变化的快慢与变化率导学案
高中数学：2.1《变化的快慢与变化率》教(学)案(北师大版选修2-2)
课题：1.变化的快慢与变化率教材：普通高中课程标准实验教科书〔北师大版〕〔选修2-2〕第25-27页[教材分析]1、本节教材的地位与作用：变化率对理解导数概念与其几何意义有着重要作用.是导数概念产生的根底.充分掌握好变化率这个概念,为顺利过渡瞬时变化率,体会导数思想与涵做好准备工作.通过对大量实例的分析，引导学生经历由物理学中的平均速度到其它事例的平均变化率过程.所以变化率是一个重要的过渡性概念.对变化率概念意义的建构对导数概念的学习有重要影响.2、教学重点：平均变化率的模型建立与对平均变化率的实际意义和数学意义的理解.3、教学难点：平均变化率的概念与生活现象中模型的形成过程并对此做出数学解释.4、教学关键：[教学目标]基于上述对教材地位与作用的分析，结合学生已有的认知水平的年龄特征，制定本节如下的教学目标：〔1〕知识与技能目标:通过实例的分析，感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，理解平均变化率的意义与其几何意义，能够解释生活中的现象并会求函数的平均变化率，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景.〔2〕过程与方法目标:体会平均变化率的思想与涵，培养学生观察、分析、比拟和归纳能力；通过问题的探究体会类比、以探求未知、从特殊到一般的数学思想方法.〔3〕情感态度与价值观:经历运用数学描述和刻画现实世界的过程，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣.使学生拥有豁达的科学态度，互相合作的风格，勇于探究，积极思考的学习精神.领悟到具体到抽象，特殊到一般的逻辑关系.感受到数学的应用价值.[教学过程]⒈情境创设，激发热情导言:2.由学生列举一些变化快慢的事例.(如果事例适当,教师引导学生设置数据,建构平均变化率计算程序)⒉过程感知，意义建构 实例分析1银杏树1500米，树龄1000年，雨后春笋两天后长高15厘米. 实便分析2物体从某一时刻开场运动，设s 表示此物体经过时间t 走过的路程，在运动的过程中测得了一些数据，如下表.实便分析3这是我市今年3月18日至4月20日其中三天最高气温表和每天最高气温的变化图〔以3月18日为第一天,曲线图〕．⒊归纳概括，建立概念1.如果将上述气温曲线看成是函数)(x f y =的图像，那么函数)(x f y =在区间［1,34］上的平均变化率是多少？2.)(x f 在区间],1[1x 上的平均变化率为多少？3.)(x f 在区间]34,[2x 上的平均变化率为多少？4.你能否归纳出“函数)(x f 在区间],[21x x 上的平均变化率〞的一般性定义吗？ 平均变化率的定义：一般地，函数)(x f 在区间],[21x x 上的平均变化率为通常把自变量的变化12x x -称作自变量的改变量，记作x ∆，函数值的变化)()(12x f x f -称作函数值的改变量，记作y ∆．这样，函数的平均变化率就可以表示为：函数值的改变量与自变量的改变量之比，即1212)()(x x x f x f x y --=∆∆ 它的几何意义是曲线上经过Ａ、Ｂ两点的直线的斜率．我们用直线的斜率来刻画直线的倾斜程度，同样，我们用平均变化率来近似地量化曲线在某一个区间上的“陡峭〞程度，具体地说：曲线越“陡峭〞，说明变量变化越快；曲线越“平缓〞，说明变量变化越慢． ⒋例题讲解，尝试应用(d )1.某婴儿从出生到第12个月的体重变化如下图，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.该婴儿体重的平均变化率的实际意义？2.某病人吃完退烧药，他的体温变化如图，比拟时间x 从0min 到20min 和从20min 到30min 体温的变化情况，哪段时间体温变化较快？这里出现了“负号〞，你怎样理解“—〞号？它表示体温下降了，绝对值越大，下降得越快，所以，体温从20min 到30min 这段时间下降得比从0min 到20min 这段时间要快. 5.变式练习，巩固提炼○1假设函数f (x )=2x +1,试求函数f (x )在区间[-1,1]和[0,5]上的平均变化率 函数f (x )在这两个区间上的平均变化率都是2.○2变式一：求f (x )=2x +1,试求函数f (x )在区间[m,n ](m<n )上的平均变化率 还是2，丨③变式二：求f (x )=kx +b ,试求函数f(x)在区间[m,n ](m<n )上的平均变化率是k .一般地，一次函数f(x)=kx+b 〔k 0≠〕在任意区间[m,n ](m<n )上的平均变化率等于k . ○4变式三：求2)(x x f =在区间[-1，1]上的平均变化率. 是0. 提出问题:变化率为0是不是说明没有变化呢?⑤变式四：求2)(x x f =在区间[1，3]，[1，2]，[1，1.1]，[1，1.01]，[1，1.001]上的 平均变化率.函数)(x f 在这5个区间上的平均变化率分别是4、3、2.1、2.01、2.001.从上面计算的结果，你发现了什么？当区间的右端点逐渐接近1时，平均变化率逐渐接近2.6.回忆反思，设问结课 1.平均变化率的定义 2.平均变化率的几何意义3.如果闭区间固定左端点，让右端点逐渐接近左端点，平均变化率有什么变化？这个变化有什么重大意义？我们下节课再讲.大家!§1变化的快慢与变化率·教案说明一．【授课容的数学本质与教学目标定位】基于上述对教材地位与作用的分析，结合学生已有的认知水平的年龄特征，制定本节如下的教学目标：〔1〕知识与技能目标:通过实例的分析，感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，理解平均变化率的意义与其几何意义，能够解释生活中的现象并会求函数的平均变化率，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景.〔2〕过程与方法目标:体会平均变化率的思想与涵，培养学生观察、分析、比拟和归纳能力；通过问题的探究体会类比、以探求未知、从特殊到一般的数学思想方法.〔3〕情感态度与价值观:经历运用数学描述和刻画现实世界的过程，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣。
变化的快慢与变化率学案一
变化的快慢与变化率()-一、学习目标1．理解“变化率问题”，课本中的问题1,2.2. 知道平均变化率的定义。
二、课前自学A 阅读课本26P 页平均变化率的概念回答下面的问题：1.（1）x ∆是相对于1x 的一个___________，它可以是_______，也可以是_________，可以用________ 代替2x .（2） 变化率是一个_________ ，分母x ∆可以很小，但不能为_____________.2. 由平均变化率的概念可得求函数()y f x =的平均变化率的步骤：（1）求自变量的增量______________；(2)求函数的增量________________；(3)求平均变化率______________________.注意：①Δx 是一个整体符号，而不是Δ与x 相乘；②Δf=Δy=y 2-y 1；B 小试牛刀：1.函数()y f x =的自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数值的改变量Δy 为（ ）A.()0f x x +∆B.()0f x x +∆C.()0f x x ⋅∆D. ()()00f x x f x +∆-2．质点运动规律为32+=t s ，则在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度为 ．3. 已知函数x x x f +-=2)(的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-则=∆∆x y .三、合作学习在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在105.69.4)(2++-=t t t h 的函数关系，如何计算运动员的平均速度？并分别计算0≤t ≤0.5，1≤t ≤2，1.8≤t ≤2，2≤t ≤2.2，时间段里的平均速度.思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v在5.00≤≤t 这段时间里，___________.；在21≤≤t 这段时间里，___________.探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形计算和思考，展开讨论；四、课堂训练1、函数()2x x f =在区间[]3,1-上的平均变化率是（ ） A 、4 B 、2 C 、41 D 、432. 已知函数1)(2+-=x x f ，分别计算()x f 在下列区间上的平均变化率 （1）[1，1.01] (2)[0.9,1]3、已知一次函数)(x f y =在区间[-2，6]上的平均变化率为2，且函数图象过点（0，2），试求此一次函数的表达式。
数学选修2-2第二章《§1变化的快慢与变化率(2)》导学案
分析：当时间t从t0变到t1时，根据平均速度公式
可以求出从5s到6s这段时间内小球的平均速度；用它来近似表示t=5s时的瞬时速度。
如果时间间隔进一步缩短，那么可以想象，平均速度就更接近小球在t=5s这个时刻的瞬时速度。
解：我们将时间间隔每次缩短为前面的 ，计算出相应的平均速度得到下表：
三.【练习尝试】
课本 练习2：1、2.
四.【归纳小结】
1、一般地，对于一个函数y＝f（x），在自变量x从x0到x0+Δx的变化过程中，平均变化率为： =.当Δx趋于0时，平均变化率 = 趋近的值称为函数y＝f（x）在x=x0点的瞬时变化率.
2、瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢。
五．【达标反馈】
t0/s
/s
时间的改变量
（Δt）/s
路程的改变量
（Δs）/m
平均速度 /（m/s）
5
5.1
5
5.01
5
5.001
5
5.001
5
…
…
…
…
可以看出，当时间t1趋于t0=5s时，平均速度趋于，因此，可以认为小球在t0=5s时的瞬时速度为。从上面的分析和计算可以看出，瞬时速度为49m/s的物理意义是，如果小球保持这一刻的速度进行运动的话，每秒将要运动。
在自行车比赛中,运动员的位移与比赛时间t存在函数关系s=10t+5t2(s的单位:m,t的单位:s),求(1)t=20,Δt=0.1时的Δs与 ；
(2)试估计t=20时的瞬时速度
六．【学习感悟】
x0/s
x1/s
长度x的改变量
（Δx）/m
质量y的改变量
§1变化的快慢与变化率导学案1
§1变化的快慢与变化率导学案1高二数学 编写人 赵荣 审核人 编号 8 班级_____ 姓名__________ 时间__________ 组号_________1.理解函数平均变化率的概念2.会求确定函数在某个区间上的平均变化率，并能根据函数的平均变化率判断函数在某区间上变化的快慢学习重点：从变化率的角度重新认识平均速度的意义，知道函数平均变化率就是函数在某区间上变化快慢的数量描述学习难点：对平均变化率的数学意义的认识问题思考：阅读课本25p 例1、例2，填空：1.物体在一段时间内运动的快慢可以用这段时间内的平均速度来刻画，当时间从0t 变为1t 时，物体所走过的路程从0s(t )变为1s(t )，这段时间内物体的平均速度为 .2.人的体温在一段时间内变化的快慢可以用这段时间内体温的平均变化率来刻画。
当时间从0x 变为1x 时，体温从0y(x )变为1y(x )，则体温的平均变化率为 . 探索新知：1.对一般的函数y f (x)=来说，当自变量x 从1x 变为2x 时，函数值从 变为 ，则y f (x)=在区间12[x ,x ]上的平均变化率为 ，通常把21x x x ∆=-叫做自变量的改变量，把21y f (x )f (x )∆=-叫做函数值的改变量，则函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即 ，我们用它来表示函数在区间12[x ,x ]上变化的快慢.2.如果在2121f (x )f (x )y x x x ∆∆-=-中，根据21x x x ∆=-，用1x x ∆+代替2x ，则2121f (x )f (x )y x x x ∆∆-==- ，我们今后常常使用最后一个式子来求在给自变量x一个微小变量x ∆时，函数y f (x)=区间[1x ，1x x ∆+]上的平均变化率.3.求函数f(x)的平均变化率的步骤：（1）求函数值的 ；（2）计算平均变化率. 合作探究（要有必要的解题过程）探究一：1.课本P 25问题1：物体在0-2s 和10-13s 这两段时间内，哪一段时间运动得快？如何来刻画物体运动的快慢？2.观察函数)(x f 的图象，平均变化率=∆∆xf 1212)()(x x x f x f --表示什么?练习：课本27页练习1探究二：1.求函数y=-2x 2+5在区间［2，2+△x ］内的平均变化率. 2.求函数y=x 2在x=1，2，3附近的平均变化率，取△x 为31，则在哪一点附近的平均变化率最大？1.设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，函数的改变量y ∆为（ ） A ()x x f ∆+0 B ()x x f ∆+0 C ()x x f ∆⋅0 D ()()00x f x x f -∆+2.一质点运动的方程为221t s -=，则在一段时间[]2,1内的平均速度为（ ） A －4 B －8 C 6 D －63.函数()x f y =的平均变化率的几何意义是指函数()x f y =图象上两点()()111,x f x P 、()()222,x f x P 连线的 .4.函数8232--=x x y 在31=x 处有增量5.0=∆x ，则()x f 在1x 到x x ∆+1上的平均变化率是*能力提升：在受到制动后的t 秒内一个飞轮上一点P 旋转过的角度（单位：孤度）由函()23.04t t t -=ϕ（单位：秒）给出（1）求t ＝2秒时，P 点转过的角度.（2）求在t t ∆+≤≤22时间段内P 点转过的平均角速度，其中①1=∆t ，②1.0=∆t ③01.0=∆t我的收获是什么：学后反思：。
北师大版高二数学选修2-2变化的快慢与变化率导学案
1.对一般的函数 来说，当自变量x从 变为 时，函数值从变为，则 在区间 上的平均变化率为，通常把 叫做自变量的改变量，把叫做函数值的改变量，
则函数的平均变化率可以表示为与之比，即，我们用它来表示函数在区间 上变化的快慢。
2.如果在 中，根据 用 代替 ，则 ，我们今后常常使用最后一个式子来求在给自变量x一个微小变量 时，函数 区间[ ， ]上的平均变化率.（式子中△x、△y的值可正、可负，但△x的值不能为0，△y的值可以为0，若函数f(x)为常函数时，△y =0）.
三、教学过程
【导学释疑】
阅读课本 例1、例2，填空：
1.物体在一段时间内运动的快慢可以用这段时间内的来刻画，当时间从 变为 时，物体所走过的路程从变为，这段时间内物体的平均速度为.
2.人的体温在一段时间内变化的快慢可以用这段时间内体温的来刻画。当时间从 变为 时，体温从变为，则体温的平均变化率为.
【抽象概括】：
高二年级第二学期数学学科导学稿
执笔人：王广青审核人：安边中学学校数学组
集体备课
反思栏
一、课题：1.1变化的快慢与变化率
二、学习目标
1、理解函数平均变化率的概念；
2、会求确定函数在某个区间上的平均变化率，并能根据函数的平均变化率判断函数在某区间上变化的快慢.
3、通过具体问题，感受在现实世界和实际生活中存在着大量的变化率问题，体会平均变化率的实际意义。
2019-2020学年高中数学 变化的快慢与变化率导学案 新人教A版选修1-1.doc
2019-2020学年高中数学 变化的快慢与变化率导学案 新人教A 版选修1-1学习目标：1、通过大量实例，了解平均变化率的计算，并能掌握求一个函数在某一区间内的平均变化率.2、理解平均变化率的几何意义.重点、难点：平均变化率的几何意义.自主学习（1）令21()()f f x f x ∆=-或1121()(),f f x x f x x x x ∆=+∆-∆=-，函数()f x 在12[,]x x 上的平均变化率可简记作 ，式中,x f ∆∆可正可负.（2）平均变化率的几何意义：函数()f x 在12[,]x x 上的平均变化率是过点 ， 两点的割线的斜率.合作探究1、某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.2、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t 秒后容器甲中的水的体积t e t V 1.05)(-=（单位3cm ），计算第一个s 10内V 的平均变化率.3、已知函数2)(x x f =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率：（1）]3,1[ （2）]2,1[ （3）]1.1,1[ （4）]001.1,1[4.已知函数x x g x x f 2)(,12)(-=+=，分别计算在区间]1,3[--，]5,0[上()f x 及)(x g 的平均变化率.练习反馈1、甲、乙两人投入相同的资金经营某商品，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？2、已知13)(+=x x f ，求()f x 在区间],[b a 上的平均变化率：（1）2,1=-=b a （2）1,1=-=b a （3）9.0,1-=-=b a3、求经过函数2x y =图像上两点B A ,的直线的斜率：（1）001.1,1==B A x x （2）9.0,1==B A x x（3）99.0,1==B A x x （4）999.0,1==B A x x。
北师大版高中数学选修2-2《变化的快慢与变化率》第二课时教案-新版
1变化的快慢与变化率第二课时 变化的快慢与变化率——瞬时变化率一、教学目标：1、理解函数瞬时变化率的概念；2、会求给定函数在某点处的瞬时变化率，并能根据函数的瞬时变化率判断函数在某点处变化的快慢。
3、理解瞬时速度、线密度的物理意义，并能解决一些简单的实际问题。
二、教学重点：知道瞬时变化率刻画的是函数在某点处变化的快慢。
教学难点：对于平均速度与瞬时速度的关系的理解 三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习：函数平均变化率的概念1、对一般的函数y =f （x ）来说，当自变量x 从1x 变为2x 时，函数值从f （1x ）变为2()f x 。
平均变化率就是函数增量与自变量增量之比，函数)(x f y =在),(00x x x ∆+内的平均变化率为xy∆∆，如我们常用到年产量的平均变化率。
2、函数的平均变化率与函数单调性之间的关系。
（二）、探究新课例1、一个小球从高空自由下落，其走过的路程s （单位：m ）与时间t （单位：s ）的函数关系为221gt s =其中，g 为重力加速度)/8.9(2s m g =，试估计小球在t=5s 这个时刻的瞬时速度。
分析：当时间t 从t 0变到t 1时，根据平均速度公式101)()(t t t s t s t s --=∆∆， 可以求出从5s 到6s 这段时间内小球的平均速度9.5315.1224.17656)5()6(=-=--s s （m/s ）。
我们有时用它来近似表示t=5s 时的瞬时速度。
为了提高精确度，可以缩短时间间隔，如求出5～5.1s 这段时间内的平均速度5.491.05.12245.12751.5)5()1.5(=-≈--s s （m/s ）。
用它来近似表示t=5s 时的瞬时速度。
如果时间间隔进一步缩短，那么可以想象，平均速度就更接近小球在t=5s 这个时刻的瞬时速度。
解：我们将时间间隔每次缩短为前面的101，计算出相应的平均速度得到下表：t 0/s t 1/s 时间的改变量 （Δt ）/s 路程的改变量 （Δs ）/m 平均速度⎪⎭⎫⎝⎛∆∆t s /（m/s ）5 5.1 0.1 4.95 49.5 5 5.01 0.01 0.49 49.049 5 5.001 0.001 0.049 49.0049 5 5.0001 0.0001 0.0049 49.00049 5…………可以看出，当时间t 1趋于t 0=5s 时，平均速度趋于49m/s ，因此，可以认为小球在t 0=5s 时的瞬时速度为49m/s 。
高中数学第三章变化率与导数3.1变化的快慢与变化率导学案北师大版选修1-1
3.1 变化的快慢与变化率学习目标 1.理解函数的平均变化率与瞬时变化率的概念.2.会求物体运动的平均速度并估计瞬时速度.知识点一 函数的平均变化率 观察图形，回答下列问题：思考1 函数f (x )在区间[x 1，x 2]上平均变化率的大小与曲线在区间上的陡峭程度有何关系？ 答案 (1)y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率是曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.(2)平均变化率的绝对值越大，曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上越“陡峭”，反之亦然. 思考2 怎样理解自变量的增量、函数值的增量？答案 (1)自变量的增量：用Δx 表示，即Δx ＝x 2－x 1，表示自变量相对于x 1的“增加量”. (2)函数值的增量：用Δy 表示，即Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，也表示为f (x 1＋Δx )－f (x 1)，表示函数值在x 1的“增加量”.(3)增量并不一定都是正值，也可以是负值，函数值的增量还可以是0，比如常数函数，其函数值的增量就是0. 梳理 平均变化率 (1)定义式：Δy Δx＝f x 2－f x 1x 2－x 1.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比. (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢.(4)几何意义：已知P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )图像上的两点，则平均变化率Δy Δx＝f x 2－f x 1x 2－x 1表示割线P 1P 2的斜率.知识点二 瞬时变化率思考1 物体的平均速度能否精确反映物体的运动状态？答案 不能.如高台跳水运动员从起跳高度到最高点然后回到起跳高度的过程中，平均速度为0，而运动员一直处于运动状态.思考2 如何描述物体在某一时刻的运动状态？答案 可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态.梳理 要求物体在t 0时刻的瞬时速度，设运动方程为s ＝s (t )，可先求物体在(t 0，t 0＋Δt )内的平均速度Δs Δt＝st 0＋Δt －s t 0Δt，然后Δt 趋于0，得到物体在t 0时刻的瞬时速度.类型一 函数的平均变化率 命题角度1 求函数的平均变化率例1 求函数y ＝f (x )＝x 2在x ＝1，2，3附近的平均变化率，取Δx 都为13，哪一点附近的平均变化率最大？解 在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝f 1＋Δx －f 1Δx ＝1＋Δx 2－1Δx＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f 2＋Δx －f 2Δx ＝2＋Δx 2－22Δx＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f 3＋Δx －f 3Δx ＝3＋Δx 2－32Δx＝6＋Δx .当Δx ＝13时，k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.由于k 1<k 2<k 3，所以在x ＝3附近的平均变化率最大. 反思与感悟 求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1； (3)得平均变化率Δy Δx＝fx 2－f x 1x 2－x 1.跟踪训练1 (1)已知函数f (x )＝x 2＋2x －5的图像上的一点A (－1，－6)及邻近一点B (－1＋Δx ，－6＋Δy )，则ΔyΔx＝ .(2)如图所示是函数y ＝f (x )的图像，则函数f (x )在区间[－1，1]上的平均变化率为 ；函数f (x )在区间[0，2]上的平均变化率为 .答案 (1)Δx (2)12 34解析 (1)Δy Δx ＝f－1＋Δx －f －1Δx＝－1＋Δx2＋2－1＋Δx －5－－6Δx＝Δx .(2)函数f (x )在区间[－1，1]上的平均变化率为f 1－f －11－－1＝2－12＝12. 由函数f (x )的图像知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以函数f (x )在区间[0，2]上的平均变化率为 f 2－f 02－0＝3－322＝34.命题角度2 平均变化率的几何意义例2 过曲线y ＝f (x )＝x 2－x 上的两点P (1，0)与Q (1＋Δx ，Δy )作曲线的割线，已知割线PQ 的斜率为2，求Δx 的值.解 割线PQ 的斜率即为函数f (x )从1到1＋Δx 的平均变化率Δy Δx .∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2－(1＋Δx )－(12－1)＝Δx ＋(Δx )2， ∴割线PQ 的斜率k ＝ΔyΔx＝1＋Δx .又∵割线PQ 的斜率为2，∴1＋Δx ＝2，∴Δx ＝1.反思与感悟 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率的实质是函数y ＝f (x )图像上两点P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))连线P 1P 2的斜率，即12P P k ＝Δy Δx ＝f x 2－f x 1x 2－x 1.跟踪训练2 (1)甲，乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图所示，则在[0，t 0]这个时间段内，甲，乙两人的平均速度v 甲，v 乙的关系是( )A.v 甲>v 乙B.v 甲<v 乙C.v 甲＝v 乙D.大小关系不确定(2)过曲线y ＝f (x )＝x1－x 图像上一点(2，－2)及邻近一点(2＋Δx ，－2＋Δy )作割线，则当Δx ＝0.5时割线的斜率为 . 答案 (1)B (2)23解析 (1)设直线AC ，BC 的斜率分别为k AC ，k BC ，由平均变化率的几何意义知，s 1(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 甲＝k AC ，s 2(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 乙＝k BC .因为k AC <k BC ，所以v 甲<v 乙.(2)当Δx ＝0.5时，2＋Δx ＝2.5，故－2＋Δy ＝ 2.51－2.5＝－53，故k PQ ＝－53＋22.5－2＝23.类型二 求函数的瞬时变化率例3 以初速度v 0(v 0>0)竖直上抛的物体，t 秒时的高度s 与t 的函数关系为s ＝v 0t －12gt 2，求物体在时刻t 0处的瞬时速度.解 因为Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫v 0t 0－12gt 20＝(v 0－gt 0)Δt －12g (Δt )2，所以Δs Δt ＝v 0－gt 0－12g Δt .当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于v 0－gt 0，故物体在时刻t 0处的瞬时速度为v 0－gt 0. 反思与感悟 (1)求瞬时速度的步骤 ①求位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)；②求平均速度v ＝ΔsΔt；③当Δt 趋于0时，平均速度ΔsΔt 趋于瞬时速度.(2)求当Δx 无限趋近于0时ΔyΔx的值 ①在表达式中，可把Δx 作为一个数来参加运算；②求出ΔyΔx的表达式后，Δx 无限趋近于0就是令Δx ＝0，求出结果即可.跟踪训练3 一质点M 按运动方程s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值. 解 质点M 在t ＝2时的瞬时速度即为函数在t ＝2处的瞬时变化率. ∵质点M 在t ＝2附近的平均变化率 Δs Δt ＝s 2＋Δt －s 2Δt＝a 2＋Δt2－4aΔt＝4a ＋a Δt ，当Δt 趋于0时，ΔsΔt趋于4a ，∴4a ＝8，得a ＝2.1.已知函数f (x )，当自变量由x 0变化到x 1时，函数值的增量与相应的自变量的增量之比是函数( ) A.在x 0处的变化率B.在区间[x 0，x 1]上的平均变化率C.在x 1处的变化率D.以上结论都不对 答案 B 解析Δy Δx＝f x 1－f x 0x 1－x 0，由平均变化率的定义可知，故选B.2.一物体的运动方程是s ＝3＋2t ，则在[2，2.1]这段时间内的平均速度是( ) A.0.4 B.2 C.0.3 D.0.2答案 B 解析s 2.1－s 22.1－2＝3＋2×2.1－3＋2×20.1＝2.3.物体运动时位移s 与时间t 的函数关系是s ＝－4t 2＋16t ，此物体在某一时刻的瞬时速度为零，则相应的时刻为( )A.t ＝1B.t ＝2C.t ＝3D.t ＝4答案 B解析 设此物体在t 0时刻的瞬时速度为0， Δs Δt ＝s t 0＋Δt －s t 0Δt＝－8t 0＋16－4Δt ，当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于－8t 0＋16，令－8t 0＋16＝0，解得t 0＝2.4.球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为 . 答案28π3解析 ∵Δy ＝43π×23－43π×13＝28π3，∴球的体积平均膨胀率为Δy Δx ＝28π3.5.设函数f (x )＝3x 2＋2在x 0＝1，2，3附近Δx 取12时的平均变化率分别为k 1，k 2，k 3，比较k 1，k 2，k 3的大小.解 函数在[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为6x 0＋3Δx . 当x 0＝1，Δx ＝12时，函数在[1，1.5]上的平均变化率为k 1＝6×1＋3×0.5＝7.5；当x 0＝2，Δx ＝12时，函数在[2，2.5]上的平均变化率为k 2＝6×2＋3×0.5＝13.5；当x 0＝3，Δx ＝12时，函数在[3，3.5]上的平均变化率为k 3＝6×3＋3×0.5＝19.5，所以k 1<k 2<k 3.1.平均变化率反映函数在某个范围内变化的快慢；瞬时变化率反映函数在某点处变化的快慢.2.可以使用逼近的思想理解瞬时变化率，同时结合变化率的实际意义.40分钟课时作业一、选择题1.已知函数y ＝f (x )＝sin x ，当x 从π6变到π2时，函数值的改变量Δy 等于( )A.－12B.12C.π3D.32答案 B解析 Δy ＝f (π2)－f (π6)＝sin π2－sin π6＝12.2.一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，若该质点在时间段[1，1＋Δt ]内相应的平均速度为－3Δt －6，则该质点在t ＝1时的瞬时速度是( ) A.－3 B.3 C.6 D.－6 答案 D解析 由平均速度与瞬时速度的关系可知，当Δt 趋于0时，－3Δt －6趋于－6，故该质点在t ＝1时的瞬时速度为－6.3.如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是( )A.1B.－1C.2D.－2答案 B解析 依题意可知Δy ＝y B －y A ＝1－3＝－2， Δx ＝x B －x A ＝3－1＝2，所以函数y ＝f (x )在x A 到x B 之间的平均变化率为 Δy Δx ＝－22＝－1. 4.甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，则治污效果较好的是( )A.甲B.乙C.相同D.不确定答案 B解析 在t 0处，虽然W 1(t 0)＝W 2(t 0)， 但是在t 0－Δt 处，W 1(t 0－Δt )<W 2(t 0－Δt )，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 1t 0－W 1t 0－Δt Δt <⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 2t 0－W 2t 0－Δt Δt ，所以在相同时间Δt 内，甲厂比乙厂的平均治污率小. 所以乙厂的治污效果较好.5.函数f (x )＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1，k 2的大小关系是( ) A.k 1<k 2 B.k 1>k 2 C.k 1＝k 2 D.无法确定 答案 D 解析 k 1＝f x 0＋Δx －f x 0Δx ＝2x 0＋Δx ，k 2＝f x 0－f x 0－ΔxΔx＝2x 0－Δx ，而Δx可正可负，故k 1、k 2大小关系不确定.6.如果函数y ＝f (x )＝ax ＋b 在区间[1，2]上的平均变化率为3，则( ) A.a ＝－3 B.a ＝3C.a ＝2D.a 的值不能确定答案 B 解析Δy Δx＝f2－f 12－1＝a ＝3.7.一个物体的运动方程是s ＝2t 2＋at ＋1，该物体在t ＝1时的瞬时速度为3，则a 等于( ) A.－1 B.0 C.1 D.7答案 A 解析 Δs Δt＝s1＋Δt －s 1Δt＝21＋Δt2＋a1＋Δt ＋1－2＋a ＋1Δt＝a ＋4＋2Δt ，当Δt 趋于0时，a ＋4＋2Δt 趋于a ＋4， 由题意知a ＋4＝3，得a ＝－1. 二、填空题8.汽车行驶的路程s 与时间t 之间的函数图像如图所示，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为 .答案 v 1<v 2<v 3解析 v 1＝k OA ，v 2＝k AB ，v 3＝k BC ， 由图像知，k OA <k AB <k BC .9.函数f (x )＝1x2＋2在x ＝1处的瞬时变化率为 .答案 －2 解析 ∵Δy ＝11＋Δx2＋2－(112＋2)＝11＋Δx2－1＝－2Δx －Δx 21＋Δx2，∴Δy Δx ＝－2－Δx 1＋Δx2， 当Δx 趋于0时，ΔyΔx趋于－2.10.已知函数f (x )＝－x 2＋x 的图像上的一点A (－1，－2)及邻近一点B (－1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx＝ . 答案 3－Δx解析 ∵－2＋Δy ＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )， ∴Δy Δx ＝－－1＋Δx2＋－1＋Δx －－2Δx＝3－Δx .11.函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率为2，则t ＝ . 答案 5解析 函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率是Δy Δx ＝f t －f －2t －－2＝t 2－t －－22－2t ＋2＝2，即t 2－t －6＝2t ＋4，t 2－3t －10＝0， 解得t ＝5或t ＝－2(舍去).所以当函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率是2时，t 的值是5. 三、解答题12.若函数f (x )＝－x 2＋x 在[2，2＋Δx ](Δx >0)上的平均变化率不大于－1，求Δx 的取值范围.解 ∵函数f (x )在[2，2＋Δx ]上的平均变化率为Δy Δx ＝f 2＋Δx －f 2Δx ＝－2＋Δx2＋2＋Δx －－4＋2Δx＝－3－Δx ，∴由－3－Δx ≤－1，得Δx ≥－2. 又∵Δx >0，∴Δx 的取值范围是(0，＋∞).13.若一物体运动方程如下：(位移单位：m ，时间单位：s)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2 t ≥3 ①29＋3t －320≤t <3 ②求：(1)物体在t ∈[3，5]内的平均速度； (2)物体的初速度v 0； (3)物体在t ＝1时的瞬时速度.解 (1)∵物体在t ∈[3，5]内的时间变化量为 Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3，5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在t ∈[3，5]内的平均速度为 Δs Δt ＝482＝24 (m/s). (2)求物体的初速度v 0即求物体在t ＝0时的瞬时速度. ∵物体在t ＝0附近的平均变化率为 Δs Δt ＝f 0＋Δt －f 0Δt＝29＋3[0＋Δt －3]2－29－30－32Δt＝3Δt －18，∴当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于－18，∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为－18， 即物体的初速度为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率. ∵物体在t ＝1附近的平均变化率为 Δs Δt ＝f 1＋Δt －f 1Δt＝29＋3[1＋Δt －3]2－29－31－32Δt＝3Δt －12. ∴当Δt 趋于0时，Δs Δt趋于－12， ∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为－12. 即物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.。
高二北师大数学选修22第二章变化率与导数2.1变化的快慢与变化率导学案
第二章 变化率与导数第一节 变化的快慢与变化率学习目标1．理解函数平均变化率和瞬时变化率的概念；2．会求给定函数在某个区间上的平均变化率，并能根据函数的平均变化率判断函数在某个区间上变化的快慢；3．会求给定函数在某点处的瞬时变化率，并能根据函数的瞬时变化率判断函数在某点处变化的快慢；4．理解瞬时速度，线密度的物理意义，并能解决一些简单的实际问题；学法指导平均变化率、瞬时变化率是本节中的重要概念，是学习导数的前提和基础，要通过例题讲解学会求平均变化率和瞬时变化率，理解平均变化率、瞬时变化率的值与函数值的变化快慢的关系，并理解平均变化率、瞬时变化率的几何意义。
知识点归纳1．平均变化率对于函数()x f y =，当自变量x 从1x 变为2x 时，函数值从()1x f 变为()2x f ，它的平均变化率为： 。
通常我们把自变量的变化12x x -称作： ，记为： 。
函数值的变化()()21x f x f -称作： ，记为： ，这样，函数的平均变化率就可以表示为： ；平均变化率的几何意义是： 。
2．瞬时变化率对于一般的函数，在自变量x 从1x 变到2x 的过程中，若设,12x x x -=∆ ()()12x f x f y -=∆，则函数的平均变化率是 ，而当 时，平均变化率就趋于函数在 点的 ；瞬时变化率的几何意义是： 。
重难点剖析重点：理解函数平均变化率和瞬时变化率的概念；难点：对平均变化率、瞬时变化率的值与函数值的变化快慢的关系的正确理解； 剖析：1．平均变化率在理解平均变化率时应注意以下几点：（1）1212)()(x x x f x f x f --=∆∆x x f x x f ∆-∆+=)()(11式子中的f x ∆∆,的值可正，可负，但x ∆的值不能为0，f ∆的值可以为0，若函数()x f 为常函数时，0=∆f 。
（2）平均变化率是指函数值的“增量”f ∆与相应自变量的“增量” x ∆的比，这也给出了平均变化率的求法。
《21变化的快慢与变化率》导学案.docx
《2.1变化的快慢与变化率》导学案课程学习目标L通过实例，明白变化率在实际生活屮的应用，探究和体验平均变化率的实际意义和数学意义.2.理解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法.课程导学建议重点:变化率的概念，实际意义及计算方法.难点:平均变化率的应用第一层级知识记忆与理解创设情境借助多媒体播放2012年伦敦奥运会中国跳水运动员陈若琳夺得女子单人10米跳台冠军的视频.我们知道运动员的平均速度（平均变化率）不一定能够反映她在某一时刻的运动状态, 而运动员在不同吋刻的运动状态是不同的，我们需要借助于瞬吋速度这样的量来刻画，那么我们如何才能求出运动员在某一时刻的瞬时速度呢？◎知识导学问题1：根据以上情境，设陈若琳相对于水面的高度力（单位:加）与起跳后的时间/伸位⑸ 存在函数关系〃（r）二4.9『+6.5/+10,如果用她在某段时间内的平均速度描述其运动状态，那么：⑴在0SE0.5这段时间里，运动员的平均速度==4.05 mis・（2）在E圧2这段时间里，运动员的平均速度==-8.2 mis .问题2:函数从兀倒也的平均变化率公式是.如果用兀占增量加表示，平均变化率的公式是•问题3:如何求函数的瞬时变化率？对一般的函数在自变量兀从卫）变到X1的过程中，若设■兀（），zdy=/（xi）-/（x（））,则函数的平均变化率是二二而当趋于0时，平均变化率就趋于函数在心点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢.问题4:平均变化率与瞬时变化率的关系是什么？（1）区別:平均变化率刻画函数值在区间宓，兀2］上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在点丸处变化的快慢.（2）联系:当/x趋于0时，平均变化率趋于一个常数，这个常数即为函数在刘处的瞬吋变化率，它是一个固定值.知识链接人类用了一千多年的时间來解释“瞬间'■:刻画“瞬时速度;'最终伟大的物理学家、数学家牛顿点亮了思想的明灯,他将瞬间置于包含它的时间段之内，用动态的眼光看待静止的时刻, 通过缩小时间段，实现了从近似到精确这一质的飞跃，建立起平均速度与瞬时速度间的本质联系，这一成果使得数学不仅能用来表示状态，而且也能表明运动过程，被恩格斯称为“人类精神的最高胜利基础学习交流1.函数兀0二『在区间卜1, 3］上的平均变化率是（）.A.4B.2C.D.【解析】==2.【答案】B2.在曲线）=/+2的图像上取一点（1, 3）及附近一点（1+Jx, 3+少），则等于（）.A./x++2B./x - 2C.Jx+2D.2+ztx-【解析】=二=2+/兀【答案】C3.函数心）二兀+在区间［1，2］上的平均变化率为【解析】==.【答案】4.婴儿从出生到笫24个月的体重变化如图，求笫二年婴儿体重的月平均变化率. 【解析】由图可知，笫二年婴儿体重的平均变化率为= =0.25（千克/月）.即第二年婴儿体重的月平均变化率为0.25（千克/月）.第二层级思维探究与创新重点难点探究探究一平均变化率已知函数/(兀)二2,+3兀・5.(1)求当xi =4HJx= 1时，函数增量4y和平均变化率；(2)求当X)=4HJx=0.1时，函数增量处和平均变化率.【方法指导】先计算函数值的改变量勿=鯨+加)呎切，得平均变化率二.【解析】fix) =2x2+3x-5,・：4y=/(xi+/x)金1)=2(X1 +Jx)2 +3(加+/x)・5・(2+3尤]・5)=2 f(Jx)2+2xjJ.r] +3 Jx=2( Jx)2+(4xj +3 )zbr.⑴当Q=4, Ar=l时，Jj/=2xl2+(4x4+3)xl=21, ==21.(2)当xi =4, g(M时,Jy=2x0.12+(4x4+3)x0.1 = 1.92, ==19.2.【小结】求平均变化率的主要步骤：(1)先计算函数值的改变量分=兀兀2)VUi):(2)再计算自变量的改变gJ.r=x2-X| ；(3)得平均变化率=.探究二瞬时变化率一辆汽车按规律S二3『+1做直线运动，估计汽车在匸3 $时的瞬时速度・(时间单位:s；位移单位:加)【方法指导】先求平均速度，当/能于0时，则平均速度趋于瞬时速度.【解析】当时间从3变到3+加时，= = =3J/+18,当加趋于0时，趋于常数1&・：这辆汽车在匸3如寸的瞬时速度为18 mis.【小结】要求瞬时速度可先求平均速度，//趋于0,则平均速度趋于瞬时速度，理解求法中的逼近思想.探究三变化率的意义圆的血积S随着半径厂的变化而变化.试分析圆的血积随半径广增大而增大的快慢情况.【方法指导】通过变化率来判断增大的快慢情况.【解析】圆的而积S随着半径厂的平均变化率为= = =2^r+^Jr,由=2劝+加仆可知瞬时变化率2时（很有意思，这竟是圆的周长！）随半径增大而增大，因此圆的面积增大加快.【小结】变化率是反映变化快慢的一个数学量，可以通过求变化率来看变化的快慢情况.思维拓展应用应用一已知函数几¥）二<+兀，计算/⑴在区间［丸，Xo+Jx］上的平均变化率，并求当丸二2, Jx=0.1 时平均变化率的值.【解析】函数心）*+兀在区间［兀o,心+加］上的平均变化率为==2xo+}+/lx.当兀o=2, /x=0.1时，函数兀0三『+兀在区间［2, 2.1］上的平均变化率为2x2 + 14-0.1=5.1.应用二求函数/（兀）二/+3兀在x=2处的瞬时变化率.【解析】・・・===-Jx-l,•:当/X趋于0时，趋于・1.即函数心）在兀二2处的瞬时变化率为・1.应用三求函数在x=l, 2, 3附近的平均变化率，取/x的值为，哪一点附近的平均变化率最大？【解析】在兀=1附近的平均变化率为冏===2+加；在兀=2附近的平均变化率为Z：2===4+J X；在兀二3附近的平均变化率为Z：3===6+J X ・若贝怖=2+二，^2=4+ =, 眉二6+=,由于k\ <k2<ky,所以在兀=3附近的平均变化率最大.第三层级技能应用与拓展基础智能检测1.一物体的运动方程是$=3+几则在一小段时间［2,2.1］内相应的平均速度为(A.0.41B.3C.4D.4.1【解析】===4.1.【答案】D2.函数尸2,・兀在兀=2附近的平均变化率是().A.7B.7+zlxC.7+2/XD.7+2(Jx)2【解析】所求的平均变化率为==7+2Jx.【答案】C3.—质点按规律X/)=2?运动，则片1时的瞬时速度为【解析】==6+6zk+2(zk)2,当加趋于0时，平均速度趋于6,即瞬时速度为6.【答案】64.求函数心)二加兀在区间［,］上的平均变化率.【解析】函(x)=ln x在区间［,］上的平均变化率为==(-1+2)=.全新视角拓展若一物体运动方程如下:s=(位移单位:m,时间单位:$),求：(1)物体在re［3, 5］内的平均速度；(2)物体的初速度巾；(3)物体在戶1时的瞬时速度.【解析】(1)：•物体在炖［3, 5］内的时间变化量为加=5-3=2,物体在zef3, 5］内的位移变化量7J A V=3X52+2-(3X32+2)=48,・：物体在庄［3, 5］上的平均速度为==24(加$).(2)求物体的初速度巾即求物体在/=()时的瞬时速度.:•物体在戶0附近的平均变化率为•:当加趋于0时，趋于・18,•:物体在匸0处的瞬时变化率为・18,即物体的初速度为・18 mis.（3）物体在戶I时的瞬时速度即为函数在戶1处的瞬时变化率. :•物体在匸1附近的平均变化率为= =3J/-12,•:当//趋于0时，趋于・12,・：物体在处的瞬时变化率为・12,即物体在Q1时的瞬时速度为-12 mis.第四层级总结评价与反思思维导图构建学习体验分享固学案基础达标检测1•函数）=1在［2, 2+加］上的平均变化率是（）.A.O B」 C.2 D./x【解析】所求的平均变化率为二0.【答案】A2.如果质点A的运动方程为）=3几则它在戶1时的瞬时速度为（）.A.6/B.3C.6+//D.6【解析】==6+3J/,•:所求瞬吋速度为6.3.已知函数/⑴二则心）在区间卜4,・3］, ［0, 3］上的平均变化率分别为【解析】/W在区间卜4,・3］上的平均变化率为/U ）在区间［0, 3］上的平均变化率为= =3.【答案】-7 34. 求函数在区间［2, 2+/刘内的平均变化率.【解析】因^=-2（2+J X ）2+5-（-2X 22+5）=-8J X -2（J X ）2,所以函数在区间［2, 2+加］上的平均变化率为==-8-2Jx基本技能检测5. —质点运动的方程为$=5・3几则在一段吋间［1, 1+加］内相应的平均速度为（）.A.3JZ+6B.・3//+6C.3//・6 D<-3J/-6【解析】==-3J/-6.【答案】D6. 物体甲、乙在吋间0到“范围内路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（）.【解析】在0到To 范围内，甲、乙的平均速度都为二，故A 、B 错误；在fo 到“范围内，甲 的平均速度为，乙的平均速度为.因为$2讥）>‘讥），ri-ro>O,所以〉，故C 正确，D 错误.【答案】C7.过曲线）=<+［上两点尸（1, 2）和0（l+zk, 2+少）作曲线的割线，当Jx=0.1时，割线的斜【解析】割线的斜率k===2+dx.当加=0.1时,k=2A.【答案】2.1&将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.如果第 %力时，原油的温度（单位:°C ）为〉，=/©）二兀2・7X +15（OS0）.计算笫2力时，原油温度的瞬时变化 率，并说明它们的意义.【解析】===Jx-3,当/X 趋于0时，趋于・3,即第2 时，瞬时变化率为・3.A.在0到r （）范围内,甲的平均速度大于乙的平均速度 B.在0到/（）范围内, 甲的平均速度小于乙的平均速度C •在4）到“范围内,甲的平均速度大于乙的平均速度 D.在『°到耳范围内, 甲的平均速度小于乙的平均速度它说明在第2力附近，原油温度大约以每小时3°C的速率下降.技能拓展训练9.已知质点按规律s（/）=at2+\做直线运动（位移单位:加，时间单位:s）,若质点在区间［1, 2］上的平均速度为6 mis,则常数°二【解析】该质点在区间［1, 2］上的平均速度，就是该质点在区间［1, 2］上位移的平均变化率，:・==3Q,・：3a=6, ・：a=2.【答案】210.求正弦函数尸咖兀在0到之间及到之间的平均变化率，并比较它们的大小.【解析】设切x在0到之间的平均变化率为灯,则fci==.y=sin x在到之间的平均变化率为血，贝9炷===./.k］ >kz，•:函数）=5巾X在0到Z间的平均变化率为，在到Z间的平均变化率为，且〉.。
变化的快慢与变化率 导学案
1．在平均变化率的定义中，自变量的增量Δx应满足()
A．Δx>0B．Δx<0C．Δx≠0D．Δx＝0
2．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为()
A．f(x0＋Δx)B．f(x0)＋Δx
C．f(x0)·ΔxD．f(x0＋Δx)－f(x0)
2.1变化的快慢与变化率
班级： 姓名： 小组： 评价：
【学习目标】
(1)引导学生发现函数的平均变化率，会求简单函数的平均变化率；
(2)知道用平均变化率“逼近”瞬时变化率，并知道变化率是描述函数变化快慢的量．
【重点难点】
重点：函数的平均变化率和瞬时变化率的定义及求解；
难点：平均变化率与瞬时变化率的定义的推导及用平均变化率“逼近”瞬时变化率．
3．物体的运动方程是s(t)＝4t－0.3t2，则从t＝2ຫໍສະໝຸດ t＝4的平均速度是________．
三．合作探究
★求函数的平均变化率（仿照教材P25~P26内容，试做下面题目，上课时不讲）
例1.已知函数f(x)＝2x2＋1.
(1)求函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率；
(2)求函数f(x)在区间[2,2.01]上的平均变化率．
(2)作用：平均变化率用来刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢.
(1)定义：对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0),则函数的平均变化率是 ＝＝.
当Δx趋于0时，平均变化率就趋于函数在的瞬时变化率．
(2)作用：瞬时变化率刻画的是函数在变化的快慢.
例2若一物体的运动方程为s＝ 求此物体在t＝1和t＝3时的瞬时速度．
《变化的快慢与变化率》导学案
.. 导. 学 固思
1.通过实例,了解变化率在实际生活中的应用,探究和体验平均 变化率的实际意义和数学意义. 2.理解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念,体会逼近的思
想和用逼近的思想思考问题的方法.
.. 导. 学 固思
导
借助多媒体播放2012年伦敦奥运会中国跳水运
动员陈若琳夺得女子单人10米跳台冠军的视频. 我们知道运动员的平均速度(平均变化率)不一 定能够反映她在某一时刻的运动状态,而运动员 在不同时刻的运动状态是不同的,我们需要借助
−
h (0.5)-h (0) 0 .5 -0
v=
=4.05 m/s
.
(2)在 1≤t≤2 这段时间里, 运动员的平均速度
−
h (2)-h (1) 2 -1
v=
=-8.2 m/s
.
.. 导. 学 固思
f(x 2 )-f(x 1 )
问题2
函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率公式是 如果用 x1 与增量 Δx 表示,平均变化率的公式 是
f (x 0 +Δ x )-f (x 0 ) Δx
.
而当 Δx 趋于 0 时,平均变化率就趋于函数在 x0 点的瞬时 变化率,瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢.
.. 导. 学 固思
问题4
平均变化率与瞬时变化率的区别与联系 (1)区别:平均变化率刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢,瞬 时变化率刻画函数值在点 x0 处变化的快慢. (2)联系:当 Δx 趋于 0 时,平均变化率 趋于一个常数,这个常
������ ������
数即为函数在 x0 处的瞬时变化率,它是一个固定值.
.. 导. 学 固思
学案：变化的快慢与变化率
变化的快慢与变化率 日期：学习目标：掌握平均变化率的概念；能通过计算平均变化率了解曲线的陡峭程度，能理解平均变化率的实际意义；能熟练计算函数在某区间上平均变化率．了解平均速度的概念，掌握运动物体的瞬时速度、瞬时加速度的概念及求法．重点难点：掌握平均变化率的概念并能熟练地计算；瞬时速度瞬时加速度的概念及求法． 学习过程：一、自学课本，解决课后练习；二、交流探究：1、请分别给出函数自变量的增量（改变量）、函数值的增量、函数的平均变化率的概念2、函数自变量的增量（改变量）、函数值的增量是否一定为正数？3、一次函数y kx b =+在区间[,]m n 上的平均变化率有什么特点？函数()f x 在区间[,]m n 上的平均变化率与曲线上两点(,())m f m ，(,())n f n 间的斜率有何关系？4、 平均速度：物理学中，运动的物体的位移与所用时间比称为平均速度．若位移s 与所经过时间t 的规律是)(t s s =，设t ∆为时间改变量，从0t 到0t t +∆这段时间内，物体的位移是00()()s s t t s t ∆=+∆-，那么位移的改变量s ∆与时间改变量t ∆的比就是这段时间内物体的平均速度v ， 即：00()()s t t s t s v t t+∆-∆==∆∆，平均变化率反映了物体在某一时间段内运动快慢程度的物理量。
5、 瞬时速度：物理学中我们学习过运动的物体在某一时刻0t 的“速度”，即0t 的瞬时速度，用v 表示，物体在0t 时的瞬时速度v （即0t t =时()s t 对于时间的瞬时变化率），运动物体在0t 到0t t +∆这一段时间内的平均速度v ，当t ∆无限趋近于0时，00()()s t t s t s t t+∆-∆=∆∆趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在0t t =时的瞬时速度．6、 瞬时加速度：物理学中我们学习过运动的物体在某一时刻0t 的“加速度”，即0t 的瞬时加速度， 用a 表示，物体在0t 时的瞬时加速度a （即0t t =时速度()v t 对于时间的瞬时变化率），运动物体在0t 到0t t +∆这一段时间内的平均加速度a ，当t ∆无限趋近于0时，有 00()()v t t v t v a t t+∆-∆==∆∆趋近于常数a ． 三、学以致用： 1、已知2()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率：（1）[1,3] （2）[1,2] （3）[1,1.1]2、已知函数()21f x x =+，()2g x x =-，分别计算()f x ，()g x 在区间[31]--，[0,5]上的平均变化率．3、设质点按函数216015s t t =-所表示的规律运动，求质点在时刻3t =时的瞬时速度（其中s 表示在时刻t 的位移，时间单位：秒，位移单位：米）．4、跳水运动员从10m 高的跳台腾空到入水的过程中，不同的时刻有不同的速度，t s 后运动员相对于水面的高度为2() 4.9 6.510H t t t =-++，确定2t s =时运动员的速度 ．5、设一辆轿车在公路上做加速直线运动，假设t s 时的速度为2()3v t t =+，求0t t s = 时轿车的加速度．四、概括升华：五、温故知新：习题2-11、解：（1）()f x 在[1,3]上的平均变化率为：22(3)(1)3143131f f --==--． （2）()f x 在[1,2]上的平均变化率为：22(2)(1)2132121f f --==--． （3）()f x 在[1,1.1]上的平均变化率为：22(1.1)(1) 1.11 2.11.11 1.11f f --==--． 2、解：()f x 在区间[31]--上的平均变化率为：(1)(3)2(1)(3)f f ---=---． ()f x 在区间[0,5]上的平均变化率为：(5)(0)250f f -=-． ()g x 在区间[31]--上的平均变化率为：(1)(3)2(1)(3)g g ---=----． ()g x 在区间[0,5]上的平均变化率为：(5)(0)250g g -=--． 3、解：从03t =到03t t t +∆=+∆这段时间内，物体的位移是(3)(3)16015(6)s s t s t t t ∆=+∆-=⨯∆-⨯∆+∆，那么位移的改变量s ∆与时间改变量t ∆的比就是这段时间内物体的平均速度v ， 即7015s v t t ∆==-∆∆，当t ∆无限趋近于0时，有7015s v t t∆==-∆∆趋近于常数70， ∴质点在时刻3t =时的瞬时速度为70v =． 4、解：从02t =到02t t t +∆=+∆这段时间内的平均变化率为，(2)(2)13.1 4.9H t H t t+∆-=--∆∆， 当t ∆无限趋近于0时，有(2)(2)13.1 4.9H t H t t+∆-=--∆∆趋近于常数13.1-， ∴当2t s =时运动员的瞬时速度为13.1-．5、解：在0t 到0t t +∆的时间间隔内，轿车的平均加速度为000()()2v t t v t v a t t t t+∆-∆===+∆∆∆， 当t ∆趋近于常数0时，有a 趋近于常数02t ， 所以0t t s =时轿车的加速度为02t ．1．函数的增量：已知函数)(x f y =的图象是曲线C ，0011(,),(,)P x y Q x y 是曲线C 上的两点，当自变量x 从一个值0x 变为另一个值1x 时，相对应的函数值由00()y f x =变到11()y f x =，自变量的增量记作x ∆， 10x x x ∆=-（x ∆可正可负），函数的增量记作y ∆，其中101000()()()()y y y f x f x f x x f x ∆=-=-=+∆-．2．平均变化率：函数)(x f y =在区间12[,]x x 上的平均变化率为：2121()()y f x f x x x x ∆-=∆-．1．已知曲线212y x =上两点的横坐标是0x 和0x x +∆，求过AB 两点的直线斜率； 2．一物体按规律210s t t =+作变速直线运动，求该物体从2秒末到6秒末这段时间内的平均速度；1．运动物体的瞬时速度的一般步骤是：①求位移增量与时间增量的比s t ∆∆； ②判断当t ∆趋近于常数0时，s t∆∆是否无限趋近于一常数；③求出这个常数．。
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§1变化的快慢与变化率导学案1
高二数学 编写人 赵荣 审核人 编号 8 班级_____ 姓名__________ 时间__________ 组号_________
1.理解函数平均变化率的概念
2.会求确定函数在某个区间上的平均变化率，并能根据函数的平均变化率判断函数在某区间上变化的快慢
学习重点：从变化率的角度重新认识平均速度的意义，知道函数平均变化率就是函数在某区间上变化快慢的数量描述
学习难点：对平均变化率的数学意义的认识
问题思考：阅读课本25p 例1、例2，填空：
1.物体在一段时间内运动的快慢可以用这段时间内的平均速度来刻画，当时间从0t 变为1t 时，物体所走过的路程从0s(t )变为1s(t )，这段时间内物体的平均速度为 .
2.人的体温在一段时间内变化的快慢可以用这段时间内体温的平均变化率来刻画。
当时间从0x 变为1x 时，体温从0y(x )变为1y(x )，则体温的平均变化率为 . 探索新知：
1.对一般的函数y f (x)=来说，当自变量x 从1x 变为2x 时，函数值从 变为 ，则y f (x)=在区间12[x ,x ]上的平均变化率为 ，通常把21x x x ∆=-叫做自变量的改变量，把21y f (x )f (x )∆=-叫做函数值的改变量，则函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即 ，我们用它来表示函数在区间12[x ,x ]上变化的快慢.
2.如果在2121
f (x )f (x )y x x x ∆∆-=-中，根据21x x x ∆=-，用1x x ∆+代替2x ，则2121
f (x )f (x )y x x x ∆∆-==- ，我们今后常常使用最后一个式子来求在给自变量x
一个微小变量x ∆时，函数y f (x)=区间[1x ，1x x ∆+]上的平均变化率.
3.求函数f(x)的平均变化率的步骤：
（1）求函数值的 ；（2）计算平均变化率. 合作探究（要有必要的解题过程）
探究一：1.课本P 25问题1：物体在0-2s 和10-13s 这两段时间内，哪一段时间运动得快？如何来刻画物体运动的快慢？
2.观察函数)(x f 的图象，平均变化率
=∆∆x
f 1212)()(x x x f x f --表示什么?
练习：课本27页练习1
探究二：1.求函数y=-2x 2+5在区间［2，2+△x ］内的平均变化率. 2.求函数y=x 2在x=1，2，3附近的平均变化率，取△x 为
3
1，则在哪一点附近的平均变化率最大？
1.设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，函数的改变量y ∆为（ ） A ()x x f ∆+0 B ()x x f ∆+0 C ()x x f ∆⋅0 D ()()00x f x x f -∆+
2.一质点运动的方程为2
21t s -=，则在一段时间[]2,1内的平均速度为（ ） A －4 B －8 C 6 D －6
3.函数()x f y =的平均变化率的几何意义是指函数()x f y =图象上两点()()111,x f x P 、()()222,x f x P 连线的 .
4.函数8232
--=x x y 在31=x 处有增量5.0=∆x ，则()x f 在1x 到x x ∆+1上的平均变化率是
*能力提升：
在受到制动后的t 秒内一个飞轮上一点P 旋转过的角度（单位：孤度）由函()23.04t t t -=ϕ（单位：秒）给出
（1）求t ＝2秒时，P 点转过的角度.
（2）求在t t ∆+≤≤22时间段内P 点转过的平均角速度，其中①1=∆t ，②1.0=∆t ③01.0=∆t
我的收获是什么：学后反思：。