ•NQ ，即，设，则x 2+x ﹣1＝0，解得，x ＝，或x ＝﹣＜0（舍去）．4.（长郡）如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交于E ，DE ＝EC ，过点B 的切线与AD 的延长线交于F ，过E 作EG ⊥BC 于G ，延长GE 交AD 于H ． （1）求证：AH ＝HD ； （2）若BFBD＝，DF ＝9，求⊙O 的半径．【解答】（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径，DE ＝EC ，∴AB ⊥CD ，∴∠C +∠CBE ＝90°，∵EG ⊥BC ，∴∠C +∠CEG ＝90°，∴∠CBE ＝∠CEG ，∵∠CBE ＝∠CDA ，∠CEG ＝∠DEH ，∴∠CDA ＝∠DEH ，∴HD ＝EH ，∵∠A +∠ADC ＝90°，∠AEH +∠DEH ＝90°，∴AH ＝EH ，∴AH ＝HD ； （2）解：∵∠BDF ＝90°，BFBD ＝，令BD=4x ，BF=5x ，则222)5(94x x =+）（，∴2=x ，BD=12,由射影定理得：BD 2＝DF •DA ，∴144＝9×DA ，∴DA=16，又由射影定理得：AB 2＝AF •DA ，∴AB 2＝25×16，∴AB=20,即半径为10.5.(长郡)如图，△ABC 中，以AB 为直径的⊙O 分别与AC 、BC 交于点F 、D ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，且CE ＝FE ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）连OE ．若OE AB ＝10，求CE 的长．【解答】证明：（1）连接DF ，OD ，过点O 作OH ⊥AC 于H ，∵DE ⊥AC ，CE ＝FE ，∴DF＝DC ，∴∠C ＝∠DFC ，∵四边形ABDF 是圆内接四边形，∴∠OBD +∠AFD ＝180°，∵∠AFD +∠CFD ＝180°，∴∠OBD ＝∠CFD ，∵OD ＝OB ，∴∠ODB ＝∠OBD ，∴∠ODB ＝∠C ，∴OD ∥AC ，∵DE ⊥AC ，∴OD ⊥DE ，又∵OD 为半径，∴DE 是⊙O 的切线；（2）∵OH ⊥AC ，DE ⊥AC ，OD ⊥DE ，∴四边形ODEH 是矩形，∴DE ＝OH ，OD ＝EH ，∵AB ＝10，∴AO ＝OB ＝OD ＝EH ＝5，∴DE ＝＝＝4，由射影定理得：DE 2＝CE ×AE,∴16＝CE （10-CE ），∴CE ＝2或8（舍去），∴CE ＝2．6.（长沙中考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC 的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．（1）求∠CDE的度数；（2）求证：DF是⊙O的切线；（3）若AC=2DE，求tan∠ABD的值．解：（1）∵对角线AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠EDC＝90°；（2）证明：连接DO，∵∠EDC＝90°，F是EC的中点，∴DF＝FC，∴∠FDC＝∠FCD，∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC，∵∠OCF＝90°，∴∠ODF＝∠ODC+∠FDC＝∠OCD+∠DCF＝90°，∴DF是⊙O的切线；(3)设DE＝1，则AC＝2，由射影定理得：AC2＝AD×AE,∴20＝AD（AD+1），∴AD＝4或﹣5（舍去），∵DC2＝AC2﹣AD2，∴DC＝2，∴tan∠ABD＝tan∠ACD＝＝2；7.（青竹湖）如图,在△ABC中,△C=90△，AD平分△BAC交BC于点D，O是AB边上一点，以点O为圆心，OA长为半径的圆经过点D，作DE△AB于点E，延长DE交△O于点F，连接FO并延长交△O于点G(1)求证：BC是△O的切线；(2)求证：OA2=OB△OE；(3)若AE=9，CD=3，求△ACD与△COE面积之比。
初中数学经典难题(含答案)
经典难题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二）3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．A P C DB A F G CE BO D D 2 C 2B 2 A 2D 1 C 1 B 1C B DA A 1 BF1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O（1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ．求证：PA ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）E1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5．求：∠APB 的度数．（初二）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）3、Ptolemy （托勒密）定理：设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ． （初三）4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，l ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：3≤L ＜2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．4、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，∠DCA ＝300，∠EBA ＝200，求∠BED 的度数．经典难题（一）1、2、3、4、经典难题（二）1、2、4、经典难题（三）1、3、4、1、2、3、4、证明：过D 作DQ ⊥AE ，DG ⊥CF,并连接DF 和DE ，如右图所示 则S △ADE =21S ABCD =S △DFC ∴21 AE ﹒DQ = 21 DG ﹒FC 又∵AE=FC,∴DQ=DG,∴PD 为∠APC 的角平分线，∴∠DPA=∠DPC1、2、3、3、4、。
专题06 几何图形初步—角度问题压轴真题(解析版)-初中数学七年级上学期重难点题型必刷题(人教版)
专题06 高分必刷题-几何图形初步—角度问题压轴题真题（解析版）专题简介：本份资料专攻《几何图形初步》这一章中求角度的压轴题，所选题目源自各名校月考、期末试题中的压轴题真题，大都涉及到角度的旋转问题，难度较大，适合于想挑战满分的学生考前刷题使用，也适合于培训机构的老师培训尖子生时使用。
1.（明德）已知120AOB ∠=，60COD ∠=，OE 平分∠BOC .(1)如图①，当∠COD 在∠AOB 的内部时.①若∠AOC =40°，则∠COE =_________；∠DOE =_________.②若∠AOC =α，则∠DOE =_________（用含α的代数式表示）；（2）如图②，当∠COD 在∠AOB 的外部时①请写出∠AOC 与∠DOE 的度数之间的关系，并说明理由.②在∠AOC 内部有一条射线OF ，满足∠AOC +2∠BOE =4∠AOF ，写出∠AOF 与∠DOE 的度数之间的关系，并说明理由.【解答】解：（1）①∵∠AOB ＝120°，∠AOC ＝40°，∴∠BOC ＝80°，∵OE 平分∠BOC ， ∴∠COE ＝∠BOC ＝40°，∵∠COD ＝60°，∴∠DOE ＝∠COD ﹣∠COE ＝60°﹣40°＝20°．故答案为：40°，20°．②∵∠AOB ＝120°，∠AOC ＝α，∴∠BOC ＝120°﹣α，∵OE 平分∠BOC ，∴∠COE ＝∠BOC ＝60°﹣α，∵∠COD ＝60°，∴∠DOE ＝∠COD ﹣∠COE ＝60°﹣（60°﹣α）＝α．故答案为：α．（2）①∵OE 平分∠BOC ，∴∠BOC ＝2∠COE ，∵∠AOC ﹣∠AOB ＝∠BOC ，∠DOE ﹣∠COD ＝∠EOC ，∴∠AOC ﹣∠AOB ＝2（∠DOE ﹣∠COD ），∵∠AOB ＝120°，∠COD ＝60°，∴∠AOC ﹣120°＝2（∠DOE ﹣60°），化简得：2∠DOE ＝∠AOC ．②∠DOE ﹣∠AOF ＝30°，理由如下：∵∠AOC ＝∠AOB +∠BOC ，∠BOC ＝2∠BOE ，∠AOC +2∠BOE ＝4∠AOF ，∴4∠AOF ＝∠AOB +4∠BOE ，∵∠DOE ＝∠COD +∠COE ，∠COE ＝∠BOE ，∴4∠DOE ＝4∠COD +4∠BOE ，∴4∠AOF ﹣4∠DOE ＝∠AOB ﹣4∠COD ，∵∠AOB ＝120°，∠COD ＝60°，∴4∠AOF ﹣4∠DOE ＝﹣120°，∴∠DOE ﹣∠AOF ＝30°．2.（长梅）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成1：2的两个角的射线，叫作这个角的三分钱，显然，一个角的三分线有两条.(1)如图①，已知OC 是∠AOB 的一条三分钱，且BOC AOC ∠>∠，若75AOB AOC ∠=︒∠=， ；(2)如图②，已知90AOB ∠=︒，若OC ，OD 是∠AOB 的两条三分线.①求∠COD 的度数；②在①的基础上，现以O 为中心，将∠COD 顺时针旋转n °得到C OD ''∠.当OA 恰好是C OD ''∠的三分线时，求n 的值.图① 图②【解答】解：（1）已知OC 是∠AOB 的一条三分钱，且∠BOC ＞∠AOC ，若∠AOB ＝75°， ∴∠AOC ＝∠AOB ＝25°，故答案为：25°．（2）①如图2，∵∠AOB ＝90°，OC ，OD 是∠AOB 的两条三分线，∴∠COD ＝∠AOB ＝30°；②分两种情况：当OA 是∠C 'OD '的三分线，且∠AOD '＞∠AOC '时，∠AOC ′＝10°， ∴∠DOC '＝30°﹣10°＝20°，∴∠DOD '＝20°+30°＝50°；当OA 是∠C ′OD '的三分线，且∠AOD '＜∠AOC 时，∠AOC '＝20°，∴∠DOC ′＝30°﹣20°＝10°，∴∠DOD '＝10°+30°＝40°；综上所述，n ＝40°或50°．3．（师大）若A 、O 、B 三点共线，∠BOC ＝50°，将一个三角板的直角顶点放在点O 处（注：∠DOE ＝90°，∠DEO ＝30°）．（1）如图1，使三角板的短直角边OD 在射线OB 上，则∠COE ＝ ；（2）如图2，将三角板DOE 绕点O 逆时针方向旋转，若OE 恰好平分∠AOC ，则OD 所在射线是∠BOC 的 ；（3）如图3，将三角板DOE 绕点O 逆时针转动到使∠COD ＝∠AOE 时，求∠BOD 的度数；（4）将图1中的三角板绕点O 以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t 秒时，OE 恰好与直线OC 重合，求t 的值．【解答】解：（1）∵∠DOE ＝90°，∠BOC ＝50°，∴∠COE ＝40°，故答案为40°；（2）∵OE 平分∠AOC ，∴∠AOE ＝∠COE ，∵∠COE +DOC ＝∠DOE ＝90°，∴∠AOE +∠DOB ＝90°，∴∠DOC ＝∠DOB ，∴DO 平分∠BOC ，∴DO 是∠BOC 的角平分线，故答案为：角平分线；（3）∵∠COD ＝∠AOE ，∠COD +∠DOE +∠AOE ＝130°，∴5∠COD ＝40°，∴∠COD ＝8°，∴∠BOD ＝58°；（4）当OE 与射线OC 的反向延长线重合时，5t +40＝180，∴t ＝28，当OE 与射线OC 重合时，5t ＝360﹣40，∴t ＝64，综上所述：t 的值为28或64．4.（雅礼）如图1，点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，使130BOC ∠=︒。
初中数学重难点全解 七年级 用最简单的方法解最难的题
㊃1㊃本章的主要知识点可以概括为有理数的有关概念和有理数的运算两部分.有理数的有关概念包括有理数分类的原则和方法㊁相反数㊁数轴㊁绝对值的概念和特点.可以利用数轴来认识和理解有理数的有关概念.有理数的运算和运算律是本章的重点.运算包括有理数的加㊁减㊁乘㊁除㊁乘方及简单的混合运算;运算律包括加法交换律㊁加法结合律㊁乘法交换律㊁乘法结合律㊁乘法分配律等.科学计数法与乘方有关,近似数和有效数字在实际生活中有广泛意义.1.有理数是初中数学的基础内容,也是中考的重要考点之一,主要和其他知识联合考查.中考试题中分值约为3~6分,多以选择题㊁填空题㊁计算题的形式出现,属于简单题.近几年主要考查以下几个方面:(1)相反数,绝对值,倒数等相关概念;(2)负数的乘方,加减及混合运算.本章的重点是有理数概念的理解及有理数的运算和运算律.基本概念的考查频率很高,几乎每个地区的中考卷都会涉及.有理数运算和运算律一般融入其他运算一并考查,近似数和有效数字考试中涉及略少.例1 下面说法正确的是( ).A.0不是整数B .有理数包括正整数㊁负整数㊁正分数㊁负分数C .一个整数不是正整数,就是负整数D.整数和分数统称为有理数ʌ解析ɔ 此题必须明确有理数的意义和分类.整数包括正整数㊁0㊁负整数,因此选项A ㊁选项C 不正确.0是有理数,因此选项B 不正确.整数和分数统称为有理数,故选项D 正确.ʌ说明ɔ 有理数的分类方式有两种,可分为整数㊁分数;也可分为正数㊁0和负数.因此,有理数分类要按统一标准分类,做到既不重复,也不遗漏.另外,整数可以看作分母是1的分数.因此,有理数都可以化成分数,而能够化成分数的数就是有理数.π=3.1415926 是无限不循环小数,它不能化成分数,所以π不是有理数.练习1 下列说法中正确的有( ).①最小的自然数是1;②最小的正数是1;③最小的非负数是0;④0既不是奇数,也不是偶㊃2 ㊃数;⑤0表示没有海拔高度.A.1个B .2个C .3个 D.4个例2 在中央电视台 开心辞典 栏目中,主持人问嘉宾这样一道题目: 若数轴上的点A 和点B 表示互为相反数的两个数,并且它们到原点的距离之和是9.6,那么点A 和点B 表示两个什么样的数(A >B ) 你能帮嘉宾解决问题吗?ʌ解析ɔ 互为相反数的两个数,它们的绝对值相等,所以它们到原点的距离相等.两个数到原点的距离和是9.6,那么它们到原点的距离均为4.8,因此大数A 是4.8,小数B 是-4.8.ʌ说明ɔ 绝对值㊁相反数㊁数轴的概念难度不大,但极易混淆.有时也和定义新运算这类题目联系起来考查.数轴上任意两点间的距离是有关高中知识 空间距离 学习的基础.例如,表示数a的点A 与表示数b 的点B 之间的距离A B =a -b 或A B =|b -a |,与表示数m 的点的距离为a (a >0)的点有两个,分别是m +a 和m -a .练习2 数轴上表示整数的点称为整点.某数轴的单位长度是1厘米,若在这个数轴上任意画一条长为2015厘米的线段,则该线段盖住的整点的个数是( ).A.2012或2013 B .2013或2014 C .2014或2015 D.2015或2016例3 计算-17+17ː(-1)11-53ˑ(-0.2)3.ʌ解析ɔ 原式=-17+17ː(-1)-125ˑ(-0.008)=-17+(-17)-(-1)=-17-17+1=-33.ʌ说明ɔ 有理数运算是初中数学运算的基础,熟练地进行有理数运算是初一数学的重点.有理数混合运算区别于小学混合运算的根本点是符号的处理.在运算中要强调符号优先的原则,任何一种运算都要遵循先定符号后算数的原则,同时还要注意不同种运算之间的相互转化.减法先变为加法,除法先变为乘法后再运算.加法法则可先确定和的符号,再做绝对值的运算.异号两数相加较易出错,应加以注意.有理数乘法的重点仍然是确定符号,先确定好符号,然后把绝对值相乘;带分数相乘时,要先把带分数化为假分数;分数与小数相乘时,要统一化成小数或分数.练习3 计算-1-(-3)3-3+0.4ˑ-112æèçöø÷éëêêùûúúː(-2){}.2.本章的难点是负数概念的建立㊁有理数有关概念的深入理解以及有理数运算法则的理解和运用.正数和负数是表示相反意义的量,正和负具有相对性.有理数的运算是一切运算的基础,也㊃3 ㊃是必考内容.考试中的难题往往把有理数有关概念与计算相结合.突破方法:(1)牢固掌握有理数有关的概念,如相反数,倒数,绝对值等,真正掌握数形结合的思想.(2)熟练掌握有理数的各种运算法则,特别是有负数的运算.在混合运算中须特别注意符号和运算顺序.例1 从前有座庙,庙里有个小和尚,每天早晨都清扫庙门前的台阶.庙的门前一共有9级台阶,当他一步只能上1级台阶或2级台阶时,走完1级台阶只有1种方法;走完2级台阶共有2种方法;走完3,4,5,6,7级台阶,共分别有3,5,8,13,21种方法.那么,当他走完这9级台阶,一共有多少种方法呢ʌ解析ɔ 这是一道找规律题,当台阶分别是1,2,3,4,5,6,7时ˌˌˌˌˌˌˌ所对应的方法有1,2,3,5,8,13,21种经观察发现,每一种方法数目都是前面两种方法数目的和,所以,走完8级台阶有13+21=34(种)方法,走完9级台阶有21+34=55(种)方法.ʌ说明ɔ 规律题也是本章的一大难点.近年来,经常出现一类由特殊到一般,由具体到抽象的规律探究中考题,它涉及有理数的运算特点.例如增加相同的加数或相同的倍数,后面的数是前面几个数的和或正负数交替出现,相应的数是序号数的平方等.这类问题思路别致,具有启发思维㊁引导创新的意义.练习4 观察下列数据的变化规律,写出第n (n ȡ1)个数-2,4,-6,8,-10 则第n 个数为.例2 如图11,数轴上的三点A ,B ,C 分别表示有理数a ,b ,c ,化简|a +b |+|a -c |-|c -b |.OBAC图11ʌ解析ɔ 由题意得a <b <0<c ,|b |<|c |<|a |,所以a +b <0,a -c <0,c -b >0.所以原式=-(a +b )+[-(a -c )]-(c -b )=-a -b -a +c -c +b=-2a .ʌ说明ɔ 首先要全面理解绝对值的定义.绝对值有两层含义.①代数定义:正数的绝对值是它的本身,0的绝对值是0,负数的绝对值是它的相反数;②几何定义:数a 的绝对值的几何意义是实数a 在数轴上所对应的点到原点的距离.其次,绝对值的化简要注意三个问题:①符号 || 是 非负数 的标志;②数a 的绝对值只有一个;③处理任何类型的题目,只要其中有 || 出现,其关键一步是去掉 || 符号.练习5 如图12,蚂蚁妈妈在数轴上的点A 处,已知数轴上点A 表示的数为6,B 是数轴上另一点,且A B =9.蚂蚁妈妈从点A 出发,以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,设运动时间为t (t >0)秒.㊃4 ㊃O BA 06图12(1)写出数轴上点B 表示的数,蚂蚁妈妈在运动过程中的某一点表示的数是(用含t 的代数式表示);(2)一只小蚂蚁从点B 出发,以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,若两只蚂蚁同时出发,问蚂蚁妈妈运动到多少秒时追上小蚂蚁?例3 下列等式成立的是( ).A .100ː13ˑ(-3)=100ˑ3ˑ(-3) B .100ː13ˑ(-3)=100ˑ3ˑ3B .100ː13ˑ(-3)=-100ː13ˑ3æèçöø÷D .100ː13ˑ(-3)=100ˑ13ˑ3ʌ解析ɔ 选项B 丢了负号;选项C 搞乱了运算顺序,乘除法是同级运算,应该从左往右按顺序运算,不应该先算后面的.选项D 弄错除法法则和漏掉负号,除以一个分数等于乘以这个分数的倒数.故选A .ʌ说明ɔ 此题考查运算顺序,做有理数混合运算,必须注意运算顺序:先乘方,再乘除,最后加减;同级运算从左向右进行;如果有括号,先做括号内的运算,按小括号㊁中括号㊁大括号的顺序依次进行.在进行混合运算时,若能用运算律则用运算律,使运算简捷.练习6 计算-100ˑ18-0.125ˑ32.5+17.5ˑ(-12.5%).3.本章的易错点比较细小,也比较多.例如,符号问题㊁混合运算的顺序㊁乘方运算的意义㊁科学计数法理解不透㊁有效数字和近似数弄错等.最大的易错点就是符号,学生往往忽视了符号在运算中所起的作用.任何一种运算都要先考虑符号,尤其是乘方运算,更要在注意符号的前提下,避免底数的运算错误.例1 计算-12-34ˑ-32ˑ-23æèçöø÷2-2éëêêùûúúː(-1)2013.ʌ解析ɔ 原式=-1-34ˑ-9ˑ49-2æèçöø÷ː(-1)=-1-34ˑ(-4-2)ː(-1)=-1-34ˑ(-6)ː(-1)㊃5 ㊃=-1-92=-112.ʌ说明ɔ 有理数的乘方运算是利用有理数乘法运算进行的,根据有理数的乘法法则得出:①负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数;②正数的任何次幂都是正数;③0的任何次幂都是0.乘方运算经常在符号上出错,例如,-24=-16,(-2)4=16,前者 - 不发生4次方运算,因此结果仍然是负数,后者 - 发生了4次方运算,因此结果是正数,注意两者的区别.再者,解题一定要注意运算顺序的正确性,不可任意颠倒.练习7 计算-72+2ˑ(-2)2+(-6)ː-13æèçöø÷2.例2 一位知名企业家去看望幸福养老院的老人,带去了价值约1.35万元的日用品和价值约3.02ˑ105元的营养品.(1)请判断这两个近似数各精确到了哪一位?(2)它们各有几位有效数字?ʌ解析ɔ (1)题不要只看1.35,而忽略了单位 万 ,把1.35万还原为13500,再看数字5在哪个数位,因此答案是精确到百位.有3位有效数字.(2)题不要只看3.02,而忽略了 ˑ105 .把3.02ˑ105还原为302000,再看数字2在哪个数位,因此答案是精确到千位,有3位有效数字.ʌ说明ɔ 一般地,一个近似数四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位.近似数最末尾的数字在什么数位上,就表明精确到什么数位.有效数字的位数是从左边第一个不是0的数字起到最后一个数字为止.但是一个用科学计数法表示的数,即a ˑ10n,有效数字只算a 中的位数;精确度是a 中最末一位数字,数位必须是这个数字在还原后的数中的数位.练习8 嫦娥三号 已成功发射,在行进中的某一时刻,测得距离它最近的三个星球的距离分别是下面的数值.请你用四舍五入法对下列各数按要求取近似值,并用科学计数法表示结果.(1)523600千米(精确到千位);(2)668954000千米(精确到千万位);(3)95288000千米(精确到万位).例3 计算(1)213-312+11336æèçöø÷ː-116æèçöø÷;(2)-130æèçöø÷ː12+43-16æèçöø÷.ʌ解析ɔ (1)先把除法转化为乘法,再利用乘法分配律计算.原式=73-72+4936æèçöø÷ˑ-67æèçöø÷=73ˑ-67æèçöø÷-72ˑ-67æèçöø÷+4936ˑ-67æèçöø÷=-2+3-76=-16;(2)先计算括号里面的,然后再把除法转化为乘法计算.㊃6 ㊃原式=-130æèçöø÷ː106=-130æèçöø÷ˑ610=-150.ʌ说明ɔ 灵活适当地运用运算律可以简化运算,从而提高解题速度.但减法和除法没有运算律,要先把减法转化为加法,除法转化为乘法之后,才可以使用运算律.例如上面第(2)题的除法就不能使用分配律.因此,计算不能急于求成,不能在违反运算顺序的情况下强行 简便 运算.计算题算出结果后,还要认真检查,防止出错.练习9 阅读计算过程:313-22ː12æèçöø÷2-(-3+0.75)éëêêùûúúˑ5.解:原式=313-22ː14-3+34æèçöø÷ˑ5 ①=313+4ː(-2)ˑ5②=313+25③=31115.回答下列问题:(1)步骤①错在;(2)步骤①到步骤②错在;(3)步骤②到步骤③错在;(4)此题的正确结果是.4.在充分理解有理数有关概念,正确掌握有理数运算法则和运算顺序㊁运算律后,就具备了解决一些综合性题目的能力.我们可以根据某些题目的特点,将算式灵活变形,对不同的算式可以采取运算顺序重新组合㊁因数分解㊁拆项裂项等不同的方法,达到优化解题㊁简化计算的目的.例1 若一台机器人站在数轴的原点处,按照指令分别向左右两个方向移动,右边是正方向,左边是负方向.先向右移动1米,再向左移动2米;然后再向右移动3米,向左移动4米.依次移动下去,每次方向相反,距离增加1米.当移动完2014次时,它位于原点的哪一侧?距离原点多远?ʌ解析ɔ 向右记为正数,向左记为负数.那么有1+(-2)+3+(-4)+ +2011+(-2012)+2013+(-2014),将此式中的数两两相加,原式=(-1)+(-1)+ +(-1)=-1007.即移动完2014次时,它位于原点左侧,距离原点1007米远.ʌ说明ɔ 运用加法的交换律㊁结合律,把某些具有相同属性的数分别结合在一起相加,例如,正数和负数分别相加;同分母分数相加;带分数把整数和分数部分拆开分别相加;相反数相加等.㊃7 ㊃这样可以很大程度地简化运算.练习10 计算1+2+3+4+5+6+ +998+999+1000.例2 现定义两种运算 * ә ,对于任意两个整数a ,b ,有a *b =a b -2,a әb =a +b +1,求式子5ә[(2*3)*(3ә4)]的值.ʌ解析ɔ 原式=5ә[(2ˑ3-2)*(3+4+1)]=5ә(4*8)=5ә(4ˑ8-2)=5ә30=5+30+1=36.ʌ说明ɔ 定义新运算中的符号 代表的是一种特定的运算,它是一种融合了几种基本运算在内的综合运算程序.在不同的题目中分别有不同的代表性,具体到每一道题,它首先会标明 符号 所代表的运算程序,我们只要在正确运算的基础上按照其程序运算即可.练习11 已知a ,b 为有理数,如果规定一种新的运算 ,即a b =a b +a -b +1.例如,2 3=2ˑ3+2-3+1=6.请你根据的定义计算下列各题:(1)(-2) 5; (2)(4 2) (-1).例3 已知a 1,a 2,a 3, ,a 2014都是正整数,且P =(a 1+a 2+a 3+ +a 2013)ˑ(a 2+a 3+ +a 2013+a 2014),Q =(a 1+a 2+ +a 2013+a 2014)ˑ(a 2+a 3+ +a 2013).那么P ㊁Q 的大小关系是( ).A .P >QB .P <QC .P =QD .无法确定ʌ解析ɔ P =(a 1+a 2+a 3+ +a 2013)ˑ(a 2+a 3+ +a 2013+a 2014)=(a 1+a 2+a 3+ +a 2013)ˑ(a 2+a 3+ +a 2013)+(a 1+a 2+a 3+ +a 2013)ˑa 2014,Q =(a 1+a 2+ +a 2013+a 2014)ˑ(a 2+a 3+ +a 2013)=(a 1+a 2+a 3+ +a 2013)ˑ(a 2+a 3+ +a 2013)+a 2014ˑ(a 2+a 3+ +a 2013),因为(a 1+a 2+a 3+ +a 2013)ˑa 2014>a 2014ˑ(a 2+a 3+ +a 2013),所以P >Q ,故选A .ʌ说明ɔ 这种题目就要把着眼点放在问题的整体结构上,通过对题目的整体分析,把其中的(a 1+a 2+a 3+ +a 2013)ˑ(a 2+a 3+ +a 2013)当作一个整体,只把a 2014分离出来,这样就在两个不同的式子之间找到了共同点,也就找到了突破点,然后只比较不同的部分即可.练习12 已知a ,b ,c 为整数,且a +b =26,c -a =15.若a <b ,则a +b +c 的最大值是多少?㊃8 ㊃5.在本章的学习中,基本的学习要求是熟练地掌握相反数㊁绝对值㊁数轴等定义,更重要的是了解其中蕴含的数学思想方法.本章中最常用的数学思想方法有方程思想㊁整体思想㊁数形结合思想㊁化归思想㊁分类讨论思想等.学习数学要不断去探索㊁猜想㊁不断总结规律方法,才会有所发现㊁有所创新.这就是人们常说的 举一反三 .例1 在数轴上表示p ,0,1,q 四个数的点如图13所示,已知O 为P Q 的中点.求p +q +pq+p +1的值.OPp 10Qq 图13ʌ解析ɔ 此题充分利用数轴的直观形象,理解一对相反数到原点的距离相等,因此一对相反数的和是0,而一对相反数的商是-1,此问题便迎刃而解.因为O 为P Q 的中点,则p +q =0,p =-q ,所以p +q =0,pq=1,由数轴可知p <-1,则p +1=-p -1,所以原式=0+1-p -1=-p .ʌ说明ɔ 本题所体现的是数形结合的思想.数轴是数形结合的重要工具.本章中,我们一直用数轴来定义或描述有理数的概念㊁运算等,数轴成为理解有理数及其运算的重要工具.在解决没有给出具体数值的有理数问题时,常常把 数 的问题通过数轴转化为 形 来表示,从而直观简捷地解决问题.练习13 如果a ,b ,c ,d 为互不相等的有理数,且|a -c |=|b -c |=|d -b |=1,则|a -d |=.例2 为了增加陌生人之间的友爱和关怀,社会上很多年轻人成立了 抱抱团 .如果 抱抱团 的一名成员分别去热情拥抱两名陌生人,而每名被拥抱的人再去拥抱另外两名陌生人,照这样依次拥抱下去,那么,当拥抱完2013次之后,这条线上所有参加过拥抱的一共有多少人?ʌ解析ɔ 发起人1名,一次拥抱结束后增加2人,两次拥抱结束后增加22人,以此类推,2013次拥抱结束后增加22013人.所以总人数为1+2+22+23+ +22011+22012+22013(人).此题运算的数多,且幂指数大,无法直接计算,必须先将其变形,应用错位相减法,消掉一些项再进行计算.设S =1+2+22+23+ +22011+22012+22013,故 2S =2ˑ(1+2+22+23+ +22011+22012+22013)=2+22+23+ +22011+22012+22013+22014.所以S =2S -S=(2+22+23+ +22011+22012+22013+22014)-(1+2+22+23+ +22011+22012+22013)=22014-1.㊃9 ㊃即当拥抱完2013次之后,这条线上所有参加过拥抱的一共有22014-1人.ʌ说明ɔ 本题体现的是化归思想方法,就是将所要解决的复杂问题转化为简单问题来解决.具体地说,就是把 旧知识 转化为 新知识 ,把 未知 转化为 已知 ,把 复杂 问题转化为 简单 问题.对于算式规律性问题,我们要注意观察各部分算式的变化规律以及各算式之间的关系.根据其规律将算式变形,转化为简单的关系来解决.练习14 已知a b -2+a -2=0,求1a b +1(a +1)(b +1)+1(a +2)(b +2)+ +1(a +2012)(b +2012)的值.例3 比较|p |+|q |与|p +q|的大小.ʌ解析ɔ 我们根据绝对值的法则,要化简绝对值符号,必须先判断绝对值符号里面的式子的正负性.即根据 先定正负后去号 的原则.式子中字母的取值,要分三种情况讨论.①当p ,q 符号相同时,无论同正还是同负,都有|p |+|q |=|p +q |;②当p ,q 符号相反时,无论p ,q 哪一个为负,都有|p |+|q |>|p +q |;③当p ,q 至少一个为0时,则有|p |+|q |=|p +q |.ʌ说明ɔ 本题所用的是分类讨论思想.当研究的问题包含多种可能时,不能一概而论,必须按可能出现的所有情况来分别讨论,得出相应的结论.本章在研究相反数㊁绝对值㊁有理数乘方运算的符号法则时,都是把有理数分为正数㊁负数㊁零三类分别进行研究的.例如绝对值化简的0段分类法㊁倒数中的分段讨论大小都是分类讨论思想.分类讨论必须遵循两条原则:①每一次分类的标准相同;②不重复,不遗漏.练习15 设y =|k -1|+|k +1|则下面四个结论中正确的是( ).A .y 没有最小值B .只有一个k 使y 取最小值C .有限个k (不止一个)使y 取最小值D .有无穷多个k 使y取最小值一㊁填空题(每小题2分,共28分)1.在-1.5,197,0,π3,0.131313 ,-25中,有理数的个数是.2.王老师家的冰箱冷冻室的温度是-4ħ,调高2ħ后的温度是ħ.3.多多同学写错了一个算式-5+12=17,请你在不改变数字的情况下,直接在算式中添加 括号 绝对值符号 或 负号 (不限定个数)使等式成立:.4.实验表明,一个成年人血液的质量占人体质量的6%~7.5%,某人体重65千克,那么他的血液质量范围在千克.(结果保留两个有效数字)㊃10 ㊃5.若|a |=2,则a +3=;若a 的相反数是最小的质数,b 是最大的负整数,则a +|-b |=.6.有理数a 等于它的倒数,有理数b 等于它的相反数,则a 2013+b 2013=.7.一个数与-3的乘积是-156的倒数,则这个数是.8.已知x ㊁y ㊁z 是不为0的有理数,化简x x +y y+zz 的值可能是.9.2008年北京奥运会火炬传递路线全长约为13700公里,用科学计数法表示为;精确到千位是.10.已知|a |=5,|b |=3,且ab<0,则a +b =,a b =.11.某种活性细胞在培养过程中,每半小时就分裂一次,由一个分裂成两个,经过3小时,这种细胞可由一个分裂成个.12.下列有四个结论①若a =b ,则a 2=b 2,②如果a >b ,那么a 2>b 2,③若a 2=b 2,则a =b ,④如果a 2>b 2,那么a >b .其中正确的有个.13.绝对值不大于10000的所有整数的和是,积是.14.计算(-1)4-16ˑ[2-(-3)2]=.二㊁选择题(每小题3分,共18分)15.下列说法中正确的是( ).A .同号两数相乘,符号不变B .两个数相加,和大于任何一个加数C .任何数与0相乘仍得这个数D .一个数与-1相乘,积为该数的相反数16.下面说法中错误的是( ).A .近似数2千万和2ˑ103万精确度相同B .近似数2千万和2ˑ103万的有效数字相同C .近似数2.013和2.010有效数字位数相同D .近似数2.013和2.010精确度不同17.下列说法中正确的是( ).A .若a =-b ,则|a |=-|b |B .若|a |=|b |,则a =bC .如果|a |>|b |,那么a 2>b 2D .如果a >b ,那么|a |>|b |18.小花猫捡到了一块蛋糕,被狐狸看到了,狡猾的狐狸就一口吃掉了蛋糕的一半,再一口吃掉了剩下的一半,就这样连续吃了五口,那么,小花猫还剩下蛋糕的( ).A .18B .116C .110D .13219.若a =-2ˑ32,b =(-2ˑ3)2,c =-(2ˑ3)2,则下列大小关系正确的是( ).A .a >b >cB .b >c >aC .b >a >cD .c >a >b20.已知A =-2011ˑ20122013ˑ2014,B =-2011ˑ20132012ˑ2014,C =-2011ˑ20142012ˑ2013,那么,A ,B ,C 的大小关系是( ).A .A >B >CB .A <B <CC .B >A >CD .B >C >A三㊁解答题(共54分)21.(6分)用简便方法计算下面各题㊂(1)-15+12-112æèçöø÷ˑ(-60); (2)(-4)ˑ25ˑ(-0.25)ˑ54.22.(6分)很久以前,有位英俊的王子中了老巫婆的魔咒,变成了一只青蛙,被扔到一口水井里.水面比井口低3米,青蛙从水面沿着井壁向上往井口爬,第一次往上爬了0.5米后,往下滑了0.1米;第二次往上爬了0.42米,却又下滑了0.15米;第三次往上爬了0.7米,却下滑了0.15米;第四次往上爬了0.75米,却下滑了0.1米;第五次往上爬了0.55米,没有下滑;第六次青蛙又往上爬了0.59米,问青蛙能够爬出井口吗?23.(6分)有下列三行数,第一行:1,-4,9,-16,25,-36 ;第二行:-1,2,-3,4,-5,6 ;第三行:0,3,8,15,24,35 .这三行数的规律各是什么?请取每行的第100个数,并计算它们的和.24.(6分)已知三个有理数a ,b ,c 的和是正数,它们的积是负数,当m =a a +b b +c c时,求代数式m 3+m 2+m +1的值.25.(6分)计算112-256+3112-41920+5130-64142+7156-87172+9190.26.(8分)若a,b,c为整数,且|a-b|100+|c-a|100=1,试求代数式|c-a|+|a-b|+|b-c|的值.27.(8分)小华有三个有理数1,a+b,a,小毛也有三个有理数0,b,b a,丽丽说: 你们俩的数是一样的,我有一个和你们不一样的数x,它的绝对值是2㊂请你计算(a+b)2013+(a b)2014+(a+b-a b)2015+x2.28.(8分)已知|a1-1|+|a2-2|+ +|a2013-2013|+|a2014-2014|=0,求2a1-2a2-2a3- -2a2013+2a2014的值.本章的主要知识点可以概括为列式表示数量关系㊁整式的有关概念及整式的加减运算.列式表示数量关系是建立在用字母表示数的基础之上的.整式的概念主要介绍单项式㊁多项式㊁整式及其相关概念.单项式概念是多项式概念的基础,而整式又是单项式和多项式的总称.整式的加减运算是在学习了合并同类项和去括号的基础上,研究整式加减的运算法则.本章进一步学习如何用字母表示数及数量关系,深刻体会用字母表示数㊁用含字母的式子表示数量关系的意义.合并同类项和去括号是进行整式加减的基础,是本章的重点.1.本章的重点是整式加减的运算,主要是利用合并同类项法则㊁去括号法则对整式进行化简.熟练地合并同类项首先必须掌握同类项概念,其次要会准确辨别同类项,即要掌握两条判断同类项的标准:字母和字母指数.中考命题中,本章主要考查用含字母的式子表示实际问题中的数量关系;同类项的概念等.多以填空题㊁选择题的形式出现,分值一般为3~6分.而合并同类项㊁去(添)括号也是考试重点,但考查时往往与其他知识相结合.另外,用式子表示规律题是近几年中考的热点.例1已知m=3,n=2,则下列式子是同类项的是().A.m x3y2与n a3b2B.3x m y3与n x2y3C.n x2m-1y4与m x5y n+2D.5a2m b5n与3b2m a5nʌ解析ɔ当m=3,n=2时,选项A中两项为3x3y2与2a3b2,字母不同,不是同类项.选项B 中两项为3x3y3与2x2y3,字母x的指数不同,不是同类项.选项C中两项为2x5y4与3x5y4,符合同类项定义,是同类项.选项D中两项为5a6b10与3b6a10,相同字母的指数不同,不是同类项,故选C.ʌ说明ɔ判断两个单项式是否为同类项,要抓住三个方面:①同类项与项中所含字母及其指数有关,与系数无关;②同类项与项中字母排列的先后顺序无关;③所有常数项都是同类项.另外,同类项中的相同字母可以是一个多项式的整体,例如,2(x+y)3与3(x+y)3也是同类项.练习1下列各组中的两项是同类项的有()个.①3x y与3x y z; ②62与a2; ③2x与3x; ④13与3; ⑤2πa与-3a;⑥3(x-y)2与2(x-y)2.A.1B.2C.3D.4例2一个多项式减去-8x y2-2x2y-2y4得5x2y+11x y2+3y4,求这个多项式.ʌ解析ɔ设这个多项式为A,首先是利用 被减式=差+减式 正确列出计算式,即A=(5x2y+11x y2+3y4)+(-8x y2-2x2y-2y4)=5x2y+11x y2+3y4-8x y2-2x2y-2y4=(5x2y-2x2y)+(11x y2-8x y2)+(3y4-2y4)=3x2y+3x y2+y4.ʌ说明ɔ此题先要把每一个多项式看作一个整体,计算前把每个多项式用括号括起来,再按照去括号法则去掉括号,寻找同类项进行合并.合并同类项时,首先,可在同类项下用 等符号标记不同种类的项,注意要包括该项的符号;其次,只将同类项的系数相加,字母以及字母的指数不变.练习2若两个单项式的和是2x2+x y+3y2,一个加式是x2-x y,求另一个加式.例3已知A=a2+b2-c2,B=-4a2+2b2+3c2,且A+B+C=0.求:(1)多项式C;(2)若a=1,b=-1,c=3,求A+B的值.ʌ解析ɔ(1)因为A+B+C=0,所以C=0-A-B=0-(a2+b2-c2)-(-4a2+2b2+3c2)=0-a2-b2+c2+4a2-2b2-3c2=(-a2+4a2)+(-b2-2b2)+(c2-3c2)=3a2-3b2-2c2;(2)A+B=(a2+b2-c2)+(-4a2+2b2+3c2)=a2+b2-c2-4a2+2b2+3c2=-3a2+3b2+2c2.把a=1,b=-1,c=3代入上式得原式=-3ˑ1+3ˑ(-1)2+2ˑ32=18.ʌ说明ɔ去括号与合并同类项都是整式加减的基础,均为本章的重点,对后面的解方程㊁因式分解㊁分式运算等内容起着重要作用.去括号注意两种情况:①括号前是 + ,把括号和它前面的 + 去掉,括号里各项都不变号.②括号前是 - ,把括号和它前面的 - 去掉,括号里各项都变号.练习3先化简,再求值:3x2-[x2-2㊃(3x-x2)],其中x=-7.2.本章的难点有两方面,一是用字母表示数及数量关系;二是去括号时符号的处理.用字母简明地表示实际问题中的数量关系比用具体数字表示的算式更有一般性;整式中用字母表示数,会使得整式的运算与数的运算具有一致性;用字母表示规律性的式子更有难度,不仅要分析出规律,还要用字母准确表达.去括号最大的难点是符号的处理,确切地说就是 - 问题,牢记当把括号和它前面的 - 去掉后,括号里各项都要变号.例1 小美家的固定电话月租金为15元,每次市内通话费平均为0.3元,每次长途通话费平均为1.6元,若她家半年内打市内电话m 次,打长途电话n 次,则她家应付电话费( )元.A .0.3m +1.6n B .15m n C .15+0.3m +1.6n D .15ˑ6+0.3m +1.6n ʌ解析ɔ 因为半年内打市内电话m 次,每次平均为0.3元,所以半年的市内电话费为0.3m元.因为半年内打长途电话n 次,每次平均为1.6元,所以半年的长途电话费为1.6n 元.而固定电话月租金为15元,半年内的租金为15ˑ6(元),故选D .ʌ说明ɔ 字母可以表示任意的数㊁特定意义的公式㊁符合条件的某一个数,甚至可以表示具有某些规律的数,总之字母可以简明地将数量关系表示出来.用字母表示数有助于揭示概念的本质特征,使数量之间的关系更加简明,更具有普遍意义.用字母表示数时,字母与字母相乘,乘号可以省略或用 ㊃ (点)表示;字母和数字相乘,省略乘号,并把数字放到字母前.例如,3ˑb =3㊃b =3b .练习4 上海市某文具厂今年9月产值为m 万元,10月比9月减少了110,11月比10月增加了15%,则11月产值是( ).A .m -110æèçöø÷(m +15%)万元B .1-110æèçöø÷㊃(1+15%)m 万元C .m -110+15%æèçöø÷万元D .1-110+15%æèçöø÷m 万元例2 如图21所示,①,②,③,④ ,是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行 广 字,按照这种规律,第5个 广 字中的棋子枚数是,第n 个 广 字中的棋子枚数是.图21ʌ解析ɔ 通过分析图21的前4幅图发现:①的棋子有7枚,②的棋子有9枚,③的棋子有11枚,④的棋子有13枚,规律是依次增加2枚.那么第5个 广 字的棋子即为15枚.①的棋子枚数是在5枚的基础上增加2枚,②的棋子枚数是在5枚的基础上增加4枚,即在5枚的基础上增加2ˑ2(枚),③的棋子枚数是在5枚的基础上增加3ˑ2(枚),以此类推,那么第n 个 广 字中的。
初二数学各类经典难题(含答案)
简单的极端原理1 钟面上有十二个数1，2，3，…，12．将其中某些数的前面添上一个负号，使钟面上所有数之代数和等于零，则至少要添n个负号，这个数n是（）A、4B、5C、6D、72、学生甲、乙、丙三人竞选学校的学生会主席，选举时收到有效选票1500张，统计其中1000张选票的结果是：甲350张，乙370张，丙280张，则甲在剩下的500张选票中至少再得票，才能保证以得票最多当选该校的学生会主席．3 已知a、b、c为实数．证明：（a+b+c）2、（a+b-c）2、（b+c-a）2、（c+a-b）2这四个代数式的值中至少有一个不小于a2+b2+c2的值，也至少有一个不大于a2+b2+c2的值．4如果a，b，c是正实数且满足abc=1，则代数式（a+1）（b+1）（c+1）的最小值是（）A、64B、8 2C、8D、25如图，在矩形ABCD中，AE，AF三等分∠BAD，若BE=2，CF=1，则最接近矩形面积的是（）A、13B、14C、15D、166.正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2， …按如图所示的方式放置．点A 1，A 2，A 3， …和点C 1，C2，C 3，…分别在直线y=kx+b(k ＞0)和x 轴上，已知点B 1(1，1)，B 2(3，2)，则Bn 的坐标是_________．7（2005•烟台）（1）如图1，以△ABC 的边AB 、AC 为边分别向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连接EG ，试判断△ABC 与△AEG 面积之间的关系，并说明理由． （2）园林小路，曲径通幽，如图2所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成．已知中间的所有正方形的面积之和是a 平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b 平方米，这条小路一共占地多少平方米．yxO C1 B2A2C3B1A3B3A1 C8 已知，如图，等边三角形ABC中，AB=4，点P为AB边上的任意一点（点P可以与点A 重合，但不与点B重合），过点P作PE⊥BC，垂足为E，过点E作EF⊥AC，垂足为F，过点F作FQ⊥AB，垂足为Q，设BP=x，AQ=y．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）当BP的长等于多少时，点P与点Q重合．9（2001•苏州）如图，L甲、L乙分别是甲、乙两弹簧的长ycm与所挂物体质量xkg之间函数关系的图象，设甲弹簧每挂1kg物体伸长的长度为k甲cm，乙弹簧每挂1kg物体伸长的长度为k乙cm，则k甲与k乙的关系是（）A、k甲＞k乙B、k甲=k乙C、k甲＜k乙D、不能确定10 如图，在平面直角坐标系中，直线y=- x + 3 交x轴于A点，交y轴于B点，点C是线段AB 的中点，连接OC，然后将直线OC绕点C顺时针旋转30°交x轴于点D，再过D点作直线DC1∥OC，交AB与点C1，然后过C1点继续作直线D1C1∥OC，交x轴于点D1，并不断重复以上步骤，记△OCD的面积为S1，△DC1D1的面积为S2，依次类推，后面的三角形面积分别是S3，S4…，那么S1= ，若S=S1+S2+S3+…+S n，当n无限大时，S的值无限接近于．11 如图，正方形ABCD和正方形CGEF（CG＞BC），连接AE，取线段AE的中点M．证明：FM⊥MD，且FM=MD．解答：证明：如图，过点E作AD的平行线分别交DM、DC的延长线于N、H，连接DF、FN．∴∠ADC=∠H，∠3=∠4．∵AM=ME，∠1=∠2，∴△AMD≌△EMN∴DM=NM，AD=EN．∵ABCD和CGEF是正方形，∴AD=DC，FC=FE，∠ADC=∠FCG=∠CFE=90°，∠5=∠6=90°-∠NEG=∠NEF，DC=AD=NE．又∵∠H=90°，∴∠DCF+∠7=∠5+∠7=90°∴∠DCF=∠5=∠NEF∵FC=FE，∴△DCF≌△NEF．∴FD=FN，∠DFC=∠NEF．∵∠CFE=90°，∴∠DFN=90°，即△DFN为等腰直角三角形．又DM=MN，∴FM⊥MD，MF=MD．点评：本题考查了正方形各边相等且各内角为直角的性质，考查了全等三角形的判定和对应边、对应角相等的性质，本题中求证△DCF≌△NEF是解题的关键．。
新初中数学二次函数难题汇编附解析
新初中数学二次函数难题汇编附解析一、选择题1．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac ﹣b 2＜0；②4a+c ＜2b ；③3b+2c ＜0；④m （am+b ）+b ＜a （m≠﹣1），其中正确结论的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B【解析】【分析】【详解】 解：∵抛物线和x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac ＞0，∴4ac ﹣b 2＜0，∴①正确；∵对称轴是直线x ﹣1，和x 轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，∴抛物线和x 轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y=4a ﹣2b+c ＞0，∴4a+c ＞2b ，∴②错误；∵把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c ＜0，∴2a+2b+2c ＜0，∵b=2a ，∴3b ，2c ＜0，∴③正确；∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，∴y=a ﹣b+c 的值最大，即把（m ，0）（m≠0）代入得：y=am 2+bm+c ＜a ﹣b+c ，∴am 2+bm+b ＜a ，即m （am+b ）+b ＜a ，∴④正确；即正确的有3个，故选B ．考点：二次函数图象与系数的关系2．如图，抛物线2119y x =-与x 轴交于A B ，两点，D 是以点()0,4C 为圆心，1为半径的圆上的动点，E 是线段AD 的中点，连接,OE BD ，则线段OE 的最小值是（ ）A ．2B ．322C ．52D ．3【答案】A【解析】【分析】 根据抛物线解析式即可得出A 点与B 点坐标，结合题意进一步可以得出BC 长为5，利用三角形中位线性质可知OE=12BD ，而BD 最小值即为BC 长减去圆的半径，据此进一步求解即可.【详解】 ∵2119y x =-， ∴当0y =时，21019x =-， 解得：=3x ±，∴A 点与B 点坐标分别为：(3-，0)，(3，0)，即：AO=BO=3，∴O 点为AB 的中点，又∵圆心C 坐标为(0，4)，∴OC=4，∴BC 长度2205OB C +=，∵O 点为AB 的中点，E 点为AD 的中点，∴OE 为△ABD 的中位线，即：OE=12BD ， ∵D 点是圆上的动点，由图可知，BD 最小值即为BC 长减去圆的半径，∴BD 的最小值为4，∴OE=12BD=2，即OE 的最小值为2，故选：A.【点睛】本题主要考查了抛物线性质与三角形中位线性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.3．方程2x 3x 10+-=的根可视为函数3y x =+的图象与函数1y x =的图象交点的横坐标，则方程3x 2x 10+-=的实根x 0所在的范围是（ ）A ．010<x <4 B ．011<x <43 C ．011<x <32 D ．01<x <12 【答案】C【解析】【分析】首先根据题意推断方程x 3+2x-1=0的实根是函数y=x 2+2与1y x =的图象交点的横坐标，再根据四个选项中x 的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点即可判定推断方程x 3+2x-1=0的实根x 所在范围．【详解】解：依题意得方程3x 2x 10+-=的实根是函数2y x 2=+与1y x=的图象交点的横坐标，这两个函数的图象如图所示，它们的交点在第一象限．当x=14时，21y x 2216=+=，1y 4x ==，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当x=13时，21229y x =+=，1y 3x ==，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当x=12时，21224y x =+=，1y 2x==，此时抛物线的图象在反比例函数上方； 当x=1时，2y x 23=+=，1y 1x==，此时抛物线的图象在反比例函数上方． ∴方程3x 2x 10+-=的实根x 0所在范围为：011<x <32． 故选C ．【点睛】此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．4．如图是抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n ），且与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①4a ﹣2b +c ＞0；②3a +b ＞0；③b 2＝4a （c ﹣n ）；④一元二次方程ax 2+bx +c ＝n ﹣1有两个互异实根．其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】【分析】 根据二次函数图象和性质，开口向下，可得a<0，对称轴x=1，利用顶点坐标，图象与x 轴的交点情况，对照选项逐一分析即可．【详解】①∵抛物线与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间，∴当x ＝﹣2时，y ＜0，即4a ﹣2b +c ＜0，所以①不符合题意；②∵抛物线的对称轴为直线x ＝﹣2b a＝1，即b ＝﹣2a ， ∴3a +b ＝3a ﹣2a ＝a <0，所以②不符合题意；③∵抛物线的顶点坐标为（1，n ）， ∴244ac b a＝n ， ∴b 2＝4ac ﹣4an ＝4a （c ﹣n ），所以③符合题意；④∵抛物线与直线y ＝n 有一个公共点，∴抛物线与直线y ＝n ﹣1有2个公共点，∴一元二次方程ax 2+bx +c ＝n ﹣1有两个不相等的实数根，所以④符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质的应用，二次函数开口方向，对称轴，交点位置，二次函数与一次函数图象结合判定方程根的个数，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．5．抛物线y 1=ax 2+bx +c 与直线y 2=mx +n 的图象如图所示，下列判断中：①abc ＜0；②a +b +c ＞0；③5a -c =0；④当x ＜或x ＞6时，y 1＞y 2，其中正确的个数有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】【详解】 解：根据函数的开口方向、对称轴以及函数与y 轴的交点可知：a >0，b <0，c >0，则abc <0，则①正确；根据图形可得：当x=1时函数值为零，则a+b+c=0，则②错误；根据函数对称轴可得：-2b a=3，则b=-6a ，根据a+b+c=0可知：a-6a+c=0，-5a+c=0，则5a-c=0，则③正确；根据函数的交点以及函数图像的位置可得④正确.点睛：本题主要考查的就是函数图像与系数之间的关系，属于中等题目,如果函数开口向上，则a 大于零，如果函数开口向下，则a 小于零；如果函数的对称轴在y 轴左边，则b 的符号与a 相同，如果函数的对称轴在y 轴右边，则b 的符号与a 相反；如果函数与x 轴交于正半轴，则c 大于零，如果函数与x 轴交于负半轴，则c 小于零；对于出现a+b+c 、a-b+c 、4a+2b+c 、4a-2b+c 等情况时，我们需要找具体的值进行代入从而得出答案；对于两个函数值的大小比较，我们一般以函数的交点为分界线，然后进行分情况讨论.6．如图，坐标平面上，二次函数y ＝﹣x 2+4x ﹣k 的图形与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其顶点为D ，且k ＞0．若△ABC 与△ABD 的面积比为1：4，则k 值为何？( )A ．1B ．12C ．43D ．45【答案】D【解析】【分析】 求出顶点和C 的坐标，由三角形的面积关系得出关于k 的方程，解方程即可．【详解】解：∵y ＝﹣x 2+4x ﹣k ＝﹣(x ﹣2)2+4﹣k ，∴顶点D(2，4﹣k)，C(0，﹣k)，∴OC ＝k ，∵△ABC 的面积＝12AB•OC ＝12AB•k ，△ABD 的面积＝12AB(4﹣k)，△ABC 与△ABD 的面积比为1：4，∴k ＝14(4﹣k)， 解得：k ＝45． 故选：D ．【点睛】 本题考查了抛物线与x 轴的交点、抛物线的顶点式；根据三角形的面积关系得出方程是解决问题的关键．7．已知在平面直角坐标系中，有两个二次函数()()39m x x y =++及()()26y n x x =--图象，将二次函数()()39m x x y =++的图象按下列哪一种平移方式平移后，会使得此两个函数图象的对称轴重叠（ ）A ．向左平移2个单位长度B ．向右平移2个单位长度C ．向左平移10个单位长度D ．向右平移10个单位长度【答案】D【解析】【分析】将二次函数解析式展开，结合二次函数的性质找出两二次函数的对称轴，二者做差后即可得出平移方向及距离．【详解】解：∵y ＝m （x ＋3）（x ＋9）＝mx 2＋12mx ＋27m ，y ＝n （x －2）（x －6）＝nx 2－8nx ＋12n ，∴二次函数y ＝m （x ＋3）（x ＋9）的对称轴为直线x ＝－6，二次函数y ＝n （x －2）（x －6）的对称轴为直线x ＝4，∵4－（－6）＝10，∴将二次函数y ＝m （x ＋3）（x ＋9）的图形向右平移10个单位长度，两图象的对称轴重叠．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，根据二次函数的性质找出两个二次函数的对称轴是解题的关键．8．如图，二次函数()200y ax bx c a =++=≠的图象与x 轴正半轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，对称轴为直线2x =，且OA OC =，则下列结论：①0abc >；②930a b c ++<；③1c >-；④关于x 的方程()200ax bx c a ++=≠有一个根为1a-，其中正确的结论个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】 由二次图像开口方向、对称轴与y 轴的交点可判断出a 、b 、c 的符号，从而可判断①；由图像可知当x ＝3时，y ＜0，可判断②；由OA ＝OC ，且OA ＜1，可判断③；把﹣1a 代入方程整理得ac 2－bc ＋c ＝0，结合③可判断④；从而得出答案.【详解】由图像开口向下，可知a ＜0，与y 轴的交点在x 轴的下方，可知c ＜0，又对称轴方程为x ＝2，∴﹣2b a＞0，∴b ＞0，∴abc ＞0，故①正确；由图像可知当x ＝3时，y ＞0，∴9a ＋3b ＋c ＞0，故②错误；由图像可知OA ＜1，∵OA ＝OC ，∴OC ＜1，即﹣c ＜1，故③正确；假设方程的一个根为x ＝﹣1a ，把﹣1a 代入方程，整理得ac 2－bc ＋c ＝0， 即方程有一个根为x ＝﹣c ，由②知﹣c ＝OA ，而当x ＝OA 是方程的根，∴x ＝﹣c 是方程的根，即假设成立，故④正确.故选C.【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质以及二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的相关知识是解答此题的关键.9．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)经过点M (﹣1，2)和点N (1，﹣2)，则下列说法错误的是( )A ．a +c ＝0B ．无论a 取何值，此二次函数图象与x 轴必有两个交点，且函数图象截x 轴所得的线段长度必大于2C ．当函数在x ＜110时，y 随x 的增大而减小 D ．当﹣1＜m ＜n ＜0时，m +n ＜2a 【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的图象和性质对各项进行判断即可．【详解】解：∵函数经过点M (﹣1，2)和点N (1，﹣2)，∴a ﹣b +c ＝2，a +b +c ＝﹣2，∴a +c ＝0，b ＝﹣2，∴A 正确；∵c ＝﹣a ，b ＝﹣2，∴y ＝ax 2﹣2x ﹣a ，∴△＝4+4a 2＞0，∴无论a 为何值，函数图象与x 轴必有两个交点，∵x 1+x 2＝2a，x 1x 2＝﹣1，∴|x 1﹣x 2|＝＞2， ∴B 正确；二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)的对称轴x ＝﹣2b a ＝1a ， 当a ＞0时，不能判定x ＜110时，y 随x 的增大而减小； ∴C 错误；∵﹣1＜m ＜n ＜0，a ＞0，∴m +n ＜0，2a＞0，∴m+n＜2a；∴D正确，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的问题，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．10．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象于x轴的交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，对于以下说法：①b2﹣4ac＞0②x＝x0是方程ax2+bx+c＝y0的解③x1＜x0＜x2④a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0其中正确的是（）A．①③④B．①②④C．①②③D．②③【答案】B【解析】【分析】①根据二次函数图象与x轴有两个不同的交点，结合根的判别式即可得出△=b2-4ac＞0，①正确；②由点M（x0，y0）在二次函数图象上，利用二次函数图象上点的坐标特征即可得出x=x0是方程ax2+bx+c=y0的解，②正确；③分a＞0和a＜0考虑，当a＞0时得出x1＜x0＜x2；当a＜0时得出x0＜x1或x0＞x2，③错误；④将二次函数的解析式由一般式转化为交点式，再由点M（x0，y0）在x轴下方即可得出y0=a（x0-x1）（x0-x2）＜0，④正确．【详解】①∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象于x轴的交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，∴△=b2-4ac＞0，①正确；②∵图象上有一点M（x0，y0），∴a+bx0+c=y0，∴x=x0是方程ax2+bx+c=y0的解，②正确；③当a＞0时，∵M（x0，y0）在x轴下方，∴x1＜x0＜x2；当a＜0时，∵M（x0，y0）在x轴下方，∴x0＜x1或x0＞x2，③错误；④∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象于x轴的交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），∴y=ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2），∵图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，∴y0=a（x0-x1）（x0-x2）＜0，④正确；故选B．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数图象与系数的关系，根据二次函数的相关知识逐一分析四条结论的正误是解题的关键．11．如图，已知将抛物线21y x =-沿x 轴向上翻折与所得抛物线围成一个封闭区域（包括边界），在这个区域内有5个整点（点M 满足横、纵坐标都为整数，则把点M 叫做“整点”）.现将抛物线()()2120y a x a =++<沿x 轴向下翻折，所得抛物线与原抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）恰有11个整点，则a 的取值范围是（ ）A ．1a ≤-B ．12a ≤-C ．112a -<≤D ．112a -≤<- 【答案】D【解析】【分析】 画出图象，利用图象可得m 的取值范围【详解】解：∵ ()()2120y a x a =++<∴该抛物线开口向下，顶点(-1，2)，对称轴是直线x=-1.∴点(-1,2)、点(-1，1)、点(-1, 0)、点(-1,-1)、点(-1，-2)符合题意，此时x 轴.上的点(-2, 0)、(0, 0)也符合题意，将(0，1)代入()()2120y a x a =++<得到1=a+2.解得a=-1.将(1, 0)代入()()2120y a x a =++<得到0= 4a+2.解得a=1-2∵有11个整点，∴点(0，-1)、点(-2, -1)、点(-2,1)、点(0，1)也必须符合题意.综上可知:当1-1a<-2≤ 时，点(-1，2)、点(-1，1)、点(-1, 0)、点(-1，-1)、点(-1，-2)、点(-2, 0)、(0，0)、点(0，-1)、点(-2，-1)、点(-2，1)、点(0, 1)，共有11个整点符合题意, 故选: D. 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x 轴的交点的求法，利用图象解决问题是本题的关键.12．二次函数2y ax bx c =++（,,a b c 是常数，0a ≠）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：且当12x =-时，与其对应的函数值0y >．有下列结论：①0abc >；②2-和3是关于x 的方程2ax bx c t ++=的两个根；③0m <203n +<．其中，正确结论的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】首先确定对称轴，然后根据二次函数的图像和性质逐一进行分析即可求解． 【详解】∵由表格可知当x=0和x=1时的函数值相等都为-2 ∴抛物线的对称轴是：x=-2b a =12； ∴a 、b 异号，且b=-a ； ∵当x=0时y=c=-2 ∴c 0<∴abc >0，故①正确；∵根据抛物线的对称性可得当x=-2和x=3时的函数值相等都为t ∴2-和3是关于x 的方程2ax bx c t ++=的两个根；故②正确； ∵b=-a ，c=-2∴二次函数解析式：2-a -2=y ax x∵当12x=-时，与其对应的函数值0y>．∴3204a->，∴a83>；∵当x=-1和x=2时的函数值分别为m和n，∴m=n=2a-2，∴m+n=4a-4203>；故③错误故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程等知识点，要会利用数形结合的思想，根据给定自变量x 与函数值y的值结合二次函数的性质逐条分析给定的结论是关键．13．如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC CD→方向运动，当P运动到B点时，P Q、点同时停止运动．设P点运动的时间为t秒，APQ∆的面积为S，则表示S与t之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D 【解析】 【分析】本题应分两段进行解答,①点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动；②点P 在AB 上运动，点Q 在CD 上运动，依次得出S 与t 的关系式，即可判断得出答案． 【详解】解：当点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动时， 此时，,2AP t BQ t ==2122APQ S t t t =⋅⋅=V ，函数图象为抛物线；当点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动时， 此时，AP t =，APQ V 底边AP 上的高保持不变1422APQ S t t =⋅⋅=V ，函数图象为一次函数；故选：D ． 【点睛】本题考查的知识点是函数图象，理解题意，分段求出S 与t 之间的函数关系是解此题的关键．14．函数2y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】根据a 、b 的符号，针对二次函数、一次函数的图象位置，开口方向，分类讨论，逐一排除． 【详解】当a ＞0时，二次函数的图象开口向上，一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限， 故A 、D 不正确；由B 、C 中二次函数的图象可知，对称轴x=-2ba＞0，且a ＞0，则b ＜0， 但B 中，一次函数a ＞0，b ＞0，排除B ． 故选C ．15．已知抛物线y ＝x 2+（2a +1）x +a 2﹣a ，则抛物线的顶点不可能在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 【分析】求得顶点坐标，得出顶点的横坐标和纵坐标的关系式，即可求得． 【详解】抛物线y ＝x 2+（2a +1）x +a 2﹣a 的顶点的横坐标为：x ＝﹣212a +＝﹣a ﹣12， 纵坐标为：y ＝()()224214a a a --+＝﹣2a ﹣14， ∴抛物线的顶点横坐标和纵坐标的关系式为：y ＝2x +34， ∴抛物线的顶点经过一二三象限，不经过第四象限， 故选：D ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，得到顶点的横纵坐标的关系式是解题的关键．16．已知抛物线224y x x c =-+与直线2y =有两个不同的交点．下列结论：①4c <；②当1x =时，y 有最小值2c -；③方程22420x x c -+-=有两个不等实根；④若连接这两个交点与抛物线的顶点，恰好是一个等腰直角三角形，则52c =；其中正确的结论的个数是（ ） A ．4 B ．3 C ．2D ．1【答案】B 【解析】 【分析】根据“抛物线224y x x c =-+与直线2y =有两个不同的交点”即可判断①③；根据抛物线的对称轴为直线x=1即可判断②；根据等腰直角三角形的性质，用c 表达出两个交点，代入抛物线解析式计算即可判断④． 【详解】解：∵抛物线224y x x c =-+与直线2y =有两个不同的交点，∴2242x x c -+=有两个不相等的实数根，即22420x x c -+-=有两个不相等的实数根，故③正确，∴1642(2)0c ∆=-⨯⨯->，解得：4c <，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线x=1，且抛物线开口向上， ∴当x=1时，2y c =-为最小值，故②正确；若连接这两个交点与抛物线的顶点，恰好是一个等腰直角三角形，则顶点（1，c-2）到直线y=2的距离等于两交点距离的一半， ∵顶点（1，c-2）到直线y=2的距离为2-（c-2）=4-c ， ∴两交点的横坐标分别为1-（4-c ）=c-3与1+（4-c ）=5-c ∴两交点坐标为（c-3,2）与（5-c,2），将（c-3,2）代入224y x x c =-+中得：22(3)4(3)2c c c ---+=解得：72c =或4c = ∵4c <，∴72c =，故④错误， ∴正确的有①②③， 故选：B ． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握函数与方程之间的联系．17．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，那么下列结论中正确的是（ ）A ．ac ＞0B ．b ＞0C ．a +c ＜0D ．a +b +c ＝0【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案． 【详解】A.由图象可知：a ＜0，c ＞0， ∴ac ＜0，故A 错误；B.由对称轴可知：x ＝2ba -＜0， ∴b ＜0，故B 错误； C.由对称轴可知：x ＝2ba-＝﹣1， ∴b ＝2a ， ∵x ＝1时，y ＝0， ∴a +b +c ＝0， ∴c ＝﹣3a ，∴a +c ＝a ﹣3a ＝﹣2a ＞0，故C 错误； 故选D ． 【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．18．某二次函数图象的顶点为()2,1-，与x 轴交于P 、Q 两点，且6PQ =．若此函数图象通过()1,a 、()3,b 、()1,c -、()3,d -四点，则a 、b 、c 、d 之值何者为正？（ ） A ．a B ．bC ．cD ．d【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可以得到该函数的对称轴，开口方向和与x 轴的交点坐标，从而可以判断a 、b 、c 、d 的正负，本题得以解决． 【详解】∵二次函数图象的顶点坐标为（2，-1），此函数图象与x 轴相交于P 、Q 两点，且PQ=6， ∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x=2，∴图形与x 轴的交点为（2-3，0）=（-1，0），和（2+3，0）=（5，0）， ∵此函数图象通过（1，a ）、（3，b ）、（-1，c ）、（-3，d ）四点， ∴a ＜0，b ＜0，c=0，d ＞0， 故选：D ． 【点睛】此题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．19．下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数y ＝2ax +（a+c ）x+c 与一次函数y ＝ax+c 的大致图象．正确的（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】【分析】根据题意和二次函数与一次函数的图象的特点，可以判断哪个选项符合要求，从而得到结论． 【详解】令ax 2+（a+c ）x+c=ax+c ， 解得，x 1=0，x 2=-c a， ∴二次函数y=ax 2+（a+c ）x+c 与一次函数y=ax+c 的交点为（0，c ），（−ca，0）， 选项A 中二次函数y=ax 2+（a+c ）x+c 中a ＞0，c ＜0，而一次函数y=ax+c 中a ＜0，c ＞0，故选项A 不符题意，选项B 中二次函数y=ax 2+（a+c ）x+c 中a ＞0，c ＜0，而一次函数y=ax+c 中a ＞0，c ＜0，两个函数的交点不符合求得的交点的特点，故选项B 不符题意，选项C 中二次函数y=ax 2+（a+c ）x+c 中a ＜0，c ＞0，而一次函数y=ax+c 中a ＜0，c ＞0，交点符合求得的交点的情况，故选项D 符合题意，选项D 中二次函数y=ax 2+（a+c ）x+c 中a ＜0，c ＞0，而一次函数y=ax+c 中a ＞0，c ＜0，故选项C 不符题意， 故选：D ． 【点睛】考查一次函数的图象、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．20．在平面直角坐标系中，点P 的坐标为()1,2，将抛物线21322y x x =-+沿坐标轴平移一次，使其经过点P ，则平移的最短距离为（ ） A ．12B ．1C ．5D ．52【答案】B 【解析】 【分析】先求出平移后P 点对应点的坐标，求出平移距离，即可得出选项． 【详解】 解：21322y x x =-+=()215322x --， 当沿水平方向平移时，纵坐标和P 的纵坐标相同，把y=2代入得： 解得：x=0或6， 平移的最短距离为1-0=1；当沿竖直方向平移时，横坐标和P 的横坐标相同，把x=1代入得：解得：y=12 -，平移的最短距离为152=22⎛⎫--⎪⎝⎭，即平移的最短距离是1，故选B.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能求出平移后对应的点的坐标是解此题的关键．。
中考数学压轴题：妙解双动点问题,一眼识题,学霸解题技巧!
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题目：
有一根长为9米的绳子，其中距离一端3米处有一只名为小明的狗，距离另一端5米处有一只名为小红的猫。
现在狗向着绳子的一端跑，小红也向着绳子的一端跑，它们的速度都是
1.5m/s。
当它们相遇时，已经过去了多少时间？
解题思路：
首先，我们要明确两点：
1. 当两个物体以不同的速度相向而行时，它们相遇的时间可以通过它们之间的距离除以它们速度的和得到。
2. 狗和猫相遇的时候，它们相遇的位置离狗3米，离猫5米。
根据第一个点，狗和猫相遇的时间可以表示为：
时间 = 相遇位置 / （狗的速度 + 猫的速度）
根据第二个点，相遇位置 = 9米 - 3米 - 5米 = 1米
将相遇位置和速度带入公式，可以算出：
时间 = 1米 / （1.5m/s + 1.5m/s）= 1/3 s
所以，当狗和猫相遇时，已经过去了1/3秒。
初中数学一次函数的应用大题专练《行程问题》重难点培优30题含答案解析
【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】专题19.7一次函数的应用大题专练（1）行程问题（重难点培优30题）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、解答题1．（2022春·黑龙江大庆·七年级校考期中）如图，甲骑自行车与乙骑摩托车沿相同路线由A 地到B地行驶，两地之间的路程是60km，请根据图象解决下列问题：(1)分别求出甲行驶的路程y1（km）、乙行驶的路程y2（km）与甲行驶的时间x(ℎ)之间的函数表达式；(2)若甲、乙都行驶且甲与乙相距的路程为12km，求x的值．【答案】(1)y1=10x；y2=40x−120(2)3.6或4.4【分析】（1）根据函数图象上的数据，利用待定系数法求函数表达式即可；（2）观察图象可知，有两种情况下甲与乙相距的路程为12km，一种是甲与乙相遇前，一种是甲与乙相遇后，分情况列式计算即可求解．（1）解：设甲行驶的路程y1（km）与甲行驶的时间x(ℎ)之间的函数表达式为y1=k1x，∵函数图像经过(4,40)点，∴40=4k1，解得k1=10，∴甲行驶的路程y1（km）与甲行驶的时间x(ℎ)之间的函数表达式为y1=10x；设乙行驶的路程y2（km）与甲行驶的时间x(ℎ)之间的函数表达式为y2=k2x+b，∵函数图像经过(4,40)和(4.5,60)，∴40=4k2+b60=4.5k2+b，解得k2=40，b=−120，∴y2=40x−120，∴乙行驶的路程y2（km）与甲行驶的时间x(ℎ)之间的函数表达式为y2=40x−120；（2）解：甲、乙都行驶且甲与乙相遇前相距的路程为12km时，10x−(40x−120)=12，解得x=3.6；甲、乙都行驶且甲与乙相遇后前相距的路程为12km时，(40x−120)−10x=12，解得x=4.4；∴甲、乙都行驶且甲与乙相距的路程为12km时，x的值为3.6或4.4．【点睛】本题考查一次函数的实际应用，学会观察函数图象，利用数形结合思想是解答本题的关键．2．（2022春·辽宁丹东·七年级校考期末）一条公路旁边依次有A，B，C三地，甲、乙两人同时分别从A地、B地骑自行车前往C地，他们距C地的路程S（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示，请根据图像提供的信息解答下列问题：(1)A，B两地相距千米，A，C两地相距千米；(2)分别求出甲、乙两人距C地的路程S与行驶时间t之间的函数关系式；(3)甲、乙两人谁先到达C地，此时另一人距C地的路程还有多少？【答案】(1)10，40(2)S甲＝﹣20t+40，S乙＝﹣12t+30(3)甲先到达C地，此时乙距C的路程还有6千米【分析】（1）根据图象得出A，B两地和A，C两地之间的距离即可；（2）设函数关系式为S甲＝k1t+40，把（0，40）、（2，0）代入解答即可，设函数关系式为S 乙＝k2t+30，把（0，30）、（2.5，0）两点代入解答即可；（3）由图象解答即可．（1）解：A，B两地相距40﹣30＝10千米，A，C两地相距40千米；故答案为：10，40；（2）解：由函数图象知，甲距C地的路程S甲与行驶时间t之间的函数图象过（0，40）、（2，0）两点，设函数关系式为S甲＝k1t+40，则有0＝2 k1+40，即k1＝﹣20．所以所求函数关系式为：S甲＝﹣20t+40；因为乙距C地的路程s与行驶时间t之间的函数图象过（0，30）、（2.5，0）两点，可设函数关系式为S乙＝k2t+30，则有0＝2.5 k2+30，即k2＝﹣12．所以所求函数关系式为：S乙＝﹣12t+30；（3）解：由图象知，当t＝2，S甲＝0，即甲到达C地．而当t＝2时，S乙＝﹣12×2+30＝6（千米）．答：甲先到达C地，此时乙距C的路程还有6千米．【点睛】本题考查了函数的图象及待定系数法求一次函数解析式，待定系数法是数学解题中经常用到的，也是中考的热点问题，同学们注意熟练掌握．3．（2022春·黑龙江大庆·七年级统考期末）甲、乙两车分别从BA两地同时出发，甲车匀速前往A地，乙车匀速前往B地，到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地，设甲、乙两车离A地的路程为y（千米），乙车行驶的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示．(1)乙车从A地到达B地的速度是__________千米/时；(2)乙车到达B地时甲车距A地的路程是__________千米；(3)m=_________；n=_________．【答案】(1)120(2)100三地，A、B两地相距420千米，甲、乙两辆汽车分别从A、B两地同时出发，沿公路匀速相向而行，分别开往B、A两地．甲、乙两车到C地的距离y1，y2(千米)与行驶时间x(小时)的关系如图所示．根据图象进行以下探究：(1)直接写出相应距离：AC=______千米；BC=______千米；(2)求甲车的速度，并求出图中b的值．(3)在行驶过程中，求甲、乙两车之间的距离y3(千米)与行驶时间x(小时)的关系式．回学校，两人都沿同一条路直线运动，小红回到学校停留三分钟后又以同样的速度去美术馆，小明的速度是80米/分钟，如图是两人与学校的距离s（米）与小明的运动时间t（分钟）之间的关系图．(1)学校与美术馆之间的距离为_________米；(2)求小红停留再出发后s与t的关系式；(3)请直接写出小明和小红在途中相遇时小明的运动时间．答是解题的关键．6．（2022春·江西抚州·七年级统考期末）“双减”政策下，孩子们的课余支配时间更多了．肖强每周都会去图书馆看课外书．这个周末，他早晨8时从家出发步行去图书馆．途中发现忘了带借书证，于是原路原速返回，同时电话联系爸爸．爸爸马上骑自行车送借书证并在路上遇见肖强．为了多一些阅读时间，爸爸按原速骑自行车送肖强去图书馆．肖强离家的距离s （m）与时间t（min）之间的关系如图所示．请根据图中所提供的信息，回答下列问题：(1)图象中自变量是______，因变量是______；(2)肖强步行的速度是______m/min，爸爸骑自行车的速度是______m/min；(3)肖强离家______m时遇到爸爸，图书馆离肖强家有______m；(4)写出爸爸骑自行车送肖强去图书馆时肖强离家的距离s与时间t之间的关系式．【答案】(1)时间，肖强离家的距离(2)80，160(3)800，2400(4)s=160t−2400【分析】（1）图象中横轴为自变量，纵轴为因变量，由此可解；（2）根据速度＝路程÷时间，即可求解；（3）根据路程＝速度×时间，即可求解；（4）利用待定系数法即可求解．（1）解：由题意，图象中自变量是时间，因变量是肖强离家的距离，故答案为：时间，肖强离家的距离；（2）解：观察图象可知，肖强步行15分钟离家1200米，∴肖强步行的速度是1200÷15＝80m/min，观察图象可知，爸爸从第15到第20分钟骑行了5分钟，离家800米，∴爸爸骑自行车的速度是800÷5＝160m/min，故答案为：80，160；（3）解：观察图象可知，肖强离家800m时遇到爸爸，从第20到第30分钟骑行10分钟，到达图书馆，∴图书馆离肖强家的距离为：800+160×(30−20)=2400m，故答案为：800，2400；（4）解：由（3）知，当t=20时，s=800，当t=30时，s=2400，设s与时间t之间的关系式为：s=kt+b，将(20,800)和(30,2400)代入得，800=20k+b2400=30k+b，解得k=160b=−2400，∴s与时间t之间的关系式为s=160t−2400．【点睛】本题考查一次函数的实际应用，读懂题意，从图象中获取相关信息是解题的关键．7．（2022春·陕西西安·七年级统考期末）甲、乙两位同学从A地出发，在同一条路上骑自行车到B地，他们离出发地的距离S（千米）与甲行驶时间t（小时）之间的函数关系图象如图所示，根据图中提供的信息解答下列问题：(1)A地到B地的距离多少千米？甲中途停留了多长时间？(2)求乙骑行的速度多少？(3)求甲在停留时离A地的距离是多少千米？(4)求甲在停留后，他离出发地的距离S和t之间的函数关系式；(5)求乙到达B地时，甲离B地的距离是多少？地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人间的距离为s（km）与甲行驶的时间为t（h）之间的关系如图所示．(1)以下是点M、点N、点P所代表的实际意义，请将M、N、P填入对应的括号里．①甲到达终点②甲乙两人相遇③乙到达终点(2)AB两地之间的路程为千米：(3)求甲、乙各自的速度；(4)甲出发多长时间后，甲、乙两人相距180千米？【点睛】本题考查函数图象在实际问题中的应用，正确理解图象各点意义、熟练把握行程问题各量的等量关系是解题关键．9．（2022春·重庆·七年级重庆八中校考期中）一辆轿车和一辆货车同时从甲地出发驶往乙地，轿车到达乙地后立即以另一速度原路返回甲地，货车到达乙地后停止．如图所示的图象分别表示货车、轿车离甲地距离y(km)与轿车行驶时间x(h)的关系．(1)求轿车在返回甲地过程中的速度；(2)当轿车从乙地返回甲地的途中与货车相遇时，求相遇处离甲地的距离．两地同时相向出发，匀速而行，快车到达乙地后停留1h，然后按原路原速返回，快车比慢车晚1h到达甲地，快慢辆车距各自出发地的路程y(km)与所用的时间x(h)的关系如图所示．(1)甲乙两地之间的距离为_______km，快车的速度为______km/h，慢车的速度为______km/h；(2)出发_______h，快慢两车距各自出发地的路程相等；(3)快慢两车出发_______h相距150km．沿相同路线前行，途中爸爸有事返回，小明继续前行5分钟后也原路返回，两人恰好同时回家，小明和爸爸在整个运动过程中离家的距离y（米）与所用时间x（分）的关系如图所示：（1）m=______，n=______；（2）小明返回时和爸爸之间的距离是多少?（3）从家出发多长时间，两人相距900米?（直接写出答案）车从A地出发驶往B地，乙也于同日下午骑摩托车从A地出发驶往B地，在这个变化过程中，甲和乙所行驶的路程用变量S（km）表示，甲所用的时间用变量t（小时）表示，图中折线OPQ和线段MN分别表示甲和乙所行驶的路程S与t的变化关系，请根据图象回答：（1）直接写出：甲出发后 小时，乙才开始出发；（2）乙的行驶速度是 千米/小时；（3）求乙行驶几小时后追上甲，此时两人相距B地还有多少千米？路程S(km)与行驶时间t(ℎ)之间的关系如图所示．请根据图象所提供的信息解答下列问题：(1)甲的速度是km/ℎ，乙的速度是km/ℎ(2)求出甲或乙距A地的路程S与行驶时间t之间的函数关系式（任求一个)；(3)直接写出在什么时间段内乙比甲离A地更近?。
大同市初中数学方程与不等式之一元二次方程难题汇编含答案解析
大同市初中数学方程与不等式之一元二次方程难题汇编含答案解析一、选择题1．某新建火车站站前广场绿化工程中有一块长为20米，宽为12米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为112米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示)，问人行通道的宽度是( )A ．2米B ．323米C ．2米或323米D ．3米【答案】A【解析】【分析】 根据矩形面积的相关知识进行作答.【详解】设宽度为x ，将大矩形空地划分为两个相等的小矩形绿地和两个相等的细长矩形和三个相等的小细长矩形，运用大矩形空地面积等于划分的几个矩形面积之和建立方程式，即20121123122x 220x ⨯=+⨯-+⨯ ，解出x=2，所以，选A.【点睛】本题考查了矩形面积的相关知识，熟练掌握矩形面积的相关知识是本题解题关2．八年级()1班部分学生去春游时，每人都和同行的其他每一人合照一张双人照，共照了双人照片36张，则同去春游的人数是（ ）A ．9B ．8C ．7D ．6 【答案】A【解析】【分析】设同去春游的人数是x 人，由每人都和同行的其他每一人合照一张双人照且共照了双人照片36张，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设同去春游的人数是x 人， 依题意，得：1(1)362x x -=， 解得：19x =，28x =-（舍去）．故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．3．若关于x 的一元二次方程240x x k -+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）A ．k ≠0B ．k ＞4C ．k ＜4D ．k ＜4且k ≠0【答案】C【解析】【分析】根据判别式的意义得到△=（-4）2-4k ＞0，然后解不等式即可．【详解】∵关于x 的一元二次方程2x 4x k 0-+=有两个不相等的实数根，∴2=(-4)40k ∆-＞解得：k ＜4．故答案为：C ．【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程根的情况与判别式△的关系，解题关键是熟记一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0方程有两个不相等的实数根；（2）△=0方程有两个相等的实数根；（3）△＜0方程没有实数根．4．我市郊区大力发展全域旅游产业，打造了大来岗风景区、敖其湾赫哲族风景区等精品旅游 项目，郊区全年旅游人数逐年增加，据统计，2016年为30万人次，2018年为43.2万人次．设旅游人次的年平均增长率为x ，则可列方程为（ ）A ．()30143.2x +=B ．()30110.8x -=C ．()230143.2x +=D ．()()2301143.2x x ⎡⎤+++=⎣⎦【答案】C【解析】【分析】关于增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），旅游人次的年平均增长率为x ，然后根据已知可以得出方程．【详解】设旅游人次的年平均增长率为x ，那么根据题意得：()230143.2x +=．故选：C ．【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，一般形式为a （1+x ）2=b ，a 为起始时间的有关数量，b 为终止时间的有关数量．5．新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共72张，此小组人数为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C【解析】试题分析：设这个小组的人数为x 个，则每个人要送其他（x ﹣1）个人贺卡，则共有（x ﹣1）x 张贺卡，等于72张，由此可列方程．解：设这个小组有x 人，则根据题意可列方程为：（x ﹣1）x =72，解得：x 1=9，x 2=﹣8（舍去）．故选C ．6．聪聪、明明、伶伶、俐俐四人共同探究代数式2235x x -+的值的情况他们做了如下分工，聪聪负责找值为0时x 的值，明明负责找值为4时x 的值，伶伶负责找最小值，俐俐负责找最大值，几分钟，各自通报探究的结论，其中正确的是（ ）（1）聪聪认为找不到实数x ，使2235x x -+的值为0；（2）明明认为只有当1x =时，2235x x -+的值为4；（3）伶伶发现2235x x -+有最小值；（4）俐俐发现2235x x -+有最大值A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（1）（4）D ．（1）（2）（4） 【答案】B【解析】【分析】解一元二次方程，根据判别式即可判断（1）（2），将式子2x 2﹣3x +5配方为2（x ﹣34）2+318，根据平方的非负性即可判断（3）（4）． 【详解】 解：（1）2x 2﹣3x +5＝0，△＝32﹣4×2×5＜0，方程无实数根，故聪聪找不到实数x ，使2x 2﹣3x +5的值为0正确，符合题意，（2）2x 2﹣3x +5＝4，解得x 1＝1，x 2＝12，方程有两个不相等的实数根，故明明认为只有当x ＝1时，2x 2﹣3x +5的值为4错误，不符合题意， （3）∵2x 2﹣3x +5＝2（x ﹣34）2+318， 又∵（x ﹣34）2≥0， ∴2（x ﹣34）2+318≥318， ∴2x 2﹣3x +5有最小值，故伶伶发现2x 2﹣3x +5有最小值正确，符合题意，（4）由（3）可知2x 2﹣3x +5没有最大值，故俐俐发现2x 2﹣3x +5有最大值错误，不符合题意，故选：B ．【点睛】本题考查解一元二次方程和配方法的应用，掌握一元二次方程求根公式和配方法是解决本题的关键．7．关于x 的一元二次方程ax 2+2x+1=0有两个不相等的实数根，那么a 的取值范围是( ) A ．a ＞1B ．a=1C ．a ＜1D ．a<1且a≠0【答案】D【解析】【分析】由于原方程是一元二次方程，首先应该确定的是a≠0；然后再根据原方程根的情况，利用根的判别式建立关于a 的不等式，求出a 的取值范围．【详解】解：由于原方程是二次方程，所以a≠0；∵原方程有两个不相等的实数根，∴△=b 2-4ac=4-4a ＞0，解得a ＜1；综上，可得a≠0，且a ＜1；故选D ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△＜0⇔方程没有实数根．8．欧几里得的《原本》记载，形如22x ax b +=的方程的图解法是：画Rt ABC ∆，使90ACB ∠=o ，2a BC =，AC b =，再在斜边AB 上截取2a BD =.则该方程的一个正根是（ ）A ．AC 的长B ．AD 的长C ．BC 的长D ．CD 的长【答案】B【解析】【分析】可以利用求根公式求出方程的根，根据勾股定理求出AB 的长，进而求得AD 的长,即可发现结论.【解答】用求根公式求得：12x x == ∵90,2a C BC AC b ∠=︒==，，∴AB =∴2a AD == AD 的长就是方程的正根.故选B.【点评】考查解一元二次方程已经勾股定理等，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键.9．将方程()22230x x x m n --=-=化为的形式，指出,m n 分别是（ ） A ．1和3B ．-1和3C ．1和4D ．-1和4 【答案】C【解析】【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．【详解】移项得x 2-2x=3，配方得x 2-2x+1=4，即（x-1）2=4，∴m=1，n=4．故选C ．【点睛】用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x 2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax 2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x 2+px+q=0，然后配方．10．已知关于x 的一元二次方程3x 2+4x ﹣5=0，下列说法正确的是（ ）A ．方程有两个相等的实数根B ．方程有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定【答案】B【解析】试题分析：先求出△=42﹣4×3×（﹣5）=76＞0，即可判定方程有两个不相等的实数根．故答案选B.考点：一元二次方程根的判别式．11．若关于x 的一元二次方程2(2)26k x kx k --+=有实数根，则k 的取值范围为（ ） A ．0k ≥B ．0k ≥且2k ≠C ．32k ≥D ．32k ≥且2k ≠ 【答案】D【解析】【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k 的一元一次不等式组，解之即可得出k 的取值范围．【详解】（k-2）x 2-2kx+k-6=0，∵关于x 的一元二次方程（k-2）x 2-2kx+k=6有实数根， ∴220(2)4(2)(6)0k k k k V -≠⎧⎨=----⎩…， 解得：32k ≥且k≠2． 故选D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式△≥0，列出关于k 的一元一次不等式组是解题的关键．12．目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系，某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元．设每半年发放的资助金额的平均增长率为x ，则下面列出的方程中正确的是（ ）A ．438（1+x ）2=389B ．389（1+x ）2=438C ．389（1+2x ）=438D ．438（1+2x ）=389【答案】B【解析】【分析】【详解】解：因为每半年发放的资助金额的平均增长率为x ，去年上半年发放给每个经济困难学生389元，去年下半年发放给每个经济困难学生389 (1＋x) 元，则今年上半年发放给每个经济困难学生389 (1＋x) (1＋x) ＝389(1＋x)2元．据此，由题设今年上半年发放了438元，列出方程：389（1+x ）2=438．故选B ．13．如果关于x 的一元二次方程20x px q ++=的两个根分别是13x =，24x =，那么p ，q 的值分别是（ ）A ．3，4B ．-7，12C ．7，12D ．7，-12【答案】B【解析】【分析】根据根与系数的关系，直接代入计算即可．【详解】∵关于x 的一元二次方程x 2+px+q=0的两根分别为13x =，24x =，∴3+4=-p ，3×4=q ，∴p=-7，q=12，故选：B ．【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的字母表达式，并会代入计算．14．两个不相等的实数m ，n 满足2265,65m m n n +=+=，则mn 的值为（ ） A ．6B ．-6C ．5D ．-5 【答案】D【解析】【分析】根据题意得到m ，n 可看作方程x 2-6x-5=0的两根，然后根据根与系数的关系求解即可.【详解】∵两个不相等的实数m ，n 满足22650, 650m m n n +-=+-=，∴m ，n 可看作方程x 2-6x-5=0的两根，∴mn=-5故选：D.【点睛】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系：x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两根时，12b x x a +=-，12c x x a=. 15．已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m+2）x+4m =0有两个不相等的实数根x 1，x 2．若11x +21x =4m ，则m 的值是（ ） A ．2B ．﹣1C ．2或﹣1D ．不存在【答案】A【解析】【分析】先由二次项系数非零及根的判别式△＞0，得出关于m 的不等式组，解之得出m 的取值范围，再根据根与系数的关系可得出x 1+x 2=2m m +，x 1x 2=14，结合1211+x x =4m ，即可求出m 的值．【详解】∵关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m+2）x+4m =0有两个不相等的实数根x 1、x 2， ∴()202404m m m m ≠⎧⎪⎨∆=+-⋅>⎪⎩， 解得：m ＞﹣1且m≠0，∵x 1、x 2是方程mx 2﹣（m+2）x+4m =0的两个实数根， ∴x 1+x 2=2m m +，x 1x 2=14， ∵1211+x x =4m ， ∴214m m +=4m ， ∴m=2或﹣1，∵m ＞﹣1，∴m=2，故选A ．【点睛】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：根据二次项系数非零及根的判别式△＞0，找出关于m 的不等式组；牢记两根之和等于﹣b a 、两根之积等于c a．16．方程x 2﹣9x +14＝0的两个根分别是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A．11 B．16 C．11或16 D．不能确定【答案】B【解析】【分析】先利用因式分解法解方程求出x的值，再分情况讨论求解可得．【详解】∵x2﹣9x+14＝0，∴（x﹣2）（x﹣7）＝0，则x﹣2＝0或x﹣7＝0，解得x＝2或x＝7，当等腰三角形的腰长为2，底边长为7，此时2+2＜7，不能构成三角形，舍去；当等腰三角形的腰长为7，底边长为2，此时周长为7+7+2＝16，故选：B．【点睛】此题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．17．我校图书馆三月份借出图书70本，计划四、五月份共借出图书220本，设四、五月份借出的图书每月平均增长率为x，则根据题意列出的方程是()A．70(1+x)2＝220B．70(1+x)+70(1+x)2＝220C．70(1﹣x)2＝220D．70+70(1+x)+70(1+x)2＝220【答案】B【解析】【分析】根据题意，找出等量关系，列出方程即可.【详解】三月份借出图书70本四月份共借出图书量为70×(1+x)五月份共借出图书量为70×(1+x)2则70(1+x)+70(1+x)2＝220．故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，分析题干，列出方程是解题关键.18．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，5400cm，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的如图所示，如果要使整幅挂图的面积是2方程是（ ）A ．213014000x x +-=B ．2653500x x +-=C ．213014000x x --=D ．2653500x x --=【答案】B【解析】【分析】 根据矩形的面积=长×宽，我们可得出本题的等量关系应该是：（风景画的长+2个纸边的宽度）×（风景画的宽+2个纸边的宽度）=整个挂图的面积，由此可得出方程.【详解】由题意，设金色纸边的宽为xcm ，得出方程：（80+2x ）（50+2x ）=5400，整理后得：2653500x x +-=故选：B.【点睛】本题主要考查了由实际问题得出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据等量关系列出方程是解题关键.19．若关于x 的一元二次方程2304kx x --=有实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．0k =B ．13k ≥-C ．13k ≥-且0k ≠D ．13k >- 【答案】C【解析】【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k 的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0．【详解】∵关于x 的一元二次方程2304kx x --=有实数根， ∴△=b 2-4ac≥0，即：1+3k≥0， 解得：13k ≥-，∵关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0中k≠0，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．20．如图，幼儿园计划用30m的围栏靠墙围成一个面积为100m2的矩形小花园（墙长为15m），则与墙垂直的边x为（）A．10m或5m B．5m或8m C．10m D．5m【答案】C【解析】【分析】设与墙垂直的边长x米，则与墙平行的边长为（30﹣2x）米，根据矩形的面积公式结合矩形小花园的面积为100m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．【详解】设与墙垂直的边长x米，则与墙平行的边长为（30﹣2x）米，根据题意得：（30﹣2x）x＝100，整理得：x2﹣15x+50＝0，解得：x1＝5，x2＝10．当x＝5时，30﹣2x＝20＞15，∴x＝5舍去．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．。
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一道难解又必解的题一、复习知识条目：理解人口、资源、环境问题之间的关系，树立可持续发展意识（C）二、复习目标让学生理解人口、资源、环境问题之间的关系，树立可持续发展意识。
培养学生从材料中获取知识的能力和规范答题能力。
在生活中，学生能真正把可持续发展理论付诸于实践。
三、复习重点重点：培养学生从材料中获取知识的能力和规范答题能力难点：把理论付诸于实践四、复习过程播放有关《地球一小时》的视频。
视频里播放的是有关什么活动？为什么要开展这项运动？（这则新闻是播报今年的3月27日晚上8：30到9：30全球约88个国家4000座城市开展《地球一小时》活动，简单地说就是在这一个小时里参与的城市、企业、单位、个人等要熄灯和关闭电器一个小时，视频中例举全球著名城市参与这项运动。
）学生回答略。
保护地球、实现社会的可持续发展等这些知识这也是我们今天要复习的内容。
请同学翻开导引45页，这节课的复习条目只有一条，是“理解人口、资源、环境问题之间的关系，树立可持续发展意识”，老师把知识条目分解为三个复习目标，请大家细看复习目标：（1）理解人口、资源、环境问题之间的关系；（2）树立可持续发展意识，把理论付出于实践；（3）能从材料中获取有效的信息和能够规范答题。
首先回忆“可持续发展”的相关内容。
（导引46页，课本77页）学生回答可持续发展的概念：既满足当代人的需求，又不对后人满足其需要的能力构成危害的发展。
提示：我们要着重抓住概念中的重点内涵“就是我们当代人的行为不对后人构成危害”。
心有多大，舞台有多宽。
我们要把可持续发展的理论付诸于实践。
——理论走向实践我们在实践中要遵循三个原则，可持续发展的三个原则：公平性、持续性、共同性。
这三个原则之间有什么区别呢，请同学看导引46页或者课本77页。
——你我各不同公平性原则主要是：不同对象之间持续性原则主要是：资源和环境的承载能力之内共同性原则主要是：全球性问题要求国际合作我们来做一个练习。
练习：2009年12月哥本哈根联合国气候变化大会结束以来，《联合国气候变化框架公约》秘书处已收到55个国家递交的到2020年温室气体减排和控制承诺，这些国家温室气体总排放量占目前人类总排放量的78%。
这些国家的做法符合可持续发展的哪一个原则（）A、公平性原则B、持续性原则C、共同性原则问学生为什么选这个选项？（材料里有提到全球气候问题）这里老师对同学做选择题有个提示：（1）要联系教材内容，选择正确的答案。
（2）选项本身正确，但不符合题义、不符合事实、不符合要求；选项本身错误。
顺水推舟，老师再来考考同学们是否掌握做选择题的技巧。
练习：在我国西北地区有这样的顺口溜：“一年开荒，二年打粮，三年五年变沙梁。
”（沙梁指沙地）这段话告诉我们（）A、西北地区气候干旱B、人类不合理的开垦是引起土地沙化的重要原因C、要想经济得到发展，就不可避免地破坏环境D、增加粮食产量的唯一途径就是开荒问学生为何选B？看顺口溜的内容，沙地一般是指“水土流失”。
再看选项，A项这句话是对的，但材料指出是人为原因。
CD选项本身阐述错误，尤其是“唯一”两字，出现在我们课本里的一句话是“实行计划生育，是我国目前条件下解决人口问题的唯一正确选择。
”（在复习导引第43页）（课本第68页）可持续发展的核心是发展，但要求在严格控制人口数量、提高人口素质和保护环境、资源永续利用的前提下进行经济和社会的发展。
也就是说我们要处理好哪三者关系？（人口、资源、环境的关系）这三者关系相协调，从而促进经济和社会的发展。
和谐是当代社会的主旋律，但是人口、资源、环境的不和谐现象时而发生在我们身边，下面的这三幅漫画似乎也在述说着一切，这三幅漫画分别有什么寓意？老师在黑板上板书——人口、资源、环境先让学生回答。
提示：回答要规范，要看题目的要求，假如是“分别”两字，要分开相对应的回答。
如漫画一寓意-------，漫画二寓意---------，漫画三寓意------------。
解读漫画题，提示：观察漫画中的人物，语言、文字、事物、人物表情、漫画题目、数字等。
此漫画要注意图中的文字，秧苗所代表的事物。
秧苗所代表的是耕地资源，也是人口增长与资源之间的关系。
解读三幅漫画：漫画一寓意人口增长过快，过度索取资源，引起资源短缺漫画二寓意人类不合理的生产方式，引起资源短缺漫画三寓意人类环保意识淡薄，滥砍滥伐树木引起水土流失（图二要注意文中的文字，小草的数量和羊的数量）（图三中的水土流失就是漫画所要表达的内容，但要注意到图中的“一把斧头”和众多的树桩，这是表达什么内容？）（一道难解的题）刚才漫画里勾勒出了人口、资源、环境问题之间理不断的关系，由于人类为了生存和发展的需要向自然界不合理地索取资源或损失浪费资源严重，引起“资源短缺”，资源短缺破坏了自然界的食物链，引起生态平衡失调，就是环境问题之一；由于人类为了生存和发展的需要，向自然界不科学地排放过量的废气物，引起环境污染，也就是环境问题之一；环境问题又会制约“经济和社会的发展”，同样资源短缺也会制约经济和社会发展；滞后的发展又会制约人类的生存和发展。
（在黑板上分析）从刚才分析中得知人与自然是什么关系？（板书——相互作用、相互依赖）。
引起一系列问题的关键因素是什么？（人口）由于人类的不合理和不科学行为，人口、资源、环境、发展成了一道难解的题。
我的家乡水头镇在这十几年的发展也是陷入了这道难题之中。
平阳县水头镇（中国皮都），曾经是个山清水秀的乡镇。
但十几年前一车车皮革运出去，一笔笔财富飞来，一道道污水排入清澈的溪流。
溪流变浅了，溪水乌黑浑浊，臭气熏天，水生物和鱼类死亡。
溪流两岸堆满厚厚的黑色污泥，寸草不生，被污染过的耕田几乎是颗粒无收。
水头人不敢再饮用自来水，而是另外花钱买山泉水或者矿泉水饮用。
思考：（1）材料反映平阳县水头镇存在什么问题？（2分）它对人口、资源、发展等有什么影响？（3分）（2）采取哪些措施可以实现良性循环？（6分）（提示：从政府、企业、个人角度分析）解答（1）：学生上台在黑板上写出答案。
再问学生从哪里得出这样的答案？学生回答，老师在材料中划出获取的信息。
提示：做材料分析题时，要注意从材料中寻找相对应的词语或句子。
提示：要看看分值，假如是2分，一般是要求回答出一点，以此类推，4分要求是回答出2点，6分是要求回答出3点。
假如一个小题里有2问或2问以上，应该把你的每一问的答案区别开来。
如这道题有两问，应该把2问区别开来，怎样区别呢，一般是把问题中的关键词提炼出来。
这道题要提炼什么词呢？是问题与影响两个词语。
答题提示：（一）字迹工整清晰；（二）要学科术语规范；（三）表达要有层次性。
问：做第一题的同学能得多少分？（问题：环境问题。
影响：制约人口发展，引起资源短缺，减慢发展速度。
）解答（2）：学生回答，审题提示：这个题目的要求看到吗？“哪些”是要求回答出2点或2点以上，再看题中的提示，要求从三个角度分析，那我们要回答3点不同角度的措施；注意回答措施一定要根据材料中引起的原因，原因是“一道道污水排入清澈的溪流”，措施是针对人为的随意排放污水的行为。
问：作答第2问的同学能得多少分？（政府：加大执法力度，严惩乱排污水的行为，对违反规定的企业进行关闭或整治处理；企业：采用新工艺技术，使用污水处理设备，让污水经过处理后再流入溪流等；个人：提高环保意识，注意保护环境。
）也真如同学们所说的，政府、企业、个人三管齐下共同治理环境污染，水头的环境发生了很大变化，溪水不再是乌黑浑浊、臭气熏人，水中偶尔依稀可见游来游去的鱼儿。
从水头的发展我们可以得知，只要处理好人口、资源、环境问题，就可以实现经济和社会的可持续发展。
（板书）人口、资源、环境与发展之间的关系，又成为一道必须有解的题，要解开这道难题，就得要解决好人口、资源、环境问题。
社会问题解决措施人口问题控制人口数量，提高人口素质资源问题合理利用资源，做到开源与节流并举环境问题保护环境从这里可以看到真正意义上的发展的含义：做到经济和社会的发展与资源、环境的承载力相协调，实际上是指可持续的发展。
以前熟悉的人与人相遇时，问候语是“你吃饭了吗？”，而最近的问候语却是“今天，你“低碳”了吗？”，那什么是低碳生活呢？所谓“低碳生活（low-carbon life ）”，就是指生活作息时所耗用的能量要尽力减少，从而减低二氧化碳的排放量。
低碳生活，对于我们普通人来说是一种态度，而不是能力，我们应该积极提倡并去实践低碳生活，注意节电、节水、节油、节气，这些点滴做起。
思考：作为追随时尚的我们，当然也要讲究“低碳”生活，请举出具体的做法。
学生回答。
提示：材料中有提到“节电、节水、节油、节气”四个方面，因此可以在这四方面举例，而且要注意问题中有出现“具体”二字，因此答案不能笼统，抽象。
刚才同学们所说的是否似曾相识，其实在课本里也有提到一些文明的低碳生活，翻开课本54页，73页，76页，因此我们在做练习时，要注意课本中是否有相应的内容。
我们相信只要人人参与，全社会动员起来，国家之间共同合作，就一定能使人口、资源、环境相协调，实现经济和社会的可持续发展。
练习：1、图示反映出当前平阳南麂主要的环境问题是（ ）A.土地荒漠化B. “三废问题”C.水土流失D.空气污染提示：图表中有出现“工农业污水、生活废水”2.上题中所反映问题的实质是（ ）A.人口问题B.发展问题C.资源问题D.卫生习惯问题提示：这里要回归课本里的一句话，“环境问题就是发展问题”。
在课本65页3、(09年衢州卷）右边统计结果显示该市①限塑工作初显成效②环保意识不断增强③节能减排任重道远④“白色污染”已经消除A.①②③B.①③④C.①②④D.②③④提示：图表里的旁边注记，横轴与竖轴的关系，环保袋是随着时间的推移而比例增长，一次性塑料袋是随着时间的推移而比例下降；有时还得注意时间如“1978年”，隐含着“改革开放”。
环保袋一次性塑料袋4、利∣用利∣用利∣用古代近代当代有人生动形象地将我国人口与森林的变化画成这样的示意图，请结合所学知识回答：（1）这张示意图表明了什么？（由于人口的过快增长，过度地索取资源，引起资源短缺。
）（2）针对这种现象,我们应怎么做？（实行计划生育，控制人口数量，提高人口素质；合理利用资源，开源与节流并举。
）（3）继续填写将来。
提示：要看横轴的关系是递增，另一横轴的关系是递减，再看竖轴，是利用，从而简单得出什么结论？为什么不是从“众------从------人”，而老师是用合理的人口，为什么？人口不是越多越好，也不是越少越好，而应该是与资源的开发利用和环境的保护相协调。
通过保护资源和保护环境措施，又回到“森”的郁郁葱葱的环境里，从而使人与自然和谐发展。
只要人类行动起来，落实解决问题的措施，就会在可持续发展之路上走得更好！更远！板书设计：。