空间向量在立体几何中的应用PPT优秀课件
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321空间向量在立体几何中的应用3-PPT课件
E A 1 , 2 ， 1 ， ( 3 ) 解 ： E G 0 ,2 ， 0 ， 11
E G E A 0 1 2 2 0 1 4 , 1 1 | E G | 2 , | E A | 6 . 11 E G E A 4 6 1 1 c o s E G , E A . 1 1 x 3 26 | E G || E A | 1 1
变式2: F是AA1的一个四等分点， 求证：BF⊥DF1.
A
x
例2.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E1、F1分别是A1B1、 C1D1的一个四等分点， zD F C 变式3: G是BB1的一个四等分点， E B H为AA1上的一点，若GH⊥DF1， A 试确定H点的位置. 1 H 解 ： 设 H 点 坐 标 为 ( 1 , 0 , a ) , 又 G 1 , 1 , , D 4 G Cy O 1 所以 GH 0, 1 ,a A B 4 x 1 又 D F 0 , ， 1 ， 且 G HD F 1 1 4 1 1 所 以 G H D F 0 - a 0 1 4 4 1 解得a , 2 即当H为AA1 的中点时，能使GH⊥DF1.
3.2.1空间向量在立体几何中的 应用
一、用向量方法证明平行
二、用向量方法证明两条直线垂直 或求两条直线所成的角
例2.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E1、F1分别是A1B1、 C1D1的一个四等分点，求： BE1与DF1所成角的余弦值. (1) 建立直角坐标系，
解：设正方体的棱长为 1，分别以 DA 、DC 、 DD1 为单位正交基底建立空间直角坐标系 (2)把点、向量坐标化， Oxyz ，则 A 1 3 (0,0,0), F 1 B ( 1 ,1 ,0 ),E , ,1 ,D 1 0, ， 1 1 4 4 3 1 B E 1 , , 1 ( 1 , 1 , 0 ) 0 , , 1, 1 4 4
E G E A 0 1 2 2 0 1 4 , 1 1 | E G | 2 , | E A | 6 . 11 E G E A 4 6 1 1 c o s E G , E A . 1 1 x 3 26 | E G || E A | 1 1
变式2: F是AA1的一个四等分点， 求证：BF⊥DF1.
A
x
例2.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E1、F1分别是A1B1、 C1D1的一个四等分点， zD F C 变式3: G是BB1的一个四等分点， E B H为AA1上的一点，若GH⊥DF1， A 试确定H点的位置. 1 H 解 ： 设 H 点 坐 标 为 ( 1 , 0 , a ) , 又 G 1 , 1 , , D 4 G Cy O 1 所以 GH 0, 1 ,a A B 4 x 1 又 D F 0 , ， 1 ， 且 G HD F 1 1 4 1 1 所 以 G H D F 0 - a 0 1 4 4 1 解得a , 2 即当H为AA1 的中点时，能使GH⊥DF1.
3.2.1空间向量在立体几何中的 应用
一、用向量方法证明平行
二、用向量方法证明两条直线垂直 或求两条直线所成的角
例2.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E1、F1分别是A1B1、 C1D1的一个四等分点，求： BE1与DF1所成角的余弦值. (1) 建立直角坐标系，
解：设正方体的棱长为 1，分别以 DA 、DC 、 DD1 为单位正交基底建立空间直角坐标系 (2)把点、向量坐标化， Oxyz ，则 A 1 3 (0,0,0), F 1 B ( 1 ,1 ,0 ),E , ,1 ,D 1 0, ， 1 1 4 4 3 1 B E 1 , , 1 ( 1 , 1 , 0 ) 0 , , 1, 1 4 4
高中数学3.2立体几何中的向量方法课件-(共43张PPT)
，即14x＋ 43y＋12z＝0
，
令 y＝2，则 z＝－ 3，∴n＝(0,2，－ 3)．
∵ PD ＝0，23 3，－1，显然 PD ＝
3 3 n.
26
∵ PD ∥n，∴ PD ⊥平面 ABE，即 PD⊥平面 ABE.
探究提高 证明线面平行和垂直问题，可以用 几何法，也可以用向量法，用向量法的关键在 于构造向量，再用共线向量定理或共面向量定 理及两向量垂直的判定定理。若能建立空间直 角坐标系，其证法较为灵活方便.
7
r 平面的法向量：如果表示向量 n的有向线段所在
直线垂直于r平面 ，则称r这个向量垂直于平r
面 ,记作 n⊥ ，如果 n⊥ ，那 么 向 量n
叫做平面 的法向量.
r
l
给定一点Ar 和一个向量 n,那么 过点A,以向量 n 为法向量的平面是
r 完全确定的.
n
几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
17
题型分类 深度剖析
题型一 利用空间向量证明平行问题 例 1 如图所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1
中，M、N 分别是 C1C、B1C1 的中点．求证： MN∥平面 A1BD.
18
证明 方法一 如图所示，以 D 为原点，DA、DC、DD1 所在
直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的
1，得
x
1 2
y 1
r n
(
1
,
1,1),
2
10
思考2：
因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的 位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平 面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、 夹角等位置关系.你能用直线的方向向量表示空间两 直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？ 你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的 位置关系以及它们二面角的大小吗？
空间向量在立体几何中的应用 ppt课件
解 建立如图所示的空间直角坐标系，
则 A(0，0，0)，M(0，a2， 2a)，
C1(－ 23a，a2， 2a)，B(0，a，0)，
故A→MA→＝C1(＝0，(－a2，23a2，a)a2，， 2a)，
B→C1＝(－ 23a，－a2， 2a)．
15
设平面 AMC1 的法向量为 n＝(x，y，z)．
则A→C1·n＝0，∴－ 23ax＋a2y＋ 2az＝0，
是否会认为老师的教学方法需要改进？ • 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
笨，没有学问无颜见爹娘 ……” • “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
4
2．空间中的角
角的分类
向量求法
设两异面直线所成的角为θ，它们的方
异面直线 所成的角
21
【变式3】 若 PA⊥平面 ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝ 2，
求二面角 A-PB-C 的余弦值． 解 如图所示建立空间直角坐标系，则
A(0，0，0)，B( 2，1，0)，
C(0，1，0)，P(0，0，1)，
故A→P＝(0，0，1)，A→B＝( 2，1，0)，
C→B＝( 2，0，0)，C→P＝(0，－1，1)，
17
题型三 二面角的求法
【例3】 (12分)如图所示，正三棱柱ABC－ A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中 点，求二面角AA1DB的余弦值．
18
[规范解答]如图所示，取BC中点O，连 结AO.因为△ABC是正三角形，所以 AO⊥BC，因为在正三棱柱ABC — A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所 以AO⊥平面BCC1B1. 取 B1C1 中点为 O1，以 O 为原点，O→B，O→O1，O→A为 x，y，z 轴的 正方向建立空间直角坐标系，则 B(1，0，0)，D(－1，1，0)，
则 A(0，0，0)，M(0，a2， 2a)，
C1(－ 23a，a2， 2a)，B(0，a，0)，
故A→MA→＝C1(＝0，(－a2，23a2，a)a2，， 2a)，
B→C1＝(－ 23a，－a2， 2a)．
15
设平面 AMC1 的法向量为 n＝(x，y，z)．
则A→C1·n＝0，∴－ 23ax＋a2y＋ 2az＝0，
是否会认为老师的教学方法需要改进？ • 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
笨，没有学问无颜见爹娘 ……” • “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
4
2．空间中的角
角的分类
向量求法
设两异面直线所成的角为θ，它们的方
异面直线 所成的角
21
【变式3】 若 PA⊥平面 ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝ 2，
求二面角 A-PB-C 的余弦值． 解 如图所示建立空间直角坐标系，则
A(0，0，0)，B( 2，1，0)，
C(0，1，0)，P(0，0，1)，
故A→P＝(0，0，1)，A→B＝( 2，1，0)，
C→B＝( 2，0，0)，C→P＝(0，－1，1)，
17
题型三 二面角的求法
【例3】 (12分)如图所示，正三棱柱ABC－ A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中 点，求二面角AA1DB的余弦值．
18
[规范解答]如图所示，取BC中点O，连 结AO.因为△ABC是正三角形，所以 AO⊥BC，因为在正三棱柱ABC — A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所 以AO⊥平面BCC1B1. 取 B1C1 中点为 O1，以 O 为原点，O→B，O→O1，O→A为 x，y，z 轴的 正方向建立空间直角坐标系，则 B(1，0，0)，D(－1，1，0)，
高考数学二轮总复习专题14空间向量在立体几何中的应用(共59张PPT)
=
=-1,a4 与 a 的夹角为 180° ,不合题意,故选 关闭
3
解析
答案
-4能力目标解读 热点考题诠释
1 2 3
2.(2014 课标全国Ⅱ高考,理 11)直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ BCA=90° ,M,N 分别是 A1B1,A1C1 的中点,BC=CA=CC1,则 BM 与 AN 所成角 的余弦值为( ) A.
不妨设 DC=DA=DD1=1,则 D(0,0,0),B(1,1,0),A1(1,0,1),O 点 P(0,1,t)且 0≤t≤1. 则������������ = - , ,t , ������1 D=(-1,0,-1),������1 B=(0,1,-1).
2 2 1 1
1 1 2 2
, ,0 ,并设
解析:如图,以点 C1 为坐标原点,C1B1,C1A1,C1C 所在的直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,
不妨设 BC=CA=CC1=1, 可知点 A(0,1,1),N 0, ,0 ,B(1,0,1),M
2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2
, ,0 .
������������ · ������������ |������������ ||������������ |
专题14
空间向量在立体几何 中的应用
-2能力目标解读 热点考题诠释
本部分主要考查利用空间向量工具解决立体几何中平行、垂直的证 明,距离的求解,空间角的求解,并且此类问题常以解答题的形式出现.若出 现在客观题中,一般以求线线角、线面角或距离问题为主. 对于立体几何中的平行、垂直的证明一般利用传统的几何知识和相 关的性质或定理进行证明,但如果所给的载体结构容易建系和求出相关点 的坐标,可选用空间向量证明. 对于距离的求解可以利用等体积法,也可以利用向量解决,对于空间角, 在大多数情况下,传统的几何法、向量法都可以解决,但首先应选用向量法, 这样降低了思维的难度,但对运算能力有较高的要求. 本部分主要考查学生的空间想象能力、化归能力、逻辑推理能力和 运算求解能力,预测在 2015 年的高考中,本部分内容仍以解答题形式出现, 难度中档,其中向量工具求空间角仍然是重点,对于探索类问题也要引起足 够的重视.
第6课时空间向量在立体几何中的应用PPT课件
面___P_A_C____．
2020年10月2日
5
4.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分
别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角
为( D ) (A)arccos
3
(B)arccos 10
2
10
(C)arccos 3 (D)arccos 2
5
5
【解题回顾】空间两条直线
之间的夹角是不超过90°的
角．因此，如果按公式计算
分子的数量积为一个负数，则应当取其绝对值，使之
变为正值，这样求得的角为锐角，这一说明在以后很
多计算问题中经常被用到.
2020年10月2日
6
5．P是二面角α-AB-β棱上的一点，分别在α，β平面
上引射线PM，PN，如果∠BPM=∠BPN=45°,
∠MPN=60°，那么二面角α-AB-β的大小为( D)
2020年10月2日
3
2.在正方体ABCD—A1B1C1D1中棱长为a，M，N分别
为A1B和AC上的点，A1M=AN=
2 a，则MN与平面 3B)平行 (C)垂直 (D)不能确定
2020年10月2日
4
3.已知PA⊥⊙O所在的平面，AB为⊙O的直径，C是圆 周上的任意一点(但异于A和B)，则平面PBC垂直于平
(2)若M、N分别在D1C1、B1C1上
且D1M=2，B1N=2，求BN与CM
所成的角.
【解题回顾】根据向量和的平行四边形法则，在平行
六面体中利用量解题应当是最方便的，同学们应用心
体会.
2020年10月2日
返回 12
延伸·拓展
5. 四 面 体 ABCD 中 ， ∠DAC=∠BAC=∠BAD=60° ， AC=AD=2，AB=3. (1)求直线AC和BD所成角的余弦值； (2)求点C到平面ABD的距离.
2020年10月2日
5
4.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分
别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角
为( D ) (A)arccos
3
(B)arccos 10
2
10
(C)arccos 3 (D)arccos 2
5
5
【解题回顾】空间两条直线
之间的夹角是不超过90°的
角．因此，如果按公式计算
分子的数量积为一个负数，则应当取其绝对值，使之
变为正值，这样求得的角为锐角，这一说明在以后很
多计算问题中经常被用到.
2020年10月2日
6
5．P是二面角α-AB-β棱上的一点，分别在α，β平面
上引射线PM，PN，如果∠BPM=∠BPN=45°,
∠MPN=60°，那么二面角α-AB-β的大小为( D)
2020年10月2日
3
2.在正方体ABCD—A1B1C1D1中棱长为a，M，N分别
为A1B和AC上的点，A1M=AN=
2 a，则MN与平面 3B)平行 (C)垂直 (D)不能确定
2020年10月2日
4
3.已知PA⊥⊙O所在的平面，AB为⊙O的直径，C是圆 周上的任意一点(但异于A和B)，则平面PBC垂直于平
(2)若M、N分别在D1C1、B1C1上
且D1M=2，B1N=2，求BN与CM
所成的角.
【解题回顾】根据向量和的平行四边形法则，在平行
六面体中利用量解题应当是最方便的，同学们应用心
体会.
2020年10月2日
返回 12
延伸·拓展
5. 四 面 体 ABCD 中 ， ∠DAC=∠BAC=∠BAD=60° ， AC=AD=2，AB=3. (1)求直线AC和BD所成角的余弦值； (2)求点C到平面ABD的距离.
空间向量在立体几何中的应用PPT优秀课件1
8.a、b都是单位向量，则a·b=1；(×)
9.若|a·b|=0，则|a|=0或|b|=0；(×) 10.(a·b)·c=a·(b·c).(×) 尝试说明上述命题为假的理由.
返回
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
为A1B和AC上的点，A1M=AN=
2 a，则MN与平面 3
BB1C1C的位置关系是( B ) (A)相交 (B)平行 (C)垂直 (D)不能确定
3.已知PA⊥⊙O所在的平面，AB为⊙O的直径，C是圆 周上的任意一点(但异于A和B)，则平面PBC垂直于平
面___P_A_C____．
4.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分
6．设n是平面α的单位法向量，AB是平面α的一条斜 线，其中A∈α，则AB与平面α所成的角为
arcsin AB n ；B点到 AB
平面α的距离为___A__B_·_n__.
【解题回顾】从本题解法中我们看到，在求二面角
时，没有必要一定要从棱上同一点出发引垂直于棱
的垂线.
返回
能力·思维·方法
1. 在 长 方 体 ABCD—A1B1C1D1 中 ， AB=a ， BC=b ， AA1=c，求异面直线BD1和B1C所成角的余弦值.
别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角
为( D ) (A)arccos
3
(B)arccos 10
2
10
9.若|a·b|=0，则|a|=0或|b|=0；(×) 10.(a·b)·c=a·(b·c).(×) 尝试说明上述命题为假的理由.
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85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
为A1B和AC上的点，A1M=AN=
2 a，则MN与平面 3
BB1C1C的位置关系是( B ) (A)相交 (B)平行 (C)垂直 (D)不能确定
3.已知PA⊥⊙O所在的平面，AB为⊙O的直径，C是圆 周上的任意一点(但异于A和B)，则平面PBC垂直于平
面___P_A_C____．
4.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分
6．设n是平面α的单位法向量，AB是平面α的一条斜 线，其中A∈α，则AB与平面α所成的角为
arcsin AB n ；B点到 AB
平面α的距离为___A__B_·_n__.
【解题回顾】从本题解法中我们看到，在求二面角
时，没有必要一定要从棱上同一点出发引垂直于棱
的垂线.
返回
能力·思维·方法
1. 在 长 方 体 ABCD—A1B1C1D1 中 ， AB=a ， BC=b ， AA1=c，求异面直线BD1和B1C所成角的余弦值.
别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角
为( D ) (A)arccos
3
(B)arccos 10
2
10
高三数学总复习空间向量在立体几何中的应用PPT课件
∴
＝－ 22，－ 22，1.
∴
且 NE 与 AM 不共线．∴NE∥AM.
又∵NE⊂平面 BDE，AM⊄平面 BDE，∴AM∥平面 BDE.
1．利用向量求空间角是每年的必考内容，题型为解答题，难 度适中，属中档题．
2．高考对空间角的考查常有以下两个命题角度： (1)求直线与平面所成的角； (2)求二面角．
从而
＝(x－4,4－x,0)，
＝－4，4－32x， 23x.
设 n1＝(x0，y0，z0)是平面 PCF 的一个法向量，
∴nn11··CCFP― ―→→＝＝00， ，
x0x－4＋y04－x＝0， 即－4x0＋4－32xy0＋ 23xz0＝0，
∴x03－y0y－0＝z00＝，0， 取 y0＝1，得 n1＝(1,1， 3)是平面 PFC 的一个法向量．
2．空间位置关系的向量表示
3．两条异面直线所成角的求法
设两条异面直线|a·ab，| b 的方向向量为 a，b，其夹角为 θ， 则 cos φ＝|cos θ|＝ |a||b| (其中 φ 为异面直线 a，b 所成的角)．
4．直线和平面所成的角的求法
如图所示，设直线 l 的方向向量为 e，平面 α 的法向量为
4．在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 E 为 BB1 的中点，则平 面 A1ED 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值为________．
答案：23
5．正四棱锥 S-ABCD 中，O 为顶点在底面上的射影，P 为侧 棱 SD 的中点，且 SO＝OD，则直线 BC 与平面 PAC 所成的角是 ______．
2.如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，已知 AB＝4，AD＝3， AA1＝2.E、F 分别是线段 AB、BC 上的点，且 EB＝FB＝1.
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＊对应演练＊
如图，四棱锥P—ABCD中， 底面ABCD为矩形，PD⊥ 底面ABCD，AD=PD， E,F分别为CD,PB的中点. (1)求证：EF⊥平面PAB;
【分析】可用空间向量的坐标运算来证明. 【证明】以A为原点，AB,AD,AP分别为x轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示. 设AB=a,PA=AD=1,
a 则P(0,0,1),C(a,1,0),E( ,0,0), 2 1 1 D(0,1,0),F(0, 2 , 2 ). 1 1 a (1)AF=(0, , ),EP=(- ,0,1), 2 2 2 a 1 1 EC=( ,1,0),∴AF= EP+ EC, 2 2 2 又AF⊂ 平面PEC,∴AF∥平面PEC.
空间向量在立体几何
考点一
考点二 考点三 考点四
考点五
1.平面的法向量
直线l⊥α，取直线l的 做平面α的法向量.
方向向量a，则 向量a 叫
2.直线l的方向向量是u=(a1,b1,c1)，平面α的法向
a1a2+b1b2+c1c2=0 u· v=0 量v=(a2,b2,c2),则l∥α ⇔ . ⇔
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(2)PD=（0,1,-1）,CD=(-a,0,0), 1 1 ∴AF· PD=(0, , )· (0,1,-1)=0, 2 2 1 1 AF· CD=(0, , )· (-a,0,0)=0, 2 2 ∴AF⊥PD,AF⊥CD，又PD∩CD=D, ∴AF⊥平面PCD.
【评析】用向量证明线面平行时，最后应说明向量 所在的基线不在平面内.
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＊对应演练＊
如图,在正方体ABCD— A1B1C1D1中,E,F,M分别 为棱BB1,CD,AA1的中点. 证明：
(1) C1M∥平面ADE；
(2)平面ADE⊥平面A1D1F.
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（1）以D为原点，DA,DC,DD1分别为x轴，y轴,z轴建 立坐标系如图，设正方体的棱长为1.
1 则DA=(1,0,0),DE=(1,1, ), 2 1
2 2 ×0+ ×1+1×0 1 2 因为cos<DH,DC>= 2 = 2 1× 2 所以<DH,DC>=60°,
可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°.
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【评析】（1）异面直线的夹角与向量的夹角有所 不同，应注意思考它们的区别与联系. （2）直线与平面的夹角可以转化成直线的方向向 量与平面的法向量的夹角，由于向量方向的变化，所 以要注意它们的区别与联系.
| PA·m | |m |
点，A是α内任一点，则点P到α的距离d=
.
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一 用向量证明平行、垂直问题 如图，在四棱锥P—ABCD 中，PA⊥平面ABCD，底面 ABCD为矩形，且PA=AD， E,F分别为线段AB,PD的中 点.求证： (1) AF∥平面PEC;
(2) AF⊥平面PCD.
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(2)D1A1=(1,0,0),D1F=(0,
1 ,-1), 2
{
设平面A1D1F的法向量为n=(x,y,z),则 n· D1A1=0 n· D1F=0
{
x=0
1 y-z=0. 2
令y=2，则n=(0,2,1). ∵m· n=(0,-1,2)· (0,2,1)=0-2+2=0, ∴m⊥n. ∴平面ADE⊥平面A1D1F. 返回目录
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3.设直线l的方向向量是u=(a1,b1,c1)，平面α的法 向量v=(a2,b2,c2),则 l⊥α ⇔ u∥v ⇔ (a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2) ⇔ a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2 . 若平面α的法向量u=(a1,b1,c1)，平面β的法向量 v=(a2,b2,c2)，则 a1a2+b1b2+c1c2=0 v=0 ⇔ u⊥v ⇔ α⊥β ⇔u· .
(2)已知直线l平行平面α，则l上任一点到α的距离 都 相等 ，且叫做l到α的距离.
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(3)和两个平行平面同时 垂直 的直线，叫做两 个平面的公垂线.公垂线夹在平行平面间的部分，叫做两 个平面的 公垂线段 .两平行平面的任两条公垂线段的长 都相等，公垂线段的 长度 叫做两平行平面的距离， 也是一个平面内任一点到另一个平面的距离. (4)若平面α的一个 法向量 为m，P是α外一
{
C1M=(1,-1,- 2 ). 设平面ADE的法向量为m=(a,b,c),则 m· DA=0 m· DE=0
⇒
{
a=0
1 a+b+ c=0. 2
令c=2，得m=(0,-1,2).
1 ∵m· C1M=(0,-1,2)· (1,-1,- 2 )
=0+1-1=0,∴C1M⊥m. 又C1M ⊂ 平面ADE,∴C1M∥平面ADE. 返回目录
二 用向量求线线角与线面角
如图所示，已知点P在正方体ABCDA′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA=60°.
(1)求DP与CC′所成角的大小；
(2)求DP与平面AA ′ D′D所成角的大小
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量方法求解.
返回目录【解ຫໍສະໝຸດ 】如图所示，以D为原点，DA为单位长度建 立空间直角坐标系D—xyz. 则DA=(1,0,0),CC′=(0,0,1). 连接BD，B′D′. 在平面BB′D′D中， 延长DP交B′D′于H. 设DH=（m，m，1）（m＞0）,
由已知<DH,DA>=60°,
由DA· DH=|DA||DH|cos<DH,DA>, 可得2m= 解得m=
2 2
2 2m +1 .
，所以DH= （
2 2
， ，1）.
2
2
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（1）因为cos<DH,CC′>=
2 2 ×0+ ×0+1× 1 2 2 2 = 2 1× 2
所以<DH,CC′>=45°,即DP与CC′所成的角为45°. （2）平面AA′D′D的一个法向量DC=(0,1,0).
4.空间的角
(1)若异面直线l1和l2的方向向量分别为u1和u2，l1
与l2所成的角为α，则cosα=
|cos<u1,u2>| . 返回目录
(2)已知直线l的方向向量为v,平面α的法向量为u,l与α的 |cos<v,u>|. 夹角为α，则sinα=
(3)已知二面角α—l—β的两个面α和β的法向量分别为 相等或互补 . v,u,则<v,u>与该二面角 5.空间的距离 (1)一个点到它在一个平面内 点到这个平面的距离. 正射影 的距离，叫做