空间向量在立体几何中的应用PPT优秀课件

(2)已知直线l平行平面α，则l上任一点到α的距离 都 相等 ，且叫做l到α的Leabharlann Baidu离.
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(3)和两个平行平面同时 垂直 的直线，叫做两 个平面的公垂线.公垂线夹在平行平面间的部分，叫做两 个平面的 公垂线段 .两平行平面的任两条公垂线段的长 都相等，公垂线段的 长度 叫做两平行平面的距离， 也是一个平面内任一点到另一个平面的距离. (4)若平面α的一个 法向量 为m，P是α外一
空间向量在立体几何
考点一
考点二 考点三 考点四
考点五
1.平面的法向量
直线l⊥α，取直线l的 做平面α的法向量.
方向向量a，则 向量a 叫
2.直线l的方向向量是u=(a1,b1,c1)，平面α的法向
a1a2+b1b2+c1c2=0 u· v=0 量v=(a2,b2,c2),则l∥α ⇔ . ⇔
【分析】可用空间向量的坐标运算来证明. 【证明】以A为原点，AB,AD,AP分别为x轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示. 设AB=a,PA=AD=1,
a 则P(0,0,1),C(a,1,0),E( ,0,0), 2 1 1 D(0,1,0),F(0, 2 , 2 ). 1 1 a (1)AF=(0, , ),EP=(- ,0,1), 2 2 2 a 1 1 EC=( ,1,0),∴AF= EP+ EC, 2 2 2 又AF⊂ 平面PEC,∴AF∥平面PEC.
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＊对应演练＊
如图,在正方体ABCD— A1B1C1D1中,E,F,M分别 为棱BB1,CD,AA1的中点. 证明：
(1) C1M∥平面ADE；
(2)平面ADE⊥平面A1D1F.
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（1）以D为原点，DA,DC,DD1分别为x轴，y轴,z轴建 立坐标系如图，设正方体的棱长为1.
1 则DA=(1,0,0),DE=(1,1, ), 2 1
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(2)PD=（0,1,-1）,CD=(-a,0,0), 1 1 ∴AF· PD=(0, , )· (0,1,-1)=0, 2 2 1 1 AF· CD=(0, , )· (-a,0,0)=0, 2 2 ∴AF⊥PD,AF⊥CD，又PD∩CD=D, ∴AF⊥平面PCD.
【评析】用向量证明线面平行时，最后应说明向量 所在的基线不在平面内.
4.空间的角
(1)若异面直线l1和l2的方向向量分别为u1和u2，l1
与l2所成的角为α，则cosα=
|cos<u1,u2>| . 返回目录
(2)已知直线l的方向向量为v,平面α的法向量为u,l与α的 |cos<v,u>|. 夹角为α，则sinα=
(3)已知二面角α—l—β的两个面α和β的法向量分别为 相等或互补 . v,u,则<v,u>与该二面角 5.空间的距离 (1)一个点到它在一个平面内 点到这个平面的距离. 正射影 的距离，叫做
2 2 ×0+ ×1+1×0 1 2 因为cos<DH,DC>= 2 = 2 1× 2 所以<DH,DC>=60°,
可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°.
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【评析】（1）异面直线的夹角与向量的夹角有所 不同，应注意思考它们的区别与联系. （2）直线与平面的夹角可以转化成直线的方向向 量与平面的法向量的夹角，由于向量方向的变化，所 以要注意它们的区别与联系.
{
C1M=(1,-1,- 2 ). 设平面ADE的法向量为m=(a,b,c),则 m· DA=0 m· DE=0
⇒
{
a=0
1 a+b+ c=0. 2
令c=2，得m=(0,-1,2).
1 ∵m· C1M=(0,-1,2)· (1,-1,- 2 )
=0+1-1=0,∴C1M⊥m. 又C1M ⊂ 平面ADE,∴C1M∥平面ADE. 返回目录
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＊对应演练＊
如图，四棱锥P—ABCD中， 底面ABCD为矩形，PD⊥ 底面ABCD，AD=PD， E,F分别为CD,PB的中点. (1)求证：EF⊥平面PAB;
由已知<DH,DA>=60°,
由DA· DH=|DA||DH|cos<DH,DA>, 可得2m= 解得m=
2 2
2 2m +1 .
，所以DH= （
2 2
， ，1）.
2
2
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（1）因为cos<DH,CC′>=
2 2 ×0+ ×0+1× 1 2 2 2 = 2 1× 2
所以<DH,CC′>=45°,即DP与CC′所成的角为45°. （2）平面AA′D′D的一个法向量DC=(0,1,0).
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3.设直线l的方向向量是u=(a1,b1,c1)，平面α的法 向量v=(a2,b2,c2),则 l⊥α ⇔ u∥v ⇔ (a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2) ⇔ a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2 . 若平面α的法向量u=(a1,b1,c1)，平面β的法向量 v=(a2,b2,c2)，则 a1a2+b1b2+c1c2=0 v=0 ⇔ u⊥v ⇔ α⊥β ⇔u· .
(2)D1A1=(1,0,0),D1F=(0,
1 ,-1), 2
{
设平面A1D1F的法向量为n=(x,y,z),则 n· D1A1=0 n· D1F=0
{
x=0
1 y-z=0. 2
令y=2，则n=(0,2,1). ∵m· n=(0,-1,2)· (0,2,1)=0-2+2=0, ∴m⊥n. ∴平面ADE⊥平面A1D1F. 返回目录
二 用向量求线线角与线面角
如图所示，已知点P在正方体ABCDA′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA=60°.
(1)求DP与CC′所成角的大小；
(2)求DP与平面AA ′ D′D所成角的大小
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量方法求解.
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【解析】如图所示，以D为原点，DA为单位长度建 立空间直角坐标系D—xyz. 则DA=(1,0,0),CC′=(0,0,1). 连接BD，B′D′. 在平面BB′D′D中， 延长DP交B′D′于H. 设DH=（m，m，1）（m＞0）,
| PA·m | |m |
点，A是α内任一点，则点P到α的距离d=
.
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一 用向量证明平行、垂直问题 如图，在四棱锥P—ABCD 中，PA⊥平面ABCD，底面 ABCD为矩形，且PA=AD， E,F分别为线段AB,PD的中 点.求证： (1) AF∥平面PEC;
(2) AF⊥平面PCD.
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